分析力学之虚功原理57页PPT
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分析力学第二章虚功原理及应用
取 s=3N-k 个独立的广义坐标
来表示出任意质点位矢，即
r ri
r ri
(q1
,
q2
,L
, qs )
(i 1, 2, L , N)
变分得：
rri
s 1
rri q
q
W
N i 1
r Fi
rri
N i 1
r Fi
s
1
rri q
q
s
= =1
N i 1
r Fi
r ri
yC =-|OC|sin=-
R2
-
a2 4
sin
δyC
=-
R2- a2 cosδ=0
4
Q δ 0, cos 0 , 3 .
22
例4. 均匀杆OA，重P1 ，长为l1，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此 杆的A端用光滑铰链连接另一重为P2 ，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一
水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及。
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
(1). 矢量形式
N
r Fi
r ri
0
i 1
(2). 广义坐标形式
假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可
x B
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
虚功原理.ppt
源自MM P EIds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
l
k (1)(qx)
dx
0
EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
8 5
I Al2
4 5
kEI GAl2
5
ql 4
1
2
h
2
2
E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
N sin
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
l
k (1)(qx)
dx
0
EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
8 5
I Al2
4 5
kEI GAl2
5
ql 4
1
2
h
2
2
E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
N sin
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
理论力学第5章第2节虚功原理
虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程,而 虚位移只需要满足约束. 在稳定约束下,实位移是无限多 虚位移中的一个. 而在不稳定约束时, 可能二者不一致.
设有n个质点的系统, 存在m个完整约束, 其约束方程
f i ( r 1 ,r 2 , ,r n , t ) 0( i 1 , , m ) 2,
f1 y
δy
f1 z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
rirj 2lij20
因约r束i 力rj是.一由对约内束力方,程大可小知相,等虚方位向移相满反足,即Ri Rj
f , f , f x y z
). 由于约束面
是光滑的, 约束力沿曲面的法向, 即
R f(x ,x y,z),f(x ,yy,z),f(x ,zy,z)
因此虚功为
δ W R δ r f( x ,x y ,z )δ x f( x ,y y ,z )δ y f( x ,z y ,z )δ z 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表示方 用变分符号表示。
法
如 δ r(δ x,δ y,δ z)δ , 等
用微 分符号表示。
如d r(d x,d y,d z)d , 等
相互关 在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一
系
个.
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移r中所作的功, 叫做 虚功.
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
设有n个质点的系统, 存在m个完整约束, 其约束方程
f i ( r 1 ,r 2 , ,r n , t ) 0( i 1 , , m ) 2,
f1 y
δy
f1 z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
rirj 2lij20
因约r束i 力rj是.一由对约内束力方,程大可小知相,等虚方位向移相满反足,即Ri Rj
f , f , f x y z
). 由于约束面
是光滑的, 约束力沿曲面的法向, 即
R f(x ,x y,z),f(x ,yy,z),f(x ,zy,z)
因此虚功为
δ W R δ r f( x ,x y ,z )δ x f( x ,y y ,z )δ y f( x ,z y ,z )δ z 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表示方 用变分符号表示。
法
如 δ r(δ x,δ y,δ z)δ , 等
用微 分符号表示。
如d r(d x,d y,d z)d , 等
相互关 在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一
系
个.
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移r中所作的功, 叫做 虚功.
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
结构力学虚功原理PPT课件
l FNdu l FQdv l Md Rc
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
理论力学第5章第2节虚功原理
z
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
r irj 2lij20
因约束力是一对内力, 大小相等方向相反,即
ri rj . 由约束方程可知, 虚位移满足
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为
f(x,y,z)0
质点的虚位移应满足
f(x ,y ,z)δ x f(x ,y ,z)δ y f(x ,y ,z)δ z 0
由此解得
ta1 n(m 1 22 F m 2)g, tan 2m 22 F g
6 约束力的求解——拉格朗日乘子法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡
条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入拉格 朗日乘子法.
n个质点组成的系统, 有k个完整约束
f(x,y,z)0 ( 1 ,2 , ,k) (5.14)
Ri
Rj
2 r i r jδ r i δ r j 0
因此约束力的虚功
δ W R i δ r i R j δ r j r i r jδ r i δ r j 0
3 虚功原理
当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的主动 Fi和 力约束 Ri的合力 力应
为零, 即
F iR i0
(5.7)
于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零
δz
0
f2 δx f2 δy f2 δz 0
x y z
这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零.
例4 刚性约束. 刚体中两质点的径矢分别为 ri和rj , 则约
束方程为
r irj 2lij20
因约束力是一对内力, 大小相等方向相反,即
ri rj . 由约束方程可知, 虚位移满足
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚 位移中所作的虚功之和为零,即
n Ri δri 0
i1
(5.6)
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
例1 质点沿固定的光滑曲面运动, 约束方程为
f(x,y,z)0
质点的虚位移应满足
f(x ,y ,z)δ x f(x ,y ,z)δ y f(x ,y ,z)δ z 0
由此解得
ta1 n(m 1 22 F m 2)g, tan 2m 22 F g
6 约束力的求解——拉格朗日乘子法 利用虚功原理可以方便地求出在广义坐标下的平衡
条件,但是不能求出约束力.为了解决这个问题,引入拉格 朗日乘子法.
n个质点组成的系统, 有k个完整约束
f(x,y,z)0 ( 1 ,2 , ,k) (5.14)
Ri
Rj
2 r i r jδ r i δ r j 0
因此约束力的虚功
δ W R i δ r i R j δ r j r i r jδ r i δ r j 0
3 虚功原理
当系统处于平衡时, 系统每一质点都是处于平衡. 这样, 作用于第i个质点的主动 Fi和 力约束 Ri的合力 力应
为零, 即
F iR i0
(5.7)
于是, 作用于第i质点所有各力的虚功之和为零
第四章 虚功原理
（1）解除约束代之以约束力，建立静力状态（k）； （2）沿所求约束力的方向给以单位位移，建立协调的位移状态（m）； （3）用“m”状态考察“k”状态的平衡条件，建立虚功方程，求解未知力。
结构力学
第4章 虚功原理
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD 和M E。
q=F/ 2a E a B a F
解： 1、解除D支座约束代之以FRD作用，
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
1
s s
ρm
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
ρm
ds
FQk FQm FNk FNm M M = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ k m ds s s s EA GA EI
结构力学
第4章 虚功原理
1、虚功互等定理
Fk km FQk FQm FNk FNm MkMm = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ ds s s s EA GA EI
Mk Mk
FNk
FNk
FQ k FQ k
FQ k
FQ k
ρm
ρm
dθm
dθm
γmds
ds
εmd s
结构力学
第4章 虚功原理
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD 和M E。
q=F/ 2a E a B a F
解： 1、解除D支座约束代之以FRD作用，
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
1
s s
ρm
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
ρm
ds
FQk FQm FNk FNm M M = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ k m ds s s s EA GA EI
结构力学
第4章 虚功原理
1、虚功互等定理
Fk km FQk FQm FNk FNm MkMm = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ ds s s s EA GA EI
Mk Mk
FNk
FNk
FQ k FQ k
FQ k
FQ k
ρm
ρm
dθm
dθm
γmds
ds
εmd s
《结构力学虚功原理》课件
结构力学基础知识回顾
基本原理和概念
力学平衡 结构受力 静力学基础
结构材料性质
弹性模量 屈服强度 材料特性影响
重要概念
受力分析方法 结构行为预测 应力分布
应用案例
桥梁设计 建筑结构分析 机械系统
课程教学大纲
本课程将深入探讨结构力学虚功原理的相关概念和应用，通 过理论与实践相结合的教学方式，学生将学习如何应用虚功 原理分析结构系统的受力和稳定性，了解结构材料对结构行 为的影响，并掌握关键应用技能。每个章节都将侧重于实际 案例和工程应用，帮助学生更好地理解虚功原理在工程实践 中的价值。
01 体会和感悟
学生分享在学习虚功原理课程中的感悟和体会，探 讨学习过程中的成长和反思。
02 启示和帮助
虚功原理理论对实际工程实践的启示和帮助，激发 学生对工程领域的热情和探索欲望。
03 提升自己
鼓励学生在未来的学习和工作中持续努力，不断提 升自己的专业能力和素养。
未来发展趋势
发展趋势
展望结构力学虚功原理在未来 的发展趋势和应用前景，探讨 虚功原理理论的创新方向。
创新和应用
虚功原理在工程领域的不断创 新和应用，为工程领域的发展 提供新思路和方法。
实践探索
鼓励学生在未来的研究和实践 中积极探索虚功原理的新应用 领域，为工程领域的创新贡献 力量。
致谢
在此感谢所有支持和帮助过本课程的人，特别感激学生们的努力 和付出。继续学习，不断探索，为工程领域的发展贡献力量。
● 03
第3章 虚功原理理论基础
虚功原理概念
虚功原理是结构力学中重要的理论基础，通过对结构内部受力和 变形的分析，可以利用虚功原理推导出结构的稳定性和安全性。 学生需要深入理解虚功原理的概念，并认识到其在工程实践中的 重要性和应用价值。
虚功原理及其应用ppt课件
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②虚功原理是分析力学的基本原理，仅对惯性系成立;
③理想约束 理想约束概念是分析力学的基本假设，是从客观实践中抽象
出来的。例如光滑约束，刚性约束等都是理想约束。 此假设不仅运用于静力学，对动力学同样成立。
④对于保守力学系统：
V V V
Fi
iV
N
( xi
i
yi
j zi
k)
W Fi ri
o
r
x
(2r cos 2 l cos )
2
y
mg
W Fi ri mg yD 0 i
Q
i
Fi
ri qk
Q mg(2r cos 2 l cos ) 2
2r cos 2 l cos
0
mg yD
mg
[(2r cos l )sin] 2
2
4(c2 2r 2 ) l
2r cos2 l cos 2
p1 A
p22（（xBx23,,yyF2）3）
x2
l1
cos
1 2
l2
cos
y3 l1 sin l2 sin
23
由虚功原理
P1 x1 P2 x2 F y3 0
广义力Q1
1 2
P1l1
cos
P2l1
cos
Fl1
sin
1 2
P2l2
cos
Fl2
sin
0
tg P1 2P2
2F
tg P2
b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，
c、并建用立广坐义标坐系标，表分示析力并作图用示点系的统有受用到坐的标所，有即主：动将力r；i 表示为广
义坐标qk (k=1,2,…s) 的函数，并求出：xi , yi , zi
分析力学之虚功原理
对非完整约束举例 具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无 滑动地滚动, 则圆盘的着地点的速度为零. 薄圆盘的盘面是可以转动的, 但如盘面始 终保持竖直, 着地点的速度为影到x轴和y轴上,得
cos 0 0 R x sin 0 0 R y
约束还分为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束不直接依赖于 时间, 其数学表达式不显含时间; 不稳定约束则明显依赖于时间, 其数学表达式显含时间.
此外，约束还可分为单侧约束(可解约束)和双侧约束(不可解). 单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的运动则是 完全自由的. 例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长 的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的. 单侧约束的数 学表示式是不等式, 一般可写为
分析力学 analytical mechanics
一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量，以 虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏 观现象中的力学问题。 1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力 学》为这门学科奠定了基础。1834年和1843年W.R.哈密顿建立 了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。1894年H.R. 赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开 始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力 学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方 程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又 发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。 分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。 它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体 系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学。
为压力。
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m，长度为的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B端上受一水平向左的外力，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B端上的力有多大求=解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个有两个。
一个是水平作用力，还有一个是重力m作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A、B处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵的方向与其作用点的坐标X的正方向相反，∴F取取正，∴此力的虚功为负的，即：……①，由于虚功方程中的两个虚位移负而δXB不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。