高中数学第三章统计案例3_2回归分析自我小测苏教版选修23
高中数学第三章统计案例3_2回归分析课后训练苏教版选修2-3(7页)
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苏教版高中数学选修(2-3)课件3.2《回归分析》
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3.1回归分析的基本思想及 其初步应用
比《数学3》中“回归”增加的内
数学３——统计
容 选修2-3——统计案例
5. 引入线性回归模型
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法 的思想
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因
3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程 解决应用问题
i=1
i 1
i 1
i=1
R2 1 3.1643 0.9999. 25553.3
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.
练习假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万
元），有如下的统计资料。
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：
两个含有未知参数的模型：y(1) f (x, a)和y(2) g(x, b),
其中a和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：
（1）分别建立对应于两个模型的回归方程 yˆ (1) f (x, aˆ)
与其yˆ (中2) 和分g别(x是, bˆ参),数a和abˆ的估bˆ计值；
n
（2）分别计算两个回归方程的残差平方和 Qˆ (1) ( yi yˆi(1) )2
最好的模型是哪个?
产卵数
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-100
线性模型
高中数学苏教版选修2-3：第3章统计案例单元测试
用电量 y( 度)
24 34 38 64
气温 x(℃ )
18 13 10 － 1
10.吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响
学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的
2× 2 列联表：
男
女 总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
合计
45
40
85
试回答吃零食与性别有关系吗？ (“有计求出的线性回归方程的斜率为
0.003 585，则线性回归方程为
________________________________________________________________________ ．
解析： 线性回归直线 y ∧ ＝b ∧ x＋ a ∧ 过样本中心点 (－x ， －y )，故将 －x ，－y 求出代入即
阶段质量检测 ( 三 ) 统 计 案 例 (考试时间： 120 分钟 试卷总分： 160 分 )
一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 )
1．下列有关线性回归的说法 ①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关
系；
②在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形
5．一家保险公司调查其总公司营业部的加班情况，收集了 y(小时 ) 与签发保险单数目 x 的数据如下表所示：
10 周中每周加班工作时间
x 825 215 1 070 550 480 920 1 350 325 670 1 215
y 3.5 1.0
4.0
2.0 1.0 3.0
4.5
高中数学苏教版选修2-3学案：3.2 回归分析
§3。
2 回归分析(一)课时目标1.掌握建立线性回归模型的步骤。
2。
了解回归分析的基本思想和初步应用．1．对于n对观测数据(x i，y i）(i＝1，2，3，…，n）,直线方程____________称为这n对数据的线性回归方程．其中________称为回归截距，________称为回归系数，________称为回归值．2。
错误!，错误!的计算公式错误!3．相关系数r的性质（1)｜r｜≤1;（2)｜r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；（3）｜r｜越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．一、填空题1．下列关系中正确的是________（填序号）．①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．2．回归直线错误!＝错误!＋错误!x恒经过定点________．3．为了解决初中二年级平面几何入门难的问题,某校在初中一年级代数教学中加强概念和推理教学，并设有对照班,下表是初中二年级平面几何期中测试成绩统计表的一部分，其χ2≈________(保留小数点后两位）．4.和体重y (kg)的回归方程为错误! ＝0.849x －85。
712,则身高172 cm 的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________ kg 。
5．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，且y 关于x 的回归直线的斜率是错误! ,那么错误! 与r 的符号________(填写“相同”或“相反”）．6．某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (℃）之间的关系,随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温,并制作了对照表（如下表所示)，且由表中数据算得线性回归方程错误! ＝错误! x ＋错误! 中的错误! ＝2,则预测当气温为25℃时，冰糕销量为________箱。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第3章 3.2 回归分析 Word版含答案
回归分析．会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．．了解线性回归模型，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．(重点、难点)．了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．[基础·初探]教材整理线性回归模型阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．．线性回归模型的概念：将＝＋＋ε称为线性回归模型，其中＋是确定性函数，ε称为随机误差．．线性回归方程：直线＝＋称为线性回归方程，其中称为回归截距，称为回归系数，称为回归值，其中错误!其中＝，＝.设某大学生的女生体重(单位：)与身高(单位：)具有线性相关关系．根据一组样本数据(，)(＝，…，)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－，则下列结论中正确的是(填序号)．()与具有正的线性相关关系；()回归直线过样本点的中心(，)；()若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；()若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为 .【解析】回归方程中的系数为>，因此与具有正的线性相关关系，()正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，正确；∵回归方程＝－，∴该大学某女生身高增加，则其体重约增加，()正确；()不正确．【答案】()()()教材整理相关关系阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．．相关系数是精确刻画线性相关关系的量．．相关系数＝错误!＝错误!.．相关系数具有的性质：()≤；()越接近于，，的线性相关程度越强；()越接近于，，的线性相关程度越弱．．相关性检验的步骤：()提出统计假设：变量，不具有线性相关关系；()如果以的把握作出推断，那么可以根据－＝与－在附录中查出一个的临界值(其中－＝称为检验水平)；()计算样本相关系数；()作出统计推断：若>，则否定，表明有的把握认为与之间具有线性相关关系；若≤，则没有理由拒绝原来的假设，即就目前数据而言，没有充分理由认为与之间有线性相关关系．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()求回归直线方程前必须进行相关性检验．( )()两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．( )()若相关系数＝，则两变量，之间没有关系．( )【答案】()√()×()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：。
高中数学第三章统计案例3.2回归分析学案苏教版选修2-3(2021年整理)
2018版高中数学第三章统计案例3.2 回归分析学案苏教版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章统计案例3.2 回归分析学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2 回归分析学习目标1。
会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析．知识点一线性回归模型思考某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万23345元请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？梳理线性回归模型（1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中________是确定性函数，________称为随机误差．(2）随机误差产生的主要原因①所用的______________不恰当引起的误差；②忽略了________________；③存在________误差．（3）线性回归模型中a，b值的求法y＝__________称为线性回归模型．a，b的估计值为错误!，错误!，则错误!（4)回归直线和线性回归方程直线错误!＝错误!＋错误!x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，错误!称为____________，错误!称为____________,错误!称为__________．知识点二样本相关系数r具有相关关系的两个变量的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!.思考1 变量错误!与真实值y一样吗？思考2 变量错误!与真实值y之间误差大了好还是小了好？梳理样本相关系数r及其性质(1)r＝________________________________.（2)r具有以下性质：①｜r|≤________；②｜r|越接近于________，x，y的线性相关程度越强；③｜r｜越接近于________,x，y的线性相关程度越弱．知识点三对相对关系数r进行显著性检验的基本步骤1．________________：变量x，y不具有线性相关关系；2．如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0。
2020学年高中数学第3章统计案例3.2回归分析课件苏教版选修2_3
(2)求日销售量 y 对销售单价 x 的线性回归方程(方程的斜率保留
一个有效数字)；
(3)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据(2)写出 P 关于 x 的函数关系式，并预测当销售单价 x 为多少元时，才能获得最 大日销售利润． 【解】 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布 在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．
线性回归方程 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度 y 与 腐蚀时间 x 之间的一组观察值如下表. x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出散点图； (2)求 y 对 x 的线性回归方程； (3)利用线性回归方程预测时间为 100 s 时腐蚀深度为多少．
10
10
10
10)并已计算出 xi ＝1 598, yi ＝1 720， x2i ＝265 448，
i＝1
i＝1
i＝1
10
xiyi＝287 640，试求冶炼时间 y 对钢水的含碳量 x 的回归直
i＝1
线方程.
解：由
10
i＝1
xi
10
＝1 598,
i＝1
yi ＝1 720，可得－x ＝110i1＝01xi＝
求线性回归方程的三个步骤 (1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有 线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数． (3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测 说明．
1.炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的 多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时 间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量 x 与冶炼 时间 y(从炼料熔化完毕到出钢的时间)的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，
苏教版选修23高中数学3.2回归分析课后知能检测
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 回归分析课后知能检测 苏教版选修2-3一、填空题1．已知回归直线的斜率的估量值为，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程是________．【解析】 回归直线方程为：y ^－5＝(x －4) 即y ^＝＋ 【答案】 y ^＝＋2．(2013·启东中学高二检测)已知x ，y 的取值如下表所示：x 0134 y从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝＋a ，则a 的值为________． 【解析】 x ＝2，y ＝，∴a ＝－×2＝. 【答案】3．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据取得y 对x 的回归直线方程：y ^＝＋.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______________________________万元.【解析】 由回归方程中斜率为，知x 每增加一个单位，y 平均增加单位． 【答案】4．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高别离是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方式预测他孙子的身高为________cm.【解析】 设父切身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则x173170176y170176182x ＝173，y ＝176，由公式计算得b ＝1，a ＝y －b x ＝176－1×173＝3，则y ^＝x ＋3，当x＝182时，y ^＝185.故预测该老师孙子的身高为185 cm.【答案】 1855．下列关于相关系数r 的叙述正确的是 ________．①|r |∈(0，＋∞)，|r |越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱； ②|r |∈(－∞，＋∞)，|r |越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱； ③|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越强，|r |越接近于0，相关程度越弱； ④|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越弱，|r |越接近于0，相关程度越强． 【解析】 |r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越强；|r |越接近于0，相关程度越弱． 【答案】 ③6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品进程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x 345 6 yt4按照上表提供的数，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝＋，那么表中t 的值为________． 【解析】 由y ＝＋，得错误!＝×错误!＋错误!＝t ＝3.【答案】 37．(2012·课标全国卷)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_____________．【解析】 按照样本相关系数的概念可知，当所有样本点都在直线上时，这组样本数据完全正相关，相关系数为1.【答案】 18．(2013·合肥模拟)下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这种抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程y ^＝＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量χ2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题是 ________．【解析】 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，如此的抽样是系统抽样，即①不正确；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，即②正确，在回归直线方程y ^＝＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加单位，即③正确，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量χ2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，即④不正确，综上可得正确的命题序号为②③.【答案】 ②③ 二、解答题9．某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1) (2)若广告费支出1 000万元时的实际销售额为8 500万元，求误差．【解】 (1)画出所给数据的散点图(图略)，可知这些点在一条直线周围，能够成立销售额y 对广告费支出x 的线性回归方程．由数据计算可得x ＝5，y ＝50，由公式计算得b ^＝，a ^＝，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝＋.因此，对于广告费支出为1 000万元(即10百万元)，由线性回归方程能够估量销售额为y ^＝×10＋＝(百万元)．(2)8 500万元即85百万元，实际数据与估量值的误差为85－＝(百万元)． 10．观察两个变量x ，y ，取得的数据如下表：(1)对变量y 与x (2)若是y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程． 【解】 (1)r ＝错误!≈ 7，＝，故y 与x 之间显著线性相关 (2)y ^＝－.11．高二(3)班学生每周用于数学学习的时刻x (单位：小时)与数学成绩Y (单位：分)之间有如下数据：x 24152319161120161713Y 92799789644783687159 若某同窗每周用于数学学习的时刻为18小时，试预测该同窗数学成绩．【解】因为学习时刻与学习成绩间具有相关关系，能够列出下表，并用科学计算器进行计算．i 12345678910 x i24152319161120161713 y i92799789644783687159 x i y i 2 208 1 185 2 231 1 691 1 024517 1 660 1 088 1 207767a∧＝y－bx＝－×≈.因此可求得回归直线方程为y∧＝＋.当x＝18时，y∧＝×18＋＝77.故该同窗估计可得77分左右．。
2019_2020学年高中数学第3章统计案例3.2回归分析课件苏教版选修2_3
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没 有必要进行相关性检验．
其中正确的命题是__________(填序号)． (2)如果某地的财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程y^＝b^x＋a^＋ e(单位：亿元)，其中b^＝0.8，a^＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收 入 10 亿元，则今年支出预计不会超过________亿．
i＝1
＝0.]
n
n
xi－ x 2 yi下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关
系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方
法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常
用方法．
A．①②
B．①②③
i＝1
n
∑
xi－－x 2∑n
yi－－y 2
i＝1
i＝1
n
∑xiyi－n
－ x
－ y
＝
∑i＝n1x2ii＝－1 n－x 2∑ i＝n1y2i －n－y 2.
(3)相关系数 r 具有的性质： ①|r|≤1； ②|r|越接近于 1，x，y 的线性相关程度_越__强__； ③|r|越接近于 0，x，y 的线性相关程度_越__弱__． (4)相关性检验的步骤： ①提出统计假设 H0：变量 x，y 不具有线性相关关系；
b^＝∑ i＝n1∑i＝xn1iyxi2i－－nn－－xx 2－y ， a^＝－y －b^－x .
其中－x ＝1n∑ i＝n1xi，－y ＝1n∑ i＝n1yi.
2．相关关系
(1) _相__关__系__数____是精确刻画线性相关关系的量．
(2)相关系数 r＝
n
∑
2016-2017学年高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析学业分层测评 苏教版选修2-3
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析学业分层测评 苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图322所示，对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断________．图322①变量x 与y 正相关，u 与v 正相关； ②变量x 与y 正相关，u 与v 负相关； ③变量x 与y 负相关，u 与v 正相关； ④变量x 与y 负相关，u 与v 负相关．【解析】 由图(1)知，x 与y 是负相关，由图(2)知，u 与v 是正相关，故③正确． 【答案】 ③2．已知对一组观测值(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于y ^＝a ^＋b ^x ，求得b ^＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则线性回归方程为________．【解析】 ∵a ^＝y －b ^x ＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5≈6.65. ∴y ^＝0.51x ＋6.65. 【答案】 y ^＝0.51x ＋6.653．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型，预报广告费用为6万元时销售额为______万元．【解析】 样本中心点是(3.5,42)，则a ^＝y －－b ^x －＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.【答案】 65.54．对两个具有线性相关关系的变量进行回归分析时，得到一个回归方程y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,14}，则y －＝________.【解析】 由x －＝8，得y －＝1.5×8＋45＝57. 【答案】 575．已知x ，y 的取值如下表：画出散点图，从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 【导学号：29440070】【解析】 因为回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，解得x －＝2，y －＝4.5，将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ^，可得a ^＝2.6.【答案】 2.66．一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．【解析】 ∵样本点的中心为(10,38)， ∴38＝－2×10＋a ^. ∴a ^＝58，即y ^＝－2x ＋58. ∴当x ＝6时，y ＝46. 【答案】 467．对具有线性相关关系的变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是y ＝3x ＋20，若∑i ＝110x i ＝18，则∑i ＝110y i ＝________.【解析】 由于∑i ＝110x i ＝18，则x －＝1.8，∵(x －，y －)在回归方程上， ∴y －＝3×1.8＋20＝25.4， ∴ i ＝110y i ＝10y －＝254.【答案】 2548．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.【答案】 y ^＝1.23x ＋0.08 二、解答题 9．对于数据组：(1)(2)求线性回归方程．【解】 (1)作图略．x ，y 具有很好的线性相关性． (2)设y ^＝a ^＋b ^x ，因为x －＝2.5，y －＝5，∑4i ＝1x i y i ＝60， ∑4i ＝1x 2i ＝30， 故b ^＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，a ^＝y －－b ^x －＝5－2×2.5＝0，故所求的回归直线方程为y ^＝2x .10．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故的统计资料，求出y 关于x 的线性回归方程.【解】 ∑8i ＝1x i ＝1 031，∑8i ＝1y i ＝71.6，∑8i ＝1x 2i ＝137 835，∑8i ＝1x i y i ＝9 611.7，x －＝128.875，y －＝8.95，将它们代入⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i－n x－2，a ^＝y －－b ^x －，计算得b ^≈0.077 4.a ^＝－1.025，所以，所求线性回归方程为y ^＝0.077 4x －1.025.能力提升]1．对具有线性相关关系的变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是y ^＝3x ＋20，若∑10i ＝1x i ＝18，则∑10i ＝1y i ＝________. 【解析】 由∑10i ＝1x i ＝18，得x ＝1.8. 因为点(x ，y )在直线y ^＝3x ＋20上，则y ＝25.4.所以∑10i ＝1y i ＝25.4×10＝254. 【答案】 2542．(2016·徐州月考)已知对一组观测值(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于y ^＝a ^＋b ^x ，求得b ^＝0.51，x －＝61.75，y －＝38.14，则线性回归方程为________．【解析】 ∵a ^＝y －－b ^x －＝38.14－0.51×61.75 ＝6.647 5≈6.65.∴y ^＝0.51x ＋6.65. 【答案】 y ＝0.51x ＋6.653．(2016·南京检测)若线性回归方程中的回归系数b ^＝0，则相关系数r ＝________.【解析】 b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2，r＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2.由计算公式知，若b ＝0，则r ＝0. 【答案】 04．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：剩下的2组数据用于回归方程检验．(1)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？(3)请预测温差为14 ℃的发芽数．【解】 (1)由数据求得，x ＝12，y ＝27， 由公式求得，b ^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． (3)当x ＝14时，有y ^＝52×14－3＝35－3＝32，所以当温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．。
高中数学 3.2 回归分析教案2 苏教版选修23
3.2回归分析（2）教学目标（1）通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用； （2）能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题； （3）进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用． 教学重点，难点相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤． 教学过程 一．问题情境1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义． 二．学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． 三．建构数学1．相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =L ，样本相关系数r 的计算公式为112222221111()()()()(())(())nniii ii i n nn niii i i i i i x x y y x y nx yr x x y y x n x y n y ======---==-⋅-⋅--∑∑∑∑∑∑．()22．相关系数r 的性质：246810051015系0246810051015（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强； （3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． 3．对相关系数r 进行显著性检验的步骤：相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系．说明：1．对相关系数r 进行显著性检验，一般取检验水平0.05α=，即可靠程度为95%． 2．这里的r 指的是线性相关系数，r 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．3．这里的r 是对抽样数据而言的．有时即使||1r =，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释． 4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验： （1）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系；（2）由检验水平0.05与29n -=在附录2中查得0.050.602r =； （3）根据公式()2得相关系数0.998r =；（4）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95﹪的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为$527.59114.453y x =+是有意义的． 四．数学运用 1．例题：例1．下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y与x之间的关系．母亲身高/x cm154157158159160161162163女儿身高/y cm155156159162161164165166解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，因为()1541571638159.25x=+++÷=L，()1551561668161y=+++÷=L，()82222218()1541638159.2559.5iix x=-=++-⨯=∑L，()82222218()1551668161116iiy y=-=++-⨯=∑L，()8181541551631668159.2516180i iix y x y=-⨯++⨯-⨯⨯=∑L，所以963.01165.5980≈⨯=r，由检验水平0.05及26n-=，在附录2中查得707.005.0=r，因为0.9630.707>,所以可以认为x与y之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型y a bxε=++中,a b 的估计值$,a b$分别为()81822181.345,8i iiiix y x ybx x==-=≈-∑∑$53.191a y bx=-≈-$，故y对x的线性回归方程为xy345.1191.53+-=)．例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10入学成绩x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 高一期末成绩y65 78 52 82 92 89 73 98 56 75 x y （2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．解：(1)因为()16367767010x =⨯+++=L ，()16578757610y =⨯+++=L ，101()()1894xy i i i L x x y y ==--=∑，2101()2474xx i i L x x ==-=∑，1021()2056yy i i L y y ==-=∑．因此求得相关系数为10110102211()()0.840()()iii xx yyi i i i x x y y L r L L x x y y ===--===--∑∑∑．结果说明这两组数据的相关程度是比较高的；小结解决这类问题的解题步骤：（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近； （2）求相关系数r ；（3）由检验水平和2n -的值在附录中查出临界值，判断y 与x 是否具有较强的线性相关关系； （4）计算$a，b $，写出线性回归方程． 2．练习：104P 练习第1题． 五．回顾小结：1．相关系数的计算公式与回归系数b$计算公式的比较； 2．相关系数的性质；3．探讨相关关系的基本步骤． 六．课外作业：106P 习题3.2第1题．。
【数学】高中数学第三章统计案例32回归分析课后导练苏教版选修23
【关键字】数学高中数学第三章统计案例 3.2 回归分析课后导练苏教版选修2-3基础达标某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下:次数(x) 32 33 35 37 39 44 46成绩(y) 25 34 37 39 42 48 51试求y与x之间的返回直线方程.解析:∵=38, =39.43,∴=10 756, =10 280,=11 340.∴b^= =1.6,a^=-b^=-21.37.∴返回直线方程为y^=1.6x-21.37.2.考察硫酸铜在水中的溶解度y与温度x的关系时,做了9组试验,其数据如下:温度x/℃0 10 20 30 40 50 60 70 80 溶解度y/g 14.0 17.5 21.2 26.1 29.2 33.3 40.0 48.0 54.8 求:(1)返回直线方程;(2)相关系数r.解析:(1)利用计算器分别求出, ,,, ,利用返回直线公式可求出b^=0.499 2,a^=11.60可知,返回直线方程为y^=0.499 2x+11.60.(2)将上述数据代入相关系数公式,可得r=0.987 4.3.研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系,测得一组数据如下:水深x/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速y/(m·s-1) 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21(1)求y对x的返回直线方程;(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少?解析:可采用列表的方法计算a^与返回系数b^.序号x y x2x y1 1.40 1.70 1.96 2.3802 1.50 1.79 2.25 2.6853 1.60 1.88 2.56 2.6854 1.70 1.95 2.89 3.315 1.80 2.03 3.24 3.6546 1.90 2.10 3.61 3.9907 2.00 2.16 4.00 4.3208 2.10 2.21 4.41 4.641∑14.00 15.82 24.92 27.993于是,=×14.00=1.75, =×15.82=1.977 5.b^= =≈0.733.a^=1.977 5-×1.75≈0.694.y对x的返回直线方程为y^=a^+b^x=0.694+0.733x.返回系数b^=0.733的意思是,在此灌溉渠道中,水深每增加0.1 m,水的流速平均增加0.073 m/s(本例数据是以0.1 m为水深间隔测得的),a^=0.694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分.(2)由(1)中求出的返回直线方程,把x=1.95代入,易得y^=0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s).计算结果表明,当水深为1.95 m时可以预测水的流速约为2.12 m/s.4.从某地成年男子中随机抽取n人,测得平均身高=172 cm,标准差sx=7.6 cm,平均体重=72 kg,标准差sy=15.2 kg,相关系数r==0.5.求由身高估计平均体重的返回方程y^=β^0+β^1x,以及由体重估计平均身高的返回方程x^=a^+b^y.解析:∵sx=,sy=,∴=0.5×7.6×15.2=57.76.∴β^1= =1.于是可得b=≈1.215.β^0= -β^1=72-172×1=-100,∴由身高估计平均体重的返回方程为y^=x-100.由x、y位置的对称性,得b^= =0.25.∴a^= -b^=172-72×0.25=154.∴由体重估计平均身高的返回方程为x^=0.25y+154.5.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50(1)画出散点图；(2)求月总成本y与月产量x之间的返回直线方程.解析:(1)画出的散点图如图所示.(2)通过计算器可得b^≈1.215,a^=-b^ =2.847 5-1.215×≈0.974.因此所求的返回直线方程是y^=1.215x+0.974.6.已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表:45 42 46 48 42 35 58 40 39 50血球体积x(mm)6.53 6.30 9.527.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.558.72 红血球数y(百万)若已知二者相关,求出返回直线方程.思路分析:求返回直线方程,就是由公式计算b^与a^的值.解析:由题意,得x=44.50,y=7.37,设返回直线方程为同y^=b^x+a^则b^=≈0.175,a^=-0.43.故所求的返回直线方程为y^=0.175x-0.43.7.调查者通过询问男、女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示:看营养说明不看营养说明总计男大学生23 32 55女大学生9 25 34总计32 57 89利用列联表的独立性检验估计看营养说明是否与性别有关系?思路分析:根据列联表中的数据代入公式求得χ2的值,进行比较判断得出相应结论.解:由公式得χ2=≈2.149<3.841,所以我们没有理由认为看营养说明与男女性别有关,尽管在这次调查中男性看营养说明的比例比女性看营养说明的比例高,但我们不能认为这些男、女大学生中男性比女性看营养说明的多.8.某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系,从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本,有如下资料: 产量(千件) x 生产费用(千元)y 40 150 42 140 48 160 55 170 65150产量(千件)x 生产费用(千元)y 79 162 88 185 100 165 120 190 140185(1)计算x 与y 的相关系数;(2)对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验;(3)设回归直线方程为y ^=b ^x +a ^,求系数a ^,b ^. 解析: i x iy i x i 2y i 2x i y i1 40 150 1600 22500 60002 42 140 1764 19600 58803 48 160 2304 25600 7680 4 55 170 3 025 28 900 9 350 5 65 150 4 225 22 500 9 7506 79 162 6 241 26 244 12 7987 88 185 7 744 34 225 16 280 8 100 165 10 000 27 225 16 5009 120 190 14 400 36 100 22 800 10 140 185 19 600 34 225 25 900 合计7771 65770 903277 119132 929x =77.7,y=165.7,∑=1012i ix=70 903,∑=1012i iy=277 119,∑=101i ii yx =132 929r=)7.16510277119)(7.771070903(7.1657.771013292922⨯-⨯-⨯⨯-,即x 与y 的相关系数r≈0.806.(2)查表显著性水平0.05,自由度10-2=8.相应的相关系数临界值r 0.05=0.631 9;因为r>r 0.05,所以可以认为x 与y 之间具有线性相关关系. (3)b ＾=27.7710709037.1657.7710132929⨯-⨯⨯-≈0.397; a ＾=165.7-0.397×77.7=134.8.综合运用9.已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表:x :血球体积(mm)y :红血球数(百万)45 6.53 42 6.30 46 9.52 48 7.50 42 6.99 39 6.55 50 8.72 35 5.90 58 9.49 406.20(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并画出图形. 解析:(1)见下图:(2)x =101(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.5, y =101(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37. 设回归直线的方程为y ＾=b ^x +a ^,则b ＾=∑∑==--ni ini iixn xy x n yx 1221 =0.175,a ＾=y -b x =-0.43.所以所求的回归直线为y ＾=0.175x -0.43.10.炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炉料x (0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y (mi n ) 100200210185155135170205235125(1)y 与x 是否具有线性相关关系?(2)如果y 与x 具有线性相关关系,求回归直线方程.(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时,应冶炼多少分钟？ 思路分析:(1)判定两个变量是否具有线性相关关系,可通过计算相关系数与临界值关系;(2)设回归直线方程,依公式代入相关量计算可得;(3)把x =160代入回归直线方程求解可得. 解:(1)根据题意列表并计算如下: i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i100200210185155135170205235125x i y i 10400 36000 39900 32745 22785 18090 25500 39155 47940 15125x =159.8,y =172,∑=1012i ix=265 448,∑=1012i iy=312 350,∑=101i ii yx i=287 640于是r=∑∑∑===---1011012222101)10(1010i i i ii iiy y x xyx yx ≈0.990 6,查表得显著性水平0.05与n -2的相关系数临界值r 0.05=0.632, ∴r>r 0.05.∴y 与x 具有线性相关关系. (2)设所求的回归直线方程为y^=b ^x +a ^,b ^=∑∑==--101221011010i ii iixxy x yx ≈1.267,a ＾≈-30.51,即所求的回归直线方程为y ＾=1.267x -30.51.(3)当x =160时,y ＾=1.267×160-30.51≈172(m i n ),即大约冶炼172 m i n .11.研究某特殊药物A 有无副作用(比如服用后恶心),给50个患者服用此药,给另外50个患者服用安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表: 有恶心 无恶心 合计 给药A 15 35 50 给安慰剂 4 46 50 合计1981100试问此药物有无恶心的副作用?思路分析:根据列联表中的数据代入公式求得χ2的值,与临界值进行比较判断得出相应结论.解:由题意,问题可以归纳为独立检验假设H 1:服该药物(A )与恶心(B )独立.为了检验假设,计算统计量χ2=81195050)3544615(1002⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈7.86>6.635.故拒绝H 1,即不能认为药物无恶心副作用,也可以说,我们有99%的把握说,该药物与副作用(恶心)有关.12.为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系,随机测得10对母女的身高,如下表所示:母亲身高x /c m 159 160 160 163 159 154 159 158 159 157 女儿身高y /c m158 159 160161161155162157162156试对x 与y 进行一元线性回归分析,并预测当母亲身高为161 c m 时女儿的身高为多少? 解析:先对x 与y 作相关性检验.(1)作统计假设:x 与y 不具有线性相关关系.(2)由小概率0.05与n -2=8在附表中查得r 0.05=0.632. (3)x =101(159+160+…+157)=158.8, y =101(158+159+…+156)=159.1, ∑=-1012210i ix x =(1592+1602+…+1572)-10×158.82=47.6, ∑=101i ii yx -10x y =(159×158+160×159+…+157×156)-10×158.8×159.1=37.2,∑=1012i i y -10y 2=(1582+1592+…+1562)-10×159.12=56.9,所以r=9.566.472.37⨯≈0.71.(4)|r|=0.71>0.632,即|r|>r 0.05.从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,去求回归直线方程是有意义的. 回归系数b ＾=6.472.37≈0.782≈0.78, a ＾=159.1-0.782×158.5≈34.92.所以y 对x 的回归直线方程是y ＾=34.92+0.78x . 回归系数0.78反映出当母亲身高每增加1 c m 时女儿身高平均增加0.78 c m ,a ＾=34.92可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分. 当x =161时,y ＾=34.92+0.78×161=160.5.这就是说当母亲身高为161 c m 时女儿的身高大致也接近161 c m .此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
(江苏)高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析课件 苏教版选修2-3
5
xiyi－5 x ·y
i＝1
∴^b＝
≈0.625.
5
xi2－5 x 2
i＝1
∴^a＝ y －^b x ＝67.8－0.625×73.2＝22.05. ∴y 对 x 的线性回归方程是^y＝0.625x＋22.05.
(3)当 x＝96 时，^y＝0.625×96＋22.05≈82. 可以预测他的物理成绩是 82.
考点二 相关性检验 [典例] 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生，他们入 学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？
x2i
4
9
16 25 36
5
5
经计算得： x ＝4， y ＝5，x2i ＝90，xiyi＝112.3，
i＝1
i＝1
5 xiyi－5x－－y
i＝1
于是有^b＝
＝1.23，
5
x2i －5 x 2
i＝1
^a＝ y －^b·x ＝0.08， 所以线性回归方程为^y＝^a＋^bx＝0.08＋1.23x. (2)当 x＝10 时，^y＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)， 即若估计使用年限为 10 年时，维修费用为 12.38 万元．
相关关系．
[类题通法]
利用相关系数 r 进行判断相关关系，需要应用公式计算出 r 的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别
细心，避免出现计算错误．
高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析优化训练 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试题
3.2 回归分析五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若回归直线方程中的回归系数bˆ=0,则相关系数（ ） A.r=1B.r=-1C.r=0D.无法确定答案:C解析：∑∑==---ni ini i ix xy y x xb121)())((ˆ,r=∑∑∑===-•---ni ni i ini i iy y x xy y x x11221)()())((.若bˆ=0，则r=0. 2.若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y=bx+a+e(单位：亿元)，其中b=0.8,a=2,|e|＜0.5,如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( ) A.10亿B.9亿C.10.5亿D.9.5亿 答案:C解析：代入数据y=10+e,因为|e|＜0.5,所以|y|＜10.5，故不会超过10.5亿.两变量回归直线方程为（ ）A.yˆ=0.56x+997.4B.y ˆ C.yˆ=50.2x+501.4D.y ˆ=60.4x+400 答案:A4.用身高（cm ）预测体重（kg ）满足y=0.849x-85.712，若要找到41.638 kg 的人，身高____________是150 cm. 答案:不一定解析：体重不只受身高的影响，还可能受其他因素的影响. 十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A.正方体的棱长和体积 B.角的弧度数和它的正弦值C.单产为常数时,土地面积和总产量D.日照时间与水稻的亩产量 答案:D解析：相关关系是一种不确定的关系.2.散点图在回归分析过程中的作用是( )A.查找个体个数B.比较个体数据大小关系C.探究个体分类D.粗略判断变量是否线性相关 答案:D解析：散点图在回归分析中，能粗略进行判断变量间的相关关系.3.在回归分析中，如果随机误差对预报变量没有影响，那么散点图中所有的点将_____________回归直线上. 答案:完全落在解析：若不受误差的影响，散点图将准确反映变量间的关系.4.回归直线方程为_____________，其中aˆ=_____________，b ˆ=_____________. 答案:x b a yˆˆˆ+=x b y ˆˆ-∑∑==---ni ini i ix xy y x x121)())((30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.对相关系数r ，下列说法正确的是（ ） A.|r|越大，相关程度越大 B.|r|越小，相关程度越大C.|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D.|r|≤1且|r|越接近1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小 答案:D解析：由两个变量的相关系数公式可知相关程度的强弱与|r|与1的接近程度有关.|r|越接近1，相关程度越大;|r|越接近0，相关程度越小.2.2003年春季，我国部分地区SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天市SARS 患者治愈者的数据，及根据这些数据绘制出的散点图： 日 期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 人 数 100 109 115 118 121 134 日 期 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人 数141152168175186203下列说法正确的个数为（ ） ①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系 ②若日期与人数具有线性相关关系，则相关系数r 与临界值r 0.05应满足|r|＞r 0.05 ③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系 A.0B.1C.2D.3 答案:C零件数10203040 50607080答案:yˆ=0.817x+9.5 4.已知回归直线方程为yˆ=0.50x-0.81,则x=25时,y 的估计值为________________. 答案:11.69解析：yˆ=0.50×25-0.81=11.69. 5.想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一(1)年龄（解释变量）和身高（预报变量）之间具有怎样的相关关系？（2）如果年龄相差5岁，则身高有多大差异？（3～16岁之间） （3）如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？解:（1）设年龄x 与身高y 之间的回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=, 由公式∑∑==--=ni ini ii xn xy xn yx b1221ˆˆˆ≈6.317,x b y a-=ˆ71.984, 所以yˆ=6.317x+71.984. （2）如果年龄相差5岁，则预报变量变化 6.317×5=31.585. (3)如果身高相差20 cm ，年龄相差Δx=317.620=3.166≈3. 6.车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题.某汽车销售公司为此作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料: 若有资料知y 对x 呈线性相关关系.试求：（1）线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ的回归系数a ˆ、b ˆ; （2）估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？解：（1）制表于是104590ˆ2=⨯-=b=1.23. x b y aˆˆ-==5-1.23×4=0.08. (2)线性回归直线方程是y ˆ=1.23x+0.08，当x=10（年）时，y=1.23×10+0.08=12.38（万元），即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元.7.高三·一班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：解：用科学计算器计算得回归直线方程为：yˆ=3.53x+13.44. 当x=18时，yˆ=3.53×18+13.4≈77. 故该同学预计数学成绩可得77分左右.8.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解:(1)由题设所给数据,可得散点图如下.(2)由对照数据,计算得:∑=412i ix=86,46543+++=x =4.5,44.5435.2+++=y =3.5, 已知∑=41i ii yx =66.5,所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:24122415.44865.35.445.6644ˆ⨯-⨯⨯-=-•-=∑∑==i i i ii xx yx yx b=0.7, x b y aˆˆ-==3.5-0.7×4.5=0.35. 因此,所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为:90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).。
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高中数学第三章统计案例回归分析自我小测苏教版选修2-3 1．对某种机器购置后运营年限次序x(1,2,3，…)，与当年增加利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为：y＝－，估计该台机器使用__________年最合算．2．假设关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据
x 2345 6
y
若由此资料知y与．
3．假设关于某市房屋面积x(平方米)与购房费用y(万元)，有如下的统计数据：
x(平方米)8090100110
y(万元)42465359
由资料表明y对
__________万元．
∴估计购买120平方米的房屋时，购买房屋费用是万元．
4．下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用y(万元)的几组统计数据：
x 2345 6
y
__________．5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)234 5
加工的时间y(小时)34
试预测加工10
6．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x(℃)101113128
发芽数y(颗)2325302616
=+；
求出y关于x的线性回归方程y bx a
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？
7．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x 24568
y 3040506070
如果y与x
(1)作出这些数据的散点图；
(2)求这些数据的线性回归方程；
(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额．
8．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得
到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表，如下表所示：
摄氏温
－504712151923273136 度/℃
热饮
15615013212813011610489937654 杯数
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数．
参考答案
1答案：8
解析：令y ≥0，即－≥0，
∴x ≤8，∴估计该台机器使用8年较为合算． 2答案：y ＝＋
解析：代入5
15
2
2
1
5=1.235i i
i i
i x y x y
b x
x ==-=
-∑∑，y a bx =+，
∴a ＝.
∴线性回归方程是y ＝＋. 3答案：
解析：∵x ＝95，y ＝50代入公式求得b ＝，a ＝－， ∴线性回归方程为y ＝－.
将x ＝120代入线性回归方程得y ＝(万元)． 4答案：y ＝＋ 解析：∵
5
2
1
i
i x
=∑＝4＋9＋16＋25＋36＝90，且x ＝4，y ＝5，n ＝5，
∴112.354512.3
1.239051610
b -⨯⨯=
==-⨯，
a ＝5－×4＝，
∴回归直线为y ＝＋. 5解：2+3+4+5
=3.54
x =
， 2.5+3+4+4.5
3.54
y =
=，
4
1
i i
i x y =∑＝2×＋3×3＋4×4＋5×＝，
4
2
1
i
i x
=∑＝4＋9＋16＋25＝54，
∴2
52.54 3.5 3.5
0.7544 3.5b -⨯⨯==-⨯，
a ＝－×＝.
∴回归直线方程为y ＝＋， 当x ＝10时，y ＝×10＋＝， ∴预测加工10个零件需要小时． 6解：(1)由数据，求得x ＝
1
3
(11＋13＋12)＝12， y ＝1
3
(25＋30＋26)＝27，
3x y ＝972.
3
1i i
i x y =∑＝11×25＋13×30＋12×26＝977，
3
2
1
i
i x
=∑＝112＋132＋122
＝434，
23432x =.
由公式，求得12
2
1
9779725
4344322
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==--=
=
=--∑∑，
a y bx =-＝27－5
2
×12＝－3.
所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝5
2
x －3. (2)当x ＝10时，y ＝
5
2
×10－
3＝22，|22－23|＜2. 同样，当x ＝8时，y ＝5
2
×8－3＝17，|17－16|＜2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．
7解：(1)
(2)x ＝5，y ＝50，
5
1
1390i i
i x y
==∑，5
21
145i i x ==∑，
5
15
2
2
1
572i i
i i
i x y x y
b x
x ==-=
=-∑∑，a ＝y －b x ＝15，
∴线性回归方程为y ＝7x ＋15.
(3)当x ＝9时，y ＝78.即当广告费支出为9
百万元时，销售额为78百万元． 8解：(1)散点图如下图所示：
(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．
x ≈，y ≈，112
1
4335i i x ==∑，11
1
14778i i i x y ==∑.
∴11
111
2
22
1
11 2.3521111i i
i i
i x y x y
b x
x x ==-=
≈---∑∑.
a y bx =-≈.
∴回归方程为：y ＝－＋. (4)当x ＝2时，y ≈143.
因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．。