高考理科数学考点简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2020年高考理科数学一轮总复习：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2020年高考理科数学一轮总复习：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”． (2)命题p ∧q 、p ∨q 、﹁p 的真假判断(1)全称量词和存在量词导师提醒 1．明晰一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．巧用一个口诀含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p 与﹁p →真假相反．3．记准两类否定(1) ﹁(p ∧q )⇔( ﹁p )∨(﹁q )． (2) ﹁(p ∨q )⇔( ﹁p )∧(﹁q )． 4．辨明一组关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√已知命题p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得cos x ≤x ，则綈p 为( )A ．∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，总有cos x ≤x解析：选C.原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1＜0，则綈p 为( ) A ．不存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＜0 B ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＜0 C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0 D ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0解析：选D.命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1＜0的否定﹁p ：存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0.故选D.下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，log 2x ＝0 B ．∀x ∈R ，x 2＞0 C ．∃x ∈R ，cos x ＝1D ．∀x ∈R ，2x ＞0解析：选B.对于A ，令x ＝1，成立；对于B ，x ＝0时，不成立；对于C ，令x ＝0，成立；对于D ，根据指数函数的性质，成立．故选B.已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y ，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，xx －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1(2)已知命题p ：∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是增函数，则綈p 为 ( ) A ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数 B ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数C ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数D ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数 【解析】 (1)因为x x －1＞0，所以x ＜0或x ＞1，所以x x －1＞0的否定是0≤x ≤1，所以命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.(2)由特称命题的否定可得﹁p 为“∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数”． 【答案】 (1)B (2)D角度二 全称命题、特称命题的真假判断 (1)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x ＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sinπ2x 0＝1 【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以－2≤sin x ＋cos x≤2，所以D 错误．(2)对于B.当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B(1)对全称命题与特称命题进行否定的方法①改变量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改变；②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与特称命题的真假判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解析：选D.“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )＞n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.2．下列命题是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点解析：选B.取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，A 正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知，选B.含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)(1)(2019·石家庄模拟)命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．﹁p(2)给定下列命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a ＞0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2＜0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨(﹁p 3)D ．(﹁p 2)∧p 3【解析】 (1)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．(2)对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝⎛⎭⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题．【答案】 (1)B (2)D（1）判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤①判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义；②判断命题真假的步骤：确定命题的构成形式―→判断其中简单命题的真假―→判断复合命题的真假(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系①p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(﹁p )∧(﹁q )假； ②p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(﹁p )∧(﹁q )真； ③p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(﹁p )∨(﹁q )假； ④p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(﹁p )∨(﹁q )真； ⑤綈p 真⇔p 假；﹁p 假⇔p 真．1．命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(﹁q )D ．﹁q解析：选B.由于y ＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上是增函数， 所以命题p 是假命题．由3x ＞0，得3x ＋1＞1，所以0＜13x ＋1＜1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(﹁q )为假命题，﹁q 为假命题． 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(﹁q )”是假命题；③命题“(﹁p )∨q ”是真命题；④命题“(﹁p )∨(﹁q )”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x 0＝52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．故②③正确． 答案：②③由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．[迁移探究1] (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. [迁移探究2] (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．(2019·福建三校联考)若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.答案：[－3，3]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)与逻辑联结词有关的参数求解问题中的核心素养已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． 【解】 因为函数y ＝log c x 在R 上单调递减，所以0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1. 因为c ＞0且c ≠1，所以綈p ：c ＞1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以綈q ：c ＞12且c ≠1.又因为“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以p 与q 一真一假．①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ＞12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12＜c ＜1.②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0＜c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12＜c ＜1.解决本题的关键是将题目条件“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真转化为命题p 和q 一真一假，充分体现了“逻辑推理”的核心素养．当a ＞0时，设命题P ：函数f (x )＝x ＋ax 在区间(1，2)上单调递增；命题Q ：不等式x 2＋ax ＋1＞0对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．0＜a ≤1B ．1≤a ＜2C ．0≤a ≤2D ．0＜a ＜1或a ≥2解析：选A.因为函数f (x )＝x ＋ax 在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x )≥0在区间(1，2)上恒成立， 所以1－ax 2≥0在区间(1，2)上恒成立，即a ≤x 2在区间(1，2)上恒成立， 所以a ≤1.且a ＞0，①又不等式x 2＋ax ＋1＞0对任意x ∈R 都成立， 所以Δ＝a 2－4＜0， 所以－2＜a ＜2，② 若“P 且Q ”是真命题， 则P 与Q 都是真命题， 故由①②的交集得：0＜a ≤1， 则实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 故选A.[基础题组练]1．已知命题p ：所有的指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数C ．存在一个指数函数，它不是单调函数D ．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C.命题p ：所有的指数函数都是单调函数，则綈p ：存在一个指数函数，它不是单调函数．2．已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0解析：选B.因为3x ＞0，所以3x ＋1＞1，则log 2(3x ＋1)＞0，所以p 是假命题，﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0.故应选B.3．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； P 2：∃x ∈R ，sin 2x ＝sin x ； P 3：∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，1＋cos 2x2＝cos x ； P 4：∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x . 其中真命题是( ) A ．P 1，P 4 B ．P 2，P 3 C ．P 3，P 4D ．P 2，P 4解析：选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2，可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题P 1是假命题；因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题P 2是真命题； 因为1＋cos 2x 2＝cos 2x ，所以1＋cos 2x 2＝|cos x |，结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2得cos x ≥0，由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，得命题P 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x ＞cos x ，所以存在x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题P 4是假命题． 故选B.4．“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为﹁p 为假，所以p 为真，所以“p ∨q 为真”，反之不成立，可能q 为真，p 为假，﹁p 为真．所以“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的必要不充分条件．故选B.5．已知命题p ：若a ＞|b |，则a 2＞b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是( ) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．“﹁p ”为真命题D ．“﹁q ”为假命题解析：选A.由a ＞|b |≥0，得a 2＞b 2，所以命题p 为真命题．因为x 2＝4⇔x ＝±2，所以命题q 为假命题．所以“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“﹁p ”为假命题，“﹁q ”为真命题．综上所述，可知选A.6．(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，e x＞x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(﹁q )是真命题D ．命题p ∨(﹁q )是假命题解析：选B.显然，当x ＝10时，x －2＞lg x 成立，所以命题p 为真命题．设f (x )＝e x －x ，则f ′(x )＝e x －1，当x ＞0时，f ′(x )＞0，当x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )≥f (0)＝1＞0，所以∀x ∈R ，e x ＞x ，所以命题q 为真命题．故命题p ∧q 是真命题，故选B.7．(2019·惠州第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．﹁q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C.函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0）在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C. 8．(2019·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞)D ．(0，4)解析：选D.因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选D.9．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＜3x ；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(﹁p )∧qD ．p ∧(﹁q )解析：选B.由20＝30知，p 为假命题；命题q ：“x ＞1”不能推出“x ＞2”，但是“x ＞2”能推出“x ＞1”，所以“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．所以(﹁p )∧(﹁q )为真命题．故选B.10．(2019·湖北荆州调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨(﹁q )，则其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由于Δ＝4a 2＋4＞0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x ＜0时，f (x )＝x ＋4x 的值为负值，故命题q 为假命题．所以p ∨q ，p ∧(﹁q )，(﹁p )∨(﹁q )是真命题，故选C.11．(2019·沈阳期中)有下列四个命题： (1)命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0为真命题； (2)设p ：xx ＋2＞0，q ：x 2＋x －2＞0，则p 是q 的充分不必要条件； (3)命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否命题是假命题； (4)非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°. 其中真命题有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个解析：选C.对于(1)，∀x ∈R ，x 2≥0，故(1)为假命题；对于(2)，设p ：xx ＋2＞0，q ：x 2＋x －2＞0，可得p ∶x ＞0或x ＜－2；q ：x ＞1或x ＜－2.由p 推不到q ，但由q 推得p ，则p 是q 的必要不充分条件，故(2)为假命题；对于(3)，命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否命题为：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，其否命题是真命题，故(3)为假命题；对于(4)，非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，可设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，可得△OAB 为等边三角形，四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，可得a 与a ＋b 的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.12．(2019·保定模拟)有下面四个命题： p 1：若x ＞1，则0.3x ＞0.3； p 2：若x ＝log 23，则⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝16； p 3：若sin x ＞33，则cos 2x ＜13； p 4：若f (x )＝tanπx3，则f (x )＝f (x ＋3)． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.对于p 1，由y ＝0.3x 在R 上递减，且x ＞1，可得0.3x ＜0.3，故p 1是假命题； 对于p 2，若x ＝log 23，可得2x＝3，⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝12×13＝16，故p 2是真命题； 对于p 3，若sin x ＞33，可得cos 2x ＝1－2sin 2x ＜1－2×13＝13，故p 3是真命题； 对于p 4，若f (x )＝tan πx3，可得f (x )的最小正周期为3，即有f (x ＋3)＝f (x )，故p 4是真命题．则其中真命题的个数为3.故选C.[综合题组练]1．(创新型)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )A ．(﹁p )∨(﹁q )为真命题B ．p ∨(﹁q )为真命题C ．(﹁p )∧(﹁q )为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选A.命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p 是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q 是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p )∨(﹁q )为真命题，故选A.2．(2019·河北武邑中学模拟)给出下列四个命题： ①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B ； ②∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ；③若a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件；④“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”．其中真命题的序号是________．解析：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B .所以①为假命题； ②当x ＝4时，x 2＝2x ，所以②为假命题；③取a ＝0，b ＝－1，则a ＞b ，但a 2＜b 2；取a ＝－2，b ＝－1，则a 2＞b 2，但a ＜b ，故若a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，所以③为假命题；④“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，所以④为真命题．答案：④3．(应用型)若∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．解析：因为∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时，f ′(x )＞0，所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫22＝22，则λ≤2 2. 答案：(－∞，22]4．(应用型)已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集；命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集，所以当a ＝0时，不满足题意；当a ≠0时，必须满足⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝（22）2－4a ≤0，解得a ≥2.由f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，可得函数f (x )在R 上单调递减，则0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3.若命题p ∧(綈q )是真命题，则p 为真命题，q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，52∪[3，＋∞)．答案：⎣⎡⎦⎤2，52∪[3，＋∞)。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点剖析：
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
命题方向：全称命题与存在性命题的否定. 考查形式一般为选择题、填空题，多为容易题．
规律总结：
1．一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．
2．两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，⌝p指的是命题的否定，只需否定结论．二是否定时，有关的否定词否定不当.
知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断
p q p∧q p∨q ⌝p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1) 命 题 中 的 ________
_________ 叫 做 逻 辑 联 结
判断真假 、 __________
判断为真 、判断为假
词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
真
真
p且q
若q，则p
1
－x
＋e ≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0 ＝ ，则下列判断正确的是
2
(
)
A．p∧q是真命题
B．(綈p)∧(綈q)是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
1
x
－x
x
解析：因为e ＋e ＝e ＋ ≥2成立，所以命题p是真命题；又由
e
1
2x0 ＝ ＝2 － 1 ，得x0 ＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以
______
真
假
______
綈q，则綈p
假
假
真
假
假
假
p或q
若______
p，则綈q
真
____
没有关系
____
必要
非p
假
相同
__
____
充分
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全
充分不必要
称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，
可先判断其否定的真假.
命题
3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定 "x ∈M ，p (x )典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数变式训练 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．Øp ：任意x ∈A,2x ∉B B ．Øp ：任意x ∉A,2x ∉BC ．Øp ：存在x ∉A,2x ∈BD ．Øp ：存在x ∈A,2x ∉B题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，sin x ＝52B ．存在x ∈R ，log 2x ＝1C ．任意x ∈R ，(12)x >0 D ．任意x ∈R ，x 2≥0 变式训练 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．Øp ∧ØqC ．Øp ∧qD ．p ∧Øq题型三 由命题真假求参数范围例3 命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 变式训练 已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．当堂练习1. 命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ,使得20x <B ．不存在x ∈R ,使得20x <C ．存在0x ∈R ,都有200x ≥D ．存在0x ∈R ,都有200x <2．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有()A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．￢p或q B．p且q C．￢p且￢q D．￢p或￢q4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“￢q”为假B．“p或q”为真，“￢q”为假C．“p且q”为假，“￢p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．课后作业一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．下列命题中正确的是()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0 B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>05．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2 7．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)8．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是()A．①④B．②③C．③④D．②④二、填空题9．命题“$x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．10．若命题“∃x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是_____________．11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为___________________．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．答案 2解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．答案充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件． 5．下列命题中的假命题是________．(填序号) ①∃x ∈R ，lg x ＝1； ②∃x ∈R ，sin x ＝0； ③∀x ∈R ，x 3＞0； ④∀x ∈R ，2x ＞0. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则④为真命题．6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]解析 由已知条件，知p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．(2017·山东改编)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式． (2)判断其中命题p ，q 的真假．(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 典例 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x； ②∃x ∈(0,1)，log 12x ＞13log x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎫12x＞12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1＝121log 2＝131log 3＞131log 2成立，故②是真命题；对于③，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝12log x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断③是假命题；对于④，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎫0，13上的图象，可以判断④是真命题．命题点2 含有一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”． (2)(2017·苏州暑假测试)命题“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是________． 答案 ∀x ＞1，x 2＜2解析 根据存在性命题的否定规则得“∃x ＞1，x 2≥2”的否定是“∀x ＞1，x 2＜2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x ，使p (x )成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是________．(填序号) ①∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ②∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数；③∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)； ④∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点．答案 ②解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，①正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，②错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x ∈R ，使x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0，③正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，④正确．(2)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>0解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”． 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上单调递增， 故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故当p 为真时，m >45； 函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1， 若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得m <1， 故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的________条件． 答案 必要不充分解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题． 二、充要条件的判断典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的________条件． 答案 必要不充分解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件． 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意，知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④p ∧(綈q )． 答案 ④解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假． 3．下列命题中为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x ； ②∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ③∀x ∈R,3x ＞0； ④∃x ∈R ，lg x ＝0. 答案 ②解析 对于①，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故①正确；对于②，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝2，故②错误；对于③，易知3x ＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确． 4．下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12； ④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号) ①p ∧q;②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q ); ④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q ); ②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q );④p ∧q .答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质可知，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立， 当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．7．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．(2017·江苏南通中学月考)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞) 解析 若命题p ：函数y ＝c x 为减函数为真命题，则0<c <1.当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 若命题q 为真命题，则1c <2，结合c >0可得c >12. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假．当p 真q 假时，0<c ≤12； 当p 假q 真时，c ≥1.故c 的取值范围是为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－∞，0)解析 f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．14．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为a >1，所以g (x )在[2，＋∞)上单调递，即g (x )≥a 2.又当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q非p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0) 4．全称命题与特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q)B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q)B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q)D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，<0，2<m<2，可得－2<m<0.所以m的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q<0，≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q≥0，2<m<2，所以0≤m<2.所以m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.≥0，2≤m≤2，得0≤m≤2，所以m的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x0≥0，x0x0－1≤0B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，xx－1≤0D．∀x<0,0≤x≤1解析：选B∵xx－1>0，∴x<0或x>1，∴xx－1>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．2．下列命题中，假命题的是()A．∀x∈R,21－x>0B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称C．函数y＝x a的图象经过第四象限D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切解析：选C对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧(非q)C．(非p)∧q D．p∧(非q)解析：选D由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件B．命题p：∀x∈R,2x>0，则非p：∃x0∈R,2x0<0C．命题“若a>b>0，则1a <1b”的逆命题是真命题D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件解析：选A对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是非p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若1a<1b，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A．(非p)∨q为真命题B．p∧(非q)为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题解析：选D由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p∨q为真命题．6．下列说法错误的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．若命题p：存在x0∈R，x20＋x0＋1<0，则非p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：选D由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(0,4]C．(－∞，4]D．[0,4)解析：选C当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.8．下列命题为假命题的是()A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0B．“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β解析：选C对于A选项，令x＝1，y＝1e，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n ⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋110．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，由题意，得x＝－2.答案：－211．已知p：a<0，q：a2>a，则非p是非q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p为真命题，非p为假命题．∵f(x)＝x2－x－1 4，∴函数f(x)在区间1 2，＋∴命题q为假命题，非q为真命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(非p)∧(非q)为假命题，(非p)∨q为假命题．答案：②③④13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，1x －x≤4t2－1.(1)当t＝1时，判断命题q的真假；(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．解：(1)当t＝1＝0，1x－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1<t<1；当q≤4t2－1，即4t2－1≥0，解得t≤－12或t≥12，∴当q为假命题时，－12<t<12，∴t －1 2，。
简单的逻辑联动词全称量词与存在量词
(3)若命题 p、 q 至少有一个是真命题， 则 p∨q 是真命题． ( (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( (5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．( ) )
答案：(1)×(5)√
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命题“∃x0∈R，x2 0－x0－1>0”的否定是( A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0 C．∃x0∈R，x2 0－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x2 0－x0－1≥0
答案：“有些可以被 5 整除的整数，末位数字不是 0”
π 若“∀x∈0，4，tan
x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值
为________．
π 解析：因为 0≤x≤ ，所以 0≤tan x≤1， 4
π 又因为∀x∈0，4 ，tan
x≤m，故 m≥1，
即 m 的最小值为 1. 答案：1
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②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，至少 能找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就 是假命题．
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(2018· 河南商丘模拟)已知 f(x)＝sin x－x， 命题 p：
π ∃x∈0， 2，f(x)<0，则(
)
A．p B．p C．p D．p
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5 解析：选 A.因为 >1，所以命题 p 是假命题．又因为 x2＋x＋1 2
12 3 3 ＝x＋2 ＋ ≥ >0，所以命题 4 4
q 是真命题，由命题真假的真值
表可以判断②③正确，故选 A.
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(教材习题改编)命题“所有可以被 5 整除的整数，末位数字 都是 0”的否定为________________________________．
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
p ⇒q
必要条件
p ⇐q
充要条件 且∧ 或∨ 非
p ⇔q p∧q p∨q p 或 q
全称量词 存在量词
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全称命题 特称命题
要点梳理
忆一忆知识要点
1. 简单的逻辑联结词
(1)命题中的“_或____”、“且_____”、非“____”叫做
逻 (2)辑命联题结p∧词q.，p∨q，￢p的真假判断
pq
p∧q
p∨q
￢p
真真
真
真
假
真假
假
真
假
假真
假
真
真
假假
假
假
真
同真才真, 一假必假
同假才假, 一真必真
真假分明
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要点梳理
忆一忆知识要点
2.全称量词与存在量词
“对所有的”“对任意一个”
全称量词
x M, p( x)
“存在一个”“至少有一个”
存在量词
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x0 M , p( x0 )
要点梳理
忆一忆知识要点
3.命题的否定
命题的否定 平行四边形的对角线不相等或不互相平分
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要点梳理
忆一忆知识要点
4.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 都是 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 不都是
解: (1)p∨q: 1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根. 真命题. p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根.假命题. ¬ p：1不是素数.真命题.
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高考数学知识点：简单的逻辑联结词、全称量词、存在量词
高考数学知识点：简单的逻辑联结词、全称量词、存在量词一、简单的逻辑联结词1、用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2、用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3、对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4、命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．典型例题1：二、全称量词与存在量词1、全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2、存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．典型例题2：典型例题3：三、含有一个量词的命题的否定典型例题4：典型例题5：特别提醒：1、逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2、正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3、“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5、全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．6、特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．7、弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．8、注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．9、要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．10、常见词语的否定形式有：【作者：吴国平】。
高三数学考点-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x 0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解：因为特称命题的否定是全称命题，所以p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .故选C . 下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 解：对于B 选项，x ＝1时，(x －1)2＝0 .故选B .(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧q D ．p ∧q解：由x ＞0时x ＋1＞1，知p 是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q 是假命题，即p ，q 均是真命题．故选B .命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_______________________________．解：由定义知命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”．故填∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解：根据题意，m ≥(tan x )max ，而y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，有(tan x )max ＝tan π4＝1，所以m ≥1，m 的最小值为1.故填1.类型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断(1)设命题p ：若x ，y ∈R ，x ＝y ，则xy ＝1；命题q ：若函数f (x )＝e x ，则对任意x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立．则在下列命题中，真命题是( ) ①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q .A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x ；命题q ：∃x 0∈N *，2x 0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．(p )∧(q )解：(1)当x ＝y ＝0时，xy无意义，故命题p 为假命题；由于函数f (x )单调递增，所以对任意x 1≠x 2，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，所以一定有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0成立，所以命题q 为真命题．显然只有命题②④为真命题．故选D .(2)根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x0＝22，得22x0－22·2x0＋2＝0，解得2 x0＝2，即x 0＝12(或2x 0＋21－x 0≥22 x 0·21－x 0＝22，当且仅当2x 0＝21－x0，即x 0＝12时等号成立)，命题q 为假命题．所以只有p ∧(q )为真命题．故选C .【点拨】判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1.则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(q )是真命题 D ．命题p ∨(q )是假命题(2)已知命题p ：若b 2＝ac (a ，b ，c ∈R )，则a ，b ，c 成等比数列；q ：函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 是奇函数．则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．p ∨(q ) D ．(p )∧(q )解：(1)取x 0＝10，得x 0－2＞lg x 0，所以命题p 是真命题；取x ＝－1，得e x ＜1，所以命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧( q )是真命题，p ∨( q )是真命题．故选C .(2)对于命题p .若b 2＝ac ，不妨取a ＝b ＝c ＝0，则a ，b ，c 不成等比数列，故命题p 为假命题；对于命题q ，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝－sin x 是奇函数，故命题q 是真命题．显然只有p ∨q 是真命题．故选A .类型二 含有逻辑联结词的命题的综合问题(2015·金华联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解：p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，－m ＜0， 解得m >2.q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3. 由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， 得m ≥3；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， 得1<m ≤2.综上，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 故填(1，2]∪[3，＋∞)．【点拨】由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假判断出p 和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m 的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知命题p ：在x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：因为x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，所以a >2－x 2x ＝2x －x 在x ∈[1，2]时恒成立，令g (x )＝2x －x ，则g (x )在[1，2]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝1，所以a >1.即若命题p 真，则a >1.又因为函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )>0在[1，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，u （1）>0，所以－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1.综上知，若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.类型三 全称命题与特称命题(1)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则 p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x0≤1 B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .(2)已知“命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]解法一：当a ＝0时，2x ＋1＜0，可得x ＜－12，此时命题p 为真；当a ≠0时，要使命题p 为真，只要Δ＝4－4a ＞0，即a ＜1且a ≠0即可．综上可知，a ＜1.解法二：命题p 的否定是“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≥0”．当a ＝0时，显然命题 p 为假；当a ≠0时，命题 p 为真的充要条件是a ＞0且Δ＝4－4a ≤0，即a ≥1.故 p 为真时，a 的取值范围为A ＝[1，＋∞)，故p 为真时，a 的取值范围为∁R A ＝(－∞，1)．故选B .【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 命题 否定 p p p ∨q ( p )∧( q ) p ∧q ( p )∨( q ) ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ， p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ， p (x )(1)设命题p ：∀平面向量a 和b ，|a －b |<|a |＋|b |，则 p 为( ) A ．∀平面向量a 和b ，|a －b |≥|a |＋|b | B ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|<|a 0|＋|b 0| C ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|>|a 0|＋|b 0| D ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|≥|a 0|＋|b 0|(2)命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解：(1)改全称量词为存在量词并且否定结论．故选D .(2)原命题为假，即命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x ＜2”为真命题，即a 2＋1＜2，解得－3＜a ＜3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．故填(－3，3)．1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A . 2．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( ) A ． p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ． p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ． p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1 D ． p ：∀x ∈R ，sin x >1解： p 是对p 的否定，故为∃x 0∈R ，sin x 0>1.故选C . 3．对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )＝ 2 B ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝2C ．∀x ∈R ，f (x )＞ 2D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＞2解：f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]．故选B .4．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x0≤0 B ．∀x ∈R ，2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解：此类题目多选用筛选法，因为e x >0对任意x ∈R 恒成立，所以A 选项错误；因为当x ＝3时23＝8，32＝9且8<9，所以选项B 错误；因为当a ＝b ＝0时a ＋b ＝0，而ab 无意义，所以选项C 错误．故选D .5．下列命题中，正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0≥0”B ．命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1，1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4解：A 中否定不能有等号．B 中命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的充分不必要条件．D 中概率应为1－π4.故选C . 6．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0解：由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a ⎝⎛⎭⎫x －b a 2－b 22a ，此时函数对应的开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.故选C .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝x ＋1x 在(0，＋∞)上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：( p 1)∨p 2和q 4：p 1∧( p 2)中，是真命题的是________． 解：p 1是真命题，则 p 1为假命题；p 2是假命题，则 p 2为真命题， 所以q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， 所以q 3：( p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧( p 2)为真命题． 所以真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，所以a ≤－2或a ＝1.故填{a|a ≤－2或a ＝1}．9．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“ p ”形式的新命题，并判断其真假． (1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分． 解：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p ∧q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题； p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；p ：矩形的对角线不相等，假命题．10．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假． (1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0；又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.因为x ∈R 时，x 2≥0，所以x 2＋1≥1＞0，故为真命题． 11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0， 得m ＜－1，所以p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3， 所以q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2， 此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3， 此时－1≤m ＜3.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3)．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)因为对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，所以(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]． (2)因为a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立， 所以m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. 因为p 且q 为假，p 或q 为真，所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2017·北京)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，则∁U A ＝ ( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2] D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解：由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．故选C .2．(2017·浙江)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q ＝ ( ) A ．(－1，2) B ．(0，1) C ．(－1，0) D ．(1，2)解：根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1，2)．故选A .3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝ ( ) A ．{1} B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}解：集合B ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，而A ＝{1，2，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}．故选C .4．命题“∃m ∈[0，1]，使得x ＋1x ＜2m ”的否定形式是 ( )A ．∀m ∈[0，1]，总有x ＋1x ＜2mB ．∃m ∈[0，1]，使得x ＋1x≥2mC ．∃m ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，使得x ＋1x≥2mD ．∀m ∈[0，1]，总有x ＋1x ≥2m解：特称命题的否定是全称命题．故选D .5．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝4x ，x ＞0，B ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝ ( )A ．(0，2)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(2，＋∞) 解：因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝4x ，x ＞0＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}＝(0，2)，所以∁R B ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝[2，＋∞)．故选B .6．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的新命题“p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解：因为空集是任何集合的子集，{1}⊆{1，2}，所以p 真q 假．所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”“ p ”为假．故选B .7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z 且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：因为32－x ∈Z 且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.故选C .8．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a －b >1，即a >b ＋1.因为a ，b 为正数，所以a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .9．下列命题中：①“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题； ③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题． 其中真命题的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解：只有③不正确．故选C .10．(2017·浙江)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：S 4＋S 6－2S 5＝a 5＋a 6－2a 5＝d ，所以为充要条件．故选C .11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，( q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( ) A ．甲第一、乙第二、丙第三 B ．甲第二、乙第一、丙第三 C ．甲第一、乙第三、丙第二 D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三解：( q )∧r 是真命题意味着 q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D .12．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解：当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是________．解：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定．故填∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0. 14．已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2<x <3}，则A ∩B 子集的个数为________．解：由交集的定义可得A ∩B ＝{－1，2}．因此A ∩B 的子集为∅，{－1}，{2}，{－1，2}．故填4. 15．已知集合A ＝{1，a ，5}，B ＝{2，a 2＋1}．若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________． 解：若a 2＋1＝1，则a ＝0，A ∩B ＝{1}；若a 2＋1＝5，则a ＝±2，当a ＝2时，A ∩B ＝{2，5}，不合题意，舍去；当a ＝－2时，A ∩B ＝{5}； 若a 2＋1＝a ，则a 2－a ＋1＝0无解． 所以a ＝0或a ＝－2.故填0或－2.16．如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊕B 为阴影部分所表示的集合．若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊕B ＝________.解：依据定义，A ⊕B 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，依据定义得A ⊕B ＝{x |0≤x ≤1或x >2}．故填{x|0≤x ≤1或x>2}．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知R 为全集，A ＝{x |log 12(3－x )≥－2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪5x ＋2≥1.(1)求A ∩B ；(2)求(∁R A )∩B 与(∁R A )∪B .解：(1)由log 12(3－x )≥log 124，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＞0，3－x ≤4.即A ＝{x |－1≤x <3}．由5x ＋2≥1，得x －3x ＋2≤0， 即B ＝{x |－2<x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x <3}． (2)因为∁R A ＝{x |x <－1或x ≥3}，故(∁R A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}，(∁R A )∪B ＝R .18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，求a 的值．解：A ＝{1，2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，B ＝{x |[x －(a －1)](x －1)＝0}，所以a －1＝1或2，即a ＝2或3. 19．(12分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤a ＋2， 所以集合A ＝{x |a －2≤x ≤a ＋2}． 因为lg(x 2＋6x ＋9)>0，所以x 2＋6x ＋9>1， 所以x ＜－4或x ＞－2.所以集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． 所以∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或－2<a －2， 解得a <－6或a >0.所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．20．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[1，3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3， 得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2＞3或m ＋2＜－1，解得m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．21．(12分)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0.(1)求p 中对应x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：(1)因为x 2≤5x －4，所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4，即p 中对应x 的取值范围为[1，4]．(2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}．由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0，得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a >2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }；当a <2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}；若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，当a ＝2时，满足条件；当a >2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2<a ≤4； 当a <2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a <2. 综上，实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤4}．22．(12分)设a ∈R ，二次函数f (x )＝ax 2－2x －2a .若f (x )>0的解集为A ，B ＝{x |1<x <3}，A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：由f (x )为二次函数知a ≠0，令f (x )＝0解得其两根为x 1＝1a－2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a2. 由此可知x 1<0，x 2>0.(1)当a >0时，A ＝{x |x <x 1}∪{x |x >x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2<3，即1a ＋2＋1a 2<3，解得a >67. (2)当a <0时，A ＝{x |x 1<x <x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2>1，即1a ＋2＋1a2>1，解得a <－2. 综上，使A ∩B ≠∅成立的a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假． 第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选 B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A. 【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
理科数学学霸笔记03 逻辑联结词、全称量词与存在量词
R
，
mx
2 0
＋ 1 ≤ 0 ， q ：任
意 x ∈ R ， x2 ＋ mx ＋ 1 ＞ 0 ， 若 p 或 q 为 假 命 题 ， 求 实 数
m 的取值范围．
答 案 ： [2 ， ＋ ∞ )
解析：依题意知 p ， q 均为假命题，当 p 是假命题 时 ， mx2 ＋ 1 ＞ 0 恒 成 立 ， 则 有 m ≥ 0 ； 当 q 是 真 命 题 时 ， 则 有 Δ ＝ m2 － 4 ＜ 0 ， － 2 ＜ m ＜ 2. 因 此 由 p ， q 均 为 假
m＜0，
由
可 得 － 2 ＜ m ＜ 0.
－2＜m＜2，
变问法：在本例条件下，若 p ∧ q 为假， p ∨ q 为
真，求实数 m 的取值范围．
解：若 p ∧ q 为假， p ∨ q 为真，则 时 m≥2或m≤－2， 所 以 m ≤ － 2 ；
p∧q
p∨q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
3 ．必记结论
含有逻辑联结词的命题的真假判断：
（ 1 ） p ∧ q 中一假则假，全真才真．
（ 2 ） p ∨ q 中一真则真，全假才假．
（ 3 ） p 与﹁ p 真假性相反．
注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命
题则是对原命题的条件和结论分别否定 . 不能混淆这两者
m≥0， 命 题 得 m≤－2或m≥2， 即 m ≥ 2.
所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 为 [2 ， ＋ ∞ ) ．
变问法：在本例条件下，若 p ∧ q 为真，求实数 m 的
高三数学总复习 简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词【知识网络】【考点梳理】一、复合命题的真假ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。
二、全称命题与特称命题1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“∀”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∀∈3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“∃”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∃∈ 三、全称命题与特称命题的否定1、命题的否定和命题的否命题的区别命题p 的否定 ，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定。
命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定 全称命题p ：,()x M p x ∀∈ 全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题:p ,()x M p x ∃∈ 特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
四、常见结论的否定形式原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个简易逻辑逻辑联结词简单命题与复合命题全称量词、存在量词或、且、非小于不小于至多有n个至少有（1n+）个对所有x，成立存在某x，不成立p或q p⌝且q⌝对任何x，不成立存在某x，成立p且q p⌝或q⌝【典型例题】类型一：判定复合命题的真假【高清课堂：逻辑例2】例1.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．解析：(1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．【变式1】已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【答案】B ．【解析】命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=-1，b=-2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【变式2】满足“p或q”为真，“非p”为真的是（填序号）（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数（2）p：；q: 不等式的解集为（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.【答案】(2)；【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A解析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行、异面,故选A.点评：1. 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题p 和q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“x N ∈或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：【变式1】（2016 四川高考）设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A ；解析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选 A.类型二：全称命题与特称命题真假的判断例3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.（1）:p 2,20x R x ∀∈+>； （2）:p 200,10x R x ∃∈+=； （3）:p 2,320x R x x ∀∈-+=； （4）:p 200,4x Q x ∃∈=.解析：(1)由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题(2) 因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.(3)因为只有2x =或1x =满足方程，p 为假命题；p ⌝：2000,320x R x x ∃∈-+≠，p ⌝为真命题.(4) 由于使24x =成立的数有2±，且它们是有理数，p 为真命题；p ⌝：2,4x Q x ∀∈≠，p ⌝为假命题.点评：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【高清课堂：逻辑 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若a>b 且c>d ，则a ＋c>b ＋d(2)若a<0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根． 【答案】(1)逆命题：若a ＋c>b ＋d ，则a>b 且c>d(假命题) 否命题：若a ≤b 或c ≤d ，则a ＋c ≤b ＋d(假命题) 逆否命题：若a ＋c ≤b ＋d ，则a ≤b 或c ≤d(真命题)(2)逆命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根，则a<0否命题：若a ≥0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根逆否命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根，则a ≥0因为若a<0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为两根之积为1a <0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题为假命题．事实上，方程ax 2＋2x ＋1＝0，有两个负数根时1a >0此时a>0，所以逆命题不成立．因此否命题也是假命题. 类型三：在证明题中的应用例 4.若,,a b c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+．求证：,,a b c 中至少有一个大于0．解析：假设,,a b c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，则0a b c ++≤ 而222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z ππππ++=-++-++-+=-+-+-+-∵222(1)(1)(1)0x y z -+-+-≥，30π->．∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤相矛盾．因此,,a b c 中至少有一个大于0．点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 举一反三：【变式】求证:关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为1的充分必要条件是0a b c ++=. 证明：(1）必要性，即 证“1x =是方程20ax bx c ++=的根⇒0a b c ++=”.∵1x =是方程的根，将1x =代入方程，得2110a b c ⋅+⋅+=,即0a b c ++=成立. (2）充分性，即证“0a b c ++=⇒1x =是方程20ax bx c ++=的根”. 把1x =代入方程的左边，得211a b c a b c ⋅+⋅+=++∵0a b c ++=, ∴2110a b c ⋅+⋅+= ，∴1x =是方程的根成立. 综合(1)(2)知命题成立.。
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
栏目索引
3.全(特)称命题真假的判断方法
全称命题 真假 方法一 真 证明所有对象使命题 为真 方法二 否定为假 假 存在一个对象使命题 为假 否定为真 真 存在一个对象使命题 为真 否定为假 特称命题 假 证明所有对象使命题 为假 否定为真
栏目索引
考向突破 考向一 全(特)称命题的否定 例1 (2018湖南益阳4月调研,3)已知命题p:“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题 ¬ p为 ( ) B.∀a≥0,a4+a2≤0
m 0, 解得 1 1 m 或 m . 4 4
∴p为真命题时,m≤- . (2)∃x∈[2,8],mlog2x+1≥0⇒∃x∈[2,8],m≥-
1 1 又x∈[2,8],则- ∈ 1, ,∴m≥-1. log 2 x
3
1 4
1 . log 2 x
1 4
2
令f(x)=ex-x-1,则f '(x)=ex-1, 当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)为增函数, 故f(x)>f(0)=0, 即∀x∈(0,+∞),ex>x+1,故D是真命题.故巧
方法 解决与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题的方法 (1)求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围; (2)判断命题p,q的真假性; (3)根据命题的真假情况,利用集合交集和补集的运算,求解参数的取值 范围.
4 2 a a 0 + 0 <0 D.∃a0≥0,
A.∀a≥0,a4+a2<0
4 2 a0 a0 C.∃a0<0, + <0
解析 命题p为全称命题,其否定为特称命题.将量词改变,结论否定,即¬
高考数学(理)集合与常用逻辑用语 专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(解析版)
集合与常用逻辑用语03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、具体目标： 1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义； 全称量词与存在量词：（1）理解全称量词与存在量词的意义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.分析目标：会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假；能正确地对含有一个量词的命题进行否定；能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学命题；全称命题与特称命题的表述方法是高考的热点；本节在高考中的分值为5分左右，属中低档题. 二、知识概述： 1.逻辑联结词与复合命题命题q p ∧读作“p 且q ”；命题q p ∨读作“p 或q ”；命题p ⌝读作“非q ”；或者“p 的否定”命题与集合的关系：命题的“且”“或”“非”对应集合的“交”、“并”、“补”命题与电路的关系：命题p ∧q 对应着“串联”电路，便是p ∨q 对应着“并联”电路，命题p ⌝对应着线路的“断开与闭合”. 2．复合命题及其否定形式3【考点讲解】1．【2019优选题】命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是（ ）A ．00x ∃≤，01ln 1x x ≥-B ．00x ∃>，1ln 1x x <-C ．00x ∃>，01ln 1x x ≥-D ．00x ∃≤，01ln 1x x <-【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是“00x ∃>，01ln 1x x <-”，故选B ． 【答案】B2.【2019优选题】下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0x >，则sin x x >恒成立C ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()00,x ∀∉+∞，00ln 1x x ≠-”D ．命题“若22x =，则x =或x =x ≠x ≠22x ≠. 【解析】令()sin f x x x =-，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()sin f x x x =-在()0,+∞单调递增， ∴()()00f x f >=，∴sin x x >，B 为真命题或者排除A 、C 、D ．故选B ． 【答案】B3.【2016高考浙江】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x ≤【真题分析】【解析】本题的考点：全称命题与特称命题的否定．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x ≤．故选D ． 【答案】D4.【2018优选题】下列说法错误的是（ ）A ．对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则0:p x ⌝∃∈R ，2010x x ++≤. B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题. D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠.【解析】根据全称命题的否定是特称命题知A 正确；由于1x =可得2320x x -+=，而由2320x x -+=得1x =或2x =，∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件正确；命题p q ∧为假命题，则p ，q 不一定都是假命题，故C 错；根据逆否命题的定义可知D 正确，故选C ．题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，【答案】C5.【2019优选题】命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（ ） A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 【解析】本题考查全称命题的否定.把全称量词改为存在量词，并把结果否定. 【答案】D【变式】若命题:p 对任意的x R ∈，都有3210x x -+<，则p ⌝为（ ） A. 不存在x R ∈，使得3210x x -+< B. 存在x R ∈，使得3210x x -+<C. 对任意的x R ∈，都有3210x x -+≥D. 存在x R ∈，使得3210x x -+≥【解析】命题:p 对任意的x ∈R ，都有3210x x -+<的否定为32:10p x x x ⌝∈-+≥R 存在，使得；故选D. 【答案】D6.【17山东理】已知命题p ：0>∀x ，()01ln >+x ；命题q ：若b a >，则22b a >．下列命题为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝∧⌝【解析】本题考点是1.简易逻辑联结词.2.全称命题.解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.().1ln ,110是真命题有意义，知时，由P x x x +>+>.()()是假命题，可知由q ,21,21,12,122222-<-->->>即q p ⌝，均是真命题，所以选B. 【答案】B7.【2019优选题】在射击训练中 ，某战士射击了两次 ，设命题p 是“ 第一次射击击中目标”，命题是“ 第二次射击击中目标 ”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 （ ） A. ()()p q ⌝∨⌝ 为真命题 B. ()p q ∨⌝ 为真命题 C. ()()p q ⌝∧⌝ 为真命题 D. p q ∨ 为真命题【解析】两次射击中至少有一次没有击中目标包括三个事件，第一次没有击中目标而第二次击中目标；第一次击中目标第二次没有击中目标；第一次和第二次都没有击中目标；三个事件统一表达为第一次没有击中或第二次没有击中，即()()p q ⌝∨⌝ 为真命题.选A . 【答案】A8.【2018优选题】已知命题()x xx P 32,0,:>∞-∈∀；命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，x x >sin ，则下列命题为真命题的是（ ）A .q p ∧ B . ()q p ∨⌝ C .()q p ∧⌝ D .()q p ⌝∧【解析】分析：由()132,0,:>⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈∀xx P ，即x x 32>，可得是真命题， 命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，令()x x x f sin -=，利用导数研究其单调性可得是假命题，逐一判断选项中的命题真假即可的结果.命题由()132,0,:>⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈∀xx P ，即x x 32>，可得是真命题，命题命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，令()x x x f sin -=，()0cos 1>-='x x f ，因此函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递增，所以()()00=>f x f ，所以x x x <⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀sin 2,0，π，因此是假命题，()q p ⌝∧为真命题，故选D.【答案】D9.【河北省唐山市2018届三模理】已知命题p 在ABC ∆中，若B A sin sin =，则B A =；命题()π,0:∈∀x q ，2sin 1sin >+xx .则下列命题为真命题的是（ ） A.q p ∧ B . ()q p ⌝∨ C .()()q p ⌝∧⌝ D . ()q p ∨⌝【解析】命题p 在ABC ∆中，因为π=+B A ，根据正弦函数的性质可以判断当B A sin sin =时，B A =是成立的，所以命题p 是真命题.命题当2sin 1sin 2=+=x x x 时，π，所以()π,0:∈∀x q ，2sin 1sin >+xx 是不成立的，为假命题. 故选B. 【答案】B【变式】 【2014高考重庆理第6题】 已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【解析】本题主要考查了指数函数的性质，充要条件，判断复合命题的真假，属于中档题，先根据指数函数及充要条件的知识判断出每一个命题的真假，再利用真值表得出结论. 由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题；所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假. 【答案】D10.【2019优选题】给出下列三个命题： ①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； ②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】本题考查的是命题真假性的判断问题，若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.“若2230x x +-≠，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则2230x x +-=”，为真命题；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B. 【答案】B1.命题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，则下列复合命题是真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ∧⌝【解析】由题意，命题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；根据指数函数与对数函数的图象可知是不正确的，∴命题p 为假命题；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间应为()1-∞,”，∴为假命题， ∴()()p q ⌝∨⌝为真命题，故选A ． 【答案】A2.命题“x R ∃∈，2x x =”的否定是（ ） A ．x R ∀∉，2x x ≠ B ．x R ∀∈，2x x ≠C ．x R ∃∉，2x x ≠D ．x R ∃∈，2x x ≠【解析】命题“x R ∃∈，2x x =”的否定是x R ∀∈，2x x ≠，选B. 【答案】B3.下列说法正确的是（ ）A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件C.“若tan α≠3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034xx<成立【模拟考场】【解析】“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a ，则21a ≤”，故选项A 错误，在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”充要条件，故B 错误，当()0,0x ∃∈-∞时，函数)1(00<=x x y x 在()∞+，0上单调递减，所以043xx >，故D 错误；故选C ．【答案】C4.已知命题“R ∈∃x ，使021)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. )1,(--∞ B.)3,1(- C.),3(+∞- D.)1,3(- 【解析】原命题是假命题，则其否定是真命题，即()21,2102x R x a x ∀∈+-+>恒成立，故判别式()()2140,1,3a a --<∈-.【答案】B5.设命题()0:0,p x ∃∈+∞， 0013x x +>；命题： ()2,x ∀∈+∞， 22x x >，则下列命题为真的是（ ） A. ()p q ∧⌝ B. ()p q ⌝∧ C. p q ∧ D. ()p q ⌝∨ 【解析】命题:p ()00,x ∃∈+∞， 0013x x +>，当03x =时即可，命题为真； 命题： ()2,x ∀∈+∞， 22x x >，当4x =是，两式相等，命题为假； 则()p q ∧⌝为真，故选A. 【答案】A6.下列命题中：①“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题；③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定为“0x R ∀∈，22000131()024x x x -+=-+>”为真命题；“若260x x +-≥，则2x >”的否命题为“若26032x x x +-<⇒-<<，则2x ≤”为真命题；命题“若2560x x -+=，则2x =”为假命题，所以其逆否命题为假命题；所以选C. 【答案】C7.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【解析】本题主要考查的是命题的否定，全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称 (存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可，全称量词与特称量词的意义根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 【答案】D.8.设,,a b c r r r 是非零向量，已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝【解析】试题分析：本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.由题意可知，两个非零向量都与第三个向量垂直，但这两个向量未必垂直，所以命题P 是假命题；两个非零向量都与第三个向量平行，那么这两个向量一定平行，所以命题q 是真命题，故p q ∨为真命题. 【答案】A9.已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） A ①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】本题考查的是复合命题的真假性判断，复合命题的真假判定主要是根据简单命题的真假结合逻辑联结次进行判断即可，如果p 或q 真（假）则需分三种情况讨论，如果p 且q 真(假)则p,q 真（p 真q 假或p,q 假，p 真q 假，p 假q 真）,如果p 真，则非p 一定假.当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,而⌝p 是假命题，当1,2x y ==-时,因为2214x y =<=,所以命题q 为假命题,则q ⌝为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.【答案】C10.下列判断错误的是（ ）A ．“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B ．命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C ．若()p q ⌝∧为真命题，则,p q 均为假命题D ．命题“若p ，则q ⌝”为真命题，则“若q ，则p ⌝”也为真命题 【解析】：本题考查的是四种命题及其相互关系，充要条件，常用逻辑用语．由题意可知：由||||am bm <可以得到||||a b <，反之不一定成立.命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是全称命题的否定，先转换量词，然后要否定结论，所以有“00,0x R ax b ∃∈+>”.而()p q ⌝∧为真命题，那么p q ∧为假命题，故,p q 至少有一个假命题，命题“若p ，则q ⌝”为真命题，它的逆否命题也是真命题，所以“若q ，则p ⌝”也为真命题.故C 选项判读错误，选C. 【答案】C11.已知命题p ：函数12x y a+=-的图象恒过定点()1,2；命题:q 函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x = 的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是 （ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝【解析】本题考查的是复合命题的真假判断，同时也是命题与函数的综合运用，要求掌握的知识点要全面，由题意可知，函数12x y a+=-恒过定点(1,1)-，所以命题p 为假命题，函数(1)y f x =-是偶函数，它的图象关于直线0x =对称，因此()y f x =的图象关于直线1x =-对称，命题q 也为假命题，所以只有p q ∨⌝为真命题，故选D ． 【答案】D12.下列说法正确的是（ ）A ．若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是 “p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“x R ∀∈，sin cos x x +≤”，则p ⌝是真命题D ．命题“0x R ∃∈，200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2230x x ++>”【解析】：由题意可知1110a a a <⇔><或，所以“11a<”是“1a >”的必要不充分条件；若p q ∧为真命题，则,p q 皆为真命题， 若p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个为真命题，所以“p q ∧为真命题”是 “p q ∨为真命题”的充分不必要条件；因为sin cos )4x x π+=+≤所以命题p 为真命题，p ⌝是假命题；命题“0x R ∃∈，200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2230x x ++≥”，因此正确的是A. 【答案】A13.设命题[]21:1,2,ln 0,2p x x x a ∀∈--≥命题2000:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤使得， 如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围． 【分析】对命题p ，先分离常数21ln 2a x x ≤-，利用导数求出右边函数在区间[]1,2上的最小值为12，得12a ≤.对命题q ，2424320a a ∆=++≥，解得4,2a a ≤-≥-.p 或q 真，p 且q 假也就是说明两者一真一假，分成两类来求a 的取值范围. 【解析】命题p: []211,2,ln ,2x a x x ∀∈≤-令[]21()ln ,1,22f x x x x =-∈， 1()f x x x '=-=210x x ->，min 1()2f x =，12a ∴≤. 命题q: 22860x ax a +--≤解集非空，2424320a a ∆=++≥，4,2a a ∴≤-≥-或命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(22])，(经使典得母f(题x1))已≥知g(xf2()x，)＝则ln实(x数2＋m1)的，g取(x值)＝范12围x－是m__，_若14_，_对_＋_∀_x∞_1_∈__[_0_，_3_].，∃x2∈[1， 解析 当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0， 当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m， 由 f(x)min≥g(x)min，得 0≥14－m，所以 m≥14.
D.p∨q
解析 命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有 一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定 范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围， 乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可 表示为(綈p)∨(綈q).
命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.
索引
2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范
围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定
范围”可表示为( A)
A.(綈p)∨(綈q)
B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)
1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全 称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存 在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接 否定结论. 2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元 素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到 一个x＝x0，使p(x0)成立即可.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读1．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．命题趋势探究预测高考主要考查：复合命题真假的判断、全称命题与存在性命题的否定以及利用命题的真假求参数范围．题型主要以选择题、填空题为主．知识点精讲1．简单的逻样联结词（1）一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命颐，记作p q∧，读作“p且q；（2）一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题．记作p q∨，读作“p或q”；（3）一般地，对一个命题p否定，得到一个新命题，记作p⌝，读作“非p”或“p的否定”．逻辑联结词的真值规律如表1-2所示．表1-2口诀:（1）“p 且q ”，一假则假，全真才真；（2）“p 或q ”，一真则真，全假才假；（3）“p ⌝”，真假相对． 2．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”．（2）存在量词与特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（特称命题也叫存在性命题）．3．含有一个量词的命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题．全称命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M∃∈，0()p x ⌝．（2）特称命题的否定是全称命题．特称命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝．注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一． 区别否命题与命题的否定:①只有“若p ，则q ”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形命题“若p，则q”的否命题是“若p⌝，则q⌝，而否定形式为“若p，则q⌝”．②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系．题型归纳及思路提示题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假思路提示判断命题真假的一般步骤为：（1）确定命题的构成形式；（2）判断所用的逻辑联结词联结的每个简单命题的真假；（3）报据真值表判断新命题的真假．例1．15 判断下列命题的真假．（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）矩形的对角线互相垂直或相等；（3）菱形不是平行四边形；（4）30≥．分析：解题步骤为分析命题的构成、联系真值表、下结论．变式1（优质试题·山东）已知命题01)0p x l n x ∀>+>:,(；命题q ：22 a b a b 若＞，则＞ ， 下列命题为真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝变式2 已知命题,p q ，则“p 或q 为真”是p 且q 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式3(优质试题·商丘模拟)已知命题p ：函数1(10)1x y a a a >≠＋＝＋且的图象恒过点()1,2－；命题q ：已知//αβ平面平面，则直线//m α是直线//m β的A ． p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．( )p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝题型8 含有一个量词的命题的否定 思路提示（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”)．再否定结论；（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提； （3）注意命题的否定与否命题的区别；（4）当p ⌝的真假不易判断时，可转化为去判断p 的真假．例1．16 写出下列命题的否定并判断其真假． （1）:p 不论m 取何实数，方程210x mx +-=必有实数根； （2）:p 有的三角形的三条边相等；（4）0:N p x ∃∈，200210x x -+≤．评注:命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表1-3所示． 表1-3特别地，联结词“且”的否定为“或”， “或”的否定为“且”．“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”，“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”．即)()()(q p q p ⌝∨⌝=∧⌝，)()()(q p q p ⌝∧⌝=∨⌝，与集合的德摩根法则可类比记忆． 变式1 命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ）A ．不存在0x R ∈，020x≤B ．存在0x R ∈，020x≥C ．对任意的R x ∈，20x ≤D ．对任意的R x ∈，20x >变式2（优质试题·成都七中半期）设命题:(0,),tan 2p x x x π∀∈<，则p ⌝为（ ）A.000(0,),tan 2x x x π∃∈≥ B ．(0,),tan 2x x x π∀∈≥B.000(0,),tan 2x x x π∃∈<D ．(0,),tan 2x x x π∀∈=题型9 根据命题真假求参数的范围例1．17 命题p:关于x的不等式2240x∈恒成立，q：x ax++>，对一切R指数函数()()32x=-是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范f x a围．分析由命题p或q为真，p且q为假，则p与q中有且只有一个为真命题，由此进行讨论．评注：正确理解p 或q 为真，p 且q 为假的含义是解本题的关键点．把p 和q 在数轴上表示出来，在q p 中去掉q p ，剩余部分就是所求，即()pqp q ð．变式1 已知命题P ：关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+≤的解集为ϕ；命题q ：函数()22xy a a =-为增函数．若命题q p ∧为真命题，则实数a 的取值范围为变式2 给定两个命题：P ：对任意实数x ，都有210ax ax ++>恒成立．Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．例 1.18已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[14，＋∞) B．(－∞，14]C．[12，＋∞) D．(－∞，－12]变式1已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．最有效训练3（限时45分钟）1．(优质试题·浙江)命题“**()()n N f n N f n n ∀∈∈≤，且”的否定形式是( )A ．**()()n N f n N f n n ∀∈∉>，且B ．**()()n N f n N f n n ∀∈∉>，或C ．0000()*()*n N f n N f n n ∃∈∉>，且D ．0000()*()*n N f n N f n n ∃∈∉>，或2．已知p ，q 是简单命题，则“q p ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p :存在),0(,+∞∈b a ，当1=+b a 时，+a1;31=b命题q :任意01,2≥+-∈x x R x 恒成立，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．p ⌝或q ⌝B ．p ⌝且q ⌝C ．p ⌝或 qD ．p ⌝且q 4．已知命题:,2lg ;p x R x x ∃∈->命题2,:x R x q ∈∀>0则（ ） A ．命题q p ∨是假命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题)(q p ⌝∨是假命题D ．命题)(q p ⌝∧是真命题5．已知命题[];0,2,1:2≥-∈∀a x x p 命题,:R x q ∈∃.0222=-++a ax x 若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）10．(优质试题·郑州一模)已知函数f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[12，3]，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥013.已知函数f(x)＝x2－x＋1x－1(x≥2)，g(x)＝a x(a>1，x≥2)．(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．。
高考理科数学考点考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词 复习
考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非∧，读作“p且q”；一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q⌝，读作“非p”．对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．必记结论含有逻辑联结词的命题的真假判断：（1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ⌝真假性相反．注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.对所有的()x A p x ∈，成立 3．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：考向一 判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1 已知命题p ：若实数,x y 满足330x y +=，则,x y 互为相反数；命题q ：若0a b >>，则11a b<.下列命题p q ∧，p q ∨，p ⌝，q ⌝中，真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意，知命题p 为真命题；命题q ：当0a b >>时，110b a a b ab --=<成立，所以11a b<，所以命题q 为真命题， 所以命题p q ∧为真命题；p q ∨为真命题；p ⌝为假命题；q ⌝为假命题，所以真命题的个数是2个，故选B.【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2＋y 2＝0是x ＝0且y ＝0.1．若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >，则下列命题中是真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝考向二 判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)mm f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B【解析】对于选项A ，如当==0αβ时，sin()sin sin ,αβαβ+=+所以选项A 的命题为真命题； 对于选项Bcos2x =是偶函数，因此选项B 中的命题为假命题；对于选项C ，如当2m =时，11()=f x x x-=，()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以选项C 中的命题为真命题；对于选项D ，当()0f x =时，2ln ln 0x x a +-=，则22111ln ln (ln )244a x x x =+=+-≥-，所以0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点，所以选项D 中的命题为真命题.【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．若命题“x ∃∈R ，使21()10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为A ．13a ≤≤B ．13a -≤≤C ．33a -≤≤D ．11a -≤≤3．若命题p ：x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题q ：[]01,1x ∃∈-，02x a >，若()q p ⌝∧为真命题，求实数a 的取值范围.考向三 含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3 已知命题()31,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为A ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：C ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：D ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.4．命题：存在实数0x ，使200ln 1x x <-的否定是 A ．对任意的实数x ，都有2ln 1x x <- B ．对任意的实数x ，都有2ln 1x x ≥- C ．不存在实数0x ，使200ln 1x x ≥-D ．存在实数0x ，使200ln 1x x ≥-1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是A ．01x ∃≤，2000x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->2．设集合2{|02},{|2}M x x N x x x =∈<≤=∈≥R R ，则 A ．,x N x M ∀∈∈ B ．,x M x N ∀∈∈ C ．00,x N x M ∃∉∈ D ．00,x M x N ∃∈∉3．下列命题中的假命题是 A ．x ∃∈R ，lg 0x = B ．x ∀∈R ，20x > C ．x ∃∈R ，22121x x-= D ．x ∀∈R ，20x >4．已知命题p ：“,a b a b ∀>>”，命题q ：“000,20xx ∃<>”，则下列为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∨⌝5．已知命题p ：x ∀∈R ，e 1x x ≥+；命题q ：0x ∃∈R ，00ln 1x x ≥-.则在命题：①p q ∧，②()p q ∧⌝，③()p q ⌝∧，④()()p q ⌝∧⌝中，正确的为 A ．① B ．② C ．③D ．④6．下面四个命题：1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∉≤N ”；2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件；3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”； 4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．13,p p7．已知命题2:,210p x x ax ∀∈-+>R ；命题2:,20q x ax ∃∈+≤R .若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞- C ．(],2-∞-D ．[]1,1-8．若命题“π0,3x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1tan x m +≤”的否定是假命题，则实数m 的取值范围是__________．9．已知命题:P x ∀∈R ， ()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022x a ≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．1．（2016浙江理科）命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <2．（2017年高考山东理数）已知命题p ：0,ln(1)0x x ∀>+>；命题q ：若a ＞b ，则22a b >，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝3．（2018北京理科）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．4．（2015山东理科）若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤，”是真命题，则实数m 的最小值为__________________．1．【答案】C【解析】对于命题p ，22000131=()024x x x -+-+>，所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题； 对于命题q ，0x ∀<，x x >，是真命题. 所以()p q ⌝∧是真命题. 故选C.【名师点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解答本题时，根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题的真假关系再进行判断即可. 2．【答案】B【解析】由题得，原命题的否定是“x ∀∈R ，21()10x a x ≥＋－＋”， 所以2(1)40a ∆=--≤，解得13a -≤≤. 故选B.【名师点睛】本题考查原命题及其否定的真假关系，属于基础题.解答本题时，若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求a 的范围. 3．【答案】24a ≤<.【解析】由题意，命题2:,10p x ax ax ∀∈++>R ， 当0a =时，不等式成立，当0a ≠时，由题意知0040a a >⎧⇒<<⎨<⎩∆， 综上可知，04a ≤<.由命题q 可知，当[]01,1x ∈-时，012,22x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2a <，∴q ⌝：2a ≥，由题意知：q ⌝与p 同时为真，则042a a ≤<⎧⎨≥⎩，∴24a ≤<.【名师点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中根据二次函数的性质和指数函数的性质，分别求得当命题,p q 为真命题时，实数a 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．【答案】B【解析】特称命题的否定是全称命题，将特称量词改变后还要对结论否定，故选B.【名师点睛】本题考查命题的否定，特称命题的否定是全称命题，属于基础题.利用特称命题的否定是全称命题的关系确定选项.1．【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：“01x ∃>，2000x x -≤”，故选C.【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确全称命题的否定是特称命题，即可得结果.（2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 2．【答案】B【解析】由22x x ≥得02x ≤≤，即}{|02N x x =∈≤≤R ，所以M N ⊆，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B ．【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式22x x ≥求出x 的范围，写成集合即为N ，再得出集合M ，N 之间的关系，最后得到正确的选项.3．【答案】B【解析】当1x =时，lg 0x =，所以A 正确； 当0x =时，20x =，所以x ∀∈R ，20x >不正确； 当1x =时，22121x x-=，所以C 正确； 由指数函数的性质可知x ∀∈R ，20x >，所以D 正确， 故选B ．【名师点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．解答本题时，利用特殊值判断选项的正确性，即可得到结果． 4．【答案】C【解析】对于命题p ，当a =0，b =−1时，0>−1，但是|a |=0，|b |=1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题.对于命题q ，000,20x x ∃<>，如1011,2=0.2x -=->所以命题q 是真命题. 所以p q ∨为真命题. 故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. （3）求解此类问题时，先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假. 5．【答案】A【解析】命题p ：设()e 1xf x x =--，()e 1xf x '=-，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 为单调递减函数； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 为单调递增函数； 所以()()00f x f ≥=，即x ∀∈R ，e 1x x ≥+，故命题p 正确. 命题q ：设()ln 1(0)g x x x x =-+>，()111xg x x x-=-='， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为单调递增函数； 当()1,+∞时，()0g x '<，所以()g x 为单调递减函数，所以()()10g x g ≤=，即当x =1时，ln 1x x =-. 故命题q ：0x ∃∈R ，00ln 1x x ≥-，正确，所以①p q ∧正确，②()p q ∧⌝，③()p q ⌝∧，④()()p q ⌝∧⌝均错误. 故选A.【名师点睛】本题考查命题真假的判断，难点在于构造新函数，结合导数进行判断，考查分析推理，计算化简的能力，属中档题.解答本题时，先判定命题p 、q 的真假，再结合复合命题的判断方法进行判断. 6．【答案】B【解析】对于1p ：命题“2,2nn n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∈≤N ”，所以1p 是假命题；对于2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，所以⊥a b 等价于m −n =0即m =n ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件，所以2p 是真命题；对于3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”，所以3p 是真命题；对于4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 或q 是假命题，所以4p 是假命题. 故答案为B.【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. 7．【答案】A【解析】∵p q ∨为假命题，∴,p q 均为假命题，若命题p 为假命题，则0≥∆，即2440a -≥，解得1,1a a ≤-≥或； 若命题q 为假命题，则0a ≥， ∴实数a 的取值范围是1a ≥. 故选A.【名师点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立（存在性）问题的求解方法，是中档题．解答本题时，由已知可得p 与q 均为假命题，求出p 与q 均为假命题的a 的范围，取交集得答案．8．【答案】)1⎡++∞⎣【解析】因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式1tan x m +≤对π0,3x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，又1tan y x =+在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数，()max π1tan 1tan 133x ∴+=+=+，即13m +.即实数m 的取值范围是：)13,⎡++∞⎣.【名师点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.解答本题时，先转化为原命题为真，再根据函数最值求实数m 的取值范围.应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 9．【答案】5,24⎛⎤⎥⎝⎦【解析】当P 为真命题时，21x x a ++>恒成立，所以()1410a --<，54a >，当Q 为假命题时，Q ⌝为真命题，即[]2,2,22axx ∀∈->，所以2a >，又命题P Q ∧为真命题，所以命题,P Q 都为真命题，524a <≤.故实数a 的取值范围是5,24⎛⎤⎥⎝⎦.1．【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 2．【答案】B【解析】由0x >时11,x +>得ln(1)0x +>，知p 是真命题. 由12,->-但22(2)(1)->-可知q 是假命题， 则p q ∧⌝是真命题.故选B.【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非的真值表，进一步作出判断.3．【答案】y =sin x （答案不唯一）【解析】令()(]0,04,0,2x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.【名师点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使()0p x 不成立即可.通常举分段函数. 4．【答案】1【解析】若“[0,]tan 4x x m π∀∈≤，”是真命题，则max ()m f x ≥，其中()tan f x x ＝，[0,].4x π∈ ∵函数()tan f x x ＝，[0,]4x π∈的最大值为1，∴1m ≥，即m 的最小值为1.。
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考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1. （2014·湖北高考文科·Ｔ3）命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是
A ．x ∀∉R ，2x x ≠
B ．x ∀∈R ，2x x =
C ．x ∃∉R ，2x x ≠
D ．x ∃∈R ，2x x =
【解题提示】 考查全称命题的否定
【解析】选D. 全称命题的否定是特称命题，所以命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是“x ∃∈R ，2x x =” 2.（2014·湖南高考文科·Ｔ1）设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）
200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤
200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤
【解题提示】根据“全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题， 即：若命题()x q D x p ,:∈∀，则()00,:x q D x p ⌝∈∃⌝;
若命题()00,:x q D x p ∈∃，则()x q D x p ⌝∈∀⌝,:”
【解析】选B. 01,:200≤+∈∃⌝x R x p .
3. （2014·湖南高考理科·Ｔ5）
已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题
①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
【解题提示】先判断p ，q 的真假，再利用“或、且、非”的真假判断求解。
【解析】选C.由不等式的性质，得p 真；q 假。
由“或、且、非”的真假判断得到①假，②真，③真，④假。
4.（2014·福建高考文科·Ｔ5）．命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ） ()()[)[)3333000000.,0.0
.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥
【解题指南】全称命题的否定为特称命题，
【解析】C ．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是“[)00,x ∃∈+∞，30x x +<”．故选C ．
5. （2014·辽宁高考理科·Ｔ5）设,,a b c 是非零向量,已知命题:p 若0,0a b b c ⋅=⋅=则0a c ⋅=;命题:q 若,a b b c ||||则.a c ||则下列命题中真命题是
()()()()()()()A p q B p q C p q D p q ∨∧⌝∧⌝∨⌝
【解题提示】 先判断命题p 和命题q 的真假，结合复合命题p q p q p ∨∧⌝，，的真假判断方法得出答案.
【解析】选A.
当非零向量,a c 方向相同且都和非零向量b 垂直时,结论0,0a b b c ⋅=⋅=成立,但是0a c ⋅=不成立,可知命题p 是假命题, 命题p ⌝是真命题;
而根据平行公理4知命题q 为真命题, 命题q ⌝是假命题.
结合复合命题p q p q p ∨∧⌝，，的真假判断方法知,选项（A ）正确.
6. （2014·辽宁高考文科·Ｔ5）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ5）相同
（2014·辽宁高考文科·Ｔ5）设,,a b c 是非零向量,已知命题:p 若0,0a b b c ⋅=⋅=则0a c ⋅=;命题:q 若,a b b c 则.a c 则下列命题中真命题是
()()()()()()()A p q B p q C p q D p q ∨∧⌝∧⌝∨⌝
【解题提示】 先判断命题p 和命题q 的真假，结合复合命题p q p q p ∨∧⌝，，的真假判断方法得出答案.
【解析】选A.
当非零向量,a c 方向相同且都和非零向量b 垂直时,结论0,0a b b c ⋅=⋅=成立,但是0a c ⋅=不成立,可知命题p 是假命题, 命题p ⌝是真命题;
而根据平行公理4知命题q 为真命题, 命题q ⌝是假命题.
结合复合命题p q p q p ∨∧⌝，，的真假判断方法知,选项（A ）正确.
7.（2014·天津高考文科·Ｔ3）已知命题
为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:（ ） A.
1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x e x x 总有 D.1
)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有 【解析】选C.因为0,x ∀>00(1)1x x e +>，所以p ⌝为1)1(,0000≤+>∃x e x x 总有。
8.（2014·安徽高考文科·Ｔ2）命题“x R ∀∈，2||0x x
”的否定是（ ） A.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R x
C. 0x R ，200||0x x
D. 0||,2
000≥+∈∃x x R x 【解题提示】任意的否定是存在。
【解析】选 C. 条件x R 的否定是0x R ，结论2||0x x ”的否定是200||0x x 。
9.（2014·重庆高考文科·Ｔ6）已知命题:p 对任意,x R ∈ 总有0;x ≥
:q 1x =是方程20x +=的根.则下列命题为真命题的是（ ）
A. p q ∧⌝
B.p q ⌝∧
C. p q ⌝∧⌝
D.p q ∧
【解题提示】先判断出命题,p q 的真假,再利用逻辑连结词进行相关判断.
【解析】选A.易知命题p 为真命题,q 为假命题,故p q ∧⌝为真命题, p q ⌝∧为假命题, p q ⌝∧⌝为假命题, p q ∧为假命题.
10.（2014•天津高考文科•Ｔ3）已知命题p:0,x ∀总有(1)1,x x e +则p ⌝为 （ ） A.00,x ∃≤使得00(1)1x x e +≤ B. 0
0,x ∃使得00(1)1x x e +≤ C.0,x ∀总有(1)1x x e +≤ D. 0,x ∀≤总有(1)1x x e +≤
【解析】选B.因为 0,x ∀总有(1)1,x x e +所以p ⌝为00,x ∃使得00(1)1x x e +≤.
11.（2014·安徽高考文科·Ｔ2）命题“x R ，2
||0x x ”的否定是（ ） B.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R x
C. 0x R ，200||0x x
D. 0||,2
000≥+∈∃x x R x 【解题提示】任意的否定是存在。
【解析】选 C. 条件x R 的否定是0x R ，结论2||0x x ”的否定是200||0x x 。
3
12.（2014·重庆高考文科·Ｔ6）已知命题:p 对任意,x R ∈ 总有0;x ≥
:q 1x =是方程20x +=的根.则下列命题为真命题的是（ ）
A. p q ∧⌝
B.p q ⌝∧
C. p q ⌝∧⌝
D.p q ∧
【解题提示】先判断出命题,p q 的真假,再利用逻辑连结词进行相关判断.
【解析】选 A.易知命题p 为真命题,q 为假命题,故p q ∧⌝为真命题, p q ⌝∧为假命题, p q ⌝∧⌝为假命题, p q ∧为假命题.。