线性代数总复习题(二)
线性代数试题及答案二
线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则1B -= 。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AXb =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵,已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r =Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B 三、计算题（本题总计60分。
线性代数期末试题库
线性代数期末试题库1. 习题一：矩阵基本运算题目：给定矩阵A，B和C，完成以下运算：a) A + B = ?b) B - C = ?c) AB = ?d) BA = ?e) AC^T = ?2. 习题二：矩阵求逆与转置题目：给定矩阵D，求其逆矩阵与转置矩阵。
a) D的逆矩阵为？b) D的转置矩阵为？3. 习题三：特征值与特征向量题目：给定矩阵E，求其特征值与对应的特征向量。
a) E的特征值为？b) E对应的特征向量为？4. 习题四：线性方程组解的存在性与唯一性题目：给定线性方程组F，判断其解的存在性与唯一性。
a) F是否有解？b) 如果有解，解是否唯一？5. 习题五：向量空间与子空间题目：给定向量空间G和其中的子空间H，判断是否满足向量空间的性质。
a) G是否闭合？b) H是否是G的子空间？6. 习题六：矩阵的秩与线性相关性题目：给定矩阵I，求其秩以及判断其向量是否线性相关。
a) I的秩为？b) 向量是否线性相关？7. 习题七：最小二乘法与正交投影题目：给定矩阵J和向量K，利用最小二乘法求解线性回归问题。
a) 利用最小二乘法求解线性回归的结果是？b) 利用正交投影求解线性回归的结果是？8. 习题八：矩阵的相似性与对角化题目：给定矩阵L，判断其是否相似于对角矩阵，若相似，进行对角化处理。
a) L是否相似于对角矩阵？b) 若相似，对角化矩阵为？以上是线性代数期末试题库的题目部分，希望能对你的学习有所帮助。
在解答这些题目时，请充分应用线性代数的相关知识和定理，并注重计算过程和细节。
祝你取得好成绩！。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数习题2(附答案)
线性代数复习题2一. 填空题（每小题4分，共28分） 1. 若240,32k k -=+ 则 k = .2. 设含参数λ的方程组 000x y z x y z x y z λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解, 则 λ应满足的条件是 .3. 设 44⨯ 矩阵 234234(,,,),(,,,),A B αγγγβγγγ== 且已知行列式 1A =，4.B = 则行列式 A B += .4. 已知方阵A 满足 220,A A I +-= 其中 I 是与 A 同阶的单位阵, 则()1A I -+= .5. 设20001013A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则a = .6. 设 111022,003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦*A A 是伴随矩阵, 则 ()1*A -= . 7. 设四阶矩阵A 的元素全为1, 则 A 的非零特征值为 .二. 选择题（每小题4分，共32分）1. 设A 是n 阶可逆矩阵, 则下列叙述不正确的是 ( ) A. 0A ≠ B. ()r A r n =<C. 存在n 阶矩阵 B 使得 .A B I =D. A 必能表为有限个初等矩阵的乘积.2. 设A 是n 阶方阵，其秩 ,r n < 则在A 的 n 个行向量中 （ ） A ．必有 r 个行向量线性无关. B. 任意 r 个行向量线性无关.C. 任意 r 个行向量都构成极大线性无关组.D. 任意一个行向量都可由其他 r 个行向量线性表出. 3. 设A 为三阶方阵, 且 3,A =- 则 2A -= ( )A. 24B. 6C. --24D. --64. 若向量组 ,,αβγ 线性无关, 而向量组 ,,αβδ 线性相关. 则 ( ) A. 向量 α 必可由向量组 ,,βγδ 线性表示. B. 向量 β 必不能由向量组 ,,αγδ 线性表示. C. 向量 δ必可由向量组 ,,αβγ线性表示. D. 向量 δ必不能由向量组 ,,αβγ线性表示.5. 设A, B 为同阶方阵, 则 ()2222A B A AB B +=++ 成立的充要条件是 ( )A. A I =B. 0B =C. A B =D. AB BA =6. 已知 0011205010,1236,2002015P PA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则 ()r A = ( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设 010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则 2010A = ( )A. 010100001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭B. 100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 020*******00002010-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ D. 201000020100002010-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8. 设 ,,A B AB I -是同阶可逆矩阵, 则 ()()1111A BA------=( )A. BAB I -B. ABA I -C. ABA A -D. BAB B -三. (本题满分10分) 设 1234511133,325422221146523D = D 的 (),i j 元的代数余子式为 ij A . 试求 (1) 313233;A A A ++ (2) 3435.A A +四. (本题满分10分) 求下列向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.123451110002401,,,,.1115101252ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．(本题满分10分) 设 1102,1/2,0,,,108T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中 T β 是β的转置， 求解方程组 22428.B A x Ax B x γ=++六．(本题满分10分) 已知向量 111X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵 2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ 的一个特征向量. (1) 求参数 ,a b X 及对应的特征值. (2) 试判断矩阵 A 是否可对角化.线性代数复习题2答案一. 填空题 (每小题4分, 共28分)1. 4±2. 1λ≠3. 404. 12A5. 36. 1/61/61/601/31/3001/2⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭7. 4二. 选择题 (每小题4分, 共32分)三. (本题满分10分)解: 将D 中第三行换成 1, 1, 1, 3, 3, 行列式的值等于0, 则有 ()()313233343530,A A A A A++++=…………………………………………4分 同理将D 中第三行的元素换成第四行的对应元素, 按第三行展开, 则有 ()313233343520,A A A A A ++++=……………………………………………8分 联立上面两式, 解得 31323334350,0.A A A A A ++=+=………………………………………..10分四. (本题满分10分) 解: 将12345,,,,ααααα 为列向量作成矩阵, 并施以行初等变换11100024011115101252A --⎛⎫⎪ ⎪=⎪--⎪⎝⎭………………………………………………2分 111000100000251000103--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ 10001/40100000101/40013/10⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭………………..6分 故向量组12345,,,,ααααα 的秩为 4, 且 1234,,,αααα 为向量组 12345,,,,ααααα 的极大线性无关组……………………………………………………………………………..8分 5134113.4410αααα=++……………………………10分五．(本题满分10分)解: ()111/20211/20210,111/20TA αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………2分 ()111/2022,1TB βα⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分而 ()22.T T T TA A αβαβαβαβ===………………………………………5分代入方程, 可得 ()82,A I x γ-=……………………………………………….6分 从而有线性方程组121212310,220,121,2x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩可求得其对应齐次线性方程组的基础解系为 12,1⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭………………………………8分而 001/2⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ 为方程组 ()82A I x γ-= 的一个特解,…………………………9分故原方程组的通解为 0102,1/21x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中 k 为任意常数………… 10分六. (本题满分10分) 解: (1) 设0λ 为特征向量 X 对应的特征值, 则0212115311,1211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………………………2分 即 000,1,2,1a b λλλ⎧=-⎪+=⎨⎪+=-⎩故01,3,0.a b λ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩……………………………………………....5分 (2) 由(1)得 212533102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 所以()321253310,12I A λλλλλ---=-+-=-+=+ 因此 1- 是A 的三重特征值……………………………………………………….7分 解齐次方程组 ()0,I A x --= 因其系数矩阵 ()I A -- 的秩为2, ………….9分 故 ()dim 13N I A --=<. 所以 A 不能对角化………………………………10分。
线性代数练习题2
线性代数基础训练习题二一．选择题:1. 设为矩阵，B为矩阵，且,则矩阵为（ ）（A）矩阵；（B）矩阵；（C）矩阵；（D）矩阵2.设为阶方阵，且,则必有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）3. 设为阶方阵，则必有（ ）（A）；（B）；（C） ； （D）4.设为n阶矩阵的伴随矩阵，则下列结论不正确的是（ ）（A）若可逆，则也可逆；（B）若是零矩阵，则也是零矩阵；（C）若可逆，则也可逆；（D）若是零矩阵，则也是零矩阵；5.矩阵都是可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）（A）是可逆矩阵；（B）的转置矩阵是可逆矩阵；（C）是可逆矩阵；（D）是可逆矩阵。
6.设为阶方阵，且，则必有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）A不是可逆矩阵7.将矩阵的第一行与第三行元素互换位置，再把第一行每个元素的-3倍，加到第二行对应的元素上，得到矩阵B，则矩阵B是（ ）（A）；（B）；（C）（D）；8．对于方阵A进行一系列初等变换，下列选项中可能变化的是（ ）（A）A的秩；（B）A的行列式；（A）A的行数；（D） A的列数9.设5阶矩阵A的秩是3，则有A的伴随矩阵的秩（ ）（A）；（B）；；（D）二．填空题:1. 已知3阶矩阵的行列式，则有。
2. = 。
3设3阶矩阵A的伴随矩阵为，，则 .4设，则 .5设，则 .6.将3阶矩阵A的第一行元素都乘以2加到第三行对应元素上去得到矩阵B，相当于在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵P就会得到矩阵B，这个初等矩阵P =。
7将3阶矩阵A的第一列元素加到第三列对应元素上去得到矩阵B，相当于在A的右边乘以初等矩阵P= 得到B.8.矩阵的秩 .9已知的秩为2，则。
10.设，则三．计算题:1.设矩阵和，求。
2. 设矩阵，求。
3.设矩阵，求此矩阵的逆矩阵。
4.已知及使,求.5.已知且,求.6.设三阶矩阵满足：，且，求.7.用初等变换法求的逆矩阵8.将矩阵化为行阶梯矩阵，并求其一个最高阶的非零子式。
9.求矩阵的秩：（1）；（2）10.设为3阶矩阵，是的伴随矩阵，，求四．证明题：1.设为阶矩阵，是的伴随矩阵，证明：的充分必要条件是。
线性代数(本科)总复习题
《线性代数》（本科）总复习题一、单项选择题１．矩阵运算AB 有意义是T B A +有意义的 。
（Ａ）充分条件 （Ｂ）必要条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）无关条件２．设同阶方阵C B A ,,满足AC AB =，则必有 。
（Ａ）0=A 或C B =（Ｂ）0=A 且C B = （Ｃ）0=A 或C B = （Ｄ）0=A 且C B = ３．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式中一定成立的是 。
（Ａ）()T T T B A AB = （Ｂ）()***B A AB = （Ｃ）()111−−−=B A AB （Ｄ）B A AB =４．设A 为n 阶可逆矩阵，且n 为奇数，则下列等式中未必成立的是 。
（Ａ）()T T A A −=− （Ｂ）()**A A −=− （Ｃ）()11−−−=−A A （Ｄ）A A −=−５．设方阵A 满足O A =2，则必有 。
（Ａ）O A = （Ｂ）O AA T = （Ｃ）O AA =＊ （Ｄ）O A A T =＊６．设矩阵B A ,满足I AB =，则 。
（Ａ）I B A T T = （Ｂ）I BA = （Ｃ）I A B T T = （Ｄ）都不对７．设方阵A 满足A A =2，则 。
（Ａ）O A = （Ｂ）I A = （Ｃ）O A =或I A = （Ｄ）都不对８．设方阵A 可逆，且BA AB =，则下列等式未必成立的是 。
（Ａ）22BA B A = （Ｂ）T T BA B A = （Ｃ）11−−=BA B A （Ｄ）**BA B A =９．设向量组s ααα,,,21L 可由向量组t βββ,,,21L 线性表示，且()121,,,r r s =αααL ，()221,,,r r t =βββL ，()32121,,,,,,,r r t s =βββαααL L ，则 。
（Ａ）321r r r =< （Ｂ）321r r r =≤ （Ｃ）321r r r <= （Ｄ）321r r r ≤=１０．设n m ×齐次线性方程组O AX =仅有零解，则 。
大学线性代数与解析几何习题
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知 ，则 ．
提示：a0=a/|a|
2．设 则 ＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A） （B）
（C） （D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设 阶矩阵 ,若矩阵 的秩为 ,则 必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设 ，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设 ，则当 满足条件时， 可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设 阶矩阵 ，则必有（）
（A） （B） （C） （D）
提示：A的逆矩阵为BC
2． （）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量 且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。
线性代数复习题汇总
线性代数复习题一一、填空题1．=---381141102 。
2．四阶行列式中项42342311a a a a 的符号为 。
3．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121的逆矩阵为 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11433013221253332311的行最简形为 。
5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--852*********的秩为 。
6．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为 。
7．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z a x y a x z y x a 有非零解，则=a 。
8．某工厂向三个商店发送三种产品的数量可列成矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=236125273A ，其中ij a 为工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。
这三种产品的单价及单件重量也可列成矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=6120011150083000B ，其中1i b 为第i 种产品的单价（单位；元），2i b 为第i 种产品的单件重量（单位；kg ）。
该工厂发送的产品总价为 ，总重量为 ．9．设A 为3阶矩阵，21=A ，则()=--*152A A ． 10．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,121,35,32b a 的秩为2，则=a ，=b ．11．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ，=10A ． 12．设四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，则该方程组的通解可表示为 ．二、解答题1．求行列式的值343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x D =2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷解？4．已知向量组4321,,,αααα线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ+=证明：向量组4321,,,ββββ线性相关．5．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21034011a A ，2是A 的一个特征值，（1）求a 的值；（2）求A 的其它特征值；（3）求A 的属于特征值2的特征向量。
线性代数第二章复习题
第二章复习题班级 姓名 学号 一 选择题 1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ D ）（A ）m+n （B ）-(m+n) （C ） n -m（D ） m -n 2.设矩阵A=100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ B ）（A ） 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪（B ） 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ （C ）130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪（D ） 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ C ） （A ）所有r -1阶子式都不为0（B ）所有r -1阶子式全为0 （C ）至少有一个r 阶子式不等于0（D ）所有r 阶子式都不为04.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A ） （A ）秩(A)<n （B ）秩(A)=n -1（C ）A=0（D ）方程组Ax=0只有零解5、设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式I ABC =，则有（ D ） （A ）I ACB =；（B ）I CBA =；（C ）I BAC =；（D ）I BCA = 6. 设A 为3阶方阵，|A| = 3，则其行列式 | 3A|是（ D ） （A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）347．已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ A ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―28．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解，则k =（ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-29．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D [ C ]（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）2410．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D[ B ]（A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27- 11．如果122211211=a a a a ，则方程组⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是 [ B ] （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=二 填空题1.设A=(a ij )3×3，|A|=2，A ij 表示|A|中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 .2. 11135692536=63. 设=-+----=31211142,410132213A A A D 则 04. 设矩阵A 为3阶方阵，且|A |=5，则|A*|=_25_____，|2A |=__40___5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=543022001A ，则=-*1)(A 10001-1050102-42⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6. 设A 是34⨯矩阵且2)(=A r ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B ，则=)(AB r 27. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 11522111，且2)(=A r ，则=t 18. 设A 是4阶实矩阵，且*8A =，A = 29. 若=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*A A 则，654032001 1800-1260-2-53⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，1-A = 18001-126018-2-53⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10. 行列式243012321---中元素0的代数余子式的值为___2____11. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = 0 ，44434241M M M M +++= -66三计算题1. 设A=120340121-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B=22341--⎛⎝⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A|.解（1）AB T=120340121223410-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=1203401212 -=-.所以|4A|=64·（-2）=-1282.123423413412412312342341341241231234123411313410113101010131160.1412013131111230311--===-=---解3.111a b cb c ac a b+++()11111111111011111a b c a b c c cb c a b c a a a b c ac a b c a b b b+++++=+++=+++= ++++解。
线性代数期末复习的题目
线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( ) 3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( )4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( )5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( )6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( )7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( )8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( )9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( )二、单项选择题 1. 设行列式, ,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a( )n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C (n m - )D (2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )33 )A (33 )B (- 56 )C ( 56 )D (-3. 四阶行列式111111111111101-------x 中x 的一次项系数为 ( )1 )A (-1 )B (4 )C ( 4 )D (-4. 设,..................... , (11211),12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nn n n n n a a a a a aa a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )12 )A (D D = 12 )B (D D -=12)1(2)1( )C (D D n n --=1)1(2)1( )D (D D n n --=5. n 阶行列式ab b a ba b a D n 000000000000=的值为 ( ) n n b a + )A ( n n b a - )B (n n n b a 1)1( )C (+-+ )( )D (b a n +6. 已知,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( ) 1 )A (2 )B (- 2 )C (3 )D (7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )15 )A (+n 15 )B (-n 15 )C (--nn -5 )D (8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则下列运算结果是m 阶方阵的是 ( )AB )A (T T )B (B ABA )C (T )( )D (B A +9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ()E A = )A (E B = )B ( B A = )C ( BA AB = )D (10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( )O B O A == )A (或 O B A =+ )B (0 0 )C (==B A 或 0 )D (=+B A11. 设A 是方阵，若有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( )O A = )A ( O A C B =≠ )B (时 C B O A =≠ )C (时C B A =≠ 0 )D (时12. 已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211 ,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )B P AP =21 )A ( B P AP =12 )B ( B A P P =12 )C ( B A P P =21 )D (13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是 ( )A B AB 11 )A (--- A B AB 11 )B (--+ AB B 1 )C (- 2 )D ()(AB 14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是 ( )(A) 若A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 若A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 若A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 若A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 下列结论正确的是 ( )(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵 16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为0 17. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ，(2) BAC = E ，(3) CAB = E ，(4) CBA = E中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )AE -1)A ( 1 )B (--A E s A A A +++... )C (2 1... )D (-+++s A A E 19. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6(B) 6 (C) 2 (D) －220. 已知A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )3 )A (=*)(A R 2 )B (=*)(A R 1 )C (=*)(A R 0 )D (=*)(A R21. 已知43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T 的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=++++++)(... )( )(222111s s s βαβαβαλλλ(C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=-++-+-)(... )( )(222111s s s βαβαβαλλλ(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( )32 , , )A (αα0321 ,2 , )B (ααα133221 , , )C (αααααα+++133221 , , )D (αααααα---25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 下列命题中正确的是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关(B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. 已知A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. 已知A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( )m R <),( )A (b An R <),( )B (b A m R =),( )C (b A n R =),( )D (b A31. 已知n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A1)( )B (-=n R A0=A )C ( (D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 已知21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则下列结论错误的是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B))(2121ηη+是b Ax =的一个解 (C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 若4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的基础解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 基础解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 若η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)ξηC + )A (ξηC C + )B ( ξηC C - )C ( ξη+C )D (36. 已知n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( )1 )A (αk2 )B (αk )( )C (21αα+k )( )D (21αα-k37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n0 )B (≠A(C) A 的特征值都等于零(D) A 的特征值都不等于零38. 已知A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则下列矩阵中是可逆矩阵的是 ( )E A - )A (E A + )B ( E A 3 )C (+ E A 2 )D (-39. 已知21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的内积等于零40. 已知A 是一个)3( ≥n 阶方阵，下列叙述中正确的是 ( )(A) 若存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 若存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 若321 , ,λλλ是A 的三个互不相同的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 已知0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )3 )A (≤k3 )B (<k 3 )C (=k 3 )D (>k42. 矩阵A 与B 相似，则下列说法不正确的是 ( )(A) R (A ) = R (B )(B) A = BB A = )C ( (D) A 与B 有相同的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组45. 已知A 是正交矩阵，则下列结论错误的是 ( )1 )A (2=AA )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E(B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. 已知A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有相同的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 已知44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 已知三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为.3. 已知022150131=---x ，则x = . 4. 已知A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. 已知A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是 阶矩阵，AB 是 行 列矩阵.8. 已知矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是 ， 阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. 已知T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，若321 , ,ααα线性相关，则x ，y 满足关系式 .11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 .13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，若21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为 .14. 已知A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系中含有解的个数为 .15. 已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a = .16. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足 .17. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则x = .18. 已知向量α、β的长度依次为2和3，则向量内积[, ]+-=αβαβ .19. 已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ ，c = .20. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a = ，b = . 21. 已知三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为 . 22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形),,,,(54321z z z z z f 为 .23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为 .24. 已知二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 已知二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足 .四、行列式计算1. 已知A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 已知行列式2019221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...01 (20)1 (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素 是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xa a ax a a a x D n ......... =.5. 计算n 阶行列式21...00000...21000...12100...012 =n D .6. 计算行列式dx cbad c x b a dc b x ad c b a x ++++.7. 计算行列式yy x x D -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3 (3) (32)12121+++=n nnn x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)TAB ；(2)14-A .2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求X .3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵X 满足关系式E B C X =-T )(，求X .5. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求X .6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规范正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；若是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x k x x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 已知非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λ A ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系；(2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，若方阵A 与B 相似，求x 、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值.3. 已知三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 已知矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵.8. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵.九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 已知向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 已知方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n AA .6. 已知向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 已知向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b 线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个基础解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. 已知A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 已知方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. 已知A 为正交阵，k 为实数，证明：若A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 若A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。
线性代数复习题-2
2. 若 n 阶方阵 A 可逆，则下列结论恒成立的是（ A. (2 A ) − 1 = 2 A − 1 C. (( A T ) T ) − 1 = (( A − 1 ) − 1 ) T
B. (2 A − 1 ) T = 2( A T ) − 1 D. (( A − 1 ) − 1 ) T = ( A T ) − 1
x
⎛ −1 1 0⎞ ⎟ ⎜ 四、(11 分) 设矩阵 X 满足关系 AX = A − 2 X ，其中 A = ⎜ 0 − 3 1 ⎟ ，求 X . ⎜1 0 2⎟ ⎠ ⎝
⎧ x1 + 2 x2 + 3x3 − x4 = 1 ⎪ x + x + 2 x + 3x = 1 ⎪ 1 2 3 4 五、(14 分) 设线性方程组为 ⎨ ， （1）问 a 为何值时，方程组无 ⎪ 3 x1 − x2 − x3 − 2 x4 = a ⎪ ⎩2 x1 + 3 x2 − x3 − 52 x4 = −6
β3 = 5α 3 + α1 是否仍然线性无关？试说明理由.
6
一、填空(本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)
⎡1 2 1 ⎤ ⎢ ⎥ 1. 矩阵 A = ⎢ 2 2 0 ⎥ 所对应的二次型的正定性是________ ⎢1 0 3⎥ ⎦ ⎣
−1 2．设 A 为 n 阶矩阵，满足 A 2 − 2 A − 4 E = O ，则 （ A + E） =
).
C. | kA |= k n | A |
D.| kA |=| k |n | A |
B. A,B 有相同的特征向量
7
C. λ E − A = λ E − B
D. A, B 都和同一对角矩阵相似
5．二次型 f = xT Ax ( A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A. A 可逆; B. A > 0 ; C. A−1 为正定矩阵; D. A 的所有特征值非负.
经济数学《线性代数》期末试卷二(含答案解析)
《线性代数》试卷二一．选择题（每题3分，共30分）1.若行列式1023145xx 中，代数余子式121A =-，则21A =（ ） A.2 B.2- C.3 D.3- 【解答】由于31211(1)4545x A x =-=-=-，可解得1x =，进而有32102(1)215A =-=，故选A.2.已知A ，B 均为n 阶方阵，则必有（ ）A.222()2A B A AB B +=++ B.TTT()AB A B = C.n n AB O ⨯=时，A ，B 中至少有一个为零矩阵 D.以上都不对 【解答】本题考察矩阵的乘法运算的性质.在A ，B 相乘可换时，选项A 才成立；()T T T AB B A =，故选项B 是错误的；n n AB O ⨯=说明B 的列向量组均为齐次方程组0Ax =的解向量，故选项C 亦不成立.故选D.3.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）. A. ()()r A r B m == B.()()，r A m r B n == C. ()()，r A n r B m == D. ()()r A r B n ==【解答】显然有()min{(),()}max{(),()}r AB r A r B r A r B m ≤≤≤，于是由AB E =可知()()r A r B m ==.故选A.4.向量组12,,,m ααα（3≥m ）线性无关的充要条件是（ ）A. 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=；B. 所给向量组中任意两个向量都线性无关；C. 所给向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；D. 所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.【解答】本题考察线性无关的定义.选项A 为线性相关的定义；选项B.选项C 为必要条件；故选D.5.设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100β，下列选项中（ ）为βα,的线性组合.A.1B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403ηC.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022ηD.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010η【解答】由βα,的第二个分量均为零易知其线性组合亦必满足第二个分量为零，因此选B.6.当λ取（ ）时,方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x +-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩λλλλλλ有无穷多解.A.1B.2C.3D.4【解答】思路同上题，欲使该方程组有无穷多解，系数行列式12131301λλ--=--必为零.故选C.7.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =必有（ ）.A.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解 B ．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解 C ．（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解 D ．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解【解答】事实上，齐次方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =为同解方程组.证明如下：一方面，显然（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解；另一方面，设β是（Ⅱ）的解，则T0A A β=，进而()()TT T 0A A A A ββββ==，由此可知0A β=，即β亦是（Ⅰ）的解.命题得证. 由此可知选A.8.设1λ与2λ是A 的两个互异特征值，ξ与η分别为其特征向量，则下列说法正确的是（ ） A ．对任意非零常数12,k k ，12k k ξη+均为A 的特征向量 B ．存在非零常数12,k k ，使得12k k ξη+均为A 的特征向量C ．对任意非零常数12,k k ，12k k ξη+均不是A 的特征向量D ．存在唯一的一组非零常数12,k k ，使得12k k ξη+均为A 的特征向量【解答】首先易知，ξ与η线性无关.又知对于任意非零常数12,k k ，若12k k ξη+为属于特征值3λ的特征向量，则有()123132A k k k k ξηλξλη+=+，()12121122A k k k A k A k k ξηξηλξλη+=+=+同时成立，于是()()1132230k k λλξλλη-+-=进而可知123λλλ==，与题设矛盾.故12k k ξη+不是A 的特征向量.选C.9.设矩阵1111400011110000,1111000011110000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则A 与B （ ）.A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似【解答】易知A 为对称矩阵且其特征值为4,0,0,0，故A 必可正交对角化为矩阵B .进而A 与B 合同且相似.故选A.10.二次型()2221231231223,,244f x x x x x ax x x x x =++--经正交变换化为标准形22212325f y y by =++，则（ ）A.3,1a b ==B.3,1a b ==-C.3,1a b =-= Ｄ.3,1a b =-=-【解答】由题意知，矩阵12022202A a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值为2,5,b ，直接计算可知3,1a b ==-，故选B.二．填空题（每题3分，共18分）1．设A 为4阶方阵，且A 的行列式13A =，则12A -= . 【解答】易知13A -=，故1412216348A A --==⨯=.2.已知1231100011000100000101n n na a a D a a ---=-,若12--=+n n n n D a D kD ,则k = .【解答】按最后一行展开，得()()121312100011000100110000011n n n n n n a a a D a D a +-----=+---()()1121211n n n n n n n n a D D a D D +-----=+--=+,所以1k =.3.若非齐次方程组123412341234 242 217411x x x x x x x x x x x x λ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪+-+=⎩ 有解，则λ=【解答】非齐次方程组有解当且仅当增广矩阵化为行阶梯阵时，最后一个非零行不具有“有且只有最后一个元素非零”的形式，于是直接计算可知5λ=。
线性代数总复习
性质1
例5---相似矩阵 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3, 求 (1)A的特征值; (2) 解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值
分别为 (2) 因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的 特征值分别为 所以6B-E的特征值为
3---特征向量的性质 1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。
1、定义 由m×n个数
排成的m行n列数表
(i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n)
称为一个m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵，
矩阵的秩（续） 3、关于秩的重要结论：
例题2 ---(矩阵3)
解
例题3---(逆阵2)
解
2）
例题3---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，
6---例8（1）---几个证明1 1、设A～B,证明: A2～B2; tA－E～tB-E, t是实数
2. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1， 2必线性无关；
3. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1 2 必不是 A的特征向量
3）正交向量组必是线性无关组。
4---n阶方阵A可对角化的条件、方法 1、一个充分必要条件： n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2、两个充分条件： 1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化 2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。
3、对角化方法：
4、正交对角化
5---例6---对角化 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q， 将矩阵A对角化。 解 1）
向量4---例题4
14-15(2)线性代数总复习(内容提要、试题及讲解)
设A为n阶方阵,如果 AT A, 则称A为反对称 矩阵.
幂等矩阵
设A为n阶方阵,如果 A2 A, 则称A为幂等矩阵.
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对合矩阵
设A为n阶方阵,如果 A2 E , 则称A为对合矩阵.
正交矩阵
设A为n阶方阵,如果 AT A A AT E , 则称A为 正交矩阵.
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２ 逆序数
在一个排列 i1i2 it i s in 中，若数 it i s ， 则称这两个数组成一个逆序．
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数．
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列．
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３ 计算排列逆序数的方法
(5) ( A )
T 1
(6) ( A )
1
1 (A ) A. | A|
1
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（3）分块对角阵的性质 设 Ai(i1,…,s)都是方阵, A diag( A1,, As ).
(1) | A | | A1 | | As |;
(2) An diag( A1 , As );
p1 p2 pn
( p1 p2 pn )
a p11a p2 2 a pn n
1
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( p1 p2 pn ) ( q1q 2qn )
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（2）行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列 式记号的外面. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 性质4 对换两行, 行列式值反号. 性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零. 性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对 应的元素上去, 行列式的值不变. • 设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | | A | | B | .
线性代数复习题
二、(10分) 计算 n 阶行列式 :
a1 +1 a2 L an-1
an
a1 a2 +2 L an-1
an
Dn = M
M
M
M
a1
a2 L an-1 +n-1 an
a1
a2 L
an- 1
an + n
2/6/2.2
2
三、(10分)
æ-4 2 0 0 ö
ç
÷
设A
=
ç ç
2 0
00 0 -7
0 3
÷÷ , 且BA
八、(5分) 已知A是实反对称矩阵(即满足 AT = - A), 试证
E - A2 为正定矩阵,其中E是单位矩阵.
6/6/2.2
复习题（二）参考答案
一、1. - 100;
æ1 6 0 0 ö
ç
÷
2. ç 1 3 1 3 0 ÷;
çè 1 2 1 2 1 2÷ø
3. k ¹ 0 且 k ¹ 3; 4. a = b = 0.
çè 3 1 2÷ø çè 3 1 2÷ø
五、(15分) l 取何实值时，线性方程组
ì l x1 - x2 = l
ïï l x2 - x3 = l
í ï
l
x3 -
x4
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
ïî- x1 + l x4 = l
有唯一解，无穷多解， 无解？在有无穷多解的
情况下求通解 .
4/6/2.1
六、1.(5分) 设A为正交矩阵且 det A = -1,证明 : - E - A不可逆.
的秩等于
.
2．设 A 为 n 阶方阵,且 det A = 2,则
线性代数总复习题2
一、单项选择题1. n 行 列 式 0111101111011111=D 的 值 为 A.1 B.1)1(--n C.0 D.-12. 设n 阶 矩 阵 A 满 足A E 20=, 是n 阶 单 位 矩 阵， 则：______A.,0≠-A E 但E A +=0B.0=-A E 但E A +≠0C.,0=-A E 且E A +=0D.0≠-A E 且E A +≠03. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则 t ()()()31472896516427531+- =A.10B.12.C.0.D.11.4. 设()121212212,314,.340205ij A B C c AB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则c 23=______A.22B.10C.3D.1-5. 设123014,(3(2))230F E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是 3 阶 给 单 位 矩 阵 的 第3 行( 列) 乘 以2 所得 的 初 等 方 阵, 则 E F (())32 等 于 ______A. 132041.203⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 123230.014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 123014.460⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 126018.230⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6. 设 A 为 n 阶 阵， 秩 ()A n =-3 ,且ααα123,, 是AX =0 的 三 个 线 性 无 关 的 解 向 量 , AX =0的 基 础 解 系 为 ：______A.122331,,αααααα+++B.213213 ,,αααααα---C.21321312,,2αααααα--- D. 1233213,,2ααααααα++--- 7. 设A 为 m n ⨯矩 阵， 且m n <, 若A 的 行 向 量 组 线 性 无 关，b 为m 维 非零 列 向 量， 则______A.AX b =有 无 穷 多 解B.AX b = 仅 有 唯 一 解,C.AX b =无 解D.AX b =仅 有 零 解.8. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则t t t ()()()756413263125423541-=A.0B.1C.2D.2-9 设 n 维 向 量 组 ααα12,,, m 线 性 无 关， 则 ：______ A.组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关B.组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关C.存 在 不 全 为0 的 数 k k m 1,, ， 使 k i i imα==∑01D.组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示10. 设 三 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 -1、3、4 ， 则 A 的 伴 随 矩 阵 的 特 征 A *值 为______A.12、-4、-3B.-1、13、14C.2、5、6D.-1、6、911. 若 方 程 组A X B m n m n ⨯=≤() 对 于 任 意m 维 列 向 量 B 都 有 解， 则______A.().R A n =B.().R A m =C.().R A n >D.().R A m <12. 设100110,001AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且103211121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则B -=1______A.103112121⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B.113231131-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭C.103311321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D.112211121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭13. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则)596287431(tA. 1B.2C.3D.1014. 已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则=a ______ (A) 2； (B) 2-； (C) 1； (D) 1-.15. n 阶（n>1）行列式 1111111111111111=D 的值为______(A) 0 （B ） 1 （C ） 1)1(--n （D ） -1 16. 已 知 向 量 组αα1,, m 线 性 相 关， 则______ A.该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 相 关 B. 该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 无 关 C.该 向 量 组 的 秩 小 于mD.该 向 量 组 的 最 大 线 性 无 关 组 是 唯一 的17. 线 性 方 程 组A X B m n ⨯= 有 解 的 必 要 条 件 是______ A.0B = B. m n < C. m n =D. ()(|)R A R A B = (其 中(A|B) 表 示 方 程 组 的 增 广 阵) 18. 设 向 量 组αααα1234,,, 线 性 无 关， 则______ A.12233441 , , , αααααααα+++- , 线 性 无 关B.12233441 , , , αααααααα++--, 线 性 无 关C.12233441 , , , αααααααα+---, 线 性 无 关D.12233441 , , , αααααααα---- , 线 性 无 关19. 设 D 为 九 阶 行 列 式, ),,,(921k k k t 表 示 k k k 129,,, 排 列 的 逆 序 数, 则t D ()123456789 等 于 A.1- B.D C.0 D.120. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（如它们线性相关，则k =_____ (A) 1/2 ； (B) -1/2；(C) 2 ； (D) －2。
线性代数复习二
在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分.例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组112233112233112233112233()0,()0,()0,()0.n n n n n n nn a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x +++++=⎧⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪⎪+++++=⎪⎩其中10.ni i a =≠∑试讨论12,,,n a a a b 和满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.分析 本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度.解 方程组的系数行列式123123123123||n n n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a a b++=++A 231231231231nin i nini ni n i nin i ab a a a aba b a a a b a a b a aba a a b====+++=++++∑∑∑∑23232312311()11n n ni n i n a a a a b a a a b a a b a a a a b=+=+++∑231100()0000n ni i a a a b a b b b==+∑11().nn i i b a b -==+∑(1)当100||.0,ni i b a b =≠+≠≠∑且时,方程组仅有零解A ；(2)当b =0时，原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=由10ni i a =≠∑可知a i (i =1,2,…,n )不全为零，不妨设10a ≠.因为秩r (A )=1，取23,,,nx x x 为自由未知量，可得方程组基础解系为T121(,,0,,0),a a =- αT231(,0,,,0),a a =- α…，T11(,0,0,,).n n a a -=- α当1100nn i i i i b a a b ===-≠≠∑∑时,由知,系数矩阵可化为123000000n a b a a a b b bb b b +⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭A →12311100101011ni n i a a a a a =⎛⎫-⎪ ⎪ -⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭∑110010001001000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭由于秩r (A )=n -1，易知Ax =0的基础解系为T(1,1,1,,1).= α 评注1 本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为121212n nn a a a a a a b b a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭A EB E , 而r (B )=1,可方便地求出B 的特征值为0,0,…,01ni i a =∑，于是b =+A B E 的特征值为1211,,,,,nn n ii b b b b a λλλλ-=====+∑从而根据特征值可求出行列式为 11||||().nn i i b ba b -===+∑ A B +E评注2 当1ni i b α==-∑时，注意到系数矩阵A 的秩为r (A )=n -1,而T (1,1,,1)=≠0 α显然为A X =0的一个解，即可作为基础解系.例2 （2003年数学一）设矩阵1*322010232,101,,223001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PB P A P 2+求B E 的特征值与特征向量,其中A *为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求A *及1P -，然后计算B =P -1A *P 及B +2E ，最后求B +2E 的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果.解 由*322522232252,223225--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得A A 又由010101001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 可得111100,001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P于是 1*700254,225-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭B P A P 9002274.225⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B E 根据9|(2)|274225λλλλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭E B +E 2(9)(3),λλ=-- 可知B +2E 的特征值为1239, 3.λλλ===解 [9E -（B +2E ）] x =0,得基础解系为12111,1,01-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα因此属于129λλ==的所有特征向量为12121111,,01k k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是不全为零的任意常数.解[3E -（B +2E ）] x =0,得基础解系为3301.1λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此属于的所有特征向a =33301,1k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭量为 为非零的任意常数.评注 本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义A α=λα,有*||λ=进而有A A ,αα11*11*1()()(),λ-----==|A |B P PA P P PA =P αααα11(2)()2.λ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭|A |B +E P P αα若求出A 的特征值λ及对应特征向量α, 则B +2E 的特征值为||2λ+A 及对应特征向量P -1α这样就不必求A *. 且根据222222222,222222222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知A E 的特征值为0,0,6，从而A 的特征值为1,1,7.二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的.例如有关A *的公式结论有：AA *= A *A =|A |E ，由此还可推出一系列相关的公式：*1(1)||||(2),n n -=≥A A **2()||(3),n n -=≥A A A *1*()(2).n k kn -=≥A A(2)若A 可逆，则A *=| A | A -1, (A *)-11.||=A A(3) *,(),()1,()1,(2).0,() 1.n r n r r n n r n =⎧⎪==-≥⎨⎪<-⎩A A A A(4) T **T 1**1()(),()().--==A A A A(5) 若A 可逆，且λ为A 的特征值，则A *有一个特征值为λ|A |.例3 （2000年数学一）设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且ABA -1=BA -1+3E ，其中E 是4阶单位矩阵，求矩阵B .分析 本题相当于解矩阵方程.若先从A *求出A -1及A ，再代入已知关系式求B ，则计算量会相当大.考虑到题设与A *有关，若先用A *A =AA *=|A |E 化简，则方便得多.解 由ABA -1=BA -1+3E 先右乘A ，得 AB =B +3A , 再左乘A *，并利用A *A =|A |E ，得A *AB =A *B +3A *A ,即 |A |B = A *B +3| A |E . 再由|A *|=|A |4-1=|A |3,得 |A |3=8,即 |A |=2. 于是有2B =A *B +6E , (2E -A *)B =6E . 故11100001006(2)610100306--⎛⎫ ⎪ ⎪=-=⎪- ⎪-⎝⎭*B E A60000600.60600301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 评注 题设与A *有关时，一般均可考虑利用AA *=A *A =|A |E 及其相关公式，结论先化简、再计算.例4 （2003年数学四）设矩阵21112111a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可逆，向量11b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是矩阵A *的一个特征向量，λ是a 对应的特征值，其中A *是A 的伴随矩阵，试求,a b λ和的值.分析 题设与A *有关，先用A A *= A * A =|A |E 化简. 解 已知A * α=λα，利用A A *=|A |E ，有 | A |α=λA α， 因为A 可逆，知||0,0,λ≠≠于是有A ||λ=A A ,αα 即21111||121,1111b b a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ① 解此方程组得a =2, b =1或-2.又211||1214112==A ，由式①可知：当b =1时λ=1; 当b =-2时λ=4. 又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设λ1，λ2，…，λn 为n 阶方阵A 的n 个特征值，则f (λ1),…,f (λn )为f (A )的n 个特征值，其中f (A )为A 的多项式.且121122,n nn a a a λλλ+++=+++ 12||.n λλλ= A(2) 若r (A )=1，则A 的特征值为λ1=λ2=…=λn -1=0,λn =a 11+a 22+…+a nn .(3) 若A ~B ，则|A |=| B |，r (A )=r (B )，特征多项式相同：|λE - A |=|λE -B |,λ∀，从而特征值相同，进而有a 11+a 22+…+a nn =b 11+b 22+…+b nn .例5 （2000年数学三）若4阶方阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式|B -1-E |= .分析 利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可. 解 由A ~B ，知B 的特征值是1111,,,2345，于是B -1的特征值是2,3,4,5,从而B -1-E 的特征值是1，2，3，4，故行列式 |B -1-E |=1·2·3·4=24.例6 （2001年数学一、三）设1111400011110000,,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 则A 与B(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.分析 本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同.又r (A )=1，其特征值为12344,0.λλλλ====显然A 、B 为实对称矩阵，且A ~B ，于是A 与B 也合同.故应选（A ）.评注 当A 、B 为实对称矩阵时，若A ~B ，则A 、B 有相同的特征值⇒x TAx 与x TBx 有相同的正负惯性指数⇒A 与B 合同.但若A 、B 为非对称矩阵，则A 与B 不合同（合同矩阵必为对称矩阵）.例7（2007年数学一至四） 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000010001B ,则A 与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似.解 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1，从而A 与B 不相似. 又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(A) .评注1)若A 与B 相似, 则| A |=| B |；r (A )= r (B )；tr (A )= tr (B ); A 与B 有相同的特征值. 2)若A 、B 为实对称矩阵, 则 A 与B 合同⇔ r (A )= r (B ), 且A 、B 有相同的正惯性指数.三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如：①行列式|A |=0⇔矩阵A 不可逆⇔秩r (A )<n⇔A 的行（列）向量组线性相关 ⇔Ax =0有非零解⇔λ=0是矩阵A 的特征值②β可由α1，α2,…，αn 惟一线性表示β=x1a1+x2α2+…+x nαn⇔Ax=β有惟一解x=(x1,x2,…,x n)T,A=(α1,α2,…,αn)⇔r(A)=r(A β)=n⇔|A|≠0⇔Ax=0只有零解⇔λ=0不是A的特征值③AB=0⇔A(b1,b2,…, b s)=0, B=( b1, b2,…, b s)⇔Ab j=0, j=1,2,…,s⇔b1,b2,…,b s均为Ax=0的解(⇒r(A)+r(B)≤n)⇔若b j≠0且A为n阶方阵时，b j为对应特征值λj=0的特征向量④AB=C⇔A(b1, b2,…, b r)=(C1, C2,…, C r)⇔Ab j=C j,j=1,2,…,r⇔b j为Ax=C j的解.⇔C1, C2,…, C r可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.[⇒r(C)=r(AB)≤r(A)或r(B)].例8（2003年数学一）设向量组I: α1, α2,…, αr可由向量组II：β1,β2,…,βs线性表示，则(A) 当r<s时，向量组II必线性相关. (B) 当r>s时，向量组II必线性相关.(C) 当r<s时，向量组I必线性相关. (C) 当r>s时，向量组I必线性相关.分析本题可由定理“若α1, α2,…, αs可由β1, β2,…, βt线性表出，且s>t，则α1, α2,…, αs 线性相关”，直接得正确选项(D).若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项.也可根据上述结论④用秩来判定：由题设，存在s×r矩阵P，使(α1, α2,…, αr)=( β1, β2,…, βs)P s×r,则r(α1, α2,…, αr)=r{( β1,…, βs)P}≤r(β1,…, βs)≤s.当r>s时，有r(α1, α2,…, αr)≤s<r，此时α1, α2,…, αr必线性相关.例9（2002年数学一、二）已知4阶方阵A=α1, α2, α3, α4), α1, α2, α3, α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.分析本题可将A=(α1, α2, α3, α4),β=α1+α2+α3+α4及x=1234xxxx⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭代入Ax=β，找出具体的方程，再按通常方法求解.也可由β=α1+α2+α3+α4即β可由α1, α2, α3, α4线性表示，相当于已知1111⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭为Ax=β的特解，及α1-2α2+α3+0·α4=0与α2, α3, α4线性无关知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为Ax =0的基础解系.再根据解的结构理论知Ax =β的通解为1111x k ⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭1210⎛⎫⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数. 评注 Ax =β的解与β可由A 的列向量组线性表示之间可相互转换.例10 已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组x , Ax , A 2x 线性无关，且满足A 3x =3Ax -2A 2x .(1) 记P =(x , Ax , A 2x )，求3阶矩阵B ，使A =PBP -1； (2) 计算行列式|A +E |.分析 A =PBP -1⇔AP =PB ⇔P -1AP =B .本题(1) 有多种方法求解：设法求出A 的特征值、特征向量；将B 的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等.但根据结论④，由已知一组关系式：Ax =Ax ,A 2x =A 2x ,及A 3x =3Ax -2A 2x 合并起来有(Ax ,A 2x ,A 3x )=( A x ,A 2x ,3 A x -2A 2x ),即 A (x , Ax , A 2x )=(x , A x ,A 2x )000103012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 也即AP =P 000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，可方便地求得B =000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 至于行列式的计算可用特征值(A 、B 有相同特征值)或相似矩阵计算即可(A ~B ⇒A +E ~B +E ).评注 从本题可见，矩阵运算AB =C 与关系式Ab j =C j 之间的转换可化为线性方程组的解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等.四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题.例11 设A 、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵A =(a ij )3×3满足a ij =A ij (i ,j =1,2,3),A ij 为a ij的代数余子式，矩阵B 满足|E +2B |=|E +3B |=0,计算行列式|A *B -A *+B -E |.分析 由 |A *B -A *+B -E |= |A *(B -E )+(B -E )|= |(A *+E )(B -E )|= |A *+E |·|B -E |， 知，只需计算|A *+E |及|B -E |. 若能求出A 或B 的所有特征值，则问题即可解决.解 由a ij =A ij 知，A T =A *，于是 AA T =AA *=|A |E ，从而|A |2=|AA T |=||A |E |=|A |3， 即 |A |2(1-|A |)=0. 于是|A |=0或|A |=1.又A ≠0，不妨设a 11≠0,由 |A |=a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13=2221112130a a a ++≠, 知 |A |=1.由 |E +2B |=|E +3B |=0, 知 1211,23λλ=-=-为B 的两个特征值.因为A ~B ，所以1211,23λλ=-=-也为A 的两个特征值. 设3λ为A 、B 的另一特征值，根据1=|A|=123316λλλλ=，得 36λ=.又 |A *B -A *+B -E |=|(A *+E )(B -E )|=|A *+E |·|B -E |=|A T+E |·|B -E |. 因为 |A T +E |=|(A +E )T |=|A +E | =(1λ+1)(2λ+1) (3λ+1) =1277233= ,|B -E |=(1λ-1)(2λ-1) (3λ-1)=34 5=1023⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故 |A *B -A *+B -E |=770 1033=.评注 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征值求行列式等多个知识点.例12 设A 、B 为m ×n 矩阵，则Ax =0与Bx =0同解的充要条件是(A) A 、B 为等价矩阵. (B) A T x =0与B Tx =0同解. (C) A 、B 的行向量组等价. (D) A 、B 的列向量组等价.分析 可用反例通过排除法得到正确选项. 对于(A)，相当于r (A )=r (B )，显然只是必要而非充分条件；对于(B)，例如A =100 200⎛⎫⎪⎝⎭，B =200 100⎛⎫⎪⎝⎭，显然Ax =0与Bx =0同解，但A Tx =0与B Tx =0并不同解，排除(B)；对于(C)、(D)，考虑A =110 101⎛⎫⎪⎝⎭，B =010 001⎛⎫⎪⎝⎭，显然A 、B 的列向量组等价，但Ax =0与Bx =0不同解，排除(D)，故应选(C).评注 本题综合考查了矩阵等价、向量组等价与齐次方程组同解等多个知识点.对于(C)成立，也可这样证明： 若Ax =0与Bx =0同解，考虑(I) Ax =0， (II)=⎧⎨=⎩0A x B x ， (III)Bx =0.则易知(I)、(II)、(III)同解，从而有r (A )=r ⎛⎫⎪⎝⎭A B =r (B )，由此可推导出A 、B 的行向量组等价. 反过来，若A 、B 的行向量组等价，令A =12m ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ααα， B =12mβββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即列向量组T T T 12,,,m ααα与T T T 12,,,m βββ等价，于是存在矩阵P 、Q ，使(T T T12,,,m ααα)=(T T T 12,,,m βββ)P ， (T T T 12,,,m βββ)=(T T T 12,,,m ααα)Q ，即A =P T B , B =Q TA .从而由Ax =0有Bx =Q T Ax =0；反过来，由Bx =0，有Ax =P T Bx =0，即Ax =0与Bx =0同解.例13 设A 为三阶矩阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应特征向量为123,,ααα，令123=++βααα.(1)证明2β,Aβ,A β线性无关；(2)若3=A βA β，求秩r (A -E )及行列式|A +2E |.分析 证明一组向量线性无关一般用定义法，而求秩r (A -E )及行列式|A +2E |，由于不知道A 的具体形式，无法直接计算，可考虑先求出A 的相似矩阵，再根据相似矩阵有相同的秩及行列式求解即可.解 (1)设123k k k 2++=βA βA β0， ①由题设(1,2,3)i i i ιλ==Aαα，于是123123λλλ=++=++AβAαAαAαααα，22112233λλλ22=++A βααα，代入①整理得222121311122322123333()()(++)k k k k k k k k k λλλλλλ++++++=0ααα.因为123,,ααα是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有2121312122322123330,0,0.k k k k k k k k k λλλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩其系数行列式2112222331101λλλλλλ≠，必有1230k k k ===，故2β,Aβ,A β线性无关.(2)由3=A βA β有=232()()=()2A β,Aβ,A βAβ,A β,A βAβ,A β,Aβ=2000⎛⎫ ⎪()101 ⎪ ⎪010⎝⎭β,A β,A β， 令P =2()β,Aβ,A β，则P 可逆，且P -1AP =000101010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=B . 即A ~B ，于是A -E ~B -E ，A +2E ~B +2E . 从而有r (A -E )=r (B -E )=r 100111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=2, |A +2E |=|B +2E |=200121012=6. 评注 本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵的性质等多个重要知识点.例14 设随机变量X 的概率密度为1c o s , 0()22x x f x ⎧≤≤π⎪=⎨⎪0,⎩其他， 对X 独立地重复观察6次，用Y 表示观察值大于π3的次数，又已知A =11142335Y-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭具有重特征值.(1)求A 可对角化的概率；(2)当A 可对角化时，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角形矩阵.分析 Y 服从二项分布B (6，p )，其中p =P X π⎧⎫>⎨⎬3⎩⎭，而判定A 可对角化，应先求出A 的特征值，再根据特征值i λ的重数i k 与其线性无关特征向量的个数相等：n -r (i λE -A )=i k ，将可对角化问题转化为特征矩阵i λE -A 的秩：r (i λE -A )=n -i k ，由此确定Y 的取值及其相应概率.解 (1)由于P 11cosd 222x X x ππ3π⎧⎫>==⎨⎬3⎩⎭⎰，于是Y ~B 16,2⎛⎫⎪⎝⎭.111||42335E A Y λλλλ---=---11042332Y λλλλ-=---- 11(2)41331Yλλλ-=---110(2)370331Y λλλ-=---- 2(2)(810).Y λλλ=--++①若=2λ为重根，则22-8×2+10+Y =0，即Y =2. 此时A =111242335-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，|λE -A |=(λ-2)2(λ-6).特征值为123==2=6λλλ，.因为r (2E -A )=r 111222333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭=1，属于特征值12==2λλ的线性无关特征向量个数为3-r (2E -A )=2，表明A 可对角化. ②若=2λ为非重根，则2-810=0Y λλ++有重根，则有82-4(10+Y )=0，得Y =6.此时 A 2111=642||=(6)(2)335λλλ-⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭，，E A 特征值为123==6=2.λλλ，因为r (6E -A )=r 511622=21331-⎛⎫⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭，表明A 不可对角化. 故A 可对角化的概率为24261115(2)C 1.2265p P Y ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2) 由(1)知，A =111242335-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，1232, 6.λλλ=== 解(2·E -A )x =0得特征向量12111,0.01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα解(6E -A )x =0得特征向量为312.3⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α令 P =123111102013⎛⎫⎪(,,)=-- ⎪ ⎪⎝⎭ααα, 则有1200020.006-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P A P 评注 本题综合性较强，不仅涉及到线性代数的多个知识点，还要求利用概率统计中的相关知识.例15 设A 为三阶实对称矩阵，已知|A |=-12，A 的三个特征值之和为1.又102⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α是齐次线性方程组(A *-4E )x =0的一个解向量，(1)求A ；(2)求(A *+6E )x =0的通解；(3)求正交变换矩阵Q ，化二次型x T Ax 为标准形.分析 (1)设法求出A 的所有特征值、特征向量，即可确定A ；(2)(A *+6E )x =0的基础解系，即为A *的特征值λ=-6所对应的线性无关的特征向量，而A *与A 对应特征值的特征向量相同；(3)先将相同特征值的特征向量正交化，然后再单位化，以此为列所构成的矩阵Q 即为所求正交变换矩阵.解 由α为(A *-4E )x =0的解，知(A *-4E ) α=0，即 A *α=4α,于是AA *α=4A α,即 |A |α=4A α,A α=||4A α=-3α, 可见3λ3=-为A 的特征值，对应特征向量为31==02⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭αα-.设2,λλ1为A 的另两个特征值，由题设 21λλλ13++=，2||12λλλ13==-A . 利用3λ3=-及上两式可解是22λλ1==.设22λλ1==的特征向量为123x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，由A 为实对称矩阵知：X T ·3α=0，即x 1-2x 3=0，解得021,00112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα.由 12311223(,,)(,,,)λλλ=A αααααα，知1112233123(,,,)(,,)λλλ-=A αααααα1043021=200100026012--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭102=020.202⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 由2,1,2i i i ==A αα，知 **i i =2A A A αα，即 *62i i i ==-|A |A ααα，也即(A *+6E )i α=0，i =1,2, 可见12,αα即为(A *+6E )x =0的基础解系，故(A *+6E )x =0的通解为1122k k +αα，其中12,k k 为任意常数.(3) 由于12,αα已正交，故只需将123,,ααα单位化，有11101,||0⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭αηα222210,||1⎛⎫⎪==⎪⎪⎭αηα333110.||2⎛⎫⎪==⎪⎪-⎭αηα令Q =123,,)(ηηη=01000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ - ⎝，则Q 为正交矩阵，令x =Qy ，则二次型f =x TAx 可化为标准形222123223f y y y =+-.评注 本题综合考查了线性方程组、实对称矩阵特征值与特征向量性质以及化二次型为标准形等多个重要知识点.。
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0 0
2(k −1)
0
3(k −1)
⎟ ⎟
．
−3(k + 2)(k −1)⎟⎠
∴（1）当 k ≠ −2 且 k ≠ 1时， 2(k −1) ≠ 0 ， −3(k + 2)(k −1) ≠ 0 ， R( A) = 3 ．
⎛ 1 −2 −6⎞
（2）当
k
=
−2
时，
A
∼
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
−6 0
−9 0
⎟ ⎟⎟⎠
（×）
分析： α1,α2 , ,αs 线性相关 ⇔ α1,α2 , ,αs 中至少有一个向量能由其余向量线性表示．但这个向量未必
⎛1⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
是
α1
．如
α1
=
⎜ ⎜
0 ⎟⎟
， α2
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
， α3
=
⎜ ⎜
Байду номын сангаас
0
⎟ ⎟
， α4
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
． α4
=
α2
+
α3
，故向量组
α1, α2 , α3 , α4
0
0
⎟ ⎟
⎝
⎠
⎛1⎞
⎛1⎞
∴
x1
=
1 4
x2
+
1 4
x3
，得对应的特征向量
p2
=
⎜ ⎜ ⎜
4 1
⎟ ⎟ ⎟
，
p3
=
⎜ ⎜ ⎜
4 0
⎟ ⎟ ⎟
．
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎝⎠
⎝⎠
九． 设 β1 = α1 ， β2 = α1 + α2 ，…， βr = α1 + α2 + β1, β2 , , βr 线性无关．
分析：矩阵乘法不满足消去律，如
⎛ ⎜ ⎝
1 0
−1⎞ ⎛1 0 ⎠⎟ ⎜⎝1
0 0
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
1 0
−1⎞⎛ −1
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
−1
0⎞
0
⎟ ⎠
，但
⎛1 ⎜⎝1
0 0
⎞ ⎟ ⎠
≠
⎛ ⎜ ⎝
−1 −1
0 0
⎞ ⎟ ⎠
．
3． 若矩阵 A 的秩为 r，则 A 的 r −1阶子式不会全为零． （ √ ） 分析：否则，若 A 的 r −1阶子式全为 0，则 A 的 r 阶子式全为 0（∵ A 的 r 阶子式可展为 r −1阶子式的 和）．
证明：设 k1 β1 + k2 β2 + + kr βr = 0 ，即
+ αr ，且向量组 α1,α2 ,
,αr 线性无关，证明向量组
k1α1 + k2 (α1 + α2 ) + + kr (α1 + α2 + + αr ) = 0 ．
∴ (k1 + k2 + + kr )α1 + (k2 + + kr )α2 + + krαr = 0 ．
AB ． 2×3
4．设 A 是方阵，且满足 A2 + A − E = O ，则 A−1 = A + E ． 分析：∵ A2 + A − E = O ．
∴ A2 + A = E ， A( A + E ) = E ．
∴ A 可逆，且 A−1 = A + E ．
二． 判断题 1． 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）
4． 当 齐 次 线 性 方 程 组 的 方 程 的 个 数 少 于 未 知 量 的 个 数 时 ， 此 齐 次 线 性 方 程 组 一 定 有 非 零 解． （ √ ） 分析：设齐次线性方程组的方程个数为 m，未知数个数为 n．
∵ R( A)- m < n ．
∴ 该齐次线性方程组一定有非零解．
5． 若 α1,α2 , ,αs 线性相关，则 α1 一定可由 α2 , , αs 线性表示．
= (2 − λ )(λ − 2)(λ +1)
∴ A 的特征值为 λ1 = −1， λ2 = λ3 = 2 ．
当 λ1 = −1时，解方程 ( A + E ) x = 0 ．
⎛ −1 1 1⎞ ⎛ 1 0 −1⎞
A
+
E
=
⎜ ⎜
0
3
0
⎟ ⎟
∼
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
．
⎜⎝ −4 1 4⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
0 0
−21⎟⎟⎟⎠ ．
∵ R ( A) = 2 < 3 = R ( A,b) ．
∴ 该线性方程组无解．
⎛ 1⎞
⎛ 9⎞
⎛ 7⎞
六．
设有向量组
a1
=
⎜ ⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
−1⎟
， a2
=
⎜⎜100
⎟ ⎟
⎜ 10⎟
， a3
=
⎜ ⎜ ⎜
96
⎟ ⎟
12 ⎟
，求矩阵
A
=
(a1, a2 ,a3
)
的秩
R(
A)
，并求此向量组
∵ 向量组 α1,α2 , ,αr 线性无关．
⎧k1 + k2 +
∴
⎪⎪ ⎨
k2 +
⎪
⎪⎩
+ kr = 0, + kr = 0,
kr = 0.
∴ kr = kr−1 = = k2 = k1 = 0 ．
∴ 向量组 β1, β2 , , βr 线性无关．
十． 设 A、B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB = BA ．
分析：∵ A = 2 ，A 是 3 阶矩阵．
∴ 4A = 43 A = 64 × 2 = 128 ，
A−1 = 1 = 1 （∵ AA−1 = E ． ∴ A ⋅ A−1 = E = 1 ， A−1 = 1 ．）
A2
A
∵ A−1 = 1 A∗ ． A
∴ A∗ = A A−1 ，
A∗
=
A A−1 = A 3 A−1 =
a −1
⎛ 2 2 −2⎞
⎛ 2 0⎞
四．
已知
A
=
⎜ ⎜
−1
4
2
⎟ ⎟
，
B
=
⎜ ⎜
−2
5⎟⎟ ，并且 AX = B + X ，求 X．
⎜⎝ 2 1 −2⎟⎠
⎜⎝ 1 −1⎟⎠
解：∵ AX = B + X ．
∴ AX − X = B ， ( A − E ) X = B ．
⎛ 1 2 −2 2 0⎞ ⎛ 1 2 0 −4 4⎞ ⎛ 1 0 0 −4 2⎞
⎜⎟ ⎝ 4⎠
⎜⎟ ⎝ 4⎠
⎜ ⎝
−4
⎟ ⎠
的一个最大无关组．
⎛ 1 9 7⎞ ⎛1 9 7⎞
解：
A
=
(
a1,
a2
,
a3
)
=
⎜ ⎜ ⎜
2 −1
100 10
96
⎟ ⎟
∼
⎜ ⎜
0
12⎟ ⎜ 0
82 0
82
⎟ ⎟
．
0⎟
⎜ ⎝4
4
−4
⎟ ⎠
⎜ ⎝0
0
⎟ 0⎠
∴ R ( A) = 2 ； a1,a2 是该向量组的一个最大无关组．
(
A
−
E
,
B
)
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
−1 2
3 1
2 −3
−2 1
5 ⎟⎟
∼
⎜ ⎜
0
−1⎟⎠ ⎜⎝ 0
1 0
0 1
0 −3
1⎟⎟
∼
⎜ ⎜
0
2⎟⎠ ⎜⎝ 0
1 0
0 1
0 −3
1⎟⎟ 2 ⎟⎠
．
∵ A−E ∼ E．
⎛ −4
∴
A
−
E
可逆，
X
=
(
A−
)E −1
B
=
⎜ ⎜
0
⎜⎝ −3
2⎞ 1⎟⎟ ． 2 ⎟⎠
五． 解线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 3x1
− −
2 x2 x2
+ +
3x3 5x3
− −
x4 3x4
= =
1, 2,
⎪⎩2x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3.
⎛ 1 −2 3 −1 1⎞ ⎛ 1 −2 3 −1 1⎞
解：
(
A,
b)
=
⎜ ⎜⎜⎝
3 2
−1 1
5 2
−3 −2
2 3
⎟ ⎟⎟⎠
∼
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
5 −4 00
0
−1
0 0
r1
−
1 4
r2
−
2 6 a
0
6
0
8 b 7
0
0 0 8
0
0 0 9
0
0 0 0
ab000
12 3 4 5
12 3 4 5
=
−
⎛ ⎜⎝
−
1 2
⎞ ⎟⎠
⋅
8
⋅
0
⋅
9
⋅