21.2二次函数图象和性质(沪科版)
《二次函数的图象和性质》课件-沪科版
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
感悟新知
知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
感悟新知
1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
感悟新知
例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回
沪科版九上数学二次函数的图象和性质
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口 向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减
沪科版九年级上册数学教案 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十一章二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象.2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.【情感态度与价值观】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质.多媒体课件.（课件展示问题）由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价.一、思考探究，获取新知你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质? 学生讨论得到：把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a(x-h)2+k 的形式再通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6 =-2(x 2-2x)+6 =-2(x 2-2x+1-1)+6 =-2［(x-1)2-1］+6 =-2(x-1)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）. 你能从上图中总结出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质吗？ 【归纳结论】二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴是x=-ab2，顶点坐标是(-ab 2，a b ac 442 )【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论. 二、典例精析，掌握新知问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）的内容包括：二次函数的图象和性质，具体有顶点坐标、开口方向、对称轴等。
这部分内容是整个初中数学的重要内容，对于学生来说，理解二次函数的图象和性质有助于解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了二次函数的一般形式，对于二次函数的图象和性质有一定的了解，但顶点坐标、开口方向、对称轴等概念还需进一步巩固。
此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的图象和性质，提高学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决实际问题的信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数的图象和性质。
2.启发式教学法：引导学生发现问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：让学生在合作中发现问题、解决问题，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：教材、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，发现二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
3.操练（10分钟）教师给出几个例子，让学生运用二次函数的性质解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师通过提问、讨论等方式，检查学生对二次函数图象和性质的掌握情况。
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第1课时 二次函数y=ax^2的图像和性质
21.2 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】会用描点法画出函数y=ax 2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax 2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.◇教学重难点◇【教学重点】理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.【教学难点】用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数的性质.◇教学过程◇一、情境导入从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?二、合作探究探究点1 二次函数y=ax 2的图象典例1 (1)用描点法在同一坐标系中画出y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象. (2)比较上述图象,抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系?(3)根据你的研究结果,请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象.[解析] (1)y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象如图所示.(2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:系数越大,开口越小.(3)平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象如图虚线所示.已知y=(k+2)x k2+k是二次函数.(1)求k的值;(2)画出函数的图象.[解析](1)∵y=(k+2)x k2+k为二次函数,∴{k 2+k=2,k+2≠0,解得k=1.(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.列表:描点:(-1,3),(-12,34),(0,0),(12,34),(1,3).连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.探究点2二次函数y=ax2的性质典例2已知点(-3,y1),(1,y2),(√2,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.[解析]方法一:把x=-3,1,√2分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2.方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2.方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>√2>1,∴y1>y3>y2.(1)求m的值.(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时,该函数有最小值?(4)试说明函数图象的增减性.[解析] (1)∵函数y=(m+3)x m 2+3m -2是关于x 的二次函数,∴m 2+3m-2=2,m+3≠0,解得m 1=-4,m 2=1.(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,∴当m=1时,该函数有最小值.(4)当m=1时,x>0时,y 随x 的增大而增大,x<0时,y 随x 的增大而减小;当m=-4时,x>0时,y 随x 的增大而减小,x<0时,y 随x 的增大而增大.二次函数y=ax 2的最值是图象顶点的纵坐标,当a>0时,函数图象的开口向上,顶点是最低点,三、板书设计二次函数y=ax 2的图象和性质二次函数y=ax 2的图象和性质{ 开口方向顶点坐标:(0,0)对称轴:y 轴最值增减性◇教学反思◇本节课的内容主要是研究二次函数y=ax 2在a 取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第2课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2.2节的内容，本节课主要让学生掌握二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
通过本节课的学习，使学生能运用二次函数的性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但二次函数的图象和性质较为抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要老师在教学中给予引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
2.培养学生运用二次函数的性质解决实际问题的能力。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标的确定。
2.二次函数的增减性、最值问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体课件，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.运用实例分析，让学生学会将二次函数的性质应用于实际问题。
4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.相关实例分析材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示二次函数的图象，引导学生观察开口方向、对称轴、顶点坐标等特征，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
通过实例分析，让学生了解二次函数的增减性和最值问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用二次函数的性质解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成，检验学生对二次函数图象和性质的掌握程度。
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
04:09
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第4课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第4课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上，进一步探讨二次函数的性质。
通过本节课的学习，学生将能够理解二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等概念，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式和图象已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的性质，学生可能还存在着一些模糊的认识，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等概念。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴的确定。
2.运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解二次函数的性质。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图像来形象地展示二次函数的性质。
3.提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固和加深对二次函数性质的理解。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.练习题和答案。
3.教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾二次函数的一般形式和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用多媒体展示二次函数的图象，引导学生观察和分析二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
通过实例来阐述这些性质的运用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选取一个二次函数，根据其一般形式确定其顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，并运用这些性质解决实际问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对二次函数性质的理解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：如何判断一个二次函数的图象是否关于某条直线对称？如何判断两个二次函数的图象是否相同？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，加深对二次函数性质的理解。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第5课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。
教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.二次函数的图象和性质的推导和证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。
3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学PPT或投影片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第5课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析本节课的教学内容是沪科版数学九年级上册第21章第2节《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）。
这部分内容主要介绍了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的图象和性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。
通过学习这部分内容，学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经学习了二次函数的一般形式和简单的性质，对于开口方向、顶点坐标等概念有一定的了解。
但是，对于二次函数图象的绘制和性质的深入理解还需要进一步引导和培养。
此外，学生的数学基础和思维能力也有所差异，需要针对不同层次的学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.能够理解二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的图象和性质。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.开口方向、顶点坐标、对称轴等概念的深入理解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索和解决问题来理解和掌握二次函数的图象和性质。
2.使用多媒体教学辅助工具，展示二次函数的图象和性质，帮助学生直观地理解。
3.学生进行小组讨论和实践操作，促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.多媒体教学课件，包括二次函数的图象和性质的展示。
2.练习题和实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考二次函数的图象和性质对于解决问题的作用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）使用多媒体教学课件，呈现二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的图象和性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。
通过图象和性质的展示，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。
3.操练（15分钟）学生分组进行实践操作，通过绘制二次函数的图象和分析其性质，加深对二次函数图象和性质的理解。
沪科版九年级数学上册21.2 二次函数的图象和性质2
21.2 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2的图象和性质【学习目标】1．能够利用描点法作出y ＝ax 2的图象，并能根据图象认识和理解y ＝ax 2的图象和性质．2．经历画二次函数y ＝ax 2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．【学习重点】会画y ＝ax 2的图象，理解其性质．【学习难点】结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质．画函数图象的一般步骤是：1.列表(取几组x 、y 的对应值)；2．描点(表中x 、y 的数值在坐标平面中描点(x 、y))；3．连线(用光滑曲线)．情景导入 生成问题旧知回顾：(1)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)其图象是一条经过(0，b)的直线．特别地，正比例函数y ＝kx(k ≠0)其图象是过原点的直线．(2)描点法画出一次函数的步骤，分为列表，描点，连线三个步骤．(3)我们把形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的函数叫做二次函数．自学互研 生成能力知识模块一 探究二次函数y ＝ax 2的图象和性质阅读教材P 5～6页的内容，回答以下问题：1．在画二次函数y ＝x 2的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线．2．二次函数y ＝x 2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点(最低点)是(0，0)，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．3．观察y ＝12x 2，y ＝2x 2的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标． 4．根据函数y ＝12x 2，y ＝2x 2图象特点，总结y ＝ax 2(a ＞0)的性质：最高或最低点，图象何时上升、下降． 二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象及性质为：(表格均让学生口述完成) 二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象的形状 图象的特点 图象的性质1.向x 轴左右方向无限延伸自变量x 的取值范围是全体实数 2.是轴对称图形，对称轴是y 轴 对于x 和－x 可得到相同的函数y 3. 在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的 当x ＜0时，函数y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，函数y 随x 的增大而增大 4. 顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸 当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y ≥0 5.观察y ＝－12x 2、y ＝－2x 2的图象，指出它们与y ＝12x 2、y ＝2x 2图象的不同之处． 它们的开口向下，顶点是原点．图象向下无限延伸，当x ＝0，函数取得最大值，y 最大值＝0且y 没有最小值即y ≤0，在y 轴左侧是上升的，在y 轴右侧是下降的．当x ＜0，y 随x 增大而增大，当x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．6．(1)a ＞0与a ＜0时，函数y ＝ax 2图象有什么不同？(2)|a|大小对开口大小有什么影响？答：一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．比较各函数图象可知|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．知识模块二 二次函数y ＝ax 2的图象和性质的运用范例1：在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝13x 2，y ＝－3x 2，y ＝x 2的共同特点是( D ) A ．关于y 轴对称，抛物线开口向上B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D ．关于y 轴对称，抛物线顶点在原点范例2：已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ 解：(1)m ＝2或m ＝－3；(2)当m ＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究二次函数y ＝ax 2的图象和性质知识模块二 二次函数y ＝ax 2的图象和性质的运用检测反馈 达成目标1．若(－5，2)在抛物线y＝ax2上，则________一定也在该抛物线上(A)A．(5，2) B．(－2，－5)C．(－5，－2) D．(0，2)2．函数y＝5x2的图象开口向上，顶点是(0，0)，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第2课时）教学设计一. 教材分析本节课的内容是二次函数y=a^2+b+c的图象和性质（第2课时），教材采用沪科教版。
这部分内容是初中数学的重要知识，主要研究二次函数的图象和性质，对于学生理解函数的概念，把握函数的性质，培养学生的数学思维能力具有重要意义。
教材通过引入二次函数的一般形式，引导学生探究函数的图象和性质，从而使学生掌握二次函数的基本知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，了解了函数的图象和性质。
同时，学生已经学习了二次函数的顶点式，对于二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的一般形式y=a^2+b+c，学生可能还存在一定的困惑，需要通过本节课的学习，进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解二次函数的一般形式，能够分析二次函数的图象和性质。
2.过程与方法目标：通过探究二次函数的一般形式，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数一般形式的运用，二次函数图象和性质的深入理解。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生提出问题，思考问题，解决问题，从而达到学习目标。
同时，运用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论、交流，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟读教材，了解教材的结构和内容，准备好相关的教学材料。
2.学生准备：预习教材，了解二次函数的一般形式，思考二次函数的图象和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习二次函数的顶点式，引导学生提出问题：二次函数的一般形式是什么？二次函数的图象和性质有哪些？从而引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示二次函数的一般形式y=a^2+b+c，引导学生观察和分析二次函数的图象和性质。
沪科版数学九年级上册 21.2二次函数的图象和性质-教案1
义教课标教材数学（沪科版）九年级上册第21章21.2二次函数的图象和性质（第1课时） 二次函数y=ax ²的图象和性质一、教材分析：（一）地位和作用本节课是二次函数的图象和性质的第一课时，在学生已经学习了函数的概念，函数的表示方法，函数图象的研究方法，以及对一次函数的图象和性质有了深入的研究基础上，进一步研究二次函数y=ax ²的图象和性质 ，一方面，它是对前面函数、一次函数的研究方法和过程的延续；另一方面，它不仅是对二次函数y=ax ²的图象和性质的探究，而且还为后面学习形如y=ax ²+k ,y=a(x+h)², y=a(x+h)²+k 一系列二次函数的图象和性质作了一定的知识方法和能力上储备，它在本章中起着承上启下的作用. （二）、教学内容分析本节课主要内容是y=ax ²的图象和性质，教材从最特殊的二次函数y=x ²出发，在依次研究y=2x ²， 的图象和性质，从形状、开口大小、开口方向、对称性、顶点坐标、上升下降趋势来观察他们的图象特征，归纳此类函数的性质，采用类比一次函数的研究方法，让学生去探究，以富有开放性、探索性的问题为诱饵，引导学生从数和形的角度去观察、分析、对比、归纳.本节课的教学，既要培养观察、分析、归纳的能力，又要渗透类比、从特殊到一般、数形结合的数学思想方法.所以本节内容对培养学生的探索精神、创新意识和积累数学活动经验，也有着非常重要的意义.二、教学目标：1、会用描点法画出形如y=ax ²的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；2、了解二次函数y=ax ²的图象特征和性质；3、在类比探究二次函数y=ax ²的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.三、教学重难点：重点：数形结合的研究y=ax ²的图象和性质.难点：用描点法准确的画出y=ax ²的图象和a 的绝对值越大，张口越小的归纳.212y x四、学情分析：九年级学生要注重培养识图能力、直觉猜想能力、抽象概括能力和逻辑推理能力，通过前面对函数、一次函数等相关知识的学习，他们的认知水平、分析图象的能力有了一定基础.本班学生整体素质中等，教学中仍应关注基础，善待差异，积极调动学生学习积极性，积极评价学生的学习过程，以民主、平等、温情和积极的课堂文化来促进和激励学生的数学学习.五、教学环境及准备：多媒体教学环境；学生要准备几何作图工具、网格纸；教师准备课件、三角板. 六、教学策略：综合运用启发式、谈话法、讲练结合法等；引导学生经历观察、比较、分析、归纳、猜想、验证和说理的全过程，积累数学学习和活动经验，体会问题研究的一般方法；指导学生学会从特殊到一般、学会从具体的研究对象中抽象出一般特征或规律，从而提高他们的概括能力和语言运用能力，养成会动手、善表达，肯动脑、有条理的良好的学习习惯.七、教学过程预设：（一）回顾旧知，激活已有经验问题1：1.二次函数的一般形式是什么？你能举出一些二次函数的例子吗？2. 学习完二次函数概念后，类比一次函数的研究过程，今天我们需要研究什么？3.我们是如何研究一次函数的图象和性质的？引导学生回顾研究函数的一般过程，以及一次函数的研究内容和方法：通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和性质，如位置、形状，函数随自变量的增大如何变化.经历从特殊到一般的探究过程，先研究特殊的一次函数——正比例函数y=kx 的图象和性质，再研究一般的一次函数y=kx+b的图象和性质；在这个过程中，分k>0,k<0两种情况讨论，由k取具体的数字入手，最后归纳出一般情况.在学生回顾的过程中，教师适时进行归纳总结，并进行板书.追问：你觉得我们今天先研究什么函数的图象性质？（板书：21.2.1二次函数y=ax²的图象和性质）【设计意图】通过这三个问题为今天的研究搭建框架，虽然二次函数与一次函数研究对象有差异，复杂程度有差异，但研究的思想方法都是从特殊到一般.复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质进行铺垫.（二）类比探究二次函数y=ax ²的图象和性质问题2：类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数y=x ²的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？师生活动：（1）学生独立用描点法画出y=x ²的图象，此时教师关注学生是否选取适当的自变量的值，描点连线，（追问：不知道0-1之间的图象到底是折线还是曲线怎么办？加密点来画图）展示几何画板中加密点的函数图象.（2）概括特征.尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等方面描述y=x ²的图象特征.板书：抛物线、顶点定义，图象的形状、开口方向、对称性、顶点，强调顶点是抛物线的最高点或最低点.（3）从图象上看函数y=x ²随自变量的增大如何变化.【设计意图】在师生对话中引导学生在已有的知识经验中建构新的概念，概括观察的角度和方法，尝试类比探究特殊的二次函数y=x ²的图象和性质，并以它为观察对象，了解抛物线的相关概念. 小组合作：问题3：在同一直角坐标系中画出y=2x ²，的图象，函数y=2x ²， 的图象与函数y=x ²的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？追问：这些共同点是由什么因素引起的？这些不同点是由什么因素引起的？ 请归纳：当a>0时，二次函数y=ax ²的图象有什么特点？ 得出：212y x =212y x =【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=ax ²（a>0）的图象特征，再次感受数缺形时少直观，形少数时难入微，体会数形结合的数学思想. 合作探究问题4：类比a>0时的研究过程，二次函数y=ax 2（a<0）的图象有什么特征？有了问题3的经验，学生应该能够有意识的从特殊到一般的将a 赋值研究，若有个别学生做不到，则追问：你打算怎么研究？我们刚才是怎么研究a>0时的情况？用了什么方法？研究了哪些内容？帮助学生梳理思路. 在同一坐标系下画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． 填表：课本第9页表格在开口大小的归纳中，学生通过展示几何画板在a 在-3到3之间的动态图象直观的感受到a 的取值对函数图象的影响，进而总结出a 的绝对值越大张口越小.追问：对比抛物线y=x ²和y=-x ²它们的图象有什么关系？一般地，抛物线y=ax ²和y=-ax ²呢？【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数2222,21,x y x y x y -=-=-=y=ax²（a<0）的图象特征.问题5：你能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质吗？师生共同归纳：侧二次函数y=ax2的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 的图象可以简称抛物线y = ax2【设计意图】概念的形成要注重引导学生感悟，学生是学习的中心和主体，教师要为学生创造用多样化的学习方式学习的机会给学生自主建构、自我完善的机会.（三）及时巩固，素养提升(1)抛物线 y=2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 , 在对称轴 侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴 侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的 方(除顶点外).(2)抛物线在x 轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y 随着x的 ；在对称轴的右侧,y 随着x 的 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.【设计意图】通过问题正面强化、有效练习深化概念的理解和掌握，避免了对概念的简单、机械的记忆.（四）回顾梳理，归纳小结，学法指导：我们一起回顾今天的学习历程：（五）布置作业必做题：练习1、2、3 选做题：练习4、5232x y -=八、板书设计：九、教学设计理念：本节课从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.教后反思：本节课在设计理念上一直比较注重从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.这一点是比较好的，但从实际操作上看，一方面由于学生的基础不是很强，未能对一次函数的图象性质研究有深刻的认识，所以不能够灵活的运用于二次函数的图象和性质的研究上，另一方面也是因为我过于注重放手让学生自己去利用知识的迁移，设置的问题有点大，让学生感觉无法回答，所以总感觉课堂气氛有些沉闷.如果在课堂中能够把问题细化些，小步骤的去引导学生思考，操作，课堂效果可能会更好一些.在二次函数的图象为什么是光滑的曲线的处理上，我采用几何画板加密点的形式展示给学生看，这种让学生先思考再直观的感受的做法是可取的，达到了预期的效果，同时在开口大小的归纳中，学生通过几何画板在a在-3到3之间的动态图象直观的感受到a的取值对函数图象的影响，进而总结出a的绝对值越大张口越小，这一点也是可取的，以后仍要坚持这种先让学生独立思考再借助教学技术辅助的做法.。
沪科版九年级数学上册二次函数的图象和性质
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
直线 x=0
（0，0）
向上
直线 x=2
（2，0）
向上
直线 x=2
（2，1）
思考：抛物线 = ( + ℎ)2 + 的图象特征是什么
?
课程讲授
= ( + ℎ)2 +
开口方向
对称轴
顶点坐标
小结
a>0
a<0
向上
向下
直线 x=−h
直线 x=−h
（ −h ， ）
2
来实现呢
?
课程讲授
新课推进
1 2
方法1： =
2
向右平移2个单位
1
= ( − 2) 2 + 1
2
1 2
方法2： =
2
向上平移1个单位
1
= ( − 2) 2 + 1
2
1
y=
2
(x − 2)2
向上平移1个单位
1 2
y= x +1
2
向右平移2个单位
1 2
1
二次函数 = 还有没有其它的移动方式得到 = ( − 2)2 + 1
（ −h， ）
当x<-h时, 随x增大而减小;
函数的增减性 当x>-h时, 随x增大而增大.
最值
x= -h时， 最小值=
当x<-h时, 随x增大而增大;
当x>-h时, 随x增大而减小.
x= -h时， 最大值=
课程讲授
小结
= ( +
2
ℎ)
+k（ ≠ 0 ）
21.2第一课时_二次函数_y=ax^{2}_的图象和性质课件沪科版九年级数学上册
（1）求这个函数的表达式.
拓展延伸
图5
图5
图5
（九年级 全一册）
2024
第21章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
起航加油
知识梳理
抛物线
二次函数 图象开口向开口______开口_ ____
对称轴
_ _____
____
顶点坐标
______
______
向上
向下
最高（低）点
顶点是它的最____点
顶点是它的最______点
…
0
0.5
1
…
…
4
1
0
1
4
…
…
0
…
…
0
2
4
…
…
4
1
0
1
4
…
描点、连线，即得这三个函数的图象，如图2.
图2
（2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴、最高点或最低点的坐标.
思路点拨 根据函数图象可得结论.
图2
图2
图2
答案：D
A. B. C. D.
图3
（1）完成下表，并在图3中画出这个函数的图象.
…
0
1
2
3
…
…
_ ___
_ ___
_ ___
___
_ ___
_ ___
_ ___
…
0
图3
图2
（2）请说出这个函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.
图2
图2
课后达标
基础巩固
C
2.下列抛物线开口最小的是( ) .
当 时， 有最____值，此最值为___，且 没有最____值，即 的取值范围是_ _____
上海沪科版初中数学九年级上册21.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1 (4)抛物线 y＝－ x2＋2x＋4 的对称轴是_______；
2
TB:小初高题库
上海沪科版初中数学
(5)二次函数 y＝ax2＋4x＋a 的最大值是 3，则 a＝_______． 2．画出函数 y＝2x2－3x 的图象，说明这个函数具有哪些性质。
3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1
5
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数 y＝－ x2＋x－ 的图象。
2
2
说明：(1)列表时，应根据对称轴是 x＝1，以 1 为中心，对称地选取自变量的值，求出
相应的函数值。相应的函数值是相等的。
(2)直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定，且允许 x 轴、y 轴选取的长度单
位不同。所以要根据具体问题 ，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。
让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；
当 x＜1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x＞1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；
当 x＝1 时，函数取得最大值，最大值 y＝－2
三、做一做
1 1．请你按照上面的方法，画出函数 y＝ x2－4x＋10 的图象，由图象你能发现这个函
2
数具有哪些性质吗?
学习要点
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教 师点评。
2．通过配方变形，说出函数 y＝－2x2＋8x－8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐
标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
学习要点
(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的
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y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
2 2 y x 在x轴的 （2）抛物线 3
下 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的 增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 当x
n n
2
的开口
2017年3月7日星期二
6Байду номын сангаас
巩固练习
3、若抛物线 y 6 x 上点P的坐标为 (2，a)，则抛物线上与P点对称的点 P’的坐标为 。
2
2017年3月7日星期二
7
巩固提高
4、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
1 2 (m+3，y3)在抛物线 y x 上，则 4
21.2.1二次函数
2 y=ax 的图象和性质
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
2017年3月7日星期二
1
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0
y
O
a<0 y
x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
极值
向上 (0 ,0) y轴
x
向下 (0 ,0) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
2
2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线 y=ax 2017年3月7日星期二 抛物线的开口就越小. |a|越小 , 抛物线的开口就越大.
2017年3月7日星期二
，
4
0时，y<0.
巩固练习 1、已知二次函数 y ax 的图象经 过点(-2，-3)。 (1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置；
2
2017年3月7日星期二
5
巩固练习
2、若抛物线 y ( n 1) x 向下，求n的值。
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
y x2
y x2
在同一坐标系内,抛物线 y ax 与 2 抛物线 y ax 是关于x轴对称的.
2
2017年3月7日星期二
3
y 2x2
1、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y1、 y2、y3的大小关系是
课后作业：
。
2017年3月7日星期二
8