【数学竞赛】2001年全国初中数学联赛试卷
2001年全国初中数学竞赛试题及答案
2001年全国初中数学竞赛试卷一、选择题（本题共6小题，每小题7分，满分42分。
每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则c b a 10019992++的值是（ ）A 、1999B 、2000C 、2001D 、不能确定 2、若1≠ab ，且有09201152=++a a 及05200192=++b b ，则ba 的值是（ ）A 、59 B 、95 C 、52001-D 、92001-3、已知在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15ABC ，1=BC ，则AC 的长为（ ） A 、32+ B 、32- C 、30⋅ D 、23-4、如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，ABD ∆∽ACB ∆不一定成立的情况是（ ）A 、BD AB BC AD ⋅=⋅ B 、AC AD AB ∙=2 C 、ACB ABD ∠=∠ D 、BD AC BC AB ∙=∙ 5、①在实数范围内，一元二次方程02=++c bx ax 的根为aac b b x 242-±-=；②在ABC∆中，若222AB BC AC +，则ABC ∆是锐角三角形；③在ABC ∆和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为ABC ∆的三边，111c b a ，，分别为111C B A ∆的三边，若111c c b b a a ，，，则ABC ∆的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。
以上三个命题中，假命题的个数是（）A 、0B 、1C 、2D 、36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
初中数学竞赛试题及答案解析
初中数学竞赛试题二、填空题1、 41-的负倒数与4-的倒数之和等于 . 2、 甲、乙、丙、丁四个数之和等于90-.甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等.则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大 .3、 已知a 1999=,则=-+---+-200133314232323a a a a a a .4、 填数计算:〇中填入的最小的自然数.△中填入最小的非负数.□中填入不小于5-且小于3的整数的个数.将下式的计算结果写在等号右边的横线上.(〇+□)⨯△= .5、 从集合}5,4,1,2,3{---中取出三个不同的数,可能得到的最大乘积填在□中,可能得到的最小乘积填在〇中,并将下式计算的结果写在等号右边的横线上.-(-□)÷〇= .6、 计算:=------------)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1 . 7、 x 是有理数,则22195221100++-x x 的最小值是 . 8、 如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC 的长度为.9、 在1000到5000之间同时被24,36,30整除的最小整数是_________,最大整数是__________.10、 一个有理数的倒数的相反数的3倍是31,那么这个有理数是 . 11、 一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是 .12、 若8919+=+=+c b a ,则=-+-+-222)()()(a c c b b a .13、 a 1的倒数是51-,那么=a _____. 14、 小丽写出三个有理数,其中每两个有理数的平均值分别是326,217,7,那么这三个有理数的平均值是 .15、 计算:=--+-)36173)(72.0()722(125.11.16、 m ，y 互为相反数,n 和y 互为倒数,则5)(y my n -的值是_____.17、 已知1171=x ,则3)114(3)711)(1(2++--x x x 的值是 . 18、 已知52,32<-<-b a a b .则化简98272-+++-----b a a b a b 所得的结果是 .19、 m ,n 是正整数,mn =120,则m +n 可能取到的最小值是_____.20、 若a=1997,则7122----+a a a a 的值是 .21、 若x = -0.239,则199********-------++-+-x x x x x x 的值等于_____.参考答案二、填空题1、 417- 解：41-的负倒数为411--,4-的倒数为41-, 二者之和为:411--+41-417414-=--=.2、 204解：设等数为a ,则 90)4()4()]4([)]4([-=-⨯+-+--+-+a a a a 即90412-=-a ,∴ a =40, 因此,甲数为36,乙数为44,丙数为-10,丁数为-160,其中,最大数-最小数=44-(-160)=204.3、 4000000 解：当a 1999=时,142314232323-+-=-+-a a a a a a=-+-200133323a a a 200133323-+-a a a ,所以,原式=142323-+-a a a )2001333(23-+--a a a2000200019992000)1(20002+⨯=++=++=a a a a400000020002000=⨯=.4、 0解：〇中填1,△中0,□填8. []⎣⎦⎡⎤00)81(=⨯+.5、 ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷-- 解：由-3,-2,-1,4,5中任取三个相乘可得10种不同的乘积,它们是:124)1)(3(,205)2)(3(,244)2)(3(,6)1)(2)(3(=⋅--=⋅--=⋅--=---,105)1)(2(,84)1)(2(,6054)3(,155)1)(3(=⋅--=⋅---=⋅⋅-=⋅--,2054)1(,4054)2(-=⋅⋅--=⋅⋅-,最大乘积是30,最小的乘积是-60.∴ ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷--.6、 137 解：)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1------------ )4151()3141()2131(1)]4151([)]3141([)]2131([1---------------= )4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1-------+-+-+= 41513141213114151314121311+-+-+--+-+-+= 13710131075121151211==-++-=.7、 1715 解：一般解法是分三种情况讨论:（1）当22195-<x 时 ,,（2）当22110022195≤≤-x 时 ,,（3）当221100>x 时 ,.综合（1）,（2）,（3）可得,最小值是1715.最简单的解法是:根据绝对值的几何意义,22195221100++-x x 表示数轴上x 对应的点P 到22195-对应的点A 和221100对应的点B 的距离之和,易知当P 在线段AB 上时,P A +PB 最小值为2211001715)22195(=--.8、 1373 解：设线段AC 的长度为x ,则AD =2x ,则AB =2x ,DC =2x ,DB =x 23,CB =x ,所以 232321221=+++++x x x x x x ,即23213=x .∴13731346==x .即AB 长度为1373.9、 4680解：24,30,36三个数的最小公倍数是360,10803360=⨯,∴大于10000且能被24,30,36整除的最小整数是1080,又36010805000⋅+>n ,其中n 为自然数,解得9810<n .∴取10=n ,得4680360101080=⋅+.∴具有这种性质的最大整数是4680.10、 -9解：利用还原算法:某数a 的3倍是31,显然91=a ,而91应是一个有理数倒数的相反数,所以这个有理数的倒数为91-,故这个有理数是-9.11、 大于1的有理数和负有理数解：画出数轴如图.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1;大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数,大于它自身.综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.12、 222解：由8919+=+=+c b a 得:11,1,10=--=--=-a c c b b a .∴+-+-22)()(c b b a =-2)(a c 222121110011)1()10(222=++=+-+-.13、 51- 解：a 1的倒数是51-,那么a 1=-5,51-=a .14、 1817 解：设小丽写出的三个有理数为x ,y ,z ,则3262,2172,72=+=+=+z y z x y x , 所以15,340,14=+=+=+x z z y y x ,三式相加,3127)(2=++z y x , 则1817181273==++z y x .15、 -14 解：因为2179167212518511.125(2)(0.72)(3)73687100367214-+--=-+=-+=-. 所以原分式的值为-14.16、 0解：由m 和y 互为相反数,知m = -y ,由n 和y 互为倒数,知道0,0≠≠y n 且yn 1= ∴0=-=-y y y y y m y n ,故5)(ym y n -=0. ∴17、 38 解：由1171=x ，可知2114,1171=+=-x x ，所以原式= 37772(1117)322113838111111-+=+=.18、 -6解：由32<-a b ,得03272<--<--a b a b .由52<-b a ,得052>+-a b ,得 05282>+->+-a b a b .而853)2()2(=+<-+-=+b a a b a b . 089<-+<-+∴a b b a98272-+++-----b a a b a b9)()82()72(-+-+----=b a a b a b987+--=6-=.19、 22解：由222)(1204)(4)(n m n m mn n m -+⋅=-+=+当2)(n m -愈小时,2)(n m +越小,从而m +n 也愈小,m 、n 为120的约数,且n m -要最小,由53222120⋅⋅⋅⋅==mn所以,当m =12,n =10时,m +n =22为最小值.20、 4000解：当a =1997时,0719971997,011997199722>-->-+7122----+a a a a)7()1(22----+=a a a a7122++--+=a a a a62+=a4000619972=+⋅=.21、 999解：由b a x <≤,可得a b a x b x -=---,则原式)19961997()23()1(---++---+--=x x x x x x)19961997()23()01(-++-+-=个99921998111=÷+++= 999=.。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析目录1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (3)1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (10)2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (17)2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (24)2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (31)2003年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (39)2004年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (49)2005年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (57)2006年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (64)2007年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (72)2008年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (84)2009年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (91)2010年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (99)2011年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (107)2012年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (115)2013年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (129)2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案 (137)1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).1、已知c b a ，，都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是(B ).A. ；bc ab >B. ；c b b a +>+C. ；c b b a ->-D..cbc a > 【解析】B.根据不等式的基本性质.2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为(D ).A. 2；B. 4；C. ；3D. .5【解析】D..514)(14)()(.1.200422212212212121212=⇒⨯--=⇒-+=-∴⎩⎨⎧=-=+>⇒⎭⎬⎫>>-=∆p p x x x x x x x x px x x x p p p 为方程的两根，那么有、设由3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且64==⊥CE BD CE BD ，，，那么△ABC的面积等于(C ). A. 12； B. 14； C. 16； D. 18.【解析】C..16123434.4141.12642121=⨯==∴=-⇒=⇒∆=⨯⨯=⋅⋅=⇒⊥∆∆∆∆∆BCDE ABC ABC BCDE ABC ABC AED BCDE S S S S S S S ABC DE CE BD S CE BD DE 四边形四边形四边形的中位线是，则如图所示，连接 DACBE4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第()象限.(B ) A. 一、二； B. 二、三； C. 三、四； D. 一、四.【解析】B...11222.12.10.02)()(2一定通过第二、三象限直线过第二、三、四象限时，直线当过第一、二、三象限；时，直线当或或p px y x y p x y p p p ccc b a p c b a c b a p c b a p c b a pba c pa cb pcb a p b ac a c b c b a +=∴--=-=+==-==∴-=-=+=⇒=++=++=⇒++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒=+=+=+ 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有(C ). A. 17个； B. 64个； C. 72个； D. 81个.【解析】C..7298)(.832313029282726259987654321.322490483190.89个有，满足条件的整数有序对个，共，，，，，，，个；，共，，，，，，，，则依题意，知由原不等式组可得=⨯∴==∴⎩⎨⎧≤<≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<<≤b a b a b a b a b x a二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_____.【解析】.1360.136013560135.1355125sin135605125)12(sin.12)120(2222=-+=+∴=+⋅=∠⋅=-=+⨯-=∠⋅=∴-=<<=xxPFPExxPAFAPPFxxPDEDPPExDPxxAP；，则如图所示，设FEA DCBP7、已知直线32+-=xy与抛物线2xy=相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于_____.【解析】6..639211121)31()91(21'.''').93()11(32''''2=⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯=--=-=+-=∆∆∆OBBOAABBAAOABSSSSBAxBBAABAxyxy梯形则，轴，垂足分别为分别垂直于，作，，，的交点为与抛物线如图所示，直线8、已知圆环内直径为cma，外直径为cmb，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_____cm.【解析】49a+b..49)150(225050242332222baabbbaabbbaabb+=-⨯--⋯⋯+=⨯--+=⨯--个时，链长为当圆环为；个时，链长为当圆环为；个时，链长为如图所示，当圆环为9、已知方程())(15132832222是非负整数其中aaaxaaxa=+-+--，至少有一个整数根，那么a=_____.【解析】1，3或5..53151322)2()83(2)15132(4)83()83(21222222222，或，可取故，a ax a x a a a a a a a a a a a a a x -=-=∴+±-=+---±-= 10、B 船在A 船的西偏北o 45处，两船相距km 210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是_____km .【解析】52..52''620)6-(5)210()10(''''./.''.102221045sin 102221045cos 22222o o 取得最小值时，当则船的速度为并设处，船分别航行到船、小时后，设经过，如图所示，B A xt xt xt xt C B C A B A h km x A B A B A t AB BC AB AC =+=-+-=+==⨯=⋅==⨯=⋅=三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).11、如图，在等腰ABC ∆中，o 901=∠=A AB ，，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.AB CEF【解】解法一：.24161212121612214522122∽9090.o o o =⨯⨯=⋅⋅=∴=⇒=-∴=⇒=∠-=-=∴=⇒==∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆GF CE S GF GF GF GF CG C GFGE CE CG GF GE AEABGF GE GEABGF AE GEF Rt ABE Rt GEF ABE AEB GEF AEB ABE G CE FG CEF 于如图所示，作GFEACB解法二：241)21()(∽9090.22o o ==∴====∴∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆∆AEABCH CE CE AB CH AE AB CE S S CEH Rt ABE Rt CEH ABE AEB CEH AEB ABE H EF CE CH C ABE CEH ，的延长线交于，与作如图所示，过 HFEACB.2412112141324132322.45o =⨯⨯⨯⨯=⨯==∴==∴⇒∠⇒=∠=∠∆∆∆∆∆ABE CHE CEF CHF CEF S S S CH CE S S CE CH F HCE CF HCF ECF 的距离相等、到的角平分线是12、设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点.(1)求a 的值； (2)求618323-+a a 的值. 【解】.5796)138(323)15972584(3231381011)1(310113)2)(53(1115344)1(44)2()1(1212)1(12)1()1(11101159725846101597)1(9876101597987)1)(610987(610987169546)1(441169546441)1321()(1321412)1(94129)23()(2312)1(12)1()(101)1()2(.251010)452(4)12(.0452)12(.452)12()1(618224622224222222216182228162224822224222222=+-++=+∴+-=+-+=+-=+-+-=⋅=+-=+-+=+-=+-==+-=+-+=+-=-==-=∴=--+=+++=++=++=⋅=+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=∴=--±=∴=+-=+-+=∆∴=++++∴++++=-a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a x x a x a x y 又知，由，即有两个相等的实根一元二次方程轴只有一个交点的图像与抛物线13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元.(1)设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W (元)关于x (台)的函数关系式，并求W 的最大值和最小值.(2)设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W (元)，并求W 的最大值和最小值. 【解】.1420014200100142001720010300020017200)(300200.98009800810980017200183001020017200)(300200.1810100100172003005001810100100818010010017200300500)10(500)10(700)10(800)18(400300200.101010182.132005100009958218010017200800)102(500)10(700)10(800)218(400300200.10210102181元的最大值是，故时，，即当；又元的最小值是，故时，，即当是整数，，，且又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（元取到最大值时，元；当取到最小值时，所以，当又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（W W y x y x x W W W y x y x x W y x y x y x y x W y x y x y x y x y x y x y x y x y x W y x y x E y x y x D C B A W x W x x x x x x x x x x x W x x x E x x x D C B A ====+⨯-⨯-≤++--=====+⨯-⨯-≥++--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤+--=-++-+-+--++=-+----==≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤≤≤+-=-+-+-+-++=----1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).14、一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是(C ).A. 11；B. 12；C. 13；D. 14.【解析】C.18019131999)2(180o o <⇒<-n n .15、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费(B ). A. 60元； B. 66元； C. 75元； D. 78元.【解析】B.设4月份用户使用煤气x (x >60)立方米.则 60×0.8+1.2×(x -60)=0.88x .解得x =75. 故4月份该用户应交煤气费0.88×75=66元.16、已知11=-a a，那么代数式a a +1的值为(D ).A.；25B. ；25-C. ；5-D. .5【解析】D..1111110②52321)1(113111110①2222222此时无解时，当；时，当-=+⇒=+⇒=-<=+=++=+=+⇒+∴=+⇒=-⇒=->a aa a a a a a a a a a a a a a aa a a a a 17、在ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，已知51065====CD BD AD AC ，，，，那么ABC ∆的面积是(B ). A. 30； B. 36； C. 72； D. 125.【解析】B..36524)510(212152454621214353621215.2222=⨯+⨯=⋅⋅=∴=⨯=⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅=∴=-=-=∴=⨯==⇒⊥==⊥⊥∆∆AF BC S CD CE AD AF AF CD CE AD S AE AC CE AD AE AD CE CD AC F BC AF E AD CE ABC ADC ，则于，于如图所示，作FEACD B18、如果抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是(A ). A. 1； B. 2； C. 3； D. 4.【解析】A.().1 184)1(452522145221214524)]1([)1(444212)1(252)1(4)1(4)(11.1)1(32222212222221221212121212取得最小值时，当，，则，的两实根为设一元二次方程ABCCABCSkkkkkkkkxxyABSkkkkabackkabkkkkxxxxxxkxxkxxxxkxkx∆∆-=++=++⋅++⋅=++⋅-⋅=⋅⋅=∴++-=-----=--=---=-++=----=-+=-∴--=-=+=----19、在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为(D).A.2；B.3；C.4；D.5.【解析】D..③②①.31452PPBABPBABPPABAPABAPPPABPBPAPABPCDCDBPBCDPCD，为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；，的中垂线上，此时有必在线段时，点当是等腰三角形，则要使的对称直线上的直线或此直线关于且平行于一定在过点的面积相等，则点与如图所示，要使===∆∆∆二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).20、已知231231-=+=yx，，那么22yx+的值为_____.【解析】10..10)23)(23(2)]23()23[(2)(23232312312222=+--++-=-+=+∴+=-=⇒-=+=xyyxyxyxyx，，21、如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F.设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是_____(0＜x＜10).【解析】y=5x+50.50510)]215([2110)215(21)(2121215)215(10215)10(21)(212121101010∽+=⨯++⨯+⨯-⨯=⋅+⋅+⋅⋅=+=∴+=--=-=∴-=-=-==⇒=+==⇒∆∆∆x x x x AD AF DP BE BF S S y xx BF AB AF x x DP DC CP BF EC EB CP BF ECP EBF AFPD EFB 四边形 22、已知02022=-+≠b ab a ab ，，那么ba ba +-22的值为_____. 【解析】3135或.35)2(2)2(22231222220)2)((0222=+-⨯--⨯=+-=+-=+-∴-==⇒=+-⇒=-+b b b b b a b a b b b b b a b a b a b a b a b a b ab a 或或23、如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第Ⅰ象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标是_____.【解析】)213213(+-，.212321232323130cos 2121130sin 2323130cos 2121130sin .o o o o +=+=+=-=-=-=∴=⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅=⊥⊥⊥AE BF FD BF BD AF OE DE OE OD AB BF AB AF OA OE OA AE F BD AF D x BD E x AE ，，，则于，轴于，轴于如图所示，作F EDCBOxyA24、设有一个边长为1的正三角形，记作A 1(如图3)，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2(如图4)；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3(如图5)；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，那么A 4的周长_____.【解析】964..964])31(1)[43(316])31(1)[43(4)311()43(313.31433422321=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯的周长是，的周长是，的周长是，的周长是为原来的条边，每条线段长度变把一条边变成变化规律为：每次变化A A A A25、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机_____台.【解析】6..6103210316010103231601641640240台故至少需要抽水机，则水，每台抽水机每分钟抽，每分钟涌出的江水是涌出的江水是设使用抽水机抽水前已=⨯+=+⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧⨯=+⨯=+ccc c b a c b ca cb ac b a c b a三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).26、设实数t s ，分别满足0199901991922=++=++t t s s ，，并且1≠st ，求ts st 14++的值. 【解】.519141991419199191991.01999111019199)1(0199190222-=++--=++∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+∴=++∴≠⇒≠=+⋅+⇒=++∴≠ss s t s st s t s st t st s x x t s st st ss s s s 的两个不等实根是一元二次方程， 27、如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点是P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长.【解】如图所示，连接BO 并延长交AD 于H ，连接OD .则HDP O CA B.632213)6(36)2123()2221()()21(221316.0236.023∽∥909022222222222222o o +++∴=-=-==++⨯=++=+==-=-==-⨯=⋅=∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒∴=∠⇒∠=∠=∠⇒≅∆∴∠=∠⇒∆≅∆⇒=的周长为四边形上的圆周角是直径ABCD AB AC BC OH BO AD BH AH AB CD AC AD OP CP OB CD CPOPCD OB CPD OPB CDP OBP CD BH ADC AC ADC DHB AHB DBH ABH DBO ABO DOB AOB BD AB28、有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3.例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+.(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到22297100-+.【解析】(1)倒过来考虑：①22假设是通过乘法得到，则必是×2； A ，11假设是通过+2得到；9必是×3得到. 3必是+2得到.(*) B ，11假设是通过+3得到. 8必是×2得到. (A)4是+2得到； 2必是×2得到.(*) (B)4是+3得到.(*) ②22假设是通过加法得到. A ，假设是+2得到； 20必是×2得到. (A)10假设是+2得到； 8必是×2得到. a ，4是+2得到； 2必是×2得到.(*) b ，4是+3得到.(*) (B)10假设是+3得到. 7不能通过乘法得到，不满足. B ，假设是+3得到.19不能通过乘法得到，不满足. 故所有方法有148102022124810202214811221248112213911223-22-22-22-22-22-3-23-222-23-22-32-2−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷(2)倒过来考虑：148423)2293(423223423123322122222③)(2471416222)23247(222422122222②)(247222)2296(222422222①3-222-2952-952963-96396992-969929710023-22-1423-29598296993-969929710023-0322-96992971002-97100−→−−→−=-⨯→-÷−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−−→−−→−=-+→÷-÷−→−−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−=-+→÷-−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷，次不满足，，次不满足，次【解】证明：(1)22119312232−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+.或222010841222010842122118412211842122223222222232323222−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯证明：(2)222229129329123423)2292(423223423223423223197100972962963963962242323222223-+=-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯→⨯+−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，次2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).29、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a >>，则M 与P 的大小关系是(B ). A. ；P M = B. ；P M > C. ；P M < D. 不确定.【解析】B..01221221224234222223P M cc c c b a P M cb a cb ac b a c b a P M c b a cba c N Pb a Nc b a M >⇒=-+>-+=-∴>>-+=++-++=-∴++=++=+=+=++= ，，30、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米(b ﹤a )，再前进c千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是(C ).【解析】C.图(A)中没有反映休息所消耗的时间；图(B)虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图(C)正确地表述了题意.31、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么(A ).A. 甲比乙大5岁；B. 甲比乙大10岁；C. 乙比甲大10岁；D. 乙比甲大5岁.【解析】A.设甲、乙的年龄差是x 岁.则乙现在(10+x )岁，甲现在(25-x )岁，年龄差为[(25-x )-(10+x )]=15-2x 岁. 故15-2x =x ，即x =5.32、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1，－25)，则在线段AB 上(包括端点A 、B )，横、纵坐标都是整数的点有(B ). A. 4个； B. 5个； C. 6个； D. 7个.【解析】B..5012340419419)(419190)()4950()019().19(4549545)251(4954500000个点故共有，，，，是整数点，则上横纵坐标都是整数的是线段，设，，，则的一次函数的解析式是，平行，且过与直线----=⇒≤-=≤-⇒⎩⎨⎧=-≤≤∴--=-=--+=t x t t tx x AB y x B A x x y x y 33、设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是(B ). A. ∠B ＞2∠A ； B. ∠B =2∠A ； C. ∠B ＜2∠A ； D. 不确定.【解析】B.BACD BAD D ABC DBAD D BAC DAC ABC DCACAC BC C C DAC ABC c a CD AB BD D CB c a b b a c b a b b a a b a c b a b a b a c b a b a b a ∠=∠=∠+∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴=∠=∠∆∆+==+=⇒+++-++-=--⇒+++=--⇒+++=22∽.)()( ，中，和在，于是，使到如图所示，延长ca b cDC B A34、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ，，，面积为S ，111C B A ∆的三边长分别为111c b a ，，，面积为S 1，且111c c b b a a >>>，，，则S 与S 1的大小关系一定是(D ).A. ；1S S >B. ；1S S <C. ；1S S =D. 不确定.【解析】D..2121214121..2.2.11111111111111111`111S S h CB S S h CB S S h CB h AB S CB AB S c c b b a a ABc b a h AB C B A AB c ABAB b a l C AB l AB B >>==<<⋅=⋅⋅=>>>===∆==>=时，；当时，；当时，当，而，，显然满足，则为为边的等边三角形，高是以，则上任一点为的中垂线，是的中点，是如图所示，二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).35、已知：333124++=a ，那么=++32133aa a _____. 【解析】1..11)]12(1[1)11(1)1(113313313312111)2()124)(12()12(12433333323323233333333333=--+=-+=-+=-+++=++=++∴-=⇒=-=++-=-⇒++=aa a a a a a a a a a a a aa a36、在梯形ABCD 中，o o 12045268∥=∠=∠==BAD BCD BC AB DC AB ，，，，，则梯形ABCD 的面积等于_____.【解析】3666+..36666)]3214(8[21)(21321468323223630tan 30120.62264526.o o o o +=⨯++=⋅+=∴+=++=++=∴=⨯=⋅=⇒=∠⇒=∠====⇒=∠=AE CD AB S FC EF DE DC AE DE DAE BAD CF BF AE BCD BC F E DC BF AE ABCD 梯形，、于垂直、如图所示，作37、已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个.【解析】5..5①②.32121112111②11①.0)]1()1)[(1(12)1(212个有知，符合条件的整数结合，，，，即，是整数知，，由，时，当；时，当aaaxaxxaxaaxaxaxxa-=±±=----==≠===++--⇒=--+-38、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.那么钢丝绳AD与BC 的交点P离地面的高度为_____米.【解析】2.4..4.24.21561541515615∽415∽.米离地面的高度是即点则于如图所示，作PPQPQPQBQQDPQCDBDPQBQBDBQCDPQBCDBPQPQABBDPQQDBDQDABPQDABDPQQBDPQ=⇒=+∴=+=⋅=⇒=⇒∆∆=⋅=⇒=⇒∆∆⊥39、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线bxy+=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b=_____.【解析】0.5..211)515()0(===-==+bBQOPSSbBQbOPbQbPOPQABQPC，即，则要使，，知，，，由梯形梯形40、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_____.）进价进价销售价（注：利润率%100⨯-=【解析】17%.%17%10017.117.1%8%100%100%)4.61(%)4.61(%.100%)4.61(%)4.61(%4.6%.100=⨯-==⨯--⨯---⨯---⨯-xxx xy x xy x x y xxy xxy y x 率为故这种商品原来的利润解得，依题意得，为后，在销售时的利润率原进价降低的利润率为元，那么按原进价销售元，销售价为设原进价为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).41、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根21x x ，.(1)若62221=+x x ，求m 的值； (2)求22212111x mx x mx -+-的最大值. 【解】.1011.101.11)11(25)23(2)13(2)13(2)1()13)(1(2)2882(1)42()33()]42)(33()10102[(1)()]([)1)(1()]1()1([11)2(.217511217561010210102)33(2)]2(2[2)()1(.1110)33(4)]2(2[.033)2(222212122222232222121212122212112222122212122222122122212222的最大值是故取得最大值时，当上是单调递减的在设根据题设，有有两个不相等的实数根方程x mx x mx y m m y m m m m y m m m m m m m m mm m m m m m m m m m m m m m x x x x x x x x x x m x x x x x x m x mx x mx m m m m m m m m m m x x x x x x m m m m m m m x m x -+--=∴<≤-<≤---=+-=+-=-+--=--+-=+-++--+-++-=++-+-+=---+-=-+--=∴<≤-±=⇒=+-∴+-=+----=-+=+<≤-<⇒>+---=∆∴=+-+-+42、如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，322===BD AE AB EC AE ，且，，求四边形ABCD 的面积.ECOBAD【解】由题设，得ADAB ADB ABE ACBADB ACB ABE ACB ABE BACEAB AB AE AC AB AC AE AB EC AE AE AB AE AB =⇒∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴∠=∠=⇒⋅=⇒⎭⎬⎫==⇒= ∽2222232333.313221211121)3(233221212222=+=+=∴==∴=⨯⨯=⋅⋅=∴=-=-==-=-=∴=⨯===⇒∆≅∆∴∠=∠⇒∆≅∆∆∆∆∆∆ABD CBD ABCD ABD CBD ABD S S S S S AC E AH BD S OH OA AH BH OB OH BD DH BH ADH ABH DAO BAO ADO ABO H BD AO DO BO AO 四边形的中点是，，则于交，、、如图所示，连接 HECO BAD43、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)【解】易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人.先证明：要使不满意的总分达到最小，则对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.证明：设乘电梯上、下楼和直接走楼梯上楼的2个人分别住第s 和第t 层. 并设电梯停在第x 层.①当x ≤s 时，这两者不满意总分为3(s -x )+3(t -1)=3s +3t -3x -3.与t ，s 的大小关系无关；②当x >s 时，这两者不满意总分为(x -s )+3(t -1)=3t +x -s -3，要使总分最小，则t <s . 故s <t ，即乘电梯上、下楼的人，他所住的层数大于直接走楼梯上楼的人所住的层数. 今设电梯停在第x 层，并设住在第2层到第a (a <x )层的人直接走楼梯上楼. 那么不满意总分为：.31672774101316)7(815)4101(216832)101(22)33)(34(32)1)((2)1(32)33)](33(1[32)1)](1(1[2)1)](1(1[3)]33(21[3)]1(21[)]1(21[32222取得最小值时，当S a x a a x a a x a a x a x x x a x a x a a x x a x a x a a x a x a S ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-++-=+-++-=--+---+-=--+⨯+----++--+⨯=-+⋯+++--+⋯+++-+⋯++= 所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分.2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).44、化简)2(2)2(2234++-n n n ，得(C ). A. ；8121-+nB. ；12+-nC. ；87D. .47 【解析】C.872122)12(2222)2(2)2(223343141434=-=-=-=-+++++++n n n n n n n n .45、如果c b a ，，是三个任意整数，那么222ac c b b a +++，，(C ). A. 都不是整数； B. 至少有两个整数； C. 至少有一个整数； D. 都是整数.【解析】C.①若a ，b ，c 中有0个奇数，则3个数都是整数； ②若a ，b ，c 中有1个奇数，则只有1个数是整数； ③若a ，b ，c 中有2个奇数，则只有1个数是整数； ④若a ，b ，c 中有3个奇数，则3个数都是整数.46、如果b a ，是质数，且01301322=+-=+-m b b m a a ，，那么baa b +的值为(B ). A.；22123B.；或222125C.；22125D..222123或 【解析】B.①当a =b 时，2=+=+aa a ab a a b ；②当a ≠b 时，a ，b 是一元二次方程x 2-13x +m =0的两实根.故a +b =13. 又a ，b 是质数，故a =2，b =11或a =11，b =2. 故22125112211=+=+ba ab .47、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B ).A. 6；B. 8；C. 10；D. 12.【解析】B.设正方形的边长为a ，则分成的矩形的长为a /2.宽为(a -a /2)/2=a /4，故中间竖排有4个.所以，正方形分成8个全等的矩形.48、如图，若P A =PB ，∠APB =2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB =4，PD =3，则AD ·DC 等于(B ).CDBPAA. 6；B. 7；C. 12；D. 16.【解析】B.如图所示，以P 为圆心，以PA =PB 为半径作圆，延长BD 交圆于M .MCDBPA则由∠APB =2∠ACB ，知点C 必在⊙P 上.故根据相交弦定理，有AD •DC =BD •DM =(PB -PD )(PM +PD ）=(4-3)×(4+3）=7.49、若b a ，是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是(A ).A. ；b a >B. ；b a =C. ；b a <D. 不能确定.【解析】A.由12345=(111+a )(111-b )，得111(a -b )-ab =24>0，故a >b .二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).50、已知：23232323-+=+-=y x ，.那么=+22y x x y _____. 【解析】970.9701101310)()(3)(110625625232323232323223322=⨯⨯-=+-+=+=+∴⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=xy y x xy y x y x y x y x xy xy y x y x y x .51、若281422=++=++x xy y y xy x ，，则y x +的值为_____.【解析】6或-7.两式相加，得(x +y )2+(x +y )-42=0，即[(x +y )-6][(x +y )+7]=0，故x +y =6或-7.52、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_____.【解析】1036或. ①若1，4为底.如图所示，延长DA ，CB 相交于G ，并设AG =x ，BG =y ，则4514GBCDA35345414==⇒+==+⇒==y x y y x x GC GB DC AB GD GA ，. 在△GAB 中，GA 2+AB 2=GB 2，故△GAB 是直角三角形，即∠D =∠GAB =90o . 于是，S =(AB +DC )·AD /2=(1+4)·4/2=10. ②若1，5为底.如图所示，作AE 、BF 垂直DC 于E 、F .则4145FE ACDBDE =CF =(5-1)/2=2，32242222=-=-=DE AD AE . 于是，3632)51(21)(21=⨯+=⋅+=AE DC AB S .③若4，4为底.应为平行四边形，但不满足.④若4，5为底.则1，4为腰，由于1+4=5，故不满足.53、销售某种商品，如果单价上涨%m ，则售出的数量就将减少150m.为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为_____.【解析】25.设这种商品的原单价为A ，原销售量为B ，销售总额为W ，则)1500050(15000150150100100)1501(%)1(2---=-⋅+⋅=-⋅+=m m AB m m AB m B m A W 当25250=--=m 时，W 取得最大值.54、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点)0(，x M 到定点)12()55(，、，Q P 的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP +MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x _____.【解析】25.如图所示，作P 关于x 轴的对称点P’.则H I M P'(5,-5)'Q (2,1)P (5,5)M'MP +MQ =MP’+MQ ，故当Q 、M 、P’三点共线时，MP +MQ 最小.过P’，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为I ，H . 于是255251'=⇒--=⇒=x x x IM HM I P QH .55、已知实数b a ，满足22221b a ab t b ab a --==++，且，那么t 的取值范围是_____.【解析】313-≤≤-t .31)1(2123113121210)(211310)(231122222222222222-=--⨯≥-=--=-=-⨯≤-=--=∴-≥⇒≥+=++=+⇒++=≤⇒≥-=+-=-⇒++=ab b a ab t ab b a ab t ab b a b ab a ab b ab a ab b a b ab a ab b ab a .三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).56、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次.在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环.他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数.如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环.那么他在第10次射击中至少要得多少环？(每次射击所得环数都精确到0.1环)【解】设前5次射击的平均环数为x ，则前9次射击的平均环数为98.34593.91.84.80.95+=++++x x . 由题设知，x x >+98.345，即7.8<x . 故前9次的总环数至多为8.7×9-0.1=78.2.所以，第10次射击至少得8.8×10+0.1-78.2=9.9（环）.57、如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线P AB ，交⊙O 于A ，B 两点，并交ST 于点C .求证：)11(211PBPA PC +=.ACPOSTB【解】如图所示，作OE ⊥AB 于E ，连接OP 交ST 于F ，连接OT .PBPA PB PA PB PA PC PB PA PC PB PA PE PC PB PA PE PC PB PA PBPA PT PAB PT POPF PT POPTPT PF PTO PFT PEPC PO PF PE PFPO PC POE PCF BEAE ST OP 112)(222.∽∽22+=⋅+=∴+⋅=⋅⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅∴⋅=⇒⋅=⇒=⇒∆∆⋅=⋅⇒=⇒∆∆∴=⊥∴是割线是切线，， F E CA POS TB58、已知：关于x 的方程01)1)(72()1)(1(22=+-+---x x a x x a 有实根. (1)求a 取值范围；(2)若原方程的两个实数根为21x x ，，且113112211=-+-x x x x ，求a 的值. 【解】(1)令1-=x xt ，得)1(1≠-=t t t x . 原方程转化为关于t 的方程01)72()1(22=++--t a t a 有不为1的实数根. ①当a 2-1=0时，符合题意； ②当a 2-1≠0时，28530)1(4)]72([22-≥⇒≥--+-=∆a a a . 若t =1，则22101)72()1(2±=⇒=++--a a a . 故a 的取值范围是2212853±≠-≥a a 且. (2))(3810113172113111721)72(112122211222211舍去，-==⇒=-+∴=-+--+=-+--=-+-a a a a x x x x a a a a x x x x.所以，a 的值为10.2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).59、设ab b a b a 4022=+<<，，则ba ba -+的值为(A ). A. ；3 B. ；6 C. 2； D. 3.【解析】A ..3242422)()()(0002222222=-+=-+++=-+=-+=-+∴>-+⇒⎩⎨⎧<+<-⇒<<abab abab ab b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a60、已知200219992001199920001999+=+=+=x c x b x a ，，，则多项式ca bc ab c b a ---++222的值为(D ). A. 0； B. 1； C. 2； D. 3.【解析】D..3]2)1()1[(21])()()[(21222222222=+-+-=-+-+-=---++a c c b b a ca bc ab c b a61、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于(D ).GFEDABCA. ；65B. ；54C. ；43D. .32 【解析】D..32612)(261412412....=⨯-=+-=∴=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴====∴=∆∆∆∆∆∆a aa S y x S S S ay x a y x S a y x S y S S x S S BC AB ABCD F E BG a S ABCDABCD ABCDAGCD ABF CBE AGE BGE BGF CGF ABCD 矩形矩形矩形四边形矩形，的中点、的边是矩形、如图所示，连接设 GFEDABC62、设c b a 、、为实数，323232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则z y x 、、中至少有一个值(A ). A. 大于0； B. 等于0； C. 不大于0； D. 小于0.【解析】A. .00)3()1()1()1(222323232222222222中至少有一个大于、、，，z y x c b a c b a c b a z y x a c z c b y b a x ∴>-+-+-+-=+---++=++∴+-=+-=+-=πππππ63、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根21211x x x x <<，且，，那么a 的取值范围是(D ). A. ；5272<<-aB. ；52>aC. ；72-<aD. .0112<<-a 【解析】D..0112102012901)(0)1)(1(121212121<<-⇒-<+⇒<+++∴<++-⇒<--⇒<<a a a a a x x x x x x x x64、9321A A A A ⋯是一个正九边形，b A A a A A ==3121，，则51A A 等于(D ).A. ；22b a +B. ；22b ab a ++C. ；)(21b a + D. .b a +【解析】D.ba A A A A P A A A P A A A A PA A PA A PA A PA A A A A A A A A A A PA A PA A A A Ab A A A A A A P A A A A +=+=+==∴∆∆∴=+=∠=∠∴=-=∠=∠∆=-=∠=∠∴=-⨯⋯==42212211515142oo o 2442ooo243423432o o o 3432o o 93213142424521.602040202140180.40140180.1409)29(180..是等边三角形是等边三角形，中，在的每个内角都为正九边形则，连接相交于点，如图所示，延长 ab PA 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).65、设21x x 、是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为_____.【解析】863-..863863)49(21892)2(9)(29)(25]2)[(25)(2)2)(2(.04)2()2(4222212212121221212221122122-≤---=-+-=-+-⨯-=++-=+-+-=++-=-->+-=--=∆a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a 为一切实数知，由。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题共5小题,每小题6分,共30分.1甲．如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为 ．A 2c a -B 22a b -C a -D a 1乙．如果22a =-+那么11123a+++的值为 ．A 2-2222甲．如果正比例函数y = axa ≠ 0与反比例函数y =xbb ≠0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为－3,－2,那么另一个交点的坐标为 ． A2,3 B3,－2 C －2,3 D3,22乙． 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标x ,y 的个数为 ．A10 B9 C7 D53甲．如果a b ，为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． A1 B214a - C 12 D 143乙．如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为 ． A 23 B4 C 52 D4甲．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是 ． A1 B2 C3 D44乙．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数的正根小于3, 那么这样的方程的个数是 ．A 5B 6C 7D 85甲．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6．掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是 ．A 0pB 1pC 2pD 3p5乙．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，,然后删去a b ，,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是 ．A2012 B101 C100 D99二、填空题共5小题,每小题6分,共30分6甲．按如图的程序进行操作,规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 . 6乙.如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么OAB CE a b cb c c a a b+++++的值为 ． 7甲．如图,正方形ABCD 的边长为215E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7乙.如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作矩形OBAC,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 ;8甲. 如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为 ．8乙．设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为 .9甲. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .9乙．如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则ac的取值范围是 . 10甲如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD ,交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的 长为 .xyO ECABD10乙．已知n 是偶数,且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 ．三、解答题共4题,每题15分,共60分11甲．已知二次函数232y x m x m =++++（）,当13x -<<时,恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 11乙. 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴负半轴上,点B 、C 分别在x 轴正、负半轴上,48,,sin 5AO AB AC C ==∠AB =;点D 在线段AB 上,连结CD交y 轴于点E,且COE ADE S S ∆∆=;试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式; 12甲. 如图,⊙O 的直径为AB ,1O 过点O ,且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点,OC 与1O 交于点D ,且OD CD >．点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与1O 交于点F ,求证：△BOC ∽△1DO F ．12乙．如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： 1OI 是△IBD 的外接圆的切线； 2AB +AD = 2BD .13甲. 已知整数a ,b 满足：a －b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值. 13乙．给定一个正整数n ,凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒并说明理由．14甲. 求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ，， ，,满足122012x x x <<<,且122012122012n x x x +++=. 14乙．将2,3,…,n n ≥2任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， 可以相同,使得b a c =,求n 的最小值．参考解答一、选择题1甲 .C解：由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．1乙．B解：1111111223a+=+=++111=+=+=．2甲．D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3,2.2乙．B解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y , 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数,所以有 解得以上共计9对x y （，）.3甲．D解：由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为(1)(1)44224a ab a b ++++++=, 于是4423421444a b a b ++++-=. 3乙．B解：如图,以CD 为边作等边△CDE ,连接AE . 由于AC = BC ,CD = CE ,∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE , 所以△BCD ≌△ACE , BD = AE . 又因为30ADC ∠=︒,所以90ADE ∠=︒. 在Rt △ADE 中,53AE AD ==，，于是DE 224AE AD -=,所以CD = DE = 4. 4甲．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ，均为非负整数. 由题设可得消去x 得 2y －7n = y +4, 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数,所以2y －7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11．从而n 的值分别为8,3,2,1；x 的值分别为14,7,6,7．4乙．C解：由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即39p q +<. 由于p q ，都是正整数,所以1p =,1≤q ≤5；或 2p =,1≤q ≤2,此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意． 5甲．D解：掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====，，，,因此3p 最大． 5乙．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=++++, 解得 1101x +=,100x =．二、填空题6甲．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2,33x －2－2 = 9x －8,39x －8－2 = 27x －26,327x －26－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487, 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证,当7＜x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7＜x ≤19．6乙.7解：在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c 7甲．8解：连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==，,所以225AF AB BF a =+=,于是 25cos 5AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25cos AM AE BAF =⋅∠, 2453MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =所以8MND S ∆=. 7乙.285解：如图,设DE 的中点为M ,连接OM ,则OM DE ⊥．因为16OB =,所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===, 366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8甲．32-解：根据题意,关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0,由此得 k －32≤0．又k －32≥0,所以k －32=0,从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0,解得x 1=x 2=32-. 故2012220111x x =21x =23-． 8乙.1610解：()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此45|(9)n +,所以)5(mod 14≡n ,因此25k ,15±±=或k n 所以共有2012-402=1610个数9甲．8解：设平局数为a ,胜负局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==，；当9m =时,2035b a ==，,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =．9乙.1253≤<-ca解：依题意得：(1)111(2)a b c b c a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩,所以a c b ->,代入2得 c a c c b a 11111+-<+<,两边乘以a 得 c a a c a +-<1,即a c ac a c -<-,化简得0322<+-c ac a ,两边除以2c 得 23()10a a c c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c,所以1≤ca综合得1253≤<-c a 另解：可令ak c=,由1得(1)b k c >-,代入2化简得2310k k -+<,解得3535k -+<<,另一方面：a ≤b ≤c,所以1k ≤, 综合得351k -<≤． 10甲．223 解：如图,连接AC ,BD ,OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA =22AD ,故AD CF BCBA =⋅=2=. 10乙.12 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数,a+b 、a-b 同奇偶,所以n 是4的倍数,即4n k =,当1≤n ≤100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，）,则：2k p k p ==或,其中p 是素数,因此,k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n 有12个;三、解答题11甲．解： 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>（）（）,即210m +>（）,所以1m ≠-．…………3分当1x =-时,y ≤0；当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-．…………8分设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-,所以121239210x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-．因此12m <-．…………15分11乙.解：因为sin ∠ABC =45AO AB =,8AO =, 所以AB = 10．由勾股定理,得262BO AB AO -=．易知ABO ACO △≌△, 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，,(60)B ，,(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△,得CDB AOB S S =△△．所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅,1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点,点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为△A BC 的重心,所以点E 的坐标为8(0)3-，．也可由直线CD 交y 轴于点E 来求得. 设经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入,解得a =272． 故经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为228273y x =-． 12甲． 证明：连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形．…………5分设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………10分又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F ．…………15分12乙.证明：1如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知：CID IAD IDA ∠=∠+∠,CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠, CI = CD ．同理,CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ,OC ,因为I 是AC 的中点,且OA = OC ,所以OI ⊥AC ,即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． 2如图,过点I 作IE ⊥AD 于点E ,设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =,知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ,BC = CI = AI ,所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心,所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．也可由托勒密定理得：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅,再将22AC BC CD ==代入即得结论2AB AD BD +=;13甲．解：设a －b = mm 是素数,ab = n 2n 是自然数.因为 a +b 2－4ab = a －b 2,所以 2a －m 2－4n 2 = m 2,2a －m +2n 2a －m －2n = m 2.…………5分1当1n ≥时,因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数,且2a －m +2n ＞2a －m －2n m 为素数,所以 2a －m +2n =m 2,2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +,n =214m -. 于是 b = a －m =214m -（）. …………10分又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.此时,a 的最小值为2025.2当0n =时,因为a ≥2012,所以0b =,从而得a 的最小值为2017素数; 综上所述,所求的a 的最小值为2017;……15分13乙.解：设凸n 边形最多有k 个内角等于150°,则每个150°内角的外角 都等于30°,而凸n 边形的n 个外角和为360°,所以3601230k ≤=,只有当12n =时, k 才有最大值12. …………5分下面我们讨论12n ≠时的情况：1当12n >时,显然,k 的值是11；2当3,4,5,6,7n =时,k 的值分别为1,2,3,4,5；3当8,9,10,11n =时,k 的值分别为7,8,9,10. …………10分综上所述,当37n ≤≤时,凸n 边形最多有2n -个内角等于150°；当811n ≤≤时,凸n 边形最多有1n -个内角等于150°；当12n =时,凸n 边形最多有12个内角等于150°；当12n >时,凸n 边形最多有11个内角等于150°;. ……15分14甲．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数,且122012x x x <<<,所以1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012． 于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． …………5分当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，,则1220121220121x x x +++=. …………10分当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===，， ，， 122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，,则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上,满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ．…………15分14乙.解：当1621n =-时,把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+-， ， ， ， ， 和{}84521-， ， ， ． 在数组{}88162322121+-， ， ， ， ， 中,由于38821632221<>-（，）,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．在数组{}84521-， ， ， 中,由于48421>-,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．所以,162n ≥．下面证明当162n =时,满足题设条件．不妨设2在第一组,若224=也在第一组,则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组,8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组,我们取8282a b c ===，，,此时b a c =；如果8在第二组,我们取16482a b c ===，，,此时b a c =． 综上,162n =满足题设条件．所以,n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536．。
2001年全国初中数学竞赛(答案)
答：B
设小矩形的长为 ，宽为 ，根据题意，可得
解得
几何计数
5、如图，若PA=PB， AC与PB交于点D，且PB=4，
PD=3，则 等于（）
A、6 B、7
C、12 D、16
答：B
如图，以点P为圆心，PA为半径作圆，
因为 ，所以点C的圆周上，延长BP交⊙P于点E，由相交弦定理，得 。
由勾股定理，得
（10分）
利用切割线定理和相交弦定理，有
（20分）
证法二：连PO交ST于点D，则 ，连SO，作 ，垂直为点E，则E为AB中点，于是
因为C，E，O，D四点共圆，所以
又 ∽
而由切割线定理知
圆切割线相似三角形
15、已知关于 的方程 的实数根。
（1）求 的取值范围。（2）若原方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值。
于是可知 是关于 的方程 的两个实数根
综上所述， 的取值范围是
解法二：由
（当 时等号成立）
代数最值基本不等式
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
B
B
B
A
1、化简： ，得（）
A、 B、 C、 D、
答：C
将原式化简，
初中数学全国竞赛真题试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知实数a、b满足a+b=1，则a²+b²的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 120°C. 135°D. 150°3. 若等差数列{an}的前三项分别为1，-2，3，则该数列的公差为（）A. 1B. -1C. 2D. -24. 已知函数f(x)=x²-2x+1，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 若x，y满足x²+y²=1，则x²+y²的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知正方体的对角线长为a，则该正方体的体积为（）A. a²B. 2a²C. 3a²D. 4a²7. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，则底边BC的长度为（）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√38. 已知等比数列{an}的前三项分别为2，6，18，则该数列的公比为（）A. 1B. 2C. 3D. 69. 若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时的导数值为2，则a+b+c的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,-2)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1,1)B. (1,2)C. (2,1)D. (2,2)11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a₁，则Sn的表达式为（）A. Sn = n(a₁+an)/2B. Sn = n(a₁+an)/2 + d/2C. Sn = n(a₁+an)/2 - d/2D. Sn = n(a₁+an)/2 d12. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，则∠B的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°13. 已知函数f(x)=x³-3x²+4x，则f(x)的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 若x，y满足x²+y²=4，则x+y的最大值为（）A. 2B. 4C. 6D. 815. 在直角坐标系中，点P(3,4)，点Q(6,2)，则线段PQ的中点坐标为（）A. (4,3)B. (5,3)C. (5,4)D. (6,5)16. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，-2，4，则该数列的公比为（）A. -1B. 2C. -2D. 1/217. 若函数f(x)=ax²+bx+c在x=0时的导数值为0，则a+b+c的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 318. 在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，则线段AB的斜率为（）A. 1B. 2C. 3D. 419. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a₁，则Sn²的表达式为（）A. S n² = n²(a₁+an)²/4B. Sn² = n²(a₁+an)²/2C. Sn² = n²(a₁+an)²D. Sn² = n(a₁+an)²/220. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，则底边BC的长度为（）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√3二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）21. 已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=2，f(2)=5，则a+b+c的值为______。
2001年广东省全国初中数学竞赛预赛试卷
2001年全国初中数学竞赛第一试试卷一、填空题（每小题3分，共60分）1、分解因式：bc ab ac a --+2＝ ；2、在公式)(111221R R R R R ≠+=中，若已知R ，2R ，则1R = ； 3、计算：abb a b a ba b b a ++÷++-22222224＝ ； 4、两圆半径之比为3:5，当两圆内切时，圆心距为4cm ；则两圆外切时，圆心距为 ；5、函数252+-=x x y 中自变量x 的取值范围是 ； 6、已知样本：1，2，3，3，6；则样本的方差2S = ；7、边长为2cm 的正六边形面积为 2cm ；8、已知M 、N 、P 分别是△ABC 的中线AD 、BE 、CF 的中点，若△MNP 的面积为32cm ，则△DEF 的面积等于 2cm ；9、化简：xy y x y x yx 2++-+-＝ ；10、已知：0是一元二次方程02522=-+-m mx x 的一根，另一个根是 ；11、已知：12)12)(2(=+-+b a b a ，那么b a +2＝ ；12、已知：方程式02=++n mx x 的两根之比为3:4，判别式的值为2，则此方程的两根是 ；13、一个正八边形绕它的中心至少转 度，才能和原来的图形重合；14、在菱形ABCD 中，已知两对角线之差BD －AC ＝348-，∠ABC ＝60°则菱形的周长为 ；15、如图所示，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，若圆的半径为5，AD 的长是4，则AC AB ⋅= ；16、如图所示为6个半径是1的圆围成的阴影部分的面积为 ；17、“对一切实数a ，都有k k a ≥+2”试利用这个结论求函数32122+-=x x y 的取值范围是 ；18、已知x 与y 成反比例，y 与z 成反比例，则z 与x 成 比例；19、若实数a 、b 分别满足条件：31-=+a a ，31-=+b b ，则ba ab +＝ ； 20、已知：119+与119-的小数部分分别是a ，b ，则743-+-b a ab ＝ ；二、选择题（每小题2分，共40分）21、2)3(-的平方根是（ ）A 、3±B 、9±C 、3-D 、322、下列各对数中互为相反数的是（ ）A 、2a 与2a -B 12-与12+、C 、23与23-D 、2a -与2)(a -23、若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、以上都有可能24、等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A 、顶角B 、顶角的21C 、顶角的2倍D 、底角的21 25、顺次连结周长为a 的三角形三边中点所得三角形的周长是（ ）A 、aB 、a 32C 、2aD 、3a 26、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形，一定可以拼成的图形是（ ）A 、（1）（4）（5）B 、（2）（5）（6）C 、（1）（2）（3）D 、（1）（2）（5）27、两个三角形具备下列哪一组条件，可以证明它们全等（ ）A 、两边和其中一边的对角对应相等；B 、相似且对应中线之比为1；C 、三个角对应相等；D 、两边和第三边上的高对应相等。
2001年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析
2001年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定解答：解：∵==，∴a+b+c=，∴a=0，b=1，c=1，2a+999b+1001c=2000．故选B．2．（7分）若ab≠1，且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则的值是（）A．B．C．﹣D．﹣解答：解：∵5a2+2002a+9=0，则5++=0，∴9（）2+2002（）+5=0，又9b2+2002b+5=0，而≠b，故，b为方程9x2+2002x+5=0的两根，故两根之积==．∴=故选A．3．（7分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．4．（7分）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．A D•BC=AB•BD B．A B2=AD•AC C．∠ABD=∠CBD D．A B•BC=AC•BD解答：解：A、因为AD•BC=AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确；C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误；D、因为AB•BC=AC•BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误，故选B．5．（7分）①在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0的根为；②在△ABC中，若AC2+BC2＞AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△AB1C1中，a、b、c分别为△ABC的三边，a1、b1、c1分别为△AB1C1的三边，若a＞a1，b＞b1，c＞c1，则△ABC的面积大S于△AB1C1的面积S1．以上三个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3解答：解：（1）当△＜0时，无实数根，故是假命题．（2）三边的平方关系不能确定是否是锐角三角形，故是假命题．（3）面积不止和边有关系，和高还有关系，故是假命题．故选A．6．（7分）某商场对顾客实行优惠，规定：（1）如一次购物不超过200元，则不予折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；（3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）A．522.8元B．510.4元C．560.4元D．472.8元解答：解：某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，而423元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为423÷0.9=470元，如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品时，应付款为：500×0.9+（638﹣500）×0.8=450+110.4=560.4（元）．故选C．二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7．（7分）已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（1，1+）或（﹣1，1+）．解答：解：如图，PQ与y轴正方向的夹角是30°，设Q坐标（x，y），x=QH=2×sin30°=1；y=OH=2×cos30°+1=1+，解得Q坐标为（1，1+），由于坐标的对称性在第二象限也有一个点满足要求，纵坐标相等，横坐标互为相反数，Q坐标为（﹣1，1+），故答案为：（1，1+）或（﹣1，1+）．8．（7分）已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．解答：解：连接BO1，AO2，O1O2，过点O1作O1C⊥AO2，TP交O1OC于D，如图，则O1O2=3，BO1=AC=DP=1，∴CO2=2﹣1=1，∵PD∥CO2，∴△O1DP∽△O1CO2，∴DP：CO2=O1P：O1O2，∴DP==，∴PT=1+=．故答案为：．9．（7分）已知x、y是正整数，并且xy+x+y=23，x2y+xy2=120，则x2+y2= 34 ．解答：解：由xy+x+y=23，x2y+xy2=120，得xy，x+y是关于t的一元二次方程t2﹣23t+120=0的两根，解得t=8或15，∴或（舍去）∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=82﹣2×15=34．10．（7分）一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数．则这个正整数为156 ．解答：解：设此数为n，且n+168=a2，n+100=b2，则a2﹣b2=68=22×17，即（a+b）（a﹣b）=22×17．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，故a+b=34，a﹣b=2，于是a=18，b=16，从而n=156．故答案为 156．三、解答题（共7小题，满分70分）11．（10分）在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线y=ax+b上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F．试求a，b的值使得AD2+BE2+CF2达到最小值．解答：解：由题意可得：D（0，b），E（1，a+b），F（2，2a+b），∴AD2+BE2+CF2=（b﹣1）2+（a+b﹣3）2+（2a+b﹣6）2，=（b﹣1）2+[（a﹣3）+b]2+[2（a﹣3）+b]2，=3b2﹣2b+1+5（a﹣3）2+6（a﹣3）b，=5[a﹣3+（）]2+b2﹣2b+1，=5[a﹣3+（）]2+（b﹣）2+，∴a﹣3+=0，b﹣=0．解得a=，b=时，有最小值为．12．（10分）（1）证明：若x取任意整数时，二次函数y=ax2+bx+c总取整数值，那么2a、a﹣b、c都是整数．（2）写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．解答：解：（1）若x取整数值时，二次函数y=ax2+bx+c总取整数值，则当x=0时，y0=c，为整数，故c为当x=﹣1时，y﹣1=a﹣b+c为整数，于是a﹣b=y﹣1﹣y0为整数；当x=﹣2时，y﹣2=4a﹣2b+c为整数，于是2a=y﹣2﹣2y﹣1+y0为整数，于是，2a、a﹣b、c都是整数；（2）所求的逆命题为：2a、a﹣b、c都是整数，那么x取任意整数时，二次函数y=ax2+bx+c总取整数值，这是一个真命题．证明：若c，a﹣b，2a都是整数，y=ax2+bx+c=ax（x+1）﹣（a﹣b）x+c，当x为整数时，x（x+1）是偶数，故x（x+1）必是整数，由2a是整数得2a×x（x+1）是整数，又有a﹣b，c是整数得﹣（a﹣b）x+c是整数，因此，当x取任意整数时，二次函数y=ax2+bx+c总取整数值．13．（10分）如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．解答：（1）结论：两圆外切．证明：作⊙ABD的切线l，则∠1=∠B，∵∠3=∠B+∠C，∴∠3=∠1+∠C，∵∠1+∠2=∠3=∠1+∠C，∴∠2=∠C，过A点作AP⊥l，交⊙AEC于点P，连PE，∵∠P=∠ACE，则∠2=∠P，∴∠PAE+∠P=90°，于是∠AEP=90°，从而AP是⊙AEC的切线，即二圆相切于点A；（2）解：延长DA交⊙AEC于点G（不妨设F在⊙AEC上），连GF，由∠4=∠DAE+∠AED=∠3+∠AFC，有∠4+∠5=180°，则∠4=∠AGF，∴△ADB∽△AGF，∴AB：AF=2（即等于两圆半径比），但AB=4，∴AF=2（这里可用正弦定理做），∵BA•BF=BE•BC，14．（10分）求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程x2﹣3ax+2b=0，x2﹣3bx+2c=0，x2﹣3cx+2a=0的所有的根都是正整数．解答：解：x2﹣3ax+2b=0可知a，△=（﹣3a）2﹣4×2b=9a2﹣8b≥0，因为x是整数，所以设9a2﹣8b=s2，（3a+s）×（3a﹣s）=8b=1×8b=2×4b=4×2b=8×b，讨论：（1）、（3a+s）×（3a﹣s）=1×8b，3a+s=1 ①，3a﹣s=8b ②，①+②得 6a=1+8b，同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，∴a+b+c=＜0（不符合已知条件），（2）、（3a+s）×（3a﹣s）=8b*1，3a+s=8b ①，3a﹣s=1 ②，①+②得 6a=1+8b，同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，∴a+b+c=＜0（不符合已知条件），（3）、（3a+s）×（3a﹣s）=2×4b，（3a+s）=4b ①，（3a﹣s）=2 ②，①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，解得 a=b=c=1，x=1，2，（4）、（3a+s）×（3a﹣s）=2×4b，（3a+s）=2 ①，（3a﹣s）=4b ②，①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，解得a=b=c=1，x=1，2，（5）、（3a+s）×（3a﹣s）=4×2b，3a+s=4 ①，3a﹣s=2b ②，①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，同理可得 3b=2+c，3c=2+a，解得 a=b=c=1，x=1，2，（6）、（3a+s）×（3a﹣s）=4×2b，3a+s=2b ①，3a﹣s=4 ②，①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，同理可得 3b=2+c，3c=2+a，解得 a=b=c=1，x=1，2；（7）、（3a+s）×（3a﹣s）=8×b，3a+s=8 ①，3a﹣s=b ②，①+②得 6a=8+b，同理可得 6b=8+c，6c=8+a，∴a+b+c=，可见a、b、c至少一个不是整数，不符合已知条件；（8）、（3a+s）×（3a﹣s）=8×b，3a+s=b ①，3a﹣s=8 ②，①+②得 6a=8+b，同理可得 6b=8+c，6c=8+a，∴a+b+c=，可见a、b、c至少一个不是整数，不符合已知条件；答：当a=b=c=1时，x=1或2．15．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM•PN=PR•PS．解答：证明：∵直线l平行于BD，∴==，得=①，==，得=②，由①②得=，即PM•PN=PR•PS．。
2001年全国初中数学联合竞赛试题及解答
b ， E 1， a b ， F 2， 2a b ， D ， E ， F 的坐标为 D 0 ，
b b2 4ac ； 2a
②在 △ABC 中，若 AC 2 BC 2 AB2 ，则 △ABC 是锐角三角形； ③在 △ABC 和 △A1 B1C1 中， a ，b ， c 分别为 △ABC 的三边， a1 ，b1 ，c1 分别为 △A1 B1C1 的三边，若 a a1 ， b b1 ， c c1 ，则 △ABC 的面积 S 大于 △A1 B1C1 的面积 S1 ． 以上三个命题中，假命题个数是（ A．0 【答】D. ① 若 0 ，命题不成立． ② AB 未必是最大边． ③ 反例：如图，取 △ABC ，在 BC 上取 BK 0.9BC ，过 K 作 l ∥ AB ，在 AB 延长线上 取 B ，使 AB 1.1AB ．当点 C 在 l 上远离时， AC 与 BC 1 均变长，故可有 AC AC ，
1 x x 1 必是整数，由 2a 是整数得 2
1 2a x x 1 是整数，又由 a b ，c 是整数得 a b x c 是整数，因此当 x 取 2
任意整数时，二次函数 y ax2 bx c 总取整数值． 方法二：若 c ， a b ， 2a 都是整数， 则当 x 为偶数时，设 x 2k ，
2
2a 2k 2 2k 2a 2 a b k a b c
2001年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题
2001年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题一、选择题(每题5分，共30分．) 1．350，440，530的大小关系为( )．(A)350<440<530(B)530<350<440(C)530<440<350(D)440<530<3502．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点(a+b ，ac)在直角坐标系中的象限是( )．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3，凸五边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝120°，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则它的面积为 ( )．(A)63 (B)73 (C)83 (D)934.若x+y+z ＝30，3x+y-z ＝50，x ，y ，z 均为非负数，则M ＝5x+4y+2z 的取值范围是( )．(A)100≤M ≤110 (B)110≤M ≤120 (C)120≤M ≤130 (D)130≤M ≤1405．周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的21，则该三角形的( )．(A)腰和底边的高都是有理数 (B)腰和底边的高都不是有理数 (C)腰是有理数，底边上的高是无理数 (D)腰是无理数，底边上的高是有理数6．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C ＝90°，若AD ＝31AC ，CE ＝31BC ，则∠l 和∠2的大小关系是( )，(A)∠l>∠2 (B)∠l<∠2 (C)∠l ＝∠2 (D)无法确定 二、填空题(每空5分，共30分，)7． 已知：x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14＝0，则x+y+z ＝ 8．计算：(3+1)2001-2(3+1)2000-2(3+1)1999+2 001=9．已知：m ，n 是有理数，并且方程x 2+mx+n ＝0有一个根是5-2，那么，m+n ＝ 10．如图，已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为l+3，则这两边之积为11．已知：a 、b 满足a 3-3a 2+5a ＝l ，b 3-3b 2+5b ＝5，则a+b ＝ · 12．如图，由五个边长为1 cm 的正方形组成的图形中，过点A 的一条直线l 与ED 、CD 分别交于M 、N ，若直线l 将图形分为面积相等的两部分，则EM ＝cm ．三、解答题(每题15分，共60分．)13． 已知抛物线y ＝x 2+Px+q 上有一点M(x 0，y 0)位于x 轴下方． (1)求证：此抛物线与x 轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)且x 1<x 2，求证:x 1<x 0<x 2 14．如图，任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点．求证：KL ∥AE ，且KL ＝41AE ．15．如图，直线y ＝-33x+l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC ，∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P(a ，21)，且△ ABP 的面积与△ ABC 的面积相等，求a的值．16．如图，已知点P 在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB(不含端点)上运动，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ．(1)当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求其相应的长度；(2)设PH ＝x ，GP ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长，2001年天津市初中数学竞赛试题答案2002年全国初中数学联合竞赛天津赛区复赛一、选择题(本大题共6小题．每小题7分，满分42分．每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，将正确结论的代号填在下表相应的括号中．填对得7分，不填、填错或所填代号多于一个得O分．)1．已知a=2－l，b=22-6，c=6－2，那么a、b、c的大小关系是( )．A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．若m 2=n+2．n 2=m+2(m≠n)，则m 3－2mn+n 3的值为( )． A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－23．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，并设M==|a+b+c|—|a －b+c|+|2a+b|—|2a －b|，则( )． A ．M>0 B ． M=O C ．M<0D ．不能确定M 为正、为负或为04．直角三角形ABC 的面积为120，且∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，过点D 作DE⊥AB 于点E ，连CE 交AD 于点F ，则△AFE 的面积等于( )． A ．18 B ．20 C ．22 D ．245．如图所示。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分,共30分。
）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D)a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（ ）．（A)2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2）,那么另一个交点的坐标为（ )． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） (C ）（－2,3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y )的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 (C ）7 （D ）53（甲)．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )． (A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D)143（乙）．如图,四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为( ）． (A)23 （B)4 （C ）52 （D)4。
54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说:“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是( ）．OAB CED(A ）1 （B ）2 （C ）3 (D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D) 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． (A ）0p （B ）1p (C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后,黑板上剩下的数是（ ）．(A ）2012 (B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x "到“结果是否>487？"为一次操作。
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【数学竞赛】2001年全国初中数学联赛试卷
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（ ）
（A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定
2、若1≠ab ，且有5a 2+2001a +9=0及05200192=++b b ，则b
a 的值是（ ） （A ）59（B ）95（C ）52001-（D ）9
2001- 3、已知在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =150，BC =1，则AC 的长为（ ）
（A ）32+（B ）32-（C ）30⋅（D ）23-
4、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（ ）
（A ）BD AB BC AD •=• （B ）AC AD AB •=2
（C ）∠ABD =∠ACB （D ）BD AC BC AB •=•
5、①在实数范围内，一元二次方程02
=++c bx ax 的根为a ac b b x 242-±-=；②在△ABC 中，若222AB BC AC >+，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，111,,c b a 分别为111C B A ∆的三边，若111,,c c b b a a >>>，则△ABC 的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。
以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）
（A ）522.8元（B ）510.4元（C ）560.4元（D ）472.8
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO =1500，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为 。
3、已知y x ,是正整数，并且120,2322=+=++xy x y x xy y ，则22y x += 。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。
三、解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6）；已知直线b ax y +=上横坐
标为0、1、2的点分别为D 、E 、F 。
试求b a ,的值使得AD 2+BE 2+CF 2达到最大值。
（20分）
（1） 证明：若x 取任意整数时，二次函数c bx ax y ++=2总取整数值，那么c b a a ,,2-都是
整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。
（25分）
3、如图，D ，E 是△ABC 边BC 上的两点，F 是BC 延长线上的一点，∠DAE =∠CAF 。
（1）判断△ABD 的外接圆与△AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD 的外接圆的半径的2倍，BC =6，AB =4，求BE 的长。
解答题：
1、如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐
角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。
已知EG =k ，FH =l ，四边形EFGH 的面积为S 。
（1）求证：sin θ=kl
S 2； （2）试用S l k ,,来表示正方形的面积。
2、求所有的正整数a ，b ，c ，使得关于x 的方程0232=+-b ax x ，0232=+-c bx x ， 0232=+-a cx x 的所有的根都是正整数。
3、在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，DE ⊥AC ，E 为垂足，DF ⊥AB ，F 为垂足。
O 为△ABC 的外心。
求证：（1）△AEF ∽△ABC ；
（2）AO ⊥EF
4、如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P 。
求证：PM •PN ＝PR •PS
A B C D E F A
B C D E F G H θ
O l
A B D
M O
C。