人教版九年级数学上课件：24-1-2垂直于弦的直径2
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弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
·O
E
A
B
D
垂径定理三种语言
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
AC⌒=BC,⌒AD=⌒BD. ⌒
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧AB
CD平分弧ADB
练习1
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
E
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
因此，赵州桥的主2桥拱的半2 径约为27.3米。
练习
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2 3cm 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是。 8cm 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是。 2 3cm
O AE B
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到
相等的线段或相等的圆弧
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
B
A
E
B
C
例题讲解 垂径定理的应用
例1如图，已知在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O到AB
A
的距离为3cm，求⊙O的半径。
E
.
O
B
解：连接OA，作OEAB于E. 1
AE= 2 AB=4 OA= AE2+OE2=5
EB 600 (mm) 2
B OE OB2 EB2
(2)
E
B
A
O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).
2、在圆O中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm，求两平行线AB，CD之间的 距离。
●O
A、A⌒C=A⌒DB、BC=⌒BD⌒
C、AM=OMD、CM=DM
B
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为M， OM=3，则CD=. 8
3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10， AM=1，则⊙O的半径是. 13
思考 1、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
石林鹿阜中学马绍云
赵州桥
赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间 （595-605年），至今已有1400年的历史，是今天世 界上最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行车 走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是石拱桥结构中最 先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它的桥身弧 线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤其是 栏板以及望栓上的浮雕。充分显示整个大桥堪称一件 精美的艺术珍品，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。 1991年被列为世界文化遗产.
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是它的对称轴．
●O
思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2）线段：AE=BE
∴四边形ADOE为矩形，AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴AE=AD
E
·O
∴四边形ADOE为正方形.
A
D
B
思考与讨论
1、在直径为650mm的水平放置的圆柱形油槽 内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最 大深度。
解： (1)
O E A
OB 650 (mm) 2
E
E
F
F
M
E
C
D
A
B
.
O.
A
O
A
E C
DB
B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂 直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创 造条件。
作业：
1、什么是轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫做轴对称图形。
2、什么是中心对称图形？
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
3、圆是不是轴对称图形？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O AE B
O
AE
B
小结：
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.
垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.
在解决有关圆的问题时，可以利用 垂径定理将其转化为解直角三角形 的问题。
A
1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为 C M└
D
直径，则下列结论不正确的是（C）
C
推论：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平
·O
分弦所对的两条弧．
E
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
D
推论：
由①CD是直径 ③AE=BE
可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
C
A
D
B
●
O
赵 的 距 吗 解R经CCO.，D解在:过R弦州 离如？由就D连O得R圆2图题是At桥 ）的接： △心所，21设拱OO8O的为长OR以用可高.AC5A作：A，2主）7弧知，D弦2DA.中根A7：C2(桥为DA2.RB3，据AD米B表拱3B的根垂O7=1示，7垂.据径3D是2A.R主7)4你线B勾定，22圆桥米O股理C能7拱CD弧1.定，，2，=求，理D7形3拱垂设.是27出得，足弧高A:赵1为BA它8（的B.D州5所的中，弧桥在点O跨的圆C，主与度心中C桥弧是为（点A拱弧O弧B到，A相的B半所弦交的半径对于中的为径点点，
·O
E
A
B
D
垂径定理三种语言
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
AC⌒=BC,⌒AD=⌒BD. ⌒
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧AB
CD平分弧ADB
练习1
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
E
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
因此，赵州桥的主2桥拱的半2 径约为27.3米。
练习
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2 3cm 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是。 8cm 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是。 2 3cm
O AE B
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到
相等的线段或相等的圆弧
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
B
A
E
B
C
例题讲解 垂径定理的应用
例1如图，已知在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O到AB
A
的距离为3cm，求⊙O的半径。
E
.
O
B
解：连接OA，作OEAB于E. 1
AE= 2 AB=4 OA= AE2+OE2=5
EB 600 (mm) 2
B OE OB2 EB2
(2)
E
B
A
O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).
2、在圆O中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm，求两平行线AB，CD之间的 距离。
●O
A、A⌒C=A⌒DB、BC=⌒BD⌒
C、AM=OMD、CM=DM
B
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为M， OM=3，则CD=. 8
3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10， AM=1，则⊙O的半径是. 13
思考 1、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
石林鹿阜中学马绍云
赵州桥
赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间 （595-605年），至今已有1400年的历史，是今天世 界上最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行车 走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是石拱桥结构中最 先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它的桥身弧 线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤其是 栏板以及望栓上的浮雕。充分显示整个大桥堪称一件 精美的艺术珍品，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。 1991年被列为世界文化遗产.
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是它的对称轴．
●O
思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2）线段：AE=BE
∴四边形ADOE为矩形，AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴AE=AD
E
·O
∴四边形ADOE为正方形.
A
D
B
思考与讨论
1、在直径为650mm的水平放置的圆柱形油槽 内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最 大深度。
解： (1)
O E A
OB 650 (mm) 2
E
E
F
F
M
E
C
D
A
B
.
O.
A
O
A
E C
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B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂 直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创 造条件。
作业：
1、什么是轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫做轴对称图形。
2、什么是中心对称图形？
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
3、圆是不是轴对称图形？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O AE B
O
AE
B
小结：
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.
垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.
在解决有关圆的问题时，可以利用 垂径定理将其转化为解直角三角形 的问题。
A
1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为 C M└
D
直径，则下列结论不正确的是（C）
C
推论：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平
·O
分弦所对的两条弧．
E
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
D
推论：
由①CD是直径 ③AE=BE
可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
C
A
D
B
●
O
赵 的 距 吗 解R经CCO.，D解在:过R弦州 离如？由就D连O得R圆2图题是At桥 ）的接： △心所，21设拱OO8O的为长OR以用可高.AC5A作：A，2主）7弧知，D弦2DA.中根A7：C2(桥为DA2.RB3，据AD米B表拱3B的根垂O7=1示，7垂.据径3D是2A.R主7)4你线B勾定，22圆桥米O股理C能7拱CD弧1.定，，2，=求，理D7形3拱垂设.是27出得，足弧高A:赵1为BA它8（的B.D州5所的中，弧桥在点O跨的圆C，主与度心中C桥弧是为（点A拱弧O弧B到，A相的B半所弦交的半径对于中的为径点点，