第五章 结构的位移计算

虚功方程：
N
1
1 N FN d 0
FN
B
FN
A
N FN d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移， 即是三者的叠加，有：
M Q N Md FQd FN d
推导位移计算公式的两种途径
{由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
FQ
FQ
FQ
FQ
§ 5.4荷载作用下结构的位移计算举例 各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
MMP Δ= ds EI
在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形 对位移的影响不容忽略。 对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响 不容忽略。
第五章
结构的位移计算
基本要求：
理解实功、虚功、广义力、广义位移
的概念，变形体虚功原理和互等定理。
掌握荷载产生的位移计算。
熟练掌握图乘法求位移。
了解了解温度改变、支座移动引起的
位移计算。
§5.1 概
一、结构位移种类

述
FP
A
A
A
AH
AV
线位移 位移 角位移
绝对位移
A A点线位移 AH A点水平位移 AV A点竖向位移 A截面角位移
(2）建筑起拱和施工要求
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做 得比实际长度 短些，拼装后 下弦向上起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
(3)为超静定结构计算打基础
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形协调条件。
四、虚力原理
c1
——虚设力系求刚体体系位移
2FP
k
a
FN
FN FNPl EA
1
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
FP
2FP
FP
0 k
1
kV
1

a
2
0
0
a
1 [ FP 1 a ( 2 FP )( 2 ) 2a ] EA FP a () 1 (1 2 2 ) EA
FNP
FN
M P PRsin FNP Psin FQP P cos
+
M 2 , FQ 2 , FN 2
d) 虚设单位荷载2
虚设单位载荷如上页图c) ，d)所示。
1 AH M1 ds FQ1 0ds FN 1 ds 1 BH M 2 ds FQ 2 0ds FN 2 ds
所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在 该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性 质与所求位移相应的单位荷载即可。 下面给出几种情况的广义单位荷载： q 1
1)
1
求Δφ
单位荷载
2)
ΔAV
A l B
求
ΔBV
1/l A
1/l B
AB =(Δ Δ AV + BV )/l
A FP B
单位荷载
3)
P 1 P 1 P 1 P 1
§ 5.3荷载作用下结构的位移计算
FP=1 D
M , FQ , FN
FP B q A D D
C
B
C
κ,γ0 , ε (MP,FQP,FNP ) ΔDH,ΔDV,θD
A
给定位移、变形
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 ( M ds FQ 0 FN )ds
h/d D d/2 1 C A 1/h
)
0.5 B
d/2
d/2
1
h/d
2）求Δ DH
1 a 1 DH ( a) () 2 2
3）求 ΔC
1 a 1 C ( a) ( h h
1/h B d/2 0
0
d/2
§5.2 结构位移计算一般公式
1.局部变形时静定结构的位移计算
由变形体虚功原理来推导；
2、局部变形时的位移计算公式 在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形 基本思路： 所引起的位移。 d ds ds d ds i
ds
d
R

d
i
R
d

d
d
（1）三种变形：
1 R


d
ds
i
ds
ds d
ds
d
R

d
i
R
d

d
（2）微段两端相对位移：
CH
C
DH
D FP3
FP1
A A
FP2
B
B
AB 还有什么原 因会使结构产 生位移?
t
三、 计算位移的目的
(1) 验算结构刚度
校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构 件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使 用。 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；
③利用位移计算一般公式求位移。
5.广义位移的计算
ΔAH
求图a）结构A、B截面相对水平位移 AB AH BH。
A κ,γ0 , ε q
a) 给定位移
B
ΔBH
1 A
M , FQ , FN
b)
B 1
1 A
B
A
1 B
=
M1, FQ1, FN1
c) 虚设单位荷载1
1 A 求ΔAV -ΔBV 1 B
ΔAV
ΔBV
原结构
1 A
1 B
(A，B截面相对竖向位移）
(A，B截面竖向位移之和）
求ΔAV+ΔBV
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功.
B
例: 1)求A点水平位移 2)求A截面转角
P
A
3)求AB两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角
FQ 1 sin
虚功方程：1 m M d 0
1 Q FQ d 0
Q FQ d
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。
i
B
A
N
由平衡条件：
d
B
i
A
FN 1 cos
练习： 已知刚架支座B向右移动a,求 CV、 DH、 c。 1 C C D D h A
B d/2
d/2 a
A d/4h
0.5
d/4h 求 CV 0.5
B
解：
1）求 Δ CV
1 CV d da ( a ) () 4h 4h
D h A d/2
C
1 D
C
B
A 0.5 a
C B b 已知 c1 求
?
A
a
设虚力状态
FRA a FP b 0
FP=1
B
FRA
b a
虚功方程
A
C a b
1 FRA c1 0
b c1 a
FRA
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相
相对位移：指两点 或两截面相互之间 位置的改变量。
FP1 C
CH
FP3 A A
DH
D FP2
B
AB
B
CD两点的相对水平位移
CD CH DH
AB两截面的相对角位移 AB A B
二、使结构产生位移的因素 荷载 温度改变 支座移动 为什么要计算 制造误差 等 位移?
FN FNP MMP ds ds EI EA
解：
kH
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移. FP FP FN FNPl 0 FP a 1 FNP 0 EA
1
2 2
1
1 [( FP )(1)a ( FP )(1)a EA Fa 2 FP 2 2a ] 2(1 2 ) P () EA
Δ AB =Δ AH +Δ BH = ( M1 M 2 ) ds ( FQ1 FQ 2 ) 0ds ( FN 1 FN 2 ) ds
由上图b)可得：
M M1 M 2
所以得：
FQ FQ1 FQ 2
FN FN 1 FN 2
AB M ds FQ 0ds FN ds
d
1

d
M , FN , FQ
d ds
ds ds R
d ds
续基本思路：设 ds 0 , 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的 形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 （3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。
d M Q N Md FQd FN d
应的支座反力。构造一个平衡力系；
（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
五、支座位移时静定结构的位移计算
已知位移 c A 求 : （Байду номын сангаас）C点的竖向位移 c
（2）杆CD的转角 D C A B
cA
c
2l 3

1
1 1 c c A 0 3
l
l
kFQ FQP FN FNP MMP 1 ds ds ds EI GA EA
正负号规则：
1） 不规定 M和 M P 的正负号，只规定乘积 MM P 的正负号。若M和 M P 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
M
MP
M
正
M
MP
正
MP
负
2） FN 和 FNP以拉力为正，压力为负； 3） FQ 和 FQP的正负号见下图。
3）位移公式为
钢筋混凝土结构G≈0.4E 例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。 P 矩形截面, k =1.2,I/A=h2/12 解：1）虚拟单位荷载 ds 2）实际荷载下内力 虚拟荷载下内力 2
M R sin FN sin FQ cos
Q
EI 1 h 2 M GAR 4 θ R 2 dθ 1 h I N M AR 2 12 R k h <1 R 10
3
1 D
A
B
C
1 c cA 3 2 1 1 cA 0 2l
1 cA 2l
1 3
A
2 3
C D
1
B
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 解 （2）建立虚功方程 1 FRk ck 0 步 骤 （3）解方程得 F c 定出方向。 Rk k
在荷载作用下，应变 、 0、 与内力 M P、FQP、 FNP 的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）
MP EI
0
kFQ P GA
FNP EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kFQP FNP MP 1 M ds FQ ds FN ds EI GA EA
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 m。 的位移 Q。
i
B d

A
m
i
B
d
A
Q
a
B
a
d
A
i
m
i
B A
Q
a
M
B
a
1 1
A
A
FQ
a
a
M 1 sin a
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
4.求位移步骤如下：
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；
d ( M FN FQ 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
d ( M FN FQ 0 )ds FRK cK
( M FN FQ 0 )ds FRK cK
2. 桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：
FN FNP Δ= ds EA FN FNP FN FNPl ds EA EA
3. 组合结构
FN FNPl MMP ds EI EA 用于弯曲杆 用于二力杆
4. 拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：
或
d (M FN FQ )ds
3、结构位移计算的一般公式
i


i
d (M FN FQ )ds
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d ( M FN FQ 0 )ds
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：