江苏省南通市2020届高三下学期二模考前数学综合练习一含附加题及答案解析
江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学试题含附加题(解析版)
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17．已知点 O 为坐标原点，椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2， 离心率为 ，点 I，J 分别是椭圆 C 的右顶点、上顶点，且△IOJ 的边 IJ 上的中线长为 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 H（﹣2，0）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若 AF1⊥BF1，求直线 AB 的方 程．
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一、填空题
参考答案
1．已知集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则 A∪B＝ （0，+∞） ． 解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}； ∴A∪B＝（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）．
2．设复数 z 满足（2﹣i）z＝1+i（i 为虚数单位），则复数 z＝
i．
解：由（2﹣i）z＝1+i，得：
21．已知矩阵 A 的逆矩阵 A﹣1＝
．求矩阵 A 的特征值和相应的特征向量．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 0 分） 22．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心极坐标为（2， ），且圆 C 经过极点，求圆 C 的极
南通市2020届高三下开学模拟考试数学试题含答案及附加题
1 开始S ←1 S ←S ⨯kk ←k ＋2 k ←1 江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数 学 试 题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B =U ▲ ． 2．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西2向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ． 6．各棱长都为2的正四棱锥的体积为 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ▲ ．9．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S = ▲ ．10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ ▲_ __.11．已知函数x m x f ln )(= 图像与函数x x g 2)(=图像在交点处切线方程相同，则m 的值为_________312．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+=u u ur u u u r ，则实数k 的取值范围是 ．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P 在直线320x +-=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB 2，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CA DB（第15题）4ABCB 1C 1A 1MN （第16题）16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．517．(本小题满分14分)已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ 3．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分)。
江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷含附加题
南通市通州区2020届高三年级第二学期数学试卷Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则A ∪B ＝ ▲ ．2．已知复数z 满足(z-2)i=1+i(i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．3. 根据如图所示的伪代码，可这输出的S= ▲ . 4．函数()f x ＝2ln x x -的单调减区间为 ▲ ．． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ▲ ．6．若函数2ln 2)(3+-=x x x f 的图像在1=x 处的切线l 与两坐标轴分别交于点A ，B ，则线段AB 的长为 ▲ .7．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1041,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若6b a k =，则=k ▲ .8．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则sin C ＝ ▲ ．9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ▲ ．10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域的边界为x 2＋y 2＝4，河岸线所在直线方程为x ＋y ﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为 ▲ ．11.在 ABC ∆中AD AE AC DC BD AC AB ,3,,0===⋅与BE 交于点F.若,3,4==则⋅的值为 ▲ .12．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3aba b+的最大值为 ▲ . 13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ▲ ．14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为 棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ． （1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45． （1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD . （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为223，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．O AABB xy19．（本小题满分16分）已知函数.)(,)(221xe xf c bx ax x f =++= （1）当0,1,21===c b a 时，设)()()(12x f x mf x f -=，且函数)(x f 在R 上单调递增.①求实数m 的取值范围；②设),()3()(22x f m x x h -=当实数m 取最小值时，求函数)(x h 的极小值. (2) 当1,1,0=>=c b a 时，证明：函数)()()(12x f x f x g --有两个零点.20．（本小题满分16分）20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=（1） 若,12-=n a n 求数列{}n b 的通项公式； （2） 若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n s ； （3） 若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列.Ⅱ试题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值． B ．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α. （1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X 表示各数位上数字是0的个数，求X 的分布列及数学期望.23．（本小题满分10分）如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，交抛物线的准线于点H，其中y1>0,y1y2=-4．过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.（1)求p的值；（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．参考答案及评分标准Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2，3，4}2. .3.5.，+∞) 5. 30．6. 22 7.94. 89．3：2 10211. 4912. 19 13．1714．(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明:（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ,所以PB //平面AEC ………………6分 （2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ,所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分 解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）（1）连接AB ，∵AB ＝10，∴正方形ABCD 的面积为100，又OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为正三角形，则3AOB π∠=，而圆的面积为100π，∴扇形AOB 的面积为1005063ππ=，又三角形AOB 的面积为1102⨯⨯=∴弓形面积为503π-则广场面积为100503π+-（平方米）；………………6分 （2）过O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H ， 设∠OAD ＝θ（0＜θ4π＜），则OH ＝10sinθ，AH ＝10cosθ，∴DH ＝|AD ﹣AH |＝|2OH ﹣AH |＝|20sinθ﹣10cosθ|， ∴OD==……………12分∴当θ8π=时，)101min OD =.∴4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值为)210120⨯+=（米）. ………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B =，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e =………………4分（2）由e =()40a k k =>，c =，则b ，于是11A B 的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k , 到11A B 的距离d =2423k kk +=， 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切．因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称，所以直线11A B 与圆C 相切．………………10分 （3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20, 关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n ==,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．………………16分19．（本小题满分16分） （1）①x x me x f x --=221)(,得,1)(--='x me x f x由题意知0)(≥'x f 在R 上恒成立，x ex m 1+≥∴ 在R 上恒成立。
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试(附答案)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题江苏省南通市 2020 届高三数学第二次调研测试一试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（共14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号等用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔填写在答题卡上。
3．作答试题一定用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其他位置作答一律无效。
若有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描绘清楚。
参照公式：柱体的体积公式V柱体Sh ，此中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1．已知会合 U1，0 ，1，2，3 ，A1，0 ，2，则 e U A▲ ．2．已知复数 z1a i ，z2z13 4 i ，此中i为虚数单位．若z为纯虚数，则实数a的值为▲ ．23．某班 40 名学生参加普法知识比赛，成绩都在区间40，100 上，其频次散布直方图如下图，则成绩不低于60 分的人数为▲．开始S←1频次i ←1组距i← i1S←S× 5i < 4YN40506070 8090100成绩 /分输出 S（第 3题）结束（第4题）4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲．5．在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C，以线段AC， BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2的概率为▲ ．6．在△ABC中，已知 AB1，AC 2 ，B45 ，则BC的长为▲ ．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题27． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2y有公共的渐近线，且经过点 x13P 2， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点A (1 ，2 ) ，B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为▲ ．9． 设等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列， 且 a 8 3 ，则a 5 的值为▲ ．10．已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( a b ) ，则 a b c 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ，11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3≥ 0 ， 表示的平面地区 x3y 3 ≥ 0内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数 f ( x)exx31 ，x 0 ，3 个不一样的零点，则实数2（此中 e 为自然对数的底数）有 3mx 2 ，x ≤ 0m 的取值范围是▲ ．13．在平面四边形 ABCD 中，已知 AB 1，BC4 ，CD 2 ，DA uuur uuur3，则 AC BD 的值为 ▲ ．14．已知 a 为常数，函数x的最小值为2f ( x)23 ，则 a 的全部值为▲ ．x 1 x 2a二、解答题： 本大题共 6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区 内作答． 解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量acos ，sin，， cos， 1 ，3．bsinc2 2 （1）若 a bc ，求 sin () 的值；（2）设5π， 0 π，且 a //b c，求的值．616．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱111中，AB，点 ， F 分别在棱 1，1上（均异于ABC ABCACEBBCC端点），且∠ ABE ∠ ACF ， AE ⊥ BB 1， AF ⊥ CC 1． AC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BBCC ；BF11E（2）BC //平面AEF．17．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，1， 2 是椭圆x2y21( a b 0 ) 的短轴端点，P是B Bb2a 2椭圆上异于点 B ， B 的一动点．当直线PB 的方程为y x 3时，线段 PB 的长为4 2．1211（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q知足：1122．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．QB PB， QB PByB1QO xPB2（第 17 题）18．（本小题满分16 分）2将一铁块高温消融后制成一张厚度忽视不计、面积为 100 dm 的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成 A， B，C三个矩形（ B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将 A 作为圆柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或 l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（ 2）设 l1的长为x dm，则当 x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？l1BAl 2C（第 18 题）19．（本小题满分16 分）设等比数列1， 2， 3， 4 的公比为，等差数列b 1，2，3， 4 的公差为，且q 1，d 0．a a a a qb b b d 记c i a i b i（i1，2， 3， 4）．（ 1）求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；（ 2）设a11，q 2．若数列，，是等比数列，求b2对于 d 的函数关系式及其定义域；c1 c2c3（ 3）数列 c1，c2，c3，c4可否为等比数列？并说明原因．20．（本小题满分16 分）设函数 f ( x )x asin x ( a0 )．（1）若函数y f ( x ) 是R上的单一增函数，务实数a 的取值范围；（2）设a 1 ，g ( x )2f ( x ) b ln x 1 ( b R ，b0 )，g ( x ) 是g( x ) 的导函数．① 若对随意的x0 ，g ( x )0 ，求证：存在x0，使 g( x0)0 ；②若 g ( x1 )g ( x2) ( x1x2)，求证：x1 x24b 2．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（附带题）注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第21~23 题）。
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2020届高三5月二模试题数学试题(解析版)
江苏省南通市2020届高三5月二模试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.记复数z ＝a +bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____． 【答案】3﹣4i 【解析】 【分析】计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-． 故答案为：3﹣4i ．【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 2.已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A∪B)＝________. 【答案】{5} 【解析】易得A∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A∪B)＝{5}．3.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为600120⨯=30． 故答案为：30．【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4.角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____．【答案】255【解析】 【分析】 计算sinα25y r ==，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】由题意可得x ＝1，y ＝2，r 5=sinα25y r ==，∴sin （π﹣α）＝sinα25= 25． 【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 5.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____． 【答案】28 【解析】 【分析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2 第二圈 是 7 4+2+8 第三圈 是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6.设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 【答案】④ 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误； 对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7.已知函数f(x)＝322{102x xx x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．8.已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣2=-4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a+＜0， 故解集为（a 4a+，4），由于a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣=-4， 当且仅当﹣a 4a=-，即a ＝﹣2时取等号， ∴a 4a +的最大值为﹣4，当且仅当a 4a+=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为﹣2；②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；③a ＞0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a+≥4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；综上所述，a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、20F ⎫⎪⎪⎝⎭，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．【解析】 【分析】 根据正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到1233PF PF ==，计算得到答案.【详解】∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2═5sin ∠PF 1F 2═5，∴由正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，①又∵1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214122-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②①②联解，得12PF PF ==12PF PF -=∴双曲线的2a =，结合2c =，得离心率22c e a ==.. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____． 【答案】14【解析】 【分析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=． 故答案为：14．【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2a ≤试题分析：由题意得函数()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤考点：函数单调性12.已知平面向量a r ，b r ，c r 满足|a r |＝1，|b r |＝2，a r ，b r 的夹角等于3π，且（a c -r r）•（b c -r r ）＝0，则|c r|的取值范围是_____．【答案】⎣⎦【解析】 【分析】计算得到|a b +r r |=2c =r |c r |cosα﹣1，解得cosα2=r ，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（a c -r r）•（b c -rr ）＝0 可得 2c =r （a b +rr）•c a b -⋅=r r |a b +rr|•|c r|cosα﹣1×2cos3π=|a b +r r |•|c r |cosα﹣1，α为a b +r r 与cr 的夹角．再由 ()222a ba b +=++r r r r 2a r •b =r 1+4+2×1×2cos 3π=7 可得|a b +r r |=∴2c =rc r |cosα﹣1，解得cosα2=r ．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cos α≤12≤r 1，即2c r c r |+1≤0，解得≤|c r |≤故答案为22⎣⎦，． 【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13.在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____． 【答案】3【分析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a ka k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0） 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+）， 因此AB 222222222221(0)(1)111a k a k k a k a k --=-+-=+++22221a k a k+， 同理可得：AC 211k =+•22221a kak+.∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC 2212k k=++44422422221221111a k a ka a k a a k k k +=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令t 1k k =+，得S ()4422422222(1)12a t a a a a t a tt==-++-+. ∵t 1k k =+≥2，∴S △ABC442222(1)(1)2a a a a a t t≤=--⨯.2t t =t 21a a-=时，△ABC 的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =-.解之得a ＝3或a 329716+=. ∵a 3297+=时，t 21a a -=＜2不符合题意，∴a ＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____． 【答案】2e【解析】 【分析】计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2te t=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2t e ），又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝t e tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ，设R （r ，0），则k 220t t e te t r-==-，∴r ＝t 1t -，即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t=，又S （1，f （1））即S （1，e t ），∴△PRS 的面积为S 2t et=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS 的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ． 【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）sin B =（2）13c = 【解析】 【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 a =13c =．【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以4cos 5A == ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sinA B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455=-=(2)因为sin sin a A b B ==，且5b = ，所以a =， 又()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+= ，则2222cos 952525169c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以13c= .16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．（1）求证：VA∥平面BDE；（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结OE，证明VA∥OE得到答案.（2）证明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到证明.【详解】（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（512+∞，）．（3）存在，34a=【解析】分析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到42955m-=，计算得到答案.（2）把直线ax ﹣y +5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0得到答案. （3）l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0，过点M （1，0），计算得到答案. 【详解】（1）设圆心为M （m ，0）（m ∈Z ）．由于圆与直线4x +3y ﹣29＝0相切，且半径为5， 所以42955m -=，即|4m ﹣29|＝25．因为m 为整数，故m ＝1．故所求圆的方程为（x ﹣1）2+y 2＝25．（2）把直线ax ﹣y +5＝0，即y ＝ax +5，代入圆的方程，消去y ， 整理得（a 2+1）x 2+2（5a ﹣1）x +1＝0，由于直线ax ﹣y +5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0，即12a 2﹣5a ＞0，由于a ＞0，解得a 512＞，所以实数a 的取值范围是（512+∞，）． （3）设符合条件的实数a 存在，则直线l 的斜率为1a-， l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0， 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M （1，0）必在l 上， 所以1+0+2﹣4a ＝0，解得34a =．由于35412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故存在实数34a = 使得过点P （﹣2，4）的直线l 垂直平分弦AB .【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝60°． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问点P 在何处时，α+β最小？【答案】（1）103m ；（2）当BP 为202103t =时，α+β取得最小值． 【解析】 【分析】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，根据()2tan CAD tan CAE ∠=∠得到2200x --=，解得答案.（2）设BP ＝t，则(0CP t t =＜＜，故()10ttan αβ+=，设()f t =，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，则()22202210011tan CAEx tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠-2200x--=，解之得，x =x =（舍）， （2）设BP＝t，则(0CP t t =＜＜， ()101t tan t αβ+===-设()f t =，()2'200f t t =-+-令f '（t ）＝0，因为0t ＜＜t =，当(0t ∈，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数；当(t ∈时，f '（t ）＞0，f （t）是增函数，所以，当t =f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值， 因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，， 因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以当202103t =α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n，且()243n nS p T--=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{a n }为等比数列；（3）证明：“数列a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”． 【答案】（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】（1）取n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到2112n n a a ++=，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】（1）n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，若p ＝0时，243n n S T -=，当n ＝2时，()22224113a a-++=，解得a 2＝0或212a =-， 而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2； （2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④，④﹣③得2112n n a a ++=（n ∈N *）， 又因为2112a a =，所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=； （3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x yn n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1，故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证．【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 20.已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x R ∈，且123x x x <<． （1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x +与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1,1)33-+（2）详见解析（3）231222x x x x αβ++<<<【解析】 【详解】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间(133-+；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，所以231222x x x x αβ++<<<试题解析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x减区间(1)33-+； （2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x =--+---'-+，22321()()()0f x x x x x -'=-<，()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减， 所以231222x x x x αβ++<<<． 考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-2：矩阵与变换]21.试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【答案】y ＝2sin 2x ． 【解析】【分析】计算MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算得到函数表达式. 【详解】∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ． 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.[选修4-4：极坐标与参数方程]22.已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【答案】（1120y -+=．x 2+y 2＝100．（2）16 【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为. 【详解】（1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin cos 622ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即162y x =，120y -+=.10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩，故22100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为16=. 【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为63，求PF 的长度． 【答案】（1）3015．（22． 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =u u u r （﹣1，0，2），CP =u u u r（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =r（1，﹣1，222λλ-），平面ADF 的法向量m =r（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1），BE =u u u r（﹣1，0，2），CP =u u u r （﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ2301556BE CP BE CP⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，∴异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为23015． （2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ），AP =u u u r（0，2λ，2﹣2λ），AC =u u u r （2，2，0）， 设平面APC 的法向量n =r（x ，y ，z ），则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩u u uv r u u u v r，取x ＝1，得n =r（1，﹣1，222λλ-）， 平面ADP 的法向量m =r（1，0，0），∵二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为6， ∴|cos m n r r ＜，＞|2261()322()22m nm nλλ⋅===-⋅+-r r r r ， 解得12λ=，∴P （0，1，1）， ∴PF 的长度|PF |222(00)(10)(12)2=-+-+-=．【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）41a +，ξ的分布列为（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12(1－a)2； P(ξ＝1)＝11C ·122C (1－a)2＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭12C a(1－a)＝12(1－a 2)； P(ξ＝2)＝11C ·1212C a(1－a)＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭22C a 2＝12(2a －a 2)；P(ξ＝3)＝11C ·1222C a 2＝22a . 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×22a＝412a +.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122a-； P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝2122a-.由2(1)0,12{0,21202a a a a-≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
2020届江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案(加精)
南通市高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．/分（第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE（第16题）（第18题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（第17题）0（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）ABDOC（第21—A 题）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲． 【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲． 【答案】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．/分（第3题）【答案】979．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BE = CF ．…… 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE （第16题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为10PB x ==，所以2269a a=+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， 由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， （第17题）0（第18题）因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， (4)分解得r =6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤， (9)分 方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x =所以当x =a =max V=3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而a 11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a ==≤≤．所以当a =x =max V=3．…… 14分答：（1dm ；（2）当x 为 16分 【评分说明】①直接“由()21002xx x ⋅+=得，x=2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()p x V =≤5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-．……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．ABDC（第21—A 题）EO则点P的直角坐标为()1．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=．……5分所以()1P 到直线l40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2． 证明：因为a ，b ，c 为正实数，=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn k n knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。
【数学】2020南通二模参考答案与评分建议
2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。
2020南通市二模数学试题及答案
5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例
分别为30%、50%、10%和10%,则全班学生的平均分为▲分.
6.设M a a(2, 0)m(0,1),m R和
N b b (1, 1) n(1, 1), n R都是元素为向量的集
江苏省南通市
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.曲线y x32x在点(1,—1)处的切线方程是▲.
2.若1~5i- a bi (a,bR, i为虚数单位)，则ab= ▲ .
3i
3.命题“若实数a满足a&2,则a24”的否命题是▲命题(填“真”、"假”
之一).
4.把一个体积为27cm3的正方体木块表面.涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现
合，贝U MHN=▲.
7.在如图所示的算法流程图中，若输入m= 4 ,n= 3 ,则输出的
a=▲.
8.设等差数列an的公差为正数，若
a1a2a315,a1a2a380,
9.设，是空间两个不同的平面，m n是平面 及 外的两条不同直线.从“①m
，n；②!；③n，；④mil”中选取三个作为条件，余下一个作为结论,
写出你认为正确的一个命题：▲(用代号表示).
10一.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)= f (x+2),当x3, 5时，f(x)=2-x-4.下
列四个
1
2
12.1, 3
2
二、解答题：本大题共6小题「，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或 演算步骤.
15 .(本小题满分14分)
14分
【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH//平面EBOE得.
江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学试题含附加题及参考答案
（第5题） 江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数 学 试 题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B =U ▲ ．2．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ． 6．各棱长都为2的正四棱锥的体积为 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ▲ ．9．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S = ▲ ．10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ ▲_ __.11．已知函数x m x f ln )(= 图像与函数x x g 2)(=图像在交点处切线方程相同，则m 的值为_________12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+=u u ur u u u r ，则实数k 的取值范围是 ．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x -=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）ABCB 1C 1A 1MN （第16题）16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分)已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分)某校有一块圆心O, 为半径为200 米, 圆心角为32π的扇形绿地OPQ , 半径OP ,OQ 的中点分别为N M ,,A 为弧PQ 上的一点, 设α=∠AOQ , 如图所示,拟准备两套方案对该绿地再利用..(1) 方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池, 其面积记为1S , 试将1S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时, 1S 取得最大？(2) 方案二：将弧AQ 和线段NQ AN ,围成区域建成活动场地, 其面积记为2S , 试将2S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时,2S 取得最大？19．(本小题满分16分)已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）如果对任意正整数n ，不等式22n n n a a a ++->都成立，求证：实数c 的最大值为1．20．(本小题满分16分)已知函数()xax bf x e -=（其中,a b R ∈）． （1）当1a =时，若函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，求b 的取值范围；（2）当1b =，0a ≠时，①求函数()y f x =的极值；②设函数()y f x 图象上任意一点处的切线为l ，求l 在x 轴上的截距的取值范围．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试附加题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵111 3341 33-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ．求矩阵A 的特征值和相应的特征向量．B ．[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程．C ．[选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，33311127abc a b c+++的最小值为m ．22．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有X 种，求随机变量X 的分布列与期望．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()n n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对*m ∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. {}|0x x > 2． 13+i 55 3. 512 4. 150 5.7 6. 37. 12 8. 441(,)e e9. 88 10．x 25＋y 24＝111. e12. k k ≤≥14.AB CB 1C 1A 1 MN二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A =I ，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ． （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17. （1）由题意得IOJ △，所以IJ 设椭圆C 的半焦距为c，则2222c aa b c ===⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ． 联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k x k x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()* 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+． 因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=u u u u r u u u r，则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=， 整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k kk k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭． 化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 18. （1）由已知，AOQ α∠=,]3π2,0(∈α，1ONA OMA S S S =+△△； 故1112100200sin 100200sin()223S π=⨯⨯⨯α+⨯⨯⨯-α， ……3分整理得1)6S π=+α（平方米）， ……5分∴当3π=α时，1max ()S =（平方米）. ……7分 （2）由已知，2ONA AOQ S S S ∆=-扇形，∴211200200100200sin 22S =⨯⨯⨯α-⨯⨯⨯α，即2100002sin S =α-α（）； (10)分∴2()100002cos S 'α=-α（），故2()0S 'α>； ……11分∴2()S α在2π(0]3,上为增函数， ……12分∴当32π=α时，2max 4()100003S π=-（（平方米）. ……14分答：（1）当3π=α时，1max ()S =（平方米）； （2）2S 关于α的函数表达式2100002sin S =α-α（），2π(0]3,α∈当32π=α时，2max 4()100003S π=（（平方米）. ……16分19．解：⑴当1n =时，21112S a a =+，解得11a =，或10a =（舍）. ………………2分 由22n n n S a a =+得，21112n n n S a a +++=+，2211122()()n n n n n n S S a a a a +++-=+-+， 即221112()()n n n n n a a a a a +++=-+-，也就是2211()()0n n n n a a a a ++--+=，11()(1)0n n n n a a a a +++--=， ……………4分 由于数列{}n a 各项均为正数，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. ……………………………………6分 ⑵对任意正整数n ，1==>=，所以c 的最大值为max 1c ≥. …………………10分另一方面，任取实数1a >时.==-==. ……………………12分 ①当2a ≥时，对任意的正整数n< ……………14分②当12a <<时，只要(20a -<，即22(2)(2)a n a n -+<，也就是2(2)2(1)a n a ->-所以满足条件的1c ≤，从而max 1c ≤. 因此c 的最大值为 1. ………………16分20．（1）1a =时， ()x x b f x e -=的导函数1'()xx bf x e -++=，∴由题意知对任意()0,x ∈+∞有1'()0xx bf x e -++=≤，即10x b -++≤ ∴()min 1b x ≤-，即1b ≤-.（2）1b =时， 1()x ax f x e -=的导函数1'()xax af x e -++=，①(i)当0a >时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞>；'1(,),()0a x f x a +∈+∞<， ∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递增，1(,)a x a+∈+∞单调递减， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值．(ii)当0a <时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞<；'1(,),()0a x f x a+∈+∞>，∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递减，1(,)a x a+∈+∞单调递增， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．综上可知: 当0a >时，函数()y f x =在1a x a +=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值；当0a <时，函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．②设切点为1(,)t at T t e -，则曲线在点T 处的切线l 方程为11()t tat at ay x t e e --++-=-， 当1a t a+=时，切线l 的方程为11a a t at y a e e +--==⋅，其在x 轴上的截距不存在． 当1a t a+≠时， ∴令0y =，得切线l 在x 轴上的截距为1(1)111111111111211at at a a a x t t t t at a at a at a t a t a a t a---+=+=+=++=++--------=--+++--∴当110t a -->时，11111122411x t a a a a t a =--+++≥+=+--，当110t a --<时，1111112211x t a a a a t a =--+++≤-+=--，∴当切线l 在x 轴上的截距范围是11,4,a a⎛⎤⎡⎫-∞++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学附加题参考答案与评分标准21A 解：由111334133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，得1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， …………………………5分由特征多项式1141λλ----＝2(1)40λ--=，得1231 λλ==-，， 所以特征值13λ=对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α1，特征值21λ=-对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α2． ………………………10分21B ．解：方法一设圆C 上任意一点的极坐标(,)P ρθ，过OC 的直径的另一端点为B ，连接,PO PB ． 则在直角三角形OPB 中，,24OPB POB ππθ∠=∠=-．所以4cos()4πρθ=-，即为圆C 的极坐标方程．……………………………………10分方法二(2,)4C π的直角坐标为)，半径2r =，所以圆C的直角坐标方程为22((4x y +=，…………………………5分即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． ……………………………………………………………10分21C 解关于x 的不等式12x x m +-<．因为a ，b ，0c >， 所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18=≥，当且仅当a b c ====”，所以18m =．…………………………………………………………………………6分 所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-， 所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 22．（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A ，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即120种不同的放法，事件A 共有24220C ⨯=种放法，201()1206P A ∴== 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16…………………… 4分 （2）随机变量X 的可能值为0,1,2,3,515(2333)4411(0)12012030C P X+++====15(333)453(1)1201208C P X++====252201(2)1201206C P X⨯====35101(3)12012012C P X====1(5)P X==()012351308612120E x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………… 10分 23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111nn kkk k nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，，………………………………2分又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，. ………………………………………………4分（2）0()(1)n k k n k m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k nn n k m m C C m k m k ----==+-++-++∑ 1111111(1)(1)n nkk k k n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑ 111(1,)(1)nk k n k mP n m C m k--==-+-+∑0(1,)(1)n k knk m m P n m C n m k==-+-+∑(1,)(,)mP n m P n m n=-+即()(1)nP n m P n m m n=-+，，，………………………………………………………8分由累乘，易求得!!1()(0)()!n n mn m P n m P m n m C +==+，，，又()nn m Q n m C +=，，所以()()1P nm Q n m ⋅=，，．…………………………………10分。
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷
2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z abi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = ．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð ． 3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是 ．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： ．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ．7．（5分）已知函数32,2()(1),02x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为13(F 、23(F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为 ．10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -= ．11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r rg ，则||c r 的取值范围是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ．14．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<．（1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = 34i - ． 【解答】解：2z i =+Q ，22(2)34z i i ∴=+=+，则234z i =-．故答案为：34i -．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð {5} ． 【解答】解：Q 集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1A B ∴=U ，3，9} (){5}U A B ∴=U ð，故答案为{5}．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 30 ． 【解答】解：分层抽样的抽取比例为：801160020=， ∴抽取学生的人数为16003020⨯=． 故答案为30．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是．【解答】解：由题意可得1x =，2y =，r =sin y r α∴==，sin()sin παα∴-==．．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： 28 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的取值如下所示： 是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 42+ 第二圈 是 7 428++ 第三圈 是 10 42814+++ 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ④ ．【解答】解：对于①，当//m n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出//m α，①错误；对于②，当m α⊂，n α⊂，且//m β，//n β时，由两平面平行的判定定理，不能得出//αβ，②错误；对于③，当//αβ，且m α⊂，n β⊂时，由两平面平行的性质定理，不能得出//m n ，③错误；对于④，当αβ⊥，且m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n β⊥，④正确；综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．7．（5分）已知函数32,2()(1),02xf x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 1(0,)2．【解答】解：如图所示： ①当2x …时，由函数2()f x x =单调递减可得：20()1f x x<=„； ②当02x <<时，由函数3()(1)f x x =-单调递增可得：1()1f x -<<． 由图象可知：由021k <<可得102k <<， 故当102k <<时，函数y kx =与()y f x =的图象有且只有两个交点， ∴满足关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根的实数k 的取值范围是1(0,)2． 故答案为1(0,)2．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 2- ．【解答】解：已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->， ①0a <时，4[()](4)0x a x a-+-<，其中40a a +<，故解集为4(a a+，4)， 由于444()2()()4a a a a a a+=-------„，当且仅当4a a -=-，即2a =-时取等号，4a a ∴+的最大值为4-，当且仅当44a a+=-时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为2-；②0a =时，4(4)0x -->，解集为(,4)-∞，整数解有无穷多，故0a =不符合条件； ③0a >时，4[()](4)0x a x a -+->，其中44a a+…，∴故解集为(-∞，44)(a a+⋃，)+∞，整数解有无穷多，故0a >不符合条件； 综上所述，2a =-． 故答案为：2-．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1(F、2F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q △12PF F中，12sin PF F ∠，12sin PF F ∠， ∴由正弦定理得121212sin 2sin PF PF F PF PF F ∠==∠，⋯① 又Q 121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-， 1221121232tan tan()14122F PF PF F PF F -∴∠=-∠+∠=-=+⨯，可得124cos 5F PF ∠=，△12PF F 中用余弦定理，得222121212122cos 3PF PF PF PF F PF F F +-∠==g ，⋯② ①②联解，得12PF PF =，可得12PF PF -= ∴双曲线的2a =，结合2c =22c e a ==10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -=14．【解答】解：根据所给的已知等式得到： 各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， 16A ∴=，151212A B +++=， 解得112B =-， 所以1116124A B -=+=． 故答案为：14． 11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]． ．【解答】解：由题意知()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增． （1）当2a „时，若[2x ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2a x =， 此时22a<，所以()f x 在[2，)+∞上是递增的； （2）当2a >时，①若[x a ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2ax =，所以()f x 在[a ，)+∞上是递增的；②若[2x ∈，)a ，则2()()f x x a x x ax =-=-+，其对称轴为2a x =，所以()f x 在[2a，)a 上是递减的，因此()f x 在[2，)a 上必有递减区间． 综上可知2a „． 故答案为(-∞，2]．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的取值范围是．【解答】解：由()()0a c b c --=r r r r g 可得2()||||cos 12cos ||||cos 13c a b c a b a b c a b c παα=+-=+-⨯=+-r r r r r r r r rr r g g g g ，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由222()214212cos 73a b a b a b π+=++=++⨯⨯=r r rr r r g可得||a b +=r r∴2|cos 1c c α=-r r，解得2cos αr ．0απQ 剟，1cos 1α∴-剟，∴21r，即2|||10c c +r r„．||c r，故答案为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 3 ．【解答】解：设直线AB 的方程为1y kx =+则直线AC 的方程可设为11y x k=-+，(0)k ≠由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(1)20a k x a kx ++=，所以0x =或22221a k x a k -=+ A Q 的坐标(0,1)，B ∴的坐标为2222(1a k a k -+，22221)1a k k a k -++g ，即2222(1a k B a k -+，22221)1a k a k -+因此，222|2|1a k AB a k ==+g ， 同理可得：2222||1a k AC a k=+gRt ABC ∴∆的面积为444224222212||121121()1()a k akS AB AC a a k a a k k k +===++++++g g 令1||t k k=+，得4422422222(1)1(2)a t a S a a a t a t t==-++-+ 1||2t k k =+Q …，442(1)ABC a S a a ∆∴=-„当且仅当2a t t=，即21a t a -=时，ABC ∆的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =- 解之得3a =或3297a +=3297a +=Q 时，212a t a-=<不符合题意， 3a ∴=故答案为：314．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是2e． 【解答】解：//PQ y Q 轴，(,0)P t ，(Q t ∴，())f t 即2(,)t t e ，又()(0)tx f x e t =>的导数()tx f x xe '=，∴过Q 的切线斜率2t k te =，设(,0)R r ，则220t t e k te t r-==-，1r t t∴=-，即1(R t t -，0)，11()PR t t t t=--=，又(1S ，f （1）)即(1,)t S e ，PRS ∴∆的面积为2te S t=，导数2(1)2t e t S t -'=，由0S '=得1t =，当1t >时，0S '>，当01t <<时，0S '<，1t ∴=为极小值点，也为最小值点，PRS ∴∆的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．【解答】解：（1）角C 为钝角，由3sin 5A =，则24cos 15A sin A =-． 那么：3tan 4A =1tan()3A B -=Q ，即tan tan 11tan tan 3A B A B -=+，可得：1tan 3B =即sin 1cos 3B B =，22sin cos 1B B +=， 解得：10sin B =． （2）由（1）可知：10sin B 则2310cos 1B sin B =-那么：1310sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 可得：13c =．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【解答】证明：（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点， 又因为E 是棱VC 的中点，所以//VA OE ， 又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊂/平面BDE ， 所以//VA 平面BDE ； （2）因为VO ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以VO BD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 又VO AC O =I ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ． 又因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为(M m ，0)()m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5， 所以|429|55m -=， 即|429|25m -=．因为m 为整数，故1m =． 故所求圆的方程为22(1)25x y -+=．⋯（4分） （Ⅱ）把直线50ax y -+=，即5y ax =+， 代入圆的方程，消去y ，整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=， 由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点， 故△224(51)4(1)0a a =--+>， 即21250a a ->， 由于0a >，解得512a >， 所以实数a 的取值范围是5(,)12+∞．（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =． 由于35(,)412∈+∞，故存在实数34a =使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．⋯（14分）18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？【解答】解：（1）作AE CD ⊥，垂足为E ，则10CE =，10DE =，设BC x =， 则22202tan tan tan(2)31001tan 1CAEx CAD CAE CAE x ∠∠=∠===-∠-， 232010030x x --，解之得，103x =或3x =（舍)，答：BC 的长度为103m ； （2）设BP t =，则3(0103)CP t t =<<，2210031010(103)103tan()1032001032001103t t t tt t t t t tαβ+++-+===-+--+---g，设2103()103200t f t t t +=-+-222203500()(103200)t t f t t t +-'=-+-令()0f t '=，因为0103t <<202103t = 当(0,202103)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数； 当(2023,103)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当202103t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为21032000t t -+-<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ+<，(,)2παβπ+∈，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．答：当BP 为t =时，αβ+取得最小值．19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．【解答】（1）解：1n =时，由24(1)13p --=得0p =或2，若0p =时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以0p =不符合题意，故2p =； （2）证明：当2p =时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②-①并化简得1134n n n a S S ++=--③，则22134n n n a S S +++=--④， ④-③得*211()2n n a a n N ++=∈，又因为2112a a =，所以数列{}n a 是等比数列，且112n n a -=；（3）证明：充分性：若1x =，2y =，由112n n a -=知na ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即na ，12x n a +，22yn a +成等差数列； 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+=+g g g ，化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k …时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<． （1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．【解答】解：（1）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--，令2()3620f x x x '=-+<解得，x <<故函数()f x 的减区间为； （2）证明：123()()()()f x x x x x x x =---Q ，231312()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x ∴'=--+--+--，又123x x x <<Q ，11213()()()0f x x x x x ∴'=-->， 22123()()()0f x x x x x '=--<， 33231()()()0f x x x x x '=-->，故函数()f x '在1(x ，2)x ，2(x ，3)x 上分别有一个零点， 故方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）Q 方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，()()0f f αβ∴'='=，而12121212121212231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2121()04x x =--<，23232323232323231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2321()04x x =--<，再结合二次函数的图象可知，231222x x x x αβ++<<<． 本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【解答】解：1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4⋯分 ∴在矩阵MN 变换下，122x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，6⋯分∴曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．10⋯分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【解答】解：（1）由sin()63πρθ-=，得1(sin )62ρθθ=，12y ∴=120y -+=．圆的方程为22100x y +=．（2）圆心(0,0)到直线3120x y -+=的距离26(3)1d ==+，10y =，∴弦长21003616l =-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【解答】解：（1）90BAF =︒Q ，AF AB ∴⊥，又Q 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF ∴⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，2AD =Q ，22AB AF EF ===，P 是DF 的中点，(2B ∴，0，0)，(1E ，0，2)，(2C ，2，0)，(0P ，1，1)，(1BE =-u u u r ，0，2)，(2CP =-u u u r，1-，1)，设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ， 则||230cos ||||56BE CP BE CP θ===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g ，∴异面直线BE 与CP 230（2）(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0F ，0，2)，(0D ，2，0)， 设(P a ，b ，)c ，FP FD λ=u u u r u u u r，01λ剟，即(a ，b ，2)(0c λ-=，2，2)-， 解得0a =，2b λ=，22c λ=-，(0P ∴，2λ，22)λ-，(0AP =u u u r ，2λ，22)λ-，(2AC =u u u r ，2，0)，设平面APC 的法向量(n x =r ，y ，)z ，则2(22)0220n AP y z n AC x y λλ⎧=+-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1-，2)22λλ-，平面ADF 的法向量(1m =r ，0，0)，Q 二面角D AP C --的正弦值为6， 22||6|cos ,|1()||||322()22m n m n m n λλ∴<>===-+-r r g r r r r g ， 解得14λ=，(0P ∴，12，3)2， PF ∴的长度222132||(00)(0)(2)22PF =-+-+-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()P ξ是“ξ个人命中，3ξ-个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，002212113.(0)(1)(1)(1)22P C C a a ξ==--=-，1020121212111(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==-+--=-g ，1102221212111(2)(1)(1)(2)222P C C a a C C a a a ξ==-+-=-g ，2122121(3)22a P C C a ξ===g ． 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为222111410(1)1(1)2(2)322222a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P P a a a a ξξ=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP P a a a ξξ-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22a P P a a ξξ-=-==--=．由2(1)012021202a a a a⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩………和01a <<，得102a <„，即a 的取值范围是1(0,]2．（10分）。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题一、填空题1．设集合{}1,3A =，{}2230B x x x =--<，则A B =I ____________.【答案】{}1【解析】先解不等式2230x x --<,再求交集的定义求解即可. 【详解】由题,因为2230x x --<,解得13x -<<,即{}|13B x x =-<<, 则{}1A B =I , 故答案为:{}1 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.2．已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =________． 【答案】2i - 【解析】【详解】 解：i 12i z ⋅=+Q()212122i ii z i i i++∴===- 故答案为：2i - 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 3．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可. 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤． 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则 一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 【考点】古典概型概率5．“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要【解析】由余弦的二倍角公式可得()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,即sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,即可判断命题的关系.【详解】 由()()22cos2cossin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,所以sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,所以“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要 【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 6．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．【答案】-2 【解析】试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式 7．若幂函数()a f x x =的图象经过点)122，，则其单调递减区间为_______．【答案】(0,)+∞【解析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递减区间． 【详解】解：幂函数()a f x x =的图象经过点1(2,)2，则1(2)2a=， 解得2a =-；所以2()f x x -=，其中()(),00,x ∈-∞+∞U ；所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞． 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题． 8．若函数()sin 3f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 【答案】1【解析】利用辅助角公式化简可得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由题可分析||αβ-的最小值等于2π表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π,进而求解即可. 【详解】由题,()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因为()0fα=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π, 所以142T π=,即2T π=,所以2212T ππωπ===,故答案为:1 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.9．已知函数()2241020ax x x f x x bx c x ⎧--≥=⎨++<⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB ＝BC ，则实数t 的值为_________． 【答案】52-【解析】由()f x 是偶函数可得0x >时恒有()()f x f x -=，根据该恒等式即可求得a ，b ，c 的值，从而得到()f x ，令()t f x =，可解得A ，B ，C 三点的横坐标，根据AB BC =可列关于t 的方程，解出即可． 【详解】解：因为()f x 是偶函数，所以0x >时恒有()()f x f x -=，即22241x bx c ax x -+=--， 所以2(2)(4)10a x b x c -+---=，所以204010a b c -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得2a =，4b =，1c =-；所以22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧--=⎨+-<⎩…； 由2241t x x =+-，即22410x x t +--=，解得1x =-；故1A x =--1B x =- 由2241t x x =--，即22410x x t ---=，解得1x =．故1C x =1D x =． 因为AB BC =，所以B A C B x x x x -=-252t =-， 故答案为：52-． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．10．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______． 【答案】1【解析】可看出2aa e ≠，这样根据A B ≠∅I即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1． 【详解】解：A B ≠∅Q I ， 2a ∴=或2aa e =，在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与2xy e =的图象，由图可知y x =与2xy e =无交点， 2aa e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1． 故答案为：1． 【点睛】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2xx e =无解，属于基础题．11．已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是【答案】3log 2【解析】通过设出A 点坐标，可得C 点坐标，通过BC ∥x 轴，可得B 点坐标，于是再利用OA OB k k =可得答案. 【详解】根据题意，可设点(),3aA a ，则(),9aC a ,由于BC ∥x 轴，故9a CB yy ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OAOB kk =，即392a aa a=，解得3log 2a =.12．设点P 在函数()1e 2xf x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为_________)1ln 2-【解析】由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于y x =对称,则点P 到y x =的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值. 【详解】 由题,因为()1e 2xf x =与()()ln 2g x x =互为反函数,则图象关于y x =对称, 设点P 为(),x y ,则到直线y x =的距离为d =, 设()12xh x e x =-, 则()112xh x e '=-,令()0g x ¢=,即ln 2x =, 所以当(),ln 2x ∈-∞时,()0h x '<,即()h x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时,()0h x '>,即()h x 单调递增,所以()()min ln 21ln 2h x h ==-,则min d =, 所以PQ的最小值为)min 21ln 2d =-,故答案为)1ln 2- 【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.13．设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．其中，正确命题的序号是_______． 【答案】①②③【解析】根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【详解】解：当4a =时()()[)()()[)20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数∴可画出()f x 的图象，如下所示：可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确； 若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个， 即[]01m ∀∈，，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立又Q 当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，上恒成立a x ∴≤在[)2x ∈+∞，上恒成立 2a ∴≤由于偶函数()f x 的图象，如下所示：直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确； 对()1m ∀∈+∞，，偶函数()f x 的图象，如下所示：()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.14．已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,()()222111111111k x x kx k f x x x x x x x-++-==+=+++++++,令113t x x =++≥, 则()113k y t t-=+≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,当10k -<,即1k <时,该函数在[)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()3213k f x +<≤, 所以223k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件；当1k <时,()()122423k f x f x +≤+<,且()3213k f x +≤<, 所以2413k +≥,解得112k -≤<, 综上,142k -≤≤,故答案为:1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.二、解答题15．已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}222550B x x k x k =+++<，k ∈R .（1）求集合B ；（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）[)(]3,23,4-⋃ 【解析】（1）由不等式22(25)50x k x k +++<可得(25)()0x x k ++<,讨论k -与52-的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式220x x -->,由集合M 中有且仅有一个整数,当52k -<-时,则M 中仅有的整数为3-；当52k ->-时,则M 中仅有的整数为2-,进而求解即可. 【详解】解:（1）因为22(25)50x k x k +++<,所以(25)()0x x k ++<,当52k -<-,即52k >时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当52k -=-,即52k =时,B =∅； 当52k ->-,即52k <时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-⋃+∞, 当52k -<-,即52k >时,M 中仅有的整数为3-,所以43k -≤-<-,即(]3,4k ∈； 当52k ->-,即52k <时,M 中仅有的整数为2-, 所以23k -<-≤,即[)3,2k ∈-； 综上,满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-⋃ 【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.16．已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求sin α的值； （2）求tan +2βα⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】（1）13（2 【解析】（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和()cos αβ+,再由()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得tan α和tan β,利用余弦的二倍角公式求得tan 2β,再由正切的和角公式求解即可. 【详解】 解:（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭,所以sin β 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,所以cos()9αβ+===-, 所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+71193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得,1sin3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos3α===,所以sintancosααα==,因为22222222cos sin1tan222cos cos sin22cos sin1tan222βββββββββ--=-==++且1cos3β=-,即221tan1231tan2ββ-=-+,解得2tan22β=,因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan02β>,所以tan2β=所以tan tan24tan1221tan tan122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.17．设数列{}n a，{}n b的各项都是正数，n S为数列{}n a的前n项和，且对任意n*∈N，都有22n n na S a=-，1b e=，21n nb b+=，lnn n nc a b=⋅（e是自然对数的底数）.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）n a n=，12nnb e-=（2）(1)21nnT n=-⋅+【解析】（1）当2n≥时,21112n n na S a---=-,与22n n na S a=-作差可得11(2)n na a n--=≥,即可得到数列{}n a是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n nb b+=取自然对数,则1ln2lnn nb b+=,即{}lnnb是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；（2）由（1）可得1ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:（1）因为0n a >,22n n n a S a =-,①当1n =时,21112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有21112n n n a S a ---=-,②由①-②得,()()2211112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,又因为21n nb b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以1ln 2ln n nb b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以1ln 2n n b -=,即12n n b e -=（2）由（1）知,1ln 2n n n n c a b n -==⋅,所以1221112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,③123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,④③减去④得:2112222n nn T n --=++++-⨯L()()121221212121n n n n n n n n -=-⨯=--⨯=---,所以(1)21nn T n =-⋅+【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.18．已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围； （2）求l 的最小值及此时sin θ的值；（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值. 【答案】（1）23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3sin θ=，l 93.（3）6πθ=时，面积S 取最小值为83【解析】（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,利用三角函数定义分别表示,,,NB MB ME AM ,且6AM MB +=,即可得到l 关于θ的解析式；12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,即可得到θ的范围； （2）由（1）,若求l 的最小值即求2sin cos θθ的最大值,即可求24sin cos θθ的最大值,设为224()sin cos f θθθ=,令2cos x θ=,则22()(1)f x x θ=-,即可设2()(1)g x x x =-,利用导函数判断函数的单调性,即可求得()g x 的最大值,进而求解；（3）由题,23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭,则2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()3(1)t h t t =-,利用导函数求得()h t 的最大值,即可求得S 的最小值.【详解】解:（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====. 因为6AM MB +=,所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，, 所以263sin (cos 21)sin cos l θθθθ==+,又12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,所以124ππθ≤≤, 所以23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）记()2sin cos ,124fππθθθθ=≤≤,则224()sin cos f θθθ=,设2cos x θ=,12,24x ⎡+∈⎢⎣⎦,则22()(1)f x x θ=-, 记2()(1)g x x x =-,则2()23g x x x ='-,令()0g x '=,则212,324x ⎡=∈⎢⎣⎦, 当12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x ¢>；当22,34x ⎡+∈⎢⎣⎦时,()0g x ¢<, 所以()g x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在23⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当22cos3x θ==时l 取最小值,此时sin θ=,l.（3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭, 所以2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,则12t ≤≤, 设3()(1)h t t t =-,则23()34h t t t '=-,令()0h t '=,312,424t ⎡+=∈⎢⎣⎦,所以当13,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0h t '>；当32,44t ⎡∈⎢⎣⎦时,()0h t '<,所以()h t 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在34⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当23cos 4t θ==,即6πθ=时,面积S 取最小值为【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.19．已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若a ，b R ∈且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；（2）若函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）514c -≤≤-（3）1m ≤【解析】（1）若函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点,则()()0f x f x -+=,即()()220ax bx a ax bx a +-+--=有解,即可求证；（2）由题可得()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解,则222x x c --=+,设2(11)xt x =-≤≤,利用导函数求得22x x -+的范围,即可求得c 的范围；（3）由题可得()()0h x h x -+=在R 上有解,即()12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解,设22(2)x x t t -+=≥,则可变形为方程222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解,进而求解即可. 【详解】（1）证明:由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--,代入()()0f x f x -+=得()()220ax bx a ax bx a +-+--=,则得到关于x 的方程20(0)ax a a -=≠,由于a R ∈且0a ≠,所以1x =±, 所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点（2）解:由题,因为函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点所以()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解, 所以222x x c --=+, 设2(11)xt x =-≤≤,则122t ≤≤,所以12c t t -=+令11(),22s t t t t =+≤≤,则221(1)(1)()1t t s t t t-+'=-=, 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '<,故函数()s t 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当()1,2t ∈时,()0s t '>,故函数()s t 在区间()1,2上单调递增, 所以()()min 12s t s ==, 因为1522s ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()522S =,所以()max 52s t =,所以1522t t ≤+≤, 所以514c -≤≤- （3）解:由题,12()423x x h x m m --+-=-⋅+-, 由于()()0h x h x -+=,所以()12124234230xx x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=,所以()()()244222230x xxx m m --+-++-=（）在R 上有解,令22(2)xxt t -+=≥,则2442x x t -+=-,所以方程（）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解, 需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥,即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩得1m ≤【点睛】本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.20．已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1a y x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <„【解析】（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；（2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112()1x xln x x >-，构造函数进而求证； （3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)()1k x h x lnx x -=-+，分类讨论进而求解． 【详解】解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．（2）由题意Q 11122211a lnx x x a lnx x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 211221(1)lnx lnx a x x x x -∴=--g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证211212121(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g，即证2112()1x x ln x x >-，令211x t x =>，则11lnt t>-，由（1）知1lnx x -„，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t<-， 即11lnt t>-，所以原不等式成立．（3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ， 设(1)()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++，记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，①当△0„时，即02k <„时，()0h x '…恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，因此，当02k <„时，22(1)(1)x lnx k x --…， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去， 综上，k 的取值范围是02k <„． 【点睛】（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题. 21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 【考点】特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵． 22．本小题满分14分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,231x t yt ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段的长度【答案】15)21(2222=-【解析】解：解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=， 即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆， ………………………4分 直线方程l 的普通方程为31y x =+， ………8分 圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，……………………………10分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．……………14分23．如图，在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，13BN BD =．（1）若13PM PA =，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M BD A --的大小为4π，求线段MN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC 、BD 交点为O ，则以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0即可证明垂直；（2）设44040a b a -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩＝λ()2010,,013y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎭⎪⎩，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD 的法向量n ，而平面ABD 的法向量为OP uuu r ，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得λ．试题解析: (1)连结AC 、BD 交于点O，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)． 由BN u u u r ＝13BD u u u r ，得N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由PM u u u u r ＝13PA u u u r ，得M 12,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1112,,3333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，AD u u u r ＝(－1，－1，0)． 因为MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0，所以MN ⊥AD(2) 解：因为M 在PA 上，可设PM u u u u r ＝λPA u u u r ，得M(λ，0，1－λ)．所以BM u u u u r ＝(λ，－1，1－λ)，BD u u u r ＝(0，－2，0)．设平面MBD 的法向量n r ＝(x ，y ，z)，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得()2010y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n r ＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD 的法向量为OP uuu r ＝(0，0，1)，所以cos 4π＝n OP n OP ⋅r u u ur r u u u r ，即2，解得λ＝12， 从而M 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN ＝6． 【考点】用空间向量法证垂直、求二面角．24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.（1）当12p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，23q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率. 【答案】（1）见解析，0（2）802187 【解析】（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为12p q ==, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,311(3)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,223113(1)228P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以ξ的分布列为：所以1331()(3)(1)308888E ξ=-⨯+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）. 【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.。
江苏省南通市2020届高三二模考前数学综合练习一含附加题(含解析)
江苏省南通市2020届高三二模考前数学综合练习一含附加题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则．2．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．4．角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是．5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：．6．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；其中正确命题的序号为．7．已知函数f（x），若关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为．10．记S k＝1k+2k+3k+……+n k，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝．11．设函数f（x）＝x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为．14．设f（x）＝e tx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C 过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，tan（A﹣B），角C为钝角，b ＝5．（1）求sin B的值；（2）求边c的长．16．如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．（1）求证：VA∥平面BDE；（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．17．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．18．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，其中p为常数．（1）求p的值；（2）求证：数列{a n}为等比数列；（3）证明：“数列a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．20．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，求函数f（x）的减区间；（2）求证：方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；（3）若方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较，与α，β的大小，并说明理由．本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．试求曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P（ξ＝i）（i＝0，1，2，3）中，若P（ξ＝1）的值最大，求实数a的取值范围．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．故答案为：3﹣4i．2．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，故答案为{5}．3．分层抽样的抽取比例为：，∴抽取学生的人数为60030．故答案为30．4．由题意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．故答案为：．5．程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环i x循环前 1 4第一圈是 4 4+2第二圈是 7 4+2+8第三圈是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28故答案为：28．6．对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．7．如图所示：①当x≥2时，由函数f（x）单调递减可得：0＜f（x）；②当0＜x＜2时，由函数f（x）＝（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．由图象可知：由0＜2k＜1可得，故当时，函数y＝kx与y＝f（x）的图象有且只有两个交点，∴满足关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是．故答案为．8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集为（a，4），由于a（﹣a）≤﹣24，当且仅当﹣a，即a＝﹣2时取等号，∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣2；②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；综上所述，a＝﹣2．故答案为：﹣2．9．∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，…①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cos∠F1PF23，…②①②联解，得，可得，∴双曲线的，结合，得离心率故答案为：10．根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案为：．11．由题意知f（x）＝x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．（1）当a≤2时，若x∈[2，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，此时2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；（2）当a＞2时，①若x∈[a，+∞），则f（x）＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，其对称轴为x，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；②若x∈[2，a），则f（x）＝x（a﹣x）＝﹣x2+ax，其对称轴为x，所以f（x）在[，a）上是递减的，因此f（x）在[2，a）上必有递减区间．综上可知a≤2．故答案为（﹣∞，2]．12．由（）•（）＝0 可得（）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角．再由2•1+4+2×1×2cos7 可得||，∴||cosα﹣1，解得cosα．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0．解得||，故答案为．13．设直线AB的方程为y＝kx+1则直线AC的方程可设为y x+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，）因此，AB•，同理可得：AC•∴Rt△ABC的面积为S AB•AC•令t，得S∵t2，∴S△ABC当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为解之得a＝3或a∵a时，t2不符合题意，∴a＝3故答案为：314．∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即（t，），又f（x）＝e tx（t＞0）的导数f′（x）＝xe tx，∴过Q的切线斜率k＝t，设R（r，0），则k t，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，e t），∴△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS的面积的最小值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）角C为钝角，由sin A，则cos A．那么：tan A∵tan（A﹣B），即，可得：tan B即，sin2B+cos2B＝1，解得：sin B．（2）由（1）可知：sin B，则cos B那么：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B正弦定理：，可得：c＝13．16．证明：（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．…（Ⅱ）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…18．（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，则，化简得，解之得，或（舍），答：BC的长度为；（2）设BP＝t，则，，设，，令f'（t）＝0，因为，得，当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因为恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因为y＝tan x在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．答：当BP为cm时，α+β取得最小值．19．（1）解：n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，当n＝2时，，解得a2＝0或，而a n＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；（2）证明：当p＝2时，①，则②，②﹣①并化简得3a n+1＝4﹣S n+1﹣S n③，则3a n+2＝4﹣S n+2﹣S n+1④，④﹣③得（n∈N*），又因为，所以数列{a n}是等比数列，且；（3）证明：充分性：若x＝1，y＝2，由知a n，2x a n+1，2y a n+2依次为，，，满足，即a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列；必要性：假设a n，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．20．（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＝3x2﹣6x+2＜0解得，x，故函数f（x）的减区间为（，）；（2）证明：∵f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），∴f′（x）＝（x﹣x2）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x2），又∵x1＜x2＜x3，∴f′（x1）＝（x1﹣x2）（x1﹣x3）＞0，f′（x2）＝（x2﹣x1）（x2﹣x3）＜0，f′（x3）＝（x3﹣x2）（x3﹣x1）＞0，故函数f′（x）在（x1，x2），（x2，x3）上分别有一个零点，故方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；（3）∵方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），∴f′（α）＝f′（β）＝0，而f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x1﹣x2）2＜0，f′（）＝（x2）（x3）+（x1）（x3）+（x1）（x2）（x3﹣x2）2＜0，再结合二次函数的图象可知，αβ．本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．∵M，N，∴MN，…4分∴在矩阵MN变换下，→，…6分∴曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．…10分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（1）由，得，∴y，即．圆的方程为x2+y2＝100．（2）圆心（0，0）到直线的距离d，y＝10，∴弦长l．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，则cosθ，∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），设平面APC的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，∴|cos|，解得，∴P（0，，），∴PF的长度|PF|．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（1）P（ξ）是“ξ个人命中，3﹣ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.，，，．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3Pξ的数学期望为．（2），，．由和0＜a＜1，得，即a的取值范围是．。
江苏省南通市基地学校2020届高三数学下学期第二次大联考试题含解析
则相应的一元二次方程的 ，即 ，所以有 ； ；
； ； ； 共6种情况，由古典概型的概率
计算公式可得函数 有零点的概率为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，涉及到函数的零点知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
中，已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，过点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式可得 ，从而 ， ，再利用双曲线离心率公式计算即可.
【详解】由已知，不妨设过F作渐近线 的垂线，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故双曲线的离心率为 .
故答案为：
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题目，最关键的是找到 之间的等量关系，是一道容易题.
7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，面积为 的扇形，则该圆锥的高为__________.
某某省某某市基地学校2020届高三数学下学期第二次大联考试题（含解析）
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）
， ，则集合 中元素的个数为__________个.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用交集的定义即可.
【详解】由已知， ，所以集合 中元素的个数为2.
令 ，得 ，即 ，
所以直线 的方程为 .
联立方程组 ，消 得 ，
化简可得， ，即方程有唯一解 .
所以上述方程组有唯一解，即直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
所以直线 与椭圆 相切.
江苏省南通市如皋市2020届高三数学下学期二模考试试题含解析
故 ，得 ．
所以 ，椭圆 的方程为 ．
（2）依题意，左焦点 ，设直线 ： , ， ， ．
联立方程组 整理得 ，
所以 , ．
因为直线 ， ， 的斜率之和为0,所以 ，
即 ，整理得 ,
即 ，解得 ．
所以直线 的方程为 ．
（3)若直线 的斜率不存在， ；
若直线 的斜率存在，由（2）可得
,
又 ，直线 的斜率为 ， ,
所以 ．
故 ，
令 ，则 ，
故
当 时， , ,
所以 ．
显然， ,
所以 的最小值为2．
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合 交、并、补运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题。
2.若复数 满足 （ 为虚数单位）,则 ______________．
【答案】
【解析】
由 ，得 ，则 ,故答案为 。
3.某工厂为了了解一批产品 净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100件产品中，净重在区间 上的产品件数是．
所以 平面 ，所以 ,
所以 ,
因为 ，所以 .
所以 ,
所以点 就是外接球的球心。
所以外接球的半径为 。
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何体的外接球表面积的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。