高中数学论文：圆锥曲线中最值问题求解举例

=
p 2a 2 2 p a 2 1 ) ( ) = (3 p 2 8ap 3a 2 ) 5 5 25
1 4a 25a 2 [3( p ) 2 ]. P (0,3a] . 25 3 3 4a 1 2 4a 4a 5a 4a 5a , max a ,又 0 p 3a , p , | p ； | 3 3 3 3 3 3 3
SAOB
1 1 1 4k 2 4(2 k 2 ) | x1 x2 | = ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 = 2 (2 k 2 ) 2 2 2
3
=
2 1 1 8 2 . 当 k 1 2 k 1 2 2 k 2 1 1 2 2 k 1
即 k=0 时,取等号 ，
2
以椭圆的焦点 F1 , F2 为焦点作椭圆 ，求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭 圆方程 。 分析； 过 F1 F2 的直线方程与 x-y+9=0 设 F1 是 F1 关于 l 对称点 ， 可求出 F1 坐标 ， 联立得交点 M 为所求。 解 ：由椭圆方程
x2 y2 1 ，得 F (3, 0)1 , F2 (3, 0) ， 设 F1 是 F1 关于 l 对称点 ， 12 3
2 2 2
F1 O
F2
x
所求椭圆方程为
x2 y 2 1. 45 36
[点悟] ：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知 识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几 知识求解，蕴涵了数形结合的思想。 五、不等式法 列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。 例 5 、过椭圆 2 x y 2 的焦点的直线交椭圆 A,B 两点 ，求 AOB 面积的最大值 。
设切点为 P (a cos , a sin ) ，
[点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有 界性得出结果。 三 、二次函数法 将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求 解。 例 3、过动直线 x+2y=p 与定直线 2x-y=a 的交点（其中 p (0,3a ] ）的等轴双曲线系
x a cos y b sin
，设切点为 P (a cos , a sin ) ，可得切线方程。 则切线方程为
cos sin x y 1. a b a b 令 y=0, 得切线与 x 轴交点 A( , 0) ；令 x=0,得切线与 y 轴交点 B(0, ) cos sin ab ab 1 SAOB | OA | | OB | = | || | ab. Smin ab. 2sin cos sin 2 2
得 (2 k ) x 2kx 1 0 ，
2 2
其中两根 x1 , x2 为 A,B 横坐标 。 将三角
形 AOB 看作 AOF 与 BOF 组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高 长为 | x1 x2 | . S AOB
1 | OF | | x1 x2 | , 其中 |OF|=c=1. 2
x 2 y 2 中 ， 当 p 为何值时， 达到最大值与最小值？
分析：求出交点坐标代入双曲线,可得 的二次函数表达式，再利用函数方法求解。 解：由 {
2xya x2yp
, 得 交点 Q (
p 2a 2 p a , ), 5 5
交点 Q 坐标代入双曲线,
x2 y 2 = (
4
圆锥曲线中最值问题求解举例
圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、 方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似， 。 由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几 种常见求解方法。 一、定义法 有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题 目中数量关系更直观，解法更简捷。 例1、 已知抛物线 y 4 x ，定点 A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,
2 2
分析：由过椭圆焦点，写出直线 AB 方程为 y=kx+1，与椭圆方程联立，消去 y，得关于 x 的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。 解 ： 椭圆焦点 (0, 1) ，设过焦点(0,1) ，直线方程为 y=kx+1 与 2 x y 2 联立 ，
2 2
பைடு நூலகம்
消去 y,
| PF | 的 e
最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。 二、参数法 利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为 函数问题求解。 例 2、椭圆 小面积 。
1
x2 y 2 1 的切线 与两坐标轴分别交于 A,B 两点 ， 求三角形 OAB 的最 a 2 b2
分析；写出椭圆参数方程{ 解：
当 p
当 p=3a 时, min 0. [点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定 义域。 四 、几何法 将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关 系、平行间距离等求解。 例 4、 已知椭圆
x2 y2 1 和直线 l:x-y+9=0 ，在 l 上取一点 M ，经过点 M 且 12 3
即当直线为 y=1 时 , 得到 AOB 的面积最大值为
2 。 2
[点悟] 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法” ，这种方法是一种技巧。在利用均 值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等 号能够成立。其中正确应用 “等号成立”的条件是这种方法关键。 圆锥曲线最值问题涉及知识较多，在求解时，要多思考、多联系，合理进行转化，以优 化解题方法。
可求出 F1 坐标为(-9,6) ， 过 F1 F2 的直线方程:x+2y-3=0 与 x-y+9=0 联立，得交点 M(-5,4)， 即过 M 的椭圆长轴最短。 由 | MF1 | | MF2 | 2a ,得 2a 6 5 ， y l
F1
P
M
a 45 , c 9 , b 36
由 y1
{
y2 4x
y , 得 P ( ,1) 为所求点.
1 4
Q
Q
P O
p
A(3,1) F(1,0) x
若另取一点 P ， 显然 | AP | | PF || AP | | PQ || AP | | PQ | 。 [点悟] 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁 就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点 A 与其上一动点 P，求 | AP |
2
使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。 分析：由点 A 引准线的垂线，垂足 Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。 解： 如图， y 4 x, p 2 , 焦点 F(1,0) 。 由点 A 引准线 x=
2
-1 的垂线 ，垂
足 Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. (| AP | | PF |) min 4 .