解三角形应用举例――测距离
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
2020-2021学年高中人教A版数学必修五课件-1.2.1-解三角形的实际应用举例-距离问题
C.南偏西35°
D.南偏西55°
【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图, 如图所示α=55°,则β=α=55°.所以B在A的南偏西55°.
3.(教材二次开发:习题改编)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距
离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则BC为
m.
【思路导引】在△ABC中,知两角和一边,可以用正弦定理解三角形,求BC的长.
【解析】由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,
由正弦定理得,BC= AB ·sin ∠CAB=
sinACB
120 ·sin 30°=
sin 75
则灯塔A与灯塔B的距离为
()
A.a km
B. 3 a km
C. 2 a km
D.2a km
【解析】选B.由题意得∠ACB=120°,
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB3 = a.
关键能力·合作学习
类型一 用正弦定理或余弦定理求距离(数学建模)
角度1 用正弦定理求距离
【典例】如图所示,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得
4
所以AC= 15sin 120 3 2 6×15(n mile).
sin 15
2
AC AB ， sinABC sinACB
,3 ,
2
在△ACD中,因为∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD= 2 AC= 15(3+ 3) (n mile). 答:A,D两处的距离为15(3+ 3 ) n mile.
高中数学 必修5 5.解三角形应用举例1(测距测高)
5.解三角形的实际应用举例教学目标班级：_____ 姓名：____________1.掌握利用正、余弦定理及其推论测距、测高的几种方法.2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力.教学过程知识要点1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.2.仰角和俯角：在同一铅垂平面内，水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.技能点拨一、测量可到达点A与不可到达点B之间的距离.方法：1.在可到达点A一侧再取一个点C，构造；2.测量AC距离，及AC的两个邻角的度数；(“角角边”型问题)3.利用正弦定理计算_____________________例1：海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C的距离为多少海里？练1：为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得，，m.求河的宽度CD.二、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离. 方法:1.在可到达一侧取两点C 、D ，构造三个三角形：；2.在中，测边CD 、、,“角边角”问题，利用正弦定理求AC.3.在中,测、，“角边角”问题，利用正弦定理求BC.4.在中,测，“边角边”问题， 利用余弦定理求AB.例2:如图,在四边形ABCD 中,已知CD AD ⊥,,,,,求BC 的长.三、测量俯仰角求底部不可到达的建筑的高度.方法：1.分别测量在C 、D 观测A 点的仰角ACB ∠、ADB ∠，及边CD.“角角边”问题，利用正弦定理求AC ； 2.在ABC Rt ∆中，求AB.例3：如图，在山根A 处测得山顶B 的仰角，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000m 到达S 点，又测得山顶仰角，则山高BC 为______m.作业如图，在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为，已知建筑物底部高出地面D 点20m （即OB=20），求建筑物高度AB.DDA CDOBS。
在生活中应用全等三角形测距离
在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。
下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。
例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。
（1）按题中要求画图。
（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。
解：（1）如图1。
（2）因为在△ABC和△DEC中，CA CDACB DCECB CE所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。
析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。
故应选C。
例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。
分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。
方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。
测量出DE的长，就是AB的长。
因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。
例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。
解三角形在实际生活中的应用
第3节 解三角形在实际生活中的应用
1、 小红为了测量某一树身的高度，他站在A 处看树梢，测得此时的仰角为45°，前进200m
到达B 处，测得此时的仰角为60°，小红身高1.8m,试计算树身的高度是多少米？
2、 为了测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为2
3km ,∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A ，B 两点间的距离。
3、(2009宁夏、海南)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向A ，B 两点进行测量。
A ，B ，M ，N 在同一铅垂平面内（如图）飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离。
请设计一个方案。
包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）（2）用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
4、已知海岛A 四周8海里内有暗礁。
今有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，望见此岛在北偏东30°。
如果货轮不改变航向继续前进，有无触礁的危险？
5、甲船在A 处发现乙船在方位角45°与A 相距10海里的C 处正以20海里/小时的速度向南偏东75°方向航行。
已知甲船的速度是203海里/小时，问：甲船沿什么方向航行，需多长时间才能与已船相遇？。
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_2
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
4、解三角形应用举例(距离)
题，让同学们感受 到数学在推动历 史、推动人类进步
呼应
上的无可取代的 价值，彰显数学的
无穷魅力。
3
课后 小结 巩固 练习
课后练习：1、预习下节内容 2、教材 13 页练习题第一题。
预习下节课 内容，不仅有利于 下节课知识的理 解，同时更培养学 生自主学习、自主 思考的能力。做学 习的主人。
4
情感态度与价值观：使学生了解数学来源于生活，同时 又服务于生活，数学不仅不高冷神秘，更是与我们的生产生 活息息相关，不可分割。
重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐 教学重难
个解决三角形，得到实际问题的解。 点：
难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
1
教学过程：
教学 环节
教学内容
师生活动
3、学生在学习方面可能遇到的困难和问题：从书本知 识到实际问题之间的跨越。实际问题比纯理论的数学问题在 背景和数据上往往更加复杂。
4、课堂生成期望值：能自主设计方案解决生活中测量 距离的问题。
知识与技能：能够运用正余弦定理解决有关测量距离的 实际问题，了解常用的测量相关术语。
过程与方法: 结合学生的实际情况，采用“提问—思考 —探索—总结—反馈”的教学过程，同时通过多媒体直观演 教学目标： 示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
数学 建模 解决
两点在河的两岸，要测量两点 之间的距离，测量者在 A 的同 侧，在所在的河岸边选定一点 C ， 测 出 AC 的 距 离 是 55m ， BAC 75 , ACB 45 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)
学生分组讨论自主 探究 ，教师巡视指导。
老师引导学 生画图解题。体会 数学建模的思想 方法。
生活中的“利用三角形全等测距离”
生活中的“利用三角形全等测距离”利用三角形全等测距离实际就是构造两个全等的三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．［例1］某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度说明道理．点拨：A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB 的长．解：方法：可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB。
连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．如图所示：∴△AOB≌△DOE（SAS）∴AB＝DE（全等三角形，对应边相等）．［例2］如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法并说明这样做的合理性．点拨：直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
过点D作BE的垂线D G，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°∴△ABC≌△FDC（ASA）∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．注意：要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，会用ASA证明三角形全等．当然，若特殊情况，需具体分析．。
利用全等三角形测距离的例子
利用全等三角形测距离的例子
1. 你知道吗，在实际生活中，我们可以像聪明的探险家一样利用全等三角形测距离呢！比如说，当我们要测量一条小河的宽度，就可以在河对岸找一个参照点，这边也找一个点，然后通过一些操作，让相应的三角形全等，这不就能知道小河大概有多宽啦！厉害吧！
2. 嘿，想象一下，假如你在一个大操场上，想知道从这边到那边有多远，这时候全等三角形就能派上大用场啦！就好像你有一把神奇的尺子，可以通过巧妙的方法测量出距离呢！比如在这边立一个杆子，在那边也弄一个同样角度的标记，是不是很有意思呀！
3. 哇塞，全等三角形测距离可太神奇啦！就好比你站在一个大大的广场上，想知道到对面那栋楼有多远。
你可以找一些辅助的东西呀，让三角形全等起来，然后就能得到答案啦！这就像是变魔术一样，把不可能变成可能！
4. 哎，你看，在建筑工地上，工人们也会用全等三角形测距离呢！他们会找一些巧妙的点，让三角形完美全等，然后就能精确地知道建筑之间的距离啦。
这是不是就像他们有一双能看透距离的眼睛呀！
5. 哈哈，利用全等三角形测距离，这可真是一个超棒的办法！比如你和小伙伴们在野外玩耍，想要知道两个大石头之间有多远，那就开动脑筋用全等三角形呀！是不是感觉一下子就变得超有趣呢！
6. 哎呀呀，全等三角形测距离在很多地方都能用得上呢！像测量一个大花园的对角线长度，这可难不倒我们，通过一些巧妙布置，让三角形全等，距离就出来啦！这就像解开一个神秘的谜题一样令人兴奋！
7. 真的呀，全等三角形测距离真的超级有用！比如要知道山上两个亭子之间的距离，我们就可以想办法利用全等三角形来搞定呀！这不是很厉害吗？
我的观点结论就是：利用全等三角形测距离是一种既有趣又实用的方法，在很多情况下都能发挥出神奇的效果呢！。
春人教高中数学必修五时解三角形的实际应用举例——距离问题PPT课件
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
A180 ( ) sin( )
答：此船可以继续一直沿正北方向航行 第15页/共22页
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
第16页/共22页
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与 车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。
（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。
（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点）
视线
仰角 俯角
视线
第6页/共22页
水平线
2.方向角、方位角。
（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角叫方向角。
答：A,B两点间的距离为65.7米。
第10页/共22页
B
A
D
C 第11页/共22页
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到
达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法.
A
B
δ
α
γ
β
D
a
C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解三角形在现实生活中的应用——正,余弦定理
解三角形正,余弦定理在现实生活中的应用解三角形的正弦定理和余弦定理在现实生活中有广泛的应用。
例如，测量距离、测量高度、航海模型、物理问题等都与这些定理有关。
以下是一些例子：
1. 测量距离
利用正弦定理和余弦定理可以测量出无法直接测量的距离。
假设你想知道两个建筑物之间的距离，但你不能直接测量它们之间的直线距离。
你可以站在其中一个建筑物旁边，用一个工具测量你与另一个建筑物之间的角度和高度差，然后使用正弦定理或余弦定理计算出两个建筑物之间的直线距离。
2. 测量高度
同样可以利用正弦定理和余弦定理测量出无法直接测量的高度。
假设你想知道一个树的高度，但你只能在地面附近测量树的影子长度。
你可以使用正弦定理或余弦定理计算出树的高度。
3. 航海模型
在航海中，可以利用正弦定理和余弦定理计算船只的位置。
假设你知道船只在某个时间点的位置和朝向，以及它的速度和方向，你可以使用正弦定理和余弦定理计算出船只在任何其他时间点的位置和朝向。
这对于导航非常重要。
4. 物理问题
在物理学中，正弦定理和余弦定理也有很多应用，例如在振
动、波动等问题中。
例如，当一个弹簧上放置一个小球时，小球会以一定的频率来回摆动。
通过测量小球的振幅、周期等参数，可以使用正弦定理和余弦定理计算出小球的运动轨迹和速度。
高中数学优质课件 1.2.1 解三角形应用举例(一)(求距离)
=
������sin(������+������) sin(������+������+������)
在∆������������������中，应用正弦定理得������������ =
������sin������
= ������sin������
sin[180°−(������+������+������)] sin(������+������+������)
自主探究 （一）要点识记
2. 方位角 —— 从指北方向线按顺时针方向转到目标方 向线所成的水平角．如图所示，点E所在的方位角是 __1_3_5_°___． 3. 基线 —— 在测量上，我们根据测量需要 适当确定的线段叫做基线．一般来说，基 线_越__长__，测量的精确度越高．
自主探究 （二）深层探究
1．如图，测量不可到达的两点A、B之间的距离有哪几个步骤？ 答：可分四个步骤：
第一步：选择基线CD，构造 ∆������������������， ∆������������������，∆������������������，确定需要测量的角度 ∠������������������，∠������������������，∠������������������，∠������������������； 第二步：在∆������������������中，应用正弦定理求AD； 第三步：在∆������������������中，应用正弦定理求BD； 第四步：在∆������������������中，应用余弦定理求AB.
典例突破 （二）测量两个不可到达的点之间的距离
（2）利用上面测量的有关数据，计算出 AC和BC的长度.
数学必修Ⅴ人教新课标A版1-2-1解三角形的实际应用举例——距离问题(28张)
2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三 角形？ （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于 其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍，即
a2 =b2 c2 2bc cos A； b2 =a2 c2 2ac cos B； c2 =a2 + b2 - 2abcosC.
（2）余弦定理能解决的三角形类型： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
sin 180 ( )
a sin( ) sin( )
D
C
BC
a sin
a sin
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定 理计算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
【规律总结】 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找
思考：你还能找出生活中这样的例子吗？
【变式训练】
为了测定河对岸两点A，B间的距离,在岸边选定1千 米长的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A，B两点的距离.
B D
A C
【解析】AD = CD = 2 3 ； sin60° 3
BD =
CDsin60°
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学
实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测 量相关术语.(重点、难点) 2.激发学生学习数学的兴趣, 培养学生运用图形、 数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题 的能力.
探究点1 关于测量从一个可到达的点到一个不可到 达的点之间的距离的问题
解三角形应用举例距离测量问题
数学必修5第一章《解三角形》 1.2 应用举例（一）距离测量问题一、课前练习：1、为测一河两岸相对两电线杆B A ,间的距离，在距A 点15米的C 处（AC ⊥AB ）测得ACB ∠=50°，则B A ,间的距离应为 （ ）A ．15︒50sin 米B ．15︒50cos 米C ．15︒50tan 米D ．15︒50cot 米2、已知有长为100米的斜坡AB ，它的坡角是45°，现把它改成坡角是30°的斜坡AD ，则DB 的长是__________米。
3、如图，某船向东航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离（结果不取近似值）二、课堂练习：1.一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ）A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里2．我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 3. 隔河可看到两目标B A ,，但不能到达，在岸边选取相距3km 的D C ,两点，并测得︒=∠75ACB ，︒=∠45BCD ，︒=∠30ADC ，︒=∠45ADB ，（D C B A ,,,在同一平面内），求两目标B A ,之间的距离。
4. 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为450和300，而且两条船与炮台底部连线成300角，（炮台底部与江面平行），求两条船相距多少米？D三、课后练习：1. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时( )A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3. 某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是4. 为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m，则河的宽度为5.某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，由C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，问人还需走多少千米才能到达A城？6. 如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．7.在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？A参考答案1.2 应用举例（一）距离测量问题一、课前练习：1、C ；2、)26(50-；3、（1）救生员的选择是正确的； （2）CD ＝275米，最短时间为210050+秒 二、课堂练习：1、A ；2、14n mile/h ；3、易得，75,60,300=∠=∠=∠BDC CBD CAD75sin 2sin sin ,3=∠⋅∠===∴BDC CBDCDBC CD AC在ABC ∆中，由余弦定理得，5cos 222=∠⋅⋅-+=ACB BC AC BC AC AB 。
应用举例(一)-距离
B 60o A 45o D 30o C
AB BD BD sin 60 sin105 sin 75
20 2 6 2 4 6 2
化简得 AB 10 6 答：两岛的距离为10 6 n mile.
作业：P19 A组第1题，P24 A组第6题
a
C
分析：设CD=a，∠BCA=a，∠ACD=b，∠CDB=g， ∠ADB=d
a sin(g d ) a sin(g d ) AC sin180 ( b g d ) sin( b g d )
a sin g a sin g BC sin180 (a b g ) sin(a b g )
思考：如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o 的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶 20 min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又 o 测得B岛在北偏西60 的方向，试求A岛与B岛的距离。
6 2 6 2 (sin15 ,sin 75 ) 4 4
AB AC BC 2 AC BC cos a
2 2
A
B
d
D
g
a
b
a
C
解斜三角形应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解。
实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
练习1：一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向， 若30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的 北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续 沿正北方向航行吗？
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1.2解三角形应用举例――测距离
武胜飞龙中学校 李剑飞 一、教学目标
1、知识与技能：（1）巩固正弦定理和余弦定理的基础知识（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题。
（3）培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，从而培养学生分析问题和解决问题的能力：同时培养学生数学建模能力。
2、过程与方法：通过学生思考，交流—>教师引导，分析 师生合作探究，建立模型，归纳总结，提炼,逐步深入的过程；采用变式深化，分层递进的方法，由简到繁，由易到难，再把复杂问题转化为已经解决的问题来解决，螺旋上升。
3、情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值与文化价值；
二、教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。
教学难点：根据实际问题和数学知识的联系建立数学模型，然后应用数学知识求解。
从而培养学生的数学应用已设解决实际问题的能力。
三、教学设计
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？（待学生回答后用图片在屏幕上展示课件图片）
1）什么是正弦定理、余弦定理
2）运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
3）运用余弦定理能解怎样的三角形？
①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.
2、新课讲授
（1）提出问题
在讲台两侧的地面上各取一点A ，B ，不能穿过讲台，如何测量A ，B 两点之间的距离？（测量工具：测角仪。
皮尺）
设计意图：问题情境简单，思维开放，就地取材，激发学生的参与热情
1.学生思考，交流，汇报方案
2引导揭示数学本质，建构模型。
这是一道关于求两个中间有障碍物但均可到达的点之间的距离的问题，转化为“已知三角形的两边和夹角，求第三边”，因此，可用余弦定理解决AB =
αcos 222BC AC BC AC ⨯-+ 以及：间隔其他物体 如一座山，房屋，的两地之间的距离
对于解三角形的实际应用，我们不难看到三角形的边其实际上就是线段，也就是两点之
间的距离，从而现实中的距离的问题就可以通过正弦定理，余弦定理解三角形来解决。
这就需要我们构造三角形，把实际中的距离转化为三角形的边来求解，从而需要解决转化这个问题，如何建模，如何测量，如何构建的问题。
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。
设置情境：给学生播放记录片段1949,4渡江战役，百万雄师渡长江的战役，我军工兵在我
方测量我方大炮和敌方防御工事的距离，要知道，准确的测量可以大大提高大炮的准确率 减少我军战士的牺牲，进而为赢得胜利奠定基础，（当时测量工具只有测角仪，皮尺）
（2）提出问题：我方测量我方大炮和敌方防御工事的距离？
设计意图：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；培养学生爱国主义精神。
1.学生思考，交流，汇报方案
2引导揭示数学本质，建构模型。
例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
解：根据正弦定理，得 ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC
ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55= )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答:A 、B 两点间的距离为65.7米。
小结：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
例2、当时，D 地的敌人以每小时20公里的速度来支援B 地的敌人，他们多少分钟后到达，能不能在支援的敌人到达之前占领B 地，具有重大的战略意义，我们得先计算BD 两点的距离？
设计意图：分层递进，螺旋上升，进一步应用知识。
培养学生探寻解决问题的思路与策略。
如图，D 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量D 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出BC 和CD ，再利用余弦定理可以计算出BD 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点A 、C ，测得AC=a ，在∆ABC 和∆ACD 中，应用正弦定理得 BC=)180sin(sin 0ACD ADC ADC a ∠-∠-∠=)
sin(sin ACD ADC ADC a ∠+∠∠ )
sin(sin )180sin(sin BCD BDC BDC a BCD BDC BDC a BC o ∠+∠∠=∠-∠-∠= 计算出BC 和CD 后，再在∆BCD 中，应用余弦定理计算出BD 两点间的距离 BD = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
若在河岸选取相距40米的A 、C 两点，测得∠BCD=60︒，∠ACB=30︒，∠CAD=45︒，∠BAD =60︒ 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得BD=206。
变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：2a km
3、 课堂练习：课本第13页练习第1、2题
4、 归纳总结：1）两点间的距离，大致又可分为（1）可直接测量的两点的距离（中间无障
碍物），（2）两点之间有障碍物而且均可到达两点的距离，（3）一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离。
（4）两点都不可到达的两点的距离。
2）解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建
立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
四、课后作业
1、 课本第19页习题1.2 A 组第1、
2、3题
思考题：你能设计一个测量地球到月球之间的距离的方案吗？或者举一个实际生活中有关距离测量的例子，并设计一个测量方案。
五、板书设计
六、授后记。