1-2复变函数的极限

三、复变函数
设G 为给定的平面点集，若对于G中每一个 复数z x iy，按着某一确定的法则 f ，总 有确定的一个或几个复数w u iv与之对应， 则称w 是G上的关于z的复变函数，简称复变 函数，记作w f ( z ). 其中z 称为自变量， w称为因变量，点集 G 称为 函数的定义域. 单值函数 若每个z G，有且仅有一个w与之 对应，称此函数为单值函数。
区域的例子:
例1 圆盘U ( a , r )
有界开区域
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其边界为点集 ： { z | | z a | r } 例2 点集 z r1 z z0 r2 是一有界区域, 其边界由两个圆周 z z0 r1 , z z0 r2构成. 如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域 , 但边界有变化, 是两个圆周及其若干个孤 立点所构成.
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例5 研究w z 所构成的映射 . 解
设z r (cos i sin ) re i z re
y (z)
i
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—关于实轴对称的一个映射 v
o
(w) u
o
x
例6 研究w e z (实常数）所构成的映射 .
1. lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z )
z z0 z z0 z z0
2. lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z )
z z0 z z0 z z0
f (z) f ( z ) lim z z0 3. lim (lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0
z z0
定理1 设f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )，在z0的某空心 邻域内有定义，其中z0 x 0 iy0，则 lim f ( z ) A u0 iv0
z z0
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的充分必要条件为 : lim u( x , y ) u0， lim v ( x , y ) v0
反映，是同一概念。 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数； 几何中，两个变量之间的对应关系称为映射； 代数中，两个变量之间的对应关系称为变换； 以下不再区分函数与映射（变换）。
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实变量的实函数的性质往往可以通过它们 的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时， 就不容易找出方便的图形，这是因为z和w 在一个平面上，而不是一条直线上, 因此，分别在两个平面上画出它们。
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z G ( z平面) w G ( w平面)的映射.
*
w f ( z )
定义域 y (z) w=f(z)
函数值集合 (w) G* w o u
w称为 z的象 , z称为w的原象 .
v
z
o
G x
w=f(z)
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
函数，映射，变换都是一种对应关系的
解 1) w ( z1 ) ( 1) 1,
2
w ( z3 ) (1 i ) { 2[cos
2
i sin ]}2 4 4 2 2 2 ( 2) [cos( ) i sin( )] 2i 4 4


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由乘法的辐角公式：Argw Arg z Arg z , 通过映射w z 2 , z的辐角增大一倍, 因此，z平面上与正实轴夹角为 的角形域 映成w平面上与正实轴夹角为2的角形域 .

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z0
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)， 使该邻域内的所有点都属于E，则称z0 是点集E的内点。 开集: 若E内的所有点都是 它的内点，则称E是 开集。
外点

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z0 内点
P
边界与边界点: 设有点P，若点P的任何邻域 中既有属于都包含E中的点又有不属于 E的点，则称P是E的边界点；点集E的 所有边界点的集合称为E的边界
2 x iy 则w u iv 2 x y2 因为 1 1 2 2 x ( z z )，y ( z z )，x y zz 2 2i 3 1 所以 w 2z 2z ( z 0)
四、映射——复变函数的几何表示
函数w f ( z )在几何上，可以看成
z z0
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注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若
极限存在是指z沿着任意方向，以任意 方式趋于z0时，f ( z )都要趋于同一值A。
复变函数的极限四则运算法则：
设 lim f ( z ), lim g ( z )都存在，则
z z0 z z0
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二、简单曲线（或Jardan曲线) 平面上一条 连续曲线 可表示为：
x x(t ) ( t ), y y( t ) 其中 x ( t )、 y ( t )是连续的实 变函数。
若 x '( t )、 y '( t ) C [ a , b ]且[ x '( t )]2 [ y '( t )]2 0 则称 该 曲线为光滑的.
闭包： 区域D与它的边界一起称为D的闭包, 记为D .
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孤立点：若z0属于点集E , 但存在z0的某个去心邻 域内无E中的点，则称z0为E的孤立点
聚点 : 若点P的任意邻域U ( P )内都包含有E 中的无限个点，则称 P 为 E 的聚点.
点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
z x iy x y 2 xy 于是 2 i 2 2 z x iy x y x y2
2 2
x y 2 xy z i lim 2 i lim lim 2 2 2 x 1 x y x 1 x y z 1 i z y 1 y 1
外部 内部 z(a)=z(b) C 边界
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单连通域与多连通域 复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单 闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域； 非单连通域称为多连通域。
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单连通域
多连通域
例如
|z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的。
z ( ) z ( )
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z ( ) z ( )
简单闭曲线
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质） 任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]， 把复平面唯一地分成两个互不相交的部分： 一个是有界区域，称为C的内部； 一个是无界区域，称为C的外部. C是它们的公共边界。
o v
w z2
u (w)
R =4
y
R= 2
(z)
w z2
o
x
x2 y2 4
w z2
o
u
反函数 w f ( z )确定了一个单值或多值函数
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z ( w )称为w f ( z )的反函数, 也称 为映射w f ( z )的逆映射. 若w f ( z )和其反函数z ( w )都是单值函数， 则称w f ( z )是一一映射. 也称G和G *是一一对应的.
因此w z 对应u x y , v 2 xy
2 2 2
例4 将定义在全平面除原点区域上的一对 二元实变函数 2x y 2 2 u 2 ， v ， x y 0 2 2 2 x y x y 化为一个复变函数 .
解 设z x iy, w u iv
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区域
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设 D是一个开集，且D连通，即D中任 任意两点均可用完全属于D的连线连起 来，称 D是一个区域。
记为D.
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域 ,
有界区域与无界区域
若存在R 0, 使区域D内每一点z0都满足 | z0 | R，则称D为有界区域； 否则为无界区域.
i
解 设z re i ,
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有w e z e re re
i
i
i
i ( )
w u iv (cos i sin )( x iy ) ( x cos y sin ) y、v i ( x sin y sin )，
2) 因为w z ( x iy ) x y 2ixy
2 2 2 2
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于是有u x y a , v 2 xy b
2 2
所以z平面的曲线映成w平面的直线 3) 因为w z ( x iy ) x y 2ixy
2 2 2 2
2 v x 1 u 1 y2 , v 2 y u 1 4 2 v 2 4 y 2 u x 4, v 4 x u 16
所以z平面的直线映成w平面的抛物线
y
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(z)

v
w z2
(w)
2
o
x
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令z ( t ) x ( t ) iy( t ), t , 则平面曲线的 复数表示式为 z z ( t ) ( t ). z ( ), z ( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z ( )和z ( )外, 本身不自交的连续曲线称为简单曲线。 z ( ) z ( )的简单曲线，称为简单闭曲线, 或约当闭曲线.
五、复变函数的极限
设函数f ( z )在z0的某去心邻域内有定义，若对 0， 0,当0 z z0 时恒有 f (z) A 则称A为函数f ( z )当z趋于z0时的极限，记作 lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z 0 )
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定义一个复变函数w f ( z ), 相当于定义两个 二元实函数u u( x , y ),v v ( x , y )
例3 考察函数w z w u iv ( x iy )2 x 2 y 2 2 xyi
2
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(z)、(w)
u x cos y sin 即 v x sin y sin
—旋转变换(映射)

o x、u
2 已知映射 w z ，求 例7
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1) z平面上的点z1 1, z2 i , z3 1 i在w 平面上的象; x2 y2 a 2) z平面上曲线 映成w平面上 2 xy b 怎样的曲线; 3) z平面上直线x 1, y 2映成w平面上怎 样的曲线？
第一章 复数与复变函数
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第二讲
复变函数的极限与连续性
学习要点 掌握复变函数的概念 掌握复变函数的极限与连续性
一 、 复平面上的点集与区域
邻域：复平面上以 z0为心, 0为半径的圆: |z z0 | ( 0), 所确定的平面点集， 称为z0的 邻域，记作U ( z0 , ) 由 0 |z z0 | ( 0) 所 确定的平面点集，称为 z0的去心 邻域， 记为U ( z0 , ).
x x0 y y0 x x0 y y0
例1 试求下列函数的极限.
z 1. lim z 1 i z zz z z 1 2. lim z 1 z 1
z 1. lim z 1 i z
解 设z x iy , z x iy
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