《算法设计与分析》上机实验报告(3)

福州大学数学与计算机科学学院《算法设计与分析》上机实验报告（3）

求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。编码的前缀性质可以使译码方法非常简单；例如001011101可以唯一的分解为0,0,101,1101，因而其译码为aabe。

哈夫曼提出了构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼算法。

2.算法的设计思想

哈夫曼编码依据贪心算法来构造最优前缀码，构造思想步骤如下：

(1)哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。

(2)算法以|C|个叶结点开始，执行|C|－1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。

(3)假设编码字符集中每一字符c的频率是f(c)。以f为键值的优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新树插入优先队列Q。经过n－1次的合并后，优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树T。

构造过程如图所示：

3.算法正确性证明

由此可知，树T和T'的前缀码的平均码长之差为：

码长，同时，仅最优一位编码不同。

(2)最优子结构性质

二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码，x和y是树T 中的两个叶子且为兄弟，z是它们的父亲。若将z当作是具有频率f(z)=f(x)+f(y)的字符，则树T’=T-{x,y}表示字符集C’=C-{x, y} ∪ { z}的一个最优前缀码。因此，有：

如果T’不是C’的最优前缀码，假定T”是C’的最优前缀码，那么有

，显然T”’是比T更优的前缀码，跟前提矛盾！故T'所表示的C'的前缀码是最优的。

由贪心选择性质和最优子结构性质可以推出哈夫曼算法是正确的，即HuffmanTree产生的一棵最优前缀编码树。

4.哈夫曼编码算法的程序代码

(1)huffman.cpp，程序主文件

1.//huffman 贪心算法哈夫曼算法

2.#include "stdafx.h"

3.#include "BinaryTree.h"

4.#include "MinHeap.h"

5.#include

ing namespace std;

7.

8.const int N = 6;

9.

10.template class Huffman;

11.

12.template

13.BinaryTree HuffmanTree(Type f[],int n)

;

14.

15.template

16.class Huffman

17.{

18.friend BinaryTree HuffmanTree(Type

[],int);

19.public:

20. operator Type() const

21. {

22.return weight;

23. }

24.//private:

25. BinaryTree tree;

26. Type weight;

27.};

28.

29.int main()

30.{

31.char c[] = {'0','a','b','c','d','e','f'

};

32.int f[] = {0,45,13,12,16,9,5};//下标从1

开始

33. BinaryTree t = HuffmanTree(f,N);

34.

35. cout<<"各字符出现的对应频率分别为：

"<

36.for(int i=1; i<=N; i++)

37. {

38. cout<

39. }

40. cout<

41.

42. cout<<"生成二叉树的前序遍历结果为：

"<

43. t.Pre_Order();

44. cout<

45.

46. cout<<"生成二叉树的中序遍历结果为：

"<

47. t.In_Order();

48. cout<

49.

50. t.DestroyTree();

51.return 0;

52.}

53.

54.template

55.BinaryTree HuffmanTree(Type f[],int n)

56.{

57.//生成单节点树

58. Huffman *w = new Huffman[n+

1];

59. BinaryTree z,zero;

60.

61.for(int i=1; i<=n; i++)

62. {

63. z.MakeTree(i,zero,zero);

64. w[i].weight = f[i];

65. w[i].tree = z;

66. }

67.

68.//建优先队列

69. MinHeap> Q(n);

70.for(int i=1; i<=n; i++) Q.Insert(w[i]);