函数

§2.1 函数及其表示知识梳理：1．函数的概念 2．函数的表示方法解析法；图象法；列表法． 3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是： ， ， . (2)两个函数相等：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则称这两个函数相等． 4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 基础自测：)函数f (x )＝ln (x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))＝( )A .15B ．3C .23D .139下列各图表示两个变量x ，y 的对应关系，则下列判断正确的是()A ．都表示映射，都表示y 是x 的函数B ．仅③表示y 是x 的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数函数y ＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域为_______．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1， 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．例题分析:下列对应是集合P 上的函数的是________． ①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1；②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ； ④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为________． 已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，1－x ，x ≤0D ．g(x )＝x －1下列各组函数中，是同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x （x ＋1）(1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1)，求y ＝f (x 2－3)的定义域．(1)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (x )的定义域．(2)已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，求函数f (2x )的定义域．求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x 2； (2)y ＝2x ＋1－x ；(3)y ＝2x ＋1－x 2； (4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(6)f (x )＝||2x ＋1－||x －4. 求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋x －1；(2)y ＝1＋4x ＋x 21＋x 2；(3)f (x )＝x 2＋5x 2＋4.求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )；(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2－3，求f (x )； (4)已知f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫1x＝3x ＋2，求f (x )． (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求f (x )．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），x ≤2，3－x ，x >2，则f (log 32)的值为________．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0 (a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A .14B .12 C ．1 D ．2作业：1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝23x B ．f ：x →y ＝x 2－x 2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2 D ．f ：x →y ＝x ＋5－12．给出下面四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0的图象是抛物线．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)4．函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为( )A ．(0，2]B .⎝⎛⎦⎤2，103 C .⎣⎡⎭⎫103，＋∞ D ．(0，2]∪⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0. 若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]6．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为______． 7．已知f (x )＝⎩⎨⎧3－x－2，x ≤0，x ，x ＞0，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．8．函数f (x )满足f (x －3)＝xx 2＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的值域．9．已知f (x )＝bx ＋12x ＋a(a ，b 为常数，ab ≠2)，且f (x )·f ⎝⎛⎭⎫1x ＝k 为定值，求k 的值． 10定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (2 015)的值为________．§2.2 函数的单调性与最大(小)值知识梳理：1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 (2)单调性与单调区间 2．函数的最值 (1)最大值 (2)最小值 基础自测：下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x|若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2)B ．(0，3)C ．(1，4)D ．(2，＋∞)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2，x ≥0，x ＋1，x ＜0， 则f (x )的单调递增区间为________．设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若f ()x ＋a 在[)0，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________． 例题分析：(1)求下列函数的单调区间：y ＝－x 2＋2|x |＋3；(2)证明f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上为单调增函数．(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号即可)①f (x )＝sin x ;②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝log 12(x ＋3);④f (x )＝|x ＋1|.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是_________．已知函数f (x )满足f (x )＝f (4－x )(x ∈R )，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫35，b ＝f ⎝⎛⎭⎫65，c ＝f (4)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a >c >b已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y＞0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＜2. 作业：1．函数y ＝x －1的单调递增区间是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x3．设f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为正值B ．恒等于零C ．恒为负值D ．无法确定正负4．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）. 则f (x )的值域是( ) A .⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C .⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D .⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)7．若函数f(x)＝||2x＋a的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝____________．8.若函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝____________．9．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且对于任意的正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)证明：函数f(x)在定义域上是单调增函数；(2)如果f⎝⎛⎭⎫13＝－1且f(x)－f⎝⎛⎭⎫1x－2≥2，求x的取值范围．§2.3函数的奇偶性与周期性知识梳理：1．奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称．3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件．4．周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为；(2)若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝ .7．函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心．基础自测：定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y ＝2sin x中，奇函数的个数是( )A．4B．3C．2D．1已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝( )A．－2B．0C．1D．2已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A．－3B．－1C．1D．3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，则f⎝⎛⎭⎫32＝________.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 例题分析：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x＋1，x＞0，x2＋2x－1，x＜0；(3)f(x)＝4－x2x；(4)f(x)＝x2－1＋1－x2；(5)f(x)＝log a(x＋x2＋1)(a>0且a≠1)．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝lg（4－x2）|x－2|＋|x＋4|；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x，x＜0，－x2＋x，x＞0.已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．已知函数f(x)，x∈R的图象关于y轴对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，同时f(x＋2)＝f(x)，求f(x)．设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________．已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )，在(－1，1)上又是减函数，且满足f (2x －1)＋f ⎝⎛⎭⎫13＜0，则x 的取值范围为______________．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1， sin πx ，1＜x ≤2， 则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________.已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1，4)B ．(－2，1)C ．(－1，0)D ．(－1，2)作业：1．下列函数为奇函数的是( )A ．2x －12x B ．x 3sin x C ．2cos x ＋1 D ．x 2＋2x2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数 3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝⎛⎭⎫53成立的x 的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫－13，43 B .⎝⎛⎭⎫－13，43 C .⎝⎛⎭⎫13，43D .⎣⎡⎭⎫13，434．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A .12B .32C ．0D ．－12 5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2]B .⎝⎛⎦⎤0，12C .⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0，2] 6．已知奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，且g (b )＝a ，则f (2)的值为 ．7．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 8．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足：①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否为周期函数； (2)求f (5.5)的值．9．已知函数f (x )的定义域为(－2，2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．10．设常数a ≥0，函数f (x )＝2x ＋a2x －a .根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f (x )的奇偶性，并说明理由．D .§2.4 二次函数知识梳理：1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质(1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：①对称轴：x ＝ ； ②顶点坐标： ；③开口方向：a ＞0时，开口 ，a ＜0时，开口 ；④值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；⑤单调性：a ＞0时，f (x )在 上是减函数，在 上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a 上是 ，在⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞上是___________．(2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 ，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 ．3．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值． 它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．4．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关系如表所示.基础自测：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1f (x )是二次函数，且f ′(x )＝2x ＋2，若方程f (x )＝0有两个相等实根，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2x ＋4B ．f (x )＝2x 2＋2x ＋1C ．f (x )＝x 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x ＋1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是 ．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋b ，满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________. 例题分析已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1, f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．已知y ＝f (x )是二次函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－32－x 对x ∈R 恒成立，f ⎝⎛⎭⎫－32＝49，方程f (x )＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图象可能是下图中的()已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值g (a )．设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1]上有最小值g (t )，求g (t )的解析式．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围．已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围． 作业：1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于( )A ．－3B ．13C ．7D ．52．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2) 3．函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2＜x ＜2)的值域是( )A .⎣⎡⎦⎤－20，322B ．(－20，4)C .⎝⎛⎦⎤－20，92D .⎝⎛⎭⎫－20，92 4．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数5．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，2]C ．(－∞，2]D ．[1，2]6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－2，＋∞) 7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________．8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求函数f (x )的解析式．10．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a4在区间[0，1]上的最大值为2，求a 的值．已知二次函数f (x )＝x 2－2tx ＋2t ＋1，x ∈[－1，2]．若f (x )≥－1恒成立，求t 的取值范围．§2.5 基本初等函数(Ⅰ)知识梳理：(一)指数函数 1．根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 ． (2)根式：式子n a 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 ．(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ .2．幂的有关概念及性质(1)正整数指数幂：a n ＝an a a a 个···⋯ (n ∈N *)． (2)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (3)负整数指数幂：a －n ＝ (a ≠0，n ∈N *)．(4)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(5)负分数指数幂：a -m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(6)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ．(7)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.注：无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．3．指数函数的图象及性质(二)对数函数 1．对数(1)对数：如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的 ，记作x ＝ .其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ．(2)两类重要的对数①常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作 ；②自然对数：以 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作 ．注：(i )无理数e ＝2.718 28…； (ii )负数和零没有对数；(iii )log a 1＝ ，log a a ＝ . (3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N x ＝log a N . (4)对数运算的性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (MN )＝ ；②log a MN ＝ ；③log a M n ＝ ； 一般地，na M m log ＝ ； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：Na a log ＝ ；②换底公式：log a N ＝ ，特别地，log a b＝ .2．对数函数的图象及性质设A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为_________．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为 ．例题分析：化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a 3322×a ·3a 25a ·3a . 计算：(1)823×100－12×⎝⎛⎭⎫14－3×⎝⎛⎭⎫1681－34；(2)0.75－1×⎝⎛⎭⎫3212×⎝⎛⎭⎫63414＋10(3－2)－1＋⎝⎛⎭⎫1300－12＋1614.已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能．．．成立的关系有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2) cb b a alog ·log (a ，b 是不为1的正数，c >0)；(3)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)．求下列各式的值：(1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(3)lg5·lg8000＋（lg23）2lg600－12lg0.036－12lg0.1.设a ＝log 36，b ＝log510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c设a ＝⎝⎛⎭⎫340.5，b ＝⎝⎛⎭⎫430.4，c ＝log34(log 34)，则( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b如图，曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，－1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ．在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的部分图象，则函数y ＝x2的图象通过的阴影区域是( )作业：1．若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0B .33C ．1D .32．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )4．若log a 2＜log b 2＜0，则( ) A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)6．如图，矩形ABCD的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为( )A .⎝⎛⎭⎫14，14B .⎝⎛⎭⎫12，14C .⎝⎛⎭⎫12，24D .⎝⎛⎭⎫22，14 7．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.8．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为____________．9．设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a ，2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，求a 的值．知识梳理：1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使 的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴 ⇔函数y ＝f (x ) ．2．函数的零点存在性定理 基础自测：函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)已知a 是函数f (x )＝ln x －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＞0C ．f (x 0)＜0D ．f (x 0)的符号不确定若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈N )在区间(2，3)上只有一个零点，则k ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．6已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1. 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为__________． 已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________． 例题分析：判断下列函数在给定的区间内是否存在零点． (1)f (x )＝3x －5x ＋1，x ∈[－1，1]； (2)f (x )＝sin x －x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6. f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,e )和(3,4)D ．(e ,＋∞)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是____．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4作业：1．函数y ＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．已知函数f (x )＝6x －log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)3．若a ＞2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>05．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}6．设f (x )＝2x －x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．8．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围．知识梳理：1．作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法；(2)图象变换法．2．图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到．②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称．(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的______________；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的_____________．(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变．基础自测：函数f(x)＝ln()x2＋1的图象大致是()已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3，2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过定点( ) A．(1，－2) B．(2，－2)C．(3，－2) D．(4，－2)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()若将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位，再沿y轴对折，得到y＝lg(x＋1)的图象，则f(x)＝_______.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax＋b，x＜0，log c⎝⎛⎭⎫x＋116，x≥0的图象如图所示，则abc＝ .例题分析：作出下列函数的图象：(1)y＝|x＋1|－|2x－1|；(2)y＝|2x－2|.作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝2x －1x －1.函数y ＝cos6x2x －2－x的图象大致为()已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是________．A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于x的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________． 作业：1．函数y ＝log 3x 的图象与函数y ＝log 13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y ＝x 对称2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是()3．函数f (x )＝x －cos x ，则方程f (x )＝0在[0，＋∞)上的实根个数是( )A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有且仅有两个实根D ．有无穷多个实根 4．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)5．函数y ＝2－|x －1|－m 的图象与x 轴有交点时，m 的取值范围是( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．m ≥1D ．0＜m ≤16．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜27．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围是____________．9．已知f (x )的图象如图所示，在[0，4]上是抛物线的一段，求f (x )的解析式．10．若函数y ＝mx 与函数y ＝|x |－1|x －1|的图象无公共点，求实数m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a。