分析法-探究导学课型

条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法明.又显叫成逆立推证法或执果
索因法.
2.分析法的流程
其中Q表示要证明的结论，P1，P2，P3，…，P分别表示使Q，P1，
P2，…，Pn成立的_____条件，P表示最后寻求到的一个明显成立
的条件.
充分
【合作探究】 1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：分析法的推理过程是演绎推理，因为分析法的每一步推理都是 严密的逻辑推理，从而得到的结论都是正确的，不同于合情推理中的 猜想.
2.分析法的证题思路是什么？ 提示：分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知，即从数 学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻 找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件. 3.分析法证题的模式一般是什么？ 提示：“要证……”“只需证……”“即证……”的语言模式.
(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.
2.证明不等式 a 1 a a 1 a 2 (a≥2)成立所用的最适合的
方法是
.
【解析】由于此式两边都有根号，由其特点可用分析法证明此不等式.
Hale Waihona Puke 答案：分析法【归纳总结】 1.对分析法的两点说明 (1)思维方法：分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发， 不断地去寻找需知，直至找到已知事实的方法. (2)分析法的形式：“结论→需知1→需知2→…→已知”.
第2课时 分析法
主题：分析法
【自主认知】
证明不等式：
成立，可用下面的方法进行.
证明：要证明 3 2 2 2 7
由于
3 2 2 2 7，
只需证明3 2 2 0，2 7 0，
展开得
32
2
2
2 只7需2．证明6<7，显然6<7成立.
所以
成立.
11 4 6 11 4 7，
32 2 2 7
类型二：分析法证明其他问题 【典例2】求证：以过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与 直线x= 相切.
p 2
【解题指南】
【证明】如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，
B′，
取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′，
要证明以AB为直径的圆与准线相切，
只需证|MM′|= |AB|.
a b c a b c 3， ab bc
ca 即证c(ab+bc)+ba(ca+1b. )=(a+b)(b+c)，即证c2+a2=ac+b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B=60°. 由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60°， 即b2=c2+a2-ac. 所以c2+a2=ac+b2成立，即命题得证.
分析法与综合法结合证明不等式成立.
【证明】要证明 a b ＞ c . am bm cm
只需证明 a b 即可c ，＞0 am bm cm
所以
abc am bm cm
abmcmba mcmca mbm 因 为a>0，b>0a，cm>0b，mm>c0，m所 以(a+m)(b+m)(c+m)>0.
因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m) =abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acmcm2 =2abm+am2+abc+bm2-cm2 =2abm+abc+(a+b-c)m2. 因为△ABC中任意两边之和大于第三边，
a+b<0两种情况.
a2 b2 2 a b
2
【证明】若a+b<0， a2 b2 2 显a 然b成 立.
2
若a+b≥0，要证 a2 b2 2成a立，b
只需证a2+b2≥ 1 (a+b)2成立2，
即证a2+b2≥ (a22+2ab+b2)成立， 1
即证 (a2-2ab2 +b2)≥0， 1
【补偿训练】若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：
f(x 1 ) 为偶函数. 【证明2 】记F(x)= 欲证F(x)为偶函数，f(x只 需12 )证，F(-x)=F(x)，
即证
由已知f，( 函x 数1f)(x+f(x1)与1 )f.(x)的图象关于y轴对称，
2
2
而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的，
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐 步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的 不等式. (4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要 证”、“只需证”、“即证”等词语.
【巩固训练】当a≥2时，求证 a 1 a＜ a 1 a 2.
所以f(-x)=f(x+1).
于是有 f( x 1 ) f[ (x 1 )]
2
2
f[(x 1 ) 1] f(x 1 ).
所以 2 为偶函数.2
f(x 1 ) 2
类型三：综合法与分析法的综合应用 【典例3】已知a，b，c表示△ABC的三边长，m>0，求证：
a b＞c. 【a 解 m题指b 南 m】根c 据m在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用
【过关小练】
1.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且
a+b+c=0，求证
则证明的依据应是( )
A.a-b>0
b2 ac＜ 3a，
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
【解析】选C. b2 ac＜ 3a ⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔
2.分析法与综合法的区别与联系
综合法
分析法
符号 A(已知)⇒P1⇒P2 表示 ⇒…⇒Pn⇒B(结论)
B(结论)⇐P1⇐P2 ⇐…⇐Pn⇐A(已知)
区
从“已知”看“可知”，从“未知”看“需知”，逐
别
特
逐步推向未知，其逐步 步靠拢“已知”，其逐步推 推理，实际上是步步寻 理，实际上是步步寻找上一
点 找上一步的必要条件. 步的充分条件.可概括为“执
即证-2<0，而-2<0显然成立，
所以
成立.
a 1 a＜ a 1 a 2
【补偿训练】当实数a，b满足什么条件时， a b＜ a b 成立.
【解析】要
a b＜ a b，
只需
只需a<ab＜+(ba-b)a+2b，
只需2 >0， ba b，
只需a>0b，a bb>0，a-b>0，即a，b要满足的条件为a>b>0.
【巩固训练】如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线， 垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.
【证明】要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF， 只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC). 只需证AE⊥平面SBC， 只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)， 只需证BC⊥平面SAB， 只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)， 由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立. 所以AF⊥SC.
由抛物线的定义1有|AA′|=|AF|， 2
|BB′|=|BF|，
所以|AB|=|AA′|+|BB′|，
因此只需证|MM′|= 1(|AA′|+|BB′|). 根据梯形的中位线原理2 可知上式是成立的，所以以过抛物线y2=2px
焦点的弦为直径的圆必与直线x= 相切.
p 2
【规律总结】分析法证明问题的两个关键点 (1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证” 这些词语必不可少，否则会出现错误. (2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结 论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.
所以a+b-c>0， 所以(a+b-c)m2>0， 所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0，
所以
a b＞c. am bm cm
【延伸探究】 1.(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”求证：
11 3 .
【a证明b 】b要 c证 a b c
即证
11 3 ，
即证
ab bc abc
(3)在实际解决问题中，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产 生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突 破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程.
【巩固训练】设a，b，c均为大于1的正数，且ab=10.求证：
logac+logbc≥4lg c.
【证明】由于a>1，b>1，故要证明logac+logbc≥4lg c，
【证明】要证
a 1 a＜ a 1 a 2，
只需证
只需证 a 1 a 2＜ a a 1，
2
2
只需证 a 1 a 2 ＜ a a 1 ，
只需证 a 1 a 2 2 a 1a 2＜a a 1 2 a a 1.
(a 1)a 2＜ a a 1，
只需证(a+1)(a-2)<a(a-1)，
只需证
ba
即证(a-ba )(a b b)≥ 0a ，b b a，
因为a>0，b>a0， b