广东省梅州市三校高二下学期第一次联考数学(理)试题7

高二下学期第一次段考三校联考数学理科试题一、选择题（每题5分，每小题只有一个正确选项，共12题，共60分） 1、设命题p :若23x x >,则0x <,其逆否命题为( )A ．若0x ≥,则23x x ≤B ．若0x >,则 23x x <C ．若23x x >,则0x ≥D ．若23x x ≤,则0x >2、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ． C ．4 D ．53、 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ( )A ．13 B. －13 C. －32 D. 234．下列命题中真命题的个数为（ ） ①命题“lg 0,x =则x=1”的否命题为“若lg 0,1x x ≠≠则” ②若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题③命题p ：x R ∃∈，使得sin 1x >；则p ⌝：x R ∀∈，均有sin 1x ≤④“2x >”是“112x <”的充分不必要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A.103B.163C.4D.6 6．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（ ）A ．60°B ．75°C ．105°D ．90°7. 已知n m ,为异面直线 ,⊥m 平面α, ⊥n 平面β.直线满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄, 则 （ ） A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于D ．α与β相交,且交线平行于8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径， 则这个几何体的体积为（ ）A.B.C.D.9.已知函数()y xf x '=()f x的导函数），下面四图象中()y f x = 的图象大致是（ ）D.C.B.A.10.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A. 20πB.C. 5πD.11．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)x y +-＝1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A 、(1,2] B 、［2，＋∞） C 、 D 、，＋∞）12. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *2221, ,, .a ab a b b b ab a b ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩设()()21f x x =-*()1x -，且关于x 的方程()()f x m m =∈R 有三个互不相等的实根1x ，2x ，3x ，则321x x x ⋅⋅的范围是( )A ．1,032⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）13. 已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b = ，||a b λ+=且0λ>，则λ= ． 14．已知点P 在曲线4e 1x y =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则αtan 的最小值是 ．15．已知22222334422,33,44,33881515+=⨯+=⨯+=⨯……若299(,a aa b b b+=⨯为正整数），则a b += __________ 。

16.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过其焦点F 作直线交抛物线C 于A,B 两点， 若:3:1AF BF =，则直线的斜率k(k>0)等于 .三．解答题17、(本题满分10分) 已知p: 2320m m -+>; q:“ x 2-2x≤0 ”是“x 2-2mx-3m 2≤0 （m>0）”的充分不必要条件.若p ∧q 为真,求实数m 的取值范围.18. (本题满分12分) 已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线1l 过定点(1,0)A ． （Ⅰ）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若1l 与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线1l 的方程．19. （本题满分12分）已知c bx ax x x f +++=23)(在1=x 与32-=x 时，都取得极值．（1）求b a ,的值； （2）若23)1(=-f ，求)(x f 的单调区间和极值；（3）在（2）的条件下，若[1,2]x ∃∈-有3()f x m<成立，求m 的范围．20. （本题满分10分）如下图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠= ，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AFE --的余弦值．21.（本小题满分12分） 如图（6），已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点；圆222:()F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点， 试判断直线AB 与圆F 的位置关系； (3)设直线AB 与椭圆C 交于另一点G ，若BGD ∆的面积，求椭圆C 的标准方程.图2P A BC EDF图（6）yxBOEFD22．（14分）设()313f x x ax =-()0a >,()221g x bx b =+-. 且()()()h x f x g x =+; （1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求a ，b ； （2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求a 的范围；（3）当1a =,0b =时,求(2)h -以及()h x 在[]3,+t t 上的最小值．高二下学期第一次段考三校联考数学理科试题(参考答案)13. =3λ ； 14. -1 ； 15. 89 ； 16.三． 解答题[][]2222.32012--------220230(0)02,3(0)--------0000------------732322--------------83213p m m m m q x x x mx m m m m m m m m m m m m p q m -+><>-≤--≤>->>>⎧⎧⎪⎪-≤-<⎨⎨⎪⎪>≥⎩⎩≥∧⎡⎫⎪⎢⎣⎭17解：若为真:由，即或分若为真:由是的充分不必要条件；即，是的真子集5分或分得分由为真，所求的范围：，(2,)---------10+∞ 分18.解:（Ⅰ）当L 1斜率不存在时，方程x=1满足条件；.................................1分 当L 1斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),则 214k 32=+--k k ，解得43=k ，............... 3分所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0; ...................................................4分（Ⅱ）由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k(x-1),则圆心到直线的距离d=14k 22+-k ，则CPQ ∆的面积S=4)2(442d 2122422+--=-=-⨯d d d d ， (9)分当d=2时，S 取到最大值2，此时k=1或k=7，.......................................11分所以所求直线方程是x-y-1=0或7x-y-7=0。

...........................................12分22'()32 (12)()1323201 (3)f x x ax b f x x x x ax b =++==-∴++=- 19.解：（1）分在与取得极值的两根为，..222133 (321331), 2 (2)a b a b ⎧-⎪⎪∴⎨⎪⨯-⎪⎩∴=-=-分+（）=-分（）=32 (41)()22f x x x x c∴=--+分3231(1)1()2 1 (522)f c f x x x x -==∴=--+(2)由得分()22(),1,,1332491()()()(1).........................................................83272f x f x f f x f ⎛⎫⎛⎫∴-∞-+∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==-极大值极小值的递增区间为和，递减区间为且=，=分33(3)[1,2]()() (913)()(1)(1)221() (102)31316002220 6.....................x f x f x m m f x f f f x m m m mm m ∃∈-<∴>=--=∴=-+∴>-∴+>>∴><- 最小值极小值最小值有分又=，分即或...................12分 20．解：（1）证明： PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD AD ⊥. 在正方形ABCD 中CD AD ⊥，又CD PD D =I ，∴AD ⊥平面PCD .CF ⊂平面PCD ，∴AD CF ⊥.AF CF ⊥，AF AD A =I ，∴CF ⊥平面ADF .................................3分（2）解法1：以D 为坐标原点，DP 、DC 、DA分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,设正方形ABCD 的边长为1，则3(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),,0)4D A C P E F (4)分由（1）得1,0)CP =-uu r是平面BCDE 的一个法向量................................... 5分设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ，3(0,,0)4EF =uu u r ，(EA =uu r ，所以3040EF y EA x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩uu ur uu rn n … ……................................................7分令4x =，则0y =，z =，所以=n 是平面AEF 的一个法向量....... 8分设二面角D AF E --的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cos CP CP θ⋅===⋅uu r uu r n n ..................................9分所以二面角D AF E --. ..................................10分解法2：过点D 作DG AE ⊥于G ，过点D 作DH AF ⊥于H ，连接GH . 因为CD PD ⊥，CD ED ⊥，ED AD D =I ，所以CD ⊥平面ADE . 因为FE ∥CD ，所以FE ⊥平面ADE . 因为DG ⊂平面ADE ，所以FE DG ⊥.因为AE FE E =I ，所以DG ⊥平面AEF .易得GH AF ⊥，所以DHG ∠为二面角D AF E --的平面角.设正方形ABCD 的边长为1， … ……5分P BC E DF G H在Rt△ADF中，1AD=，DF=，所以DH=.在Rt△ADE中，因为1124FC CD PC==，所以14DE PD==所以DG=所以GH==.… ……8分所以cosGHDHGDH∠==，… ……9分所以二面角D AF E--. …… ……10分21.解：(1)∵圆F过椭圆C的左焦点，把(,0)c-代入圆F的方程，得224c a=，故椭圆C的离心率12cea==； ---------------2分(2) 在方程222()x c y a-+=中令0x=得2222y a c b=-=，可知点B为椭圆的上顶点，由(1)知，12ca=，故2,a c b===，故B)，在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为(3,0)c，则点A为(3,0)c-，-----4分于是可得直线AB的斜率ABk==，而直线FB的斜率FBk==，-----------5分∵1AB FBk k⋅=-,∴直线AB与F相切。