2022年新高考全国Ⅰ卷数学高考真题(附答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则MN =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．23．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ）A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．236．记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．32 C ．52D ．37．设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ）A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD所成的角为45︒10．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线11．已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>12．已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．14．写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．15．若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<． 18．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++． (1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．19．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ． （ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，21．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率； (2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．22．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．1．D 【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 2．D 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +. 【详解】 由题设有21i1i ii z -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=， 故选：D 3．B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 4．C 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，ⅰ((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ． 5．D 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==. 故选：D. 6．A 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A 7．C 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】 方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111xf x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >， 所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 方法二：比较法 解：0.10.1a e =，0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ，ⅰ ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ， 令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则 1()1011x f x x x -'=-=<-- ，故()f x在 (0,0.1]上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <=，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ； ⅰ 0.10.1ln(10.1)a c e -=+-，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+---，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以 2()(12)0x k x x x e '=-->，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >>，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以.a c >故 .c a b << 8．C 【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】ⅰ球的体积为36π，所以球的半径3R =,方法一：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ， 则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<，所以当l =V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.方法二：基本不等式法：由方法一故所以2231211(122)64(6)(122)[](333333h h h V a h h h h h h h-++==-=-⨯⨯=当且仅当4h =取到)，当32h =时，得a 22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =39322h =+=，a ==正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].439．ABD 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；连接1A C ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确； 连接11A C ，设1111AC B D O =，连接BO ， 因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥， 因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ， 所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角， 设正方体棱长为1，则1C O =1BC 1111sin 2C O C BO BC ∠==， 所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确.故选：ABD 10．AC 【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得x >x <令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，(上单调递减，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥()0f x f ≥>⎝⎭，即函数()f x 在⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点， 综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-， 则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 故选：AC.11．BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D. 【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-， 联立221y x x y=-⎧⎨=⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点， 所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-⎧⎨=⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又||OP ==，||OQ =所以2||||||2||OP OQ k OA ⋅>=，故C 正确；因为1|||BP x =，2|||BQ x =，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD 12．BC 【分析】法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法1]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ⅰ，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由ⅰ求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC.[方法2]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC. 故选：BC. [方法3]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC. 【整体点评】法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 13．-28 【分析】()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +-+，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为()()()8881=y yx y x y x y x x ⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x -=-， ()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28 故答案为：-2814．3544y x =-+或7252424y x =-或1x =- 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】 解：方法一：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ，14.=故221c b =+ⅰ，|34||4|.b c c ++=于是344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合ⅰ解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.x y +-=(填一条即可)方法二：设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=， 即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=， 直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =， 从而该切线的方程为724250.(x y --=填一条即可) 方法三：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-， 故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.15．()(),40,-∞-+∞ 【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】ⅰ()e x y x a =+，ⅰ(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,切线方程为：()()()0000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,ⅰ切线过原点，ⅰ()()()0000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,ⅰ切线有两条，ⅰ240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,ⅰa 的取值范围是()(),40,-∞-+∞, 故答案为：()(),40,-∞-+∞ 16．13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120xy c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =. 【详解】ⅰ椭圆的离心率为12c e a ==，ⅰ2a c =，ⅰ22223b a c c =-=，ⅰ椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，ⅰ222AF a OF c a c ===，，，ⅰ23AF O π∠=，ⅰ12AF F △为正三角形，ⅰ过1F 且垂直于2AF的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，ⅰ直线DE直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120xy c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，ⅰ122264613cDE y =-==⨯⨯⨯=， ⅰ 138c =， 得1324a c ==，ⅰDE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，ⅰADE 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.17．(1)()12n n n a +=(2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n nS n n a +=+-=，得到()23nn n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211na a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得. （1）ⅰ11a =，ⅰ111S a ==,ⅰ111Sa =, 又ⅰn n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，ⅰ()121133n nS n n a +=+-=,ⅰ()23nn n a S +=, ⅰ当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，ⅰ()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n an -+=-, ⅰ31211221n n n n n a a aa a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立， ⅰ{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭ⅰ12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18．(1)π6； (2)5． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B+-，然后利用基本不等式即可解出．（1） 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =； （2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos 2B =时取等号，所以222a b c +的最小值为5．19．【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. （1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ， 则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V Sh h V S A A V ---=⋅===⋅==，解得h =所以点A 到平面1A BC （2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC 平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥， 又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE 12AA AB ==，1A B =2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ， 则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==, 设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()0,1,1n =-， 则11cos ,22m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --=.20．(1)答案见解析(2)（i ）证明见解析；(ii)6R =； 【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R . （1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯， 又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2） (i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅ 所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii)由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =， 所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅21．(1)1-；．【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP AQ k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积． （1）因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=． 易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()222222Δ16422210120m k m k m k =-+->⇒-+>且≠k ．所以由0AP AQ k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=， 即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭， 化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去， 故1k =-． （2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线,PA PB 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，由（1）知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+=，解得tan α=（负值舍去） 此时P A 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=()tan βα-=tan 2α=-2tan 0αα-，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，)23241002x x ++-，因为方程有一个根为2，所以P x ，P y=同理可得，Q x =Q y= 所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d = 故PAQ △的面积为11623⨯=． ［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由tan PAQ ∠=tan2PAQ∠，由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==1112y x -=-联立1112y x --221112x y -=得1x，1y同理，2x2y 12203x x +=，12689x x =而1||2|AP x =-，2||2|AQ x -，由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=故12121||||sin 2()4|2PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠-++【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．22．(1)1a = (2)见解析 【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列. （1）()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=. 当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数， 故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值， 故11ln ln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a-=+，其中0a >， 设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++， 故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =， 故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =. 综上，1a =. （2） 方法一：由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=. 当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>， 故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数， 所以()()min 010S x S b ==-<，而()e 0b S b --=>，()e 2bS b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=， 当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>， 故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个解， 当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无根， 故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点， 则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2x h x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+， 所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122()e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x ()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <， 当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点， 故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的根1010,(0)x x x x <<， 此时ln x x b -=有两个不同的根0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e 0x b x b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.方法二：由(1)知，()x f x e x =-，()ln g x x x =-，且()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且min min ()() 1.f x g x ==ⅰ1b <时，此时min min ()()1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x = 共有0个交点，不符合题意； ⅰ1b =时，此时min min ()()1f x g x b ===，故y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ⅰ1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点， 即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1x F x f x e '='=-，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为()0b F b e --=>，(0)10F b =-<，()20b F b e b =->，(令()2b t b e b =-，则()20b t b e '=->，()(1)20)t b t e >=->所以()()F x f x b =-在(,0)-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在(0,)+∞上存在且只存在1个零点，设为2.x其次，证明y b =与曲线和()y g x =有2个交点， 即证明()()G x g x b =-有2个零点，1()()1G x g x x '='=-， 所以()(0,1)G x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为()0b b G e e --=>，(0)10G b =-<，(2)ln 20G b b b =->，(令()ln 2b b b μ=-，则1()10b bμ'=->，()(1)1ln 20)b μμ>=->所以()()G x g x b =-在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为3x ，在(1,)+∞上存在且只存在1个零点，设为4.x 再次，证明存在b ，使得23:x x = 因为23()()0F x G x ==，所以2233ln xb e x x x =-=-，答案第25页，共25页 若23x x =，则2222ln x e x x x -=-，即2222ln 0x e x x -+=，所以只需证明2ln 0x e x x -+=在(0,1)上有解即可，即()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上有零点， 因为313312()30e e e e ϕ=--<，(1)20e ϕ=->， 所以()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可，此时取00x b e x =- 则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点， 最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为120304()()()0()()()F x F x F x G x G x G x ======所以100()()(ln )F x G x F x ==，又因为()F x 在(,0)-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =， 同理，因为004()()()x F x G e G x ==， 又因为()G x 在(1,)+∞上单调递增，00x >即01x e >，11x >，所以04x x e =， 又因为0002ln 0x e x x -+=，所以01400ln 2x x x e x x +=+=，即直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.。