常用空间曲面word精品文档6页
第三章 常见曲面
f ( x , y ) = 0, z = 0.
在此柱面上当且仅当C上有一点 点M(x,y,z)在此柱面上当且仅当 上有一点 在此柱面上当且仅当 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),使M在过 M 0且方向为 v = (0,0,1) 的母线上 的母线上, 在过
F1 ( x − lu, y − mu, z − nu) = 0, F2 ( x − lu, y − mu, z − nu) = 0. (1.2)
再消去参数u,得到 的一个方程,就是所求柱面 再消去参数 得到x,y,z的一个方程 就是所求柱面 得到 的一个方程 的方程。 的方程。 如果柱面的准线方程用向量参数形式表示为 r1 ( s ) = ( x1 ( s ), y1 ( s ), z1 ( s )), s ∈ I1 , 则柱面方程的向量参 数形式为 r ( s, t ) = r1 ( s ) + tv , s ∈ I1 , t ∈ ( −∞ , +∞ ). 中的例2知道 母线平行于z轴的圆柱面方 由§1中的例 知道 母线平行于 轴的圆柱面方 中的例 知道,母线平行于 程中不含z,这个结论对于一般的柱面也成立 这个结论对于一般的柱面也成立。 程中不含 这个结论对于一般的柱面也成立。
F1 ( x0 , y0 , z0 ) = 0, F2 ( x0 , y0 , z0 ) = 0, x = x0 + lu, y = y + mu, 0 z = z 0 +nu.
(2.1)
M0(x0, y0, z0)
C
v
M(x, y, z)
图3.3
消去 x0 , y0 , z0 , 得
M R
θ ϕ
N
图3.1
则有
几何常见曲面以及用途
几何常见曲面以及用途几何中的曲面是指由曲线移动而产生的曲面。
几何常见的曲面有球面、圆锥曲面、圆柱曲面、双曲面、抛物面、椭球面、超曲面等。
每种曲面都有其独特的几何特性和应用领域。
首先，球面是最常见的曲面之一。
球面是以一个点为中心，到该点的距离相等的所有点组成的曲面。
球面在几何学中是最重要和最基本的曲面之一。
在现实生活中，球面具有广泛的应用，比如地球就是一个近似球面，球体在地理学中被用来描述地球的形状和表面特征。
此外，球面也广泛应用于建筑设计、光学、计算机图形学等领域。
第二，圆锥曲面是由一条直线沿着固定点不断旋转所生成的曲面。
具体来说，圆锥曲面是由一条生成线和一个顶点组成的，例如圆锥体的表面就是一个圆锥曲面。
在现实中，圆锥曲面广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
比如，高速公路的交叉口通常会设计成圆锥形状，以实现车辆的平稳转弯。
第三，圆柱曲面是由一条直线沿着与其垂直的固定直线不断平移所生成的曲面。
圆柱曲面可分为无限高圆柱曲面和有限高圆柱曲面两种。
无限高圆柱曲面在几何学中是最基本的曲面之一，有许多重要的应用。
在现实中，圆柱曲面广泛应用于建筑设计、工程制图等领域。
比如，很多建筑物的柱子、水管等都可以近似看作圆柱曲面。
第四，双曲面是一类重要的曲面，它由两个嵌入空间的直线族所生成。
双曲面具有许多独特的几何特性，如双曲面上的任意两点之间的最短曲线是双曲线。
双曲面广泛应用于物理学、工程学等领域。
比如，太阳能反射器就常常采用双曲面的形状，以实现对太阳光的聚集。
第五，抛物面是由一条直线沿着固定点不断平移所生成的曲面。
抛物面在几何学中具有重要的地位，有许多重要的应用。
比如，卫星天线常常采用抛物面的形状，以实现对信号的接收和发送。
第六，椭球面是由一个椭圆沿着两个垂直于其平面的固定直线不断旋转所生成的曲面。
椭球面在几何学和物理学中都有着重要的应用。
在几何学中，椭球面是椭球的表面，广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
空间曲面和空间曲线(IV)
球面曲线是球面上的一条封闭或非封 闭的曲线。例如，赤道和经线是球面 上的两条特殊的曲线。
抛物面与抛物线
抛物面
抛物面是三维空间中与一个定点等距的点的集合，其形状类 似于开口的抛物线。
抛物线
在平面几何中，抛物线是一条二次曲线，其形状类似于开口 的抛物线。
椭圆抛物面与椭圆抛物线
椭圆抛物面
椭圆抛物面是一种三维曲面，其形状类似于一个向上或向下开口的椭圆。
• 探索新的分类方法：目前对于空间曲面和空间曲线的分类方法还比较有限，未 来可以探索更多的分类方法，以便更好地理解和应用这些对象。如根据几何形 状、拓扑结构等进行分类；或者根据实际应用的需要进行分类等。
• 拓展应用领域：随着科技的发展，空间曲面和空间曲线在各个领域的应用越来 越广泛。未来可以进一步拓展其应用领域，如在机器人设计、生物医学工程、 虚拟现实等领域中应用空间曲面和空间曲线。
曲率描述了曲面或曲线在某一点 的弯曲程度，挠率则描述了曲面 或曲线在某一方向上的弯曲程度。
渐近线是描述曲面或曲线在无穷 远处行为的线，对于理解几何对
象的整体形态具有重要意义。
2023
PART 04
空间曲面与空间曲线的实 例分析
REPORTING
球面与球面曲线
球面
球面是三维空间中与一个定点等距的 点的集合，其形状类似于球体表面。
空间曲面是三维空间中由二维曲线沿着某一方向无限延伸形成的闭合曲面。
分类
根据形成方式，空间曲面可分为旋转曲面和非旋转曲面。旋转曲面是指由一条 平面曲线绕其平面上的一条直线旋转而成；非旋转曲面则包括柱面、锥面等。
常见的空间曲面
球面
圆锥面
抛物面
双曲面
由一个点绕着通过该点 的轴线旋转而成。
空间解析几何-第3章 常见的曲面3
2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心
解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线 ，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0
平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的。
2017/1/4
空间解析几何
第3章 常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.6 直纹面
由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线 叫直纹面的母线。
双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系2017/1/4 Nhomakorabea双曲抛物面是直纹面
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何-第3章 常见的曲面2
单叶双曲面 双叶双曲面
抛物面
椭圆抛物面 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y 2 h2 2 2 1＋ 2 , Cz h： b c 椭圆 a z h.
z
O x y
结论：单叶双曲面可看作由一 个椭圆的变动（大小位置都改 变）而产生，该椭圆在变动中， 保持所在平面与xOy 面平行， 且两对顶点分别在两定双曲线 上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与 z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 截距，而在x,y轴上无截距.
z
x
o
y
3 图形范围
x2 y 2 z2 2 1 2 2 a b c
，易知
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。
z
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的 x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 2 a b c
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
空间曲面与曲线(2)资料
行于x轴，实半轴长
a b
b2 h2 ,
虚半轴平行于
Z轴，虚半轴长为 c b2 h2 , 双曲线（5）的
b
顶点 a b2 h2 ,h,0 在腰圆（1）上；
b
图（11）
38
z
（11）
（12）
x
y
z
（13）
x
y
39
当|h|>b时，截线（5）仍为双曲线，但它的实 轴平行于z轴，实半轴长为
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
y
x z l3
x
y
7
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3.锥面
z
z
方程
x2 a2
得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。
通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口）
的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为
截割法。
用平行于xOy坐标平面z=h(|h|≤c)截椭球面，截
口为
x2
a
2
y2 b2
1
h2 c2
z h
30
当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0 o
y x
f ( y, x2 z2 ) 0
13
例1. 求坐标面 xoz 上的双曲线
高数 空间曲面讲解
将上述方程展开得
x2
?
y2
?
z2
?
2x0 x
?
2 y0 y ?
2z0z ?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
即 x 2 ? y2 ? z2 ? 2ax ? 2by ? 2cz ? d ? 0
其中 a
?
? x0
,b ?
? y0
,c ?
? z0
,d
?
x2 0
?
y2 0
下面考虑母线为平面曲线的情形 ,把曲线所的 平面取作坐标面 ,把旋转轴取作坐标轴 .
设 yoz 面上的一条曲线 L ,其方程为
F (y, z) = 0 x =0
L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面 (如图6.9).
求该旋转面的方程 .
z
设点P(x, y, z)为旋转 面上任一点 ,将该点旋转
P1(0,y1,z1) P(x, y, z)
建立球心在点 P 0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P( x, y, z) 在球面上 ,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为 : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0)2 ? (z ? z0 )2 ? R 2
若球心在坐标原点 ,则球面方程为 :
所表示的曲面称为 单叶双曲面 .
o
y
它关于三个坐标面对称，关于 x 三个坐标轴和坐标原点都对称 .
称为 准线 .（图 6.1）
z
下面建立柱面方程 .
设有一柱面 , 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于 z轴, 点P(x, y, z)
空间解析几何常见的曲面
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
3 图形的范围
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
由方程 x2 y2 1 知，即曲面存在于椭圆柱面
a2 b2
x2 a2
y2 b2
1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2
a
2
y2 b2
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2
xOz面
:
a2
z2 c2
1
y 0
空间解析几何常见的曲面
o
y
代入得x,y轴上的截距为: x ? ? a ，y ? ? b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
z
由方程
x2 a2
?
y2 b2
?1
知，即曲面存在于椭圆柱面
x2 a2
?
y2 b2
?1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
例如当 A ? 0, B ? 0, C ? 0 时，方程（1）可改写为
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1,
其中
1 a2
?
1 A, b2
?
?
B,
1 c2
?
C ，这是单叶双曲面的标准方程 .
例 给定方程
x2 ? y2 ? z2 ? 1?A ? B ? C ? 0?,
,从而椭圆焦点坐标为
? ? ?
y
?
0,
a 2 ? b2
? ?1
?
?
h2 c2
? ?, ?
?? z ? h.
? ?
z
?
h.
消去参数
h
得
? ? ?
a
2
x2 ?
b2
? z2 c2
? 1,
??
?? y ? 0.
二、双叶双曲面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
?1
双叶双曲面
特别的a=b 时
x2 a2
?
y2 ? b2
空间曲面及其方程
116 .
3
3 9
例4 方程z ( x 1)2 ( y 2)2 1
的解图形根是据怎题样意的有？z 1
z
用平面z c去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底.
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，
求生成的旋转曲面的方程.
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x
轴和
z 轴；
绕x轴旋转 x2 a2
2
y2 z2
c2
1,
x2 a2
y2 z2 c2
旋 1转
双
曲
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
2
z2 c2
1,
x2 y2 a2
设柱面其准线为xoy面上 C : F ( x, y) 0,母线平行z轴,
求柱面方程. 如图 x x0 , y y0
又F ( x0 , y0 ) 0
故柱面方程: F( x, y) 0 x
z
柱面举例
z
F(x, y) 0
•
o
y
•
C M 0( x0 , y0 ,0)
M(x, y, z)
z
y2 2x
2 2 2 4
当 A2 B2 C 2 4D 0 时,是球面方程.
例：方程
4x2 4 y2 4z2 8x 16 y 24z 16 0表示什么曲面？
解 ： 方 程化 为
§7.4.4-5空间曲面和空间曲线
7.4.4锥面 1．锥面的定义已知一条定曲线C 及不在C 上的一定点M ， 动直线L 过点M 沿C 移动所形成的曲面称为 锥面。
动直线L 称为锥面的母线，点M 称为 锥面的顶点。
曲线C 称为锥面的准线。
2.锥面的的方程设锥面的准线C 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==.0),,(,0),,(21z y x F z y x F ，其顶点为),,( z y x M ，则通过顶点和准线C 上的点1M ),,(Z Y X 的母线方程为z Z z z y Y y y x X x x --=--=--，其中点),,(z y x M 是母线上的任意一点。
当点),,(1Z Y X M 在曲线C 上移动时，点),,(z y x M 就是锥面上的点。
因为),,(1Z Y X M 是准线上的点，所以满足方程⎪⎩⎪⎨⎧==.0),,(,0),,(21Z Y X F Z Y X F ，将它与母线方程联立，消去Z Y X 和 ,即得锥面的方程。
若锥面方程是关于z y x , ,的二次式，则称之为二次锥面。
例1．设锥面的顶点为坐标原点，准线是椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+c z b y a x 12222，求锥面的方程。
解：过顶点)0,0,0(o 和准线上的点),,(1Z Y X M 的母线方程为Z z Y y X x ==，即x z Z X =，y zZY =，其中),,(z y x M 是母线上的任意一点。
∵点),,(1Z Y X M 在准线上，∴⎪⎩⎪⎨⎧==+c Z b Y a X 12222，把x z Z X =，y z Z Y =代入，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+c Z b y z Z a x z Z 1)()(2222，即0222222=-+c z b y a x ， 这就是所求锥面（称为椭圆锥面）的方程。
它是一个z y x ,,的二次齐次方程。
当b a =时，得022222=-+z ca y x ， 成为圆锥面方程。
例2．求顶点为)2 ,1 ,3(-- M ，准线为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+01222z y x z y x 的锥面方程。
空间曲面图例资料
z
1y
直线
x 1
y2
oo
2y
1
x
z 4 x2 y2
半圆线
yx0
z
o
2y
x
z
垂直圆柱面的交线 x2 z2 a2
a
x2 y2 a2
oa
y
x
直线 y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 o
y
圆柱面与平面的交线
x2 y2 1 49 y3
Co
M1
y
x
l
z
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
x
o y
平面 x y 0
z
o y
x
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
o
a
by
x
z
准线平行于z轴的柱面 F(x, y) 0 准线平行于x轴的柱面G(y, z) 0 准线平行于y轴的柱面 H(z, x) 0
x l1
y z l2
y
x z l3
x
y
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z 2p 2q
( p , q 同号)
z
y x
z
x
y
单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
o yy
xx
内容小结
8_3空间曲面.
P0 d
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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6.平行平面间的距离 有两个平行平面:
Ax + By + Cz+D1 = 0, Ax + By +Cz+ D2 = 0,
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
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例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)Biblioteka y两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
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例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
第三节 空间曲面
一、空间曲面的方程
二、空间平面 三、几种常见的空间曲面
第八章
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
常见空间曲线及曲面
例：取 a=2, b=2, c=3, 0 t 50
>> ezplot3('2*t*cos(t)','2*t*sin(t)', ... '3*t', [0,50]);
抛物螺线的绘制
轴截面的曲边为抛物线的螺线
x a t cos t y b t sin t z c t2
经度
0 2 0
纬度
椭球面
椭球面标准方程
x y z 2 2 1 2 a b c
x a sin cos y b sin sin z c cos
2
2
2
(a, b, c 0)
0 2 0
双叶双曲面
双叶双曲面标准方程
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x a tan cos y b tan sin z c sec
(a, b, c 0)
0 2 / 2 3 / 2, / 2
例：取 a=3, b=4, c=5 >> ezsurf('3*sec(u)*cos(v)', ... '3*sec(u)*sin(v)','5*tan(u)', ... [-pi/2,pi/2,0,2*pi]); >> axis auto 自动截取坐标轴显示范围
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数学实验
常见空间曲线和曲面
标准方程及其 Matlab 绘图
常见空间曲线与曲面方程
球面标准方程（以原点为球心）
常见的空间曲面与方程
常见的空间曲面与方程常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。
1. 平面空间中平面的一般方程为0ax by cz d其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。
例如，1x y z （图8-6（a ）），0x （图8-6（b ））均表示空间中的平面，它们的图形如下z x+y+z=1 zyoz 平面（x =0） O y yx x图8-6（a ） 图8-6 (b)图8-62. 柱面与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面，l 为母线，C 为准线。
如图8-7所示图8-7 图8-8例如，222x y R 表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R 的圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。
3. 二次曲面 三元二次方程 2221231231230a x a y a z b xy b yz b zx c x c y c z d所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d 均为常数，且,,i i i a b c 不全为0.二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：2222221(,,0)x y z a b c ab c 图8-10图8-9 图8-10单叶双曲面：2222221(,,0)x y z a b c a b c 图8-11双叶双曲面：2222221(,,0)x y z a b c ab c 图8-122222(0)x y z RR zOxz图8-11 图8-12二次锥面： 2222220(,,0)x y z a b c a b c 图8-13椭圆抛物面： 22222(,0)x y z a b ab 图8-14双曲抛物面（马鞍面）22222(,0)x y z a b ab 图8-15xyzO图8-13 图8-14 图8-15 锥面xyzyzOOyxxzOxyzyzOx2222()z a x y =+22z a x y =±+。
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第 1 页第六节 常用空间曲面一、曲面方程的概念在第四节中，我们已经知道了，在空间中一个平面可以用一个三元一次方程来表示；反过来，一个三元一次方程的图形是一个平面。
在一般情况下，如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z =（1）有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）；（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1） （1）就叫做曲面S 的方程，而那么方程曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）。
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。
运用这个观点，我们来建立球面方程。
例1 若球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R ，求该球面方程。
解：设(,,)M x y z 是球面上任一点，那么又0M M =故 2222000()()()x x y y z z R -+-+-= （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以0000(,,)M x y z 为球心，R 为半径的球面方程。
如果球心在原点，那么0000x y z ===，从而球面方程为将（2）式展开得所以，球面方程具有下列两个特点：（1） 它是,,x y z 之间的二次方程，且方程中缺,,xy yz zx 项； （2） 222,,x y z 的系数相同且不为零。
现在我们要问，满足上述两个特点的方程，它的图形是否为球面呢？例2 方程22240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解：配方，得所以所给方程为球面，球心为1(2,,0)2-，半径为2。
例3 方程2222230x y z x y z ++-+-+=是否表示球面？解：配方，得显然没有这样的实数,,x y z 能使上式成立，因而原方程不代表任何图形。
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量,,x y z 间的方程通常表示一个曲面。
因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。
x ,)0y z =第 2 页（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。
（2） 已知坐标,,x y z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。
例1是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子，例2、例3是由已知,,x y z 间方程研究它所表示的曲面的形状的例子。
下面，作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面；作为基本问题（2）的例子，我们讨论柱面和二次曲面。
二、旋转曲面一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。
旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
设在y z O 坐标面上有一条已知曲线C ，它的方程为(,)0f y z =，曲线C 绕z 轴旋转一周，得到一个以z 轴为轴的旋转曲面（图6-22）设111(0,,)M y z 为曲线C 上一点，则有11(,)0f y z =（3）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 随C 绕到另一点(,,)M x y z ，这时，1z z =且点M 到z 轴的距离为1d y ==将1z z =，1y =3）式，便得到()0f z = （4）这就是所求的旋转曲面的方程。
由此可知，在曲线C 的方程(,)0f y z =中将y改成C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为(,0f y = （5）例1 求y z O 坐标面上的抛物线22(0)y pz p =>绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程。
解：绕z 轴旋转所成的旋转曲面叫旋转抛物面（图6-23），它的方程为222x y pz +=例5 将x z O 坐标面上的双曲线分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：绕z 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为绕x 轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为例6 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。
两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角α（02πα<<）叫做圆锥面的半顶角。
试建立顶点在原点O ，旋转轴为z 轴，半顶角为x图6-23x第 3 页α的圆锥面的方程（图6-24）。
解：在y z O 坐标面上直线L 的方程为cot z y α=，因为旋转轴为z 轴，所以只要将方程中的y改成，便得到这圆锥面的方程z α=或 2222()z k x y =+其中cot k α=。
三、柱面设直线L 平行于某定直线并沿定曲线C 移动，则直线L 形成的轨迹叫做柱面。
定曲线C 叫做柱面的准线，直线L叫做柱面的母线。
我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。
这种柱面方程有什么特点呢？下面举例说明。
问方程222x y R +=表示什么曲面？在x y O 坐标面上，方程222x y R +=表示圆心在原点，半径为R 的圆。
在空间直角坐标系中，方程缺z ，这意味着不论空间中的点的竖坐标z 怎样，凡是横坐标x 和纵坐标y 满足这方程的点都在方程所表示的曲面S 上；反之，凡是点的横坐标x 和纵坐标y 不满足这个方程的，不论竖坐标z 怎样，这些点都不在曲面S 上，即点(,,)P x y z 在曲面S 上的充分必要条件是点(,,0)P x y '在圆222x y R +=上。
而(,,)P x y z 是在过点(,,0)P x y '且平行于z 轴的直线上，这就是说方程222x y R +=表示：由通过x y O 坐标面上的圆222x y R +=上的每一点且平行于z 轴（即垂直于x y O 坐标面）的直线所组成，即方程222x y R +=表示柱面，该柱面称为圆柱面（图6-25）。
一般地，如果方程中缺z ，即(,)0f x y =，类似于上面的讨论，可知它表示准线在x yO 坐标面上，母线平行于z 轴的柱面。
而方程(,)0,(,)0g y z h x z ==分别表示母线平行于x 轴和y 轴的柱面方程。
例如方程2y x =，方程中缺z ，所以它表示母线平行于z 轴的柱面，它的准线是x y O 面上的抛物线2y x =，该柱面叫做抛物柱面（图6-26）。
图6-24图6-25图6-27第 4 页又例如，方程0x z -=表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是x z O 面上的直线0x z -=，所以它是过y 轴的平面（图6-27）。
四、二次曲面最简单的曲面是平面，它可以用一个三元一次方程来表示，所以平面也叫做一次曲面。
与平面解析几何中规定的二次曲线类似，我们把三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面称为二次曲面。
选取适当的空间直角坐标系，可得它们的标准方程，下面就二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。
（1） 椭圆锥面以垂直于z 轴的平面z t =截此曲面，当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆当t 变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当t 从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。
综合上述讨论，可得椭圆锥面（1）的形状（如图6-28）平面z t =与曲面(,,)0F x y z =的交线成为截痕。
通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。
本节前面讨论过旋转曲面，我们还可以利用伸缩变形的方法，由已知的旋转曲面来得出二次曲面的大致形状。
先介绍伸缩变形法。
曲面(,,)0F x y z =沿y 轴方向伸缩λ倍，曲面(,,)0F x y z =的点111(,,)M x y z 变为点222(,,)M x y z '，其中1212121,,x x y y z z λ===，因为点M 在曲面(,,)0F x y z =上，所以有111(,,)0F x y z =，故2221(,,)0F x y z λ=。
例如将圆锥面2222x y z a +=的图形沿y 轴方向伸缩b a 倍，则圆锥面2222x y z a +=即变成椭圆锥面22222x y z a b +=。
（2） 椭球面2222221x y z a b c ++=把x y O 面上的椭圆22221x y a b +=绕y 轴旋转，所得的曲面方程为222221x z y a b ++=，该曲面称为旋转椭球面。
再把旋转椭球面沿z 轴方向伸缩ca 便得椭球面（2）（图6-29）。
（3）双曲面单叶双曲面 2222221x y z a b c +-=图6-28页2222221x y z --=把x z O 面上的双曲线22221x z a c -=绕z 轴旋转，得旋转单叶双曲面222221x y z a c +-=，把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩ba 倍，即得单叶双曲面（如图6-30）。
类似的方法可得双叶双曲面（如图6-31）（4）抛物面椭圆抛物面 2222x y z a b +=双曲抛物面（马鞍面）2222x y z a b -=把x z O 面上的的抛物线22x z a =绕z 轴旋转，得旋转抛物面222x y z a +=，把此旋转曲面沿y 轴方向伸缩ba ，即得椭圆抛物面（如图6-32）。
我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状（如图6-33）。
用平面x t =截此曲面，得截痕l为平面x t =上的抛物线此抛物线开口向下，其顶点坐标为22,0,t x t y z a ===。
当t 变化时，l 的形状不变，只是位置平移，而l 的顶点的轨迹L 为平面0y =上的抛物线22x z a =。
还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面依次为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。
柱面的形状在前面已经讨论过，这里不再冗述。
习题6-61．建立以点(1,3,2)M --为球心，且过原点的球面方程。
2．将x y O 面上的抛物线24y x =分别绕x 轴，y 轴旋转，分别求出旋转后所得的曲图6-30x图6-33第 6 页面方程。
3．一动点与点(1,0,0)M 的距离为与平面4x =的距离的一半，试求其所生成的轨迹，并确定它为何种二次曲面。
4．说明下列二次曲面的名称，若它们是旋转曲面，那么，是怎样生成的？（1）2221499x y z ++=；（2）22214y x z -+=；（3）2221x y z --=（4）222z x y =+；（5）22z x y =+；（6）226z x y =--。
5．指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中所表示的不同意义： （1）3x =；（2）2y x =+；（3）229x y +=；（4）221x y -=6．指出下列各方程在空间解析几何中所表示的几何图形，并作出它们的草图：（1）2221x y z ++=；（2）221x y +=；（3）21x =；（4）220x y -=；（5）22149x y +=；（6）22119x y -=；（7）20y z -=；（8）22z x =-。