§1.5函数y=Asin(wx+

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人教版高中数学高一1.5函数yAsin(wx)的图象

1.5函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)的图象教学目标：1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。

2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。

3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。

教学重点：函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法和设图像与函数y=sinx 图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。

教学难点：各种变换内在联系的揭示。

教学过程：一、复习旧知1.“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？2. 函数y = sin(x ±k)(k>0)的图象和函数y = sinx 图像的关系是什么？生答：函数y = sin(x ±k)(k>0)的图像可由函数y = sinx 的图像向左(或右)平移k 个单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k 个单位，这种变换称为平移变换。

3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx 的图像沿x 轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍而得到，称为周期变换。

演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍。

4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像沿y 轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A 倍而得到的，称为振幅变换。

2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4

2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4一、教学分析本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.二、教学目标：1、知识与技能借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；引导学生认识y＝Asin(ωx+φ) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.2、过程与方法通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.3、情感态度与价值观经历对函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.三、教学重点、难点：重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x 到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．四、教学设想：函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）（一）、导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y ＝sinx的图象是否有类似的关系？③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、x B-x A、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:图2如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.图3问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.（三）、讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.②略②略.③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.（四）、规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图象个单位长度平移或向右向左||)0()0(ϕϕϕ−−−−−−→−<>得y=sin(x+φ)的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=sin(ωx+φ)的图象 )()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图象)()10()1(横坐标不变倍这原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asinx 的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=Asin(ωx)的图象个单位平移或缩短向左||)1()0(ωϕωϕ−−−−−−→−>>得y=Asin(ωx+φ)的图象.（五）、应用示例例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝,ω＝,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.图4(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为y=sinxy=sin(x-)y=sin(x-)倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2−−−→−y=2sin(x-).方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为y=sinxy=sinxy=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令X=x-,则x=3(X+).列表:X0 π 2π X2π 5π Y 0 2 0 -2 0 描点画图,如图5所示.图5点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0,,π,,2π来确定对应的x 值.（六）、课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.（七）、作业函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）（一）、导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y＝sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移_______个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的解析式.对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.甲：所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=cos2x的图象,∴f(x)=cos2x.乙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0,即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.丙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx,∴A=,=1,+φ=0.解得A=,ω=2,φ=-,∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时,把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+,应该变换成y=Asin[(x+)+φ],而不是变换成y=Asin(x++φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙的解答是正确的.三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0, ,π, ,2π.②(1)右, ；(2)左, ；(3)先y＝sinx的图象左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).③略.提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.②略.（三）、应用示例例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.图7活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为.(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),那么A=2;由=0.8,得ω=;由图象知初相φ=0.于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈［0,+∞).点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.变式训练函数y=6sin(x-)的振幅是,周期是____________,频率是____________,初相是___________,图象最高点的坐标是_______________.解:6 8π(8kπ+,6)(k∈Z)例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式.活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.解:由已知条件,知y max=3,y min=-5,则A=(y max-y min)=4,B= (y max+y min)=-1,=-=.∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.由于点(,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2×+φ)-1,即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<,故取+φ=.∴φ=.故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图象可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程ωx i+φ=0,,π,,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ的值.方法一:由图知A=2,T=3π,由=3π,得ω=,∴y=2sin(x+φ).由“五点法”知,第一个零点为(,0),∴·+φ=0φ=-,故y=2sin(x-).方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.∴·+φ=πφ=.∴y=2sin(x-).点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.2.xx海南高考,3函数y=sin(2x-)在区间［,π］上的简图是( )图9答案:A（四）、课堂小结1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值.2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.（五）、作业.。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《1.5 函数y=Asin(wx+f)的图象》

函数=Ainwf的图象
【课题】：函数=Ain wf的图象〔2〕
方案一：
【设计与执教者】：广州六中江玉军
【学情分析】：学生在学习了第一课时的根底上已经掌握了正弦函数的图象变换方法，并会用五点法画函数=Ain wf的简图，也了解了有关振幅、周期、频率、初相和相位等概念。

这节课主要是通过对相位的深刻理解，学会从函数=Ain wf 的简图中提取信息，得到各个参数值的多种方法，体会数和形之间的深刻的联系。

本节课是习题课，还应当通过一些拓展性的例题、习题提高学生综合运用三角函数的图象和性质解题的能力。

【教学目标】：
〔1〕会从函数=Ain wf的简图中得到A和w的值，并会利用“五点作图法〞求；〔2〕提高综合运用三角函数的图象和性质解题的能力；
〔3〕通过本节课的学习体会事物之间相互联系的原理，提高认识事物，解决问题的能力。

【教学重点】：如何从函数=Ain wf的简图中得到A和w的值，及利用“五点作图法〞求。

【教学难点】：如何利用“五点作图法〞求。

【教学突破点】：由错解分析入手，讲清如何从图象的走势分析区分出所对应的是五点中哪一个点，然后由w=0，，，，2中的某个值求出。

【教法、学法设计】：变式教学；观察归纳法，小组讨论法。

【教学过程设计】：。

1.5 函数y=asin(wx+φ)的图象(1)

1
y o

2
步骤1
-1
3 2
2
x
(沿x轴平行移动)
y
步骤2
1
o
-1
3 2
2

2

x (横坐标伸长或缩短)
1
y o

2
步骤3
-1

3 2
2
x
(纵坐标伸长或缩短)
1
y o

2
步骤4
-1

3 2
2
x
用两种方法画出函数y 2 sin(2 x )在长度 4 为一个周期的闭区间上的简图.
结论 : 函数y A sin( x )的图象, 可以看作是把 y sin( x )上所有点的纵坐标伸长 (当A 1时) 或缩短 (当0 A 1时)到原来的 A倍(横坐标不变 ) 而得到.从而,函数y A sin( x )的值域是 A, A, 最大值是 A, 最小值是 A.
y
3
2
1
y=sin(x- )① 6

y=sinx
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
1 y sin( x ) ② 3 6
2
7 2
o

-１
6
2
13 2
x
-2
-3
1 (画法二)利用"五点法"画函数 y 2 sin( x )在 3 6 2 一个周期 (T 1 6 )内的图象. 3

5
个单位长度. 个单位长度.
5 2 (C )向右平行移动个单位长度. 5 2 ( D )向左平行移动个单位长度. 5

1.5函数y=Asin(wx-φ)的图象(一)、(二)

在包含振幅变换和周期变换的复合变换中，无论先经过振幅变换还是先经过周期变换所得的结果一致。
二、新课
例⒊作函数
y=sin(x+
3 ),y=sin(x-
4
)的简图.
解:由平移变换: y=f (x+m)表示将f (x)的图
象向左平移m个单位。
∴函数y=sin(x+
3
)的图象可以看作把正弦
曲线上所有点向左平移3 个单位而得到。
一半，恰好得到y=cosx的图象，求函数f(x)
的表达式。
⒋ 象通出过发图，象得变到换y=的2co方s(法3x从- 4)y的=3图sin象(12。x+
3
)的图
——相位变换 y=sin(x+), xR( 0)的图象可以由 y=sinx的图象上所有点向左( >0)或向右 ( <0)平移| |个单位,纵坐标不变得到。
四、小结
y=sinx
相位变换
周期变换
y=sin(x+)
y=sinωx
周期变换
相位变换
y=sin(ωx+)
在先经过周期变换,再进行相位变换的时候,实际平移的是/个单位。
1 2
x+
6
)的图象.
解： y=sinx
y
周变
期换
y=sin
1 2
x
o
x
相变位换
y=sin(
1 2
x+
6 )
振幅变换
y=3sin(
1 2
x+
6 )
三、练习
利用图象变换的方法作出y=3sin(
1 2
x+

人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质教案

三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。

教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。

教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。

教学难点：解决三角函数的综合问题教学手段：合作学习，讲练结合教学过程：（一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。

高一数学人教A版必修4第一章1.5 函数y=Asin(wx+j)的图象2课时课件(共63张PPT)

变为原来的
1
w
倍.
3. y=sinx 与 y=Asinx
设 A =2, 画出 y=sinx 和 y=2sinx 的图象.
在 x 坐标相同的情况下,
y
y=2sinx 图象上各点的 y 坐标
2 y=2sinx
是 y=sinx 的 2 倍.
11
将 y=sinx 的图象沿 y 轴方向伸长到原来的 2 倍即得
(1)
y
=
4sin
1 2
x,
xR;
(2) y = 12cos3x, xR;
(3)
y
=
3sin(
2x
+
6
),
xR;
);
(2) y=sin3x;
(4)
y
=
2sin(
2x
4
).
解: (3)
将 y=sinx 的图象向右
平移个单位即得
3
y
=
sin(
x
3
)
的图象.
y
1
11
6
O 543 27 x 1 32 6 3 2 3
练习: (课本55页)
1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的
简图:
(1) (3)
yy==s12ins(inxx;3
得到
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
的图象.
y
2
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
1
y
=7sin(3x56
)
13
y
=
sin(
1 3
x

杨杰函数y=Asin(wx )的图象

汉寿龙池实验中学
{x | x

2
k , k Z}
R
复习回顾正切函数的性质
定义域
值域周期奇偶性单调性
汉寿龙池实验中学
{x | x

2
k , k Z}
R
T
复习回顾正切函数的性质
定义域
值域周期奇偶性单调性
汉寿龙池实验中学
{x | x

2
k , k Z}
汉寿龙池实验中学
y tan x 3
讲授新课
思考
2. 函数y＝sin(x)(＞0)的图象和函数 y＝sinx图象的关系是什么？
汉寿龙池实验中学
y tan x 3
讲授新课
思考
2. 函数y＝sin(x)(＞0)的图象和函数 y＝sinx图象的关系是什么？
函数y＝sin(x)(＞0)的图象可由函数y＝sinx的图象沿x轴伸长(＜1)或缩短(>1)到原来的 1 倍而得到，称为周期变换.
y tan x 3
讲授新课
1. “五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
3 (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), ( 2 ,0) 2 2
2. f(x＋k)的图象与f(x)的图象有什么样的关系？

汉寿龙池实验中学
y tan x 3
讲授新课
例. 列表

6

12

3
7 5 12 6
0
3
0
3 0
汉寿龙池实验中学
y tan x 3
讲授新课
例. 作图1： y
3

高中数学优质学案 §1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)

§1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)学习目标1.理解y＝A sin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．知识点一φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．知识点二ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．知识点三 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到．知识点四函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关系正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．1．把函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．( × ) 提示得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象． 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向左平移π3个单位长度得到．( × )提示 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －π3，故要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向右平移π3个单位长度．3．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝sin 2x 的图象．( × ) 提示应得到y ＝sin 12x 的图象．4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象是由函数y ＝cos x 的图象向右平移π3个单位长度得到的．( √ ) 提示由平移的规律可知其正确．题型一平移变换例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？ [考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的平移变换解函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的．引申探究1．若将本例中y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6改为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，其它不变，又该怎样变换？解 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，可以看作是把y ＝sin x 上所有的点向左平移π3个单位长度得到．2．若将本例改为：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象可由y ＝sin 2x 的图象经过怎样变换得到？解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，可由y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度得到．反思感悟对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前的系数，当x 前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为⎪⎪⎪⎪φω个单位长度．跟踪训练1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的平移变换 [答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度．题型二伸缩变换例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3 引申探究若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数[解析]式为________． [答案] y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 反思感悟对于函数y ＝sin x ，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y ＝sin xω.若纵坐标伸长为原来的A (A >1)倍，则得到函数y ＝A sin x ，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．跟踪训练2 把y ＝sin 12x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得到的[解析]式是________．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] y ＝sin 2x题型三图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的[解析]式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的[解析]式． [考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――→向左平移π6个单位长度y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . 所以f (x )＝3cos x .反思感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数[解析]式，求变换前函数图象的[解析]式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的[解析]式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象？ [考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用解方法一 ①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象．方法二 ①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象； ③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象.1．(2018·广西贺州高二期末)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的平移变换[答案] B[解析] 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数[解析]式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 2．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用 [答案] A[解析] y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以向左平移π8个单位长度，即可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 3．将函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] y ＝sin 9x[解析] 将函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin(3×3x )＝sin 9x 的图象．4．(2018·山西孝义高二期末)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．[考点] 三角函数图象的平移、伸缩变换 [题点] 三角函数图象的伸缩变换 [答案] 伸长 3[解析] A ＝3>1，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 5．将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π3＝________. [考点] 三角函数图象变换的综合应用 [题点] 三角函数图象变换的综合应用 [答案] －2 3[解析] 将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的[解析]式为y ＝23cos 2x ，则g (x )＝23cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故g ⎝⎛⎭⎫π3＝23cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝－2 3.1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条(1)y ＝sin x ―――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)―――→周期变换高中数学优质学案11 y ＝sin(ωx ＋φ)―――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ―――→周期变换y ＝sin ωx ―――→相位变换y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)―――→振幅变换 y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度；(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位长度，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．。

1.5函数y=asin(wx+)的图象公开课优质课件

注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
巩固练习
5.它函们数的y图＝象13 是sin由x，y＝y＝sin4xs的inx图的象振作幅怎分样别的是变多换少而？得到？
解: 它们的振幅分别是1/3，4
把函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/3
倍(横坐标不变)即得到y＝ 1 sinx的图象.
例3 画出下列函数的简图。
x0
① y=2sinx, x∈R；
sin x 0
② y= 1 sinx,x∈R；
2
2sin x 0
1 sin x 2
0
y
2
●
纵坐标伸长到
原来的2倍
1
1 2
●

●
10

21纵坐标缩2 短到
●
2
原来 1 倍 2
3
2
●
●
2
x
●

2 10
20
1 2
0
3
2 2
1 0
3sin(2x ) 3
0
3
0 3 0
y
3
y 3sin(2x )
3
3
y sin(x )
3
横坐标压
y sin x
y sin(x )
缩到原来的
3
1/2倍
y sin(2x )
3
3
0
6
12
3
7 5
12 6
2 x
纵坐标伸长到原来的3倍
y sin[2(x )] sin(2x )
6
3
纵坐标伸长到原来的3倍

高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课

关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
��
+
π 5
C.y=sin
π 5
-��
B.y=sin
��-
π 5
D.y=sin
5��-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
��-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)

2019A新高中数学必修第一册：1.5 函数y=Asin(wx+j)的图象(第2课时)

A=
2 3
,
则Asin(3
2
+
k
7
4
)
=
2 3
,
得A
=
2
2 3
.
练习(补充)
已知函数 y=sin(wx+j) (w>0, ≤j<) 的图象如
图所示,
则
j
=
9
10
.
y
解: 由图可得半周期
1
T 2
=
2 2w
=
2
3
4
解得
w
=
4 5
.
曲线过点 (2, 1), 则
4 5
2
+j
=
2k
+
2
,
解得
j
=
2k
11
10
得
w
=
6t0
;
振幅 A=20;
t=0 时的相位是初相, 即 S(0)=20sinj = 20, 取
得振子的振动函数解析式为
S
=
20sin(
6t0
t
2
),
j=
t 0.
2
.
2. 弹簧挂着的小球作上下运动, 它在 t 秒时相对于平衡位
置 (就是静止时的位置) 的高度 h 厘米由下列关系式确定:
h=
2sin( t
周期
T
=
2 w
=
2 100
=
510(s).
频率
f
=
1 T
=
50.
振幅 A = 5(A).
初相
j
=
3
.
4. 如图的电流 i (单位: A) 随时间 t (单位: s) 变化的函

§1.5函数y=Asin(wx+y)的图象(2)

汪清四中高一数学◆必修4◆导学案 2012年月日班级：姓名：编写：王伟红§1.5函数)sin(ϕω+=A y 的图象（2）导学目标1. 了解三种变换的有关概念；能进行三种变换综合应用。

3. 掌握h wx A y ++=)sin ϕ（的图象信息。

教材预习一、课前准备（预习教材P 54~ P 55，找出疑惑之处）复习1：如何由函数sin y x =的图象得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象？方法1： sin y x = sin()y x ϕ=+sin()y x ϕ=+ sin()y x ωϕ=+ sin()y x ωϕ=+ Asin()y x ωϕ=+ 方法2： sin y x = sin y x ω= sin y x ω= sin()y x ωϕ=+sin()y x ωϕ=+ Asin()y x ωϕ=+复习2：函数sin()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）的物理意义，A 就是这个简谐运动的它是做简谐运动物体离开的；这个简谐运动的是T= ,这是做简谐运动物体往返运动一次所需的时间；这个简谐运动的由公式f = = 给出，它是做简谐运动物体在单位时间内往返运动的次数；:ϕω+x 称为 .0x =时的相位ϕ称为。

二、新课导学 ※ 典型例题例1已知简谐运动的图象如图，试回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式。

例2由右图所示的函数图象，求sin()(||)y A x ωϕϕπ=+<的表达式。

※ 动手试试.21224, )2,0,0()sin(求此函数的解析式，有最小值为时，当；有最大值为时，当在同一周期内函数--==<>>++=y x y x A k x A y πππϕωϕω学习评价1、函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A S 表示一个振动量，其中振幅是21，频率是π23，初相是6π，则这个函数为。

1.5函数y=Asin(wx+φ)的图象课件人教新课标

2变y.=将，-s函i_n_x数_横的_y_图_坐像sin标(。 52__x_)图缩__短像_到_上原__来每_的_一_52_点__的_,可__纵得__到坐函标数不
３、函数 y = Asin(ωx +) (A>0,>0)的一
个周期内的图象如图，则有( C )
A. y = 3sin(x + π )
6
3
单位长度得到。
通过实验可以看到,当取其它的值也有类
似的情况.因此, y = sin( x +)(其中 0）
的图象,可以看作是把正弦曲线上的所有的点向
左（当 > 0时）或向右（当 < 0时）平行移动个
单位长度而得到。
二、探索 ω 对 y = Asin( x +), x R
的图象的影响。
视察 y = sin(2x + 之间的关系。
解：设
X = 2x + π 3
那么，3sin(2x + π) = 3sinX
3
且
x=
X- π 3
2
当
x
取
0，π2，π
，3π
2
，2π
时，可求得相对应的x、
y 的值，得到“五点”，再描点作图 .然后将简
图左右扩大。
（1）列表：
x
0
2
0 3 0 －3 0
y
3
y=3sin(2x+ 3 )
(2) 描点：
(- π ,0) ， ( π , 3)， ( π , 0) ， (7π ,-3)，(5π , 0)
π 3
)图象。
y
3
π
y=3Sin(-2x + )
3

人教A版高中数学必修四1.5函数y=Asin(wx+φ)的图像_第1时教学课件 (共18张PPT)

f(x)=sin
ω
x的最小正周期T
2 w
用函数图像研究
（1）函数 y A sin x 与 y sin x 的图像的联系
例1．观察函数 y 2 sin x 及 y 1 sinx 在0，2 大致图像
2
解： y
0
y 23sin x 2
2
2
sin x 0
1
0 y sin1x
0 3
2
2
x
2 sin x 0
4
)
解析：先向右平移个单位，再将图
4
1 像上各点的横坐标缩小为原来的 2 ，
最后将图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍。
练一练：
(2)先将 y sin x 图像向左平移，再将
8
图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，最后将图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍，所得到的函数解析式
y 3sin(1 x )
________2____8
三、课堂小结
y sin x y sin(x j)
y sin(wx j) y Asin(wx j)
课后作业
1、完成练习册对应题目； 2、完成课本57页习题1.5A组第一题。
w
练习一
1.口答:如何由函数y=sinx的图象得到下列函数的图象?
1 y sin 2x
2 y sin 1 x
3
探索j 对 y=sin(x+j ), x∈R的图象的影响.
y=sin(x+/3)的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左平行移动/3个单位而得到的.
结论：一般地,函数y=sin(x+j)，(j≠0)的图
数 y 3sin(2x ）的图像。（先平移后伸缩）

y=Asin(wx+&)

7 f 12
2 2 例 4、设函数 f ( x) (sin x cos x) 2cos x( 0) 的最小
2 正周期为 3 ．
（1）求的值．（2）若函数 y g ( x) 的图像是由 y f ( x) 的图像向右平移
( B )
纵坐标缩小到原来的倍
2 π 1 D.向左平移 6个单位，横坐标缩小到原来的 2 倍， 1
纵坐标缩小到原来的 2 倍
函数 y cos( x 3 ) 可由函数y sin x经过怎样的变换得到？

函数y 3 sin(2 x

3 通过其它方法得到？
Байду номын сангаас
), x R还能否由y sin x
o
-1 -

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
在函数
y sin x, x [0,2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点： (

,1) 最低点： ( 3 2 2
,1)
与x轴的交点：
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
y sin(x )
先把正弦函数 y sin x 图像上所有的点向左(当＞0 时) 或向右(当＜0 时)平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1 时)或伸长(当 0＜ω＜1 时)到原来的倍 (纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当 A＞1 时)或缩短 (当 0＜A＜1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)。
y=sinx
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平移 | | 个单位

人教版高一数学必修4函数y=Asin(wx+p)的图像(2)

§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)学习目标 1.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定其解析式(重点、难点).2.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．课前预习：预习教材P54完成下面问题：知识点1 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0中参数的物理意义【预习评价】函数y ＝32sin(3x －π4)的振幅为________，周期为________，频率为________．知识点2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的有关性质函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴方程是________．课堂互动：题型一由图象求三角函数的解析式【例1】如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．规律方法已知图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法方法一：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A 和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ．方法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.依据五点列表法原理，点的序号与所列式子的关系如下：“第一点”为ωx ＋φ＝0；“第二点”为ωx ＋φ＝π2；“第三点”为ωx ＋φ＝π；“第四点”为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π．方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数y ＝A sin ωx ，根据图象平移规律可以确定相关的参数．【训练1】若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4题型二三角函数图象的对称性【例2】 (1)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )(2)在函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．规律方法三角函数对称轴、对称中心的求法【训练2】函数f (x )＝2cos(2x －π3)的对称中心的坐标是________．【例3-1】将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4方向2 三角函数的单调性【例3-2】若f (x )＝3sin 2ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，则ω的最大值为________.方向3 三角函数的最大(小)值问题【例3-3】已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π12]有两解，求a 的取值范围．课堂反馈：课堂达标1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6 B ．6π，13，π6 C ．3π，3，－π6 D ．6π，3，π63．简谐运动y ＝12sin(π8x －2)的频率f ＝________．4．若f (x )＝cos(2x ＋π3＋φ)(|φ|<π2)是奇函数，则φ＝________．课堂小结1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |．(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．。

1.5函数y=Asin(wx+φ)的的图象

2 x 0
y sin(x )
0<A<1纵坐标压缩 A倍 A>1 纵坐标伸长A 倍
A
y Asin(x )
1 y sin(x )
第24页，共26页。
小结2:
进一步认识体会数形结合，由简单到复杂，由特殊到一般的数学思想。培养学生发现、探究、解决问题的能力。
第25页，共26页。
安全教育：
A. 向右平移
6
B. 向左平移
6
C. 向右平移
3
D. 向左平移
3
第22页，共26页。
3.要得到函数y 3sin(x )的图象,可由y 3sin(x )
5
5
的图象 C
A. 向右平移个单位长度
5
B. 向左平移个单位长度
5
C. 向右平移 2 个单位长度
5
D. 向左平移 2 个单位长度
y
sin(x
6
)的图像;
再把后者所有点的横坐标伸长为原来的3倍
(纵坐标不变),得到 y sin(1 x ) 的图像;再 36
把所得图像上的所有点的纵坐标伸长为原
来的2倍(横坐标不变)而得到函数
的图像 y 2sin(1 x ). 36
第17页，共26页。
步骤1 步骤2
步骤3
步骤4
y
1
o
5π
12
6
3 2
2
-1
0
x
1
函数
（1）横坐标缩短到原来的 y=Sinx 纵坐标不变
2
倍
y=Sin2x的图象
（2）向左平移 6
y=Sin(2x+ ) 的图象
3
结论：函数y=sin(ωx+φ) 的图象可以看作是把 y=sinωx