黑龙江大庆市第二十三中学高一《第二章平面向量》2020年单元测试卷(二)(无答案)

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人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。

故所求的向量或。

2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。

高一数学第二章平面向量练习题及答案全套

高一数学第二章平面向量测试题
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1.下列各量中不是向量的是
【】
A.浮力 B.风速
C.位移
D.密度
2.下列说法中错．误．的是
【】
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度为 0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是
【】
A.若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0
C.若 a2
2
b
，则 a
b
或a
b
5.下列命题中，正确的命题是
A. a b a 且. a b b
C.若
a
b
c
,
则
a
b
b c
B.若 a 0 ，则 0 或 a 0
D.若 a b a c ，则 b c
【】
B. a b a 或. a b b
A．a＋a
B．b+b
C．0
D．a＋b
【】
3.若 a + b + c = 0 ，则 a 、 b 、 c
【】
A.一定可以构成一个三角形；
B.一定不可能构成一个三角形；
C.都是非零向量时能构成一个三角形； D.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为 v1 ，水速为 v2 ，已知船可垂直到达对岸则
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1. 已知平面向量 a (1, 2) ， b (2, m) ，且 a // b ，则 2a 3b ＝
. 【】
A. (5, 10) B. (4, 8) C. (3, 6) D. (2, 4)

高一下学期人教版A版必修4第二章平面向量单元测试及答案

必修4第二章平面向量单元测试班级座位号姓名分数一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案一、选择题(每题5分，共50分)1.若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A.6B.5C.4D.3 2.已知两个力1F 、2F 的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力F 与1F 的夹角为60°，则1F 的大小为( )A.35 NB.5 NC.10ND.25 N 3.下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a ； ③若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑤若非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b ； ⑥对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≥|a －b|；其中正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．54.若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )A )6,3(-B )6,3(-C )3,6(-D )3,6(-5.设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（）A (3,1)B (1,1)-C (3,1)或(1,1)- D 无数多个6.已知向量03≠=b a ，且关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3πC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32π,3π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,6π 7.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，b a +λ与b 垂直，则λ等于( )A.－1B.1C.－2D.2 8.向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于A 2-B 2 C.21 D 12-9.已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a ，0)、B (0，a )，其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上，且有AB t AP = (0≤t ≤1)，则OP OA ⋅的最大值为( )A.aB.2aC.3aD.2a10.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AB=4,AC=3,则=⋅BC AD ( ) A 7- B 2 C 27-D 72二、填空题(每题5分，共20分)11.已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则b 在a 方向上的投影为 . 12.已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =13.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为14.已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________三、解答题(每题15分，共30分) 15.已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？16.如图2，在平行四边形ABCD ， CD CF CB CE AD AB 32,31,====b a ，. (1)用a ，b 表示EF ;(2)若4,1==b a ，∠DAB =60°，分别求EF 和FE AC ⋅的值.图2参考答案及点拨一、1.C 点拨:()()()30318,33,68=+=⋅=⋅-x x c b a ， ∴x ＝4.故选C. 2.B 点拨:1F ＝⋅F cos60°＝5 N. 3.A4. A 设(,2),0b ka k k k ==-<，而53||=b ，则2535,3,(3,6)k k b ==-=-5.C 设(,)P x y ，由AB =2AP得2AB AP =，或2AB AP =-，(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ；(2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -6.B 点拨:设a ，b 的夹角为θ，∵关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，∴∆＝b a a ⋅-2442≥0，即b a a ⋅≥62.∴θcos 62b a a ⋅≥，又∵03≠=b a .∴21cos ≤θ，∵π≤≤θ0，∴ππ≤≤θ3. 7.C 点拨:()23,4--+=+λλλb a ， ∵b a +λ与b 垂直，∴()()()()020********,423,4=+=---+=-⋅--+λλλλλ， ∴2-=λ.8.D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-，则121128,2m m m -+=+=-9.D 点拨: ∵AB t AP =，∴ ()()OB t OA t OA OB t OA AP OA OP +-=-+=+=1(),,at at a -=∴()t a OP OA -=⋅12，∵10≤≤t ，∴2a OP OA ≤⋅.10.c二、9.13 点拨: b 在a 方向上的投影为a b a ⋅=1313=13. 10. →→-b a 2 设c x a y b →=+，则(,2)(2,3)(2,23)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,x y x y x y -=+===- 11.0120 221()0,0,cos 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做12.45-22222()2585a t b a t b a t a bt b t t +=+=++=++，当45t =-时即可三、13.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反 14.答图2分析：（1）利用向量的三角形法则和向量相等及其运算即可得出; （2）利用数量积运算法则和性质即可得出. 解：（1）如答图2所示，.313231323132b a +-=+-=-=-=AD AB CB CD CE CF EF(2) ∵,60,4,1︒=∠==DAB b a ∴.260cos =︒⋅⋅=⋅b a b a∴3329194943132222=+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a a b a EF . 易知b a +=+=AD AB AC ，∴()43163232313132313222-=-+=-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⋅b b a a b a b a FE AC .。

(完整版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

高中数学第二章平面向量测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)

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第二章平面向量测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的）++= ( ）1．如图1,正六边形ABCDEF中，BA CD EFA．0 B．BEC．AD D．CF2．下列说法正确的是（ )A.a与b共线，b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3．已知平面内有一点P及一个△ABC，若错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则 ( ) A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上4．已知|错误!|＝1，|错误!|＝错误!，错误!⊥错误!，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°,设错误!＝m错误!＋n错误!，则错误!＝( )A.错误!B．3 C．3错误! D。

错误!5．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外，错误!2＝16,|错误!＋错误!｜＝｜错误!－错误!｜，则|错误!｜＝（)A．8 B．4 C．2 D．16．在□ABCD中，错误!＝a，错误!＝b,错误!＝4错误!，P为AD的中点,则错误!＝（）A.错误!a＋错误!b B。

错误!a＋错误!bC．－错误!a－错误!b D．－错误!a－错误!b7．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0，0），A（3，0)，B（0，3),点P在线段AB上，且≤≤=则),10(的最大值为（ ) tAP⋅OAOPABtA．3 B．6 C．9 D．128．设点(2,0)B，若点P在直线AB上,且AB=2AP,则点P的坐标为（ ) A，(4,2)A ．(3,1)B ．(1,1)-C ．(3,1)或(1,1)-D ．无数多个9．如图2，O,A ，B 是平面上的三点，向量,,b OB a OA ==设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量2||,4||.===b a p OP 若,则)(b a p -⋅=( ）A ．1B ．3C ．5D ．610．在边长为2的正三角形ABC 中，设AB =c ， BC =a ， CA =b ,则a ·b +b ·c +c ·a 等于（）A ．0B ．1C ．3D ．－311．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则222PA PB PC+=（ )A ．2B ．4C ．5D ．1012．已知向量a ,e 满足a ≠e ,｜e |＝1，对任意t∈R ,恒有｜a －t e ｜≥｜a －e ｜，则 ( ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e )C ．e ⊥（a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知A,B ，C 是不共线的三点,向量m 与向量错误!是平行向量，与错误!是共线向量，则m ＝________。

(完整)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

高一上数学第二章平面向量单元测试卷含答案

高一上数学第二章平面向量单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. 下列说法正确的是（） A.长度相等的向量叫相等向量 B.零向量的长度为零C.共线向量是在一条直线上的向量D.平行向量就是向量所在的直线平行的向量2. 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB →=a →、AC →=b →，则AM →等于（） A.12(a →−b →)B.−12(a →−b →)C.12(a →+b →)D.−12(a →+b →)3. 若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A.−BC →+12BA →B.−BC →−12BA →C.BC →−12BA →D.BC →+12BA →4. 已知向量OA →=(3, −2)，OB →=(−5, −1)则向量12AB →的坐标是（）A.(−4, 12)B.(4, −12)C.(−8, 1)D.(8, 1)5. 已知a →b →均为单位向量，它们的夹角为60∘，那么|a →+3b →|=( ) A.√7 B.√10 C.√13 D.46.在△ABC 中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD →=λDC →，CE →=13AB →+μAC →，则λ+μ=( ) A.13B.−13C.76D.−767. 给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若a →，b →都是单位向量，则a →=b →． ③向量AB →与向量BA →相等．④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．以上命题中，正确命题序号是（） A.① B.② C.①和③ D.①和④8. 设a →，b →是两个非零向量，则下列结论不正确的是（） A.|a →+b →|>|a →−b →| B.若a →=b →，则|a →|=|b →|C.若存在一个实数k 满足a →=kb →，则a →与b →共线 D.若a →与b →为同方向的向量，则|a →+b →|=|a →|+|b →|9. 下列命题正确的是( ) A.向量 AB →与 BA →是相等向量 B.共线的单位向量是相等向量 C.零向量与任一向量共线 D.两平行向量所在直线平行10. 已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为( )A. B. C. D.11. 已知平面向量a →与b →的夹角为2π3，若a →=(√3,−1)，|a →−2b →|=2√13，则|b →|=( ) A.4 B.3 C.2 D.√312. 已知O 为△ABC 内一点，且有OA →+OC →=23BC →，则△OBC 和△ABC 的面积之比为（） A.16B.13C.12D.23二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 已知向量a →=(−1,√3)，b →=(√3,y)，且(a →−2√33b →)⊥a →，则b →在a →上的投影是________．14. 已知A(2, 3)，B(4, 5)，则与AB →共线的单位向量是________．15. 已知e 1→，e 2→是两个单位向量，且它们的夹角为θ，则下列命题正确的是________．（填序号）①∀θ∈[0,π]，都有(e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)； ②|e 1→|cos θ=|e 2→|sin (π2−θ)； ③∃θ∈[0,π]，使得e 1→⋅e 2→=√3；④若e 1→，e 2→不共线，e 1→+2e 2→与ke 1→−e 2→共线，则k =−12.16. 给出下列命题： ①若|a →|=|b →|，则a →=b →；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →=DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a →=b →，b →=c →，则a →=c →；④a →=b →的充要条件是|a →|=|b →|，则a → // b →； ⑤若a → // b →，b → // c →，则a → // c →；其中正确的序号是________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）17. （10分）平行四边形ABCD 中，BM →=23BBD →，CN →=14CA →，AB →=a →，AD →=b →，若MN →=ma →+nb →，求m −n 的值．18.(12分) 已知向量a →，b →满足：|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)•(2a →+b →)=61 （1）求a →与b →的夹角θ；（2）求向量a →+b →在向量b →方向上的投影．19. （12分）在四边形ABCD 中，AB →=a →，AD →=b →，AM →=4MC →，P 为AD 的中点，求MP →．20.(12分) 如图，平面四边形ABCD 中，AB =13，AC =10，AD =5，cos ∠DAC =35，AB →⋅AC →=120．（1）求cos ∠BAD ；（2）设AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →，求x 、y 的值．21. （12分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且 AO =a →,AD →=b →，用a →,b →分别表示向量 CB →,CO →,OD →,OB →．22.(12分) 已知：向量e 1→=(1, 2)，e 2→=(−3, 2)，向量x →=ke 1→+e 2→，y →=e 1→−3e 2→．（1）当k 为何值时，向量x → // y →？（2）若向量x →与y →的夹角为钝角，求实数k 的取值范围的集合．参考答案与试题解析高一上数学第二章平面向量单元测试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分） 1.【答案】 B【考点】零向量向量的物理背景与概念【解析】根据零向量、共线向量、相等向量、以及平行向量的概念，对题目中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：大小相等、方向相同的向量叫相等向量，∴ A 错误；零向量的长度为0，∴ B 正确；方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，∴ C 错误；平行向量就是向量所在的直线平行的向量，也可以共线，∴ D 错误；故选B ． 2. 【答案】 C【考点】向量的三角形法则向量数乘的运算及其几何意义【解析】先利用因为AM 是△ABC 的BC 边上的中线得到BM →=MC →，再结合向量的三角形法则，即可求出结论．【解答】解：因为AM 是△ABC 的BC 边上的中线，∴ BM →=MC →又∵ AM →=AB →+BM →① AM →=AC →+CM →② ①+②：2AM →=AB →+AC →∴ AM →=12(a →+b →)．故选：C ． 3. 【答案】 A【考点】向量在几何中的应用向量的三角形法则【解析】根据向量加法的三角形法则知，DC →=DB →+BC →，由D 是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．【解答】解：由D 是△ABC 的边AB 上的中点得，BD →=12BA →， ∴ 根据三角形法则，CD →=CB →+BD →=−BC →+12BA →．故选A . 4.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算平行向量的性质【解析】利用向量的运算法则即可得出．【解答】解：12AB →=12(OB →−OA →)=12[(−5,−1)−(3,−2)]=12(−8,1)=(−4,12)．故选：A ． 5.【答案】 C【考点】向量的概念与向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的．【解答】∵ a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60∘，∴ |a →+3b →|=√(a →+3b →)2=√a →2+6a →⋅b →+9b →2=√1+9+6×12=√13．6.【答案】 B【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】此题暂无解析【解答】解：CE →=13(CB →−CA →)+μAC →=13CB →+(−13−μ)CA → =λ+13CD →+(−13−μ)CA →，因为E 是AD 的中点，所以λ+13=12，−13−μ=12，解得λ=12，μ=−56，即λ+μ=−13. 故选B . 7. 【答案】 A【考点】向量的物理背景与概念【解析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误【解答】解：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；AB →与向量BA →互为相反向量，故③错误；方向相同或相反的向量为共线向量，由于AB →与CD →无公共点，故A ，B ，C ，D 四点不共线，故④错误故选A 8.【答案】 A【考点】向量加减混合运算及其几何意义平行向量的性质【解析】利用向量共线定理即可判断出．【解答】解：A ．∵ a →，b →是两个非零向量，当a →，b →异向时，有|a →+b →|<|a →−b →|，A 不成立；B ．∵ a →=b →，∴ |a →|=|b →|成立．C ．存在一个实数k 满足a →=kb →，由向量关系定理可得：a →与b →共线． D ．∵ a →与b →为同方向的向量，∴ |a →+b →|=|a →|+|b →|正确．综上可知：只有A 不成立．故选A ． 9.【答案】 C【考点】相等向量与相反向量零向量向量的物理背景与概念【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A ，向量AB →与向量BA →互为相反向量；对于B ，共线的单位向量是平行向量；对于C ，零向量是任意方向上的向量；对于D ，两平行向量所在的直线平行或相等. 故选C . 10.【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】设线段BC 的中点为M ，则OB →+OC →=2OM →，因为2OA →=OB →+OC →，所以AO →=OM →，则 AO →=12AM →=14(AB →+AC →)=14(AB →+1t AD →)=14AB →+14t ⋅AD →，由B ．0．D 三点共线，得14+14i =1，解得t =13；故选B ．【解答】此题暂无解答 11.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】由题可得|a →|=√10，根据| a →−2b → | =√(a →−2b → )2=√|a →|2−4|a →|⋅|b →|⋅cos 2π3+4|b →|2，即可求解|b →|=3.【解答】解：因为a →=(√3,−1), 所以|a →|=2.因为平面向量a →与b →的夹角为2π3，| a →−2b → | =2√13，所以| a →−2b → | =√(a →−2b → )2=√|a →|2−4|a →|⋅|b →|⋅cos 2π3+4|b →|2=√4−8⋅|b →|⋅cos 2π3+4|b →|2=2√13,解得|b →|=3或|b →|=−4（舍去）. 故选B . 12.【答案】 C【考点】平面向量的基本定理【解析】设D 是AC 边的中点，则OA →+OC →=2OD →．由于OA →+OC →=23BC →，可得BC →=3OD →，OD // BC ．利用S △OBC S △ABC=S △DBC S △ABC=DCAC 即可得出．【解答】设D 是AC 边的中点，则OA →+OC →=2OD →． ∵ OA →+OC →=23BC →， ∴ 2OD →=23BC →， ∴ BC →=3OD →， ∴ OD // BC ．∴ S △OBC S △ABC=S △DBC S △ABC=DC AC =12．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分） 13. 【答案】√3【考点】平面向量数量积的含义与物理背景平面向量数量积的性质及其运算【解析】利用向量的垂直，求出y ，然后利用向量的数量积求解b →在a →上的投影．【解答】向量a →=(−1,√3)，b →=(√3,y)，且(a →−2√33b →)⊥a →，a →−2√33b →=(−3, √3−2√33y)，可得：(−3, √3−2√33y)(−1, √3)＝0，解得：y ＝3． b →在a →上的投影是：a →⋅b →|a →|=−√3+3√32=√3．14. 【答案】 ±(√22，√22) 【考点】平行向量的性质【解析】利用与AB →共线的单位向量=±AB→|AB →|即可得出．【解答】解：AB →=(2, 2)，∴ 与AB →共线的单位向量=±AB →|AB →|=8=±(√22，√22)．故答案为：±(√22，√22)． 15.【答案】①②④ 【考点】平面向量数量积的性质及其运算平行向量（共线向量）向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】利用平面向量的数量积及共线向量，逐个判断. 【解答】解：∵ (e 1→+e 2→)⋅(e 1→−e 2→)=e 1→2−e 2→2=1−1=0，∴ (e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)，故①正确；∵ |e 1→|cos θ=cos θ，|e 2→|sin (π2−θ)=sin (π2−θ)=cos θ，∴ |e 1→|cos θ=|e 2→|sin (π2−θ)，故②正确； ∵ e 1→⋅e 2→=|e 1→|⋅|e 1→|cos θ=cos θ≤1<√3， ∴ 不存在θ，满足e 1→⋅e 2→=√3，故③错误；若e 1→+2e 2→与ke 1→−e 2→共线，1k =2−1，解得k =−12，故④正确. 故答案为：①②④. 16.【答案】 ②③ 【考点】平行向量的性质相等向量与相反向量【解析】利用相等向量的定义：模相等方向相同；相等向量可以传递共线向量不传递判断出各个命题的真假．【解答】解：相等向量要求模相等且方向相同故①错 AB →=DC →⇔AB =DC 且AB // DC ，故②对a →=b →，b →=c →⇒a →=c →故③对a →=b →的必要不充分条件是|a →|=|b →|，a → // b →，故④错当b →=0→满足a → // b →，b → // c →但推不出a → // c →，故⑤错故答案为②③三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分） 17.【答案】解：如图，NO →=CN →=14CA →=14(CB →+BA →) =14(−AD →−AB →)=14(−a →−b →)；OM →=BM →−BO →=23BD →−12BD →=16BD →=16(AD →−AB →)=16(b →−a →)；故MN →=MO →+ON →=−(OM →+NO →)=−[16(b →−a →)+14(−a →−b →)]=512a →+112b →=ma →+nb →；故m =512，n =112；故m −n =13．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义【解析】如图，可化出NO →=14(−a →−b →)；OM →=16(b →−a →)；从而求MN →=512a →+112b →，从而求得m ，n ．【解答】解：如图，NO →=CN →=14CA →=14(CB →+BA →) =14(−AD →−AB →)=14(−a →−b →)； OM →=BM →−BO →=23BD →−12BD →=16BD →=16(AD →−AB →)=16(b →−a →)；故MN →=MO →+ON →=−(OM →+NO →)=−[16(b →−a →)+14(−a →−b →)]=512a →+112b →=ma →+nb →；故m =512，n =112；故m −n =13．18. 【答案】解：（1）因为：|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)•(2a →+b →)=61，所以4a →2−3b →2−4a →⋅b →=61，即64−27−4a →⋅b →=61，所以a →⋅b →=−6，所以cos θ=|a →||b →|˙=−64×3=−12，所以a →与b →的夹角θ为120∘；（2）向量a →+b →在向量b →方向上的投影(a →+b →)⋅b →|b →|=|b →|˙=−6+93=1．【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积【解析】（1）利用已知求a →与b →的数量积，再利用数量积公式得到向量的夹角；（2）根据向量投影的定义解答．【解答】解：（1）因为：|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)•(2a →+b →)=61，所以4a →2−3b →2−4a →⋅b →=61，即64−27−4a →⋅b →=61，所以a →⋅b →=−6，所以cos θ=|a →||b →|˙=−64×3=−12，所以a →与b →的夹角θ为120∘；（2）向量a →+b →在向量b →方向上的投影(a →+b →)⋅b →|b →|=|b →|˙=−6+93=1．19. 【答案】解：∵ MP →=AP →−AM →，AP →=12AD →=12b →，AM →=45AC →，AC →=a →+b →．∴ MP →=12b →−45(a →+b →) =−45a →−310b →．【考点】向量的加法及其几何意义向量的减法及其几何意义【解析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出．【解答】解：∵ MP →=AP →−AM →，AP →=12AD →=12b →，AM →=45AC →，AC →=a →+b →．∴ MP →=12b →−45(a →+b →)=−45a →−310b →． 20.【答案】解：（1）设∠CAB =α，∠CAD =β， cos α=|AB →|⋅|AC →|˙=120130=1213，cos β=35， ∴ sin α=513，sin β=45，…．∴ cos ∠BAD =cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=1213⋅35−513⋅45=1665…..（2）由AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →得：{AC →⋅AB →=xAB →2+yAD →⋅AB →AC →⋅AD →=xAB →⋅AD →+yAD →2…．∴ {120=169x +16y 30=16x +25y …..解得：x =4063，y =5063． … 【考点】平面向量数量积的运算【解析】（1）设∠CAB =α，∠CAD =β，由AB =13，AC =10，AB →⋅AC →=120．可得α的余弦值，又由cos ∠DAC =35，分别求出两个角的正弦值，代入两角和的余弦公式，可得答案．（2）若AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →，则{AC →⋅AB →=xAB →2+yAD →⋅AB →AC →⋅AD →=xAB →⋅AD →+yAD →2，结合AD =5，及（1）中结论，可得x 、y 值．【解答】解：（1）设∠CAB =α，∠CAD =β，cos α=|AB →|⋅|AC →|˙=120130=1213，cos β=35， ∴ sin α=513，sin β=45，…．∴ cos ∠BAD =cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=1213⋅35−513⋅45=1665…..（2）由AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →得：{AC →⋅AB →=xAB →2+yAD →⋅AB→AC →⋅AD →=xAB →⋅AD →+yAD →2…．∴ {120=169x +16y 30=16x +25y …..解得：x =4063，y =5063． … 21. 【答案】解：依题意， CB →=DA →=−AD →=−b →， CO →=OA →=−AO →=−a →， OD →=AD →−AO →=b →−a →， OB →=−OD →=a →−b →.【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意， CB →=DA →=−AD →=−b →， CO →=OA →=−AO →=−a →， OD →=AD →−AO →=b →−a →， OB →=−OD →=a →−b →. 22. 【答案】解：（1）∵ 向量e 1→=(1, 2)，e 2→=(−3, 2)，∴ 向量x →=ke 1→+e 2→=k(1, 2)+(−3, 2)=(k −3, 2k +2)y →=e 1→−3e 2→=(1, 2)−3(−3, 2)=(10, −4)．∵ 向量x → // y →，∴ −4(k −3)−10(2k +2)=0，解得k =−13．∴ 当k =−13时，向量x → // y →．（2）若向量x →与y →的夹角为钝角，则x →⋅y →=10(k −3)−4(2k +2)<0，且向量x →与y →不能反向共线，解得x <19且x ≠−13．∴ 实数k 的取值范围的集合为{x|x <19且x ≠−13}．【考点】数量积表示两个向量的夹角平行向量的性质【解析】（1）利用向量共线定理即可得出．（2）若向量x →与y →的夹角为钝角，则x →⋅y →)<0，且向量x →与y →不能反向共线，解出即可．【解答】解：（1）∵ 向量e 1→=(1, 2)，e 2→=(−3, 2)，∴ 向量x →=ke 1→+e 2→=k(1, 2)+(−3, 2)=(k −3, 2k +2)y →=e 1→−3e 2→=(1, 2)−3(−3, 2)=(10, −4)．∵ 向量x → // y →，∴ −4(k −3)−10(2k +2)=0，解得k =−13． ∴ 当k =−13时，向量x → // y →．（2）若向量x →与y →的夹角为钝角，则x →⋅y →=10(k −3)−4(2k +2)<0，且向量x →与y →不能反向共线，解得x <19且x ≠−13．∴ 实数k 的取值范围的集合为{x|x <19且x ≠−13}．。

人教版必修4《第二章平面向量》2020年单元测试卷(二)

①若
，则存在λ∈R，使得
；
②若
，则或；
③存在不全为零的实数λ，μ使得
；
④若
，则
．
第 1页（共 13页）
其中正确的命题是（）
A．①③
B．①④
7．（5 分）已知
，
，且
A．﹣4
B．4
C．②③
D．②④
，则向量在向量上的投影等于（）
C．
D．
8．（5 分）已知 O、A、M、B 为平面上四点，且＝λ +（1﹣λ），λ∈（1，2），则
＝，＝m ，＝n ，求证：
．
第 3页（共 13页）
人教版必修 4《第二章平面向量》2020 年单元测试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（5 分）设
，
，且
，则锐角α为（）
A．30°
等于（）
A．6
B．8
C．﹣8
【解答】解：∵由向量加法的平行四边形法则可以知道，
D．﹣6
，
∵ ＝（2，4），＝（1，3），
∴
＝（﹣1，﹣1）
∵
＝（﹣3，﹣5）
∴ • ＝（﹣1）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣5）＝8 故选：B．
直，则直线 l 的一般方程是
．
16．（5 分）已知向量
，＝（1，7），
，设 M 是直线 OP 上任意
一点（为坐标原点），则
的最小值为
．Hale Waihona Puke 三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析

第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2； ④|a ·b |＝|a |·|b |.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13D ．4 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．05．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43D ．－496．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．37．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.537379．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，那么c ＝__________.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →·BA →的值．1.解析对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2.解析在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反．答案 B3.解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4.解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5.解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23. ∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6.解析8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )，∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7.解析依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B8.解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537.答案 D9.解析如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b . 答案 B10.解析设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∴a ·b ≤|a |24，∴cos θ＝a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B11.解析设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－(－3)，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C12.解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以2P A →＋PC →＝0，PC →＝－2P A →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△P AB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A13.解析由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案 π6或76π14.解析设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32， y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)．答案 (32，2)或(－32，－2) 15.解析由题知 AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案216.解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②17.解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0，即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0，解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18.证明设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →)＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE →＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22 ＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0， ∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19.解设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧ x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ (1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20.解设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )，∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →.∴x 4＝y －4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y －4，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2. ∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21.解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1·e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2，又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22.解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ，且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ.又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3.作AH ⊥BD 交BD 于H ，则H 为BD 的中点．在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32，于是∠ABH ＝30°，所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ·cos30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°，故CB →·BA →＝|CB →|·|BA →|cos120°＝－4.。

高中一年级下册数学必修4《第二章平面向量》单元测试卷含解析

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单元测试卷二
ห้องสมุดไป่ตู้
时间：90 分钟满分 150 分班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． → → 1．已知 A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB在向量CD上的投影为( ) 10 2 10 A. B. 5 5 3 10 4 10 C. D. 5 5 答案：B → → → → → → → 解析：AB＝(2,2)，CD＝(－1,3)，|CD|＝ 10，AB· CD＝－2＋6＝4，向量AB在向量CD上 → → AB· CD 4 2 10 的投影为＝＝，故选 B. 5 → 10 |CD| 2．已知向量 a＝(2,1)，a· b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|＝( ) A．5 B．25 C. 5 D. 10 答案：A 解析：因为|a＋b|＝5 2，所以 a2＋2a· b＋b2＝50，即 5＋2×10＋b2＝50，所以|b|＝5. 3．已知向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则 c＝( ) 1 3 1 3 A．－ a－ b B．－ a＋ b 2 2 2 2 3 1 3 1 C. a－ b D．－ a＋ b 2 2 2 2 答案：D 4．若非零向量 a，b 满足|a－b|＝|b|，则( ) A．|2b|＞|a－2b| B．|2b|＜|a－2b| C．|2a|＞|2a－b| D．|2a|＜|2a－b| 答案：A → |BA| → → → 5．已知平面上不共线的四点 O、A、B、C.若OA－4OB＋3OC＝0，则＝( ) → |CB| 1 1 A. B. 3 2 C．2 D．3 答案：D → → → 解析：∵OA－4OB＋3OC＝0， → → → → → → → → ∴(OA－OB)－3OB＋3OC＝0，即OA－OB＝3(OB－OC)， → → ∴BA＝3CB， → |BA| ∴ ＝3. → |CB| → → AB· BC → → → → → 6．在△ABC 中，若|AB|＝1，|AC|＝ 3，|AB＋AC|＝|BC|，则＝( ) → |BC| 3 1 A．－ B．－ 2 2

第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )

第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案(K12教育文档)

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一、选择题: (本大题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设点P(3，—6），Q（-5，2),R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为（ ).A、-9B、—6C、9D、62．已知=(2,3），b=（-4，7），则在b上的投影为（）。

A、 B、C、D、3．设点A（1，2），B(3,5)，将向量按向量=（—1，—1）平移后得向量为（）。

A、（2，3)B、（1，2)C、（3,4）D、(4，7）4．若(a+b+c)（b+c-a）=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。

A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知｜｜=4, |b｜=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（ ).A、 B、 C、 D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。

A、 B、C、 D、7．O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的（）.A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题：（1)（·b）2= 2·b2(2)| +b|≥｜—b｜（3)| +b|2=( +b）2（4)(b) -(a）b与不一定垂直。

第二章平面向量及其应用——高一数学北师大版必修二单元测试(含解析)

第二章平面向量及其应用——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试一、选择题1．已知向量,,若,则实数k 的值为( )A.3B.-B.-1C.3或-12．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若,则角( )A. B. C. D.3．在中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且若,则的形状是( )A.等腰且非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4．在中，已知，且满足，则的面积为( )A.1B.25．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( )A.9B.C.12D.6．平行四边形ABCD 中，点M 是线段BC 的中点，N 是线段CD 的中点，则向量为( )A. B.()1,1a k =- ()3,b k k =+ //a b ABC △45a b c ===，，C =120︒90︒60︒45︒ABC △222.b c a bc +=+2sin sin sin B C A =ABC △ABC △222sin sin sin sin sin A B A B C +-=4ab =ABC △AD GB ⋅= 9-12-MN1122MN AB AD =- 1344MN AD AB =+C. D.7．已知，，若，则( ).A. B. C. D.8．在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，( )A.60°B.75°C.60°或120°D.15°或75°二、多项选择题9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，.则第四个顶点的坐标为( )A. B. C. D.10．下列等式一定正确的是( )A. B.C. D.11．关于平面向量，，，下列说法不正确的是( )A.B.C.若，且，则D.三、填空题12．直线的方向向量坐标可以是__________.（只需写出一个满足条件的一个向量）13．邯郸丛台又名武灵丛台,相传始建于战国赵武灵王时期,是赵王检阅军队与观赏歌舞之地,是古城邯郸的象征.如图,某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB,选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得,,米,在点D 处测得丛台台顶的仰角为,则丛台的高度为______米（结果精确到0.1米,取,）.(),2a x =- ()5,7b =- //a b 1122MN AD AB =- 1344MN AD AB =- x =145145-107107-ABC △45A ∠=︒a =b =C ∠=(3,7)A (4,6)B (1,2)C -(0,1)-(6,15)(2,3)-(2,3)+=+a b b a0AB BC CA ++= CA AC OA OC CA+=-+ AB BA +=0 a b c()()22·a b a b a b -+=- ()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅ a b a c ⋅=⋅ 0a ≠ b c = ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 2310x y +-=30BCD ∠=︒86BDC ∠=︒40CD =50︒tan 50 1.19︒=sin 640.90︒=14．已知点，，，()，试求当点P 在第三象限时，的取值范围________.四、解答题15．在中,已知,,,解这个三角形.16．已知点,,,则是什么形状?证明你的猜想.17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,,且的面积为（1）求A;（2）求的周长.18．如图，在中，点P 满足，O 是线段的中点，过点O 的直线与边，分别交于点E ，F.（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值.19．已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c（1）求角B 的大小；（2）若，设的面积为S ，满足，求b 的值.ABC △30B =︒ABC △9sin sin 13A C =ABC △S =(2,3)A (5,4)B (7,10)C AP AB AC λ=+ λ∈R λb =2c =()1,2A ()2,3B ()2,5C -ABC △ABC △(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=⋅-a =ABC △ABC △2PC BP = AP AB AC AF AC = AE EB()0EB AE λλ=> ()0FC AF μμ=> 11λμ+ABC △tan A =参考答案1．答案：C解析：由题意得 ,解得或3 ,经检验, 均满足要求.故选：C.2．答案：A解析：由余弦定理可得,,．故选：A ．3．答案：C解析： ,所以,又, ,, ,,, ,从而,为等边三角形,故选：C ．4．答案：D解析：在中，已知，由正弦定理得，即，，即.，的面积为.故选D.5．答案：B解析：由题意可知，，，设，由勾股定理可得，解得，所以，所以，故选：B.6．答案：C解析：根据三角形中位线知：.故选：C.(1)(3)0k k k --+=1k =-2221cos 22a b c C ab +-==-0180C ︒<<︒ ∴120C =︒222b c a bc +=+ 2221cos 22b c a A bc +-==(0,π)A ∈π3A ∴=2sin sin sin B C A = 2bc a ∴=2222b c a bc bc +=+=b c =3B C π∴==a b c ==ABC △ABC △222sin sin sin sin sin A B A B C +-=∴222a b ab c +-=222a b c ab +-=2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===π3C =4ab ∴=ABC ∴△11sin 422ab C =⨯=5AD =1HE =AH x =()22215x x ++=3x =3sin 5ABH ∠=()3cos π5395AD GB BC GB GBC ⎛⎫⋅=⋅⋅-∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭()11112222MN BD AD AB AD AB ==-=-7．答案：C解析：由题意得，解得.故选：C.8．答案：D解析：在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，利用正弦定理：，整理得所以或120°.当时，，当时，.故选：D.9．答案：ABC解析：当平行四边形为时,,设点D 的坐标为.所以,所以,解得,所以点；当平行四边形为时,同理可得;当平行四边形为时,同理可得.综上可知点D 可能为,或.故选:ABC.10．答案：ABD解析：由向量加法运算律知，A ，B ，D 选项正确；，，所以选项C 错误.故选ABD.11．答案：CD710x -=-107x =ABC △45A ∠=︒a =b =sin sin a b A B =sin sin b A B a ===60B =︒60B =︒75C =︒120B =︒15C =︒ABCD AB DC = (,)x y (4,6)(3,7)(1,2)(,)x y -=--1121x y -=⎧⎨--=-⎩01x y =⎧⎨=-⎩(0,1)D -ABDC (2,3)D -ADBC (6,15)D (0,1)-(2,3)-(6,15)CA AC +=0 2OA OC CA CA -+=解析：对于A 、B ，根据向量的运算法则，及分配律，易知A 、B 正确；对于C ，当,反向且都与垂直时满足题设，但，故C 错误；对于D ，是与共线的向量，是与共线的向量，故D 错误.故选：CD.12．答案：（只需满足即可）解析：直线的斜率为，所以，直线的方向向量坐标可以为.故答案为：（只需满足即可）.13．答案：26.4解析：在中,,,则米.在中,,则米.14．答案：解析：解得，设点，则，于是，即又点P 在第三象限，所以解得.所以的取值范围为.15解析：由正弦定理,得,因为,,所以,于是或.①当时,,此时b c a b c ≠ ()a b c ⋅⋅ c ()a b c ⋅⋅ a ()3,2-()()3,20m m m -≠2310x y +-=23k =-2310x y +-=()3,2-()3,2-()()3,20m m m -≠BCD △180308664CBD ∠=︒-︒-︒=︒sin 64sin 30CD BD =︒︒202000.99BD ==ABD △tan 1.19AB ADB BD ∠==2381.1926.49AB BD =⨯=≈(),1-∞-(35,17)AP λλ=++ (,)P x y (2,3)AP x y =-- (2,3)(35,17)x y λλ--=++235,317.x y λλ-=+⎧⎨-=+⎩550,470,x y λλ=+<⎧⎨=+<⎩1λ<-λ(,1)-∞-1-sin sin c B C b ===c b >30B =︒30180C <<︒︒45C =︒135C =︒45C =︒105A =︒sin sin b A a B ====.②当时,.此时.16．答案：见解析解析：如图,在平面直角坐标系中画出点A,B,C,我们发现是直角三角形,证明如下:因为,,所以,于是,因此,是直角三角形.17．答案：（1）（2）解析：（1）因为,由正弦定理可得,整理为.由余弦定理得,因为,所以.12222112+⎝⎭==+135C =︒15A =︒sin sin b A a B ====12222112⎫⎪⎝⎭==-ABC △()()21,321,1AB =--= ()()21,523,3AC =---=- ()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯= AB AC ⊥ ABC △π3A =10+(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=⨯-()()()a b a b c c b +-=-222b c a bc +-=1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =（2）因为,所以.,所以.所以的周长为18．答案：（1）（2解析：（1）因为，所以，因为O 是线段的中点，所以，设，则有，因为C ，O ，E 三点共线，所以，解得，即，所以，所以；（2）因为，同理可得，由（1）可知，，所以，因为E ，O ，F 三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.19．答案：（1）（2）1sin 2ABC S bc A ==△24bc =2222()328a b c bc b c bc =+-=+-=10b c +=ABC △10+232PC BP = ()11213333AP AB BP AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ AP 111236AO AP AB AC ==+ AB xAE = 136x AO AE AC =+ 1136x +=52x =25AE AB =35EB AB =23AE EB =()1AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+ ()1AC AF μ=+ 111236AO AP AB AC ==+ 1136AO AE AF λμ++=+ 11136λμ+++=23λμ+=()11111121233333μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝μ=3μ=λ=11λμ+π3B =b =解析：（1，.因为，所以，所以.因为，所以，所以.（2）由，得.又由正弦定理得，所以，解得tan A -=sin cos b A A =+sin sin cos C B A B A =+sin sin[π()]sin()C A B A B =-+=+sin sin cos )A B B A A B =+sin sin sin A B B A =(0,π)A ∈sin 0A ≠tan B =π3B =1sin 2S ac B ==12ac =sin sin sin a b c A B C ==2sin sin sin ac b A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭221312π9sin 3b ⨯=b =。

高一数学必修2《平面向量》测试

高一数学必修2《平面向量》测试高一平面向量测试注意事项：1.在答题卡和试题卷上填写姓名和准考证号，将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题用2B铅笔在答题卡上涂黑对应的答案标号，非选择题用签字笔直接在答题卡上作答。

3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题1.已知向量a=(3,1)，b=(2k-1,k)，且(a+b)⊥a，则k的值是（）A。

-1/3B。

7/3C。

-5/3D。

52.已知向量a=(3,2)，b=(-1,2)，c=(4,1)，若(a+kc)∥(2b-a)，(k∈R)，则k=A。

4B。

-2C。

-1D。

-33.若向量AB=(3,-1)，n=(1,2)，且n·AC=7，则n·BC的值为（）A。

-6B。

6C。

6或-6D。

无法确定4.在△ABC中，BD=2DC，AD=mAB+nAC，则(m/n)的值为（）A。

1/2B。

1/3C。

2D。

35.四边形ABCD中，AB=DC，且AD-AB=AD+AB，则四边形ABCD是（）A。

平行四边形B。

菱形C。

矩形D。

正方形6.如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量的“向量积”，a×b的大小为a×b=a·sinθ，如果a=5，b=1，a·b=-3，则a×b=A。

3B。

-4C。

4D。

57.已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，若a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A。

(-∞,-5/3)∪(3/5,+∞)B。

(-∞,0)∪(1,+∞)C。

(1/3,5/3)D。

(-∞,0)∪(5/3,+∞)8.已知向量a，b满足：|a|=3，a·b=-12，则b的取值范围是（）A。

(-∞,-4/3)∪(4/3,+∞)B。

(0,4]C。

(4,+∞)D。

[4,+∞)9.已知点O(0,0)，B(3,0)，C(4,3)，向量DC=OB，E为线段DC上的一点，且四边形OBED为等腰梯形，则向量OE等于（）A。

高中数学第二章平面向量综合测试题(含解析)新人教A

平面向量综合测试题（时间：120分钟满分：150分）学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 向量a ，b ，c ，实数λ,下列命题中真命题是( )A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λ a ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0 4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.125．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．06．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－31527. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π3，π]C ．[π3，2π3]D ．[π6，π]8. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2,4] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 9. 下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 的方向相同； ②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ；③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线；⑤若平面内有四点A ，B ，C ，D ，则必有AC →＋BD →＝BC →＋AD →. A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，且a ⊥b ，则x 2＋y 2的最小值为( )A.13B.23C.12D ．1 11．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2 B. 2 C ．1 D.2212．设a ,b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2，则|b |等于________．14．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λ a ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.16．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0r，(1)用OA →、OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．18．（10分）设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线．(2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 19．（10分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 20．（10分）已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →|．21．（10分）已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求 (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b .22.（10分）已知a ＝( 3，－1)，b ＝13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．参考答案一、选择题 1~6 BCBCDA 7~12 BDACBC 提示：1.若a ·b ＝0，表明a ，b 垂直，并不是a ＝0或b ＝0；若a 2＝b 2，表明|a |2＝|b |2，并不是a ＝b 或a ＝－b ；若a ·b ＝a ·c ，则有|a ||b |cos α＝|a ||c |cos β，α，β分别是向量a ，b 和c ，a 的夹角，不只会是b ＝c .故只有B 正确．2 .cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－11·2＝－12.所以〈a ，b 〉＝2π3.3.由BC →＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点，则PC →＋PA →＝0.4.由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a－2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.5.因为a ⊥c ，所以a ·c ＝0，又因为a ∥b ，则设b ＝λa ，所以c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0.6．AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB →|AB →·CD→|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.7．Δ＝|a |2－4a ·b ＝|a |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2·cos〈a ，b 〉≥0.所以cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．所以π3≤〈a ，b 〉≤π.8．由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2，1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以cos θ＝1－2|b |2|b |，因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤1－2|b |2|b |≤1，所以12≤|b |≤1.9.易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC →＋BD →＝BC →＋AD →，所以AC →－AD →＝BC →－BD →，即DC →＝DC →，所以⑤正确．10.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ＋1＋y －2＝0，整理得x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≥12，所以x 2＋y 2的最小值为12.11．因为(a ＋b )⊥a ，|a |＝1，所以(a ＋b )·a ＝0，所以|a |2＋a ·b ＝0，所以a ·b ＝－1.又因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0.所以2a ·b ＋|b |2＝0.所以|b |2＝2.所以|b |＝2，选B. 12.利用排除法可得选项C 是正确的，因为|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb .选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．二、填空题 13.5 14.－1 15. 5 16. 6 提示：13．因为|a ＋b |＝5 2，所以(a ＋b )2＝50，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝50，又|a |＝5，a ·b ＝10，所以5＋|b |2＋2×10＝50. 解得|b |＝5.14．由题意知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b )∥c ，得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.15．|b |＝22＋12＝5，由λa ＋b ＝0，得b ＝－λa ，故|b |＝|－λa |＝|λ||a |，所以|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.16．因为AB →·AC →＝－1，所以|AB →|·|AC →|cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，所以|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，所以|BC →|min ＝ 6. 三、解答题17.解：(1)2AC →＋CB →＝0r ，2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0r. 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0r，所以OC →＝2OA →－OB →.(2)如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)，故DA →＝12OC →，故四边形OCAD 为梯形．18．(1)证明：AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC →＝OC →－OA →＝－a －2b .所以AC →＝－AB →，又因为A 为公共点，所以A 、B 、C 三点共线．(2)解;AC →＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ，因为A ,C ,D 三点共线，所以AC →与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －k b )，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.19．解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)因为a ＝m b ＋n c ，所以(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)．所以2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，所以k ＝－1613.20．解：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x－3，y －2)，因为D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，所以存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，所以x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. 所以－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以D (1,1)．|AD →|＝ 1－22＋22＝5， 21.解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1，所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1，所以cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，所以θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.22.解：因为a ＝(3，－1)，b ＝13,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以|a |＝ 32＋－12＝2，|b |＝221322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1，所以a ·b ＝ 3×12＋(－1)×32＝0，故有a ⊥b .由x ⊥y ，得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0.所以－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0.将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0.所以k ＝t 3－3t 4，所以k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.。

2019_2020学年高中数学第二章平面向量检测试题新人教A版必修4

第二章平面向量检测试题(时间:120分钟满分:150分)选题明细表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知O,A,B,C,D是平面内不同的5个点,下列各式化简后不等于的是( C )(A)-+(B)++(C)+-(D)2(+)解析:A.-+=+=;B.++=+=;C.+-=2+;D.2(+)=2+=,故选C.2.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于( D )(A)(B)(C)2 (D)3解析:因为|a-2b|=2,所以a2-4a·b+4b2=28,即4-4|b|+4|b|2=28,解得|b|=3.故选D.3.已知向量a=(2,1),b=(3,m),若(2a+b)∥b,则m的值是( A )(A)(B)-(C)(D)-解析:由向量a=(2,1),b=(3,m),得2a+b=2(2,1)+(3,m)=(7,2+m),由(2a+b)∥b,得7m-3(2+m)=0,解得m=.4.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(a-2b)等于( D )(A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3解析:a2=1,a·b=1×2×cos 120°=-1,则a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2×(-1)=3.故选D.5.三角形的角平分线定理:在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,则=.已知点O在AD上,满足=2,AC=2,BC=4,AB=3.且=x+y,利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为( D )(A)(B)(C)(D)解析:因为==.所以=,==(+)=(+-)=(+).所以x+y=(+)=.故选D.6.已知直线4x+3y+27=0,则过点A(1,1)与该直线垂直的直线方程为( C )(A)4x-3y+1=0 (B)4x+3y+1=0(C)3x-4y+1=0 (D)3x+4y+1=0解析:在所求直线上任取一点P(x,y),则=(x-1,y-1),又直线4x+3y+27=0的一个方向向量为n=(1,-),所求直线与4x+3y+27=0垂直,所以·n=0,即(x-1)×1+(-)·(y-1)=0,化简得3x-4y+1=0,故选C.7.设a,b是不共线的两个向量,已知=a+2b,=4a-4b,=-a+2b,则( B )(A)A,B,D三点共线(B)A,C,D三点共线(C)A,B,C三点共线(D)B,C,D三点共线解析:因为=a+2b,所以=-a-2b,又=4a-4b,所以=+=3a-6b=-3(-a+2b)=-3.所以A,C,D三点共线.故选B.8.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,E是CD上一点,且·=1,则·的值为( B )(A)3 (B)2 (C)(D)解析:设与的夹角为θ,则与的夹角为-θ,又∥,故有与夹角为-θ,如图:因为·=||·||·cos θ=||·cos θ=1,所以||·cos θ=,所以·=||cos(-θ)=||sin θ=1,所以·=·(+)=·+·=1+1=2.故选B.9.已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-,则λ等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:·=(+)·(+)=[+(1-λ)]·(+λ)=-,所以4λ2-4λ+1=0.所以λ=.故选A.10.已知非零向量,和满足(+)·=0且=,则△ABC为( D )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:因为,分别表示与,同向的单位向量.所以以,为邻边的平行四边形为菱形.所以表示向量+的有向线段在∠A的平分线上.所以由(+)·=0知∠A的平分线垂直于BC,所以△ABC为等腰三角形.又=cos C=,所以∠C=,从而可知∠A=,所以△ABC为等腰直角三角形.故选D.11.已知平面内的向量,满足:||=1,(+)·(-)=0,且与的夹角为120°,又=λ1+λ2,0≤λ1≤1,1≤λ2≤3,则由满足条件的点P所组成的图形面积是( B )(A)2 (B)(C)1 (D)解析:平面内的向量,满足:||=1,(+)·(-)=0,所以||=1.又与的夹角为120°,所以以,为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形OACB.延长OB到M点,使=2,以BC,BM为邻边作平行四边形BCNM.又=λ1+λ2,0≤λ1≤1,1≤λ2≤3,则由满足条件的点P所组成的图形是平行四边形BCNM.其面积是2S平行四边形OACB=2×12sin 120°=.故选B.12.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( A )(A)[-1,+1] (B)[-1,+2](C)[1,+1] (D)[1,+2]解析:因为a,b是单位向量,a·b=0,所以令a=(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),则c-a-b=(x,y)-(1,0)-(0,1)=(x-1,y-1),又|c-a-b|=1,所以(x-1)2+(y-1)2=1,如图所示,|c|=表示原点到圆上点的距离,||==,-1≤|c|≤+1.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=-a-b;②=-a+b;③=a+b;④++=0,其中正确命题的序号为.解析:=+=+=-b+a,则①错误.=-a+b,则②正确.=a+b,则③正确.++=-b+a-a+b+a+b=0,则④正确.答案:②③④14.在△OAB中,点C满足=2,设=a,=b,则= (用a,b表示).解析:△OAB中,点C满足=2,设=a,=b,则=,所以-=(-),所以=b+a.答案:b+a15.在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足 ||=,则·的取值范围为.解析:不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2).设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0<a<1),所以=(a,2-a),=(a+1,1-a),所以·=a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=2(a-)2+,因为0<a<1,所以由二次函数的知识可得·∈[,2).答案:[,2)16.下列命题中:①a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R,使得b=λa;②e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;③|a·a·a|=|a|3;④a与b共线,b与c共线,则a与c共线;⑤若a·b=b·c且b≠0,则a=c.其中正确命题的序号是.解析:①中,因为a=b=0时,λ不唯一,故①错;④中当b=0时,a∥b且b∥c⇒/ a∥c,故④不正确;⑤中a·b=b·c⇒|a|·|b|c o sθ1= |b|·|c|·cos θ2(θ1,θ2分别为a与b及b与c的夹角),又|b|≠0,所以|a|·c o sθ1=|c|·c o sθ2⇒/a=c,故⑤不正确;只有②③正确.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知向量a=(-2,2),b=(2,1),c=(2,-1),t∈R,(1)若(ta+b)∥c,求t的值;(2)若|a-tb|=3,求t的值.解:(1)因为a=(-2,2),b=(2,1),c=(2,-1),所以ta+b=(2-2t,1+2t).因为(ta+b)∥c,所以2(1+2t)+(2-2t)=0,解得t=-2.(2)|a-tb|====3,解得t=-1或t=.18.(本小题满分12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件. 解:(1)m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,所以(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1)所以解得所以=-3+.(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.19.(本小题满分12分)某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水流速度为 4 km/h.(1)如果他径直游向河对岸,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?解:(1)如图(1),设人游泳的速度为,水流速度为,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=,根据勾股定理,||=8,且在Rt△CAO中∠COA=60°,故此人沿与河岸夹角为60°,顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h.(2)如图(2),设此人的实际速度为,水流速度为,游速=-,在Rt△AOB中,||=4,||=4,||=4,cos∠BAO=,故此人沿与河岸夹角为θ(其中cos θ=)且逆着水流方向前进,实际速度大小为4 km/h.20.(本小题满分12分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,所以cos θ===-.又0≤θ≤π,所以θ=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=,所以∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||||·sin∠ABC=×4×3×=3.21.(本小题满分12分)如图,在△OBC中,A是边BC的中点,||=2||,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量,;(2)若=λ,求实数λ的值.解:(1)=+=+2=+2(-)=2-=2a-b;=+=+2(-)=2-=2a-b.(2)设=μ=2μa-μb,则=+=2a-b+2μa-μb=(2+2μ)a-(1+μ)b,又=λ=λa,所以解得λ=.22.(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,且=2.M是线段CE上一动点.(1)若M是线段CE的中点,=m+n,求m+n的值;(2)若AB=9,·=43,求(+2)·的最小值.解:(1)因为M是线段CE的中点,=2,所以=+=+=+(-)=(+)=(++)=+ =m+n,因为与不共线,所以m=,n=,则m+n=.(2)建立如图直角坐标系,则A(0,0),E(6,0),B(9,0),设C(9,m),m>0.则=(-9,-m),=(-3,-m),·=27+m2=43,所以m=4,所以C(9,4),因为M在线段CE上,设=λ,0≤λ≤1.M(x,y),则=(x-9,y-4),=(-3,-4),x-9=-3λ,y-4=-4λ,所以x=9-3λ,y=4-4λ.即M(9-3λ,4-4λ),所以=(3λ-9,4λ-4),=(3λ,4λ-4),+2=(9λ-9,12λ-12),=(3λ,4λ),(+2)·=27λ2-27λ+48λ2-48λ=75(λ2-λ) =75(λ-)2-,0≤λ≤1.所以当且仅当λ=时,(+2)·有最小值-, 从而(+2)·的最小值为-.。

2020学年高中数学第二章平面向量单元质量测评(含解析)新人教A版必修4(2021-2022学年)

第二章单元质量测评对应学生用书P79 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分１50分,考试时间1２０分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共1２小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列等式恒成立的是()A.错误!+错误!未定义书签。

＝０B．错误!－错误!=错误!C.(a·ｂ）·c＝a·(b·c)D.(a＋b)·ｃ＝a·c+b·c答案 D解析由数量积满足分配律可知D正确．２．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题：①给定向量ｂ，总存在向量c,使a＝b+c;②给定不共线的向量ｂ和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μｃ;③给定单位向量ｂ和正数μ,总存在单位向量ｃ和实数λ，使ａ=λb+μc;④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c,使a＝λb+μc.上述命题中的向量ｂ，c和ａ在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )Ａ.1 B.2 C．３ D．4答案Ｂﻬ解析显然①②正确;对于③，当μ〈|ａ｜sｉｎ<a，b>时,不存在符合题意的单位向量c和实数λ,③错误；对于④,当λ=μ=１,｜a｜＞2时,易知④错误．3．在五边形ＡBCDE中(如图),错误!+错误!-错误!未定义书签。

=()A.错误!未定义书签。

B.错误!C．错误! D．错误!答案 B解析错误!未定义书签。

＋错误!-错误!未定义书签。

＝错误!+错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

.4．设D为△ABＣ所在平面内一点,错误!=３错误!，则（ )Ａ.错误!＝－错误!未定义书签。

错误!＋错误!未定义书签。

错误! B．错误!未定义书签。

＼s＼ｕp6（→)-错误!错误!＝错误!未定义书签。

ＡBＣ．错误!=错误!未定义书签。

错误!+错误!未定义书签。

错误! D.错误!=错误!未定义书签。

高一数学第二章平面向量单元测试题2 试题

卜人入州八九几市潮王学校文博高一数学班级座号一、向量的概念：1．向量定义：既有又有的量叫做向量。

线段的长度叫向量的，记作。

2．〔1〕单位向量：长度为的向量叫单位向量，即；〔2〕零向量：长度为的向量叫零向量，记作；〔3〕平行向量〔一共线向量〕：方向或者的非零向量叫平行向量〔一共线向量〕，记作：；〔4〕相等向量：相等，方向的向量叫相等向量。

即：；〔5〕相反向量：与长度，方向的向量，叫做的相反向量，记作。

规定：零向量与任一向量平行，记作；零向量与任一向量垂直二、向量的线性运算：1．向量加法〔减法〕法那么：画图表示：〔1〕三角形法那么：〔一共线向量的加法也符合〕〔2〕平行四边形法那么2.向量的数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：(1)||=；(2)当>0时，的方向与的方向；当<0时，的方向与的方向；当=0时，=，方向是3.两个向量一共线定理：向量与非零向量一共线的等价条件是有且只有一个实数，使得=.特别的：4.平面向量根本定理：:，是同一平面内的两个不一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中我们把不一共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组。

注：①，均非零向量；②，不唯一③，唯一；三、向量的数量积及坐标运算：1.平面向量的坐标运算：〔1〕假设=，=，那么=。

〔2〕假设那么〔3〕假设=，那么=。

2．平面向量一共线的坐标表示：假设=，=，，3.平面向量的数量积的定义：①向量的夹角：其取值范围是：当且仅当两个非零向量同方向时，，当且仅当反方向时。

③与的数量积：记作当与同向时，；当与反向时，，特别地，或者；4．平面向量数量积的坐标表示、长度、夹角、垂直的坐标表示：假设,，那么=①模长：||==,；②夹角：；③两点间的间隔公式：假设，那么；④垂直的等价条件：，即。

〔为非零向量〕四、例题讲解例1、设、、分别是的边、、上的点，且，，，假设记，，试用，表示、、。

高中数学第二章平面向量综合测试卷(A卷)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

第二章平面向量（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =，4b =，则a b ⋅=（）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =，4b =，则a b a b ⋅=⨯1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（） A.π6 B. π4 C. π3 D. 2π3【答案】C3.【2018届某某省某某市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，，()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C. 4．已知向量，若，则实数m 的值为（）A. 0B. 2C.D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且∴， ∴.选C.5．如上图，向量1e ，2e ，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ，2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e 【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 【答案】A 【解析】()1,2A --,()()0,1,5B C a -，三点共线ABACλ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=,4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =，1b =，则a b +=（）A. 2B. 23C. 7D. 4 【答案】C8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =，4b =，则a b ⋅=（）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =，4b =，则a b a b ⋅=⨯1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届某某省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D.10.【2018届某某省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A.322 B. 2 C. 322- D. 3152- 【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B.11．【2018届某某省某某地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（） A. 0 B. 833C. 4-D. 4 【答案】C【解析】12．【2018届某某省某某市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83- 【答案】B【解析】如图建立坐标系，(()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=-. 14.【2018届某某省某某市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ，b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________．【答案】60°（或3π）【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得：2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =，BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =，BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________；DE DB ⋅的取值X 围为__________．【答案】 1[]1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系，()0,0D ，()0,1DE x ， ()1,1B ，()0,1CB ，()1,0C ，()1,1DB ， ()0,1E x ，[]00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=，01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值X 围为[]1,2，故答案为1，[]1,2.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证：AB BC ⊥； (2) //AD BC ，某某数m 的值. 【答案】(1)见解析(2)12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得，()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，某某数λ的值．【答案】（1）34π；（2）1-．【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=；（2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）某某数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。