第一章逻辑代数基础
数字电路：第一章 逻辑代数基础
1•A=A 0+A=A
AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)(A+C)
§1—5 用代数法化简逻辑式
最简与或表达式： 1、乘积项的个数最少(用门电路实现，用
的与门数最少)。 2、在满足1的条件下，乘积项中的变量最少
(与门的输入端最少)。 省器件：用最少的门，门的输入也最少
“异或”门电路的用处
(1)可控的数码原/反码输出器 A0=A A1=A
(2)作数码同比较器 (3)求两数码的算术和
AB F 00 0 01 1 10 1 11 0
§1—4 基本规则
1）代入规则： A•B=A+B 用A=CD代替A,等式仍成立
CD•B=CD+B=C+D+B 2)反演规则：
F: 若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0” 原变量反变量，反变量原变量
A B
F
F=AB AC ACD BD
A B
1
C
1
D
“与非”表达 式
&
&
&
F
&
&
2、“或非” F=A+B+C
A
A
B >1 C
FB C
+
F
F=A+B+A+C+D+B+D
“或非”表达 式
3、“与或非” F=AB+CD
A & >1 B C D
A
F
B C
D
+F
数字电路(第一章逻辑代数基础)
东南大学计算机系
电话： 025-3792757 Email：qqliu@
刘其奇
1
第一章 逻辑代数基础
1-1 概述
1-1-1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的； 在时间上不连续。
模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。 数字信号：表示数字量的信号，是在两个稳定状态之 间作阶跃式变化的信号。 脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号。
11
有权码
常用BCD码 十进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
无权码
8421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
5421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
22
2）变量常量关系定律
0、 1律：A • 1 = A; (2 )
A • 0 = 0;（1）
A + 1 = 1; （11） A + 0 = A（12） ;
互补律：A • A = 0； ） A + A = 1;（14） （4
3）逻辑代数的特殊定律
重叠律：A • A = A； ） A + A = A; （13） （3
Y = A + A BC( A + BC + D) + BC = A + ( A + BC)( A + BC + D) + BC = A + A ( A + BC + D) + BC( A + BC + D) + BC = A + BC
逻辑代数基础
第一章逻辑代数基础1.1概述1.1.1模拟信号和数字信号电子电路中的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。
模拟信号——时间连续、数值也连续的信号。
数字信号——时间上和数值上均是离散的信号。
（如电子表的秒信号、生产流水线上记录零件个数的计数信号等。
这些信号的变化发生在一系列离散的瞬间，其值也是离散的。
）数字信号只有两个离散值，常用数字0和1来表示，注意，这里的0和1没有大小之分，只代表两种对立的状态，称为逻辑0和逻辑1，也称为二值数字逻辑。
数字电路的特点和分类传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。
1、数字电路的特点数字电路与模拟电路相比主要有下列优点：（1）由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只有0和1两个基本数字，易于用电路来实现，比如可用二极管、三极管的导通与截止这两个对立的状态来表示数字信号的逻辑0和逻辑1。
（2）由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较高，抗干扰能力强。
它可以通过整形很方便地去除叠加于传输信号上的噪声与干扰，还可利用差错控制技术对传输信号进行查错和纠错。
（3）数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和运算，这在控制系统中是不可缺少的。
（4）数字信息便于长期保存，比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。
（5）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。
由于具有一系列优点，数字电路在电子设备或电子系统中得到了越来越广泛的应用，计算机、计算器、电视机、音响系统、视频记录设备、光碟、长途电信及卫星系统等，无一不采用了数字系统。
2、数字电路的分类按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。
集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。
1.1.2 数制与码制1. 数制一．几种常用的计数体制1、十进制(Decimal)数码为：0～9；基数是10。
第1章 逻辑代数基础
①代入规则：任何一个含有变量 A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用
同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数 Y=AC 代替等式中的 A，
根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC) B AC B A B C
A
E
B Y
4
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
功能归纳：
真值表：
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合
灯Y 灭 灭 灭 亮
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如
上表格来描述与逻辑关系，这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列
的逻辑函数， 并记为：
F f ( A, B, C , )
3
第1章 逻辑代数基础---三种基本运算
②三种基本运算
a.与逻辑（与运算）
定义:仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足 时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Y=A· C· B· …=ABC…
描述:开关A，B串联控制灯泡Y
法进行描述。每种方法各具特点，可以相互转换。 ①真值表
将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不 同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起
来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。
原式左边
AB A C ( A A ) BC
01A第一章 逻辑代数基础
正、负逻辑：在实际应用中，器件的输入、输出量用逻辑电平表示， 负逻辑：在实际应用中，器件的输入、输出量用逻辑电平表示，
正逻辑：用高电平表示逻辑1 低电平表示逻辑0 正逻辑：用高电平表示逻辑1，低电平表示逻辑0 负逻辑：用低电平表示逻辑1 高电平表示逻辑0 用图表示） 负逻辑：用低电平表示逻辑1，高电平表示逻辑0（用图表示）
四 二进制代码
编码 ：用二进制数表示文字、符号等信息的过程 用二进制数表示文字、 二进制代码： 二进制代码：用来进行编码之后的二进制数
8421BCD码（ Binary Coded Decimal Codes）为十进制数的二进制编码形式 码 ）
8421码 码
十进制码
8421码 码
十进制码 伪码(冗余码 伪码 冗余码) 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码
若用逻辑表达式 来描述， 来描述，则可写为
L = A ⋅B 或L = AB
与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后， 与运算 只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 只有当决定一件事情的条件全部具备之后 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑 与逻辑。 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。 总结： 总结：有0出0，全1出1
1.3基本逻辑运算和基本逻辑门 基本逻辑运算和基本逻辑门
一、 基本逻辑运算
1．与运算 与逻辑举例： 与逻辑举例：首先逻辑赋值 表示开关闭合和灯亮； 设1表示开关闭合和灯亮； 0表示开关不 闭合和灯不亮， 闭合和灯不亮， 则得真值表 真值表。 则得真值表。
这种以列表的方式来真实的反映出输出和输入变量的正确关系的方法叫 做图形法或真值表法。 做图形法或真值表法。 真值表的情况有2 是输入变量个数， 真值表的情况有 n种，n是输入变量个数，列真值表时应将各种可能的 是输入变量个数 情况都列进去，顺序可以随意，但是最好按照十进制的顺序来列，以免漏掉。 情况都列进去，顺序可以随意，但是最好按照十进制的顺序来列，以免漏掉。
数字电子技术基础课件第一章：逻辑代数基础
别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。
第
一 章
有两种逻辑体制： 正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0
逻 负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0
辑 如果采用正逻辑，数字电压信号就成为下图所示逻辑信号代数Fra bibliotek逻辑1
逻辑1
基
础
逻辑0
逻辑0
逻辑0
三、数字信号的主要参数
V
第
一
Vm
章
0
tw
t (ms)
逻辑代数：英国数学家乔治.布尔1849提出描 述客观事物因果关系的一种数学方法(布尔代 数,开关代数)
二值逻辑(数理逻辑)
逻 辑
多值逻辑(模糊逻辑)
代
形式逻辑(语言逻辑)
数
辩证逻辑(动态逻辑)
基 础
1938年应用于电话继电器开关电路,而后并用 作为计算机的数学工具
1、逻辑变量：用于描述客观事物对立统一的二 个方面。
已知 Y A B C D 求 Y
第
一
1、遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先
章
次序；
逻
2、不属单个变量上的反号应保留不变。
辑
代
数
基
Y A BCD
础
1.4 逻辑函数及其表示方法
一、逻辑函数的建立
第
如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,那
一
么当输入变量的取值确定后,输出的取值便唯一确
逻
1．二进制转换成十进制
辑
代
例1.1 将二进制数10011.101转换成十进制数。
数
解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得
基
础
(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋
第1章逻辑代数基础学习指导 - 第一章逻辑代数基础
第一章逻辑代数基础一、内容提要逻辑代数是数字电子技术的基础。
本章主要介绍逻辑代数中的数制转换、逻辑运算、基本定理和基本规则、逻辑函数及其表示方法、逻辑函数的变换与化简。
二、重点难点本章的重点内容包括以下四个方面:1、数制转换与码制的表达方式：掌握二进制、十进制及其相互转换方法; 掌握8421 BCD码、2421 BCD码、余3码和余3循环码的编码方法；掌握格雷码的编码规律、格雷码与二进制相互转换方法。
2、逻辑代数中的三种基本运算和基本定理：掌握逻辑代数中与、或、非三种基本运算；逻辑代数基本公式；代入规则、反演规则、对偶规则三个规则。
3、逻辑函数的表示方法及相互转换：掌握真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图、波形图等常用的逻辑函数表示方法和几种表示方法之间的相互转换；掌握逻辑函数的两种标准形式。
4、逻辑函数的公式法化简方法和卡诺图化简方法：逻辑函数表达式越简单，所表示的逻辑关系越明显，越有利于用最少的电子器件实现该逻辑关系，电路的可靠性越高。
常用的化简方法有公式法和卡诺图法。
三、习题精解知识点：数制转换例1.1 将二进制数111011.101转换成十进制数。
解：10311345 2)625.59(125.05.01816 3221212121212121)101.111011(=+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=--例1.2将十进制数65转换为二进制数。
解：整数部分用“辗转相除”法:所以D B (65)=(1000001)例1.3 将十进制数0.625转换为二进制数。
解：乘 2 法；将十进制数的小数部分乘2,取其整数得D -1, ;再将小数部分乘2,取其整数得D -2 ;再将小数部分乘2…所以D B (0.625)=(0.101)知识点：逻辑代数基本规则应用例1.4 已知0++⋅=CD B A F ，求F 。
解：用反演规则得：1))((∙++=D C B A F用反演律得))((D C B A CD B A CD B A F ++=⋅⋅=+⋅= 例1.5 已知))((C A B A F ++=，求F 的对偶式。
1第一章知识资料逻辑代数基础
0 A=0 1+A=1
A A=0 A+A=1
2、定理
A+A=A A•A=A
A=A
(德•摩根定律)
A•B=A+B A+B=A•B
交换律 A B=B A A+B=B+A
A B A•B A+B 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 0 0
结合律 A (B C)=(A B) C A+(B+C)=(A+B)+C
数字电路的特点
（3）在两种电路中，晶体管的工作状态不同。 数字电路中晶体管工作在开关状态，也就 是交替地工作在饱和与截止两种状态，而 在模拟电路中晶体管多工作在放大状态。
（4）数字电路采用二进制，主要分析工具是逻 辑 代数，而模拟电路采用十进制，主要分析工 具是普通代数。
数字电路的分类
分立元件 按电路组成结构
F2=A+BD+ABCD F2=A•(B+D)•(A+B+C+D)
三、对偶规则： F: 若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0” 则：FF F与F互为对偶函数 如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。 函数对偶式的对偶式为函数本身。
1•A=A 0+A=A
AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)(A+C)
CBA
m1
CBA
m5
CBA
m2
CBA
m6
CBA
m3
CBA
m7
最小项的性质
1)最小项为“1”的取值唯一。 如：最小项ABC,只有ABC取值101时， 才为“1”，其它取值时全为“0”。
逻辑代数基础(课件)
图形符号
A
L
B
23
2. 或逻辑
逻辑表达式 L= A + B
只有决定某一事件的原因有一个或 一个以上具备，这一事件才能发生
AB L 00 0 01 1 10 1 11 1 或逻辑真值表
图形符号
A 1
L
B
24
3. 非逻辑
当决定某一事件的条件满足时，事 件不发生；反之事件发生
非逻辑真值表
AL
图形符号
0
1
1
0
逻辑表达式 F= A
A
1
L
25
1.3.2 常用复合逻辑运算
与非逻辑运算
或非逻辑运算
L=AB
L=A+B
L
L
与或非逻辑运算 L=AB+CD
L
26
异或运算
AB 00 01 10 11
L 0 1
1 0
逻辑表达式
L=AB=AB+ AB
图A 形符号=1
B
L
同或运算
AB 00 01 10
L 1 0
0
逻辑表达式 L=A B= AB
利用真值表
用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 1
1
0
0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
31
1.4.2 逻辑代数中的基本规则
1. 代入规则
任何一个含有某变量的等式，如果等式中 所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数 式，则此等式依然成立。
逻辑代数基础教程
第一章逻辑代数基础教学目标、要求：掌握逻辑函数的四种表示法；掌握逻辑代数的三种基本运算；掌握逻辑代数的公式、基本规则；掌握代数和卡诺图这两种方法化简逻辑函数。
内容提要：常用的数制和码制；基本概念；公式和定理；逻辑函数的化简方法、表示方法及其相互转换。
重点、难点：逻辑运算中的三种基本运算，逻辑函数表示方法及它们之间相互转换；用代数法化简逻辑函数的方法(难点) ；逻辑函数的卡诺图化简法(难点)。
教学方法：启发式、讨论式、探究时，理论、实验和实际应用有机结合。
教学学时：12学时概述一、逻辑代数逻辑代数是反映和处理逻辑关系的数学工具。
逻辑代数是由英国数学家George Bool在19世纪中叶创立的，所以又叫布尔代数。
直到20世纪30年代，美国人Claude E. Shannon在开关电路中找到了它的用途，因此又叫开关代数。
与普通代数相比，逻辑代数属两值函数，即逻辑变量取值只有0、1。
这里的0、1不代表数值大小，仅表示两种逻辑状态（如电平的高低、开关的闭合与断开等）。
逻辑代数中的有些规则和公式与普通代数相同，有些则完全不同。
二、二进制数表示法1．十进制有十个基本数码0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，任意数字均由这十个基本数码构成。
逢十进一、借一当十。
同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。
任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。
如：(209.04)10＝ 2×210＋0×110＋9×010＋0×110-＋4 ×210-2．二进制（1）二进制表示法有两个基本数码0、1 ，任意数字均由这两个基本数码构成。
如1011。
逢二进一、借一当二。
二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝ 1×22＋0×12＋1×02＋0×12-＋1 ×22-＝(5.25)10（2）二进制运算运算规则：加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 乘法规则：0.0=0， 0.1=0 ，1.0=0，1.1=1二进制加法1101.011+11.11=10001.001二进制减法10001.001-1101.011=11.11二进制乘法11.11×101＝10010.11二进制除法10010.11÷101＝11.113.八进制数有八个基本数码0、1、2、3、4、5、6、7，任意数字均由这八个基本数码构成。
逻辑代数基础
“或”运算的规则：输入有1，输出为1；输入全0，输出为0。
00 0 01 1
10 1 11 1
“或”运算也可以推广到多变量：
F ABC
2．“与”运算
对于某一逻辑问题，只有当决定一件事情的多个条件全部 具备之后，这件事情才会发生，我们把这种因果关系称为“与” 逻辑。
“与”运算的逻辑真值表如表1-7所示。
表1-7 “与”运算真值表
A
B
F
0
0
0
0
1
0
1001 Nhomakorabea1
1
若用逻辑表达式来描述，则可写为 F AB
“与”运算的规则：“输入有0，输出为0；输入全1，输出为1”。
00 0 01 0
10 0 11 1
“与”运算也可以推广到多变量：
F ABC
3．“非“运算
对于某一逻辑问题，如果某一事件的发生取决于条件的否 定，即事件的发生与事件发生条件之间构成矛盾，我们把这种 因果关系称为“非”逻辑。
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
若用逻辑表达式来描述，则可写为 F A B
2．“或非”运算
“或非”运算是由或运算和非运算组合而成的，其真值表 如表1-10所示：
表1-10 “或非”运算真值表
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
若用逻辑表达式来描述，则可写为 F A B
3．“异或”运算
“异或”是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时， 逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异 或的逻辑真值表如表1-11所示。
数电第一章逻辑代数基础
替下标16。
如：2F.8H=47.5D 二进制、十六进制数广泛应用于数字电路
低位
所以：(44.375)10＝(101100.011)2
3.二进制—十六进制转换 十六进制实际上也应属于二进制的范畴 将4位二进制数（恰好有16个状态）看作一个整体时，它的 进位关系正好是“逢十六进一” 所以只要以小数点为界，每4位二进制数为一组（高位不足4 位时，前面补0，低位不足4位时，后面补0），并代之以等值
注意： 不要漏掉 将十进制数展成Σki×2i的形式 0 得到二进制数:knkn-1……k1k0（有小数时还会有k-1……） =1×64+1×32+1×16+1×8+0×4+1×2+1×1 =(1111011)2
例：(123)10=64+32+16+8+0+2+1
或者：采用的方法 — 除2取余、乘2取整 原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。 整数部分采用除 2取余法，小数部分采用乘2取整法。转换后再合并。 整数部分采用除2取余法， 先得到的余数为低位，后 得到的余数为高位。
数 字 电 路
车晓镭
第一章 逻辑代数基础
1.1 概述 1.2 逻辑代数的基本运算 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 1.4 逻辑代数的基本定理 1.5 逻辑函数及其表示方法 1.6 逻辑函数的公式化简 1.7 逻辑函数的卡诺图化简法
第1章 逻辑代数基础(数字电路)
Ｙ＝Ａ+ Ｙ＝Ａ+Ｂ
19:41
功能表
开关 A 断开 断开 闭合 闭合 开关 B 断开 闭合 断开 闭合 灯Y 灭 亮 亮 亮
真值表
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
逻辑符号
Y 0 1 1 1
实现或逻辑的电 路称为或门。或 门的逻辑符号：
逻辑代数基础
A B
9
≥1
Y=A+B
19:41
3、非逻辑（非运算） 非逻辑（非运算） 非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件 （Y）发生的条件（A）满足时，事件不发 生；条件不满足，事件反而发生。表达式为： Ｙ＝Ａ 开关A控制灯泡Y
数字电子技术基础
逻辑代数基础
1
19:41
•
参考书： 组、阎石，高等教育出版社。
1. 数字电子技术基础，清华大学电子学教研 2. 电子技术基础（数字电路部分），康华光， 高等教育出版社
逻辑代数基础
2
19:41
• 课程要求： 1. 掌握数字电路的基本概念、基本原理、基 本分析方法以及一些典型的电路。 2. 课堂练习与课后练习结合，每周交一次。 3. 进行期中测试，总评成绩：期末60%，期 中20%，作业10%，实验10% 。
逻辑符号
实现与逻辑的电路 称为与门。与门的 逻辑符号：
A
6
&
逻辑代数基础
B
Ｙ＝ＡＢ
19:41
Y
2、或逻辑（或运算） 或逻辑（或运算） 或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各 种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个 条件具备，事件（Y）就发生。表达式为： Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋… Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋… 开关A，B并联控制灯泡Y
A
逻辑代数基础知识
有1出1，全0出0
非
AY
0 1
有0出1，有1出0
00 ? A0 ? 01 ? A1 ? 11 ? A A ?
A A A ?
00? 01 ? 11 ?
A 0=? A 1=? A A=?
0? 1?
A? A A? A A ?
四种常用逻辑运算：
与非
ABY
00 1 01 1 10 1 11 0
与
ABY
00 0 01 0 10 0 11 1
或
ABY
00 0 01 1 10 1 11 1
非
AY
01 10
2.逻辑表达式
与：Y=A·B 或写成：Y=AB
或： Y=A+B
非: Y A
3.逻辑符号
A
实现与、或、非逻辑运
算的单元电路分别叫做 B
& YA B
≥1 Y A 1
Y
与门、或门、非门
与门
或门
非门
Y ( A B C)( A B) ( A B)( A C)( A B) (B A A)( A C) B( A C)
例3：求 Y AC A(BC) 的反函数。
Y (AC)ABC (AC)A(BC) AC(BC) ABC
注意：
（1）变换前后的运算顺序不变，必要时可以加括 号来保证原来的运算顺序； （2）反演规则中的反变量和原变量的互换只对单 个变量有效。若在“非”号的下面有多个变量， 则在变换时，此“非”号要保持不变，而对“非” 号下面的逻辑表达式使用反演规则。
第一章 逻辑代数基础
1.1 概述 1.2 数制与码制 1.3 逻辑代数 1.4 逻辑函数 课堂练习 课后思考 本章小结
1.3 逻辑代数
第1章 逻辑代数基础
⑧反演律
A+B= A·B
;
⑨还原律
A== A
AB=A + B
反演律也称德·摩根定理,是一个非常有用的定理.
AB=AC ? A+B=A+C ?
B=C B=C
请注意与普通代数的区别！
三、基本定理
1. 代入定理 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有 出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式 仍然成立。 例如：根据 A B = A B
① 0－1律 A ·0=0
;
A+1=1
②自等律
A ·1=A
;
A+0=A
③重迭律
A ·A=A
;
A+A=A
④互补律 A ·A=0
;
A+A=1
⑤交换律
A ·B= B ·A
;
A+B=B+A
⑥结合律 ⑦分配律
A(BC)=(AB)C ; A(B+C)=AB+AC ;
A+(B+C)=(A+B)+C A+BC=(A+B)(A+C)
Y=F(A,B,C,·····)
A
B C
Y
逻辑网络
例如：如图所示是一举重裁判电路，试用逻辑函 数描述逻辑功能。
A为主裁判，B、C
B
A
为副裁判，Y为指
示灯，只有主裁判 和至少一名副裁判
C
Y
认为合格，试举才
算成功，指示灯才
亮
A、B、C： 1 ——认为合格，开关闭合
0 ——不合格，开关断开
Y=F（AY，B，C：）1——试举成功，指示灯亮
0
第一章 逻辑代数基础
t
典型模拟信号
1.1.2 数制和码制 1.1.2数制和码制
一、数制
多位数码中每一位的构成方法以及从低位 到高位的进位规则 • 十进制 Decimal system( 逢十进一） 码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 基：10 权： 10i i D = k × 10 表达式： ∑i
(143.75)10 = 1×10 2 + 4 ×101 + 3 ×100 + 7 ×10 −1 + 5 ×10−2
1 = 0， 0 =1
1+A=1 0+A=A A+A=A A+ Ā=1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+B •C=(A+B) •(A+C) 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 反演律 还原律
A⋅ B = A+ B
A + B = A⋅ B
1.3.2若干常用公式
序号 21 22 23 24 25 26 公式 A + A·B = A A + Ā·B = A + B
A B
Y
0 1 1 1
�Y
E
0 0 1 1
0 1 0 1
或逻辑表达式为： Y=A+B A 或运算由与逻辑门电路实现，其逻辑符号为： B
≥1
Y
• 非运算：只要条件具备了，结果就不会发生；而条
件不具备时；结果就发生。 例：设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮
R A Y A
�Y
0 1 1 0
编码种类 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 权 8421码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 8421 余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 2421 5211码 0000 0001 0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111 5211 余3循环码 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010
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第1章逻辑代数基础问题探究1．在测量温度时，温度传感器输出的电压信号属于模拟信号，因为在任何情况下被测温度都不可能发生突变，所以测得的电压信号无论在时间上还是在数量上都是连续的。
而且，这个电压信号在连续变化过程中的任何一个取值都具有具体的物理意义，即表示一个相应的温度。
再有用电子计数器记录客流量时，当有人通过时，给计数器一个信号使之加1，平时没有人通过给计数器的信号是0，可见计数这个信号无论在时间上还是在数量上都是不连续的，因此它是一个数字信号。
你还能找出一些这样的例子吗？2．如果数字量表示的是事件的逻辑状态，如下图灯的控制电路，开关A和B的开与合决定了灯P的亮灭，而开关A和B只有两种取值，要么取1为开关闭合，要么取0为开关打开，灯P的亮为1，灭为0，显然他们都是数字量。
数字量之间的因果关系有什么运算规律？1.1 导论本书讨论的是数字电路，电路中的信号是数字信号。
数字信号是离散的脉冲信号，属于双值逻辑信号。
对数字电路中的信号进行分析、运算，所使用的数学工具是逻辑代数，也称布尔代数。
布尔代数起源于十九世纪五十年代，是英国数学家G·Boole首先提出的。
1938年，Shannon又把它发展成适合于分析开关电路的形式。
布尔代数也称为开关代数。
1.1.1 模拟信号与数字信号本章介绍数字电路的学习工具逻辑代数，包括基本逻辑运算、形式定理和基本规则。
讨论逻辑函数的化简和变换，以及最小项、最大项的概念和性质等。
几种常用逻辑函数的表示方法及其相互间的转换。
2 数字电子技术基础电子线路中的信号分为模拟信号与数字信号两大类。
模拟信号是指随时间连续变换的物理量，如电压、电流、温度和亮度等。
可以用计量仪器测量出某个时刻模拟量的瞬时值，或某一段时间之内的平均指，或有效值。
数字信号是指随时间断续变化的信号。
一般地说，数字信号是在两个稳定状态之间阶越式变化的信号，或者说数字信号是规范化了矩形脉冲信号。
模拟量和数字量之间可以转换，只要它们之间建立起一定的转换关系。
例如，可以通过计算数字信号变化的次数来得到相应的模拟量，而不需要知道数字信号每次变化的具体大小。
如果把数字信号看成是一种脉冲信号的话，只要计算脉冲的个数，或者研究脉冲之间的编排方式就可以了。
在数字电路中，数字的表示方法与我们习惯的十进制有很大的不同。
在数字电路中目前几乎都是采用二进制，这是因为实现数字电路的器件是与二进制相对应的。
例如二极管的正向导通和反向截止，三极管的饱和与截止，都正好与二进制相对应。
二进制系统也称之为双值逻辑系统，用这些器件自然而然与双值逻辑系统的二进制相对应，容易实现各种逻辑电路。
所以数字电路中用二进制的“0”、“1”或“0”“1”的不同组合来表示数字信号，并遵循二进制的运算规则。
1.1.2 二进制的算术运算数字电路中1位二进制数码的0和1不仅可以表示数量的大小。
而且可以表示两种不同的逻辑状态。
我们可以用1和0分别表示一件事情的是和非、真和假、有和无、好和坏，或者表示电路的通和断、电灯的亮和暗等等.当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算成为算术运算。
二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相同，唯一的区别在于二进制数是逢二进一而不是十进制的逢十进一。
例如，两个二进制数1001和0101的算术运算有加法运算 减法运算 乘法运算 除法运算 1110 01011001 + 1000 01011001- 0101101 0000 1001 0000 1001 0101 1001 ⨯ 1.110010 01010110 0101 1000 0101 1001 0101 在数字电子计算机中，二进制的正负号也用0和1表示，以最高位作为符号位，正数为0，负数为1。
以下各位为0和1表示数值。
用这种方式表示的数码称为原码。
例如，（0 1010111）2=（+87）10符号位（1 1010111）2=（+87）10符号位为了简化运算电路，在数字电路中两数相减的运算是用他的补码相加来完成。
二进制数的补码是这样定义的：最高位为符号位，正数为0，负数为1；正数的补码和他的原码相同；负数的补码为原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加1。
例如，计算（1001）2-（0101）2，根据二进制减法运算规则有：第1章 逻辑代数基础 31000 01011001- 在采用补码运算时，首先求出（1001）2和（0101）2的补码，即正数的补码是符号位加数值位，正数的符号位为0，数值位为正数本身；负数的符号位为1，数值位为正数按位求反后再加1，它们是[+1001]不=0 1011符号位[-0101]不=1 1011符号位然后将两个补码相加并舍去进位100100 1010110010 + 这样我们就把减法运算化成加法运算。
1.2 逻 辑 运 算1.2.1 基本逻辑运算1.2.1.1 逻辑变量逻辑代数中的变量往往用字母A 、B 、C ……表示。
每个变量只取“0”或“1”两种情况，既变量不是取“0”，就是取“1”，不可能有第三种情况。
它相当于信号的有或无，电平的高或低，电路的导通或截止。
这使逻辑代数可以直接用于双值系统逻辑电路的研究。
1.2.1.2 基本逻辑运算逻辑代数的基本运算类型有三种：与、或、非。
1．或运算——逻辑加有一个事件，当决定该事件的诸变量中只要有一个存在，这件事就会发生，这样的因果关系称为“或”逻辑关系，也称为逻辑加，或者称为或运算，逻辑加运算。
(a) 或逻辑运算 (b) 与逻辑运算 (c) 非或逻辑运算图1.1 三种基本逻辑运算的开关模拟电路图例如在图1.1(a)所示电路中，灯P 亮这个事件有两个条件决定，只有开关A 与B 中有一个闭合时，灯P 就亮。
因此灯P 与开关A 与B 满足或逻辑关系，表示为P =A +B （1.1） 读成“P 等于A 或B ”，或者“P 等于A 加B ”。
若以A 、B 表示开关的状态，“1”表示开关闭合，“0”表示开关断开；以P 表示灯的状态，为“1”时，表示灯亮，为“0”时，表示灯灭。
则得表1.1， 这种表称为真值表。
真值表：反映逻辑变量（A 、B ）与函数（P ）的因果关系的数学表达形式。
4 数字电子技术基础这里必须指出的是，逻辑加法与算术加法的运算规律不同，有的尽管表面上相同，但实质不同，要特别注意在逻辑代数中1+1=1。
2．与运算——逻辑乘有一个事件，当决定该事件的诸变量中必须全部存在，这件事才会发生，这样的因果关系称为“与”逻辑关系。
例如在图1.1(b)所示电路中，开关A 与B 都闭合时，灯P 才亮，因此它们之间满足与逻辑关系。
与逻辑也称为逻辑乘，其真值表如表1.2所示，逻辑表达式为P =A •B =AB （1.2）读成“P 等于A 与B ”，或“A 乘B ”。
与逻辑运算规则表面上与算术运算一样。
“与”逻辑和“或”逻辑的输入变量不一定只有二个，可以有多个。
表3．非运算—— 当一事件的条件满足时，该事件不会发生，条件不满足时，才会发生，这样的因果关系称为“非”逻辑关系。
图1.1(c)所示电路表示了这种关系。
真值表见表1.3所示。
逻辑式为P=A （1.3） 读成“P 等于A非”。
非逻辑只有一个输入变量。
1.2.1.3 基本逻辑运算要通过逻辑门电路实现，逻辑门在下一章介绍，在此先给出这些逻辑门的图形符号，见图1.2。
(a) 与门 (b) 或门 (c) 非门图 1.2 基本逻辑门第1章 逻辑代数基础 51.2.2组合逻辑运算1.2.2.1 基本逻辑运算将基本逻辑运算进行各种组合，可以获得与非、或非、与或非、异或、同或等组合逻辑运算。
各种组合逻辑运算的表达式如下，真值表和运算规则见表1.4。
1． 与非逻辑运算逻辑表达式为 B A P ⋅= （1.4）2．或非逻辑运算逻辑表达式为 B A P += （1.5）3．与或非逻辑运算逻辑表达式为 CD AB P += （1.6）4．异或逻辑运算逻辑表达式为 B A B A B A P +=⊕= （1.7） 用注意，一次异或逻辑运算只有二个输入变量，多个变量的异或运算，必须二个二个变量分别进行。
例如C B A ⊕⊕，先进行其中二个变量的异或运算，其结果再和第三个变量进行异或运算。
以下的同或运算也具有同样的特点。
5．同或逻辑运算逻辑表达式为P=A ⊙B=AB B + （1.8）1.2.2.2 组合逻辑门符号与基本逻辑运算有对应的逻辑门一样，组合逻辑运算也有相应的逻辑门符号，这些符号基本上是由基本逻辑门的与门、或门和非门符号组合而成，见图1.3。
6 数字电子技术基础(a) 与非门 (b) 或非门异或门 (e)同或门图 1.3 各种组合逻辑门1.3 公式和定理1.3.1 变量与常量之间的关系000 .1=⋅ 111 .1=+'010 .2=⋅ 101 .2=+'011 .3=⋅ 000 .3=+'10 .4= 01 .4='1.3.1 变量与常量之间的关系变量与常量之间的关系可分为与逻辑和或逻辑两种形式，共四个。
A A =⋅1 .5 A A =+'0 .500 .6=⋅A 11 .6=+'A用语言叙述为：任何变量乘“0”，恒等于“0”；任何变量乘“1”，等于变量自身；任何变量加“1”，恒等于“1”；任何变量加“0”，等于变量自身。
0 .7=⋅A A 1 .5=+'A A用语言叙述为：任何变量自身相乘，等于变量自身；任何变量自身相加，等于变量自身；变量与其反变量之积恒等于“0”； 变量与其反变量之和恒等于“1”。
1.3.4 特殊定理A A A =⋅ .8 A A A =+' .8B A B A +=⋅ .9 B A B A ⋅=+' .9A A = .10公式9为变量乘积之反等于反变量之和，变量和之反，等于反变量之积。
这两个定理也称为摩根定理，是很有用的二个定理，它们的证明可用真值法。
需要注意的是逻辑代数与初等数学中代数运算的异同。
如A +B =A +C 不能用移项规则化简为B =C ；AB =AC 也不能用除法规则化简为B =C 。
A +A =A ，而不是2A 。
1.3.4 与普通代数相似的定理交换律A B B A ⋅=⋅ .11 A B B A +=+' .11结合律)() ( .12C B A C B A ⋅⋅=⋅⋅ )() ( .21C B A C B A ++=++'分配律C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)( .13 )()( .31C A B A C B A +⋅+=⋅+'1.3.3 几个常用公式1． A +A B = A （吸收） 2 ．AB +B = B （并项）3． A +A B =A +B （消因子） 4． AB +A C+BC =AB +A C （消项）第1章 逻辑代数基础 75． B A B A B A B A ⋅+⋅=⋅+⋅ （求反） 6 ．B A C A C A B A ⋅+⋅=⋅+⋅ （求反）用代数法证明公式1：A+AB = A （1+B ）= A ∙1= A故该公式成立。