数学分析ppt

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例8 求
a2 x2 π 解 设 x a tan t , | t | . 2 2 dx a sec tdt a 2 x 2 a sec t

dx
(a 0).
sec tdt ln | sec t tan t | C
ln( a 2 x 2 x ) C .
解
(a 0).
π , 2 2 1 dx a sec t 2 d t cos tdt 3 ( x 2 a 2 )2 a 4 sec4 t a 1 3 (1 cos 2t )dt 2a 1 x2 a2 3 ( t sin t cos t ) C x 2a t 1 x ax 3 arctan 2 C. 2 a a x a 2a x a tan t , | t |
x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C .
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2. 升幂法
求 x arctan x, x ln x, x arcsin x 等类型函数的不
定积分时,需要使用升幂法.
3 x 例12 ln xdx .
4 1 4 x 3 3 x ln x d x ln x d ( x ln x x dx ) 解 4 4 4 x (4 ln x 1) C . 16
2 2
2 a a cos t dt (1 cos 2t )dt 2
2
2
2 a 1 a x x x t sin 2t C arcsin 1 C 2 2 2 a a a 1 2 x 2 2 a arcsin x a x C . 2 a 2
这里可借助辅助直角三 角形, 求出 sec t , tan t .
t
x2 a2
x
a
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例9 求
π 解 设 x a sec t , 0 t , 2 dx a sec t tan t x 2 a 2 a tan t dt
dx 2 2 x a
(a 0).
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dx 例2 求 2 x a2
(a 0).
解
dx 1 1 1 dx x 2 a 2 2a x a x a
1 d( x a ) 1 d( x a ) 2a x a 2a x a
1 ln | x a | 1 ln | x a | 2a 2a
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例6 求 sec xdx .
cos x d(sin x ) dx 解 (解法一) sec xdx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 sin x ln C. 2 1 sin x
sec x(sec x tan x ) dx (解法二) sec xdx sec x tan x
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三、分部积分法
定理8.6 (分部积分法) 若u(x)与v(x)可导, 不定积分 u( x )v( x )dx存在,
则 u( x )v( x )dx 也存在, 且
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
证 由 ( u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x ) 或
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1
dx 1 . du ( x ) x 1 ( u )
d 1 1 F ( ( u)) F ( x ) 于是 dx ( x ) 1 g( ( x )) ( x ) g( u), ( x ) 所以(2)式成立.
第二类换元积分法常用在 f (a 2 x 2 ), f (a 2 x 2 ),
(4)式代入(3)式,得
b ax 1 ax I1 [ e cos bx (e sin bx bI1 ) ]. a a
整理后得到
同理
b sin bx a cos bx ax I1 e C. 2 2 a b a sin bx b cos bx ax I2 e C. 2 2 a b
ax 1 解 I1 a cos bx d(e ) 1 ax (e cos bx b eax sin bx dx ) a 1 (eax cos bx bI 2 ), a
(3)
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1 I 2 sin bx d(eax ) 1 (eax sin bx b eax cos bxdx ) a a 1 ax (4) (e sin bx bI1 ). a
x
x2 a2
t
a
sec tdt ln | sec t tan t | C
x ln a
x2 a2 C ln x x 2 a 2 C1 , a
其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.
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dx 例10 求 2 ( x a 2 )2
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4. 递推法
例14 求不定积分I n cos n xdx.
解 I1 cos xdx sin x C .
I n cosn xdx cosn1 xdsin x sin x cos
n1
x (n 1) cos
n 2
sin xdx
2
1 1 (3) x dx d(x ); (4) cos xdx d(sin x ); 1 (5) sin xdx d( cos x ); (6) 1 x dx d( ln x ); dx 2 d(arctan x ). (7) sec x d x d( tan x ); (8) 2 1 x



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例4 求 sin3 xdx. 解
3 2 sin x d x sin x sin x dx
(1 cos2 x )dcos x
1 3 cos x cos x C . 3
dx . 例5 求 x ln x
解
dx d( ln x ) x ln x ln x ln ln x C .
d(sec x tan x ) ln | sec x tan x | C . sec x tan x
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二、第二换元积分法
定理8.5 (第二换元积分法)
若 g( u) 在 [ , ] 上有定义, u ( x )在[a , b] 上可导,
( x ) 0, 且 g( ( x )) ( x )dx F ( x ) C ,
且 ( x ) , x [a , b]. 又u ( x )在[a , b]上可导，
则
g( ( x)) ( x)dx g(u)du
G ( u) C G ( ( x )) C . (1)
d 证 因为 G ( ( x )) G( ( x )) ( x ) g( ( x )) ( x ). dx
f ( x a ) 等类型的不定积分上, 对此可分别设
x a sin t , x a tan t , x a sec t .
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2 2
例7 求 a 2 x 2 dx (a 0). π 解 设 x a sin t , | t | , 2

2
a x dx a cos t d(a sin t )
§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
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一、第一换元积分法
定理8.4 (第一换元积分法)
设 g ( u) 在 [ , ] 上有定义， 且 g(u)du G(u) C .
sin x cosn1 x (n 1) cosn2 (1 cos2 x )dx sin x cos
n1
x (n 1) cos
n 2
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dx (a 0). 例1 求 2 2 a x 解 x d dx 1 a a 2 x 2 a x 2 1 a
1 du 1 arctan u C 2 a a 1 u
1 x arctan C . a a
则
1 g ( u )d u F ( (u)) C .
(2)
证 在 ( x ) 0 的条件下, 必有 ( x ) 0 , x [a, b]
或 ( x ) 0, x [a, b]. 因此 u ( x ) 是严格单调
函数,从而 u ( x ) 存在反函数 x ( u), 且
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I1 的另一种求法是: 1 ax ax I1 (e cos bx b e sin bx dx ) a 1 ax b (e cos bx sin bx deax ) a a 1 ax b ax b2 ax (e cos bx e sin bx e cos bxdx ) a a a 1 ax b ax b2 (e cos bx e sin bx I1 ) a a a b sin bx a cos bx ax 所以 I1 e C . I 2 的求法类似. 2 2 a b
所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g( ( x)) ( x)dx g( ( x))d ( x) G( ( x)) C ,
其中 G( u) g( u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax );

(2) dx d( x a );
u( x )v( x ) ( u( x )v ( x )) u( x )v ( x ), 两边积分,得
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
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1. 降幂法
在求 x sin x , x cos x , x e 等类型函数的不定积
1 x a ln C. 2a x a
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2 求 x 1 x dx . 例3
1 2 2 解 x 1 x dx 1 x d(x ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
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1 2



3 2

1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
n n n x
分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂. 例11 求 x cos xdx.
2
2 2 2 x cos x d x x dsin x x sin x 2 x sin xdx 解
x 2 sin x 2 xdcos x
2
x sin x 2 xcos x 2 cos x dx
n
n
n
注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.
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3. 循环法
求 e x sin x , e x cos x 类型的函数的不定积分时,用分
部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,
解出方程加上常数C 即可得不定积分. 例13 求 I1 eax cos bx dx 和 I 2 eax sin bx dx .