2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛九年级决赛试题及答案
学用杯数学竞赛卷及答案
学用杯数学竞赛卷及答案．2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八年级决赛试题（2013年3月17日9:30---11:30 时量：120分钟满分：150分）一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分）（请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内）8)(x?1)(x?的值为零，则1．已知式子的值为x|x?1|（）A、8或-1B、8C、-1D、12．若，那么的值一定是（）)a)(1?(a1?a01??a?A、正数 B、非负数 C、负数D、正负数不能确定，3．定义：，例如，)2(?3,),),())?m(),(gmn??,n,(fab?ba(f23版） 21 版（共 2 八年级决赛试题·第g(?1,?4)），则等于（))5,6g(f(?)?(1,4、 D A、 B、C、)5(65(?,?6)5(?6,),?)6(?5,等则，4．已知且，于( )、C 、 B100 22210?c?ab?5?b ac??cbc?ab?ab?A、105 50D、 75 ．有面额为壹元、贰元、伍元的人民币共5元的护10张，欲用来购买一盏价值为18眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付）款方式有（、 C 7 A、8种 B、种、3种 4种 D已知一个直角三角形的两直角边上的中线6．，那么这个三角形的斜5和长分别为102( )边长为 B、 C、 A、10 10413、D132，ACB=90°AC7．如图，在△ABC中，=BC，∠AD⊥AD平分∠BAC，BE，垂足的延长线于点交F AC为E，则下面结论：③=AF；BF；①②BFAD?；AB??ACCD⑤；④AD=2BE．CF?BE）其中正确的个数是（、2 C、4 A、B3 、D1版） 21 版（共 3 八年级决赛试题·第，B经过不同三点A，8．如果一直线)b(a,b),a(l），那么直线C经过（)aa(?b,b?l、 B A、第二、四象限第一、三象限、 D C、第二、三、四象限第一、三、四象限这三个数作为三角，，9．能使m201??52m?4m）形三边长的整数共有（m C、6个18个B、12个 A、A D、2个 10．如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的DE 中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的CB面积等于( )A、12B、14C、16D、18 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）的平方11．已知，则2b）（ac0?b?2c?(b?4)?a??|a2|.根是，和、、满足．若12ca2001c?4a?10b?a3?7b?c?1b a?b?c的值为．则分式ba?313．方程的解为. 5?2x1x|?|?|?|14．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可注满全池；乙，丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要分钟可以注满全池．版） 21 版（共 4 八年级决赛试题·第（成次体育测试中的成绩甲、乙两人在515．分）如下表：绩为整数，满分为100 第1第2第3第4第5污损，则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是 .16．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则B 这个等边三角形的边长为．M ．17．代数式的最小值是=90°，MRt△ABC中，∠BAC18．如22153??4?x?24xx、图，在N BCN 是，如果=NC 边上的两点，且BM=MN A C ，=3AM=4，AN ． 则MN=分，小题，每小题15（本大题共三、解答题4共60分）19、今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了2和B 种板材种板材48000 mA 生产2的任务. 24000 m ⑴ 如果该厂安排210人生产这两2 m 60每人每天能生产种板材，A 种板材 版） 21 版（共 5 八年级决赛试题·第2应分别安排多请问： m ，或B 种板材40种板材，才能确种板材和BA 少人生产 保同时完成各自的生产任务？某灾民安置点计划用该厂生产⑵的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房间，已知建设一间甲型板房和一共400间乙型板房所需板材及安置人数如下表 所示：种板材BA种板材安置人数板房22m）（m）（ 1261 108 甲型问10 51 156 乙型这 400间板房最多能安置多少灾民？版） 21 版（共 6 八年级决赛试题·第20、小明家今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量（单位：千克）与上市时y间（单位：天）的函数关系如图1所示，x樱桃价格（单位：元/千克）与上市时z间（单位：天）的函数关系如图2所示.x⑴观察图象，直接写出日销售量的最大值；⑵求小明家樱桃的日销售量与上y市时间的函数解析式；x⑶试比较第10天与第12天的销售版） 21 版（共 7 八年级决赛试题·第金额哪天多？版） 21 版（共 8 八年级决赛试题·第21、如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN ⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．⑴求证：四边形AECF为平行四边形；⑵当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB:AE的值．版） 21 版（共 9 八年级决赛试题·第版） 21 版（共 10 八年级决赛试题·第22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，、FE2.上，AP=点BC=6，点P在AB、PB以每P出发，分别沿PA同时从点、B匀速个单位长度的速度向点A秒1运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停、F运动过.也随之停止在点EE止，点版） 21 版（共 11 八年级决赛试题·第，使EFGHEF为边作正方形程中，以、FE的同侧，它与△ABC在线段AB设EFGH，正方形t秒（t＞0）运动的时间为.与△ABC重叠部分面积为S的边长EFGH当t=1时，正方形⑴是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；⑵当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；⑶在整个运动过程中，当t为何值．．．．．．．时S最大？最大面积是多少？版） 21 版（共 12 八年级决赛试题·第2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八年级决赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10号版） 21 版（共 13 八年级决赛试题·第答CA D C A CB D B B 案分，8小题，每小题二、填空题（本大题共5 40分）共13999．13 11．；12．；??3x?2000410 ；14．或；2?x?3；． 16 15．. 36 10．． 13 ； 18．175分，15小题，每小题三、解答题（本大题共4分）共60A种板材，则有设有人生产19、解：⑴x板材，根据题意列方程：人生产-)B(210x2400048000……………………………?)x60x40(210?3......................................................分 6=8(210-) xx (120)x分……………………………………4版） 21 版（共14 八年级决赛试题·第经检验=120是原方程的x解． 10-=210-120=90.……………x…………………………6分⑵设生产甲型板房间，则生产乙型板房为m(400-)间．根据题意得：m108m?156(400?m)?48000?...........................? 24000)?51(400?m61m??分9................................................得：解．.......................................360300?m? (11)分设400间板房能居住的人数为W．则W=12+10(400-m)m W=2+4000.………………13分m=360∵k当时∴=2>0,，m．…………………………（人）W=2?360+4000=4720最大值………15分20、解⑴： 120千克；…………………………………………………………………………2分版） 21 版（共 15 八年级决赛试题·第⑵当0≤≤12时，函数图象过原点和（12,120）x两点，设日销售量y与上市时间的函数解析x式为=k,由待定系数法得，y x120=12 k,∴k =10,即日销售量与上市时间y x的函数解析式为=10；……………………5分y x当12≤≤20时，函数图象过（20,0）和（12,120）x两点，设日销售量与上市时间的函数解析y x式为= k+b,由待定系数法得，,解得120??b12k?y x?20k?b?0?，15-k???300b??即日销售量与上市时间的函数解析式为y x=-15+300；………………………………y x……8分⑶由函数图象2可得，第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜≤15时，直线x过（5,32），（15,12）两点，设樱桃价格与上z市时间的函数解析式为z=k+b,由待定系数xx与上法得，，解得，即樱桃价格325k??b-2k???z??b?4215k?b?12??版） 21 版（共 16 八年级决赛试题·第市时间的函数解析式为x=-2+42，…………………… 12分xz∴当=10时，日销售量=100千克，樱桃价y x格=22元，销售金额为22×100=2200元；z 当=12时，日销售量=120千克，樱桃价格y x=18元，销售金额为18×120=2160元；z∵2200＞2160，∴第10天的销售金额多.………………………………………………………15分21、解答：⑴证明：∵AE⊥BC，∴∠AMB=90°，∵CN⊥AD，∴∠CNA=90°，又∵BC∥AD，∴∠BCN=90°，∴AE∥CF，………………………………………………3分又由平行得∠ADE=∠CBD, AD=BC.所以△ADE≌△BCF，∴AE=CF.……………………………………………………5分版） 21 版（共 17 八年级决赛试题·第∵AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形.……………………………………7分⑵当平行四边形AECF为菱形时，连结AC 交BF于点O，则AC与EF互相垂直平分，又OB=OD,∴AC与BD互相垂直平分，…………………………………………………8分∴四边形ABCD为菱形，∴AB=BC.…………………………………………………9分∵M是BC的中点，AM⊥BC，∴10. AB=AC…≌△CAM，∴△ABM 分角边三△ABC为等∴………………………………………形，分……11 .，∠∴∠ABC=60°CBD=30°CF:BC=得易BCF中，求△在RT版） 21 版（共 18 八年级决赛试题·第313, ………………………………分3又所AB=BC,以AE=CF, 15………………………………:AE=. AB3分； 222、解：⑴……………………………………… 6；…………2分6的函时（如图），tS与当⑵0＜t≤C11数关系式是：GH22 t=(2)=4t ；S=ABPEF S EFGH矩形 3分…………66与t的函数关系式是：＜当t≤时（如图），S511SS=-△HMNS EFGH矩形2 2134 )] (2=4t-××[2t--t432225311t+t=-；?2224……………5分版） 21 版（共 19 八年级决赛试题·第6的函数关t与≤2S当时（如图），＜t5系式是：-=S 2 31 (2+tS×S= )△△AQEARF42- 213分. ……………7=×(2-t)3t42⑶由⑵知：66最大，其最大值S时若0＜t ≤，则当t=1111144S=分；……8121666最大，其最大值时St＜≤t=，则当若551118分；……S=956最大，其最大值时S，则当若＜t≤2t=25 106. S= …………分的正方形沿当时则相当于一个边长为42<t 个单位每秒的速度向1B运动AB以1010时，其最大值t若2＜≤＝时，，则当t ts?333分……S=10. 11版） 21 版（共 20 八年级决赛试题·第3101125，则当t＝≤5时，5时，其若＜t2?ts??t?362833512分……最大值S=. 24143731252522时，，则当t若5＜t≤时，＝2??tt?s?25366241102分.……其最大值S=13 7522202222其t则当＝时，若＜t≤8时，，2??t?ts?333331014分……. S=最大值1227 143最大，最大面积是t=综上所述，当S时251102分15. (75)版） 21 版（共 21 八年级决赛试题·第。
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛--九-年-级-初-赛-试-题及标准答案
CABD M 第15题2０14年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题(时量：９0分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分,共40分）题号 12345６789１０答案１.设Ｐ=121220132012++,Ｑ＝121220142013++，则P 与Ｑ的大小关系是Ａ.P ＞Ｑ B ．P=Q C ．P<Q D ．不能确定２.边长为整数,周长等于2１的等腰三角形共有A.４个 B ．5个 C ．６个 D.7个3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数,当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时,k 的值可以取Ａ.8个 ﻩﻩB ．7个 ﻩﻩC.６个 Ｄ.5个 4.若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(b a +,ac ）在A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 Ｄ.第四象限5.如图，矩形ＡBCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于A.1５2B.143C.132 D ．1086.如图,⊙O 中，弦A Ｄ∥BC ,DA =DC ，∠AOC =16０°，则∠ＢCO 等于ﻫA. 20° B. ３0° C. 40° D ． 50°7.已知锐角△A ＢC 中，∠A ＝6０°，BD 和CE 都是△A ＢC 的高。
如果△A ＢC 的面积为12,那么四边形ＢCDE 的面积为 A.6 ﻩＢ．８ C.9 ﻩD ．108．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台(n 为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是A.１１ B ．13 ﻩ C.１7 ﻩ Ｄ.19 9．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、Ｂ，如果S △AOB ≤1，那么,k 的取值范围是 A.k ≤1 B. 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D. k ≤-1或k ≥1１0.如图,在梯形ＡBCD 中,A Ｂ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点,6AB BC CD ++=,5BE =,则梯形ＡBC Ｄ的面积等于A ． 13B ． 8C ． 132Ｄ． 4二、填空题(本大题共８小题，每小题4分,共３２分）１1．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31)5(2)3(222,则=-b a ． １2.若532=-+c b a , 8765=+-c b a ,则=-+c b a 529 .１3.若m ,n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根,则=-+n m m 22．１4.已知3=xy ,那么yxyx y x +的值是 ． 15.如图，在△ABC 中，中线CM 与高线ＣD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 度. １6．已知t bac a c b c b a =+=+=+,那么直线t tx y +=一定通过第 象限． １７．不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数)的根总是x ＝1，那么=+b a .18.如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径， 四边形CDMN和DEFG 都是正方形． 其中,,C D E 在AB 上， ,F N学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼ABCD E 第10题Oxy第4题 A B C D 第6题O C B A D 第5题 第18题在半圆上，则两个正方形的面积之和为 ．. ﻬ三、解答题(本大题共2小题,每小题14分,共28分） 19．（本题满分14分)如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,与正比例函数x y 3=的图象交于点C ,点D 是线段OB 上的一个动点(不包含O 、B 两点），以ＡD 为边在其一侧作等边三角形AD Ｅ，ＤE 交ＡB 于Ｆ,A Ｄ交ＯC 于G ．(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似,为什么? (3)证明ＣＥ总与AB 垂直.ﻮ2０．(本题满分14分)如图１,在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合,另一直角顶点Ａ在y 轴的正半轴上，点Ｂ、C 的坐标分别为B （1２，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.,点M 、Ｎ分别从A 、Ｃ两点同时出发做匀速运动，其中点Ｍ沿AB 向终点Ｂ运动,速度为每秒1个单位;点N 沿ＣD 向终点D 运动,速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1)如图2,设点M 、N 的运动时间为t 秒,当t 为何值时,四边形MB ＣN 为平行四边形?（2)在(1)的条件下，连结ＤM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；(3)已知二次函数的图象经过D 及(1)中的点M 、N ,求该二次函数的解析式;（4）在运动过程中,是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形?如果存在,请求出直线ＭN 的解析式;如果不存在,请说明理由.（图3供解答本小题用）2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共4０分）题号123456７89１0x O B Ay C DGF E。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -13. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 54. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-18. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 一个数的立方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -110. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
14. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算：(3+2√2)(3-2√2)。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
18. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求第三边的长度。
19. 一个圆的面积是π，求这个圆的半径。
20. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
2013年下学期九年级数学竞赛试题答案
2013年下学期九年级数学竞赛试题时量：120分钟 满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 已知函数y kx b =+的图象如图所示，则一元二次方程210x x k ++-=根的存在情况是（ C ）第1题图 第2题图A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定2. 如上图，ABC △中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC △的位似图形，并把ABC △的边长放大到原来的2倍，记所得的像是''A B C △．设点B 的对应点'B 的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ D ）A ．12a -B ．()112a -+C ．()112a --D ．()132a -+ 3. 已知实数a ，b 分别满足2640a a -+=，2640b b -+=，且a b ≠，则b a a b +的值是（ A ）A ．7B ．7-C ．11D ．11-4. 甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？” 甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．” 丁说：“反正不是我闯的祸．”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（ D ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5. 若222222b c a c a b k a b c+++===，则k 的值为（ D ） A ． 4 B ． 0 C ．2-或0 D ． 4或2-6. 已知1sin cos 8αα⋅=，4590α︒<<︒，则cos sin αα-=（ B ）A B ．C ．34 D ．7. 已知方程()24210x m x m -++=的两根恰好是一个直角三角形两锐角的余弦值，则m 的值为（ B ）A ．BC ．D ．不能确定8. 如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ C ）第8题图 第9题图A ． 1732B ．12C ．1736D ．17389. 如上图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点 M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则 k 的值为（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410. 一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x ，掷第二次，将朝上一面的点数记为y ，则点() x y ，落在直线5y x =-+上的概率为（ C ）A ．118 B ．112 C ．19 D ．14二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若()()22222340x y x y +++-=，则22x y +=1 ． 12. 下列命题：①有两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等；②三角形的内角至少有一个不小于60︒；③若a ，b ，c 是三角形的三条边，则22220a b c ab +--<；④8点30分，时针与分针的夹角是60︒；⑤若n 是自然数，则2361n n ++不可能为3的倍数，上述命题是真命题的是 ②③⑤ ．13. 在一块长为8、宽为且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是2 ．第13题图 第14题图 第15题图14. 如上图，在一个坡角为30︒的斜坡上有一棵树，高AB ，当太阳光与水平线成60︒时，测得该树在斜坡上的树影BC 的长为6m ，则树高AB =6 m ．15. 如上图一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ，C ，D 三人随坐在其他三个座位上，则B 与D 相邻而坐的概率是23 ． 16. 如图，OPQ △的边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的关系式是()0y x x=> ．第16题图 第17题图17. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列关系式中：0a <①；0abc >②；0a b c ++>③；240b ac ->④．其中不正确的序号是 ③ ．18. 将抛物线()20y ax bx c a =++≠ 向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是()3 10 ， ．三、解答题（共58分）19. （8分）小丁和小王一起玩掷骰子游戏，小王说：我们轮流掷两颗骰子，如果点数之和为2、3、4、5、10、11、12，就算我胜；如果点数之和为6、7、8、9，就算你胜．小丁则认为小王在7种情况下可以获胜，而自己只在4种情况下才能获胜，因此获胜的机会较小，你支持小丁的想法吗？如果请你做裁判，你能设计出公平合理的游戏规则吗？20. 点数和为4、7、8、9，则小丁赢．这样会公平．（10分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60︒．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度 1i =，10AB =米，15AE =米．（1）（4分）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）（6分）求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1 1.414 1.732）21. （10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点()2 0A -，，与反比例函数在第一象限内的图象的交于点()2B n ，，连接BO ，若4AOB S =△．（1）（6分）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）（4分）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求OCB △的面积．22. （10分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？23. （10分）如图所示，已知在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，E 是AC 的中点，ED 交AB 延长线于F ，求证：AB DF AC AF=．24. （10分）如图，在ABC △中，90C ∠=︒， 5 BC m =，12 AC m =．M 点在线段CA上，从C 向A 运动，速度为1 /m s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2 /m s ．运动时间为t 秒．（1）（4分）当t 为何值时，∠AMN=∠ANM ？（2）（6分）当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．。
2015年长沙市“学用杯”初中数学九年级决赛试题及答案
2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 复 赛 试 题（2015年3月28 日（星期六）上午 9:00—11:00 时量：120分钟 满分：150分）题号1 2 3 4 5 答案1．若二次函数y ax bx c =++（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1,0),(0,-1)，则s a b c =++的值的变化范围是A ．02s <<B ．01s <<C ．10s -<<D ．20s -<<2．如右图，边长分别为a ，b ，c 的三个正方形紧靠在一起，有两个顶点在三角形内，其余各顶点均在一个直角三角形的边上，则a ，b ，c 之间的关系为A ．2b c a = B ．b c a =+ C ．222b c a =+ D ．22ab c bc a +=+315b ，则4322012376b b b b -+++的值为A ．136B ．22C ．0D ．－8 4．若P 为质数，P 3+3仍为质数，则P 17+33的末位数字是A ．5B ．7C ．9D ．不能确定5．下述三个图，都是由两个全等的直角三角形摆放而成，由这样的图推证勾股定理，能够推证勾股定理的图形的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a ，b ，c ，d 是四个不同的有理数，且满足()()20150a c a d +++=，()()20150b c b d +++=，则()()a c b c ++的值为 ．7．如右图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝60°，BC ＝1，CD 12 DA ＝3，则AB ＝ ．8．从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任意取出2张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数 字，组成一个两位数，则所组成的数是6的倍数的概率为 ．9．已知有理数a ，b ，c 满足111151617ab ac bc a b a c b c ===+++，，，则3332223()()()a b c abca b b c c a ++--+-+- 的值为 ．10．如右图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与∠ABC 的平分线交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝ ．三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知二次函数222y x mx n =+-．（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记m ，n +4两数中较大者为P ，试求P 的最小值；（2）若m ，n 变化时，这些函数的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆．证明：这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标．12．有一种室内游戏，魔术师要求参与者想好一个三位数abc ，然后魔术师要求他记下五个数：,,,,acb bac bca cab cba ，并把这五个数加起来求出和N ．只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc是多少．如果N ＝3194，请你确定这个三位数abc ．13．能否在凸六边形中作若干（不是所有的）条对角线，使得每条对角线都在凸六边形内恰好与别的3条（第10题图）对角线相交？14．如下图，△ABC 的内切圆⊙I 与边BC 、AC 分别切于点D 、E ，直线BI 与直线DE 交于点F ，过F 作BC 的平行线交AC 于点N ，（1）求证A 、I 、E 、F 四点共圆； （2）求:AN NC 的值．（第14题IFE BNAC2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛复 赛 试 题 参 考 解 答一、选择题（每题7分）1．选D ．理由：由于图象过点（－1，0）、（0，－1），则有10.c a b c =-⎧⎨-+=⎩，从而1a b c b =-=+，即知112s a b c b b b =++=++-=.又由题设条件知图象开口向上，有0a >且02ab->，即得20b <.由1b a =-及0a >推知1b >-.故22b >-.有20s -<<. 2．选B ．理由：由边长分别为a ，c 的正方形上方的两个小直角形相似有b a ac b c-=-，即()()b a b c ac --=，化简得b a c =+.3．选B ．理由：由题设知9<15<16，从而15153，于是153b =+，即15=9+6b +b 2，亦即b 2+6b=6.又432432222220()20))2022123762636)(6(6(6b b b b b b b b b b b b b -=-=-=++++++++++ .4．选A ．理由：由P 3+3为质数，可知P 为偶数，又P 为质数，则P =2. 从而P 17+33=217+33=（24）4×2+33.因（24）4的末位数为6，则217的末位数为2，因此P 17+33的末位数为5.5．选D ．理由：如右图，均联结两个直角三角形的锐角顶点. 均考虑四边形ADBC 的面积. 图（1）S 四边形ADBC 211=22ABC ABD S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ADBC ＝S 梯形BCED －S △AED 211()22a b ab =+- 由221111()2222ab c a b ab +=+-有222a b c += 图（2）S 四边形ADCB 211=22ADC ACB S S b ab ∆∆+=+ 又S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB 211()22c a b a =+- 由221111()2222b abc a b a +=+-有222a b c += 图（3）S 四边形ACBD 211=22ACB ABC S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ACBD ＝ACB S ∆+ABE S ∆+AED S ∆－BDE S ∆21111()2222ab b ab a b a =++-- 由上即有222a b c +=.此图（3）也可以考虑四边形ABED 的面积.二、填空题6．填2015．理由：由两个条件有2()20150a a c d cd ++++=，2()20150b b c d cd ++++=，知a ，b 是关于x 的方程2()20150x c d x cd ++++=的两个不同的根，由韦达定理，有()a b c d +=-+，2015ab cd =+.因此2()()()a c b c c c a b ab ++=+++[]2()20152015c c c d cd =+-+++=．7．填5．理由：如图，延长AD 、BC 交于点E ，则△ABE 为正三角形．设AB ＝x ，则DE =x －3，CE =x －1，∠DEF ＝60°．作DF ⊥CE 于点F ，则∠EDF ＝30°， 从而11(3)22EF DE x ==-111(3)(1)22CF CE EF x x x =-=---=+．由勾股定理，有2222DE EF DC CF -=-即22231(3)()12()22x x x -+-+=-，解得5x =．8．填15．理由：能解组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54共8个，又是偶数的则只有4个：12，24，42，54．故所求概率为41205=．9．填1911008．理由：由题设条件有1115ab+=，1116ac+=，1117bc+=，三式相加有11124abc++=，于是由此式分别减去前三式可得17a =，18b =，19c =．因33322213()()()()2a b c abc a b c a b b c c a ⎡⎤++-=++-+-+-⎣⎦，从而333222311111191()()()()()227891008a b c abc a b c a b b c c a ++-=++=++=-+-+-．10．填50︒．理由：如图，作PF BD ⊥于点F ，作PG AC ⊥于点G ，作PE AB ⊥于点E ， 则PE PF PG ==，从而P 也在∠EAG 的平分线上.由1211()4022BPC PCF PBC ACF ABC BAC ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒， 得∠BAC ＝80°．于是100EAC ∠=︒，故50CAP ∠=︒．三、解答题 11．（1）由二次函数过点（1，1）得 22n m =． ………2分注意到2211(4)(4)(28)(4)(2)222n m n n n n n n -+=-+=--=-+………4分所以 22242n n p n ⎧≤-≥⎪=⎨⎪+-<<⎩当或n 4当n 4 ………8分再利用图象知，当n =－2时，min 2p =． ………10分 （2）设图象与坐标轴的三个不同交点为212(0),(0),(0)A x B x C n -，，， ………12分 又212x x n =-，若0n =，则与三交点不符， 故2120x x n =-<，所以12,x x 分别在原点左右两侧. ………16分 又2121x x n = ，所以，存在点0(0,1)P 使得0OA OB OP OC = . ………18分 故A 、B 、C 、P 0四点共圆.即这些圆必过定点0(0,1)P ． ………20分12．由题设得，3194acb bac bca cab cba ++++=. ………2分 两边加上abc 得222()3194a b c abc ++=+ ………4分 则222()2221486a b c abc ++=⨯++ ………6分 即知86abc +是222的倍数，且14a b c ++> ………10分 设86222abc k +=，因abc 是三位数， 依次取k =1，2，3，4，分别得出abc 的可能值为136，358，580，802． ………18分 注意到14a b c ++>，知abc 为358． ………20分13．如右图所示，在凸六边形中有两类对角线： 一类是“长对角线”，它们连接两个相对顶点如A 2A 5； 另一类是“短对角线”，它们连接两个间隔一顶点的顶点 如A 1A 3、A 2A 6、A 2A 4等． ………5分 如果仅作长对角线，题中所要求的性质不能满足，因此，在所作的对角线中一定要有短对角线 ………10分 但是，一旦作了某条短对角线，如图A 1A 3，那么，它只能与由A 2所引出的三条对角线在形内相交．因此，此时就要作短对角线A 2A 4和长对角线A 2A 5；………15分 再对短对角线A 2A 4作类似的考虑，发现又要作短对角线A 3A 5和长对角线A 3A 6；继续这种下去，就会发现，所有的对角线都需要作出． 此时，显然不能满足题目要求．………20分14．如右图，（1）连接AI 、IE ，则IE AE ⊥. ………2分且1902AEF DEC C ∠=∠=︒-∠，以及11180180(90)9022AIF AIB C C ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠．………8分从而AEF AIF ∠=∠．故A 、I 、E 、F 四点共圆． ………10分（2）连接AF ，由A 、I 、E 、F 四点共圆，知90AFI AEI ∠=∠=︒．即知△ABF 为直角三角形．………12分 设直线FN 交AB 于点M ，由MF ∥BC ，知MFB FBC FBM ∠=∠=∠，从而△MBF 为等腰三角形，………14分 即MF =MB ．由ABF ∠与BAF ∠互余，MFB ∠与MFA ∠互余， ………16分 则MFA MAF ∠=∠，有MF =MA ．即知M 为AB 的中点，从而N 为AC 的中点． ………18分 故:1AN NC = ………20分IFE BNDAC更多长沙中考资讯、政策，尽请关注家长帮长沙站微信公众号（changshajzb）。
长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛 九 年 级 初 赛 试 题及答案
CABD M 第15题2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题（时量：90分钟 满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 12345678910 答案1．设P ＝121220132012++，Q ＝121220142013++，则P 与Q 的大小关系是A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．不能确定2．边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取 A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 4．若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点（b a +，ac ）在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于A ．152B ．143C ．132D ．108 6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于 A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50°7．已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。
如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 A ．6 B ．8C ．9D ．108．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是 A ．11 B ．13 C ．17 D ．19 9．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是 A ．k ≤1 B ． 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D ． k ≤－1或k ≥110．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,5BE =，则梯形ABCD 的面积等于A ． 13B ． 8C ． 132D ． 4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31)5(2)3(222，则=-b a ． 12．若532=-+c b a , 8765=+-c b a ，则=-+c b a 529 .13．若m ，n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则=-+n m m 22??? ????? ．14．已知3=xy ，那么yxyx y x +的值是 ． 15．如图，在△ABC 中，中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 度. 16．已知t bac a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx y +=一定通过第 象限． 17．不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，那么=+b a ．18．如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径, 四边形CDMN和DEFG 都是正方形. 其中,,C D E 在AB 上, ,F N学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼ABCD E 第10题Oxy第4题 A B C D 第6题O C B A D 第5题第18题在半圆上，则两个正方形的面积之和为?? ????? ．.三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（本题满分14分）如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与正比例函数x y 3=的图象交于点C ，点D 是线段OB 上的一个动点（不包含O 、B 两点），以AD 为边在其一侧作等边三角形ADE ，DE 交AB 于F ，AD 交OC 于G .(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似，为什么？ (3)证明CE 总与AB 垂直.20．（本题满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合，另一直角顶点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 的坐标分别为B （12，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.，点M 、N 分别从A 、C 两点同时出发做匀速运动，其中点M 沿AB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位；点N 沿CD 向终点D 运动，速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.（1）如图2，设点M 、N 的运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形MBCN 为平行四边形？ （2）在（1）的条件下，连结DM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；（3）已知二次函数的图象经过D 及（1）中的点M 、N ，求该二次函数的解析式；（4）在运动过程中，是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形？如果存在，请求出直线MN 的解析式；如果不存在，请说明理由.（图3供解答本小题用）x O B Ay C DGF E2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDABBCCCD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11、3； 12、28； 13、4； 14、32±；15、30︒； 16、二、三； 17、21-； 18、2R三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．(1)在y=-3x+23中，令x=0得y=23,令y=0得x=2， ∴A 的坐标为(2，0)，B 的坐标为(0，23).由⎩⎨⎧=+-=x 3y 32x 3y 得⎩⎨⎧==3y 1x ，即C 的坐标为(1，3). ……………………………………（4分）(2) △ADF ∽△ACG. 由tan ∠OAB=3得∠OAB=60?，由tan ∠AOC=3得∠AOC=60?, ∴△OAC 为等边三角形。
初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题及答案(有答案).docx
2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题一、选择题1. 一条抛物线y = ax~ +bx + c的顶点为（4, -11）,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、队c中为正数的（）.（A）只有a （B）只有（C）只有c（D）只有a和2.甲、乙二人在如图所示的斜坡上作往返跑训练.已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是"米/分，（a＜。
）；乙上山的速度是』^米/分，下山的速度是22b米吩.如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为H分），离开点A的路程为S （米）.那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间1（分）与离开点A的路程S （米）之间的函数关系的是（）( )(A) p=l, q= 2 (B) p=3, q=2(C) p=±3, q=2 (D) p=3, q=±24.如图，在锐角△A8C中，以BC为直径的半圆O分别交AB,A C与两点，且cosA=—,3则S AADE •S四边形DBCE的值为(A) - (B) - (C)—2 3 2B O5.如图所示，在左ABC 中，DE//AB//FG,且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2.若ZsABC 的面积为6. 如果x 和y 是非零实数，使得|x| + y = 3和|中+尸=0,7.（A ） 3 （B ） V13（C ） J而（D ） 4-V132二、填空题7. 请用计算器计算下列各式，3X4, 33X34, 333X334, 3333X3334.根据各式中的规律，直接写出333333X333334的结果是.8. 如果将字母。
，b, c, d, e 按66aababcabcdabcdeaababcabcdabcde …”这样的方式进行排 列，那么第2004个字母应该是・ 9. 已知，X ----— 1 （■¥＞（））,则尤"=.XX10. 据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数r 与这两个城市的人口数初、〃（单 位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有T = 罕的关系化为常数）.现测得A 、 B 、C 二个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通 话次数为f,那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用f 表示）.11. 已知：如图，在/XABC 中，BC 边的长为12,且这边上的 高AO的长为3 ,则△ ABC 的周长的最小值 为.12. 实数 x 、y 、z 满足 x+y+z=5, xy+yz+zx-^,则 z 的最大值 是.三、解答题（共3题，每小题20分，满分60分）13. 一列客车始终作匀速运动，它通过长为450米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33 秒；它穿过长760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒.从客车的对面开来一32 , △ CDE 的面积为2 ,则△ CFG 的面积S 等于(A) (B) 8(C) 10(D) 12请用计算器计算下列各式,0（人口： 50万）8（人口： 80万） C （人口： 100万）列长度为。
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛 九年级初赛答案
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11、3； 12、28； 13、4； 14、32±； 15、30︒； 16、二、三； 17、21-； 18、2R三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．(1)在y=-3x+23中，令x=0得y=23,令y=0得x=2， ∴A 的坐标为(2，0)，B 的坐标为(0，23).由⎩⎨⎧=+-=x 3y 32x 3y 得⎩⎨⎧==3y 1x ，即C 的坐标为(1，3). ……………………………………（4分） (2) △ADF ∽△ACG.由tan ∠OAB=3得∠OAB=60︒，由tan ∠AOC=3得∠AOC=60︒, ∴△OAC 为等边三角形。
又∵△ADE 也为等边三角形， ∴∠OCA=∠ADE=60︒,而∠DAF=∠CAG ，∴△ADF ∽△ACG 。
…………………………………………（10分） (3)∵∠OAC=∠DAE ，∴∠OAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠OAD=∠CAE, 在△OAD 和△CAE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AEAD CAE OAD CA OA ∴△OAD ≌△CAE∴∠ACE=∠AOD=90︒，即CE 总与AB 垂直. ……………………………………（14分）20.解：（1）由MB=NC 得12—t=3t ∴t=3故当t=3时，四边形MBCN 为平行四边形 ………………（3分） （2）连结AP 可知AD=8，AM=3， ∴DM=2238+=73∴DMADAD PD =， ∴PD=DM AD 2=7364=737364 ………………（6分）（3）可知DN=DC —NC=14—3×3=5，∴N （5，0）又M （3，8），D （0，0） 设过D 、M 、N 的二次函数的解析式为y = a x （x —5），将（3，8）代入 得8=3×（3-5）·a ∴a = —34所求解析式为y = —34x （x —5），即y = —34x 2 +320x ……（10分）（4）假设存在MN 与⊙E 相切，切点为F ，作MG ⊥DC 于G可知MF=MA=t ，FN=DN=14—3t ， ∴MN=14—2t ，NG = t —(14—3t) = 4t —14Rt △DMG 中，MN 2=NG 2+MG 2得 (14—2t ) 2 = (4 t —14 ) 2 +82 ∴t 1=2，t 2=38∴M 1（2，8），N 1（8，0）和M 2（38，8），N 2（6，0）设直线MN 的解析式为y=k x +b ， 将M 1（2，8），N 1（8，0）代入 得M 1N 1……：y = —34x +332将M 2（38，8），N 2（6，0）代入得M 2N 2……：y = —512x +572 故存在直线MN ：y = —34x +332或y = —512x +572与⊙E 相切。
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题（A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1（A ）6-＜t ＜112- （B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-（A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）812．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点（不是端点），满足CD AB ⊥，DE CO ⊥，垂足为E ．若10CE =，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．（第12题）13.设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新大赛（初三）试题参考答案 一、选择题1．C解：1!1=，2!2=，3!6=，4!24=，又知5!，6!，7!，8!，9!，10!的末位数均为0，而1!2!3!4!+++的末位数是3，所以，1!2!3!10!++++的末位数是3．2．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以：22212ab bc ca a b c ++=-++． 3．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得 ：6-＜t ≤112-． 4．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC5．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．二、填空题 6．9解：由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y，（第4题）z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯． 8．20413解：如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=．所以，四边形AEFD 的面积是20413．9．207解：设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100221002100200⎛⎫⎫=⨯+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)， C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CEBE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒……10分（第7（乙）题）（第11题）因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：连接AC ，BC ，则90ACB ∠=︒．又CD AB ⊥，DE CO ⊥，由Rt △CDE ∽Rt △COD 可得2CE CO CD ⋅=，由Rt △ACD ∽Rt △CBD 可得2CD AD BD =⋅，所以CE CO AD BD ⋅=⋅．设AD a DB b ==，，a b ，为正整数，则2a bCO +=，又10CE =，代入上式得102a bab +⋅=， …………10分整理得：(5)(5)25a b --=．考虑到a b >，只能是550a b ->->，得52551a b -=-=，． 因此30AD a ==． …………20分13．解：不能．依题意，得 111()()()222a y zb x zc x y =+=+=+，，． 因为2y z =，所以211(1)()()222z z a y z z z +=+=+=．又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．…………10分当2z =时，2242)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数矛盾；…………15分当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10ki m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)ki m +，即i 为m 的魔术数．所以，n 的最小值为7． …………20分（第12题）。
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题.docx
a1，a2，⋯ ，an中的
一个正整数M是i，j (1≤i＜j≤7)的公共的魔 数， 即7|(10M
i)，7|(10M
j)．
有7|(j
i)，但0＜j
i
≤6，矛盾．
a1，a2，⋯，an
1 2
7
故n≥7．⋯⋯⋯⋯10
分
又当
m
， ，⋯，
， 任意一个正整数
， 其k位数（k
正整数）．10k
2019-2020学年九年级数学应用与创新能力大赛决赛试题
一
二
三
题
号
总
分
1～5
6～10
11
12
13
14
得
分
评卷人
复查人
（A）0
（B）1
（C）3
（D）5
（A）
1
（B）0
1
（ ）1
（ ）
2
C
D
2
（A）6＜t＜
11
（B）6
≤t＜
11
2
2
（C）
6＜t≤
11
（D）6
≤t≤
11
2
2
（A）OD
（B）OE
（C）DE
a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
14．如果将正整数
M放在正整数
m左侧，所得到的新数可被
7整除，那么称
M为
m的“魔术
数”（例如，把
86放在
415的左侧， 得到的数
86415能被
7整除，所以称
86为
415的魔术
数）．求正整数
n的最小值， 使得存在互不相同的正整数
2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛
数学竞赛试题一、选择题（本题共10小题，每小3分，共30分） 1． 多项式22245a b a b +--+的值总为（ ）A ．非负数B ．零C ．负数D ．正整数2． 比较2）A．2 B．2< C2<D23． 当230x ->时，1x -（ ）A ．2x -B ．34x -C ．2x -D ．43x -4． 设0a b c >>>，1a b c ++=，，a c N b +=，a bP c+=，则M ，N ，P 之间的大小关系是（ ） A ．M P N >>B ．N P M >>C ．P M N >>D ．P N M >>5． 下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边长是5；②2a =；③若点()P ab ，在第三象限，则点(1)Q a b --+，在第一象限；④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，其中正确的命题的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 在ABC △中，5AC =，中线4AD =，则AB 的取值范围是（ ）A ．313AB << B ．513AB <<C ．913AB <<D ．19AB << 7． 如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点．P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设AOC △的面积为1S 、BOD △的面积为2S 、POE △的面积为3S ，则有（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．123S S S =<D ．123S S S =>8． 有钢笔，练习本，圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购钢笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，现购铅笔、练习本、圆珠笔各1件，共需（ ） A ．1.2元 B ．1.05元 C ．0.95元 D ．0.9元 9． 关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．1a >-且0a ≠ C ．1a <- D ．1a <-且2a ≠-10．如图所示，已知ABC △和DCE △均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论：①AE BD =；②AG BF =；③FG BE ∥；④BOC EOC ∠=∠，其中正确结论的个数（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．若30a b +=，则22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷= ⎪+-⎝⎭ ． 12．已知0x ≤≤1，若223x y +=，1xy =，则x y -= ． 13．分解因式：2235294x xy y x y +-++-= ．14．如图，DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ︒∠=，则B ∠= ．15．如图是根据某初中为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生有2000人，请根据统计图计算该校共捐款 元．OGFED C B AEDCBA16．设多项式53ax bx cx d M +++=，已知当0x =时，5M =-；当3x =-时，7M =，则当3x =时，M = ． 17．如图，直线1y kx b =+过点(02)A ，，且与直线2y mx =交于点(1)P m ，，则关于x 的不等式组2mx kx b mx >+>-的解集是 ．18． 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形11OA B C 的对角线1A C 和1OB 交于点1M ；以11M A 为对角线作第二个正方形2121A A B M ，对角线11A M 和22A B 交于点2M ；以21M A 为对角线作第三个正方形3132A A B M ，对角线12A M 和33A B 交于点3M ，……，依次类推，这样作的第n 个正方形对角线交点的坐标为n M ．三、解答题（本题有4小题，共46分） 19．（本题满分12分）“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A 、B 、C 三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A 种玩具x 套，B 种玩具y 套，三种电动玩具的进价和售价如表所示．⑴ 用含x 、⑵ 求y 与x 之间的函数关系式；⑶ 假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．①求出利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．20．（本题满分12分）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG CE⊥，垂足为点O，交AC于点F，交AD 于点G．⑴证明：BE AG=；⑵点E位于什么位置时，AEF CEB∠=∠，说明理由．21．（本题满分12分）在平面直角坐标系内有两点(20)A-，，(40)B，和直线15:22l y x=+．在直线l上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本题满分10分）已知a，b是实数，若关于x，y的方程组22y x ax bxy ax b⎧=--⎨=÷⎩，有整数解()x y，．求a，b满足的关系式．。
初三数学创新试题及答案
初三数学创新试题及答案在数学的海洋里，创新试题总能激发学生的思维火花。
下面是一道初三数学的创新试题，旨在考察学生对函数、几何和代数的综合运用能力。
试题：小明在一次数学竞赛中遇到了一个有趣的问题。
题目是这样的：给定一个二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)、\( b \)和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。
这个二次函数的图像与\( x \) 轴交于点 \( A \) 和 \( B \)，且 \( A \) 和 \( B \) 的横坐标分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)。
现在，小明需要找到一个新的二次函数 \( y = Ax^2 + Bx + C \)，使得它的图像与原函数的图像关于 \( x \) 轴对称，并且与 \( y \) 轴交于点 \( D \)，其纵坐标为 \( C \)。
小明首先需要确定原函数与 \( x \) 轴的交点坐标，然后根据对称性找到新函数的表达式，最后计算出点 \( D \) 的坐标。
解答：首先，我们知道二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 与 \( x \) 轴的交点可以通过解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 得到。
根据韦达定理，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是这个方程的两个根，因此有 \( x_1+ x_2 = -\frac{b}{a} \) 和 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)。
由于新函数的图像与原函数关于 \( x \) 轴对称，我们可以推断新函数的形式为 \( y = -ax^2 - bx - c \)。
这是因为关于 \( x \) 轴的对称意味着 \( y \) 值取反，而 \( x^2 \) 和 \( x \) 的系数保持不变。
接下来，我们需要找到新函数与 \( y \) 轴的交点 \( D \)。
2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛5
数学竞赛试题（5）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1． 如果a b >b 一定是（ ）A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数2． 一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．恰有两边相等的三角形D ．恰有一个内角为60℃的三角形3． 如图ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，且AB AC CD =+，40B ︒∠=，那么C ∠的大小是 （ ）A ．60︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒4． 已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，0abc >，a b c x a b c =++，111111y a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则23x y xy ++的值等于（ ）5． 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是（ ）A ．24aB ．30aC ．36aD ．42a6． 若多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则a b 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 7． 已知0abc ≠，且a b b c c a k c a b+++===，则函数y kx k =+的图象一定经过（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限8． 若干名游客乘坐游船，要求每艘游船乘坐的人数相同，若每艘游船坐12人，结果剩下1人未能上船，若有一艘游船空着开走，则所有游客正好能平均分到其余游船上．已知每艘游船最多只能容D CB Aα纳15人，则游客共有（ ）人．9． 使得27m m ++为完全平方数的正整数m 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．无数个10．已知a 、b 、c 为整数，且满足不等式222486124a b c a b c +++<++，则2008()a b c +-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．9二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．已知269a a -+与1b -互为相反数，则()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为 ． 12．已知115x y +=，则2322x xy y x xy y-+++的值为 ． 13．数字保密传递常常是按一定规则将其加密，收件人再按约定的规则将其解密．某电文按下面正规则加密：将一个多位数的各个数位上的数都立方再加1，然后取运算结果的个位上的数为加密后的数字工．若某一位的数是1，则变成2；若某一位上的数是4，则变成5；…，那么“2008”加密后是 ．14．分解因式2222()4()4()a b a b a b +--+-= ．15．已知a 、b 、c 为ABC △的三条边，且20a ab ac bc +--=，20b bc ba ca +--=，则ABC △是 三角形．16．如图，边长分别为1、2、3、4、…、2007、2008的正方形叠放在一起，则图中阴影部分的面积和为 ．17．如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=，则:B C ∠∠的值为 ．18．如图，有七个大小相同的正方体，每个正方体的六个面上分别写有1到6这六个整数，并且任意两个相对面上的两数之和为7．把这些正方体如图所示一个挨一个地连接起来，使相贴的两个面上的两数之和为8，则“※”所在面上的数是 ．三、解答题（本题有4小题，共46分）19．（本题满分12分）如图所示，等边三角形ABC 中，2AB =，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与点A 重合，但不与点B 重合），过点P 作PE BC ⊥，垂足为E ，过E 作EF AC ⊥，垂足为F ，过F 作FQ AQ ⊥，垂足为Q ，设BP x =，AQ y =．⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式；⑵ 点P 与点Q 合重合吗？若能重合，请指出位置：若不能重合，请说明理由．200820074321020．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点(13)A ，、(52)B -，，在x 轴上找一点P ，使：⑴ AP BP +最小；⑵ AP BP -最小；⑶ AP BP -最大．21．（本题满分12分）在“抗击冰雪，温暖三湘”活动中，一批救灾物质须运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可以雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2n 次、n 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：⑴ 乙车每次所运货物是甲车所运货物的几倍？⑵ 现甲、乙、两合运相同次数把这批货物运完时，应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）22．（本题满分10分）在我们生活中，就一对新自行车轮胎而言，后轮轮胎磨损要比前轮轮胎快．经测试，一般自行车前轮轮胎行驶11000千米后报废，后轮轮胎行驶9000米后报废．可见当行了9000千米后轮轮胎报废时，前轮轮胎还可使用，这样势必造成一定的浪费，如果前后轮互换一次，使前后轮轮胎同时报废，则自行车行驶的路程会更长．请问经过互换一次，自行车最多可行驶多少千米？应在行驶了多少千米时把前后轮互换一次． FE P QCB A。
2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛2
数学竞赛试题（2）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1． 已知402020102010x +=，则x 的值是（ ）A ．0或1B ．1-或0C ．1或1-D ．1-或2-2． 若1x >，y为有理数，且y y x x -+=，则y y x x --等于（ ）A ．2B ．2-CD ．2或2-3． 若1n >，则1n n -，1n n -，1n n +这三个数的大小关系是（ ） A ．111n n nn n n ->>-+ B ．111n n n n n n ->>-+ C ．111n n nn n n ->>+-D ．111n n n n n n->>+- 4． 若a 是无理数，且a 、b 满足10ab a b --+=，则是一个（ ）A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数5． 设b a >，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图象画在同一直角坐标系内，则有一组a 、b 的取值，使得下图中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 如图，ABC △，2A B ∠=∠，72C ≠︒∠，CD 平分ACB ∠，P 为AB 中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AD =- D ．AD BC BD =-7． 在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下： ⑴ 对任意数a 、b ，有*(1)(1)a b a b =+⋅-；⑵ 对任意实数a ，有*2*a a a =，当2x =时，*23*()2*1x x ⎡⎤-+⎣⎦的值为（ ）A ．34B ．16C ．12D ．68． 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，APB ∠，BPC ∠，CPA ∠的大小之比为5:6:7，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（ ） A ．2:3:4 B ．3:4:5 C ．4:5:6 D ．以上结果都不对二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9． 如图，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，BC 被点D 、E 三等分，且3BC AC =，那么AEC ADC ABC ∠+∠+∠= ．10．已知101.01 1.1045=，则不等式10(122%)(1000010)(11%)x +-+10000(110%)+≥的正整数解的最大值是．11．在直角从标系xOy 中，x 轴上的动点(0)M x ，到定点(55)P ，，(21)Q ，的距离分别为MP 和MQ ，那么，当MP MQ +取最小值时，点M 的横坐标x = ． 12．等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数高于 ．13．若22008a x +=，22009b x +=，22010c x +=，且12abc =，则111a b c bc ca ab a b c++---的值为 ．14．兄弟两人举行100米赛跑，当哥哥到达终点时，弟弟在94米处，如果两人的速度仍和原来一样，进行第二次比赛，但让弟弟在原起跑点起跑，哥哥退后几米起跑，要使两人同时到达，哥哥应后退多少米？设哥哥应退x 米，则可列方程为 ．15．甲、乙、丙三个足球队按一种新记分办法进行循环赛，这种记分办法规定：每胜一场得10分，每平一场双方各得5分，每进一球得1分，比赛中途统计各队得分：甲队共得3分，乙队共得7分，丙队共得21分，这时三个队共进球数为 ． 16．若y =2010()x y xy +-的值为 ．PCB AEDC BA三、解答题（本大题有4个小题，每小题10分，共40分） 17．问题：甲、乙二人两次在同一粮店购粮（假设购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为每千克x 元，第二次购买粮食的单价为每千克y 元． 若规定，谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人购粮方式哪一个合算些，并说明理由． 18．如图，设20MON ︒∠=，A 为OM上一点，OA =D 为ON上一点，OD =，C 为AM上任一点，B 是OD 上任意一点，求折线ABCD 的长度的最小值．19．在边防沙漠地带巡逻车每天行驶200km ，每辆巡逻车可装载供行驶14天的油料，现有5辆巡逻车同时从驻地A 出发，完成任务后再原路返回驻地，为了让其中三辆车尽可能向更远的距离巡逻（然后一起返回），甲、乙两车行至途中B 处后，仅留足自己返回驻地所需的油料，将多余的油料留给另外三辆车使用，问其他三辆车可行进的最远距离是多少千米？ 20．已知n 为正整数： ⑴ 试比较8917与8917n n++的大小； ⑵ 从⑴的结论，你发现了什么规律？ ⑶ 试问：在8917n n ++与8917之间至多至少各有多少正整数？试写出这些正整数．ON MDCBA。
2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛八年级决赛试题及答案(word版)
2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八 年 级 决 赛 试 题（2013年3月17日9:30---11:30 时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分）1．已知式子1||)1)(8(-+-x x x 的值为零，则x 的值为（ ）A 、8或-1B 、8C 、-1D 、1 2．若01<<-a ，那么)1)(1(a a a +-的值一定是（ ）A 、正数B 、非负数C 、负数D 、正负数不能确定 3．定义：),(),(a b b a f =，),(),(n m n m g --=，例如)2,3()3,2(=f ，)4,1(--g)4,1(=，则))6,5((-f g 等于（ ）A 、)5,6(-B 、)6,5(--C 、)5,6(-D 、)6,5(-4．已知5=-b a ，且10=-b c ，则ac bc ab c b a ---++222等于( )A 、105B 、100C 、75D 、505．有面额为壹元、贰元、伍元的人民币共10张，欲用来购买一盏价值为18元的护眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付款方式有（ ） A 、8种 B 、7种 C 、4种 D 、3种6．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和102，那么这个三角形的斜边长为( )A 、10B 、104C 、13D 、1327．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于点F ，垂足为E ，则下面结论：①AD BF =； ②BF =AF ； ③AC CD AB +=； ④BE CF =； ⑤AD =2BE ． 其中正确的个数是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、18．如果一直线l 经过不同三点A ),(b a ，B ),(a b ，C ),(a b b a --，那么直线l 经过（ ）A 、第二、四象限B 、第一、三象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限9．能使54+m ，12-m ，m -20这三个数作为三角形三边长的整数m 共有（ ）A 、18个B 、12个C 、6个D 、2个 10．如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE =6，那么△ABC 的 面积等于( )A 、12B 、14C 、16D 、18二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）11．已知02)4(|2|2=-++++-c b a b a ，则bac ）（的平方根是 . 12．若a 、b 、c 满足173=++c b a 和2001104=++c b a ，则分式ba cb a 3+++的值为 ．13．方程5|2||1|=-++x x 的解为 .14．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可注满全池；乙，丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要 分钟可以注满全池．15．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表：其中乙的第5次成绩的个位数字被污损，则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是 .三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）19、今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000 m2和B种板材24000 m2的任务.⑴如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40 m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：问这400间板房最多能安置多少灾民？20、小明家今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示.⑴观察图象，直接写出日销售量的最大值；⑵求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；⑶试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？21、如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．⑴求证：四边形AECF为平行四边形；⑵当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB:AE的值．22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC 在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC 重叠部分面积为S.⑴当t=1时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；⑵当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；⑶在整个运动过程中．．．．．．．，当t为何值时S最大？最大面积是多少？2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八年级决赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11．41±； 12．39992000-； 13．3=x 或2-=x ； 14．10 ；15．103. 16． 36 ； 17． 13 ； 18．5．三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）19、解：⑴ 设有x 人 生产A 种板材，则有 (210-x )人生产B 板材，根据题意列方程：48000240006040(210)x x =-……………………………………………………………………………3分6x =8(210-x) x =120. ………………………………………………………………………4分 经检验x=120是原方程的解． 10-x =210-120=90. ………………………………………6分 ⑵ 设生产甲型板房m 间，则生产乙型板房为(400-m )间．根据题意得：108156(400)480006151(400)24000m m m m +-≤⎧⎨+-≤⎩…………………………………………………………………9分解得：3m ≤≤． …………………………………………………………………………11分设400间板房能居住的人数为W ．则W =12m +10(400-m) W =2m +4000. ………………13分 ∵k =2>0, ∴ 当m =360时，=236W ⨯最大值（人）． …………………………………15分20、解：⑴ 120千克； …………………………………………………………………………2分 ⑵ 当0≤x ≤12时，函数图象过原点和（12,120）两点，设日销售量y 与上市时间x 的y x120=12 k ,∴k =10,即日销售量y 与上市时间x 的函数解析式为y =10x ； ……………………5分当12≤x ≤20时，函数图象过（20,0）和（12,120）两点，设日销售量y 与上市时间x 的函数解析式为y = k x +b,由待定系数法得，⎩⎨⎧=+=+02012012k b k b ,解得⎩⎨⎧==30015-b k ，即日销售量y 与上市时间x 的函数解析式为y =-15x +300； ……………………………………8分⑶ 由函数图象2可得，第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜x ≤15时，直线过（5,32），（15,12）两点，设樱桃价格z 与上市时间x 的函数解析式为z=k x +b,由待定系数法得，⎩⎨⎧=+=+1215325k b k b ，解得⎩⎨⎧==42-2b k ，即樱桃价格z 与上市时间x 的函数解析式为z =-2x +42， …………………… 12分∴当x =10时，日销售量y =100千克，樱桃价格z =22元，销售金额为22×100=2200元；当x =12时，日销售量y =120千克，樱桃价格z =18元，销售金额为18×120=2160元； ∵2200＞2160，∴第10天的销售金额多. ………………………………………………………15分 21、解答：⑴ 证明：∵AE ⊥BC ，∴∠AMB=90°， ∵CN ⊥AD ，∴∠CNA=90°， 又∵BC ∥AD ，∴∠BCN=90°，∴AE ∥CF ， ………………………………………………3分 又由平行得∠ADE=∠CBD, AD=BC . 所以△ADE ≌△BCF ，∴AE=CF . ……………………………………………………5分 ∵AE ∥CF ，AE=CF ，∴四边形AECF 为平行四边形. ……………………………………7分⑵ 当平行四边形AECF 为菱形时，连结AC 交BF 于点O ，则AC 与EF 互相垂直平分， 又OB=OD,∴AC 与BD 互相垂直平分， …………………………………………………8分 ∴四边形ABCD 为菱形，∴AB=BC . …………………………………………………9分∵M 是BC 的中点，AM ⊥BC ，∴△ABM ≌△CAM ，∴AB=AC . …10分∴△ABC 为等边三角形， ……………………………………………11分 ∴∠ABC=60°，∠CBD=30°. 在RT △BCF 中，易求得CF:BC=33, ………………………………13分又AE=CF, AB=BC, 所以AB :AE=3. ………………………………15分 22、解：⑴ 2；6； …………………………………………………2分 ⑵ 当0＜t ≤611时（如图），S 与t 的函数关系式是： S=EFGH S 矩形=(2t )2=4t 2； …………3分 当611＜t ≤65时（如图），S 与t 的函数关系式是： S=EFGH S 矩形-S △HMN=4t 2-12×43×[2t -34(2-t )] 2 =2524-t 2+112t -32； ……………5分当65＜t ≤2时（如图），S 与t 的函数关系式是： S= S △ARF -S △AQE =12×34(2+t ) 2 -12×34(2-t ) 2=3t . ……………7分⑶ 由⑵知：若0＜t ≤611，则当t=611时S 最大，其最大值S=144121；……8分 若611＜t ≤65，则当t=65时S 最大，其最大值S=185； ……9分 若65＜t ≤2，则当t=2时S 最大，其最大值S=6. …………10分 当2<t 时则相当于一个边长为4的正方形沿AB 以1个单位每秒的速度向B 运动 若2＜t ≤310时，t s 3=，则当t ＝310时，其最大值S=10. ……11分 若310＜t ≤5时，625211832-+-=t t s ，则当t ＝5时，其最大值S=24335. ……12分 若5＜t ≤322时，612567324252-+-=t t s ，则当t ＝25143时，其最大值S=751102.……13分 若322＜t ≤8时，32320322-+-=t t s ，则当t ＝322时，其最大值S=271012. ……综上所述，当t=25143时S 最大，最大面积是751102. …………………………………15分。
2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学试题及答案
2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学试题（含答案全解全析）(满分:120分时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本题共10个小题,每小题3分,共30分)1.下列实数是无理数的是()A.-1B.0C.D.2.小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000,这个数用科学记数法表示为()A.617×105B.6.17×106C.6.17×107D.0.617×1083.如果一个三角形的两边长分别为2和4,则第三边长可能是()A.2B.4C.6D.84.已知☉O1的半径为1cm,☉O2的半径为3cm,两圆的圆心距O1O2为4cm,则两圆的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切5.下列计算正确的是()A.a6÷a3=a3B.(a2)3=a8C.(a-b)2=a2-b2D.a2+a2=a46.某校篮球队12名同学的身高如下表:身高(cm)2195人数12531则该校篮球队12名同学身高的众数是(单位:cm)()A.192B.188C.186D.1807.下列各图中,∠1大于∠2的是()8.下列多边形中,内角和与外角和相等的是()A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形9.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是()10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是()A.a>0B.c>0C.b2-4ac>0D.a+b+c>0第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本题共8个小题,每小题3分,共24分)11.计算:-=.12.因式分解:x2+2x+1=.13.已知∠A=67°,则∠A的余角等于度.14.方程=的解为x=.15.如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC 的距离为cm.16.如图,在△ABC中,点D,点E分别是边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的周长之比等于.17.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n大约是.18.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AE∥CD交BC于点E,若AD=2,BC=5,则边CD的长是.三、解答题(本题共2个小题,每小题6分,共12分)19.计算:|-3|+(-2)2-(+1)0.20.解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.21.“宜居长沙”是我们的共同愿景,空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况,统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列问题:(1)统计图共统计了天的空气质量情况;(2)请将条形统计图补充完整,并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数;(3)从小源所在班级的40名同学中,随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观,则恰好选到小源的概率是多少?22.如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.23.为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线.已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元;若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元.(1)求1号线,2号线每千米的平均造价分别是多少亿元;(2)除1、2号线外,长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网.据预算,这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍,则还需投资多少亿元?24.如图,在▱ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连结CM交DN于点O.(1)求证:△ABN≌△CDM;(2)过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的长.25.设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.(1)反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式;(3)若二次函数y=x2-x-是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数a,b的值.26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限内,过点P向x轴,y轴所作的垂线PM,PN(垂足为M,N)分别与直线AB相交于点E,点F,当点P(a,b)运动时,矩形PMON的面积为定值2.(1)求∠OAB的度数;(2)求证:△AOF∽△BEO;(3)当点E,F都在线段AB上时,由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S1,△OEF的面积为S2.试探究:S1+S2是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由.答案全解全析：1.D 选项A、B、C中的数都是有理数,只有选项D中的是无限不循环小数.故选D.2.C 61 700 000=6.17×107.故选C.3.B 设三角形的第三边长是x,则根据题意得4-2<x<4+2,即2<x<6.故选B.4.B ∵1+3=4,即R+r=O1O2,∴两圆外切,故选B.5.A a6÷a3=a6-3=a3,(a2)3=a2×3=a6≠a8,(a-b)2=a2-2ab+b2≠a2-b2,a2+a2=2a2≠a4,故选A.评析主要考查幂的运算性质、完全平方公式以及合并同类项法则等知识.熟记相关的法则是解题关键,属容易题.6.B 由题中表格易知出现次数最多的数据是188,故选B.7.D在A中,∵AB=AC,∴∠1=∠2;在B中,根据对顶角相等,得∠1=∠2;在C 中,∵a∥b,∴∠1的对顶角等于∠2的对顶角,∴∠1=∠2;在D中,∵三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角,∴∠1>∠2.故选D.8.A ∵n边形的外角和是360°,内角和是(n-2)·180°,∴(n-2)·180°=360°,解得n=4.故选A.9.C 根据旋转和轴对称的知识可知选项A、D中的图案既是中心对称图形,又是轴对称图形;选项B中的图案只是轴对称图形;选项C中的图案,既没运用旋转的知识,又没运用轴对称的知识,故选C.10.D 观察题中图象可知,抛物线的开口方向向上,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,与x轴有两个交点,所以a>0,c>0,b2-4ac>0,且当x=1时,y=a+b+c<0.显然选项A、B、C都正确,只有选项D错误.故选D.评析本题主要考查二次函数的图象与性质的应用以及与二次函数各项系数相关的常见关系式的符号判断,充分体现了对学生的数形结合思想的考查.其解答关键是能借助二次函数图象的开口方向、对称轴、与抛物线的交点个数以及特殊位置的函数值获取相关信息.属中等难度题.11.答案解析-=2-=,故填.12.答案(x+1)2解析x2+2x+1=(x+1)2.13.答案23解析∵两角互余,∴两角之和为90°,∴∠A的余角为90°-67°=23°.14.答案 1解析方程两边同乘以x(x+1)得2x=x+1,解得x=1.检验:当x=1时,x(x+1)=2≠0.∴原分式方程的解是x=1.故答案为1.15.答案 4解析根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质, 可知点P到边BC的距离为4 cm.16.答案1∶2解析∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC.∴△ADE∽△ABC,且DE∶BC=1∶2.∴△ADE与△ABC的周长之比=DE∶BC=1∶2.故答案为1∶2.评析本题主要考查了三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质在计算中的应用,属容易题.17.答案10解析由题意可得,≈0.2,解得n≈10. ∴可以推算出n大约是10.故答案为10.18.答案 3解析∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AE∥CD,∴四边形AECD是平行四边形.又∵∠C=80°,AD=2,∴∠AEB=∠C=80°,EC=AD=2,CD=AE.又∵∠B=50°,∠BAE+∠B+∠AEB=180°,∴∠BAE=180°-∠AEB-∠B=180°-80°-50°=50°,∴BE=AE,∴CD=BE.∵BC=5,∴CD=BE=BC-EC=5-2=3.故答案是3.19.解析原式=3+4-1=6.20.解析∵2(x+1)≤x+3,解得x≤1;∵x-4<3x,解得x>-2,∴该不等式组的解集为-2<x≤1,其解集在数轴上表示为:21.解析(1)100.(2)条形统计图中,空气质量为“优”的天数为100×20%=20(天),∴要补画一个高20的长方形,图略;空气质量为“优”所在扇形统计图中对应的圆心角度数为360°×20%=72°. (3)在40名同学中,随机选取一名同学去参观,恰好选到小源的概率是.评析本题是统计与概率知识的综合应用题,第(1)(2)小题的解题关键是读懂统计图,能准确从中获取相关信息数据,第(3)小题属于概率计算题,直接利用公式进行计算即可,属容易题.22.解析(1)证明:∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAC+∠DBA=90°.又∵∠BAC=∠DBC,∴∠DBA+∠DBC=90°,即∠ABC=90°.∴BC是☉O的切线.(2)如图,连结OD,∵∠BAC=30°,∠BAC和∠BOD分别是弧BD所对的圆周角和圆心角,∴∠BOD=60°.∵OB=OD,且☉O的半径为2,∴△BOD是边长为2的等边三角形.∴S阴影=×π×22-×22=π-.评析本题主要考查关于圆的几个重要定理的应用和利用扇形面积公式对圆中不规则图形面积进行计算.正三角形面积为可以要求学生记忆与掌握.其中(2)问中对不规则图形面积的计算,通过“化归”求解.属中等难度题.23.解析(1)设2号线每千米的平均造价为x亿元,则1号线每千米的平均造价为(x+0.5)亿元.根据题意,得24(x+0.5)+22x=265,解得x=5.5,∴x+0.5=6.因此1号线每千米的平均造价为6亿元,2号线每千米的平均造价为5.5亿元.(2)还需投资91.8×6×1.2=660.96(亿元).24.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABN=∠CDM,AB=CD,BC=AD.∵M,N分别是AD,BC的中点,∴DM=AD,BN=BC.∴BN=DM.∴△ABN≌△CDM(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,M,N分别是AD,BC的中点,∴AD∥BC,BC=AD,DM=AD,NC=BC,∴DM∥NC,DM=NC,∴四边形CDMN是平行四边形.∵∠AND=90°,M是AD的中点,∴MN=DM=AD.∴平行四边形CDMN是菱形,∴MN=NC,MC⊥ND,∠DMC=∠NMC.∴∠MOD=90°,∴∠1+∠DMC=90°.又∵CE⊥MN,∴∠CEN=90°,∴∠2+∠ENC=90°.∵∠1=∠2,∴∠DMC=∠MNC=∠NMC,∴NC=MC=MN,∴∠MNC=∠MCN=∠CMN=60°,∴∠1=∠2=∠MNO=30°.∵PE=1,∴NE==,∴MN=2NE=2.∴AD=2MN=4,∴AN=ADsin 30°=4×=2.25.解析(1)反比例函数y=在第一象限内,y随x的增大而减小,当x=1时,y==2 013;当x=2 013时,y==1.所以当1≤x≤2 013时,有1≤y≤2 013,符合闭函数的定义,所以反比例函数y=是闭区间[1,2 013]上的闭函数.(2)(i)当k>0时,此一次函数y随x的增大而增大,所以根据闭函数的定义有①-②得k=1,代入①得b=0,所以此时一次函数的解析式为y=x;(ii)当k<0时,此一次函数y随x的增大而减小,所以根据闭函数的定义有①-②得k=-1,代入①得b=m+n,所以此时一次函数的解析式为y=-x+m+n.综上所述,所求函数解析式为y=x或y=-x+m+n.(3)因为y=x2-x-=(x-2)2-,所以该二次函数开口向上,最小值是-,且当x<2时,y随x的增大而减小,当x>2时,y随x的增大而增大.(i)当b≤2时,此二次函数y随x的增大而减小,所以根据闭函数的定义有①-②得a+b=-1,即b=-a-1,代入①得a2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2,所以b1=-2,b2=1,由于b>a,所以只能取a=-2,b=1;(ii)当a<2<b时,此时最小值就是-=a,根据闭函数的定义有b可能等于a2-a-,也可能等于b2-b-;当b=a2-a-时,由于a2-a-=×-×-=,即b=<2,不合题意舍去;当b=b2-b-时,解得b=,由于b>2,所以b=;(iii)当a≥2时,此二次函数y随x的增大而增大,所以根据闭函数的定义有解得因为<0,所以舍去.综上所述,或评析本题是阅读理解题,主要考查学生的阅读、理解、分析推理、迁移探究、灵活应用等综合能力.读懂材料中的已知定义是解决该类问题的关键,特别是解答(2)(3)小题时,一定要考虑全面,注意分类讨论求解.属较难题.26.解析(1)对于直线y=-x+2,当x=0时,y=2,即B(0,2);当y=0时,x=2,即A(2,0),∴在Rt△AOB中,OA=OB=2,∴∠OAB=45°.(2)证法一:由题意可知点F的纵坐标为b,且点F在直线y=-x+2上,所以点F的横坐标为2-b,∴F(2-b,b).同理可知E(a,2-a),又由(1)知∠OAF=∠EBO=45°,∠BEO=∠AOE+∠OAF=∠AOE+45°,而∠AOF=∠AOE+∠EOF,由勾股定理可知:OF2=b2+(2-b)2,OE2=a2+(2-a)2,EF2=2(a+b-2)2,∵矩形PMON的面积为ab=2,∴b=,代入消元可得OF2=+,EF2=2.过点F、O分别作FH⊥OE、OG⊥EF,垂足分别为H、G,∵△AOB是等腰直角三角形,∴OG=AB=.∵OE×FH=EF×OG,即OE2×FH2=EF2×OG2,∴有OE2×FH2=2×2=4.∵OE2×OF2=4(a2-2a+2)=8.∴FH2=OF2,即FH=OF,∴∠EOF=45°,∴∠BEO=∠AOF,∴△AOF∽△BEO.证法二:过F点作FH⊥x轴于点H,过E点作EG⊥y轴于点G.∵P(a,b),又E,F均在y=-x+2上,∴点E(a,2-a),点F(2-b,b),∵∠OAB=45°,∴Rt△AFH中,AF=FH=b,同理,Rt△EGB中,BE=EG=a.∴在△AOF与△BEO中,∵∠FAO=∠OBE=45°,①又==,=.又矩形PMON面积为定值2.∴ab=2,∴==,∴=.②综合①②,可知△AOF∽△BEO.(3)∵AE2=2(2-a)2=2(a2-4a+4),BF2=2(2-b)2=2(b2-4b+4),EF2=2(a+b-2)2=2(a2+b2-4a-4b+8),∴EF2=AE2+BF2,即由AE、EF、BF构成的三角形是直角三角形,且EF是斜边,根据直角三角形的外接圆性质可知,EF为其外接圆的直径,∴半径为EF.∴S1=π×=(a+b-2)2;又由(2)可知S2=EF×OG=×(a+b-2)=a+b-2.∴S1+S2=(a+b-2)2+a+b-2.不妨设t=a+b-2,则S1+S2=t2+t=-,由于面积不可能取负值,而二次函数在t>-时,S1+S2随t的增大而增大,∴t取最小值时,S1+S2也取最小值.∵t=a+b-2=a+-2,∴当a=,即a=b=时,t最小,此时S1+S2的最小值为(2-2)2+(2-2)=2(3-2)π+2-2.评析本题是一道综合性较强的探究性题目,主要考查一次函数、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定、二次函数性质等知识的综合运用.本题设置很有梯度性,第(1)小题较容易,第(2)小题证法一有一定难度,利用解析法通过线段的计算寻找对应角相等,是解答本小题的关键,证法二利用相似三角形判定方法中的“SAS”,求解对应线段成比例是突破口;此种方法比第一种显得简捷.第(3)小题难度较大,利用条件求出所求面积的函数表达式是解题的关键.。
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2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛九年级决赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交． 4.本试卷共6页，三道大题，14道小题.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．对正整数n ，记!12n n =⨯⨯⨯…，则1!2!3!10!++++ 的末位数是（ ）．（A ）0（B ）1（C ）3（D ）52．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为 （ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）13．已知关于x 的不等式组 255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112- （B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-4．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一．．定．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC5．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．9．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．10…的值为 ．（第4题）（第5题）（第8题）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．12．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点（不是端点），满足CD AB ⊥，DE CO ⊥，垂足为E ．若10CE =，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．13.设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．（第11题）（第12题）2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新大赛（初三）试题参考答案 一、选择题1．C解：1!1=，2!2=，3!6=，4!24=，又知5!，6!，7!，8!，9!，10!的末位数均为0，而1!2!3!4!+++的末位数是3，所以，1!2!3!10!++++ 的末位数是3．2．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以：22212ab bc ca a b c ++=-++．3．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得 ：6-＜t ≤112-．4．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC5．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．二、填空题 6．9解：由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯． 8．20413解：如图，连接AF ，则有：（第4题）45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=．所以，四边形AEFD 的面积是20413．9．207解：设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．10．200解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎡⎤⎫=+=+-⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝CE BE ＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒……10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：连接AC ，BC ，则90ACB ∠=︒．又CD AB ⊥，DE CO ⊥，由Rt △CDE ∽Rt △COD 可（第11题）得2CE CO CD ⋅=，由Rt △ACD ∽Rt △CBD 可得2CD AD BD =⋅，所以CE CO AD BD ⋅=⋅．设AD a DB b ==，，a b ，为正整数，则2a bCO +=，又10CE =，代入上式得 102a b ab +⋅=，…………10分整理得：(5)(5)25a b --=．考虑到a b >，只能是550a b ->->，得52551a b -=-=，．因此30AD a ==． …………20分 13．解：不能．依题意，得 111()()()222a y zb x zc x y =+=+=+，，．因为2y z =，所以211(1)()()222z z a y z z z +=+=+=．又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．…………10分当2z =时，2242)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数矛盾；…………15分当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7． …………20分。