(江苏专版)高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十二)圆与方程文(含解析)苏教版

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步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习9.3圆的方程(含答案详析)

第3讲圆的方程一、填空题1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为__________________．解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.答案x2＋(y＋2)2＝52．已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是________．解析依题意得，直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知线段AB为圆的直径，且|AB|＝10，因此圆的半径是5.答案 53．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．解析由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案y2＋4x－4y＋8＝04．已知圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0 相切，则圆O的方程是________．解析设圆心为(a,0)(a<0)，则|a|2＝5，∴a＝－10，∴圆O的方程为(x＋10)2＋y2＝5.答案(x＋10)2＋y2＝55．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN 的最小值是________．解析圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.答案 456．平移直线x －y ＋1＝0使其与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则平移的最短距离为________．解析圆心(2,1)到直线的距离d ＝|2－1＋1|2＝ 2. 所以，平移的最短距离为2－1.答案 2－17．已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则 △ABP 面积的最小值为________．解析如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112. 答案 1128．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．解析因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6.答案 (4,6)9．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝6，则圆C 的方程为________．解析抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.答案 x 2＋(y －1)2＝1010．圆心在曲线y ＝3x (x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．解析设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3a (a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d (a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ＋1≥35(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，圆的半径为3. 答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9 二、解答题11．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)．(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S .解 (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，有直线x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k ，|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k＝34.∴过点A 的圆的切线方程为：x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，l OA ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12d |AO |＝12.12．已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12AM ·P A ＋12BM ·PB .又AM ＝BM ＝2，P A ＝PB ，所以S ＝2P A ，而P A ＝PM 2－AM 2＝PM 2－4，即S ＝2PM 2－4. 因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得PM 的值最小，所以PM min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S min ＝2[(PM )min ]2－4＝232－4＝2 5.13．已知直线l ：x ＝4与x 轴相交于点M ，P 是平面上的动点，满足PM ⊥PO (O 是坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过直线l 上一点D (D ≠M )作曲线C 的切线，切点为E ，与x 轴相交点为F ，若DE →＝12DF →，求切线DE 的方程．解 (1)依题意，知M (4,0)，设P (x ，y )(x ≠0且x ≠4)，由PM ⊥PO ，得k PM ·k PO ＝－1，即y x －4·y x＝－1，整理得，动点P 的轨迹C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0且x ≠4)．(2)DE 、DM 都是圆(x －2)2＋y 2＝4的切线，∴DE ＝DM .∵DE →＝12DF →，∴DF ＝2DE ＝2DM ，∴∠DFM ＝π6. 设C (2,0)，在△CEF 中，∠CEF ＝π2，∠CFE ＝π6，CE ＝2，∴CF ＝4，根据题意取F (－2,0)．切线DE 的倾斜角α＝π6或5π6，∴切线DE 的斜率k ＝33或－33，切线DE 的方程为y ＝±33(x ＋2)．14．已知圆C 通过不同的三点P (m,0)，Q (2,0)，R (0,1)，且CP 的斜率为－1.(1)试求圆C 的方程；(2)过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，且PC 的斜率为－1，所以－E 2－0－D 2－m ＝－1. ①因为圆C 通过不同的三点P (m,0)，Q (2,0)，R (0,1)，所以⎩⎨⎧ 1＋E ＋F ＝0，②4＋2D ＋F ＝0，③m 2＋Dm ＋F ＝0.④联立①②③④，解得⎩⎨⎧ D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252. (2)圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，圆心到l 1，l 2的距离设为d 1，d 2，则d 21＋d 22＝OC 2＝132，又⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＋d 21＝252， ⎝ ⎛⎭⎪⎫GH 22＋d 22＝252，两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF ·GH .所以 S ＝12EF ·GH ≤372，即(S 四边形EGFH )max ＝372.。

高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第三节圆的方程(课件)

半径：________
2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＞_r_2_． (2)若M(x0，y0)在圆上，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＝_r_2_．
答案：B
10
考点三与圆有关的轨迹方程 [综合性]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P， Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2， 2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
的最大值和最小值．
答案：(1)B
12
反思感悟建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y_0－__b_)2_＜__r2_．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．

(江苏专版)高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十三)直线与方程理(含解析)苏教版

（江苏专版）高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十三）直线与方程理（含解析）苏教版课时跟踪检测（四十三）直线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通模拟)将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y ＝2x 的倾斜角是α，则tan α＝2，将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则倾斜角变为α＋π4，∴所得直线的斜率k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3. 答案：－32．(2018·南通中学月考)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程为________．解析：由题意得，直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0. 答案：3x －y ＋10＝03．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2. 答案：(－6，－2)4．(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．(2019·无锡模拟)已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：若a －2＝0，即a ＝2时，直线方程可化为x ＝15，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a －2≠0，直线方程可化为y ＝3a －1a －2x －1a －2，此时若直线不经过第二象限，则3a －1a －2≥0，1a －2≥0，解得a ＞2. 综上，满足条件的实数a 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)6．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 答案：3x ＋y ＋3＝02．(2018·泗阳中学检测)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x,1)，Q(7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，所以x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q(7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：－133．(2019·苏州调研)已知θ∈R ，则直线x sin θ－3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为 α，则tan α＝33sin θ， ∵－1≤sin θ≤1，∴－33≤tan α≤33，又α∈[0，π)，∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π4．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－－1＝1，所以实数k的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.答案：86．(2019·南京模拟)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为x a ＋y a＝1，把P (2,3)代入，得2a ＋3a＝1，a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.若直线的截距为0，可设为y ＝kx ，把P (2,3)代入，得3＝2k ，k ＝32，直线方程为3x －2y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 答案：x ＋y －5＝0或3x －2y ＝07．已知直线l ：y ＝kx ＋1与两点A (－1,5)，B (4，－2)，若直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l ：y ＝kx ＋1的方程恒过点P (0,1)，如图，∵k PA ＝－4，k PB ＝－34，∴实数k 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞8．若直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2.答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； (4)若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由(1)易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在．(3)依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由(1)知所求m ＝－53.(4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB (O 为坐标原点)面积最小时，直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的斜率为k ，且k ＜0，所以直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.令x ＝0，得y ＝3－2k ，所以B (0，3－2k )；令y ＝0，得x ＝2－3k，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫2－3k，0.则△AOB 的面积为S ＝12(3－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6－9k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k·－4k ＝12，当且仅当－9k ＝－4k ，即k ＝－32时等号成立，所以直线l 的方程为3x ＋2y －12＝0.答案：3x ＋2y －12＝02．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：123．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点 (－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k＜0且1＋2k ＞0，所以k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十三直线与圆圆与圆的位置关系文含解析苏教版

江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十三直线与圆圆与圆的位置关系文含解析苏教版课时跟踪检测（四十三）直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·扬州期末)已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，所以AB ＝24－1＝23，故弦AB 的长为2 3.答案：2 32．(2019·南京调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y ＝0与圆(x －3)2＋(y －1)2＝25相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．解析：圆(x －3)2＋(y －1)2＝25的圆心坐标为(3,1)，半径为5. ∵圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝5，∴线段AB 的长为2r 2－d 2＝225－5＝4 5. 答案：4 53．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，则圆半径r 的取值范围为________．解析：∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)的圆心坐标为(3，－5)，半径为r ， ∴圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，∴|r －5|＜2，解得3＜r ＜7.答案：(3,7)4．(2018·苏锡常镇调研)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，故圆心到直线的距离d ＝|－3＋8－m |32＋42≤1. 即|m －5|≤5，解得0≤m ≤10. 答案：[0,10]5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为C ，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则S △ABC ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，圆心为(3,0)，半径为2.∵点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23， ∴圆心(3,0)到直线AB 的距离为22－32＝1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.答案： 36．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线 3x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为________．解析：如图，作出直线3x ＋y －2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O 到直线3x ＋y －2＝0的距离为1，∴在直线3x ＋y －2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线3x ＋y －2＝0的距离为1，过原点作直线3x ＋y －2＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为2，到直线3x ＋y －2＝0的距离为1.故满足条件的点A 共3个．答案：32．(2018·苏州调研)两圆交于点A (1,3)和B (m,1)，两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上，则m ＋c ＝________.解析：由题意可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，2在直线x －y ＋c 2＝0上，代入得m ＋c ＝3.答案：33．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．解析：因为PT 与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，所以在Rt △OPT 中，OT ＝1，OP ＝2，∠OTP ＝π2，从而∠OPT ＝π6，PT ＝3，故直线PT 的方程为x ±3y ＋2＝0，因为直线PT 截圆(x －a )2＋(y －3)2＝3得弦长RS ＝3，设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|a ±3＋2|2，又3＝23－d 2，即d ＝32，即|a ±3＋2|＝3，解得a ＝－8或a ＝－2或a ＝4，因为a ＞0，所以a＝4.答案：44．(2018·无锡模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：由PA ―→·PB ―→≤0得∠APB ≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB 才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，当∠APB ≥90°时， ∠MPN ≥90°，sin ∠MPC ＝2PC ≥sin 45°＝22，所以PC ≤2 2.另当过点P ，C 的直线与直线l ：y ＝x ＋1垂直时，PC min ＝322，以C 为圆心，CP ＝22为半径作圆交直线l 于E ，F 两点，这时的线段长即为线段EF 长度的最大值，所以EF max ＝2222－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝14. 答案：145．(2019·镇江调研)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：如图，因为圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA . 又因为OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5.又A ，B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．由12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.所以AB ＝4. 答案：46．(2018·淮阴期末)圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0相内切，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋4b2的最小值为________．解析：由题意，两圆的标准方程分别为 (x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1， ∴圆心分别为(－a,0)，(0，b )，半径分别为2和1. ∵两圆相内切，∴a 2＋b 2＝1，∴a 2＋b 2＝1，∴1a 2＋4b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)＝5＋4a 2b 2＋b 2a 2≥5＋4＝9，当且仅当4a 2b 2＝b 2a 2，即a 2＝13，b 2＝23时等号成立．故1a 2＋4b2的最小值为9.答案：97．(2018·苏北四市期末)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：如图，因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为[7,13]．答案：[7,13]8．(2019·淮安模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为________．解析：圆O 的圆心为O (0,0)，半径r ＝1.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有PO ＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2，即|2|1＋k≤2，即1＋k ≥2，解得k ≥1，∴实数k 的最小值为1. 答案：19．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝2＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4. 因为|2－2|＜2－02＋0－12＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·苏州调研)过曲线y ＝2|x －a |＋x －a 上的点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且∠APB ＝60°，若这样的点P 有且只有两个，则实数a 的取值范围是________．解析：根据题意，若经过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，且∠APB ＝60°，则∠OPA ＝30°，所以PO ＝2AO ＝2，故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.y ＝2|x －a |＋x －a ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3a ，x ≥a ，－x ＋a ，x ＜a ，当x ≤a 时，曲线为x ＋y －a ＝0，当x ≥a 时，曲线为3x －y －3a ＝0.故当a ＜0时，若这样的点P 有且只有两个，必有|3a |1＋9＜2，即－3a10＜2，解得a ＞－2103，即－2103＜a ＜0；当a ＝0时，曲线为y ＝2|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，－x ，x ＜0，符合题意；当a ＞0时，若这样的点P 有且只有两个，必有|a |1＋1＜2，解得a ＜22，即0＜a ＜22，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2103，22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2103，222．(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM ―→＝2MA ―→，则直线l 的方程为__________．解析：法一：易知直线l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM ―→＝2MA ―→，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t 2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt △OMH中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM ―→＝2MA ―→，由图知k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以MA ―→＝(x 1－1，y 1)，BM ―→＝(1－x 2，－y 2)．因为BM ―→＝2MA ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2x 1－1，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又x 22＋y 22＝5，所以(2x 1－3)2＋4y 21＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，2x 1－32＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1，又点A 在第一象限，故A (2,1)，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝4. (1)过点C 1作圆C 2的切线，求该切线方程；(2)过圆心C 1作倾斜角为θ的直线l 交圆C 2于A ，B 两点，且A 为C 1B 的中点，求sin θ；(3)过点P (m,1)引圆C 2的两条割线l 1和l 2.直线l 1和l 2被圆C 2截得的弦的中点分别为M ，N ，试问过点P ，M ，N ，C 2的圆是否过定点(异于点C 2)？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．解：(1)显然切线的斜率存在，设切线方程为y ＝k (x ＋1)，由题意得|5k |1＋k2＝2，解得k ＝±22121，所以所求直线方程为y ＝±22121(x ＋1)，即2x ±21y ＋2＝0. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则圆心C 2到直线l 的距离d ＝5k 1＋k2，设AB 的中点为R ，则AR ＝4－d 2＝12AB ＝13C 1R ＝1325－d 2，解得d 2＝118.在Rt △C 1RC 2中，sin θ＝C 2R C 1C 2＝d 5＝2220. (3)依题意，过点P ，M ，N ，C 2的圆即为以PC 2为直径的圆，所以(x －4)(x －m )＋(y －1)(y －0)＝0，即x 2－(m ＋4)x ＋4m ＋y 2－y ＝0，。

高考数学一轮总复习课时作业50 圆的方程(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题

课时作业50 圆的方程一、选择题1．(2020·某某某某一中模拟)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0，即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15，又知该方程不表示圆，所以k 的取值X 围为15≤k ≤1，又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45，故选A ．2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( B )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25解析：圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B ．3．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( C )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C ．4．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( B ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( D ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D ．6．(2020·某某某某模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( A )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A ．7．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值X 围是( D )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]解析：圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值X 围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D ．8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：解法1：由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离d ＝|1＋b |1＋b 2＝1＋2b 1＋b 2≤1＋2b2b＝2，当且仅当b ＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r ＝2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．解法2：由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心为B (0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝(－1－0)2＋(2－1)2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．9．(2020·某某某某模拟)已知点M (－1,0)，N (1,0)．若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值X 围是( D )A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B ．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C ．[－25,25]D ．[－5,5]解析：由题意知，此题可转化为求直线3x －4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝1有交点时m 的取值X 围，则|m |32＋(－4)2≤1，解得－5≤m ≤5，故m 的取值X 围是[－5,5]．二、填空题10．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．11．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝3π4.解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.12．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 13．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.三、解答题14．(2020·某某夏津一中月考)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＋1＝0上，半径为5，且圆C 经过点P (－2,0)和点Q (5,1)．(1)求圆C 的标准方程；(2)求过点A (－3,0)且与圆C 相切的切线方程．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝25，点C 在直线x ＋y ＋1＝0上，则有a ＋b ＋1＝0.圆C 经过点P (－2,0)和点Q (5,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧(－2－a )2＋(0－b )2＝25，(5－a )2＋(1－b )2＝25，解得a ＝2，b ＝－3.所以圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求直线为l .①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程是x ＝－3，与圆C 相切，符合题意．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0.由题意知，圆心C (2，－3)到直线l 的距离等于半径5，即|2k ＋3＋3k |k 2＋1＝5，解得k ＝815，故切线方程是y＝815(x ＋3)．综上，所求切线方程是x ＝－3或y ＝815(x ＋3)． 15．(2020·某某西南大学附中检测)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0. (1)若直线l 过点(－2,0)且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，满足|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．解：(1)x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，易求得直线l 与圆C 的交点为A (－2,1)，B (－2,3)，|AB |＝2，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(2)如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM ⊥PM ，所以△PMC 为直角三角形，所以|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，由(1)知C (－1,2)， |MC |＝ 2. 因为|PM |＝|PO |，所以(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2，化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.16．(2020·某某省七校联合体联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x 轴和y轴的非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，则(A)A．OA的最大值是42，最小值是4B．OA的最大值是8，最小值是4C．OA的最大值是42，最小值是2D．OA的最大值是8，最小值是2解析：因为∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，所以O，B，A，C四点共圆，且在以BC为直径的圆上．又AB＝AC＝4，所以BC＝4 2.因此当OA为圆的直径时，OA取得最大值，为42，如图1所示；当点B(或点C)与原点O重合时，OA取得最小值，为4，如图2所示．故选A．17．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|.连接MA ，由已知得|AO |＝2，又MO →⊥AO →，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4.故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值．理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2.由于MO →⊥AO →，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x . 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .。

(江苏专版)高考数学一轮复习板块命题点专练(十一)直线与圆的方程文(含解析)苏教版

（江苏专版）高考数学一轮复习板块命题点专练（十一）直线与圆的方程文（含解析）苏教版板块命题点专练(十一) 直线与圆的方程命题点一直线与方程、两条直线的位置关系1.(2017·北京高考)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝|OB |2＝1，故x 2＋y 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．(2015·山东高考改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．解析：由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：－43或－343．(2016·上海高考)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________．解析：由两平行线间的距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255. 答案：255命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA ―→·PB ―→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PA ―→·PB ―→＝(－12－x ，－y )·(－x,6－y )＝x (x ＋12)＋y (y －6)≤20.又x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0，所以点P 在直线2x －y ＋5＝0的上方(包括直线上)．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图象，可得－52≤x ≤1，故点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]．答案：[－52，1]2．(2018·全国卷Ⅲ改编)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是________．解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12×|AB |×d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12×|AB |×d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．答案：[2,6]3．(2018·北京高考改编)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为________．解析：由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离21＋m2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.答案：34．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 25．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．6．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝T Q ―→，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝T Q ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[t ＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221 ]．。

江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测十二函数模型及其应用理含解析.doc

课时追踪检测〔十二〕函数模型及其应用1．某种商品进价为4元/件，当天均零售价为6元/件，日均销售元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，假定每日固定本钱为100件，当单价每增添1 20元，那么估计单价为________元/件时，收益最大．分析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，那么日收益y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．因此当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，收益最大．答案：102．(2021·盐城中学检测)“好酒也怕小巷深〞，很多有名品牌是经过广告宣传进入花费者视野的．某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间知足关系效应为D＝R－A.那么聪明的商人为了获得最大广告效应，投入广告费应为R＝a(a为常数)，广告________．(用常数a表示)分析：D＝R－A＝a－A，令t＝(t＞0)，那么A＝t2，因此D＝at－t2＝－2＋a2.因此当t＝a，即A＝a2时，D获得最大值．答案：a23．某市出租车收费标准以下：起步价为 8元，起步里程为3km(不超出3km按起步价付费)；超出3km但不超出8km时，超出局部按每千米元收费；超出8km时，超出局部按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附带费1元．现某人乘坐一次出租车付费元，那么此次出租车行驶了________km.分析：设出租车行驶xkm时，付费y元，那么y＝由y＝，解得x＝9.答案：94．(2021·盐城调研)一批货物随17列货车从A市以vkm/h匀速直抵B市，两地铁路线长400km，为了安全，两列货车间距离不得小于2km，那么这批物质所有运到B市，最快需要________h(不计货车的身长)．分析：设这批物质所有运到B市用的时间为y，由于不计货车的身长，因此设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×2时，时间最快．那么y＝＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即v＝100时等号建立，ymin＝8.答案：85．(2021·南通模拟)用长度为 24的资料围成一个矩形场所，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，那么隔墙的长度为________．分析：设矩形场所的宽(即隔墙的长度)为x，那么长为，其面积S＝·x＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，当x＝3时，S有最大值18，因此隔墙的长度为3.答案：36 m f(m)(0.5[m] ＋1)(元)决定，此中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．那么从北京到上海通话时间为分钟的费为________元．分析：由于m＝，因此[5.5] ＝6.代入函数分析式，得f(5.5) ＝××6＋1)＝4.24.答案：1．某电信企业推出两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的当地网内通话时间t(分钟)与费s(元)的函数关系以下列图，当通话150分钟时，这两种方式费相差________元．分析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，因此100k＋20＝100m，得k－m＝－，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式费相差10元．答案：102．某商铺已按每件80元的本钱购进某商品1000件，依据市场展望，销售价为每件100 元时可所有售完，订价每提升1元时销售量就减少5件，假定要获取最大收益，销售价应定为每件________元．分析：设售价提升x元，收益为y元，那么依题意得＝－5x2＋500x＋20000＝－5(x－50)2＋32500，故当y＝(1000－5x)×(100＋x)－80×1000 x＝50时，ymax＝32500，此时售价为每件150元．答案：1503．(2021·海安中学检测)某企业为鼓舞创新，方案逐年加大研发资本投入．年整年投入研发资本130万元，在此根基上，每年投入的研发资本比上一年增添司整年投入的研发资本开始超出200万元的年份是________．(参照数据：lg ≈，lg ≈，lg2≈0.30)假定该企业2021 12%，那么该公分析：设2021年后的第n年，该企业整年投入的研发资本开始超出200万元，由130(1＋12%)n＞200，得＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，因此n≥4，因此从2021年开始，该企业整年投入的研发资本开始超出200万元．答案：2021年4．(2021·启东中学检测)某企业租地建库房，库房每个月占用费 y1与库房到车站的距离成反比，而每个月车载货物的运费y2与库房到车站的距离成正比．据测算，假如在距离车站10千米处建库房，这两项花费y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站 ________千米处．分析：由题意设库房在离车站x千米处，那么y1＝，y2＝k2x，此中x＞0，由得，即y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号建立．答案：55．将甲桶中的a升水迟缓注入空桶乙中，t分钟后甲桶中节余的水切合指数衰减曲线y＝aent.假定过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，假定再过m分钟甲桶中的水只有，那么m＝________.分析：依据题意知＝e5n，令a＝aent，即＝ent，由于＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.答案：106 v k除燃料费外其余花费为每小时96元．当速度为10海里/小不时，每小时的燃料费是6元．假定匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小不时，总花费最小．分析：设每小时的总花费为y元，那么y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝，因此每小时的总花费y＝＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总花费为W＝y＝＋96)＝＋≥2＝48，当且仅当＝，即v＝40时等号建立．故总花费最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：407．某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料 (如图)，为降低耗费，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图暗影局部)备用，那么截取的矩形面积的最大值为________．分析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，因此暗影局部的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y2＋24y)＝－(y－12)2＋180.因此当y＝12时，S有最大值为180.答案：1808．某企业为了业务展开拟订了一个鼓舞销售人员的奖赏方案，在销售额 x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖赏4万元．假定企业制定的奖赏模型为y＝alog4x＋b.某业务员要获取8万元奖赏，那么他的销售额应为______(万元)．分析：依题意得即解得a＝2，b＝－2.因此y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.x＝1024(万元)．答案：10249．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料花费x(单位：百元)知足以下关系：w＝4－，且投入的肥料花费不超出5百元，别的，还需要投入其余本钱(如施肥的人工费等)2x百元．这类水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求一直求过于供．记该棵水蜜桃树获取的收益为L(x)(单位：百元)．求L(x)的函数关系式，并写出定义域；当投入的肥料花费为多少时，该水蜜桃树获取的收益最大？最大收益是多少？解：(1)L(x) ＝16－x－2x＝64－－3x，x∈(0,5]．法一：L(x)＝64－－3x＝67－≤67－2＝43，当且仅当＝3(x＋1)，即x＝3时取等号．故L(x)max＝43.答：当投入的肥料花费为300元时，该水密桃树获取的收益最大，为4300元．法二：L′(x)＝－3，令L′(x)＝0，得x＝3.故当x∈(0,3)时，L′(x)＞0，L(x)在(0,3)上单一递加；当x∈(3,5]时，L′(x)＜0，L(x)在(3,5]上单一递减．故L(x)max＝L(3)＝43.答：当投入的肥料花费为300元时，该水蜜桃树获取的收益最大，为4300元．10．(2021·镇江调研)如图，政府有一个边长为400m的正方形公园ABCD，在以四个角的极点为圆心，以150m为半径的四分之一圆内都栽种了花卉．此刻中间修筑一块长方形的活动广场PQMN，此中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，而且活动广场界限与公园界限对应平行，记∠QBC＝α，长方形活动广场的面积为S.请把S表示成对于α的函数关系式；求S的最小值．解：(1)过Q作QE⊥BC于E，连接BQ(图略)．在Rt△BQE中，BE＝150cosα，QE＝150sinα，0≤α≤，可得矩形PQMN的PQ＝400－300sinα，QM＝400－300cosα，那么S＝PQ·QM＝(400－300sinα)(400－300cosα)＝10000(4－3sin α)(4－3cosα)，α∈.(2)由(1)知，S＝10000[16－12(sin α＋cosα)＋9sin αcosα]，设t＝sin α＋cos α＝sin ，那么≤α＋≤，可得1≤t≤，sin αcosα＝，∴S＝10000＝5000.∴当t＝时，S获得最小值5000×7＝35000m2.某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为升，此中k为常数，且60≤k≤100.(1)假定汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为升，欲使每小时的耗油量不超出9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值．解：(1)由题意知，当x＝120时，，∴k＝100，由≤9，得x2－145x＋4500≤0，∴45≤x≤100.又60≤x≤120，∴60≤x≤100.故x的取值范围为[60,100]．(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升，那么y＝·＝20－＋(60≤x≤120)．令t＝，那么t∈，∴y＝90000t2－20kt＋20＝900002＋20－，∴该函数图象的对称轴为直线t＝.∵60≤k≤100，∴∈.①假定≥，即75≤k≤100，那么当t＝，即x＝时，ymin＝20－.②假定＜，即60≤k＜75，那么当t＝，即x＝120时，ymin＝－.答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升；60≤k＜75时，该当汽车行驶100千米的耗油量的最小值为升．。

(江苏专版)2020版高考数学(理)一轮复习：课时跟踪检测(12套,含答案)

( )5 25
25
则 g(t)max＝g 2 ＝ 8 ，所以 a≥ 8 ；
( ) 1 5 1 5 25 t＋记 h(t)＝2t2＋2t＝2 2 2－ 8 ，
则 h(t)min＝h(2)＝7，所以 a≤7， 25
综上所述， 8 ≤a≤7.
[ ] 25 ，7 所以实数 a 的取值范围是 8 .
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
3 k＋α＝2.
3 答案：2
2．(2019·连云港调研)若函数 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
则 a 的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 的对称轴为 x＝a－1，
f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4)上为增函数，
＝2x＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则 b 的取值范围是________．
1 解析：由题意设 m(x)＝f(x)－g(x)＝3x3－x2－3x－b，则 m′(x)＝x2－2x－3，
由 m′(x)＝0，得 m＝－1 或 m＝3.
∵f(x)与 g(x)在[－3,0]上是“关联函数”，
∴x＝－1 是函数 m(x)在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．
________．
解析：不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max，令 f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以 f(x)＜f(4)＝－2，所以 a＜－2.
答案：(－∞，－2)
4．(2018·泰州中学调研)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f(x)
1．(2019·金陵中学期中)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若

江苏专版2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第三节圆与方程教案理含解析苏教版

第三节圆与方程1．圆的定义及方程点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是________．解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0，即0＋a2＋0＋12＞2a ，所以原点在圆外．答案：原点在圆外2．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12AB ＝12[1－－1]2＋4－22＝ 2.所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏]若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－12＋12－4m ＞0，1＋－12－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12考点一圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·东台中学检测)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心坐标为(a,0)，则a －52＋－12＝a －12＋－32，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝102．(2018·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为____________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的标准方程为____________．解析：因为AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)，所以A (0,2)，B (2,0)，AB ＝0－22＋2－02＝2 2.所以点A ，B 的中点为(1,1)，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24．(2019·盐城中学测试) 圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，所以圆心为(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，所以直线AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得半径r ＝10，因此所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·涞水月考)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求y x的最大值与最小值．解：方程(x －3)2＋(y －3)2＝6表示以(3,3)为圆心，6为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|3k －3|k 2＋1＝6，解得k ＝3±2 2.所以y x的最大值为3＋22，最小值为3－2 2. 角度二：截距型最值问题2．(2018·东海高级中学测试)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________．解析：令b ＝2x －y ，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5. 答案：5＋ 53．(2019·启东模拟)已知非负实数x ，y 满足x ≠y ，且x 2＋y 2x ＋y≤4，则S ＝y －2x 的最小值是________．解析：由x 2＋y 2x ＋y≤4，得x 2＋y 2≤4(x ＋y )，移项配方得(x －2)2＋(y －2)2≤8，此不等式表示以C (2,2)为圆心，以22为半径的圆及其内部在第一象限与x 轴、y 轴正半轴的部分(除去y ＝x )．将S ＝y －2x 变形为y ＝2x ＋S ，当直线l ：y ＝2x ＋S 与圆相切于第一象限时，S 取得最小值，由圆的切线性质，圆心C (2,2)到l 的距离等于半径长，即|2＋S |5＝22，解得S ＝－2－210(S ＝－2＋210舍去)．故S ＝y －2x 的最小值是－2－210.答案：－2－210 角度三：距离型最值问题4．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[通法在握]与圆有关的最值问题的3种常见转化法 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[演练冲关]1．(2019·淮安检测)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝1，则圆心坐标为(2,3)，圆的半径r ＝1.因为x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值，又圆心到原点的距离为2－02＋3－02＝13，所以x 2＋y 2的最小值为(13－1)2＝14－213.答案：14－2132．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,0)，B (1,0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．解析：设C (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S △ABC ＝12×2×|y |≤22，即△ABC 的面积的最大值是2 2.答案：2 2考点三圆的方程的简单应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领](2018·扬州调研)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．因为圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)因为圆M 的方程可化为(x 2＋y 2＋3y )－(3＋y )a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3y ＝0，3＋y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.所以圆M 过定点(0，－3)．[由题悟法]圆的方程是一个二元二次方程，所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题进行分析，也可利用方程中x ，y 的取值范围来确定有关函数的值或范围．[即时应用]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的取值范围．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q(x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且P Q ―→·M Q ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以P Q ―→·M Q ―→＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，所以P Q ―→·M Q ―→的取值范围为[－4,0]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若圆的半径为3，圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为________．答案：x 2＋y 2＝92．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0上任意一点，点Q(2a ，a ＋3)(a ∈R)，则线段P Q 长度的最小值为________．解析：圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0，即 (x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆，则点Q(2a ，a ＋3)到圆心(－1，0)的距离d ＝2a ＋12＋a ＋32＝5a 2＋10a ＋10＝5a ＋12＋5，所以当a ＝－1时，d 取得最小值为5，故线段P Q 长度的最小值为5－1.答案：5－13．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________．解析：由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2得，a 2＋b 2＝2.所以点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2. 答案：24．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝15．(2019·兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x ＝2与直线x ＋y ＝4的交点的圆的标准方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2)．又点(2,0)在圆上，所以半径r ＝2，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝46．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则P Q 的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为M Q ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡调研)设两条直线x ＋y －2＝0,3x －y －2＝0的交点为M ，若点M 在圆 (x －m )2＋y 2＝5内，则实数m 的取值范围为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则M (1,1)，由交点M 在圆(x －m )2＋y 2＝5的内部，可得(1－m )2＋1＜5，解得－1＜m ＜3. 故实数m 的取值范围为(－1,3)．答案：(－1,3)2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．过两点连线的直线方程为kx －y ＋1－2k ＝0，当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值，由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33，－333．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝24．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：根据题意，设圆C 的圆心为(m ，－2m )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －22＋－2m ＋12＝r 2，|m －2m －1|2＝r ，解得m ＝1，r ＝2，所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝25．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m ＝________.解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.答案：－16．在平面直角坐标系xOy 内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π4 8．(2018·滨海中学检测)已知点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，若圆C 上存在点Q ，使得∠CP Q ＝30°，则正数a 的取值范围是________．解析：由圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2，得圆心为C (a ，a )，半径r ＝2a ，∴CP ＝a 2＋a －22，设过P 的一条切线与圆的切点是T ，则CT ＝2a ，当Q 为切点时，∠CP Q 最大．∵圆C 上存在点Q 使得∠CP Q ＝30°，∴CTCP ≥sin 30°，即2a a 2＋a －22≥12，整理可得3a 2＋2a －2≥0，解得a ≥7－13或a ≤－7－13(舍去)．又点 P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，∴a 2＋(2－a )2＞2a 2，解得a ＜1.故正数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，1 9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径CD ＝410，所以PA ＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得，16－210≤t ≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210.(2)记点Q(－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率k ，所以直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线M Q 与圆C 有公共点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宁海中学模拟)如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝mx ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝m x ＋1＋1的图象恒过点(－1,2)，代入直线2ax －by ＋14＝0，可得－2a －2b ＋14＝0，即a ＋b ＝7.∵定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25.设b a＝t ，则b ＝at ，代入a ＋b ＝7，可得a ＝71＋t ，b ＝7t 1＋t ，代入a 2＋b 2≤25，可得()1＋t 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫71＋t 2≤25，∴12t 2－25t ＋12≤0，∴34≤t ≤43.故b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43 2．(2018·启东中学检测)已知点A (0,2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________．解析：圆M 的方程可化为(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2.圆心为M (a ，a )，半径为2a . 当A ，M ，T 三点共线时，∠MAT ＝0°最小，当AT 与圆M 相切时，∠MAT 最大．圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，只需要当∠MAT 最大时，满足45°≤∠MAT ＜90°即可． MA ＝a －02＋a －22＝2a 2－4a ＋4，此时直线AT 与圆M 相切，所以sin ∠MAT ＝MTMA ＝2a 2a 2－4a ＋4.因为45°≤∠MAT ＜90°，所以22≤sin∠MAT ＜1，所以22≤2a 2a 2－4a ＋4＜1，解得3－1≤a ＜1.答案：[3－1,1)3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1)以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1 m 为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系．则E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，因为F (33，0)，M (0,3)都在圆上，所以⎩⎨⎧ 332＋b 2＝r 2，02＋3－b 2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36. 所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD 交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P的横坐标x＝11代入圆的方程，得11＋(y＋3)2＝36，解得y＝2或y＝－8(舍去)．所以h＝CP－0.5＝(y＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．答：车辆的限制高度为3.5 m.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训42圆的方程(含解析)理

课后限时集训(四十二)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1A [设圆心为(0，a )，则－2＋－a2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A.]2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2019·广东六校模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 D [设所求圆的圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝33×a ＋22，b a －2＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.]4．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.]5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.]二、填空题6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝＋2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.]7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254[由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2，得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.]8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆C 坐标为(0，－1)．]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，－a 2＋－2－b2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝－2＋－4＋2＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )．由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)，代入x 2＋(y －1)2＝10，得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.B 组能力提升1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________．(x －1)2＋(y －3)2＝2 [圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.]4．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解] (1)因为圆C 过原点O ，所以|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |，所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．符合题意，此时，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， |OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞ 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 即为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。

2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：8.3 圆的方程 (含解析)

1．圆M ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0的圆心坐标为( )A ．(1，3)B ．(1，－3)C ．(－1，3)D ．(－1，－3)答案 D解析圆M 的圆心坐标为x ＝－D 2＝－1. y ＝－E 2＝－ 3.故选D. 2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a,0))，且半径r ＝|a |.∴当E ＝F ＝0且D <0时，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，0，半径为|D |2，圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点，但D ＝2>0，故选A.4．(2019·贵阳模拟)圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于A ，B 两点，且AB ＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4答案 A解析由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.5．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －2)2＋(y －2)2＝4答案 B解析根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.6．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2. 代入x 2＋y 2＝4得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7．(多选)设有一组圆C ：(x －1)2＋(y －k )2＝k 4(k ∈N *)，下列四个命题正确的是( )A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点答案 ABD解析对于A ，存在k ，使圆与x 轴相切⇔k ＝k 2(k ∈N *)有正整数解⇔k ＝1，故A 正确；对于B ，因为圆心(1，k )恒在直线 x ＝1上，故B 正确；对于C ，当k 取无穷大的正数时，半径k 2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C 不正确；对于D ，将(0,0)代入得1＋k 2＝k 4，即1＝k 2(k 2－1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D 正确．故选ABD.8．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．9．(2020·长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．答案 1＋ 2解析将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 10．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－3，－1]∪[1,3]解析圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a|≤22＋2，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．11．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．(1)求x＋y的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．解(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(2)x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.12．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足P A＝2PB.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM 的最小值．解(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l2是此圆的切线，连结CQ，则QM＝CQ2－CM2＝CQ2－16，当QM最小时，CQ最小，此时CQ⊥l1，CQ ＝|5＋3|2＝42，则QM 的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋P A 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋P A 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．(2019·大同模拟)已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且AB ＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．答案 [1,5]解析圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2,1)，半径R ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·AB ·h ＝h ， ∵d －R ≤h ≤d ＋R ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．15．(2020·烟台模拟)圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是( ) A ．2 3 B.203C.323D.163答案 C解析由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323，当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号，故选C. 16．在平面直角坐标系中，已知圆心在直线x －2y ＝0上，圆C 经过点A (4,0)，但不经过坐标原点，并且直线4x －3y ＝0与圆C 相交所得的弦长为4.(1)求圆C 的一般方程；(2)若从点M (－4,1)发出的光线经过x 轴反射，反射光线刚好通过圆C 的圆心，求反射光线所在直线的方程(用一般式表达)．解 (1)设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为圆心C 在直线x －2y ＝0上，所以a －2b ＝0，①又因为圆C 经过点A (4,0)，所以(4－a )2＋b 2＝r 2，②而圆心到直线4x －3y ＝0的距离d ＝|4a －3b |42＋(－3)2＝|4a －3b |5，易得d ＝r 2－22，即|4a －3b |5＝r 2－22，③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝3，r ＝13，又因为(x －2)2＋(y －1)2＝5经过坐标原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，舍去.r ＝5 故圆C 的标准方程为(x －6)2＋(y －3)2＝13，化为一般方程为x 2＋y 2－12x －6y ＋32＝0.(2)点M (－4,1)关于x 轴对称的点为N (－4，－1)，反射光线所在的直线即为NC 所在的直线，又因为C (6,3)．所以反射光线所在直线的方程为y ＋1x ＋4＝3＋16＋4，所以反射光线所在直线的一般式方程为2x －5y ＋3＝0.。

(江苏专版)高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测(四十二)椭圆文-人教版高三全册数学

课时跟踪检测（四十二）椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2018·江安中学期末)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32两点的椭圆的方程为________________．解析：设椭圆的方程为x 2m 2＋y 2n2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧4m 2＋12n 2＝1，2m 2＋34n 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝8，n 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2＝1. 答案：x 28＋y 2＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为12，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为2a ＝12，c a ＝12，所以a ＝6，c ＝3，b2＝27.所以椭圆的方程为x 236＋y 227＝1. 答案：x 236＋y 227＝13．设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π3，△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫或|PF 2|＝b 2a ，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝b 2c a ＝32.答案：324．(2018·某某名校联考)若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n＝1的离心率是________．解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4，当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝ 5. 答案：32或 5 5．(2018·东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是____________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意知⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值X 围是________．解析：设两直线交点为M ，令MF 1＝m ，MF 2＝n .由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，因为MF 1⊥MF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，因为(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(n 2＋m 2)，当且仅当m ＝n ＝a 时取等号，即4a 2≤2(4c 2)，所以a ≤2c ，所以c a ≥22，即e ≥22，因为e <1，所以22≤e <1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·某某期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1―→·PF 2―→＝________.解析：法一：PF 1―→·PF 2―→＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→＋OF 2―→)＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→－OF 1―→)＝|PO ―→|2－|OF 1―→|2＝n －(m －n )＝2n －m .法二：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则x 2＋y 2＝n ，PF 1―→·PF 2―→＝(x ＋c )(x －c )＋y 2＝x 2＋y 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .答案：2n －m2．(2017·某某模拟)若椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为________．解析：不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .所以a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)．即c 2a 2＝89，所以e ＝c a ＝223.答案：2233．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB ＝3，则C 的方程为__________________．解析：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长AB ＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.答案：x 24＋y 23＝14．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，B 1A ―→＝(a ，b )．因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．答案：5－125.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝452－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：x 236＋y 216＝16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(3,0)，所以c ＝3.又b ＝4，所以a ＝b 2＋c 2＝5. 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．答案：(－5,0)7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆C 上，所以△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2 ＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2 ＝4a ＝16，所以a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，所以c ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝18．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0a －x 0＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b2a 2＝14，从而e ＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→，AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.10．(2018·某某学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1―→＝λF 1Q ―→.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2)若PF 2⊥x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，某某数λ的取值X 围．解：(1)因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ，由题意得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且在椭圆上，所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，且y 0＞0，Q (x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为F 1(－c,0)，所以PF 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q ―→＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1―→＝λF 1Q ―→，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e2－3.因为e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，5. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0<m <9)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B两点，若AF 2＋BF 2的最大值为10，则m 的值为________．解析：根据椭圆定义，AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝12，因为AF 2＋BF 2的最大值为10，所以AB 的最小值为2，所以AB min ＝2b 2a ＝2m3＝2，解得m ＝3.答案：32．(2018·某某质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知PA ＋PB 的最小值等于A 1B ＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝AB PA ＋PB ＝4PA ＋PB 的最大值为22613. 答案：226133.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程．解：(1) 当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以PF ＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2(b 2－1)＝0，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kb2k 2＋1>0， ①x 1x 2＝2b 2－12k 2＋1>0， ②Δ＝82k 2－b 2＋1>0， ③由PF ―→·QF ―→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋(kb －1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝0，代入化简得3b 2－1＋4kb ＝0.④ 由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b2k 2＋1，得C ⎝⎛⎭⎪⎫－2kb 2k 2＋1，b 2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －b2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb 2k 2＋1. 令y ＝0，x ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 2k 2＋1，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2k 2＋1，则A 为BC 中点，故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2AF AO ＝21－x A x A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1. 由④式得，k ＝1－3b 24b ，则x A ＝－kb 2k 2＋1＝6b 4－2b 29b 4＋2b 2＋1，所以S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b 4＋8b 2＋26b 4－2b 2＝53，解得b 2＝3.所以b ＝3，k ＝－233或b ＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线PQ 的方程为y ＝233x －3或y ＝－233x ＋ 3.。

2020版高考数学一轮复习课时训练(四十五)圆与方程理(含解析)苏教版(最新整理)

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课时跟踪检测（四十五）圆与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若圆的半径为3,圆心与点(2,0）关于点（1,0）对称,则圆的标准方程为________．答案：x2＋y2＝92．在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆O：x2＋y2＋2x＝0上任意一点，点Q（2a，a＋3)(a ∈R)，则线段P Q长度的最小值为________．解析：圆O：x2＋y2＋2x＝0，即 (x＋1）2＋y2＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆,则点Q（2a，a＋3)到圆心(－1，0）的距离d＝2a＋12＋a＋32＝错误!＝错误!，所以当a＝－1时，d取得最小值为5，故线段P Q长度的最小值为5－1.答案:错误!－13．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点（a,b）到原点的距离为________．解析:由半径r＝12D2＋E2－4F＝12错误!＝2得，错误!＝2。

所以点(a，b)到原点的距离d＝错误!＝2.答案:24．若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0）关于直线y＝x对称,则圆C的标准方程为________．解析:根据题意得点(1,0）关于直线y＝x对称的点（0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C 的标准方程为x2＋(y－1）2＝1.答案：x2＋（y－1）2＝15．(2019·兴化月考)经过点（2,0)且圆心是直线x＝2与直线x＋y＝4的交点的圆的标准方程为________．解析:由错误!得错误!即两直线的交点坐标为（2,2)，则圆心坐标为（2,2)．又点(2,0）在圆上,所以半径r＝2，则圆的标准方程为（x－2)2＋（y－2)2＝4。