09级矩阵与数值分析上机作业
矩阵与数值分析上机实验题及程序
1.给定n 阶方程组Ax b =，其中6186186186A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，7151514b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭则方程组有解(1,1,,1)Tx = 。
对10n =和84n =，分别用Gauss 消去法和列主元消去法解方程组，并比较计算结果。
Gauss 消去法：Matlab 编程（建立GS.m 文件）：function x=GS(n) A=[];b=[]; for i=1:n-1 A(i,i)=6; A(i,i+1)=1; A(i+1,i)=8; b(i)=15; endA(n,n)=6;b(1)=7;b(n)=14;b=b'; for k=1:n-1 for i=k+1:nm(i,k)=A(i,k)/A(k,k);A(i,k:n)=A(i,k:n)-m(i,k)*A(k,k:n); b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k); end endb(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1b(i)=(b(i)-sum(A(i,i+1:n).*b(i+1:n)'))/A(i,i); end clear x; x=b;disp( 'AX=b 的解x 是') end计算结果：在matlab 命令框里输出GS （10）得： >> GS(10)AX=b 的解x 是 ans =1.0000 1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000在matlab命令框里输出GS（84）得：>> GS(84)AX=b的解x是ans =1.0e+008 *0.0000………0.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00010.0002-0.00030.0007-0.00130.0026-0.00520.0105-0.02090.0419-0.08360.1665-0.3303-1.25822.3487-4.02635.3684列主元消去法：Matlab编程（建立GLZX.m文件）：function x=GLZX(n)A=[];b=[];eps=10^-2;for i=1:n-1A(i,i)=6;A(i,i+1)=1;A(i+1,i)=8;b(i)=15;endA(n,n)=6;b(1)=7;b(n)=14;b=b';for k=1:n-1[mainElement,index]=max(abs(A(k:n,k)));index=index+k-1;%indexif abs(mainElement)<epsdisp('列元素太小！！');break;elseif index>ktemp=A(k,:);temp1=b(k);A(k,:)=A(index,:);b(k)=b(index);A(index,:)=temp;b(index)=temp1;endfor i=k+1:nm(i,k)=A(i,k)/A(k,k);%A(k,k) ;A(i,k:n)=A(i,k:n)-m(i,k)*A(k,k:n);b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);endendb(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1b(i)=(b(i)-sum(A(i,i+1:n).*b(i+1:n)'))/A(i,i); endclear x;x=b;disp('AX=b的解x是')end在matlab命令框里输出GLZX（10）得：>> GLZX(10)AX=b的解x是ans =1111111111在matlab命令框里输出GLZX（84）得：>> GLZX(84)AX=b的解x是ans =1.00001.00001.00001.00001.00001.0000………1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000分析：n较小时，两种方法均能得到正确解，当n较大后，Gauss消去法计算结果严重偏离准确值成为错解，列主元消去法依然能得到正确解。
大连理工大学《矩阵与数值分析》2005-2009年真题答案
大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2005 年 12 月 12 日 试卷共 7 页一二三四五 六 七 总分 标准分 得 分装 一、填空（共30分，每空1.5分）（1）误差的来源主要有 、 、 、 .（2）要使 7459666.760=的近似值a 的相对误差限不超过310-，应至少取 位有效数字, 此时的近似值a = .订 （3）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4224A , 则1A ＝ , 2A ＝ , ∞A ＝ , F A ＝ ,谱半径)(A ρ＝ , 2-条件数)(2A cond ＝ , 奇异值为 .线 （4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=-]1,0,1[f ，=-]3,1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：，其收敛阶 . （7）计算u u 5-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 . 为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解，并求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1085Ax .三、（6分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=622292221A 的QR 分解（Q 可表示为两个矩阵的乘积）.四、（12分）根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则Jacobi 法和G-S 法均收敛.五、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数.27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .六、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法,1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.七、（18分）求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的标准正交多项式系)(0x ψ, )(1x ψ, )(2x ψ, 并由此求3x ])1,1[(-∈x 的二次最佳平方逼近多项式, 构造Gauss 型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f , 并验证其代数精度.大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2006 年 12 月 11 日 试卷共 8 页一二三四五 六 七 八 总分 标准分 得 分装订 一、填空（共30分，每空2分）线 （1）误差的来源主要有 .（2）按四舍五入的原则，取 69041575.422= 具有四位有效数字的近似值 a = ，则绝对误差界为 ，相对误差界为 .（3）矩阵算子范数M A ||||和谱半径)(A ρ的关系为： ，和 .（4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=]1,0[f ，=-]1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：.（7）使用Aitken 加速迭代格式)(1-=k k x x ϕ得到的Steffensen 迭代格式为：，对幂法数列}{k m 的加速公式为：.（8）1+n 点的Newton-Cotes 求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(的最高代数精度为.（9）计算u u 7-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 ，为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（10分） 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4224A , 计算1A ,2A ,∞A ,F A , 谱半径)(A ρ, 2-条件数)(2A cond , 和奇异值.三、（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解.四、（4分）求Householder 变换矩阵将向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221x 化为向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003y .五、（12分）写出解线性方程组的Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR ）法的矩阵表示形式，并根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR ）法当松弛因子]1,0(∈ω时收敛.六、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数. 27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .七、（12分）证明区间],[b a 上关于权函数)(x ρ的Gauss 型求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(中的系数⎰=bak k dx x l x A )()(ρ，其中)(x l k 为关于求积节点n x x x ,,10的n 次Lagrange 插值基函数，n k ,1,0=. 另求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的二次正交多项式)(2x ψ, 并由此构造Gauss型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f .八、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法, 1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dxe x ⎰-12求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。
数值分析上机作业(MATLAB)
将系数矩阵 A 分解为：A=L+U+D
Ax=b
⇔ (D + L +U)x = b ⇔ Dx = −(L + U )x + b ⇔ x = −D −1(L + U )x + D −1b x(k +1) = −D −1 (L + U ) x(k ) + D −1b
输入 A，b 和初始向量 x
迭代矩阵 BJ , BG
否
ρ(B) < 1?
按雅各比方法进行迭代
否
|| x (k+1) − x(k) ||< ε ?
按高斯-塞德尔法进行迭代
否
|| x(k+1) − x (k ) ||< ε ?
输出迭代结果
图 1 雅各布和高斯-赛德尔算法程序流程图
1.2 问题求解
按图 1 所示的程序流程，用 MATLAB 编写程序代码，具体见附录 1。解上述三个问题 如下
16
-0.72723528355328
0.80813484897616
0.25249261987171
17
-0.72729617968010
0.80805513082418
0.25253982509100
18
-0.72726173942623
0.80809395746552
0.25251408253388
0.80756312717373
8
-0.72715363032573
0.80789064377799
9
-0.72718652854079
数值分析大作业
数值分析上机作业（一）一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。
但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。
对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0<λ501，则令t=λ501，λ1=λ0，λ501=t。
求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。
使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0，则有λik=1λ0+μk。
求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下：任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1，当K 足够大时，取λn =1βk 。
(完整版)2009研究生数值分析试题及答案-石家庄铁道大学,推荐文档
姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。
数值分析上机题目
数值分析上机题目4(总21页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实验一实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组 实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组(1) 123421003131020141100155x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 迭代20次或满足()(1)1110k k x x --∞-<时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod(A,b)n=length(A);x=2*ones(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r; k=0;while rho>10^(-11) & k<1000 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=rho/rho1; p=r+beta*p; end w=A*p;alpha=rho/(p'*w); x=x+alpha*p; r=r-alpha*w; rho1=rho;rho=r'*r; end运行程序： clear,clcA=[2 -1 0 0;-1 3 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 5]; b=[3 -2 1 5]'; [x,k]=CGmethod(A,b)运行结果： x =(2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵， A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。
编制程序：储存m 文件function [x,k]=CGmethod_1(A,b) n=length(A);x(1:n,1)=0;r=b-A*x;r1=r; k=0;while norm(r1,1)>10^(-7)&k<10^4 k=k+1; if k==1 p=r; elsebeta=(r1'*r1)/(r'*r);p=r1+beta*p; end r=r1; w=A*p;alpha=(r'*r)/(p'*w); x=x+alpha*p; r1=r-alpha*w; end运行程序： clear,clc n=1000; A=hilb(n); b=sum(A')';[x,k]=CGmethod(A,b)实验二1、 实验目的：用复化Simpson 方法、自适应复化梯形方法和Romberg 方法求数值积分。
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业Word版
传播优3^ Word版文档•希望对您有帮助.可双击去除!矩阵与数值分析上机作业学校：大连理工大学学院：班级：姓名：学号：授课老师：注：编程语言Mat lab1.考虑计算给定向量的范数：输入向量x = (ri,x2,•■- ,-r n)r»输出胡I” ||创2，||広||oc・请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：对“ =10, 100, 1000甚至更大的八计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？程序：Norm, m函数function s二Norm(x,m)给求向量x的范数師取1,2, in f分别表示仁2,无穷范数n=length(x);s=0;switch mcase 1 績-范数for i=1:ns二s+abs(x(i));endcase 2 %2-范数for i=1:ns 二s+x(i 厂2;ends=sqrt (s);case inf %无穷-范数s二max(abs(x));end计算向量X, y的范数Testi.mclear all;clc;n1=10；n2=100；n3=1000;x1=1./[1:n1],;x2=1./[1：n2]t ;x3=1./[1:n3]f;y1 = [1:n1]t;y2=[1:n2]-;y3=[1:n3],;disp(*n=10 时J ;dispC x 的 1 一范数：*) ;disp(Norm(x1, 1)); dispC x 的 2-范数：*) ;disp(Norm(x1,2)); dispC x 的无穷-范数:*) ;disp(Norm(x1, inf)); dispCy 的1-范数：’);disp(Norm(y1, 1)); dispC'y 的 2-范数:*) ;disp(Norm(y1,2));disp(* y 的无穷-范数：*) ;disp(Norm(y1, inf)); disp(*n=100 时J;dispC x 的1-范数：*) ;disp(Norm(x2, 1));dispCx 的 2-范数:*) ;disp(Norm(x2, 2)); disp(' x 的无穷-范數:*) ;disp(Norm(x2, inf)); disp(' y 的 1 一范数：*) ;disp(Norm(y2, 1)); dispC y 的 2-范数：*) ;disp(Norm(y2, 2));disp(* y 的无穷-范数:*) ;disp(Norm(y2, inf)); dispCn=1000 时’);disp(' x 的 1-范数：*) ;disp(Norm(x3, 1)); dispC x 的 2-范数：*) ;disp(Norm(x3, 2));dispC x 的无穷-范數:*) ;disp(Norm(x3, inf)); dispC y 的 1-范数：*) ;disp(Norm(y3, 1));dispC y 的 2-范数:*) ;disp(Norm(y3, 2)); dispC y 的无穷-范数:*) ;disp(Norm(y3, inf));y 的1-范数:500500： y 的2-范数：1・8272+004； y 的无穷-范数:10002. 考虑y = /(x)=芈也，其中定义/(O) = b 此时/仗)是连续函数.用此＞公式计算 当10-込10-】5］时的函数值，画出图像。
2008_2009数值分析考试试题卷
太原科技大学硕士研究生2008/2009学年第1学期《数值分析》课程试卷一、填空题（每空6分，共30分）1、已知a 是积分⎰-102dx e x 的近似值，并且有四位有效数字，则a 的绝对误差限=)(a ε 2、设n 阶矩阵)(ij a A =的对角元),,2,1(0n i a ii =≠，令),,,(2211nn a a a diag D =。
若将A 分裂成)(1A D I D D A ---=，以其构造解线性方程组b Ax =的迭代公式为 。
3、求解初值问题1)0(,112=+='y yy 的欧拉公式为 。
4、若⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31,)1()1()1(2110,,)(233x c x b x a x x x x s 是三次样条函数，则=b 。
5、已知函数)(x f y =在2,0,1210===x x x 处的值分别为,4,2,1210===y y y 则经过点)4,2(),2,0(),1,1(-的Lagrange 插值多项式为 。
二、(10分)设A 为n 阶非奇异的上三角阵，试导出计算1-A 的元素的递推公式。
三、（15分）证明下列迭代公式产生的序列{}k x 收敛于a （0>a ）并具有三阶收敛速度，,1,0,3)3(221=++=+k a x a x x x k k k k其中0x 充分接近a 。
四、（15分）已知Legendre 正交多项式)(x L n 有三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试推导两点Gauss-Legendre 求积公式)()()(221111x f A x f A dx x f +≈⎰- 的求积系数和节点，并用此公式计算下列积分的近似值。
⎰-=2242dx e I x五、(15分)在区间[-1，1]上给定函数122)(23-++=x x x x f ，求其在{}2,,1x x Span =Φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
《矩阵与数值分析》上机大作业matlab
《矩阵与数值分析》上机大作业1.给定n 阶方程组Ax b =，其中6186186186A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，7151514b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭则方程组有解(1,1,,1)Tx = 。
对10n =和84n =，分别用Gauss 消去法和列主元消去法解方程组，并比较计算结果。
%产生三对角矩阵 n=84; %或n=10;A=zeros(n); b=zeros(1,n); for i=1:n-1A(i,i)=6;A(i,i+1)=1;A(i+1,i)=8; endA(n,n)=6;for i=2:n-1 b(1)=6; b(i)=15; b(n)=14; end Ab=[A b'];%Gauss 消元法for j=1:n-1 %按列循环 for k=j+1:n %消元Ab(k,:)=Ab(k,:)-Ab(j,:)*(Ab(k,j)/Ab(j,j)); end endx(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1 %回代法求x for j=n:-1:i+1Ab(i,n+1)=Ab(i,n+1)-Ab(i,j)*x(j); endx(i)=Ab(i,n+1)/Ab(i,i); end（1）当n=10时，Gauss 消去法 Gauss 列主元消去法 x=1.000000000000000 x=1.000000000000000 1.000000000000000 1.0000000000000001.000000000000000 1.000000000000000 1.000000000000001 1.000000000000000 0.999999999999998 1.000000000000000 1.000000000000004 1.000000000000000 0.999999999999993 1.000000000000000 1.000000000000012 1.000000000000000 0.999999999999979 1.000000000000000 1.000000000000028 1.000000000000000（2） 当n=84时，Gauss 消去法的解是错解Columns 34 through 392147483649.00000 -4294967295.00000 8589934592.99999 -17179869182.9999 34359738368.9998Gauss 列主元消去法x 与x=(1,1…1)T 偏差不大 Columns 34 through 391.000000172108412 0.999999661246936 1.000000655651093 0.999998776117961 1.000002098083496综上，高斯列主元消去法可以避免小数作除数带来的误差，获得满意的数值解。
数值分析上机作业
《数值分析》上机作业（第一二三章）学院：电气工程学院班级：电气13级硕士2班教师：石佩虎老师姓名：**学号： ******第一章实验1 舍入误差与有效数设2211NN j S j==-∑，其精确值为1311()221N N --+。
(1) 编制按从大到小的顺序222111 (21311)N S N =+++---，计算N S 的通用程序； (2) 编制按从小到大的顺序222111...1(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序； (3) 按两种顺序分别计算210S 、410S 、610S ，并指出有效位数（编制程序时用单精度）； (4) 通过本上机题你明白了什么？解答如下：(1). 按从大到小的顺序计算N S 的通用程序如下所示： n=input('Please Input an N (N>1):'); y=0;accurate=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1)); %精确值 for i=2:1:n %从大到小的顺序 x=1/(i^2-1);x=single(x); y=y+x; enderror= accurate-y; format long;disp('____________________________________________________'); disp('The value of Sn from large to small is:'); disp(y);disp('The value of error is:'); disp(error);(2) 编制按从小到大的顺序计算N S 的通用程序如下所示： n=input('Please Input an N (N>1):'); y=0;accurate=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1)); for i=n:-1:2 x=1/(i^2-1);x=single(x); y=y+x;enderror= accurate-y; format long;disp('____________________________________________________'); disp('The value of Sn from large to small is:'); disp(y);disp('The value of error is:'); disp(error);(3) 计算结果：按从大到小的顺序计算得：(4)总结：当我们采用不同的计算顺序，对于同一个计算式，会得出不同的结果。
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业
end
case2%2-范数
fori=1:n
s=s+x(i)^2;
end
s=sqrt(s);
caseinf%无穷-范数
s=max(abs(x));
end
计算向量x，y的范数
Test1.m
clearall;
clc;
n1=10;n2=100;n3=1000;
x1=1./[1:n1]';x2=1./[1:n2]';x3=1./[1:n3]';
xlabel('x');ylabel('p(x)');
运行结果：
x=2的邻域：
x =
1.6000 1.8000 2.0000 2.2000 2.4000
相应多项式p值：
p =
1.0e-003 *
-0.2621 -0.0005 0 0.0005 0.2621
p(x)在 [1.95,20.5]上的图像
程序：
[L,U]=LUDe.(A);%LU分解
xLU=U\(L\b)
disp('利用PLU分解方程组的解:');
[P,L,U] =PLUDe.(A);%PLU分解
xPLU=U\(L\(P\b))
%求解A的逆矩阵
disp('A的准确逆矩阵:');
InvA=inv(A)
InvAL=zeros(n);%利用LU分解求A的逆矩阵
0 0 0.5000 -0.2500 -0.1250 -0.0625 -0.0625
0 0 0 0.5000 -0.2500 -0.1250 -0.1250
0 0 0 0 0.5000 -0.2500 -0.2500
矩阵与数值分析上机实习题汇总
矩阵与数值分析上机实习题汇总矩阵与数值分析上机实习1.设, 其精确值为.(1)编制按从⼤到⼩的顺序, 计算的通⽤程序(2)编制按从⼩到⼤的顺序, 计算的通⽤程序(3)按两种顺序分别计算并指出有效位数（编制程序时⽤单精度）(4)通过本上机题，你明⽩了什么从⼩到⼤,代码:%1---SN = %N = input('please input a number(N>=2)')if(N < 2)disp('wrong number')elseS = 0;for j = 2:1:NS = S + 1/(j^2 -1);enddisp('S:')disp(S)end结果please input a number(N>=2)10^2N =100S:7.4005e-001>> clearplease input a number(N>=2)10^4N =10000S:7.4990e-001>> clearplease input a number(N>=2)10^6N =1000000S:7.5000e-001>>从⼤到⼩代码:%1---SN = %eps('single')N = input('please input a number(N>=2)') if(N < 2) disp('wrong number')elseS = 0;for j = N:-1:2S = S + 1/(j^2 -1);enddisp('S:')disp(S)end结果please input a number(N>=2)10^2N =100S:7.4005e-001>> clearans =1.1921e-007please input a number(N>=2)10^4N =10000S:7.4990e-001>> clearans =1.1921e-007please input a number(N>=2)10^6N =1000000S:7.5000e-001(4)计算的顺序影响结果。
数值分析上机作业最强版
数值分析上机作业姓名：唐皓学号：142460专业：道路与铁道工程院系：交通学院授课教师：吴宏伟日期：2015年1月习题一1 题目17．（上机题）舍入误差与有效数 设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。
（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序； （2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。
（编制程序时用单精度）；（4）通过本上机题你明白了什么？2 通用程序代码2.1 按从小到大的顺序计算N Svoid AscendSum(unsigned long int N)// 计算从大到小的总和 {for (unsigned long int j=2;j<=N;j++) ascendSum+=(float )1.0/(j*j-1);cout<<"Sum From 1 to N (Ascend) is: "<<ascendSum<<endl; Error(ascendSum); Delimiter();} 2.2 按从大到小的顺序计算N Svoid DescendSum(unsigned long int N)//计算从小到大的总和 {for (unsigned long int j=N;j>=2;j--) descendSum+=(float )1.0/(j*j-1);cout<<"Sum From N to 1 (Descend) is: "<<descendSum<<endl; Error(descendSum); Delimiter();}3计算结果展示图1 N=100时的计算结果图2 N=10000时的计算结果图3 N=1000000时的计算结果表1-1 计算结果汇总N S 精确值按从小到大按从大到小N S 值有效位数 N S 值有效位数210S 0.7400494814 0.7400494814 10 0.740049541 6 410S 0.7498999834 0.7498521209 4 0.7498999834 10 610S0.74999898670.75185602920.752992510824 计算结果分析（1）如果采用单精度数据结构进行计算，则相较于双精度的数据结果，由于数据存储字长的限制导致计算机存在较大的舍入误差，因此本程序采用的是双精度数据存储方式。
2009数值分析试卷A答案
南京工业大学 数值分析 试题（A ）答案2009--2010 学年第一学期学年第一学期 使用班级使用班级 信科0701应数0701 一、填空题 （每小题3分，共30分）1．已知974997.999995»，则»-9995100 0.025003126 具有 8 位有效数字。
2．对f(x)=2x 4+x+1,差商f[0,1,2,3,4]= 2 ;f[0,1,2,3,4,5]= 0 。
3．设方程x=j (x)有根x *,且设j (x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0Î(a,b)则迭代格式x k+1=j (x k )收敛的充要条件为 1|)(|*<¢x j 。
4．÷÷øöççèæ=011001001001....A ,||A||µ= 2.01 ,cond(A)µ= 404.01 。
5．中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f ba-+=ò的代数精度为 2 。
6．在区间[1，2]上满足插值条件îíì==1)2(2)1(P P 的一次多项式P(x)= 3-x 。
7．设å==nk k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则å=nk kA= a b - 。
8．梯形公式和改进的Euler 公式都是 2 阶的。
9．在区间[0，1]上，函数ax x +=)(1j与函数22)(x x =j 正交，则a= -0.75 。
10．求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为1)(<J r 。
二、计算题 （每题8分，共48分）1．试用Gauss 消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ---08.255.190.05.11.40.10.15.26.15.05.12.3321x x x （写出详细过程！）解：A=÷÷÷øöçççèæ--2524.01010.0001000.12500.12500.309000.05000.05000.12000.3 （4分）分） ÷÷÷øöçççèæ 2.5000 1.0000 0 0 1.3000 0 1.0000 0 0.5000 0 0 1.0000~ （3分）分） 所以方程组的解为：5.2,3000.1,5000.0321===x x x （1分）分） 2. 给出f(x)f(x)的函数表，的函数表，（1）在表中填上指定阶的差商；（2）写出f(x)f(x)的的2次牛顿插值多项式；（3）给出截断误差。
数值分析上机作业(2)
一、数值求解如下正方形域上的Poisson 方程边值问题 2222(,)1,0,1(0,)(1,)(1),01(,0)(,1)0,01u u f x y x y x y u y u y y y y u x u x x ⎧⎛⎫∂∂-+==<<⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎨==-≤≤⎪⎪==≤≤⎩二、用椭圆型第一边值问题的五点差分格式得到线性方程组为2,1,1,,1,10,1,,0,141,?,?,?,?0,1i j i j i j i j i j ijj N j i i N u u u u u h f i j N u u u u i j N -+-+++----=≤≤====≤≤+， 写成矩阵形式Au=f 。
其中1．三 、编写求解线性方程组Au=f 的算法程序, 用下列方法编程计算, 并比较计算速度。
2．用Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。
3．用块Jacobi 迭代法求解线性方程组Au=f 。
4． 用SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。
1122N N v b v b u f v b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4114114ii A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭11,12,1,121,22,2,21,2,,2211,12,1,121,22,2,221,2,,(,,...,),(,,...,),......,(,,...,)(,,...,)?,(,,...,)?,......,(,,...,)?1,999,0.10.011T T N N TN N N N N T T N N T N N N N N v u u u v u u u v u u u b h f f f b h f f f b h f f f h N h N ====+=+=+===+取或则或,1,,1,2,...,i j f i j N== 1122NN A I I A A I I A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭5．用块SOR 迭代法求解线性方程组Au=f,用试算法确定最佳松弛因子。
——数值分析上机题
.......................课程名称：数值分析上机实习报告姓名：学号：专业：联系电话：目录序言 (3)第1章必做题 (4)1.1必做题第一题 (4)1.1.1题目 (4)1.1.2 分析 (4)1.1.3 计算结果 (4)1.1.3 总结 (6)1.2必做题第二题 (6)1.2.1题目 (6)1.2.2分析 (6)1.2.3计算结果 (6)1.2.4结论 (8)1.1必做题第一题....................................................................... 错误！未定义书签。
1.1.1题目 ............................................................................ 错误！未定义书签。
第2章选做题 (8)2.1选做题第一题 (8)2.1.1题目 (8)2.1.2分析 (8)2.1.3计算结果 (8)附录 (10)附录一：必做题第一题程序 (10)附录二：必做题第二题程序 (11)附录三：选做题第一题的程序 (13)序言本次数值分析上机实习采用Matlab数学软件。
Matlab是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
在数值分析应用中可以直接调用Matlab软件中已有的函数，同时用户也可以将自己编写的实用程序导入到Matlab函数库中方便自己调用。
基于Matlab数学软件的各种实用性功能与优点，本次数值分析实习决定采用其作为分析计算工具。
1．编程效率高MATLAB是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许使用数学形式的语言编写程序，且比BASIC、FORTRAN和C等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用MATLAB编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。
因此，MATLAB语言也可通俗地称为演算纸式科学算法语言。
数值分析 上机作业
1.已知矩阵A=1078775658610975910⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,B=2345644567036780028900010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,错误！未找到引用源。
=11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）用MATLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。
（2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。
解：MATLAB程序如下：求矩阵A的特征值：clear;A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];E=eig(A)输出结果：求矩阵B的特征值：clear;B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0];E=eig(B)输出结果：求矩阵错误！未找到引用源。
的特征值：clear;错误！未找到引用源。
=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。
)输出结果：（2）A=1078775658610975910第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到：第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1第三部：[Q2,R2]=qr(A2);A3=R2*Q2现在收缩，继续对A3的子矩阵错误！未找到引用源。
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《矩阵与数值分析》课程数值实验报告矩阵05班 20906284 马强 土木水利学院道路与铁道工程专业 任课教师：董波一、解线性方程组1．问题(1)分别Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解教材85页例题。
迭代法计算停止的条件为：6)()1(3110max -+≤≤<-k j k j j x x ;(2). 用Gauss 列主元消去法、QR 方法求解如下方程组：123424311282006,504023900516x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．程序及计算结果(1)a. 源代码：clear allA=[3.4336 -0.52380 0.67105 -0.15270; -0.52380 3.28326 -0.73051 -0.26890; 0.67105 -0.73051 4.02612 -0.09835; -0.15272 -0.26890 0.01835 2.75702]; %A-方程组系数矩阵 b=[-1.0;1.5;2.5;-2.0];%b-方程组的矩阵表达形式Ax=b 的右端列向量表 c=0.000001; %终止条件 N=length(b);x0j=zeros(N,1);%Jacobi 迭代法初始值x0g=zeros(N,1);%Gauss-Seidel 迭代法初始值 kj=0;kg=0;%迭代次数计数D=zeros(N,N);L=zeros(N,N);U=zeros(N,N); %将A 分解为D-L-U 的形式 for i=1:ND(i,i)=A(i,i); endfor i=2:Nfor j=1:i-1;L(i,j)=-A(i,j); end endfor i=1:N-1for j=i+1:N;U(i,j)=-A(i,j); end end%Jacobi 迭代法矩阵形式 Bj=inv(D)*(L+U); fj=inv(D)*b;%Gauss-Seidel迭代法矩阵形式Bg=inv(D-L)*U;fg=inv(D-L)*b;%Jacobi迭代for i=1:100xj=Bj*x0j+fj;kj=kj+1;if max(xj-x0j)<=cxjkjbreak;endx0j=xj;end%Gauss-Seidel迭代for i=1:100xg=Bg*x0g+fg;kg=kg+1;if max(xg-x0g)<=cxgkgbreak;endx0g=xg;endb.计算结果:xj =，迭代步数k j= 11xg=, 迭代步数k g=6分析：G—S法应用了上一步计算出来的较精确的值，所以可以用较少的迭代步数满足误差要求。
(2)a.源代码：A=[2 4 3 1;8 2 0 0;5 0 4 0;9 0 0 5];b=[12 6 23 16];[N,N]=size(A);x=zeros(N,1);y=zeros(N,1);z=zeros(N,1);R=1:N;for p=1:N-1[max1,j]=max(abs(A(p:N,p)));c=A(p,:);A(p,:)=A(j+p-1,:);A(j+p-1,:)=c;d=b(p);b(p)=b(j+p-1);b(j+p-1)=d;if A(p,p)==0break;end;for k=p+1:Nmult=A(k,p)/A(p,p);b(k)=b(k)-mult*b(p);A(k,p:N)=A(k,p:N)-mult*A(p,p:N);end;end;for k=N:-1:1x(k)=(b(k)-A(k,k+1:N)*x(k+1:N))/A(k,k) endb.计算结果:x=二、非线性方程的迭代解法1、问题：（1）．用Newton 迭代法、割线法求方程()01=-=x xe x f在5.0=x 附近的正．计算停止的条件为：6110-+<-k k x x ；（2）．利用迭代法求多项式354214.66213.092154.2072631.9296013.7=x x x x x -++--的所有零点。
2、 程序及计算结果： (1)a.源代码：① Newton 迭代法clear all x0=0.5; k=0;c=0.000001; for i=1:10000f=x0*exp(x0)-1; df=(x0+1)*exp(x0); x=x0-f/df; k=k+1;if abs(x-x0)<=c break ; end x0=x; end x k② 割线法clear all x0=0.5; k=0;c=0.000001; for i=1:10000f=x0*exp(x0)-1; df=(x0+1)*exp(x0); x=x0-f/df; k=k+1;if abs(x-x0)<=c break ; end x0=x; end x k② 割线法clear all x0=0.5; x1=0.7; k=0;c=0.000001; for i=1:10000x=x1-(x1*exp(x1)-1)*(x1-x0)/((x1*exp(x1)-1)-(x0*exp(x0)-1));;k=k+1;if abs(x-x1)<=cbreak;endx0=x1;x1=x;endxkb.计算结果:①Newton迭代法x=k=4②割线法x=k=5分析：割线法的收敛阶小于Newton迭代法，所以用了较多的迭代步数以满足误差要求。
(2)a.源代码：①clear allx=-5:0.5:11for i=1:33f(i)=x(i)^5-13.7*x(i)^4+14.66*x(i)^3+213.092*x(i)^2-154.2072*x(i)-631.9296endplot(x,f)grid on②function x1=Newton(b)x=b;c=0.000001;for i=1:10000f=x^5-13.7*x^4+14.66*x^3+213.092*x^2-154.2072*x-631.9296;df=5*x^4-54.8*x^3+43.98*x^2+426.184*x-15402072;x1=x-f/df;if abs(x1-x)<=cbreak;endx=x1;endx1b.计算结果:①-6-4-2024681012-10000-8000-6000-4000-200020004000②由上图选取初始值：-3.5、 -2、 2 、 5、 10.6 由Newton 迭代法得到方程的五个解：x=三、数值积分1、问题：用Romberg 方法求dx e x ⎰-122π的近似值，要求误差不超过510-.2、程序及计算结果：a.源代码：clear all a=0; b=1; h=(b-a);T(1,1)=(h/2)*1/sqrt(pi)*(exp(-(a^2)/2)+exp(-(b^2)/2)); k=2;while (k>=2) sum=0;for p=1:2^(k-2)sum=sum+1/sqrt(pi)*exp(-(a+(2*p-1)*h/2^(k-1))^2/2); endT(1,k)=0.5*T(1,k-1)+sum*h/2^(k-1); for m=2:kT(m,k-m+1)=(4^(m-1)*T(m-1,k-m+2)-T(m-1,k-m+1))/(4^(m-1)-1);if (abs(T(m,1)-T(m-1,1))<=1.0e-5) k=0; end endif k~=0 k=k+1; end endT(m,1) m-1abs(T(m,1)-T(m-1,1))b.计算结果: I=，加速次数M=3，绝对误差c=分析：应用加速法可以使之前不收敛的式子收敛，有效的加快了收敛速度。
四、插值与逼近1、问题：(1)．给定[]1,1-上的函数()22511xx f +=，请做如下的插值逼近： ⑴ 构造等距节点分别取5=n ，8=n ，10=n 的Lagrange 插值多项式； ⑵ 构造分段线性取10=n 的Lagrange 插值多项式；⑶取Chebyshev 多项式()()x n x T n arccos cos ⋅=的零点：πnk x k 212cos -=，n k ,,1 =作插值节点构造10=n 的插值多项式()x f 和上述的插值多项式均要求画出曲线图形（用不同的线型或颜色表示不同的曲线）。
(3)．分别用ax和2拟合下列数据，并比较两种方法得到的误差。
2、程序及计算结果：(1)a.源代码：clear all a=-1; b=1; n1=5; n2=8; n3=10;x00=a:(b-a)/(n1-1):b; x01=a:(b-a)/(n2-1):b; x02=a:(b-a)/(n3-1):b; x=a:(b-a)/99:b; for i=1:100f(i)=1/(1+25*x(i)*x(i)); endfor i=1:n1y00(i)=1/(1+25*(x00(i))^2); endfor i=1:n2y01(i)=1/(1+25*(x01(i))^2); endfor i=1:n3y02(i)=1/(1+25*(x02(i))^2); endfor i=1:n3y03(i)=1/(1+25*(x02(i))^2);endfor i=1:n3xk(i)=cos((2*i-1)/(2*n3));endp10=lagrange(x00,y00,x);p11=lagrange(x01,y01,x);p12=lagrange(x02,y02,x);p20=interp1(x02,y02,x);p30=lagrange(x02,y02,xk);plot(x,f,'r',x,p10,'y',x,p11,'g',x,p12,'m',x,p20,'k',xk,p30)axis([-1,1,-0.5,1.2])xlabel('x,xk'),ylabel(' f,p10,p11,p12,p20,p30');gtext('f'),gtext('p10'),gtext('p11'),gtext('p12'),gtext('p20'),gtext('p30')b.计算结果:对f,p10,p11,p12,p20取插值点数x=100，对p30取n＝10点的Chebyshev多项式零点为插值点，绘出各插值多项式的图形如下。