江苏省南通基地2018年高考数学密卷9理
2018年高考理科数学江苏卷含答案
立的 n 的最小值为
.
二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15.(本小题满分 14 分) 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中, AA1 AB , AB1 B1C1 . 求证：(Ⅰ) AB ∥平面 A1B1C ； (Ⅱ)平面 ABB1 A1 平面 A1BC .
4.【答案】8
【解析】代入程序前
I S
1 符合
1
I
6
，
第一次代入后
I S
3 2
，符合
I
6
，继续代入；
第二次代入后
I S
5 4
，符合
I
6
，继续代入，
第三次代入后
I S
7 8
，不符合
I
6
，输出结果
S
8
，
故最后输出 S 的值为 8 .
数学试卷第 11页（共 24页）数学试卷第 12页（共 24页）
.
卷
2.若复数 z 满足 i z 1 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为
.
3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数
的平均数为
.
上
4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为
.
答
题
5.函数 f (x) log2 x 1 的定义域为
上的最大值与最小值的和为
.
12.在平面直角坐标系 AB 为 直 径 的 圆 C
xOy 中, 与直线
A l
2018年江苏省南通基地高考密卷数学(理)(1)(PDF版)
BC（第7题）2018年高考模拟试卷（1） 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ． 2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED=．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则 12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )A BCD PE（第10题）ABCB 1C 1A 1MN （第16题）A BCN（第12题）12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1AC 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．（第18题）17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b ab+=>>()的离心率为2，且过点12⎛⎝⎭，．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标；（3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值； （2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e (1)x f x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)（第21—A 题）ABCDP（第22题）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ=（01λ<≤）．（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {}0 2． -1 3． 0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，，则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即2993n n --≤0， 设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增． 因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 5-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则342BM ===，ACB 1C 1A 1MN 所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x y=+，19b y x =+，则10a b +=．因为ab =()1x y +⋅()1191091016y xy x xy +=+++=（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2． 14． 1009π6【解析】因为()π0n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 12n n n n a θθθ==+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a n 充分大，则2n a >，矛盾； 若01q <<，由1a =n 充分大，则1n a <，矛盾， 所以1q =，从而1n a a ==π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=，所以sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos 21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos 223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos 222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262k x k --≤≤，得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈．16．(本小题满分14分证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A =，1A C ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ． （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+-≥（当且仅当93x -=即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b+=，c a =，其中222(0)c a b c =->，解得2241a b ==，．因为0a b >>，所以21a b ==，．（2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为2214x y +=，①所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y -=． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E的坐标为(07-，． （3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且22001x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+． 所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441x y x y x y +++++=⋅00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为2p =，所以()211129a S a ==+，即211540a a -+=，解得11a =或4．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③ ②①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤⑤④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =．若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =． 代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是14p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列． 因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤． 设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()10e-，上单调递增；当1e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在1e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为1．（3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为1 2 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 1c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =3a =-，又0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y zy z x ++++≥，即()()()2222111111yx z x y z x y z y z x++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP ，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，()010D ，，， 所以()111PC =-，，， ()101PB =-，，，()11PD =-0，，． 设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cosPC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，()101PB ，，=-，()11PC λ，，=-，()011PD ，，=-．设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉==⨯，n n n n n n 1 cos120 2==，解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C 2m kmm m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）． 设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!1!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!1!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦． 而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤ ()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃）因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立）， 所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(2)理
甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则(2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o 45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y xa b a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=，AE EQ μ=（λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，111nn n b b ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC '的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数； （2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 4【解析】一条渐近线2y x =与右准线x，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 2【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 22x x x ++==．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x，得f (2)= ff (2)，所以f ，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= ff (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．（第12题）12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x a ，a ）在直线14．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x = 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以AD 当且仅当5m =n =±AD 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B+=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππV r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r =，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π2r a r r r ⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，， 则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=， 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x，1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()2212222112111212112k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n n bb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x -'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数； 所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c cch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立，即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝…… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分 （2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数． 证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立， 所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数． 由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。
江苏省南通基地2018年高考理科数学密卷5 含答案
5）理江苏省南通基地2018年高考数学密卷（ 160分）第Ⅰ卷（必做题，共 70分．小题，每小题5分，共一、填空题：本大题共14 ▲．1．集合，若，则= ▲．为虚数单位，)满足，则2．若复数(．从西3 s，绿灯时间为60 s3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为．▲向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为▲．4．函数，的单调减区间为▲．5．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为←2I←0S mI＜WhileIS＋S←3 ＋←I I While EndS Print题第5= ▲．6．如图是某学生次考试成绩的茎叶图，则该学生次考试成绩的标准差▲．7．已知，，且，则的最小值为，直线，，给出下列命题：，β8．已知平面α若，，则；若，，则；②①.，则若，则；④若，③．▲．（填写所有真命题的序号）其中是真命题的是▲．9．等差数列的前项和为，已知，且数列也为等差数列，则=afaxxxfafa构(，且(2)－3)＝10．设为实数，已知函数，则满足条件的()＝|－1|＋|＋1| ▲．成的集合为AF，点11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点是AF两曲线的一个交点，若直线▲．的斜率为，则双曲线的离心率为．已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角12 ▲．的正切值为，，则的值为．在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作13 ▲．圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为 14．已知函数．若对任意实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值集合为▲．分．小题，共计二、解答题：本大题共690 分）．（本小题满分1415 ，已知，b，cB，C的对边分别为a，在△ABC中，角A，且．）求角的大小；（1 的外接圆的半径为，若，求的值（2）若△ABC分）（本小题满分1416．BCEABCDBCDP是＝60如图，已知四棱锥°，点－2的底面是边长为的菱形，∠边POPOABCDOACDE. ⊥平面的中点，2，3交于点，，且＝PDBC；⊥（1）求证：APFBFPDE，∥平面，使得（2）在线段上找一点PDEF的体积．并求此时四面体17．（本小题满分14分）ABCD建成生态休 5百米的矩形空地为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽EFGABxAB的垂直轴，．以所在直线为闲园，园区内有一景观湖（图中阴影部分）y轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数平分线为Px PO=百米．在模型．园区服务中心轴正半轴上，OMOMOM的 1）若在点和景观湖边界曲线上一点，求之间修建一条休闲长廊（最短长度；DEQQPQ最短．，试确定）若在线段（2的位置，使通道上设置一园区出口yEGCDMF xBAOP题）17（第18．（本小题满分16分）P，如图，已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点直线的方程为．（1）求椭圆的方程；EAB两点，，作一条斜率为的直线与椭圆交于（2）已知椭圆内一点，过点MPAPBPM的斜率分别为．问：是否存在常数，，交直线于点，记，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．（1）当时，求；（2）当时，（ⅰ）求证：数列是等差数列；（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：．5）2018年高考模拟试卷（)数学Ⅱ(附加题．、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答、．【选做题】本题包括A、BC21．．．．．．．．．．．．．．．．．分）]（本小题满分10[选修4－1：几何证明选讲A．如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线，．过点作于点. 求证：分）（本小题满分104－2：矩阵与变换] [B．选修设点在矩阵对应变换作用下得到点．）求矩阵的逆矩阵；（1CC在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线（2）若曲线的方程．10分）4：坐标系与参数方程]（本小题满分4C．[选修－已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数），直线与曲线相交于两点． 1）求的长；（ 2）求点到两点的距离之积．（分）] ：不等式选讲（本小题满分10．[选修4－5D ．已知，且，求证：作答．分，共计20分．请在答卷纸指定区域内22题、第23题，每题10【必做题】第．．．．．．．．PMBCAACABACABACABCAB是棱2，在⊥，22．如图，在直三棱柱－的中点，点中，1111BA 线段上．1ACMPABP所成角的大小；是线段的中点，求直线1（）若与直线1 2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，（BP求线段的长度．A1BC11PNABCM题）22（第23．（本小题满分10分）已知抛物线，过直线：上任一点向抛物线引两条切线（切点为，且点在轴上方）．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）抛物线上是否存在点，使得．2018年高考模拟试卷（5）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【答案】0．【解析】因为，所以，又，所以，所以．．【答案】．2．【解析】因为，所以，所以．3．【答案】【解析】遇到红灯的概率为．4．【答案】．【解析】，由，及得函数的单调减区间为．5．【答案】2021．m的取值为2019，2020，【解析】满足条件的正整数2021，m的最大值为2021所以正整数．6．【答案】．【解析】学生8次考试成绩的平均值为87，则标准差为．7．【答案】．【解析】由，，得，当且仅当时等号成立，又，则，所以的最小值为．8．【答案】③④【解析】对于①②，平行的传递性仅限于相同的元素(点、线、面)，因此均不对．9．【答案】19．【解析】因为数列是等差数列，设公差为，则，所以，又也为等差数列，所以，所以．10．【答案】【解析】由由，得或或解得或．11．【答案】．AF的斜率为，所以【解析】如图所示AFAB，所以是等边三角形，＝且所以，所以，所以，由双曲线的定义可知，所以双曲线的离心率为．12．【答案】．【解析】令，则，所以，所以，由正弦定理可得，所以．13．【答案】．【解析】由得，所以，所以，设，所以，P在圆上及圆内，即，点EFEF=．所以为直线截圆所得的弦，所以14．【答案】．【解析】令，，所以函数在上递增，在上递减，又，所以，当且仅当时等号成立，因为对任意实数，总存在实数，使得成立，且过原点的直线与切于点，所以函数的图象是不间断的，故．二、解答题：15．解：（1）由，得，即．所以，即，所以．因为，所以．（2）因为△ABC的外接圆的半径为，由正弦定理得，，所以，所以．由余弦定理知，，即，所以，即，因为所以所以△ABC为直角三角形，且所以。
高考数学密卷9理02270177
（第3题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（9）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为2，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则c o s (2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++（第4题）1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1()g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列． （1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．DA（第21-A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑．2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i＝2－i ，所以z 1＝2+i ．MC 1B 1A 1CBA（第22题）3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×328．【答案】【解析】对于椭圆，显然1,c b a ==，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)
2018年高考模拟试卷（6）市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ． BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD 117．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,数k 的取值围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区．．．．．．．．．．．．．域作答．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，2．5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．63 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+--≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2＝n a n －n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分 16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ．∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(23200021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以1=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ= 由PF PE FE +=即12262sin sin y xy θθ+=整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.(2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n⇒a p ＋b pn ＝q n． 令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解．当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为 |q |n－tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即AD DP ＝AB BC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2－3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2－3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(4)
（第7题）2018年高考模拟试卷（4）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ．6．函数()f x 的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示， 则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设P D A B A C λμ=+，则λμ+= ▲ ．11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =． （1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．O AB CDEF（第18题）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右 焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间； （2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n n a =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ， 求证：AB = 2BC ．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值； （2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 55【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ++++===--+． 2．8【解析】由条件得{1,0,2}A B =-，所以A B 的子集有8个．3．10【解析】由题意可知133310S =+++=．4．150【解析】设第一个小矩形面积为x ，由61x =，得16x =，从而样本容量为256150⨯=．5．221x y -=【解析】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，所以a b =，又因为一个焦点为，所以c 1a b ==，所以双曲线C 的方程为221x y -=6．(,2]-∞-【解析】由已知得，1()402x -≥，所以2x ≤-7．4【解析】由图知函数的周期为()115224242πππ-⨯=，所以242ωπ==π．8．35【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有20种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为123205=． 9．14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=， 所以1214V V =．10．23【解析】因为23BC BA BP +=，所以2()BC BP BP BA-=-，即2PC AP =，所以13AP AC =，所以11()33AD AP PD AC AB AC AB AC λμλμ=+=++=++，又点D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以111,232λμ=+=，所以23λμ+=． 11．3049 【解析】1132n n n a a -+-=⋅，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1322n -=⋅-，所以1013049i i a ==∑．12．83【解析】因为a b ∈R ，，a b >，22240a ab b ---=，所以()(2)4a b a b -+=．令a b t -=，42a b t +=，0t >， 则()()142233a t b t t t =+=-，，所以41482()333a b t t -=+⋅=≥，当且仅当1t =时取等号．所以2a b -的最小值为83．13．222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4，所以224r b =+，设00(,)P x y ，由已知条件得，2222009b r x y +=++，所以22005x y +=，即点P 在圆225x y +=，所以点P 到直线2100x y +-==．14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()33()sin cos f k k θθ=--，题意即为()0f k ≥在(],2-∞-上恒成立，即min ()0f k ≥．由于[)0,2θπ∈，sin 0θ≥且cos 0θ≥，则0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当4πθ=时，()00f k =≥恒成立，符合；当(,]42ππθ∈时，33sin cos 0θθ->，所以()f k 在(],2-∞-上单调递增，不符合；当[0,)4πθ=时，33sin cos 0θθ-<，所以()f k 在(],2-∞-上单调递减，此时()33min ()(2)2sin cos 0f k f θθ=-=---≥，即332sin 2cos θθ令3()2f x x =（0x ≥），不等式即为(sin )(cos )f f θθ≤， 由于1221()602f x x x-'=+≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，而当[0,)4πθ=时，sin cos θθ<，所以(sin )(cos )f f θθ≤恒成立．综上所述，θ的取值范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．解：（1）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅= …… 2分ππsin cos cos sin 2323x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，且//m n ，11sin 02222x x ∴-⨯=， …… 8分sin x ∴，(0,)2x π∈，cos x ∴=== …… 10分sin 22sin cos 26x x x ∴=⋅==， …… 12分225cos212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 2226f x x x ∴=+==…… 14分16．证明：（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分 又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分 又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD . ……… 6分 （2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ， 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分 因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分 又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ， 12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥， EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分 （1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,2πθ∈． ………8分 （2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ=+∈， ………10分222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t =4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12平方米． ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，， 所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，…… 2分解得21a b c ===，， 所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，． 若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分 解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分 直线)2(2:00--=x x y y l ， 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--，所以)2)(1(2002--=x x y ②， …… 12分 由①②可得04241102=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ， 所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以002l y k x ==-l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分 （2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分 当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，12a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+， 函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增． 因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分 记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，，2(e 1)()ex xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立， 所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数，又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分 （2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*）， 特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分 由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥， 因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-， 又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分 （3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nS S +≤， 所以1312112×2n n n nS S S S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=， 又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥， 又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<， 所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=，即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<，于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分 B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩ ………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()21f λλ=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分 （2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分 ∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分 ∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分 直线l 被曲线C所截得的弦长为=． ………10分 （说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成） D ．证明：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分22．解：（1）由已知有3432101()3P A C ==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分 （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分 （2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分 （3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n kn n n n nn k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑ 11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n knn k n k n C P n k nP --==+-+∑ 0(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷10理201902270169
江苏省南通基地2018年高考数学密卷（10）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合，，则▲．2．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为▲．3．用系统抽样方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生随机地编号为，按编号顺序平均分为个组．若第组中用抽签的方法确定抽出的号码为，则第组抽取的号码为▲．4．幂函数的单调增区间为▲．5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值为▲．6．在矩形中中，，在上任取一点，则△ABP的最大边是的概率为▲．7．已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为▲．8．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的▲ 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”之一）9．已知正三棱柱的所有棱长都为3，则该棱柱外接球的表面积为▲．10．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点横坐标为，则的值为▲ ．11．已知函数若函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是▲．12．如图，已知正方形的边长是2，是的中点，是以为直径的半圆上任意一点，则的取值范围是▲ ．13．已知正数满足，则的最小值为▲ ．14．已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间内，则公差的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，，． （1）求的值；（2）求c 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，F 为 PO 的中点.（1）若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若AB ＝PC ，求证：CF ⊥平面PBD .17．(本小题满分14分已知椭圆：的右准线的方程为，左、右两个焦点 分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）过两点分别作两条平行直线和交椭圆于两点（均在x 轴上方），且等于椭圆的短轴的长，求直线的方程.18．(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成 直四棱柱，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心在梯形内部，∥，60°，，设． （1）求梯形的面积；（2）当取何值时，四棱柱的体积最大？并求出最大值． （注：木材的长度足够长）19．(本小题满分16分)已知数列的首项（），其前项和为，设（）．（1）若，，且数列是公差为3的等差数列，求；（2）设数列的前项和为，满足．①求数列的通项公式；② 若对且，不等式恒成立，求a的取值范围．20．(本小题满分16分)已知函数，（，）．（1）当时，① 若函数与在处的切线均为，求的值；② 若曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，设，若函数存在两个不同的零点求证：．2018年高考模拟试卷（10）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆的半径与互相垂直，为圆上一点，直线与圆交于另一点，与直线交于点，过点的切线交线段于点．求证：．B．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵，．若矩阵满足，求矩阵的特征值和相应的特征向量．C．[选修：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最大距离．D．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知，且，求证：≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知定点，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，Array使得，且．（1）求动点的轨迹；（2）过点任作一条直线与相交于，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）．求证：动点在定直线上．（第22题）1B 1A1C1M O23．（本小题满分10分）已知数列是公差为的等差数列．在的每相邻两项之间插入这两项的算术 平均数，得到新数列，这样的操作叫做该数列的1次“”扩展．连续次“” 扩展，得到新数列．例如：数列1，2，3第1次“”扩展后得到数列1，， 2，，3；第2次“”扩展后得到数列1，，，，2，，，，3． （1）求证：为等差数列，并求其公差；（2）已知等差数列共有项，且．若的所有项的和为，求使成立的的取值集合．2018年高考模拟试卷（10）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】391 4．【答案】 5．【答案】4【解析】当时，，此时不成立． 6．【答案】【解析】设，当时，， 所以所求概率为：． 7．【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程可知；又由题意，那么，双曲线方程为． 8．【答案】必要不充分【解析】由，因为，所以要使，必须 ，即，所以“”是“”的必要不充分条件． 9．【答案】【解析】如图，外接球的球心为上下底面中心连线的中点，连结，，所以三角形为直角三角形，，，所以，所以该棱柱外接球的表面积为．10．【答案】【解析】令，即，所以，因为，所以，即，从而．11．【答案】【解析】依题意，即记函数结合函数图象知，．12．【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，，所以，其中，且．由于，所以，所以．13．【答案】【解析】，令，则，记，由得，．经检验，当时，，所以的最小值为．14．【答案】【解析】设等差数列的公差为，则由，由数列恰有6项落在区间内，得即令，则时，该不等式表示的区域为如图所示的四边形内部，及其边、(不含顶点、)，其中，，，．，，此时，，，即，，公差的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．(本小题满分14分)解：（1）在△ABC中，因为，，，由正弦定理得，，…… 2分于是，即，…… 4分又，所以．…… 6分（2）由（1）知，， 则，， …… 10分 在△ABC 中，因为，，所以． 则． ……12分 由正弦定理得，． …… 14分16．(本小题满分14分) 【证】（1）连接，因为PD // 平面ACE ，面，面面，所以PD //OE . …… 3分因为四边形ABCD 是正方形知，所以为中点，所以E 为PB 的中点. …… 6分 （2）在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝PC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以， 所以.因为F 为PO 中点，所以. …… 8分 又因为PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD ，所以PC ⊥BD . …… 10分 而四边形ABCD 是正方形，所以， 因为平面，，所以平面， …… 12分 因为平面，所以. 因为平面，，所以CF ⊥平面PBD . …… 14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题设，，， …… 3分得，，故椭圆方程为. …… 6分ABCDPOEF（2）连结BO并延长交椭圆E于D，则易证，所以.因为，所以，所以三点共线. …… 8分当轴时，不合题意；当CD不与x轴垂直时，设，代入椭圆方程并化简得，…… 10分设，则，所以.又，所以，得，…… 13分所以直线的方程为. …… 14分18．(本小题满分16分)【解】（1）由条件可得，，所以梯形的高．又，，…… 3分所以梯形的面积…… 5分（）．…… 8分（2）设四棱柱的体积为，因为，所以．…… 10分设，因为，所以，所以，．由，…… 12分令，得，与的变化情况列表如下：由上表知，在时取得极大值，即为最大值，且最大值．…… 15分答：当时，四棱柱的体积取最大值为． 16分19．(本小题满分16分)解：（1）由条件知，即，…… 2分所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3．由，，所以，即，所以，．所以．…… 5分（2）①由，得（），由于符合上式，所以（），…… 7分所以．所以，即，所以数列为等比数列，且公比为，因为，所以（）．…… 10分②不等式即为，由于，所以不等式即为．当是奇数时，，，所以，即对且恒成立，所以，解得．…… 13分当为偶数时，，，由，得对且恒成立，所以，解得，因为，所以a的取值范围是．…… 16分19．(本小题满分16分)20．(本小题满分16分)解：（1）当时，，所以，．①由题意，切线的斜率，即，所以．…… 2分②设函数，．“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”．求导，得．（ⅰ）当时，由，得，所以函数在单调递减．因为，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．…… 5分（ⅱ）当时，，当变化时，与的变化情况列表如下：所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．注意到，且，若，则，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．若，取，，所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．若，取，由于，所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的取值范围是或．…… 9分（2）当时，．因为，所以，即．令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以在处有极大值，所以．令，，…… 12分则，所以在上单调递增，从而，所以，而在上递减，且，所以，即．…… 16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)【证】连结，则，因为，所以．…… 2分因为，所以，因为，所以，所以，…… 6分所以．因为是圆的切线段，所以，所以．…… 10分B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设，由，即，得解得所以．…… 5分设，令，得，．当时，，取；当时，，取．…… 10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．因为，所以，…… 2分将其化为普通方程，得3xy60．…… 4分将曲线C：化为普通方程，得x2y24．…… 6分所以圆心到直线l：3xy60的距离d3．…… 8分所以P到直线l的最大距离为d25．…… 10分D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)【证】因为，且，所以…… 5分≥，所以≥．…… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)（1）解：设，，．由，得，即．…… 2分因为，所以，所以．所以动点的轨迹为抛物线，其方程为．…… 5分（2）证：设直线的方程为，代入，得，设，，则有．直线的方程为；直线的方程为，所以交点．7分设，注意到及，则有，因此动点在定直线（）上．…… 10分23．(本小题满分10分)（1）证：①当时，与的算术平均数为，则为常数，所以当时，数列为等差数列，且公差．…… 2分②假设当时，数列为等差数列，且公差，则当时，数列中相邻两项与的算术平均数为，由，知数列中任意相邻两项的差为常数，所以当时，数列为等差数列，且公差．由①②可知，为等差数列，且公差．…… 5分（2）解：（方法一）由已知可知，设数列的项数为，则，且，所以，所以，即．所以．…… 7分则．令，则．由可知，，，所以，所以在上单调递增．又因为，所以使成立的的集合为．…… 10分（方法二）同上可得，令，则，则单调递增，以下同上．…… 10分。
2018年高考理科数学江苏卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条,则其离心率的值是 .9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共26页） 数学试卷 第8页（共26页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)
2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合A = {1 , x }, B = {2 , 3, 4}，若A A B ={4}，则x 的值为▲.2. 若复数Z1= 2+i, z1 -z2（） z2 = 5，则z2= ▲ .3. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25, 30）的为一等品，在区间[20 , 25）和[30, 35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲4. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为▲.5. 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动•某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元,0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为▲.26. 函数y log2（3 2x x ）的值域为▲.7. 已知P ABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16 n且/ APO = / BPO = / CPO=30°则三棱锥的体积为▲.28. 已知双曲线x2— 1的左、右顶点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，4且离心率为—，过A作斜率为k的直线I交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N, 2若AN UJUJTNM，贝U k的值值为▲19. 已知函数f(x) = cosx(sin x+ cosx)—,若f()22—，则cos(— 2 )的值为▲6 410 •已知a n是首项为1,公比为2的等比数列, 数列b n满足b印，且b n a i a2 La n 1 a n a n 1 L a2 a1 (n》2, n，若a m (b m 28) 2018，则m的11.定义在1,1上的函数f (x)sin x ax b(a 1)的值恒非负，贝U a b的最大值12.在厶ABC中，若35UUJUUU21uuruuurAB BC15uur uuu，贝H cosC 的值为BC CA13.在平面直角坐标系xOy 中, 2 y 1,直线l : x ay 3 0 ,过直线l上一点Q作圆O的切线，切点为uunP,N，且QPUJIT 2QN ,则正实数a的取值范围是▲3 —14.已知偶函数y f(x)满足f(x 2) f(2 2x)，且在x 2,0 时，f (x) x 1 ,若存在x-i, X2,L , x n满足0W x-i x2X n ,x-i f x2 f x? f X3 f X n 1 2017，则X n最小值二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) As in x A 0,0 的最小值是一2,其图象经过点M (— ,1) •3(1) 求f (x)的解析式;(2)已知(o,牙)，且 f ()8，2 524f () ，求f ( )的值.1316. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD 中，BAD 90 , AD // BC , AD 2BC , AB PA.(1) 求证：平面PAD 平面ABCD ；(2) 若E为PD的中点，求证：CE //平面PAB .A17. (本小题满分14分)有一块以点0为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离0点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A, B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA, 0B，其中小路的宽度忽略不计.(1) 若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2) 若要这块圆形广场的最大面积. (结果保留根号和)在△ ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求18. (本小题满分16分)如图，点a n 1 2a n 8 , {g} , &分别为椭圆b： b； 14S n+25的左、右顶点和右焦点，过点n N的直线｛务｝(异于｛0｝轴)交椭圆C于点｛g｝, c. a. b n .(1)若AF 3，点4r, s, t与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程;(2)已知直线(r s t)的斜率是直线r，s, t斜率的f(m x) f (x)倍.①求椭圆C的离心率;②若椭圆C的焦距为f(m x)19. (本小题满分16分)已知函数f (x) xlnx ax2.(1) 若曲线y f (x)在x 1处的切线过点A(2, 2).①求实数a的值；f (x) 1②设函数g(x) ，当s 0时，试比较g(s)与g(-)的大小;x s1(2) 若函数f (x)有两个极值点X1 , X2 ( X1 X2),求证：f(xj -.220. (本小题满分16分)设数列｛a n｝的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m , n N*，均有(n m)S n m (n m)(S n S m) ” 的数列｛a n｝为“好”数列.（1 ）试分别判断数列｛a n ｝ , ｛b n ｝是否为好”数列，其中a n 2n 1, b 2n 1 ,n N * ,并给出证明；（2）已知数列｛C n ｝为好”数列.① 若C 20172018，求数列｛C n ｝的通项公式；② 若G p ，且对任意给定正整数p ，s （ s 1），有G ，C s ，C t 成等比数列,求证：t > s 2 •2018年高考模拟试卷（9）数学U （附加题）21 •【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题,并在相应的答题区域内作答 A •［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 为O O 的直径，BD 是O O 的切线，连接 AD 交O O 于E ,若BD // CE ,2AB 交 CE 于 M ，求证：AB AE ADxxx 2v已知点A 在变换T :y作用后，再绕原点逆时针旋转 90 ,v v v得到点B •若点B 的坐标为（3,4），求点A 的坐标.B •［选修4 — 2:矩阵与变换］ （本小题满分10分）（第 21-A ）C .［选修4 —4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，圆C的方程为2acos (a 0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴x 3t 1I的参数方程为(t为参数)，若直线I y 4t 3与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围.D .［选修4 —5:不等式选讲］(本小题满分10分)3 2 1已知正数a,b,c满足2a 3b 6c 2，求的最小值.a b c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内作答.连接AM, AC,CM，若MAQ 90 .(1)求直线C1M与平面CA1M所成角的正弦值；(2)求平面CAM与平面AAC1C所成的锐二面角.23.(本小题满分10分)(1)求证：kC：k (n k)C：；1 ；(2)求证：1008( 1 )n C n 1 n 0 2017 n 2017 n 2017正半轴建立平面直角坐标系，设直线22.已知直三棱柱ABC A1BQ1 中，ABC为等边三角形, 延长BB1至M，使BB1B1M ,B1B(第22 题)M2018年高考模拟试卷(9)参考答案数学I一、填空题:1 .【答案】4【解析】因为AQB ={4}，所以4 € A,故x= 4.2 .【答案】2+i5【解析由z i Z2 = 5,得玄=化=2-i,所以Z1= 2+i.' 2+i3 .【答案】50【解析】三等品总数n [1 (0,05 0.0375 0.0625) 5] 200 50 .4 .【答案】30【解析】A 3, N 1,输出3；A 6, N 2，输出6；A 30, N 3，输出30；则这列数中的第3个数是30.15 .【答案】丄5【解析】两名同学抢红包的事件如下：(2.53, 1.19) (2.53, 3.21 ) (2.53, 0.73) (2.53, 2.33)(1.19, 3.21) (1.19, 0.73) (1.19 , 2.33) (3.21 , 0.73) (3.21 , 2.33) (0.73 , 2.33),共10 种可能，其中金额不低于5元的事件有(2.53 , 3.21) (3.21, 2.33),共2种可能，所以不低于5元的概率P —1.10 56 .【答案】,2【解析】因为3 2x x2(x 1)2 4 0,4 ,所以log2(3 2x x2) ,2 ,即值域为,2 .7 •【答案】9、34【解析】设球的半径为R, △ ABC的外接圆圆心为0',则由球的表面积为16n,2 )因为f （壘所以sin 2 a+ cos 2 a= 3cos(- 所以 4cos — cos2 4sin 一sin2 4厘 cos22si n2可知4n 1 2= 16n,所以R = 2•设△ ABC 的边长为2a , 因为/ APO =Z BPO =Z CPO = 30° OB = OP = 2, 所以 BO '= ~^R = 3, 00 ' = , OB 2- BO ' 2= 1 , PO ' = 00 ' + 0P = 3•在△ ABC 中，O ' B = |2a = 3, 所以a = 3，所以三棱锥PABC 的体积为V = * * 32X sin60° 3=2 3 248 .【答案】3c32【解析】对于椭圆，显然 b 1,--，所以椭圆方程为 今y 2 1，设N （x o ,y 。
2018年高考南通市数学学科基地密卷
2018 年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．复数z a i （a R ，i是虚数单位），若z2是实数，则实数 a 的值为▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，角的始边为射线Ox，点P1，2 在其终边上，则 sin 的值为▲．3．设全集 U 是实数集R，M x x 3，N x x 2，则图中暗影部分所表示的频次会合为▲．组距U（第 3题）视力（第 4题）4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45 名学生的高校招生体检表中视力状况进行统计，其结果的频次散布直方图如右上图．若某高校开始A专业对视力要求不低于，则该班学生中最多有▲人能报考 A 专业．5．袋中共有大小同样的 4 只小球，编号为 1， 2， 3，4．现从中任取 2 只小球，则拿出的 2 只球的编号之和S0 n 2n n+1n+1 MnS S+log 2M是奇数的概率为▲ ．否6．履行如下图的算法，则输出的结果是▲ ．S≥22 2 是x y 输出 S 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 1k k 3 结束的一个焦点为 ( 5,0) ，则该双曲线的离心率为▲ ．（第 6题）8．现用一半径为10 cm，面积为80? cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定连接部分及铁皮厚度忽视不计，且无消耗），则该容器的容积为▲ cm 3．9． 平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝ 3，∠ BAD ＝ 60°，点 E ，F 分别知足→→ → → uur uur▲ ．AE ＝ 2ED ， DF ＝ FC ，则 AF BE 的值为10． 设 S n 是等比数列 { a n } 的前 n 项和，若知足a 4 + 3a 11= 0，则S 21 = ▲ ．S1411．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ykx 被圆 x 2 y 2 2mx 2 3my 3m 21 0截得的弦长是定值（与实数 m 没关），则实数 k 的值为 ▲ ．12．在△ ABC 中， cos A 2sin B sin C ， tan B tanC 2 ，则 tanA 的值为▲ ．13． 设 F 是椭圆x2＋y2＝ 1(a ＞0，且 a ≠2)的一焦点，长为3 的线段 AB 的两个端点在椭a24圆上挪动．则当 AF BF 获得最大值时， a 的值是▲ ．·14．设函数 f ( x)2k 17 x 2 ，x ≤ 0，k x4，此中 k0 ．若存4 g( x) x2，x 0 ，3在独一的整数 x ，使得 f (x)g (x) ，则实数 k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．15． (本小题满分 14 分)3在△ ABC 中， A 为锐角，且 sin A．5（1）若 AC2， BC6，求 AB 的长；5 （ 2）若 tan AB1，求 tanC 的值．316． (本小题满分 14 分 )如图，在三棱锥P ABC 中， AC BC ，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC //平面 PDE．P（1）求证：DE //平面 PBC；（2）若平面 PCD⊥平面 ABC，求证：平面 PAB⊥平面 PCD ． AEC DB17． (本小题满分14 分（第 16 题）设 l1， l2， l3是同一平面内的三条平行直线，l1与 l 2间的距离是1 m，l2与l3间的距离是 2 m，△ ABC 的三个极点分别在l1， l2， l3．（ 1）如图 1，△ ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（ 2）如图 2，△ ABC 为直角三角形，且 B 为直角极点，求 AB 4BC 的最小值．Al1 Al1Bl2Bl2l 3 l3C C图 1 图 218． (本小题满分16 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设 P 为圆O：x2 y 2 2 上的动点，过P 作 x 轴的uuur uuuur y 垂线，垂足为Q，点 M 知足PQ 2MQ ．A （1）求证：当点 P 运动时，点 M 一直在一个确立的椭圆上；PT·M （2）过点 T 2 ，t (t R ) 作圆 O 的两条切线，切点分别O Q xB为 A，B．①求证：直线AB 过定点（与t 没关）；（第 18 题）②设直线 AB 与（ 1）中的椭圆交于C， D 两点，求证：AB ≤2．CD19． (本小题满分16 分 )设等差数列a n是无量数列，且各项均为互不同样的正整数，．（ 1）设数列a n其前n项和为S n，b n Sn1， n N *．a n①若 a2 5 ， S540 ，求 b2的值；②若数列b n为等差数列，求b n；（ 2）求证：数列a n中存在三项（按本来的次序）成等比数列．20． (本小题满分16 分 )已知函数f ( ) e x， g( x)2 x mx ．（ 1）若直线y kx 1与 f (x) 的图象相切，务实数k 的值；（ 2）设函数h( x) f ( x) g( x) ，试议论函数 h(x) 在 (0 ，) 上的零点个数；（ 3）设x1，x2 R ，且 x1 x2 ，求证： f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( x1)．2 x2 x12018 年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附带题 )21．【选做题】此题包含 A、 B、 C、 D 四小题，请选定两题，并在相应的答题地区内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ． [ 选修 4—1：几何证明选讲 ]( 本小题满分10 分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD ， BA 、 CD 的延伸线交于点 E ．求证： AE 均分DAF ．B FAC D E（第 21— A 题）B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换](本小题满分10 分)1 aT M把直线l： 2x y 3 变换为自己，务实数已知矩阵 M 所对应的变换b 3a ，b 的值．C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程](本小题满分10 分 )x t cos mC：x 5cos已知直线 l ：（ t 为参数）恒经过椭圆y （ ?为参数）y t sin 3sin 的右焦点，务实数m 的值．D ． [选修 4－ 5：不等式选讲]( 本小题满分10 分 )设 a1，a2 ，a31 1 1a2 a3≥ 9 ．均为正数，且a21 ，求证： a1a1 a3【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，合计20 分．请在答卷纸指定地区内作答．．．．．．．．．22． (本小题满分 10 分 )设随机变量ξ的散布列为 P( k ) k k !，此中 k N *，k 6 ，c为常数．c（1）求 c 的值；（2）求ξ的数学希望 E(ξ?)．23． (本小题满分10 分)已知数列 a nC1n 1 C n2 2 C n3 3 C n n n * 知足 a n C n 2 22 23 2n ，n N ．（1）求a1，a2，a3的值；（2）猜想数列a n的通项公式，并证明．2018 年高考模拟试卷（7）参照答案一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．【答案】 0【分析】 z221 2ai 是实数，则a 0 ．a ia22．【答案】2 55【分析】依据三角函数定义，2 2 5．sin22( 1)2 53．【答案】2,3【分析】图中暗影部分所表示的会合为( C U M ) I N ，即为 2,3 ．4． 【答案】 18【分析】校 A 专业对视力要求不低于的学生数为45 1 0.75 0.25 0.2 18 ．5． 【答案】23【分析】 从 4 只小球中任取 2 只小球共有 6 种取法， 此中 2 只球的编号之和是奇数的有4 种，则所求概率为 2 ．36． 【答案】 2【分析】依据循环，挨次获得n, M , S 的值分别为3, 44 ；3 ,log 2 34,5, log 24log 2 5 ， ， 11, 12, log 2 4 log 2 5 L log 2 12 ，4 3 411 3 4 11由于 Slog 2 4log 2 5 L log 2122≥ 2 ，因此最后的输出结果为2．3 4117． 【答案】52【分析】由题意， 2k3 5 ，即 k4，因此双曲线为x 2y 21 ，因此离心率为5． 428． 【答案】 128π【分析】设圆锥底面半径为 r ，高为 h ，由题意， πr 1080π，得 r 8 ．因此 h 6 ，容积为 1πr 2h 1 π 82 6 128π．3 39． 【答案】 6uur 2 uuur uur uuur uuur uuur 1 uur uur uuruur 2 uuuruur由于 AEAD ， AFAD DFAD2 AB ； BE BA AE AD AB ，那么33uur uuruuur 1 uur 2 uuur uuur2 uuur 2 1 uur 2 2 uur uuur8 4 6 ．AF BEAD ABADABAD AB 3 AB AD 6233 210． 【答案】 76【分析】由 a 411q71，因此 S211 q 21 7 ．+ 3a = 0，知3 S141q 14611． ?【答案】3322【分析】由 x2y22mx 2 3my 3m 21 0 得， x my 3m m21 ，km 3m2则圆心 m ， 3m 到直线 y kx 的距离为，设截得的半弦长为 p ，1 2k22 3k 1 m 2 k 222k3 m211（与实数 m 没关），则 pm 1 k21 2k因此 3k1 0 ， k3 ．312． ?【答案】 1【分析】由 cosA 2sin B sinC 得， cos BC 2sin B sin C ，即 cosBcosC sin Bsin C 2sin Bsin C ，因此 tan B tanC1 ，因此 tan Atan BCtan B tan C2 1 ．tan B tanC 1 1 1813．【答案】 3或 3．【剖析】当 a ＞2 时，设椭圆的此外一个焦点为F ′，联络 AF ′， BF ′．则 AF ′＋ BF ′≥|AB |＝ 3．故 AF ＋ BF ＝ 4a － (AF ′＋ BF ′)≤4 a － 3．AFBF 2 4 a － 3 24 a － 3因此 AF BF ≤(·) ≤() ．当且仅当线段AB 过点 F ′，且 AF ＝ BF ＝时，·222上式等号建立，此时， AB ⊥ x 轴，且 AB 过点 F ′．于是224 a － 3 23 222 234c ＝ |FF ′|＝(2 ) － (2) ＝ 4a － 6a ，即 c ＝ a － 2a ．3 8则 a 2＝ 4＋ (a 2－2a)，得 a ＝3．近似地，当 0＜ a ＜ 2 时，可得 a ＝ 3． 14． ?【答案】17 ，63【剖析】当 k16时， f (x) ，g ( x) 的图象相切； k6 时， f (x) ，g ( x) 的图象均过点32，4 ， 4，16 ，故独一的正整数 x 3 ，同时k 17≤k ，进而17≤k ≤6 ．4 3二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15． (本小题满分 14 分)解：（ 1）由于 sin A3 ， A0 ，π，5 224因此 cos A1 sin 2A 1 33 分55 ．2b2c2a22 2 c 26ABCcos A452bc52 2 cc8AB8655321tan Asin A5 38cos A4 45tan A tan A B3 1 13 tan Btan AA B43 111 tan A tan AB 1 3 194 3ABCAB Cπ3 13tanCtan A Btan Atan B49 7914tan A tan B13131 34916(14)1BC //PDE BCABCPDE IABC=DEBC DE.3DEPBC BC PBCDE //PBC621BCDEABCE AC D ABACBCABCD9PCDABCPCD I ABCCD ABABCAB PCD 12AB PABPABPCD1417(14解：（ 1）如图 1，过点 B 作 l 2 的垂线，分别交 l 1 ， l 3 ，于点 D ， E ，设 DBA，则 EBC2 ．DAl 13则 AB1 ， BC 2Bl 2． 2 分coscos 2π312 ，l由于 ABBC ，因此EC3cos cos2π图 13化简得 5cos3sin，因此 tan5 3，则 cos2 3 ，37因此边长 AB12 21 ．6 分3cos（2）如图 2，过点 B 作 l 2 的垂线，分别交 l 1 ， l 3 于点 D ， E ．设 DBA，则 EBCπ ，DAl21 则 AB1， BC 2．Bl 2cos sin于是 AB4 BC1 8．8 分cos sin记 f ( ) 18πE Cl 3cossin ，0 ，2 ．图 2求导，得 f ( )sin 8cos sin 38cos 3tan 38． 10 分cos2sin2sin 2cos 2sin 2 cos 1令 f () 0 ，得 tan2 ．记 tan2 ，列表：0 ， 0，π2 f ( ) － 0＋f ( )↘极小值 ↗当0 时， f ( ) 取最小值，此时 sin2 5 ， cos5， f ( 0 )5 5 ．5512 分答：（1）边长AB为2 21m；（ 2） AB 4 BC 长度的最小值为 5 5 m． 14 分318． (本小题满分 16 分 )解：（1）设点 M ( x，y) ，由uuuur uuur2MQ PQ ，得 P x ， 2 y ．由于 P 为圆O： x2 y2 2 上的动点，因此 x222 ，即x 2y22 y 1 ，2因此当点 P 运动时，点M 一直在定椭圆x2y 2 1 上． 4 分2（2）①设 A( x1，y1 ) ， B(x2，y2 ) ，当 y1 0 时，直线 AT 的方程为： y y1 x1 x x1，即 x1x y1 y x12y1 2 ，y1由于 x12 y1 2 2 ，因此 x1x y1 y 2 ，当 y1 0 时，直线 AT 的方程为：x 2 ，综上，直线 AT 的方程为： x1x y1 y 2 ．同理，直线 BT 的方程为： x2 x y2 y 2 ．又点 T 2 ，t (t R ) 在直线 AT， BT 上，则 2 x1 ty1 2 ，①2 x2 ty2 2 ，②由①②知，直线 AB 的方程为：2x ty 2 ．因此直线 AB 过定点1，0 ．9 分②设 C( x3，y3 ) , D (x4，y4 ) ，则 O 到 AB 的距离 d2， AB 2 r 2 d 2 22t 2 4．11 分4 t2 t 2 42x ty 2由 22 ，得 (t 2 8) y2 4ty 4 0 ，x1 2 y于是 y 3 y 44t ， y 3 y 44，t 2t 2 88t22 t22t 2因此 CD1y 3y 448，13 分4t 28于是AB22(t 8) t 2 ， CD(t 2 4) t 2 4AB≤ 2(t 28) t 22≤ 2(t 28)2 t 22 ≤ 2 (t 2 4)2 t24CD( t 24) t 24t 4 (t 2 6) ≥ 0（明显） 因此AB≤ 2 ．16 分CD19． (本小题满分 16 分)解：设等差数列a n的公差为 d ．由于无量数列 a n 的各项均为互不同样的正整数，因此 a 1 N * ， d N * ．（1）①由 a 25 ， S 540得， a 1 d 5 ， 5a 1 5 4 d 40 ， 2 分2解得 a 1 2 ， d 3 ．因此 b 2 S 2 1 a 1 2 ． 4 分a 2a 25②由于数列 b n 为等差数列，因此 2b 2 b 1 b 3 ，即 S 2 1S 1 1 S 3 1． 2 a 1 a 3a 22 2a 1 d 13 a 1 d ，解得 a 1 d （ d 0 已舍）． 6 分因此 a 1 da 1 2 dn n1此时， b nS n 12 a 11n 18 分．a nna21（ 2）由于 a a 1 1 a 1a 1 1 1 d 是数列 a n 的第 a 1 1 项，a a 1 (d 2) 1a 1a 1 (d 2) 1 1 d 是 a n的第 a 1 (d2) 1 项，且aa 12a 121 d 2， a 1 a a 1 ( d 2) 1a 1a 1 a 1(d 2)d ，1因此 a a 1 2a 1 a a 1 ( d 2) 1 ．1又 a 1 a 1 1 a 1 ( d 2) 1，因此数列a n 中存在三项 a 1 ， a a 1 1 ， a a 1 ( d 2) 1 按本来的次序）成等比数列．16 分20． (本小题满分 16 分)解：（ 1）设直线 y kx 1 与 f (x) 的图象的切点为 (x 0 ，e x 0 ) ．由于 f (x)x，因此e x 0k， 2 分ekx 0e x1因此 e x 0 ( x 0 1) 1 0 ．令 (x) e x ( x 1) 1 ， ( x) e x x ．令 (x) 0 得 x 0 ．x (，0) 0 (0， ) ( x) － 0＋( x)↘↗因此 min ( x) (0) 0 ，因此 x 0 （ 2） h( x) e xmx 2 (x 0) ．令令 t ( x)e x m (x0) ， t (x)2xx(0 ，2)t (x) －t (x)↘0 ，因此 k 1．4 分h( x)0 得 e xm ．x 2e x (x 2) ． x 32(2， ) 0＋↗当 x 2 时， t( x) 有最小值 t (2) e 2m ．4由于 t( x) 在 (0 ， ) 上的图象是连续不停的，当 me 2时， t(x)0在 (0， ) 上恒建立，因此 h( x) 在 (0 ， ) 无零点；4当e 2 时， t min ( x) 0 因此 h(x) 在 (0 ， ) 有且仅有一个零点；4 m21 1当 me时，此时 t min ( x)t(2) 0 ，由于 t 1m 2e mm m2e m10 ，4mm因此 t( x) 在 (0 ，2) 上有且仅有一个零点．3m又由于 t(3m)e 2 m1 2 (e 3m 9 m 3 ) ，9m9m令 u( x)ex1x 3 ， x (2,) ，3则 u (x)e x x 2 ， u (x) e x 2 x ，因此 u (x) e x 2 0 ．因此 u (x) 在 (2， ) 上单一递加，因此 u (x)u (2)e 2 4 0 ，因此 u ( x) 在 (2， ) 单一递加，因此 u ( x) u (2)e 2 4 0 ，因此 u (x) 在 (2，) 单一递加，因此 u( x)u(2)28 0 ，e3因此 e x1 x 3 在 (2， ) 恒建立，3因此 e 3 m 9m 3 ，即 t(3m) 0 ，因此 t (x) 在 (2， ) 上有且仅有一个零点． 因此 h(x) 在 (0 ， ) 上有两个零点．综上所述， me 2 时， h(x) 在 (0 ， ) 无零点；4m e 2 时， h( x) 在 (0 ， ) 有且仅有一个零点；4me 24 时， h( x) 在 (0 ，) 有两个零点．10 分（ 3）由于 f (x) e x 在，上单一增，且 x 2x 1 ，因此 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ， x 2x 1 0 ，f (x 1 ) f ( x 2 )f ( x 2 ) f (x 1 )ex1ex2ex2ex1x 2 x 1因此2x 2 x 12x 2 x 1 21(x 2 x 1 )e x2x 111( x 2 x 1 ) 12( ) ．2e x 2x 1 1 2e x2 x11令 (x)x 21( x 0) ， (x)1 2e x(e x1)2．2 e x1 2 (ex1)22(ex1)2由于 x 0 ，因此 ( x) 0 ，因此 (x) 在 (0 ， ) 上单一递加，因此(x)(0) 0 ，因此 ( ) 式建立，因此 f ( x 1 ) f (x 2 )f ( x 2 ) f ( x 1 ) ．2x 2 x 1x x e2e 1xxe2e 116 分数学Ⅱ (附带题 )21．【选做题】 此题包含 A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或 ．演算步骤．C ． [ 选修 4—1：几何证明选讲 ]( 本小题满分10 分)F证明：由于四边形ABCD 是圆的内接四边形， BA因此 EAD BCD ．2 分由于 BCBD ，因此 BCDBDC ．4 分 C DE又 BAC EAF ， 6 分 （第 21—A 题）BACBDC ，8 分因此 EADEAF ，即 AE 均分 DAF ．10 分D ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]( 本小题满分10 分)解：设 P(x ，y) 是 l ： 2 x y3 上随意一点，在矩阵 M1 a ( x ，y ) ，b 对应的变换获得点为31 a xx x x ay ，5 分由3 y，得y bx3 y ，by代入直线 l ： 2x y 3 ，得 ( 2 b)x (2 a3) y 3 ，7 分 因此2 b 2 ，1 ，b 4 ．10 分2a3 1 解得 a，C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ](本小题满分10 分)解：将直线 l 化为一般方程，得 ytan (x m)3 分将椭圆 C 化为一般方程，得x 2 y 2 ．6 分259 1由于 a 5,b 3,c 4 ，则右焦点的坐标为 (4,0) .8 分 而直线 l 经过点 (m,0) ，因此 m4 .10 分D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]( 本小题满分 10分)证明：由于 a 1，a 2，a 3 均为正数，且111 1 ，a 1 a 2a 311a 3 )1111113因此 a 1 a 2 a 3 ( a 1 a 2 ≥3 a 1a 2 a 3 3 3 9 ，a 1 a 2a 3a 1 a 2 a 3（当且仅当 a 1 a 2 a 3 3 时等号建立）8 分因此 a 1a 2 a 3≥ 9 .10 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分． 22． (本小题满分 10 分)解：（ 1）由于 k k!( k 1)1 k! (k 1) k ! k ! (k1)! k! ，5又由概率散布的性质可知P(k) 1 ，k 15k k ! 1 51 51 719 即k k!(k 1)! k !6! 1! 1 ， k 1 c c k 1c k 1cc 因此 c ??719．3 分（ 2）由（ 1）知P(k) k k ! kN *，k 6719 ， ，于是 P(2) 2 2! 4 ， P(1)1 ， P(3) 3 3! 18 ，719 719719 719 719P( 4)4 4! 96 ， P(5)5 5! 600 ．8 分719 719 719 719因此 ξ的数学希望 E( ξ?) 112 43 184 965 600719719719 7197193447 ． 10 分71923． (本小题满分 10 分)解：（ 1） a 1= 2 ， a 2 = 4 ， a 3 = 8 ．3 分（ 2）猜想： a n = 2n ．证明：①当 n 1，2， 3 时，由上知结论建立；5 分②假定 n k 时结论建立，则有 a kC 1k 1 C k 2 2C k 3 3K C k kkk．C k22 22 3 2 k2则 n k 1 时， a k 1C 1k 1 1 C k 2 1 2 C 3k+1 3K C k+k+11k+ 1．C k 122 23k+ 12 2由 C n k 11C n k 1 C n k 得1 02 13 2a k 1C k 0 C k 1 C k 1 C k 22 2 C k 2C k 33 C k 3K22kk- 1k+ 1C k+kC k+kC k+ 1 k+ 1kk+ 1222k12k 1k+ 1C k 1C k 2C k 3 K C k k C k+ 1 k+ 1 ，2 2223 2k 2 k+1a k 1k1 0 C 1k2 C k 23 C k k 1k C k+k+ 11 k+ 1 )2(C k 11 2 2 K k 1 2 k22 22 k1 0C 1k 2 C k 2 3 K C k k11k-1C k+k 1 k + C k+k+ 11 k ) ．(C k 1 2122 2 k 1 2k2k+ 1(2 k 1)!(2 k 1)!( k 1)1(2 k 1)!(2 k2)1 k+ 1又2k=k !(k 1)! (k 1)k !( k1)!(k 1)!(k 1)!2 C k+ 1 k 1 C k+ 1k 0C 1k 2 C k 2 3 K C k k 11 k -1 C k+k 1 k C k+k+ 11k 1 ) ，2 1 (C k 1 1 2 2 k 1 k k 12 22 2 2 于是 a k 2 k1 12ak 1．因此 a k12k 1 ， 故 n k 1 时结论也建立．由①②得， a n = 2 n ，nN * ．10 分。
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)十 Word版含答案
（第5题）2018年高考模拟试卷（10）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，则AB 2． 在复平面内，复数－3＋i 和1－i 为 ▲ ．3． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20将400名学生随机地编号为1~400分为20个组．若第1为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ． 4． 幂函数2()f x x -=的单调增区间为 ▲ ． 5． 执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6． 在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，则△ABP 的最大边是AB 的概率 为 ▲ ．7． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ▲ ．8． 设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ， 2120n n a a -+<”的 ▲ 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”之一） 9．已知正三棱柱111A B C ABC -的所有棱长都为3，则该棱柱外接球的表面积为 ▲ ． 10．定义在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上的函数5cos 2y x =的图象与2sin y x =-的图象的交点横坐标为0x ，则0tan x 的值为 ▲ ．11．已知函数220()10x x x f x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥．若函数y x m =+的图象与函数()y f x =的图象有DE3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是CD 的中点，P 是以AD 为直径的半圆上任意一点，则AE BP ⋅的取值范围是 ▲ ．13．已知正数x y ，满足221x y +=，则18x y+的最小值为 ▲ ． 14．已知等差数列3-的首项A ，若数列A 恰有6项落在区间1A -内，则公差AD 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，b =π6B A -=． （1）求sin A 的值；（2）求c 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，F 为 PO 的中点.（1）若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若AB，求证：CF ⊥平面PBD .17．(本小题满分14分已知椭圆E ：222210x y a b a b +=>>()的右准线的方程为4x =，左、右两个焦点分别为1(F -，2F . （1）求椭圆E 的方程；（2）过12,F F 两点分别作两条平行直线1FC 和2F B 交椭圆E 于,C B 两点（,C B 均在 （第16题）ABCDPOEFABCDO1O1A1B1C 1D （第18题）x 轴上方），且12FC F B +等于椭圆E 的短轴的长， 求直线1FC 的方程.18．(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成 直四棱柱1111A BC D ABCD -，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，DAB ∠=60°，1AA AD =，设DAO θ∠=．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）当sin θ取何值时，四棱柱1111A BC D ABCD -的体积最大？并求出最大值． （注：木材的长度足够长）19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）．（1）若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的 取值范围．20．(本小题满分16分)已知函数()2ln f x t x =，2()g x x k =-（t ∈R ，k ∈R ）． （1）当1k =时，① 若函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求t 的值；② 若曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当1t =时，设()()()h x f x g x =-，若函数()h x 存在两个不同的零点1x ，2x ，求证：1212x x +>．2018年高考模拟试卷（10）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径OA 与OB 互相垂直，E 为圆O 上一点，直线OB 与圆O 交于另一点F ，与直线AE 交于点D ，过点E 的切线CE交线段BD 于点C ．求证：2CD CB CF =⋅． B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）B DCEAOF（第21-A 题）（第22题）已知矩阵1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，0614⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ．若矩阵C 满足=AC B ，求矩阵C 的特征值 和相应的特征向量． C ．[选修：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：πsin 33ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知a b ∈R ，，且a b >，求证：22122a a ab b +-+≥23b +．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知定点()0,3R -，动点P Q ，分别在x 轴，y 轴上移动，延长PQ 至点M ， 使得12PQ QM =，且0PR PM ⋅=． （1）求动点M 的轨迹C ；（2）过点()0,2T 任作一条直线与C 相交于A B ，，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．求证：动点D 在定直线上．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列．在{}n a 的每相邻两项之间插入这两项的算术 平均数，得到新数列{(1)}n a ，这样的操作叫做该数列的1次“A ”扩展．连续m 次“A ”扩展，得到新数列{()}n a m ．例如：数列1，2，3第1次“A ”扩展后得到数列1，32， 2，52，3；第2次“A ”扩展后得到数列1，54，32，74，2，94，52，114，3． （1）求证：{()}n a m 为等差数列，并求其公差m d ；（2）已知等差数列{}n a 共有n 项，且111a d ==，．若{()}n a m 的所有项的和为()n S m ，求使22()2017n S n n ->成立的n 的取值集合．2018年高考模拟试卷（10）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】(1, 2)2．【答案】3．【答案】3914．【答案】(0)-∞，5．【答案】4【解析】当4n =时，2322214S =++=，此时S p <不成立．6．1【解析】设AD a =，当AB AP =时，222(2)(2)(2a a a PC PC a PC a =+-⇒==或（舍），所以所求概率为：11． 7．【答案】221520y x -=【解析】由双曲线的渐近线方程b y x a=±可知2b a =；又由题意5c =，那么a =双曲线方程为221520y x -=． 8．【答案】必要不充分1B 1A1CA BC1M M O【解析】由222121(1)n n n a a a q q --+=+，因为2210n a q ->，所以要使2120n n a a -+<，必须 10q +<，即1q <-，所以“0q <”是“2120n n a a -+<”的必要不充分条件．9．【答案】21π【解析】如图，外接球的球心为上下底面中心连线1M M 的 中点，连结1A O ，11A M ，所以三角形11A M O 为直角三角形， 132M O =，11AM =1A O =， 所以该棱柱外接球的表面积为24π21π⨯=．10．【答案】34【解析】令5cos 22sin x x =-，即25(12sin )2sin x x -=-，所以210sin sin 30x x --=，因为()π0x ∈，，所以3sin 5x =，即03sin 5x =，从而03tan 4x =．11．【答案】104m -<<【解析】依题意，x m +22010x x x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥． 即2010x x x m x x ⎧+<=⎨-⎩，，，≥．记函数20()10x x x g x x x ⎧+<=⎨-⎩，，，≥． 结合函数()g x图象知，104m -<<．12．【答案】2⎡⎤⎣⎦【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(2,0)B ， (1,2)E ．设(cos ,1sin )P +θθ，,22π3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦θ，所以5sin()AE BP ⋅=+θϕ，其中1tan 2=ϕ，且()0,2π∈ϕ．由于,22π3π⎡⎤+++∈⎢⎥⎣⎦θϕϕϕ，所以sin()1,sin()2π⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦θϕϕ，所以 )⎡⎤+∈⎣⎦θϕ．13．【答案】【解析】()()()()222222221818641665y y x x x y y x +=+⋅+=++++，令0y t x =>，则()()222186411665t t x yt t+=++++，记()22641()1665pt t t t t=++++， 由()0p t '=得，2t =．经检验，当2t =时，min ()125p t =，所以18x y +的最小值为14．【答案】99[,)87【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由11a =-，由数列{}n a 恰有6项落在区间1(,8)2内，得1670,1,21,28,8,n n n n d a a a a +++>⎧⎪⎪≤⎪⎪⎨>⎪⎪<⎪⎪≥⎩即0,31,23,295,96,d n d n d n d n d >⎧⎪⎪-≤⎪⎪⎪>⎨⎪⎪+<⎪⎪+≥⎪⎩令32y d =， 则0,1,,15,661 1.6y y n y n y n y n >⎧⎪≥-⎪⎪<⎪⎨>+⎪⎪⎪≤+⎪⎩0n >时，该不等式表示的区域为如图所示的四边形ABCD 内部，及其边BC 、CD (不含顶点B 、D )，其中(1,1)A ，116(,)55B ，127(,)55C ，66(,)55D ．n *∈N ，2n ∴=，此时7(2,6P ），4(2,)3Q ，7463y ∴<≤，即734623d <≤，9987d ∴≤<，∴公差d 的取值范围是99[,)87． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）在△ABC 中，因为1a =，b =πB A -=，由正弦定理得，1sin πsin 6A A +…… 2分于是ππsin cos cos sin A A A =+，即cos A A =， …… 4分又22sin cos 1A A +=，所以sin A =． …… 6分（2）由（1）知，cos A ，则sin 22sin cos A A A ==，213cos212sin 14A A =-=， …… 10分116n +1566n =+在△ABC 中，因为πA B C ++=，π6B A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-113214=⨯1114=． ……12分由正弦定理得，sin sin a C c A = …… 14分16．(本小题满分14分) 【证】（1）连接OE ，因为PD // 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD面ACE OE =，所以PD //OE . …… 3分因为四边形ABCD 是正方形知，所以O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点. …… 6分 （2）在四棱锥P －ABCD 中，AB ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以OC AB =，所以PC OC =.因为F 为PO 中点，所以CF PO ⊥. …… 8分 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD . …… 10分 而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC PC ⊂平面PAC ，ACPC C =，所以BD ⊥平面PAC ， …… 12分 因为CF ⊂平面PAC ，所以BD CF ⊥. 因为,PO BD ⊂平面PBD ，POBD O =，所以CF ⊥平面PBD . …… 14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题设，c =2a …… 3分得29a =，2221b a c =-=，ABCDPOEF故椭圆方程为221x y +=. …… 6分 （2）连结BO 并延长交椭圆E 于D ，则易证1F OD ∆≅所以12OF D OF B ∠=∠. 因为12180CFO BF O ∠+∠=，所以11180CFO DFO ∠+∠=，所以1,,C F D 三点共线. 当CD x ⊥轴时，不合题意；当CD 不与x 轴垂直时，设:(CD y kx =+ ，代入椭圆方程并化简得2222(19)7290k x x k +++-=， …… 10分 设1122(,),(,)C x y D x y ，则1,2x =，所以22122236(1)()(19)k x x k +-=+.又2222212122236(1)()()(19)k k y y k x x k +-=-=+，所以2222212122236(1)()()4(19)k CD x x y y k +=-+-==+ ，得k =，…… 13分所以直线1F C的方程为y x =+. …… 14分18．(本小题满分16分)【解】（1）由条件可得，2cos AD θ=，所以梯形的高sin 603h AD θ==．又2cos(60)AB θ=-，2cos(120)CD θ=-， …… 3分 所以梯形ABCD 的面积12cos(60)2cos(120)3cos 2S θθθ⎡⎤=-+-⨯⎣⎦ …… 5分 cos(60)cos(60)3cos θθθ⎡⎤=--+⨯⎣⎦(2sin60sin )θθ=3sin 22θ=（2dm ）． …… 8分（2）设四棱柱1111A B C D ABCD -的体积为V ，因为12cos AA AD θ==，所以123sin 22cos 6sin (1sin )2A V S A θθθθ=⋅⨯==-． …… 10分设sin t θ=，因为060θ︒<<，所以0t ⎛∈ ⎝， 所以23()6(1)6()V t t t t t =-=-+，0t ⎛∈ ⎝．由2()6(31)18(V t t t t '=-+=-， …… 12分令()0V t '=，得t =，()V t 与()V t '的变化情况列表如下：由上表知，()V t 在t 时取得极大值，即为最大值，且最大值V =…… 15分答：当sin θ时，四棱柱1111A B C D ABCD -3dm ． 16分19．(本小题满分16分)解：（1）由条件知13n n b b +-=，即23n n a a +-=， …… 2分 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3． 由1a a =，322a a =+，所以3123a a a -=+=，即1a =， 所以11a =，22a =．所以22(1)(1)323322n n n n n S n n n --⎡⎤⎡⎤=+⨯++⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． …… 5分 （2）① 由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥），由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， …… 7分 所以121n n a a n ++=-． 所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---，所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-，因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． …… 10分② 不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥， 由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥． 当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥， 即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤． …… 13分 当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+，由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤． …… 16分 19．(本小题满分16分) 20．(本小题满分16分)解：（1）当1k =时，2()1g x x =-，所以2()t f x '=，()2g x x '=．① 由题意，切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，所以1t =． …… 2分② 设函数2()()()2ln (1)h x f x g x t x x =-=--，(0)x ∈+∞，． “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有 一个零点”．求导，得2222()2t t xh x x x x-'=-=．（ⅰ）当0t ≤时，由(0)x ∈+∞，，得()0h x '≤，所以函数()h x 在(0)+∞，单调递减． 因为(1)0h =，所以函数()h x 有且仅有一个零点1，符合题意． …… 5分（ⅱ）当0t >时，()h x '=当x 变化时，()h x 与()h x '的变化情况列表如下：所以函数()h x在(上单调递增，在)∞+上单调递减，所以当x=max()ln1h x h tt t==-+．注意到(1)0h=，且(1)0h h=≥，若1t=，则max()0h x=，所以函数()h x有且仅有一个零点1，符合题意．若01t<<，取121etx-=∈，11()e0th x-=-<，所以函数()y h x=存在两个零点，一个为1，另一个在1(x，与题意不符．若1t>，取2)x t=+∞，由于2222222()2ln1210h x t x x tx x=-+<-+=，所以函数()y h x=存在两个零点，一个为1，另一个在2)x，与题意不符．综上，曲线()y f x=与()y g x=有且仅有一个公共点时，t的取值范围是0t≤或1t=．…… 9分（2）当1t=时，2()2lnh x x x k=-+．因为12()()0h x h x==，所以2211222ln2ln0x x k x x k-+=-+=，即2211222ln2lnx x x x-=-．令2()2lnx x xϕ=-，则22(1)2()2xx xx x-'ϕ=-=，当01x<<时，()0x'ϕ>，当1x>时，()0x'ϕ<，所以()xϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()xϕ在1x=处有极大值，所以1201x x<<<．令()()(2)s x x xϕϕ=--，(0,1)x∈，…… 12分则()()()244440222s xx x x x'=->-=-+-，所以()s x在(0,1)上单调递增，从而()(1)0s x s<=，所以211()()(2)x x x ϕϕϕ=<-，而()x ϕ在(1,)+∞上递减，且211,21x x >->， 所以212x x >-，即1212x x +>． …… 16分 数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分) 【证】连结OE ，则OE CE ⊥，因为OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠． …… 2分 因为OA OB ⊥，所以90ODA OAE ∠+∠=， 因为OE CE ⊥，所以90OEA CED ∠+∠=，所以ODA CED ∠=∠， …… 6分 所以CD CE =．因为CE 是圆O 的切线段，所以2CE CB CF =⋅，所以2CD CB CF =⋅． …… 10分 B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ，由=AC B ，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0,1,6,4,a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩解得1,2,1,4.a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦C ． …… 5分 设212()(1)(4)25614f λλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=． 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；B DCEAOF当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …… 10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 解：以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．因为()πsin 3ρθ-=，所以()1sin 32ρθθ=， …… 2分将其化为普通方程，得3x -y +6=0． …… 4分 将曲线C ：2ρ=化为普通方程，得x 2+y 2=4． …… 6分 所以圆心()00O ，到直线l ：3x -y +6=0的距离d==3． …… 8分所以P 到直线l 的最大距离为d +2=5． …… 10分 D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 【证】因为a b ∈R ，，且a b >， 所以221222a b a ab b +--+212()()a b a b =-+- 2)(1)()(b a b a b a -+-+-= …… 5分≥33， 所以22212bab a a +-+≥32+b ． …… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)（1）解：设(,)M x y ，0(,0)P x ，0(0,)Q y ．由12PQ QM =，得0001(,)(,)2x y x y y -=-，即001223x x y y⎧=-⎪⎨⎪=⎩． …… 2分因为0PR PM ⋅=，所以00()()30x x x y ---=，所以24x y =．所以动点M 的轨迹C 为抛物线，其方程为24x y =． …… 5分 （2）证：设直线AB 的方程为2y kx =+，代入24x y =，得2480x kx --=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有128x x =-． 直线AO 的方程为11y y x x =；直线BD 的方程为2x x =，所以交点1221(,)y xD x x ．7分设2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，注意到128x x =-及2114x y =， 则有1121211824y x x y y y x -===-， 因此动点D 在定直线2y =-（0x ≠）上． …… 10分 23．(本小题满分10分)（1）证：① 当1m =时，n a 与1n a +的算术平均数为12n n a a ++， 则11112222n n n n n n n n a a a a a a da a ++++++--=-==为常数， 所以当1m =时，数列{()}n a m 为等差数列，且公差12d d =． …… 2分② 假设当(1m k k =≥)时，数列{()}n a k 为等差数列，且公差2k kd d =， 则当1m k =+时，数列{()}n a k 中相邻两项()n a k 与1()n a k +的算术平均数为1()()2n n a k a k ++，由11111()()()()()()()()22222n n n n n n kn n k a k a k a k a k a k a k d da k a k +++++++--=-===， 知数列{(1)}n a k +中任意相邻两项的差为常数12k d +，所以当1m k =+时，数列{()}n a m 为等差数列，且公差112k k d d ++=．由①②可知，{()}n a m 为等差数列，且公差2m md d =． …… 5分（2）解：（方法一）由已知可知n a n =，设数列{()}n a m 的项数为m b ，则1(1)21m m m m b b b b +=+-=-，且121b n =-， 所以112(1)m m b b +-=-，所以11(22)2m m b n --=-⋅，即1(22)21m m b n -=-⋅+． 所以111((22)21)(22)21()((22)21)122m m m n m n n S m n ----⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅2(1)21m n n -++=． …… 7分 则22222222(1)21(1)221()22n n n n n n n n S n n n -++--++-=-=．令222()(1)221(1x f x x x x x =--++≥)，则222222()22(1)2ln 22412(2(1)2ln 22)1x x x x f x x x x x x x '=⋅+-⋅⋅⋅-+=+-⋅⋅-+． 由1x ≥可知，2220x -≥，22(1)2ln 20x x -⋅⋅≥， 所以()0f x '≥，所以()f x 在[1)+∞，上单调递增． 又因为(2)(3)2017201722f f <>，， 所以使22()2017n S n n ->成立的n 的集合为{}*|3n n n ∈N ，≥． …… 10分 （方法二）同上可得22222(1)21()2n n n n S n n n -++-=-，令22()()n f n S n n =-，则222(1)221()n n n n f n --++=2(1)[(1)2(21)]=n n n n -+⋅-+ 2(1)[(1)22(1)1]2n n n n -+⋅-++=2(1)[(1)(22)1]2n n n -+⋅-+=， 则()f n 单调递增，以下同上． …… 10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(9)理
（第3题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（9）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x ｝,B = {2，3，4}，若A ∩B ={4｝,则x的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准，单件产品长度在区间［25，30）的为一等品，在区间[20，25）和［30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图,会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛,某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久"随机分配红包，总金额为9。
9元，随机分配成5份，金额分别为2。
53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ． 6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥,其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ,焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为32，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ． 9． 已知函数f （x )＝cos x (sin x ＋cos x ）12-，若2()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ． 10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列,数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负,则a b -的最大值为 ▲ ．（第4题）12．在△ABC 中,若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=,则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1)求()f x 的解析式;（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒,AD BC ∥，2AD BC =,AB PA ⊥． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ;（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB（第16题）17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心,半径为2百米的圆形草坪,草坪内距离O D 点有一用于灌溉的水笼头,现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ,B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图,点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．(1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．(本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1()g s的大小； (2)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分)设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，,均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ,{}n b 是否为“好”数列,其中21n a n =-,12n n b -=，*n ∈N ,并给出证明； （2)已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列, 求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ．［选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅B ．［选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分)已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒, 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠,以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点,求实数a 的取值范围．D ．［选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分)已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=,求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,AM AC CM ，若190MAC ︒∠=．DA（第21-A ）M（1)求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值； （2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1)求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；(2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑．2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题: 1．【答案】4【解析】因为A ∩B =｛4｝，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·错误!＝5，得错误!＝错误!＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =,2N =,输出6；30A =，3N =,输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下:（2.53，1.19）（2.53，3。
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(8)
02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）2018年高考模拟试卷（8） 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．2． 已知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ ．5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7． 若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ,使得2210x x -λ+<成立”是假命题，则 实数λ的取值范围是 ▲ ．8． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ．9． 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-，则正实数a的最小值为 ▲ ．13．在平面凸四边形ABCD中，AB =3CD =，点E 满足2DE EC =，且 ||||2AE BE ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． 14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤， 1872212（第4题）则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1，2)． （1）若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α+cos α的值；（2）若|m －n |＝ 2，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ； （2）BM ACP ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置ABCDPM（第16题）设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元． （1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4． （1）求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A的坐标．OABCD（第17题）19．（本小题满分16分）设区间[33]D =-，，定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++（0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；（2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性； ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+（*22k n k n ∈+N ，，≥）．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，CD=AC的长度．B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵11ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．若x ay b⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A，求x，y的值．C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）D CBA（第21—A题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是3cos 13sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4π+=ρθl 被曲线C 截得的线段长．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=， 22226a b c ++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．（本小题满分10分）AB CDA 1B 1C 1（第22题）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n 条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，N*n ∈． 设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分． （1）求a b c ，，的值；（2）用数学归纳法证明此结论．2018年高考模拟试卷（8）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】8 【解析】因为{3}A B =，所以2log 3a =，即8a =．2．【解析】本题考查了复数的运算和模的概念．因为zi 1i =+，所以1z i =-．|i |12z i -=-= 3．【答案】29【解析】设向上的点数之差的绝对值．．．是2为随机事件A ，将一颗质地均匀的骰子先后 抛掷2次共有36个基本事件，事件A 共包含(13)-，(24)-，(31)-，(35)-，(42)-， (46)-，(53)-，(64)-共8个基本事件 ，所以82()369P A ==．4．【答案】225【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值20x =，所以 ()()()()()222222182017202220212022202255s -+-+-+-+-==．5．【答案】12【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为3,3I S ==；第二次执行循环体计算两个(A 33⎪⎭变量的结果为4,7I S ==；第三次执行循环体计算两个变量的结果为5,12I S ==；所以 输出的结果为12． 6．【答案】3【解析】画出可性域如图所示，求出代入点(1,0)A ， 求出32x y +最大值为3．7．【答案】λ≤【解析】命题的否定是“122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， ,都有221x x -λ+12x x λ+≤对122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以()min12x x λ+≤．因为12x x +≥122x ⎥=⎡⎤⎢⎣⎦，时成立，所以()min12x x +=，即λ≤8．【答案】10-【解析】因为22410a a =（0d ≠），所以410a a =-．又因为410a a =-即70a =，122210S S =+， 所以11160,24132210,a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩解答10d =-．9．【答案】3【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．因为抛物线24x y =的焦点为()0,1P ，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a=±．根据点13=，化简有3c e a ==．10．【答案】1【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123l π=和243l π=．1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =．1h ==，23h ==．所以21112222114313r h v v r h πππ⋅===11．【答案】1-【解析】()()()πππ()sin 666f x a x x x ϕ=+-+=++，因为()f x 是偶函数，所以(0)f =，即32a -=1a =-． 12．【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题．【解析】因为21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+，所以`1()(2)f x ax a x=+-+．存在某点处的切线斜率不大于5-，所以存在()0,x ∈+∞，1(2)5ax a x+-+≤-．得到(2)5a +≤-，当且仅当1ax x =取“=”，化简得30a -≥，解得9a ≥．13．【答案】2【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积． 因为3CD =，点E 满足2DE EC =，所以2DE =，1EC =．||||2AE BE ==，AB =2AEC π∠=．又因为165AE DE ⋅=，所以16cos 5AE DE AED ∠=，得到4cos 5AED ∠=． 又()3cos cos 5BEC AEB AED π∠=-∠-∠=． ()()AD BC AE ED BE EC ⋅=+∙+，AE EC ED BE ED EC =∙+∙+∙，()()cos cos AE EC AEC ED BE BED ED EC ππ=-∠+-∠-， 4321221255=⨯⨯+⨯⨯-⨯， 2=．14．【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+， 当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤， 则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a ---≤10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]-． 二、解答题：15．【解】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α． …… 4分所以原式＝4． …… 6分 （2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2． …… 9分所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2， 所以α∈()ππ2，， 所以34sin ,cos 55αα==-． …… 12分所以原式＝ …… 14分16．【解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分ABCDP M（第16题）O又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分 （2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分 因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分 （注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得OC x =km，sin()3CD x π=- km ．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2)2()]33y a x a x x ππ=+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分（2）记()2(cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………………9分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即()2)66f a ππ=⨯．………………………………………………………12分答：（1）y 关于x的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为(0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．………………………14分18．【解】（1）由题意知：112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得12c a =⎧⎨=⎩，，又2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………………………………………3分因为圆2C 截y 轴所得弦长为4，所以222215r =+=，所以圆2C 的方程为22(1)5x y -+=． …………………………………………6分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，则=即 22425k m km -=-①…………………………………………………………8分由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(34)84120k x kmx m +++-=，…………………………10分因为直线l 与曲线1C 只有一个公共点，所以22226416(3)(34)0k m m k ∆=--+=，化简，得 22430k m -+=②……………………………………………………12分①②联立，解得122k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，或122k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.，……………………………………………13分由22122(1)5y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A (，)， ………………………………………………14分由22122(1)5y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A -(，)，………………………………………………15分 故直线l 与圆2C 的公共点A 的坐标为02（，）或(02)-，．…………………………16分 19．【解】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增，…… 2分 所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤． …… 4分（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减； …… 6分（ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减．综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减；当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减． …… 8分 ②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； …… 10分（ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x =-，． …… 12分 若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++， 又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-，32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．…… 14分下面证明10<，也即证：3427b a ->．因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <． 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在．综上所述，A =∅． …… 16分 （方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x-≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减， 所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； …… 12分 （ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增， 所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤， 则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥， 也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． …… 16分20．【解】（1）由22112n n a n S λλ+--=，得221(1)12(2)n n a n S n λλ----=≥，两式相减得22212n n n a a a λλ+--=，也即221()n n a a λ+=+．又00n a λ>>，，所以1(2)n n a a n λ+=+≥． …… 2分当1n =时，2221122a a λλλ--==，则211a a λλ=+=+， 所以1n n a a λ+=+（*n ∈N ），所以数列{}n a 是首项为1，公差为λ的等差数列，所以1(1)1n a n n λλλ=+-=+-． …… 4分 （2）① 由（1）知2(2)2n n nS λλ+-=，所以22(2)(2)12()12(1)21n n nn nSn n n b n a n n n λλλλλλλλλλ+-+-====++-+-+-，…… 6分则21111(1)(22)2(1)021(1)12(1)((1)1)n n n n n n n b b n n n n ++-+-+-=+-=⋅>+-++-+λλλλλλ，所以1n n b b +<得证． …… 8分 ② 1111111()()n n n k n n k nc c S S S S ++----=+-+ 111111()()n n k n k nS S S S +---=-+- 111n k nn n k n k n a a S S S S +-+----=+⋅⋅ 11111k n n k n k n n n a a S S S S -+---+=⋅-⋅111111k n k n n n S b S b ---+=⋅-⋅， …… 12分 因为22k n +≥，所以1n k n +<-，1n k n <--． 由0n a >，所以10n k n S S --<<，所以1110k n nS S --<<， 又因为10n k n b b +-<<，所以1110k n n b b -+<<，所以10n n c c +-<，所以1n n c c +>得证． …… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90° ……………………2分 则6EB x =-，CE ……………………………4分 由射影定理得2CE AE EB = ……………………………6分 即有(6)5x x -=解得1x =（舍）或5x = ………………………………8分 所以 25630AC AE AB ==⨯=，AC ……………………………………………10分21-B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． …… 5分则12221444x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，所以22,44,x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 所以x ，y 的值分别为0，1． …… 10分21-C ．由3cos 1,3sin 3,x y αα=+⎧⎨=+⎩得13cos ,33sin ,x y αα-=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)(3)9x y -+-=． ………………………………4分 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………… …………………………6分 圆心C 到l的距离是d ==，所以直线l 被曲线C截得的线段长为 ……………………………10分21-D ．因为22262a b c -=+ ………………………………………………………………2分2221(2)(1)32b c =++2222()(3)33b c a +=-≥，………………………6分 即25120a a -≤，所以 1205a ≤≤．……………………………………………10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ．因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， …… 2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅所以直线1DB 与平面11A C D…… 5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --． …… 10分 23． (1)由(1)2(2)4(3)8f f f ===，，，得18+42327937a b c a b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，，解得15066a b c ===，，．3分(2)用数学归纳法证明315()1N*66f n n n n =++∈，．①当1n =时，显然成立． ……………………………………………4分 ②假设当n k =时成立，即315()166f k k k =++，那么当+1n k =时，在k 个平面的基础上再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得到k 条互不平行且不共点的交线，且其中任 何3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划分成211122k k ++个部分． 每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了 211122k k ++个，所以(1)()f k f k +=+211122k k ++……………………………………………7分315166k k =+++211122k k ++ 315(1)(1)166k k =++++， 即+1n k =时，结论成立． ……………………………………………9分根据①②可知，315()1N*66f n n n n =++∈，．…………………………………10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷9理201902270177
(1) n 1 n （2）求证： ． C2017 n 2017 n 0 2017 n
1008
2018 年高考模拟试卷（9）参考答案 数学Ⅰ 一、填空题： 1． 【答案】4
-6-
【解析】因为 A∩B ={4}，所以 4∈A，故 x＝4． 2． 【答案】2+i － － 【解析由 z1· z2 ＝5，得 z2 ＝ 3． 【答案】50 【解析】三等品总数 n [1 (0, 05 0.0375 0.0625) 5] 200 50 ． 4． 【答案】30 【解析】 A 3 ， N 1 ，输出 3； A 6 ， N 2 ，输出 6； A 30 ， N 3 ，输出 30； 则这列数中的第 3 个数是 30． 5． 【答案】
8 24 ) ，且 f ( ) ， f ( ) ，求 f ( ) 的值． 2 5 13
16． （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥 P ABCD 中， BAD 90 ， AD ∥ BC ， AD 2 BC ， AB PA ． （1）求证：平面 PAD 平面 ABCD ； E P
1 5
5 ＝2－i，所以 z1＝2+i． 2 + i
【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19） （2.53，3.21） （2.53，0.73） （2.53，2.33） （1.19，3.21） （1.19，0.73） （1.19，2.33） （3.21，0.73） （3.21，2.33） （0.73，2.33） ， 共 10 种可能，其中金额不低于 5 元的事件有（2.53，3.21） （3.21，2.33） ，共 2 种可能，所 以不低于 5 元的概率 P 6． 【答案】 , 2 【解析】因为 3 2 x x 2 ( x 1) 2 4 0, 4 ，所以 log 2 (3 2 x x 2 ) , 2 ，即值域为
2018高考南通数学学科基地密卷(4)
专业资料WORD 完美格式 下载可编辑2018年高考模拟试卷（4）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ．6．函数()f x =的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设P D A B A C λμ=+，则λμ+= ▲ ．11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的 最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ≤-在(],2-∞-上恒成立，高三数学试卷 第 2 页 共 14 页则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =． （1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右O A B C D E F专业资料WORD 完美格式 下载可编辑（第18题）焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间； （2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围； （3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在 无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）高三数学试卷 第 4 页 共 14 页数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． 若DA = DC ， 求证：AB = 2BC ．B ．[选修42：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量． （1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修45：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．专业资料WORD 完美格式 下载可编辑【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位 置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值； （2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．高三数学试卷 第 6 页 共 14 页2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 55【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ++++===--+． 2．8【解析】由条件得{1,0,2}A B =-，所以A B 的子集有8个．3．10【解析】由题意可知133310S =+++=．4．150【解析】设第一个小矩形面积为x ，由61x =，得16x =，从而样本容量为256150⨯=．5．221x y -=【解析】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，所以a b =，又因为一个焦点为，所以c =1a b ==，所以双曲线C 的方程为221x y -=6．(,2]-∞-【解析】由已知得，1()402x -≥，所以2x ≤-7．4【解析】由图知函数的周期为()115224242πππ-⨯=，所以242ωπ==π．8．35【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有20种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为123205=．9．14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=，所以1214V V =．10．23【解析】因为23BC BA BP +=，所以2()BC BP BP BA -=-，即2P C A P =，所以13AP AC =，所以11()33AD AP PD AC AB AC AB AC λμλμ=+=++=++，又点D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以111,232λμ=+=，所以23λμ+=．11．3049 【解析】1132n n n a a -+-=⋅，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1322n -=⋅-，所以1013049i i a ==∑．12．83【解析】因为a b ∈R ，，a b >，22240a ab b ---=，所以()(2)4a b a b -+=．专业资料WORD 完美格式 下载可编辑令a b t -=，42a b t +=，0t >， 则()()142233a t b t t t =+=-，，所以41482()333a b t t -=+⋅≥，当且仅当1t =时取等号．所以2a b -的最小值为83．13．因为动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4，所以224r b =+，设00(,)P x y ，由已知条件得，2222009b r x y +=++，所以22005x y +=，即点P 在圆225x y +=，所以点P 到直线2100x y +-==14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()33()sin cos f k k θθ=--，题意即为()0f k ≥在(],2-∞-上恒成立，即min ()0f k ≥．由于[)0,2θπ∈，sin 0θ≥且cos 0θ≥，则0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当4πθ=时，()00f k =≥恒成立，符合；当(,]42ππθ∈时，33sin cos 0θθ->，所以()f k 在(],2-∞-上单调递增，不符合；当[0,)4πθ=时，33sin cos 0θθ-<，所以()f k 在(],2-∞-上单调递减，此时()33min ()(2)2sin cos 0f k f θθ=-=---≥，即332sin 2cos θθ令3()2f x x =（0x ≥），不等式即为(sin )(cos )f f θθ≤，由于1221()602f x x x -'=+≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，而当[0,)4πθ=时，sin cos θθ<，所以(sin )(cos )f f θθ≤恒成立．综上所述，θ的取值范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．解：（1）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅= …… 2分ππsin cos cos sin 2323x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，且//m n ，高三数学试卷 第 8 页 共 14 页11sin02222x x ∴-⨯=， …… 8分sin x ∴=(0,)2x π∈，cosx ∴== …… 10分 sin 22sin cos26x x x ∴=⋅==， …… 12分 225cos212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 22266f x x x ∴==⨯+=． …… 14分 16．证明：（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD . ……… 6分（2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分 又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分 因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分 又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ，12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥，EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分 （1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,)2πθ∈． ………8分（2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ+∈， ………10分专业资料WORD 完美格式 下载可编辑222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t =，即4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12 ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，， 所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，…… 2分解得21a b c ===，， 所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，． 若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分 解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分 直线)2(2:00--=x x y y l ， 由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分高三数学试卷 第 10 页 共 14 页所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--，所以)2)(1(2002--=x x y ②， …… 12分 由①②可得04241102=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ， 所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以002l y k x ==-l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分 （2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分 当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，12a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+， 函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增．因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分 记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，，2(e 1)()e x xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立，专业资料所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数，又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分 20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分 所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*）， 特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++， 整理得211131()10222d n a d n a ++----≥，因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-，又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分 于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+， 所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nSS +≤，所以1312112×2n n n n S SS S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=，又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥， 又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<， 所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=， 即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<，于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分专业资料直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为6， (8)分直线l 被曲线C 所截得的弦长为5=． ………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成） D ．证明：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分 （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分（2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分 （3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n kn n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n kn n k n k n C P n k nP --==+-+∑(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。
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（第3题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（9）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ． 6． 函数的值域为 ▲ ．7． 已知PABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线的左、右顶点为A 、B ，焦点在轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且离心率为，过A作斜率为的直线交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若，则的值为 ▲ ． 9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )，若，则的值为 ▲ ． 10．已知是首项为1，公比为2的等比数列，数列满足，且（），若，则的值为 ▲ ．11．定义在上的函数的值恒非负，则的最大值为 ▲ ．12．在△中，若，则的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，圆：，直线，过直线上一点作圆O 的切线，切点为，且，则正实数的取值范围是 ▲ ．14．已知偶函数满足，且在时，，若存在满足，且，则最小值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）已知函数的最小值是－2，其图象经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求证：平面．17．（本小题满分14分）有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和)18．（本小题满分16分）如图，点，，分别为椭圆的左、右顶点和右焦点，过点的直线（异于轴）交椭圆于点，．（1）若，点与椭圆左准线的距离为，求椭圆的方程；（2）已知直线的斜率是直线斜率的倍．①求椭圆的离心率；②若椭圆的焦距为，求△AMN面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数．（1）若曲线在处的切线过点．① 求实数的值；② 设函数，当时，试比较与的大小；（2）若函数有两个极值点，（），求证：．20．（本小题满分16分）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列．（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列．① 若，求数列的通项公式；② 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，连接AD交⊙O于E，若BD∥CE，AB交CE于M，求证：B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点在变换:作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点．若点的坐标为，求点的坐标．C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴DA（第21-A）正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为为参数），若直线与圆C恒有公共点，求实数的取值范围．D．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数满足，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．已知直三棱柱中，为等边三角形，延长至，使，连接，若．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：；（2）求证：．2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ．3．【答案】50【解析】三等品总数． 4．【答案】30【解析】，，输出3；，，输出6；，，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率． 6．【答案】【解析】因为，所以，即值域为． 7．【答案】【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3， 所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×3＝.8．【答案】【解析】对于椭圆，显然，所以椭圆方程为，设，则由得．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以，，解得，，故直线的斜率． 9．【答案】解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为，所以，所以。
解析二：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ，因为，所以sin 2α＋cos 2α＝23， 所以。
10．【答案】10【解析】因为是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 所以，因为， 所以，所以，即． 11．【答案】【解析】由题可知恒成立，即恒成立，令， 所以，所以在上是减函数，所以， 即的最大值为． 12．【答案】【解析】设，所以 所以 即 所以 所以． 13．【答案】 【解析】设，则，所以，解得，即点Q 在圆上．又点Q 在直线上，所以圆心O 到直线l 的距离，所以正实数．14．【答案】1009 解析：因为偶函数满足，所以， 所以函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，所以函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i ，x j （i ，j =1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）－f （x j ）|≤f (x )max －f (x )min ＝4，要使x n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，m ）取得最高点，且f (0)＝1，f (1)＝0，f (2)＝－3，因为，且， 根据，相应的x n 最小值为1009． 二、解答题：15．【解】（1）因为的最小值是－2，所以A ＝2． …… 2分又由的图象经过点，可得，， …… 4分 所以或，又，所以，故，即．…… 6分（2）由（1）知，又，，故，即，…… 8分又因为，所以，…… 10分所以…… 12分．…… 14分16．【证】（1）在四棱锥中，因为，所以．又，且，，所以平面PAD．…… 4分又平面，所以平面平面．…… 7分（2）取AP的中点F，连EF，BF．在△PAD中，EF∥AD，且，又，，所以EF∥BC，且，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF．…… 11分因为平面PAB，平面PAB，所以平面．…… 14分17.【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则．（1）小路的长度为，因为长为定值，故只需要最小即可．作于，记，则，又，故，此时点为中点．故小路的最短长度为(百米)．……………4分（2）显然，当广场所在的圆与△内切时，面积最大，设△的内切圆的半径为，则△的面积为，……………6分由弦长公式可得，所以，………8分设，则，所以，…………………………………10分又因为，即，所以，……………12分所以，所以，即△的内切圆的面积最大值为．………………………………………14分18．【解】（1），点与椭圆左准线的距离为5，…… 2分解得椭圆的方程为．…… 4分（2）①法一：显然，，，设，，则点在椭圆上，，，…… 6分设直线，与椭圆联立方程组消去得：，其两根为，，…… 8分，将代入上式化简得：…… 10分又由得：，，即，解得或，又，，即椭圆的离心率为．…… 12分法二：显然，，，，设直线的方程为，直线的方程为，由得，注意到其一根为，另一根为，，即．…… 6分同理由得．…… 8分由，，三点共线得：，，…… 10分化简得：，，，即椭圆的离心率为．…… 12分②由①，又椭圆C的焦距为2，，，，由①方法一得面积…… 14分令，则， ，在为减函数，，即时，，即面积的最大值为． …… 16分19．【解】（1）①因为，所以， 由曲线在处的切点为，所以在处的切线方程为．因为切线过点，所以． …… 4分 ②，由． …… 6分 设（），所以，所以在为减函数．因为，所以当时，有，则；当时，有，则；当时，有，则． …… 10分 （2）由题意，有两个不等实根，（）． 设，则（），当时，，所以在上是增函数，不符合题意； 当时，由，得， 列表如下： 由题意， ，解得，所以，因为，所以． …… 13分 因为，所以， 所以（）． 令（），因为，所以在上为减函数， 所以，即，所以，命题得证． …… 16分↗极大值↘20．【解】（1）若，则，所以，而，所以对任意的均成立，即数列是“好”数列；…… 2分若，取，则，，此时，即数列不是“好”数列．…… 4分（2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立．当，有，两式相减，得（），即（），所以（），所以，即，即（），当时，有，即，所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列．…… 8分设数列的公差为，①若，则，即，因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以，，所以．…… 12分②若，则，由成等比数列，得，所以，即化简得，，即．…… 14分因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设，由于是任意给定正整数，所以． …… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21A. 【解】连接CB因为AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线， 所以因为BD ∥CE ，所以因为AB 交CE 于M ，所以M 为CE 的中点， 所以AC=AE ，……………………5分因为BD 是⊙O 的切线，所以∠ABD=90° 因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB=90° 所以∠ACB=∠ABD 因为，所以△ACB ∽△ABD 所以，所以即……………………10分21B. 【解】． …… 4分设，则由，得． …… 8分所以即． …… 10分 21C ．【解】由为参数），可得直线的普通方程为：4x ﹣3y+5=0，由得所以，圆C 的标准方程为， 若直线与圆C 恒有公共点， 所以，所以，实数的取值范围或． ………10分21D ．【解】由于， 所以当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为27. …… 10分22.解：以的中点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，DA（1）设，所以，，，，若，则，所以，，所以，，设面的法向量为，所以，又因为，，，即所以，，又因为，设直线与平面所成角为，所以，，所以，直线与平面所成角的正弦值为。