高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题
((完整版))高中数学选修2-2知识点总结(最全版)(2),推荐文档
16.类比推理的定义: 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或 相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
18.演绎推理的定义: 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19.演绎推理的主要形式:三段论
20.“三段论”可以表示为:①大前题:M 是 P②小前提:S 是 M ③结论:S 是 P。 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;
和差的导数运算
f (x) g(x)' f ' (x) g' (x)
积的导数运算
商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理 和差的积分运算 积分的区间可加性
f (x) g(x)' f ' (x)g(x) f (x)g' (x)
特别地: Cf x ' Cf 'x
f (x) '
g
(
果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根 处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f (x) 在 a,b上的极值;
⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 [注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
y
f (x) 在 x
x0
处的瞬时变化率是
lim
高中数学选修2-2第一章知识点及测试题
高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数(或瞬时变化率) x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数): xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义:函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率,即k =f '(x 0).4. 导数的运算:(1)几种常见函数的导数:①(C )′=0(C 为常数); ②(x α)′=1x αα-(x >0,Q α∈); ③(sin x )′=cos x ; ④(cos x )′=-sin x ; ⑤(e x )′=e x ; ⑥(a x )′=a x ln a (a >0,且a ≠1); ⑦xx 1)(ln =; ⑧1(log )ln a x x a =(a >0,且a ≠1).(2)导数的运算法则:①[u (x )±v (x )]′=u ′(x )±v ′(x ); ②[u (x )v (x )]′=u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x ); ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'=',函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '=',则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数,且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。
新版【部编人教版】高中数学选修2-2知识点、考点
数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点:一.导数概念的引入1. 导数的物理意义:瞬时速率。
一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =', 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。
容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ,即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点:无 知识点:二.导数的计算1)基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=; 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2)导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3)复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点:导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-,则()'0f =★2、若()sin x f x e x =,则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ,4)1(=-'f ,则a=( )319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.90°★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直,则0x =三.导数在研究函数中的应用知识点:1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(,)a b 内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值;(2) 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点:1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3,则P 点为( ) A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)C.(2,8)D.(-21,-81)★2.曲线53123+-=x x y ,过其上横坐标为1的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( ) A.6π B.4π C.3π D.π43二、题型二:导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2.关于函数762)(23+-=x x x f ,下列说法不正确的是( ) A .在区间(∞-,0)内,)(x f 为增函数 B .在区间(0,2)内,)(x f 为减函数C .在区间(2,∞+)内,)(x f 为增函数D .在区间(∞-,0)),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3.(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x()f x 的导函数),下面四个图象中()y f x =的图象大致是( )★★★4、(2010年山东21)(本小题满分12分)已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= (Ⅰ)当处的切线方程;在点时,求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=(Ⅱ)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性. 三、导数在最值、极值中的运用:★1.(05全国卷Ⅰ)函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( ) A .2B. 3C. 4D.5★2.函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.(根据04年天津卷文21改编)已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数,当1=x 时)(x f 取得极值-2.(1)试求a 、c 、d 的值;(2)求)(x f 的单调区间和极大值;★★★4.(根据山东2008年文21改编)设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-,已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
(完整版)高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1.函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1:其中x ∆是自变量的改变量,平均变化率 可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导(可积),则有:f x,().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如检查/()果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值;⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )=f (x ))在积分区间[a ,b ]上的改变量F (b )-F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下:如果物体运动的速度函数为v =v (t ),那么在时间区间[a ,b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s =v (t )d t .另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s =s (t ),那么在时间区间[a ,b ]内物体的位移为s (b )-s (a ),所以有v (t )d t =s (b )-s (a ).由于s ′(t )=v (t ),即s (t )为v (t )的原函数,这就是说,定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ,b ]上的增量s (b )-s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系: (1)若f (x )=c (c 为常数),则F (x )=cx ; (2)若f (x )=x n (n ≠-1),则F (x )=1n +1·x n +1;(3)若f (x )=1x ,则F (x )=ln x (x >0);(4)若f (x )=e x ,则F (x )=e x ;(5)若f (x )=a x,则F (x )=a xln a(a >0且a ≠1);(6)若f (x )=sin x ,则F (x )=-cos x ; (7)若f (x )=cos x ,则F (x )=sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么f (x )d x =F (b )-F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一?(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么? 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差;②用求导公式找到F (x ),使得F ′(x )=f (x ); ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ;(2)(2x +3)d x ; (3) (4x -x 2)d x ;(4)(x -1)5d x . 解 (1)因为(3x )′=3,所以3d x =(3x )⎪⎪⎪21=3×2-3×1=3. (2)因为(x 2+3x )′=2x +3, 所以(2x +3)d x =(x 2+3x )⎪⎪⎪2=22+3×2-(02+3×0)=10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2-x33′=4x -x 2, 所以(4x -x 2)d x =⎝⎛⎭⎫2x 2-x 33⎪⎪⎪3-1=⎝⎛⎭⎫2×32-333-⎣⎡⎦⎤2×(-1)2-(-1)33=203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x -1)6′=(x -1)5, 所以 (x -1)5d x =16(x -1)6⎪⎪⎪21=16(2-1)6-16(1-1)6=16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤: ①求f (x )的一个原函数F (x ); ②计算F (b )-F (a ). (2)注意事项:①有时需先化简,再求积分;②若F (x )是f (x )的原函数,则F (x )+C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化,f (x )有无穷多个原函数,这是因为F ′(x )=f (x ),则[F (x )+C ]′=F ′(x )=f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x=[F (x )+C ]|b a =[F (b )+C ]-[F (a )+C ]=F (b )-F (a )=F (x )|b a ,所以利用f (x )的原函数计算定积分时,一般只写一个最简单的原函数,不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分: (1)⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x ;(2)x (1+x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x =⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2+2+1x 2d x =⎠⎛12x 2d x +⎠⎛122d x +⎠⎛121x2d x =13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21=13×(23-13)+2×(2-1)-⎝⎛⎭⎫12-1 =296. (2)⎠⎛49x (1+x )d x=⎠⎛49(x +x )d x=⎝⎛⎭⎫23x x +12x 2⎪⎪⎪94=⎝⎛⎭⎫23×9×3+12×92-⎝⎛⎭⎫23×4×2+12×42 =2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ∈[0,1),x 2,x ∈[1,2),2x ,x ∈[2,3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知:⎠⎛03f (x )d x =⎠⎛01f (x )d x +⎠⎛12f (x )d x +⎠⎛23f (x )d x =⎠⎛01x 3d x +⎠⎛12x 2d x +⎠⎛232x d x=x 44⎪⎪⎪10+x 33⎪⎪⎪21+2x ln 2⎪⎪⎪32=14+83-13+8ln 2-4ln 2 =3112+4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ,b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式,即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分: (1)⎠⎛02|x 2-1|d x ;(2) ⎠⎜⎛0π21-sin 2x d x .解 (1)∵y =|x 2-1|=⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2,0≤x <1,x 2-1,1≤x ≤2,∴⎠⎛02|x 2-1|d x =⎠⎛01(1-x 2)d x +⎠⎛12(x 2-1)d x=⎝⎛⎭⎫x -x 33⎪⎪⎪10+⎝⎛⎭⎫x 33-x ⎪⎪⎪21=⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫83-2-⎝⎛⎭⎫13-1 =2.(2) ⎠⎜⎛0π21-sin 2x d x=⎠⎜⎛0π2|sin x -cos x |d x=⎠⎜⎛0π4 (cos x -sin x )d x +⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x -cos x )d x =(sin x +cos x )⎪⎪⎪π4+(-cos x -sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4=⎝⎛⎭⎫22+22-1+(-1)-⎝⎛⎭⎫-22-22 =22-2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )=⎠⎛01 (2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3-12a 2x 2′=2ax 2-a 2x ,∴⎠⎛01 (2ax 2-a 2x )d x =⎝⎛⎭⎫23ax 3-12a 2x 2⎪⎪⎪10 =23a -12a 2, 即f (a )=23a -12a 2=-12⎝⎛⎭⎫a 2-43a +49+29 =-12⎝⎛⎭⎫a -232+29, ∴当a =23时,f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,⎠⎛01f (x )d x =-2,求a 、b 、c 的值.解 由f (-1)=2,得a -b +c =2.① 又f ′(x )=2ax +b ,∴f ′(0)=b =0,② 而⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01 (ax 2+bx +c )d x=⎝⎛⎭⎫13ax 3+12bx 2+cx ⎪⎪⎪10 =13a +12b +c , ∴13a +12b +c =-2,③ 由①②③式得a =6,b =0,c =-4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x +sin x d x 等于( )A.2(2-1)B.2+1C.2-1D.2-2答案 C解析 结合微积分基本定理,得⎠⎜⎛0π4cos 2x -sin 2xcos x +sin x d x =⎠⎜⎛0π4 (cos x -sin x )d x =(sin x +cos x )⎪⎪⎪π40=2-1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x +1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x =12x 2⎪⎪⎪ 10=12,⎠⎛01(x +1)d x =⎝⎛⎭⎫12x 2+x ⎪⎪⎪ 10=12+1=32,⎠⎛011d x =x ⎪⎪⎪10=1,⎠⎛0112d x=12x ⎪⎪⎪10=12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2-23x d x = . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2-23x d x =⎠⎛02x 2d x -⎠⎛0223x d x =x 33⎪⎪⎪20-x 23⎪⎪⎪20=83-43=43. 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,0≤x <1,3-x ,1≤x ≤2,则⎠⎛02f (x )d x = .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x =⎠⎛01(x 2+1)d x +⎠⎛12(3-x )d x=⎝⎛⎭⎫x 33+x ⎪⎪⎪10+⎝⎛⎭⎫3x -x 22⎪⎪⎪21=176.5.已知函数f (x )为偶函数,且⎠⎛06f (x )d x =8,则⎠⎛-66 f (x )d x = .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数, 且⎠⎛06f (x )d x =8,所以⎠⎛-66f (x )d x =2⎠⎛06f (x )d x =16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数,要先化简,再求积分.(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和,而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y =⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.-sin xC.cos x -1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′=cos x ,⎠⎛0x cos x d x =sin x ⎪⎪⎪x0=sin x ,故选A. 2.若F ′(x )=x 2,则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )=13x 3B.F (x )=x 3C.F (x )=13x 3+1D.F (x )=13x 3+c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )=x 3,则F ′(x )=3x 2,这与F ′(x )=x 2不一致,故选B. 3. ⎠⎛-40|x +2|d x 等于( )A. ⎠⎛-40 (x +2)d xB. ⎠⎛-40 (-x -2)d xC.⎠⎛-4-2(x +2)d x +⎠⎛-202(-x -2)d xD.⎠⎛-4-2(-x -2)d x +⎠⎛-20 (x +2)d x答案 D解析 ∵|x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,-2≤x ≤0,-x -2,-4≤x <-2,∴⎠⎛-40|x +2|d x =⎠⎛-4-2(-x -2)d x +⎠⎛-20 (x +2)d x .故选D.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,-1≤x ≤0,1,0<x ≤1,则⎠⎛1-1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.-23 答案 B解析 ⎠⎛-11f (x )d x =⎠⎛-1x 2d x +⎠⎛011d x =⎪⎪x 330-1+x |10=13+1=43,故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2-1 C.2 D.π-24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x =⎠⎜⎛0π21-cos x 2d x =⎪⎪12(x -sin x )π20=π-24,故选D. 6.若S 1=⎠⎛12x 2d x ,S 2=⎠⎛121x d x ,S 3=⎠⎛12e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D. S 3<S 2<S 1答案 B 解析 S 1=⎠⎛12x 2d x =13x 3⎪⎪21=73,S 2=⎪⎪⎪⎠⎛121x d x =ln x 21=ln 2<1,S 3=⎠⎛12e x d x =e x ⎪⎪⎪21=e 2-e =e(e -1)>73,所以S 2<S 1<S 3,选B.二、填空题7.⎠⎛-11 (1-x 2+x )d x = .答案 π2解析 ⎠⎛-11 (1-x 2+x )d x =⎠⎛-111-x 2d x +⎠⎛-11x d x ,根据定积分的几何意义可知⎠⎛-111-x 2d x 等于半径为1的半圆的面积, 即⎠⎛-111-x 2d x =π2,⎠⎛-11x d x =12x 2|1-1=0,∴⎠⎛-11 (1-x 2+x )d x =π2.8.若⎠⎛0T x 2d x =9,则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x = 13x 3⎪⎪⎪t 0=13T 3=9,即T 3=27,解得T =3. 9.设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),⎠⎛01f (x )d x =f (x 0),0≤x 0≤1,则x 0= .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x =f (x 0),得⎠⎛1(ax 2+c )d x =⎝⎛⎭⎫13ax 3+cx ⎪⎪⎪10=13a +c =ax 20+c ,∴a 3=ax 20,∵a ≠0,∴x 20=13,又0≤x 0≤1,∴x 0=33.故填33. 10.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x >0,x +⎠⎛0a 3t 2d t ,x ≤0.若f [f (1)]=1,则a = .答案 1解析 因为x =1>0,所以f (1)=lg 1=0.又x ≤0时,f (x )=x +⎠⎛0a 3t 2d t =x +t 3⎪⎪⎪a=x +a 3,所以f (0)=a 3.因为f [f (1)]=1,所以a 3=1,解得a =1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数,且⎠⎛01f (x )d x =5,⎠⎛01xf (x )d x =176,求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数,设f (x )=ax +b (a ≠0),则 ⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(ax +b )d x =⎠⎛01ax d x +⎠⎛01b d x =12a +b =5, ⎠⎛01xf (x )d x =⎠⎛01x (ax +b )d x =⎠⎛01(ax 2)d x +⎠⎛01bx d x =13a +12b =176. 由⎩⎨⎧12a +b =5,13a +12b =176,得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =3.即f (x )=4x +3. 12.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ∈[0,1],x ,x ∈(1,2],2x ,x ∈(2,3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质,知:⎠⎛03f (x )d x =⎠⎛01f (x )d x +⎠⎛12f (x )d x +⎠⎛23f (x )d x=⎠⎛01x 3d x +⎠⎛12x d x +⎠⎛232x d x=x 44⎪⎪⎪⎪10+23x 3221⎪⎪+2x ln 232 =14+432-23+8ln 2-4ln 2 =-512+432+4ln 2.13.求定积分⎠⎛-43|x +a |d x .解 (1)当-a ≤-4即a ≥4时,原式=⎠⎛-43(x +a )d x =⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22+ax 3-4=7a -72. (2)当-4<-a <3即-3<a <4时, 原式=⎠⎛-4-a [-(x +a )]d x +⎠⎛-a3 (x +a )d x=⎝⎛⎭⎫-x 22-ax ⎪⎪-a-4+⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22+ax 3-a =a 22-4a +8+⎝⎛⎭⎫a 22+3a +92 =a 2-a +252.(3)当-a ≥3即a ≤-3时,原式=⎠⎛-43[-(x +a )]d x =⎝⎛⎭⎫-x 22-ax ⎪⎪⎪3-4=-7a +72. 综上,得⎠⎛-43|x +a |d x =⎩⎪⎨⎪⎧7a -72(a ≥4),a 2-a +252(-3<a <4),-7a +72(a ≤-3).。
高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题
高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数,一般用字母 an 表示第n 个数。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置 n,直接求出该位置上的数 an 的公式。
通项公式可以是一个数学式子,也可以是一个算法。
3. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值,推导出数列下一项的公式。
递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。
4. 常见数列的通项公式和递推公式- 等差数列:an = a1 + (n-1)d (通项公式),an = an-1 + d (递推公式)- 等比数列:an = a1 * q^(n-1) (通项公式),an = an-1 * q (递推公式)- 斐波那契数列:an = an-1 + an-2 (递推公式)二、2-3数列的求和、数列的性质及应用1. 数列的求和- 等差数列的前 n 项和:Sn = (a1 + an) * n / 2- 等比数列的前 n 项和(q ≠ 1):Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和:Sn = Fn+2 - 12. 数列的性质- 常数列:数列中的每一项都是一个常数。
- 奇数列:数列中的每一项都是奇数。
- 偶数列:数列中的每一项都是偶数。
- 单调递增数列:数列中的每一项都比前一项大。
- 单调递减数列:数列中的每一项都比前一项小。
- 正项数列:数列中的每一项都是正数。
- 负项数列:数列中的每一项都是负数。
3. 数列的应用- 利用数列的递推关系,求解实际问题中的特定数值。
- 利用数列的性质,进行数学推理和证明。
- 利用数列的规律,设计算法解决问题。
典型例题:1. 已知等差数列的前三项分别为 1,5,9,求数列的通项公式和第 n 项的值。
解:设数列的首项为 a,公差为 d,则有以下等差数列的递推公式:a2 = a1 + d = 1 + da3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d将 a1,a2,a3 分别代入等差数列的通项公式,可得:a1 = a = 1a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3第 n 项的值为:an = 4n - 32. 求等差数列 3,6,9,...,101 的前 n 项和。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1.函数的平均变化率为yx fxf(x)f(x)f(x1x)f(x1)21x2x1x注1:其中x是自变量的改变量,平均变化率可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
y f(x x)lim lim2、导函数的概念:函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是xxx0x0f(x),'x 则称函数y f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做y f(x)在x0处的导数,记作f(0)或'y|,即()f= x x'x00y f(x x)f(x)00 lim limx x x0x0.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;5、常见的函数导数函数导函数(1) y c y'0(2) ny x*n N'1ny nx(3) x xy a a0,a1'lny a a(4) x xy e y'e(5) y log a x a0,a1,x0y'1 xln a(6) y ln x y'1 x(7) y sin x y'cos x(8) y cos x y'sin x6、常见的导数和定积分运算公式:若f x,g x均可导(可积),则有:和差的导数运算'''f(x)g(x)f(x)g(x)'''f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数运算特别地:Cf x'Cf'x'''f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)2g(x)g(x)(g(x)0)商的导数运算特别地:1g'(x)'2g x g x复合函数的导数y y ux u x微积分基本定理baf x dx F(a)--F(b) (其中F'x f x)和差的积分运算b b ba[f(x)f(x)]dx a f(x)dx a f(x)dx 1212特别地:b bkf(x)dx k f(x)dx(k为常数)a ab c b积分的区间可加性f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中a c b)a a c.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式,得x 的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
高中数学选修2-2-2-3知识点、考点、典型例题-推荐下载
6 若 f (x) ex ,则 f (x) ex
7
若
f
(
x)
log
x a
,则
f (x)
1 x ln a
如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x) 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 y f (x) 的极值的方法是:
(1) 如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ,右侧 f (x) 0 ,那么 f (x0 ) 是极大值;
3)复合函数求导
y f (u) 和 u g(x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y f (g(x)) 为一个复合函数
y f (g(x)) g(x)
考点:导数的求导及运算
★1、已知 f x x2 2x sin ,则 f ' 0
★2、若 f x ex sin x ,则 f ' x
的斜率 k,即 k
lim x0
f (xn ) f (x0 ) xn x0
f (x0 )
3. 导函数:当 x 变化时, f (x) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f (x) 的导函数. y f (x) 的导函数有时也记作
y ,即 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
考点:无
即
f
(
x0
)
=
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P Pn 的斜率是 kn
f
(xn ) xn
f (x0 x0
)
,当点
高中数学选修2_2知识点总结(最全版)
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一、三角函数基本知识
1. 弧度制和角度制的相互转换
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的定义与性质
3. 周期、对称性及图像变换
4. 函数值、解析式和定义域、值域
5. 三角函数间的基本关系
6. 弦割定理和余弦正弦定理
二、三角函数的图像及其相关式子
1. 函数y=sin(x)
三、三角函数的诱导公式
1. 诱导公式的基本概念
2. 诱导公式的归纳证明
3. 应用:求三角函数值
1. 三角函数和差化积公式
3. 正弦和余弦的二倍角公式
6. 万能公式:将任意一个三角函数表达为tan(x/2)的形式
1. 三角函数在一定区间内的值域和零点
2. 基本方程的分类及其解法
3. 一次三角方程及其解法
3. 三角函数的附加恒等式
4. 三角函数的化简或证明
1. 直角三角形的三角函数关系及其应用
2. 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的周长和面积的计算
4. 海伦公式及其应用
五、导数与微分的基本概念
1. 函数的概念及其分类
2. 极限的概念及其基本性质
4. 可导函数的判定方法
5. 常用函数的导数公式
6. 导数与函数图象的关系
六、函数的单调性、最值和曲线的几何特征
1. 函数的单调性和最值
2. 曲线的拐点和点的分类
3. 曲线的凸凹性及其判定方法
4. 图象和函数的简图
七、导数的应用
3. 曲线的渐近线
4. 物理学中的应用:单位变化法
八、反三角函数
3. 反三角函数的图像及其性质。
「精品」高中数学选修2-2知识点复习
高中数学选修2-2第一章 导数及其应用一、基础知识【理解去记】1.极限定义:(1)若数列{u n }满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m ,当n>m 且n ∈N 时,恒有|u n -A|<ε成立(A 为常数),则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限,记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→,另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ,称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2.极限的四则运算:如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ,那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)•g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续:如果函数f(x)在x=x 0处有定义,且0lim x x →f(x)存在,并且0lim x x →f(x)=f(x 0),则称f(x)在x=x 0处连续。
4.最大值最小值定理:如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5.导数:若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时(Δx 充分小),因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在,则称f(x)在x 0处可导,此极限值称为f(x)在点x 0处的导数(或变化率),记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ,即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
若f(x)在区间I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。
最新高中数学选修2-2-2-3知识点、考点、典型例题
精品文档高中数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点:一.导数概念的引入1. 导数的物理意义:瞬时速率。
一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =', 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。
容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ,即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆知识点:二.导数的计算1)基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=; 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()xf x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2)导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙精品文档3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'= 3)复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙考点:导数的求导及运算 ★1、已知()22sin f x x x π=+-,则()'0f =★2、若()sin x f x e x =,则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ,4)1(=-'f ,则a=( )319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直,则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点:1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(,)a b 内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值;(2) 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的最大值,最小的是最小值.精品文档四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点:1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3,则P 点为( ) A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)C.(2,8)D.(-21,-81)★2.曲线53123+-=x x y ,过其上横坐标为1的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( ) A.6π B.4π C.3π D.π43二、题型二:导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2.关于函数762)(23+-=x x x f ,下列说法不正确的是( ) A .在区间(∞-,0)内,)(x f 为增函数 B .在区间(0,2)内,)(x f 为减函数C .在区间(2,∞+)内,)(x f 为增函数D .在区间(∞-,0)),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3.(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数),下面四个图象中()y f x =的图象大致是( )精品文档★★★4、(2010年山东21)(本小题满分12分)已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= (Ⅰ)当处的切线方程;在点时,求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=(Ⅱ)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性. 三、导数在最值、极值中的运用:★1.(05全国卷Ⅰ)函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( ) A .2 B. 3 C. 4D.5★2.函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.(根据04年天津卷文21改编)已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数,当1=x 时)(x f 取得极值-2.(1)试求a 、c 、d 的值;(2)求)(x f 的单调区间和极大值;★★★4.(根据山东2008年文21改编)设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-,已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)53582教学内容
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1.函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1:其中x ∆是自变量的改变量,平均变化率 可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或|'x x y =,即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有:.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式,得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式,得x 的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值;⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
高中数学 选修2-2 知识讲解_函数的极值与最值_基础
导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】 知识点一:函数的极值(一)函数的极值的定义:一般地,设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义,(1)若对于0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作)(0x f y =极大值;(2)若对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值,记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值. 要点诠释:由函数的极值定义可知:(1)在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义,否则无从比较. (2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念;在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.(二)用导数求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f ';③求方程0)(='x f 的根;④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释:①可导函数的极值点一定是导函数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3,在x=0处,'(0)0f =,但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=,且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
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高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一.导数概念1.导数的定义:函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆,称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =',即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。
导数的物理意义:瞬时速率。
2.导数的几何意义:通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时,割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ,我们说直线PT 与曲线相切。
割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ,即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1)基本初等函数的导数公式:1.若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=; 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()xf x a =, 则()ln x f x a a '= 6. 若()x f x e =,则()x f x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2)导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'=3)复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(,)a b 内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增;如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增,则()0f x '≥;若函数单调递减,则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略,否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域;(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值;(2) 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点:1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义:分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义:①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴,x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴,x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质: ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法:①定义法:分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中()=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析修选修 2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一一. 导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。
一般的,函数 ( ) y f x 在0x x 处的瞬时变化率是0 00( ) ( )limxf x x f xx ,我们称它为函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数,记作0( ) f x 或0| x x y,即0( ) f x =0 00( ) ( )limxf x x f xx 2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切。
容易知道,割线nPP 的斜率是 00( ) ( )nnnf x f xkx x,当点nP 趋近于 P 时,函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数就是切线 PT 的斜率k,即0000( ) ( )lim ( )nxnf x f xk f xx x3. 导函数:当 x 变化时, ( ) f x 便是 x 的一个函数,我们称它为 ( ) f x 的导函数. ( ) y f x 的导函数有时也记作y ,即 0( ) ( )( ) limxf x x f xf xx 二二. 导数的计算基本初等函数的导数公式: 1 若 ( ) f x c (c 为常数),则 ( ) 0 f x ; 2 若 ( ) f x x ,则1( ) f x x ; 3 若 ( ) sin f x x ,则 ( ) cos f x x1/ 34 若 ( ) cos f x x ,则 ( ) sin f x x ;5 若 ( )xf x a ,则 ( ) lnxf x a a6 若 ( )xf x e ,则 ( )xf x e7 若 ( ) log xaf x ,则1( )lnf xx a8 若 ( ) ln f x x ,则1( ) f xx导数的运算法则 1. [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x f x g x2. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x3. 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )]f x f x g x f x g xg x g x复合函数求导 ( ) y f u 和 ( ) u g x ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 ( ( )) y f g x 为一个复合函数( ( )) ( ) y f g x g x 三三. 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间 ( , )a b 内 (1)如果( ) 0 f x ,那么函数( ) y f x 在这个区间单调递增;(2)如果 ( ) 0 f x ,那么函数( ) y f x 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( ) y f x 的极值的方法是:(1)如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧( ) 0 f x ,那么0( ) f x是极大值(2)如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧 ( ) 0 f x ,那么0( ) f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数( ) y f x 在 [ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤:---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ (1)求函数 ( ) y f x 在 ( , )a b 内的...3/ 3。
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高中数学选修2----2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义:瞬时速率。
一般的,函数在处的瞬时变化率是()y f x =0x x =,000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆我们称它为函数在处的导数,记作或,()y f x =0x x =0()f x '0|x x y ='即=0()f x '000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时,直线与曲线相切。
容n P P PT 易知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处n PP 00()()n n n f x f x k x x -=-n P P ()y f x =0x x =的导数就是切线PT 的斜率k ,即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数:当x 变化时,便是x 的一个函数,我们称它为的导函数. 的导函数有()f x '()f x ()y f x =时也记作,即y '0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1)基本初等函数的导数公式:1若(c 为常数),则;()f x c =()0f x '=2 若,则;()f x x α=1()f x x αα-'=3 若,则()sin f x x =()cos f x x'=4 若,则;()cos f x x =()sin f x x '=-5 若,则()x f x a =()ln xf x a a'=6 若,则()x f x e =()x f x e '=7 若,则()log xa f x =1()ln f x x a '=8 若,则()ln f x x =1()f x x '=2)导数的运算法则我去人也就有人!为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙1. [()()]()()f xg x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3)复合函数求导和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数()y f u =()u g x =y x (())y f g x =(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间内,如果,那么函数在这个区间单调递增;(,)a b ()0f x '>()y f x =如果,那么函数在这个区间单调递减.()0f x '<()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数的极值的方法是:()y f x =(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;0x ()0f x '>()0f x '<0()f x (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;0x ()0f x '<()0f x '>0()f x 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数在上的最大值与最小值的步骤()y f x =[,]a b (1)求函数在内的极值;()y f x =(,)a b (2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最()y f x =()f a ()f b 小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明建议收藏下载本文,以便随时学习!知识结构1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
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高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
知识点:
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义:瞬时速率。
一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆, 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =',
即0()f x '=000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆ 2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。
容易
知道,割线n PP 的斜率是00
()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ,即000
0()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有
时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ 考点:无
知识点:
二.导数的计算
1)基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=;
2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x f x a =,则()ln x
f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1()ln f x x a
'= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2)导数的运算法则
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙
3. 2()()()()()[]()[()]
f x f x
g x f x g x g x g x ''∙-∙'= 3)复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数
(())()y f g x g x '''=∙
三.导数在研究函数中的应用
知识点:
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间(,)a b 内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增;
如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数()y f x =的极值的方法是:
(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;
(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤
(1) 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值;
(2) 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最
小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章推理与证明
知识点:
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤:
∙通过观察个别情况发现某些相同的性质;
∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想);
∙证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
∙检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”,包括
⑴大前提-----已知的一般原理;
⑵小前提-----所研究的特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.要点:顺推证法;由因导果.
⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
要点:逆推证法;执果索因.
⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1)(反设)假设命题的结论不成立;
(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;
(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值*
00()n n N ∈时命题成立;
(2)(归纳递推)假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立,推证当1n k =+时命题也成立.
只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 第三章 数系的扩充与复数的引入
知识点:
一:复数的概念
(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2.相关公式
⑴d c b a di c bi a ==⇔+=+且,
⑵00==⇔=+b a bi a ⑶22b a bi a z +=+= ⑷z a bi =-
z z ,指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数).
3.复数运算
⑴复数加减法:()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+;
⑵复数的乘法:()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; ⑶复数的除法:()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- ()()222222
ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++ (类似于无理数除法的分母有理化→虚数除法的分母实数化)
4.常见的运算规律
(1);
(2)2,2;z z z z a z z bi =+=-= 2222(3);(4);(5)z z z z a b z z z z z R ⋅===+==⇔∈
41424344(6),1,,1;
n n n n i i i i i i ++++==-=-= ()
2211(7)1;(8),,
11i i i i i i i i i +-±=±==-=±-+
)9(设2
31i +-=ω是1的立方虚根,则012=++ωω,1,,332313===+++n n n ωωωωω。