2018年高考预测押题理科数学模拟试题(六)
2018高考理科数学模拟试题.doc
2018 学年高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A= 0，1，2，3 ，B= x x 2a 1，a A ，则A B=( )A. 1，2B. 1，3C. 0，1D. 1，32．已知i 是虚数单位，复数z 满足1 i z 2i ，则z 的虚部是（）A. iB. iC. 1D. 13．在等比数列a n 中，a1 a3 a5 21，a2 a4 a6 42 ，则数列a n 的前9 项的和S9 （）A. 255B. 256C. 511D. 512x4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线x 1以及曲线y e 1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（）A. 1e B. e 2e 11C. D.e 1 11e5．在 2 )5(x x y 的展开式中，含x的项的系数是（）5 y25 y2A. 10B. 20C. 30D. 606．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( )A. 3 6B. 6 6C. 3 12D. 12x7．已知函数 f x log( 2 a ) 在( ,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是( )A. 1 a 1B. 0 a 1或1 a 2C. 0 a 1D. 0 a 1或a 28．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值的集合是（）A. 2，3，4，5B. 1，2，3，，4 ，5 6C. 1，2，3，，4 5D. 2，3，4，，5 69．R上的偶函数 f x 满足f x 1 f x 1 ，当0x 1时， 2f x x ，则y f x log x 的零点个数为（）5A. 4B. 8C. 5D. 1010．如图，已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，直线l 过F且依次交抛物线及圆 2 2 1x 1 y 于点A, B, C,D 四点，则AB 4 CD4的最小值为（）A. 172B.152C.132D.11211．已知函数 2 2xf x 4sin x sin 2sin x 0 在区间2 42,2 3上是增函数，且在区间0, 上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）A. 0,1B. 0, 34C. 1,D.1 3,2 412．已知数列{a } 中，a1 =1，且对任意的n*m,n N , 都有a m n a m a n mn, 则201811ai i（）A．20182019B ．20172018C． 2 D ．4036 2019第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分.vv13．已知平面向量 a 2,1 ,b 2,xv vv v，且a 2b a b，则x __________.x y 214．若变量x, y满足{2 x 3y 6 ，且x 2y a 恒成立，则 a 的最大值为______________.x 015．若双曲线2 2x y2 2 1 a 0,b 0a b上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．16．若曲线 2 xC1 : y ax (a0) 与曲线C2 : y e 存在公共切线，则a的取值范围为__________．三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量v v3v va (sin x , 3sin x ,b sinx ,cosx , f x a b .2 2（1）求f x 的最大值及 f x 取最大值时x 的取值集合M ；（2）在△ABC中，a,b,c 是角A,B,C 的对边, 若C2 4M 且c 1，求△ABC的周长的取值范围.18．如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB / /DC ，DAB 90 ，PA 底面ABCD ，且1PA AD DC ，AB 1，M 是PB 的中点。
2018年北京专家高考模拟押题试卷(六)理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 B 10 D 11 A 12 D
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. A【解析】 A {x | x x 2 0} {x | 1 x 2} ，
1 ，故选 B. 2
3 1 4 r 1 4r r r r r 4 4. A【解析】由 ( 2) C4 ( ) (2) C4 ( 2) x ，所以常数项为 x x
3 4 xC4 (2)3 x 1 1 C4 (2)4 x 0 16 ，故选 A.
) cos(
2
U
A {x | x 1，或x 2} ，所
以B
U
A {x | x 1} ，选 A.
2．B【解析】 由 a 1, 2 ， b x,1 ，则 a b 1 x,3 , ，因为 a b 与 b 共线，所 以 1 x 1 3x ，解得 x 3. C【解析】 cos(
11. A 【解析】由题可设每天生产甲种蛋糕 x 个，乙两种蛋糕 y 个，则每天的利润 为
W 20 x 40 y ，
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又 由 题 意 可 知 其 约 束 条 件 是 ：
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400 x 600 y 16000 2 x 3 y 80 400 x 200 y 10800 2 x y 54 150 x 450 y 10500 x 3 y 70 x, y N x, y N
D 0.01,3.112 10, A 3.11;3.122 10, A 3.12; 3.132 10, A 3.13;3.142 10, A 3.14; 3.152 10, A 3.15;3.162 10, A 3.16;3.17 2 10, D 0.001 ,此时输出的 A 值为 3.16 .
黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(六)数学(理科)试卷(解析版)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（六）理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为，故选【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题2. 已知复数的共轭复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数乘除运算化简，求得后得到答案【详解】则则复数的虚部是故选【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题。
3. 设为等比数列的前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果【详解】设等比数列的公比为，解得则故选【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题4. 已知，表示两个不同平面，，表示两条不同直线.对于下列两个命题：①若，，则“”是“”的充分不必要条件；②若，，则“”是“且”的充要条件.判断正确的是（）A. ①，②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①，②都是假命题【解析】解：由α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”⇒“a∥α”，反之，“a∥α”推不出“a∥b”，∴“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，故①是真命题．②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”⇒“α∥β且b∥β”，反之，“α∥β且b∥β”，推不出“α∥β”，∴“α∥β”是“α∥β且b∥β”的充分不必要条件，故②是假命题．故选：B．5. 若的展开式中项的系数为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次项定理可以求出的二项展开式的通项为，令，求得的值，根据求得，利用基本不等式即可求解【详解】的二项展开式的通项为令，解得则，当且仅当时取等号，即的最小值为故选【点睛】本题主要考查的是二次项定理，解题的关键是求出二项展开式的通项为，属于基础题6. 执行如图所示的算法框图，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3<3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8.故选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】A【解析】【分析】作出几何体的直观图进行判断【详解】由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示，故几何体为三棱锥故选【点睛】本题是一道基础图，主要考查了简单空间图形的三视图，作出几何体的直观图即可得到答案8. 已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,所以,选D.9. 已知实数，满足，若的最小值为，则实数的值为（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案【详解】由作出可行域如图：联立，解得联立，解得化为由图可知，当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即综上所述，实数的值为故选【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不能正确的对进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题10. 设函数，给出下列四个命题：①当时，是奇函数；②当，时，方程只有一个实数根；③函数可能是上的偶函数；④方程最多有两个实根.其中正确的命题是（）A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②④【答案】A【解析】【分析】利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果【详解】①当时，函数，则函数是奇函数，故正确②当，时，函数在上是增函数，且值域为，则方程只有一个实数根，故正确③若函数是上的偶函数，则，即，不存在等式在上成立，故错误④当，时，方程有三个实根：，因此，方程最多有两个实根错误综上所述，正确的命题有①②故选【点睛】对于函数的奇偶性和单调性的判断，利用定义法来证明，对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可以利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性，草图确定其中参数的范围。
2018年高三最新 高三高考模拟数学理科卷参考答案答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）数 学（理工农医类）参考答案1～10：C C B C A B A B D A11、{}41216λλλλλ-<<>≠-≠或且且 12、1(,]2-∞- 13、5414、> 15、2(1)(1)2(1)(1)1n n na d q a q q q -⎧+=⎪⎪⎨-⎪≠⎪-⎩（提示：15.[]111(1)(1)k k k kk a a k d q aq k dq ---=+-=+-，又1(1)k kk a aq k d -=+-01d q ∴==或）16.解：（1）2122()sin cos sin cos )333233x x x x x f x ==+1222sin sin()23333x x x π==+ ………3（分） 由)332sin(π+x =0即231()()332x k k k z x k z πππ-+=∈=∈得:即对称中心为31(,()22k k z π-∈ …………6（分）（2）已知b 2=ac2222221cos 2222125cos 10923333952||||sin sin()132923332sin()133a c b a c ac ac ac x ac ac ac x x x x x πππππππππππ+-+--==≥=∴≤<<≤<+≤->-∴<+≤+≤+分即)(x f 的值域为]231,3(+综上所述，]3,0(π∈x ，故)(x f 值域为]231,3(+…12（分）17．解：（1）32,4x x y ξ-≤-≤∴的最大值为6，此时有1,5x y ==或5,1x y ==，故所求的概率为1115511225P C C +==. …………5（分） （2）ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：……………10（分） 1484422140123456252525252525255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……12（分） 18.解：（1）,AC CD BC CD ⊥⊥CD ABC ∴⊥面， 又CD ⊂∴⊥面BCD,面ABC 面BCD ,AB BC ⊥面ABC 面BCD=BC AB AB BD ∴⊥∴⊥面BCD, …………5（分）（2）当AC CD ⊥时，则AB BD ⊥,,AB a BC b CD c === 2B D A b∴其表面积11112222S ab bc =++ 当AC 与CD 不垂直时，则AD CD ⊥，否则由（1）知AB BD ⊥，可得AC CD ⊥（矛盾）.当AD AC ⊥时，AB 与AD 不能垂直，否则AD ⊥面ABC,,BC AD BC CD BC ∴⊥⊥⊥面ACD ，从而BC AC ⊥，与AB BC ⊥矛盾.BD AD ∴⊥，从而可得2222AD a c b =-- …………①由AD AC ⊥得，2222AD c a b =-- …………②根据①、②得：22a c =，从而导致220AD b =-<矛盾.AD CD ∴⊥，从而得到AB AD ⊥当AD CD ⊥时，2222AD a b c =+-当AB AD ⊥时，2222AD b c a =+-,a c AD b ∴==，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，舍去..∴其表面积为11112222S ab bc =++……………12（分）19.解：（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即 …………（3分）（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变. ……（6分） （Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N*， 由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1，而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b由此猜测b 的最大允许值是1. ……………（10分） 下证 当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2),则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2,所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 最大允许值是1.…（13分）20. 解：(1)设双曲线方程为22221x y a b -=，由椭圆22184x y +=求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴ba= 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2213y x -= ……………（5分） (2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。
2018年高考仿真卷理科数学试卷(六)含解析答案
2018高考仿真卷·理科数学(六)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R,集合A={x|y=},集合B={y|y=2x,x∈R},则(∁R A)∩B=()A.{x|x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2}D.{x|x>2}2.已知复数z=cos θ+isin θ,则=()A.cos θ+isin θB.2sin θC.2cos θD.isin 2θ3.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为()A. B. C. D.5.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1,a3,a4成等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,则的值为()A.-2B.-3C.2D.36.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为()7.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于()A.-B.-C.-D.-8.若如下程序框图运行结果为S=41,则图中的判断框①中应填入的是()A.i>6?B.i≤6?C.i>5?D.i≤5?9.2018年“元旦”期间,山西某游乐园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨6时30分有2人进入游乐园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去,到上午11点30分时园内的人数是()A.212-57B.211-47C.210-38D.29-3010.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是()A.[2-,1]B.C.D.[0,+∞)11.函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-f(x)=x·e x,且f(0)=,则的最大值为()A.1B.-C.-1D.0第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a=sin x d x,则二项式的展开式中x-3的系数为.14.已知F1,F2为双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin ∠MF2F1=,则E的离心率为.15.已知实数x,y满足若目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,则实数m的取值范围是.16.在正三棱锥V-ABC内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为2,则正三棱锥的体积最小时,其底面边长为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=.(1)求角C的大小;(2)若c=,求a2+b2的取值范围.18.(本小题满分12分)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:从本市随机抽取了10户家庭,统计了同一个月的用水量,得到右边的茎叶图: (1)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值; (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n 户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大,求出n 的值.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB ,EF ∥BC ,BC=4,EF=2a ,∠EBC=∠FCB=60°,O 为EF 的中点. (1)求证:AO ⊥BE :(2)求二面角F-AE-B 的余弦值; (3)若BE ⊥平面AOC ,求a 的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0),过椭圆的上顶点与右顶点的直线l,与圆x2+y2=相切,且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条相互垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求△OAB面积的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x ln x-x2-x+a(a∈R)在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围;(2)记两个极值点为x1,x2,且x1<x2,已知λ>0,若不等式x1·>e1+λ恒成立,求λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C2:(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)若射线l:θ=α(ρ>0)分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.(1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2;(2)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.参考答案2018高考仿真卷·理科数学(六)1.D解析由题意,得A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},∁R A={x|x<0或x>2},B={y|y>0},则(∁R A)∩B={x|x>2}.2.C解析因z=cos θ+isin θ,所以=2cos θ.3.B解析由a∈M推不出a∈N;由a∈N能推出a∈M,所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件.4.D解析甲乙相邻的排队顺序共有2=48种,其中甲乙相邻,甲丙相邻的排队顺序共有2=12种,所以在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为5.C解析设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d(d≠0),因为a1,a3,a4成等比数列,所以a1a4=,即a1=-4d,所以=2.6.C解析由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形,由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面,且其长度为2,故其正视图为高为2的三角形,且中间有一虚线,故选C.7.C解析由题意,f(3)=f(-2)=-f(2)=-f(-1)=f(1)=f(0)=0,f=-f=-f=f=-,所以f(3)+f=0-=-8.C解析由题意,得i=10,S=1,满足条件,执行循环体,第1次循环,S=11,i=9,满足条件,执行循环体,第2次循环,S=20,i=8,满足条件,执行循环体,第3次循环,S=28,i=7,满足条件,执行循环体,第4次循环,S=35,i=6,满足条件,执行循环体,第5次循环,S=41,i=5,此时i不满足循环条件,退出循环,所以判断框中的条件为i>5.故选C.9.A解析设每个30分钟进去的人数构成数列{a n},则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,…,a n=2n-(n-1).设数列{a n}的前n项和为S n,依题意,只需求S11,所以S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(211-10)=(2+22+23+…+211)-(1+2+…+10)==212-2-55=212-57,故选A.10.B解析圆的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心为(2,2),半径为3,由圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则圆心到直线l:ax+by=0的距离d≤3-2,即,则a2+b2+4ab≤0,若b=0,则a=0,故不成立,故b≠0,则上式可化为1++40,由直线l的斜率k=-,可知上式可化为k2-4k+1≤0,解得2-k≤2+,即k的取值范围为[2-,2+].故选B.11.C解析由f(0)f(1)=(1+1-5)>0,可排除A.由f(1)f(2)=(1+1-5)(2+2-5)>0,可排除B.由f(2)f(3)=(2+2-5)(4+3-5)<0,可知函数f(x)在(2,3)内一定有零点,故选C.12.A解析令F(x)=,则F'(x)==x,则可设F(x)=x2+c,c为常数,所以f(x)=e x f(0)=,∴c=f(x)=e x当x≤0时,0;当x>0时,1,当且仅当x=1时等号成立.所以的最大值为1,故选A.13.-160解析由题意,得a=-(cos π-cos 0)=2,所以二项式为,其展开式的通项为T r+1=,所以r=3,展开式中x-3的系数为(-2)3=-160.14解析因为MF1垂直于x轴,所以|MF1|=,|MF2|=2a+因为sin∠MF2F1=,所以,化简得b=a,故双曲线的离心率e=15.[-1,2]解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示.由目标函数z=-mx+y,得y=mx+z,所以直线的纵截距最大时,z最大,直线的纵截距最小时,z最小.∵目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,∴当目标函数经过点A(2,10)时,取得最大值,当经过点B(2,-2)时,取得最小值,∴目标函数z=-mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大,比2x-y+6=0的斜率小,即-1≤m≤2.16.6解析设△ABC的中心为O,取AB中点D,连接OD,VD,VO,设OD=a,VO=h,则VD=AB=2AD=2a.过O作OE⊥VD,则OE=2,∴S△VOD=OD·VO=VD·OE,∴ah=2,整理得a=(h>2).∴V(h)=S△ABC·h=(2)2a2h=a2h=∴V'(h)=4=4令V'(h)=0,得h2-12=0,解得h=2当2<h<2时,V'(h)<0,当h>2时,V'(h)>0,∴当h=2,即a=,也就是AB=a=6时,V(h)取得最小值.17.解 (1)因为tan C=,即,所以sin C cos A+sin C cos B=cos C sin A+cos C sin B,即sin C cos A-cos C sin A=cos C sin B-sin C cos B,得sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C[或C-A=π-(B-C)舍去],即2C=A+B,又A+B+C=π,故C=(2)由C=,可设A=+α,B=-α,0<A,B<,知-<α<又2R==2,a=2R sin A=2sin A,b=2R sin B=2sin B,故a2+b2=4(sin2A+sin2B)=4=4-2=4+2cos 2α.由-<α<,知-<2α<,则-<cos 2α≤1,故3<a2+b2≤6.所以a2+b2的取值范围是(3,6].18.解 (1)由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户,二阶的有6户,三阶的有2户.第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=所以X的分布列为所以E(X)=0+1+2+3(2)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数,依题意得Y~B,所以P(Y=k)=,其中k=0,1,2,…,10,设t=,若t>1,则k<6.6,P(Y=k-1)<P(Y=k);若t<1,则k>6.6,P(Y=k-1)>P(Y=k).所以当k=6或7时,P(Y=k)可能最大.因为>1,所以n的取值为6.19.(1)证明由△AEF为等边三角形,O为EF的中点,可得AO⊥EF.因为平面AEF⊥平面EFCB,且平面AEF∩平面EFCB=EF,所以AO⊥平面EFCB.又BE⊂平面EFCB,所以AO⊥BE.(2)解取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,易知A(0,0,a),E(a,0,0),B(2,2a,0),则=(a,0,-a),=(2-a,2a,0),由平面AEF与y轴垂直,可设平面AEF的法向量为n1=(0,1,0).设平面AEB的法向量n2=(x,y,1),由n2,可得ax-a=0,解得x=;由n2,可得(2-a)x+(2a)y=0,解得y=-1,所以n2=(,-1,1).所以cos<n1,n2>==-,由二面角F-AE-B为钝二面角,所以二面角F-AE-B的余弦值为-(3)解由(1)知AO⊥平面EFCB,则AO⊥BE,若BE⊥平面AOC,只需BE⊥OC,=(2-a,2a,0),又=(-2,2a,0),=-2(2-a)+(2a)2=0,解得a=2或a=,由题意易知a<2,所以a=20.解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线l为=1,直线与x2+y2=相切,满足,且a2-b2=1,整理可得7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2=(舍去),故b2=3,所求的椭圆C的方程为=1.(2)①当两线分别与坐标轴重合时,S△OAB=2②当两线不与坐标轴重合时,由于OA⊥OB,设直线OA为y=kx,则直线OB为y=-x,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA的方程为y=kx,与椭圆=1联立消去y,得,用-代换k得,,S2=|OA|2·|OB|2=)·()===,当且仅当k=±1时取等号,又,综合①②可得三角形的最小面积为S△OAB=21.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).由题意知,方程f'(x)=0在(0,+∞)内有两个不同根,即方程ln x-ax=0在(0,+∞)内有两个不同根.转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,如图.可见,若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k,只需0<a<k.令切点A(x0,ln x0),故k=y',又k=,故,解得x0=e,故k=,故0<a<(2)因为e1+λ<x1等价于1+λ<ln x1+λln x2.由(1)可知x1,x2分别是方程ln x-ax=0的两个根,即ln x1=ax1,ln x2=ax2,所以原式等价于1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),因为λ>0,0<x1<x2,所以原式等价于a>又由ln x1=ax1,ln x2=ax2作差得,ln=a(x1-x2),即a=所以原式等价于,因为0<x1<x2,原式恒成立,即ln恒成立.令t=,t∈(0,1),则不等式ln t<在t∈(0,1)上恒成立.令h(t)=ln t-,又h'(t)=,当λ2≥1时,可见t∈(0,1)时,h'(t)>0,所以h(t)在t∈(0,1)上单调递增,又h(1)=0,所以h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合题意.当λ2<1时,可见t∈(0,λ2)时,h'(t)>0,t∈(λ2,1)时,h'(t)<0,所以h(t)在t∈(0,λ2)时单调递增,在t∈(λ2,1)时单调递减,又h(1)=0,所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e1+λ<x1恒成立,只需λ2≥1,又λ>0,所以λ≥1.22.解 (1)C1:ρ(cos θ+sin θ)=4,C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以ρ=2cos θ.(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),-<α<,则ρ1=,ρ2=2cos α,2cos α(cos α+sin α)=(cos 2α+sin 2α+1)=,当α=时,取得最大值+1).23.证明 (1)∵|x1-2|<1,∴-1<x1-2<1,即1<x1<3,同理1<x2<3,∴2<x1+x2<6.∵|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,∴|x1-x2|<2.(2)|f(x1)-f(x2)|=|-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2-1<5,∴|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.。
2018年理科数学高考模拟试卷
高考模拟数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}252140A x x x =-+-<，{}36B x Z x =∈-<<，则()U C A B I 的元素的个数为（ ） A.3B.4C.5D.62.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知() 12az bi a b R i=+∈-，为“理想复数”，则（ ） A.350a b +=B.350a b -=C.50a b +=D.50a b -=3.已知角α的终边经过点(3 m m ，，若73πα=，则m 的值为（ ） A.27B.127C.9D.194.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()()2log f x a x x =++-，其中()4 5a ∈-，，则()40f >的概率为（ ）A.13B.49C.59D.235.若直线22py x =+与抛物线()220x py p =>相交于 A B ，两点，则AB 等于（ ） A.5pB.10pC.11pD.12p6.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦现有周长为225ABC △满足))sin :sin :sin 21521A B C =，试用以上给出的公式求得ABC △的面积为（ ） 33 5 5 7.某程序框图如图所示，其中t Z ∈，该程序运行后输出的2k =，则t 的最大值为（ ）A.11B.2057C.2058D.20598.已知函数()sin432sin23xf xxππ⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭的图象与()g x的图象关于直线12xπ=对称，则()g x的图象的一个对称中心可以为（）A. 06π⎛⎫⎪⎝⎭， B. 03π⎛⎫⎪⎝⎭， C. 04π⎛⎫⎪⎝⎭， D. 02π⎛⎫⎪⎝⎭，9.设0a>，若关于x y，的不等式组202020ax yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y-+=存在公共点，则2z x y=+的最大值的取值范围为（）A.[]8 10， B.()6 +∞， C.(]6 8， D.[)8 +∞，10.过双曲线()2222:10 0x yC a ba b-=>>，的右焦点F作x轴的垂直，交双曲线C于M N，两点.A为左顶点，设MANθ∠=，双曲线C的离心率为()fθ，则233f fππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A.23B.3C.3D.611.某几何体的三视图如图所示，已知三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（）A.203πB.12πC.443πD.16π12.若函数()()12ln x f x a x e x x=-++在()0 2，上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.21 4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，B.()21 1 4e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U ，，C.1 e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D.2111 4e e e ⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在()()54123x x ---的展开式中，常数项为 ．14.某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为$1.3y x a =+.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 年．15.设向量 a b r r ，满足3a b +=r r ，2a b -=r r，则aa b⋅r r r 的取值范围为 ． 16.在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，120BAD ∠=︒，点E 为棱PB 的中点，点F 在棱AD 上，平面CEF 与PA 交于点K ，且3PA AB ==，2AF =，则点K 到平面PBD 的距离为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且233 5a a ==，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率0p ，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X ，求X 的数学期望；（3）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.40.398=-） 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB △为正三角形，AB AD ⊥，CD AD ⊥，点E ，M 分别为线段BC 、AD 的中点，F 、G 分别为线段PA 、AE 上一点，且2AB AD ==，2PF FA =.（1）确定点G 的位置，使得FG ∥平面PCD ；（2）试问：直线CD 上是否存在一点Q ，使得平面PAB 与平面PMQ 所成锐二面角的大小为30︒，若存在，求DQ 的长；若不存在，请说明理由.20.已知焦距为2的椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>的左、右顶点分别为12 A A ，，上、下顶点分别为12 B B ，.点()00 M x y ，为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线1212 MA MA MB MB ，，，的斜率之积为14.（1）求椭圆W 的标准方程；（2）如图所示，点 A D ，是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD AB ⊥，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证： B C D ，，三点共线.21.已知函数221284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，()()22112cos 2g x x mx a x x x m =-++++-.（1）若曲线()y f x =仅在两个不同的点()()11 A x f x ，，()()22 B x f x ，处的切线都经过点()2 t ，，求证：38t m =-，或2212273t m m m =-+-； （2）当[]0 1x ∈，时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为23815y x x =+-+-（1）写出曲线C 的一个参数方程；（2）在曲线C 上取一点P ，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A B ，，求矩形OAPB 的周长的取值范围.23.已知函数()252f x x x x =+--+. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()f x m ≤的整数解仅有11个，求m 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1.C ∵()(){}()14150 5 4A x x x ⎛⎫=--<=-∞+∞ ⎪⎝⎭U ，，，∴1 54R C A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，∴(){}1 2 3 4 5R C A B =I ，，，，. 2.A ∵()12212555a i a a a z bi bi b i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪-⎝⎭，∴2055a a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴350a b +=. 3.B∵1113267tan 3m m π--===，16m -=，∴6127m -==，∴127m =. 4.D ∵()244log 42f a a -=-+=-，∴()()44202f f a a =--=->⇒<，故由几何概型可知所求概率为()()242543--=--. 5.B 联立22py x =+与22x py =得2240x px p --=，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则124x x p +=，∴12249y y p p p +=⨯+=，又直线22py x =+过抛物线的焦点，∴1210AB y y p p =++=. 6.A因为))sin :sin :sin 11A B C =，所以由正弦定理得))::11a b c =+，又a b c ++=所以1a =，b =1c =，则211ac =-=，222651c a b +-=-=，故S ==.7.C 10k =，1S =，8k =；3S =，6k =；11S =，4k =，2059S =，2k =，由于输出的2k =，故计算结束，所以t 的最大值为2058.8.C ∵()sin 4sin 4332sin 2 662sin 2cos 2626x x k f x x x k Z x x ππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+≠+∈ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴()2sin 22cos 2 6662k g x f x x x x k Z ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=≠-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，的图象的一个对称中心为 04π⎛⎫⎪⎝⎭，.9.D 作出不等式组大致表示的可行域，当直线20ax y-+=经过点()2 3，时，12a=，数形结合可得12a≥，当直线2z x y=+经过点()2 22A a+，时，z取得最大值46a+，∵12a≥，∴8z≥.10.A ∵22bMNa=，AF c a=+，∴()()22212tan12MN b c a c aeAF a c a a c a aθ--=====-++，∴()tan12e fθθ==+，∴232331133f fππ⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.B 由三视图可知，该几何体由半径为2的球的34及两个14圆柱组成，它的直观图如图所示，故其体积32341222212434Vπππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.D ()()()2211'11x xxf x a x e x aex x-⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，令()'0f x=，得1x=或21xax e=-，设()21xg xx e=-，则()()()2222'xxe x xg xx e+=，当0x>时，()'0g x>，∴()g x在()0 2，上递增，当0x→时，()g x∞→-，又()2124ge=-，∴()214g xe⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，，∴214ae<-，又()1a g≠，∴1ae≠-，∴21114ae e e⎛⎫⎛⎫∈-∞---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U，，.二、填空题13.27-，因为()523x -的展开式中4x 的系数为()3353270C -=-，所以()()54123x x ---的展开式中常数项为()5270327024327---=-+=-.14.9，∵ 4 5x y ==，，∴$5 1.34a =⨯+，∴$0.2a=-，∴$ 1.30.2y x =-，由$12y ≤得5913x ≤. 15.2 25⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∵224945a b a b a b +--=⋅=-=r r r r r r ，∴54a b ⋅=r r .∵[][]23 2 32 1 5a a b a b =++-∈-+=r r r r r ，，，∴15 22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦r ，，∴2 25a a b ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦r r r ，. 16.95，延长CF 交BA 的延长线于点Q ，连接QE 交PA 于点K ，设QA x =，由AD BC ∥得QBC QAF △∽△，则233x x =+，∴6x =，取AB 的中点M ，则PA EM ∥，∴QAK QME △∽△，则323662AK =+，∴65AK =，∴633535PK PA -==，设BD AC O =I ，连接PO ，过A 作AH PO ⊥于H ，易证AH ⊥平面PBD ，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，3AB =，则32AO =，故2233352332AH ⨯==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴点K 到平面PBD 的距离为3955AH =.三、解答题17.解：（1）∵32132S S -=， ∵11353132a a +++-=，∴11a =， ()111nS n n n=+-⨯=，∴2n S n =，∴()1212n n n a S S n n -=-=-≥，∵11a =，∴21n a n =-. （2）∵()213n n b n =-⋅，∴()21333213n n T n =⨯+⨯++-⋅…， ∴()23131333213n n T n +=⨯+⨯++-⋅…，∴()()231332333213n n n n T T n +-=+⨯+++--⋅…，即()()()2111133323221336123223613n n n n n n T n n n ++++-⨯-=+⨯--⋅=-+-⋅=-⋅--，故()1133n n T n +=-⋅+.18.解：（1）这8周总命中炮数为4045464947495352381+++++++=， 总未命中炮数为3234303235333028254+++++++＝， ∴03810.6381254p ==+.∵52532830>，∴根据表中数据易知第8周的命中频率最高. （2）由题意可知()3 0.6X B ～，， 则X 的数学期望为()30.6 1.8E X =⨯=.（3）由()0110.99np -->即10.40.99n ->得0.40.01n <， ∴0.4lg0.0122log 0.01 5.025lg0.4lg0.40.398n >==-=≈， 故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99. 19.解：（1）G 为线段AE 的靠近E 的三等分点.在线段AD 上取一点N ，使得2DN AN =，因为2PF FA =，∴FN PD ∥， 因为M 为AD 中点，∴23AN AM =， 当G 为线段AE 靠近E 的三等分点时，即23AG AE =，NG AE ∥，又易知ME CD ∥，∴NG CD ∥.又FN NG N =I ，所以平面FNG ∥平面PCD ，因为FG ⊂平面FNG ，所以FG ∥平面PCD .（2）取AB中点O，连接PO，因为PAB△为正三角形，所以PO AB⊥，又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，以OA为x轴，AB的中垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则(0 0 3P，，，()1 1 0M，，，设()2 0Q t，，，则(1 1 3PM=u u u u r，，，( 2 3PQ t=u u u r，，，设平面PMQ的法向量为()n x y z=r，，，则0PM n PQ n⋅=⋅=u u u u r r u u u r r，即3230x y z tx y z+=+=，令3x=PMQ的一个法向量为))3 31 2n t t=--r，，.易得平面PAB的一个法向量为()0 1 0m=u r，，，所以()()22313cos cos303312tm nt t-<>==︒=+-+-u r r，，解得3t=，故存在点Q，且312DQ=-=.20.解：（1）由题可得22c=，∴1c=，∴221a b-=，∵点()00M x y，为椭圆W上不在坐标轴上任意一点，∴2200221x ya b+=，∴()2222002by a xa=-，()2222002ax b yb=-，∴1212222000000222000000MA MA MB MBy y y b y b y y bk k k kx a x a x x x a x-+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+--()()222222202022222200214b a x y b b a a x a a b y b -⎛⎫-=⋅== ⎪-⎝⎭-，∴222a b =. 又221a b -=，∴22a =，21b =，故椭圆W 的标准方程为2212x y +=.（2）证明：设()11 A x y ，，()22 D x y ，，则()11 B x y --，，()1 0C x ，， ∵A ，D 都在M 上，∴221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， ∴()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=，即()121212122y y x xx x y y -+=--+，又AB AD ⊥，∴1AB AD k k ⋅=-， 即1121121y y y x x x -⋅=--，∴()11211212y x xx y y +⋅=+， ∴()1211122y y y x x x +=+，又1211212121121202BD BC y y y y y y y k k x x x x x x x +++-=-=-=+++，∴BD BC k k =，∴ B C D ，，三点共线.21.（1）证明：∵321284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴()32f x x mx m =-+-，∴()2'32f x x mx =-+，则曲线()y f x =在 A B ，两点处的切线的方程分别为：()()()3221111132y x mx m x mx x x --+-=-+-， ()()()3222222232y x mx m x mx x x --+-=-+-.将()2 t ，代入两条切线方程，得 ()()()32211111322t x mx m x mx x --+-=-+-， ()()()32222222322t x mx m x mx x --+-=-+-.由题可得方程()()()322322t x mx m x mx x --+-=-+-即()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的两个实根.设()()32264h x x m x mx m =-++-，()()()()2'6264232h x x m x m x m x =-++=--.①当6m =时，()()2'620h x x =-≥，∴()h x 单调递增，显然不成立. ②当6m ≠时，()'0h x =，解得2x =或3m x =. ∴()h x 的极值分别为()238h m =-，32123273m h m m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.要使得关于x 的方程()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的实根， 则38t m =-或3212273t m m m =-+-. （2）解：()()()312cos 2x f x g x a x x x -=-+--212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，设()22cos 2x G x x =+，则()'2sin G x x x =-，记()2sin H x x x =-，则()'12cos H x x =-，当[]0 1x ∈，时，()'0H x <，于是()'G x 在[]0 1，上是减函数， 从而当[]0 1x ∈，时，()()''00G x G ≤=，故()G x 在[]0 1，上是减函数， 于是()()02G x G ≤=，从而()13a G x a ++≤+，所以当30a +≤时，()()0f x g x -≥. 所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[]0 1，上恒成立， 因此，a 的取值范围是(] 3-∞-，.22.解：（1）由3y =()()()223143y x y -=--≥，即()()()224313x y y -+-=≥，故曲线C 的一个参数方程为4cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，且[]0 θπ∈，）. （2）由（1）可知点P 的坐标为()4cos 3sin θθ++，，[]0 θπ∈，，则矩形OAPB 的周长为()24cos 3sin 144C πθθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，∵[]0 θπ∈，，∴5 444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14πθ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，，∴12 C ⎡∈⎣，.23.解：（1）()2223 02 3 057 5x x f x x x x x x ⎧-≤⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，由不等式()0f x <，得2300x x ⎧-<⎨≤⎩或223005x x x ⎧+-<⎨<<⎩或2705x x ⎧+<⎨≥⎩，即0x ≤或01x <<或x ∈∅， 故不等式()0f x <的解集为()1，.（2）由（1）知()22222 3 3 02 3 012 3 157 5x x x x f x x x x x x x x x ⎧-≤⎪-<≤⎪⎪=--+<<⎨⎪+-≤<⎪⎪+≥⎩，，，，，，当()532m f ==时，不等式()f x m ≤的整数解为5-，4-，…，4，5共有11个， 当33m =时，不等式()f x m ≤的整数解为6-，5-，…，4，5共有12个，故[)32 33m ∈，.。
2018届普通高校招生全国统一考试仿真模拟全国卷(六)数学(理)试题含答案
2018年普通高校招生全国统一考试仿真模拟·全国卷（六）数学（理科）一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1．若集合A ＝{x |x 2-2x ＜0}，B ＝{x ||x |＜2}，则 A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∩B ＝A C ．A ∪B ＝A D ．A ∪B ＝R 2．若复数z 满足1i (1i)2z =+，则z 的虚部是 A ．1i 2- B ．1i 2C ．12- D ．123．已知函数2()tan 1xx a f x b x x a =+++（a ＞0，且a ≠1），若f (1)＝3，则f (-1)等于A ．-3B ．-1C ．0D ．3 4．若3π3sin 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin 2α＝ A ．2425-B ．1225C ．2425D ．1225- 5．已知平面α⊥平面β，直线m ，n 均不在平面α，β内，且m ⊥n ，则 A ．若m ⊥β，则n ∥β B ．若n ∥β，则m ⊥β C ．若m ⊥β，则n ⊥α D ．若n ⊥α，则m ⊥β6．函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x +1)|的图象大致是7．在区间[-3，3]内随机取出一个数a ，使得1∈{x |2x 2+ax -a 2＞0}的概率为 A ．310 B ．23 C ．35D ．12 8．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是A ．15B ．29C ．31D ．639．已知点A ，F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右顶点，右焦点，B 1(0，b )，B 2(0，-b )，若B 1F ⊥B 2A ，则该双曲线的离心率为 A．1 BC1 D1 10．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人．为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，从本校学生中抽取100人，且从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，直线ax +by +8＝0与以点A (1，-1)为圆心的圆交于B ，C 两点，若∠BAC ＝120°，则圆A 的方程为A ．(x -1)2+(y +1)2＝1B ．(x -1)2+(y +1)2＝2C ．2218(1)(1)17x y -++=D ．2212(1)(1)15x y -++= 11．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为边BC 上的高，O 为AD 的中点，()AO AB BC λμλμ=+∈R ，，则λ+μ＝A ．23B ．12C ．43D ．112．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，若方程f (x )＝-1在(0，π)上有且仅有四个不相等实数根，则实数ω的取值范围为 A ．13762⎛⎤⎥⎝⎦， B ．72526⎛⎤ ⎥⎝⎦， C ．72526⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．113726⎛⎤⎥⎝⎦， 二、填空题：13．已知实数x ，y 满足不等式组42.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，，若z ＝x +2y 有最大值8，则实数k 的值为_______．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若3πsin 24B ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且a +c ＝2，则△ABC 周长的取值范围是_______．15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是_______．16．已知正四面体ABCD 的四个顶点都在球心为O 的球面上，点P 为棱BC的中点，BC =，过点P 作球O 的截面，则截面面积的最小值为_______．三、解答题：第17题～第21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1+a 2+a 3＝21，a 1，a 6，a 21成等比数列． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足111n n n a b b +-=，且113b =，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，∠A 1AC ＝60°，AC ＝2AA 1＝4，点D ，E 分别是AA 1，BC 的中点．（1）证明：DE ∥平面A 1B 1C ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝60°，求直线DE 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值．19．某理财公司有两种理财产品A 和B ，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）： 产品A产品B注：p ＞0，q ＞0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A 和产品B 投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于35，求实数p 的取值范围；（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？20．如图，直线l ：y ＝kx +1(k ＞0)关于直线y ＝x +1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆22:14x E y =+=分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1．（1）求k ·k 1的值；（2）当k 变化时，直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．已知函数f (x )＝ln x -kx +k ．（1）若存在唯一实数x ∈(0，+∞)使f (x )≥0成立，求实数k 的值； （2）证明：当a ≤1时，x [f (x)+kx -k]＜e x -ax 2-1． 注：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，32e 4.48≈，e 2≈7.39（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3x y θθ⎧⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数）．（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且||AB =l 的斜率． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x +1-2a |+|x -a 2|，224()24(1)g x x x x =--+-． （1）求不等式f (2a 2-1)＞4|a -1|的解集；（2）若存在实数x ，y 使f (x )+g (y )≤0成立，求实数a 的取值范围．2018年普通高校招生全国统一考试仿真模拟·全国卷数学理科（六）参考答案13．-4 14．[3，4) 15．乙 16．18π17．解：（1）设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则121113321(20)(5)a d a a d a d +=⎧⎨+=+⎩，，解得152.a d =⎧⎨=⎩，∴a n ＝2n +3． （2）由111n n n a b b +-=，得1111(2*)n n n a n n b b -+-=≥∈N ，． 当n ≥2时，11221111111111n n n n n b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (121111)(1)(26)3(2)2n n a a a n n n n b --=++++=-++=+…． 又对113b =上式也成立， ∴1(2)nn n b =+． ∴1111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴111111123242n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 213113522124(1)(2)n n n n n n +⎛⎫=--=⎪++++⎝⎭． 18．证明：（1）取AC 的中点F ，分别连接DF ，EF ． 又∵E 是BC 的中点，∴EF ∥AB ． 据三棱柱ABC -A 1B 1C 1性质知，AB ∥A 1B 1．∴EF ∥A 1B 1，又∵EF ⊄平面A 1B 1C 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，∴EF ∥平面A 1B 1C ．∵D 是AA 1的中点，F 是AC 中点，∴DF ∥A 1C ．又∵DF ⊄平面A 1B 1C 1，A 1C ⊂平面A 1B 1C ，∴DF ∥平面A 1B 1C ．又∵DF ∩EF ＝F ，DF ，EF ⊂平面DEF ． ∴平面DEF ∥平面A 1B 1C ．又∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面A 1B 1C ．解：（2）过点A 1作A 1O ⊥AC ，垂足为O ，连接OB ． ∵平面ACC 1A ⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥平面ABC ． ∴A 1O ⊥OB ，A 1O ⊥OC ．∵∠A 1AC ＝60°，AA 1＝2，∴OA ＝1，1OA =∵AB ＝2，∠OAB ＝60°，由余弦定理得，OB 2＝OA 2+AB 2-2OA ·AB cos ∠BAC ＝3，∴OB =OA 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴OB ⊥AC ．分别以OB ，OC ，OA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则 A (0，-1，0)，C (0，3，0)，0)B ，，1(0A，102D ⎛- ⎝⎭，，302E ⎫⎪⎝⎭，，． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABB 1A 1的一个法向量， 则100AB AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m∴111100.y y +=+=⎪⎩，令z 1＝1，∴(1=m ．∵32DE ⎛=⎝⎭，，∴2cos ||||DE DE DE ⋅-〈〉==，m m m ∴直线DE 与平面ABB 1A 1 19．解：（1）记事件A 为“甲选择产品A 且盈利”，事件B 为“乙选择产品B 且盈利”，事件C 为“一年后甲，乙两人中至少有一人投资获利”，则2()3P A =，()1P B p =-． 所以2123()1()1(1)3335p P C P AB p =-=--=+>，解得25p >． 又因为113p q ++=，q ＞0，所以23p <．所以2253p <<．（2）假设丙选择产品A 进行投资，且记X 为获利金额（单位：万元），则随机变量X 的分布列为则111()40(2)1326E X =⨯+⨯+-⨯=．假设丙选择产品B 进行投资，且记Y 为获利金额（单位：万元），则随机变量Y 的分布列为则1222()20(1)22303333E Y p q p q p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-=--=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 讨论：当59p =时，E (X )＝E (Y )，选择产品A 和产品B 一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A 和产品B 中任选一个；当509p <<时，E (X )＞E (Y )，选择产品A 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A ； 当5293p <<时，E (X )＜E (Y )，选择产品B 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B ． 20．解：（1）设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x +1的对称点为P 0(x 0，y 0)． 直线l 与直线l 1的交点为(0，1)． ∵l ：y ＝kx +1，l 1：y ＝k 1x +1， ∴1y k x-=，0101y k x -=．据题意，得00122y y x x ++=+，∴y +y 0＝x +x 0+2． ① 由1y y x x -=--，得y -y 0＝x 0-x ． ② 由①②，得0011.y y x =+⎧⎨=+⎩，∴0000100()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===．（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2+1)x 2+8kx ＝0． ∴12841k x k -=+，∴2121441k y k -=+．同理有1221841k x k -=+，212211441k y k -=+．又∵k ·k 1＝1， ∴2242221221222144881414888(33)3414MNk k y y k k k k k k k x x k k k k k -----+++====------++． ∴MN ：y -y 1＝k MN (x -x 1)．∴2222141841341k k k y x k k k -+-⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭． 即22222218(1)141533(41)4133k k k k y x x k k k k ++-+=--+=--++． ∴当k 变化时，直线MN 恒过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 21．解：（1）函数f (x )＝ln x -kx +k 的定义域为(0，+∞)．要存在唯一实数x ∈(0，+∞)，使f (x )≥0成立，只需满足f (x )max ＝0，且f (x )max ＝0的解唯一． 1()kxf x x-'=． 讨论：①当k ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，+∞)上单调递增，且f (1)＝0， 所以f (x )≥0的解集为[1，+∞)，不符合题意；②当k ＞0，且10x k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当1x k⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )有唯一的一个最大值为1f k⎛⎫⎪⎝⎭． 令1()ln 1(0)g k f k k k k⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，则g (1)＝0，1()k g k k-'=． 当0＜k ＜1时，g ′(x )＜0，故g (k )单调递减；当k ＞1时，故g (k )单调递增，所以g (k )≥g (1)，即g (k )≥0，故令1ln 10f k k k⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得k ＝1， 此时f (x )有唯一的一个最大值为f (1)，且f (1)＝0，故f (x )≥0的解集是{1}，符合题意． 综上，k ＝1．证明：（2）要证当a ≤1时，x [f (x )+kx -k ]＜e x -ax 2-1， 即证当a ≤1时，e x -ax 2-x ln x -1＞0， 即证e x -x 2-x ln x -1＞0．由（1）得，当k ＝1时，f (x )≤0，即ln x ≤x -1．又x ＞0，从而x ln x ≤x (x -1)． 故只需证e x -2x 2+x -1＞0，当x ＞0时成立． 令h (x )＝e x -2x 2+x -1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x -4x +1．令F (x )＝h ′(x )，则F ′(x )＝e x -4，令F ′(x )＝0，得x ＝2ln 2．因为F ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，2ln 2]时，F ′(x )≤0，F (x )≤0，F (x )单调递减，即h ′(x )单调递减，当x ∈(2ln 2，+∞)时，F ′(x )＞0，F ′(x )单调递增，即h ′(x )单调递增，且h ′(ln 4)＝5-8ln 2＜0，h ′(0)＝2＞0，h ′(2)＝e 2-8+1＞0．由零点存在定理，可知∃x 1∈(0，2ln 2)，∃x 2∈(2ln 2，2)，使得h ′(x 1)＝h ′(x 2)＝0成立．故当0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增；当x 1＜x ＜x 2时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，所以h (x )的最小值是h (0)＝0或h (x 2)． 由h ′(x 2)＝0，得22e 41x x =-，所以2222222222()e 21252(2)(21)x h x x x x x x x =-+-=-+-=---．因为x 2∈(2ln 2，2)，所以h (x 2)＞0． 故当x ＞0时，所以h (x )＞0，原不等式成立．22．解：（1）由3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，得x 2+(y -3)2＝5，即x 2+y 2-6y +4＝0． ∴直线C 的极坐标方程为ρ2-6ρsin θ+4＝0． （2）直线cos sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩，：（t 为参数）的普通方程为x tan α-y ＝0．据题意，得225⎛⎫+=⎝⎭，∴tan α= ∴直线l的斜率为．23．解：（1）∵f (2a 2-1)＞4|a -1|，∴|2a 2-2a |+|a 2-1|＞4|a -1|，∴|a -1|(2|a |+|a +1|-4)＞0，∴|2a |+|a +1|＞4且a ≠1．讨论：①若a ≤-1，则-2a -a -1＞4，∴53a <-；②若-1＜a ＜0，则-2a +a +1≥4，∴a ＜-3，此时a 无解； ③若a ≥0且a ≠1，则2a +a +1＞4，∴a ＞1．综上，所求实数a 的取值范围是5(1)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，．（2）∵224()(1)55(1)g x x x =-+-≥-∴g (x )≥-1，当且仅当1x =1x =g (x )min ＝-1．又存在实数x ，y 使f (x )+g (y )≤0成立，∴只需使f (x )min ≤1．又f (x )＝|x +1-2a |+|x -a 2|≥|(x +1-2a )-(x -a 2)|，∴(a -1)2≤1，∴0≤a ≤2．即所求实数a 的取值范围是[0，2]．。
2018年高考数学(理科)模拟试卷及答案
注意事项: 201年高三数学试卷1 •本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分2•本试卷分试题卷和答题卷，第I卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第I卷第I卷（选择题共60 分）选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1 .已知集合A—>1 \ , B = {x(x +2)( x —1)>0}L x J则A n B等于()A . (0 ,2)B .(1, 2)C . (—2,2)D .(, _2 ) U(0要求的.2. 设(1 • 2i)x =x yi，其中x, y是实数，则上+i =()xA. 1B. ■. 2C. 、3 D . ■,53. 下面框图的S的输出值为 ()A. 5B. 6C. 8D. 134.已知随机变量X服从正态分布 2N (2,二)且P (x _ 4) = 0.8 8 ，贝U P (0 ：：: x ：：: 4)=(A . 0.8 8B . 0.7 6C . 0.2 4D . 0.1 25 .在各项不为零的等差数列"n f中，2日2017 - a：018 ■ 2日2019 = 0，数列｛b n｝是等比数列，且b2 0 18 = a 20 1 8，贝U lO g2 ( b2 01 7b2 01 9 )的值为( )C. 4D. 86.下列命题正确的个数是（）（1）函数y = cos' ax _sin ' ax的最小正周期为二"的充分不必要条件是 a = 11（2）设a三｛4! ,3- ，则使函数y =x°的定义域为R且为奇函数的所有a的值为_1,1, 3 .2A. 1 B . 2 C . 3 D . 04•屮 4 47.已知向量 a =（x2,x - 2）, b =（—3 -1）, c =（1,巧）, 若a // b，则a与c夹角为（）A n r 71- 2兀 5 二A.— B .— C .- D .-6336（3）已知函数f （x）=2x • a In x在定义域上为增函数，则 a _ 0 .&如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的■ TT rr r rr rT T n m"rr r r T -T nT T 1 一L厂厂ITTT r i inr rrr FT THT T 1-1r r i-i-LL各条棱中最长的棱长为A. 2 , 5B. 4 2C. 6D. 4 -. 329.若关于x的不等式（a a - 6） x ::: sin a无解，则a = （）A.「3B. -2C.2D. 3210.若A 1,2 ,B x1,y1,C x2, y2是抛物线y =4x上不同的点，且AB _ BC，则y?的取值范围是（）B . （-：：,- 6 ]_.（ 8, +：：）D . （-：：,- 5] _. [ 10, +：：）|2 x 亠y ：：： 411.已知动点P（x,y）满足：x 一°，则x2• y2+4y的最小值为（）2x■ 3y_2C. -1■ Xe12. 已知函数f (x) = e，x一0，( e为自然对数的底数)，则函数y = f (f (x)) 一f(X)2x +5x 亠4, x ::: 0.的零点的个数为()A . 2B . 3 C. 4 D . 5第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.1 1 313. ____________________________________________ (x • )(2x_ )的展开式中的常数项为.x x14 .已知F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF 1交y 轴于点C,若AC丄BF1,则双曲线的离心率为______________ .15.已知矩形ABCD 的两边长分别为AB =3 , BC =4, O是对角线BD的中点,囹15題E是AD边上一点，沿BE将.■:ABE折起，使得A点在平面BDC上的投影恰为O (如右图所示)，则此时三棱锥A —BCD的外接球的表面积是_________________ .sin A 1 —b cos A16.在.'ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c , b ,a =2sin C cos B1则有如下结论：(1) c =1 ; ( 2) S -ABC的最大值为;4(3)当S .，ABC取最大值时,则上述说法正确的结论的序号为____________三、解答题：共70分。
2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品
x2
5． 已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为 （
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分） 设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列， 且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都 不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。
2018年高考数学(理) 押题卷及详解答案
2018年高考数学 预测卷及详解答案理科数学本试题卷共19页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合AB ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设复数i z a b=+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =如果球的半径为13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61【答案】D【解析】根据公式d =23=，解得16V =．故选D ．4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】根据题意可得，()π17ππ1πsin cos sin sin 326323f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πsin 23x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3ππ3sin 2634ω⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2636k ωπππ⎛⎫-+=+π ⎪⎝⎭或52,6k k π+π∈Z ，解得121k ω=-+或123k -+，又0ω>，显然min 1ω=．故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2aB 2C ．26a D ．2【答案】D【解析】如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为，因此此几何体的表面积)2214sin 602S =⨯⨯︒=．故选D ．6．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ） A ．328B ．128C ．37D ．1328【答案】D【解析】根据题意可得1126222288C C C 13C C 28P =+=．故选D ． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=（ ）A ．－2B ．12-C ．0D 【答案】A【解析】以B 为原点，BC 为x 轴，AB 为y 轴建系如图，∵AB =，BC ＝2，∴(A ，()0,0B ，()2,0C ，D∵点E 为AB 的中点，∴E ⎛ ⎝⎭，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，设向量CD 与向量BC 的夹角为θ，所以1cos 2CD θ=-，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △DFC中，()cos πFC CD-θ=，所以12CF =，所以32D ⎛ ⎝，所以CE ⎛=- ⎝⎭，32BD ⎛= ⎝，所以312CE BD ⋅=-+=-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ） A ．80 B ．20C ．180D ．166【答案】C ．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1n n n b a a +=+，所以112n n n b a a +++=+，两式相减1n n b b +-=1212n n n n a a a a d ++++--=为常数，所以数列{}n b 也为等差数列．因为{}n a 为等差数列，且S 2＝4，S 4＝16，所以11224b a a S =+==，3344212b a a S S =+=-=，所以等差数列{}n b 的公差31242b b d -==，所以前n 项和公式为()1442n n n T n -=+⨯222n n =+，所以9180T =．故选C ．9．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ） A ．96种 B ．100种 C ．124种 D ．150种【答案】D【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有11335431322C C C A 60A N ==，当按照1、2、2来分时共有22135312322C C C A 90A N ==，根据分类计数原理知共有，故12150N N N =+=，选D ．10．已知函数cos y x x =+，有以下命题： ①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +； ②()f x 的值域是R ； ③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2， 其中推断正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意可以得到函数的定义域为R ，值域为R ，所以①不正确，②正确；由于()cos f x x x =+，所以()cos f x x x -=-+，所以()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，所以③不正确；当π2x =时，cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2；所以④正确．故选C ． 11．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO-的取值范围（ ）A．0,5⎛ ⎝⎭B．0,5⎛ ⎝⎭ C．0,5⎛ ⎝⎭ D．0,5⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】设P ()00,x y ，则00x <<，e ==，10PF x =，2PF=0x，PO ==，则12x PF PF PO -==，因为00x <<所以20445x >，1>，所以05<<，所以1205PF PF PO -<<B ． 12．已知正方体1111ABCD A BCD -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A BC D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ）A ．HF //BE B．BM =C ．∠MBND ．五边形FBEGH【答案】C【解析】因为面11//AD BC 面，且面1AD 与面MBN 的交线为FH ，1BC 面与面MBN 的交线为BE ，所以HF //BE ，A 正确；因为11//A F BB ，且1:1:2A F FA=，所以111:1:2MA A B =，所以112MA =，所以132B M =，在Rt △1BB M 中，BM ==所以B 正确；在Rt △1BB N 中，E 为棱1CC 的中点，所以1C为棱1NB 上的中点，所以11C N =，在Rt △1C EN 中， EN ==BN =；因为52MN ==，在△BMN中，22co s 2B M BN N M B NBM B +-∠==⋅5C 错误；因为cos MBN ∠=，所以sin MBN ∠=，所以BMN S =△12BM ⨯sin BN MBN ⨯⨯∠=得，14GE NB M N S S =△△，19MFH BMN S S =△△，所以BE S =面261144BMNGEN MFH S S S --=△△△．故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届广东省六校高三5月高考模拟考试理科数学试题及
第4题图2018届高三六校高考模拟考试理科数学试题本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足3i 13i z ⋅=-的复数z 的共轭复数．．．．是（ ） A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -2．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N = （ ）A ．{}|1x x >-B ．{}|1x x <C ．{}|11x x -<<D ．∅3．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）A ．1i i =-B ．1i i =+C ．2i i =-D ．2i i =+4．若变量x y ，满足24023000x y x y x y ⎧+⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则3z x y =-+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．50D ．405．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，22S =，则4S = （ ）A ．2B ．6C ．16D ．206． 已知直线1:4l y x =，2:4l y x =-，过3(,2)2M 的直线l 与12,l l 分别交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则||AB 等于（ ）A ．12B C D7．已知某四棱锥的三视图，如右图。
则此四棱锥的体积为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．设00x y >>，，定义x y ⊗=，则()2x y ⎡⊗⎣+2()x y ⊗()max y x ⊗⎤⎦等于（ ）AB．32+C．22+D．12+二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．10．若12322()log (1) 2.，，，x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则((2))f f 的值为 . 11．曲线33y x ax =++在点（1，m ）处的切线方程为2y x n =+，则a = ．（a m n ，，为常数） 12．已知()2sin()(||)32f x x ππϕϕ=+<，若1x =是它一条对称轴，则 ϕ= ．13．如右图，等边△ABC 中，244AB AD AC AE =＝＝＝，则BE CD ⋅=．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上一点P 到点()20A -，与()20B ，的距离之和为 ．15．（几何证明选讲选做题）如右图，在Rt △ABC 中，斜边12AB =，直角边6AC =，如果以C 为圆心的圆与AB 相切于D ，则⊙C 的半径长为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分）已知函数21()2cos 22f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值。
2018年高考理科数学原创押题卷
2018年高考模拟试题（原创）（理科数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百，西乡七千二百，南乡算八千一百，凡三乡，发役三百，欲以算数多少出之，何各几何？” 在上述问题中，需从西乡征集的人数是（ ）(改编题)A. 120B. 110C. 100D. 902. 设复数z 满足(12i)i z -=，则z 在复平面对应的点在第 象限 （ ）( 原创题）A ．一B ．二C ．三D ．四3.已知1sin(),cos(2)633ππαα-=-=则（ ）（改编题）A.97- B . 924 C .97D.924-4.设p ,p 是两个命题，p :ppp 2(x −2)>0, p :p 2−4p +3>0,则p 是p 的 条件 （ ）（改编题）A. 充分必要B. 充分不必要C. 必要不 充分D.不充分不必要 5.已知直线:10l mx y m -++=，圆22:(1)2C x y +-=，则直线l 和圆C 的位 置关系是（ ）(改编题)A. 相离B. 相切C. 相交D.均有可能6、如图，正方体ABCD −p 1p 1p 1p 1中，二面角p 1−BD −p 1的余弦值为（ ）（改编题） A.12 B.13 C.√63 D.√337.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，则2520z x y =+-的最大值为 （ ）（改编题）A.30 B ．35 C ．34 D ．288．如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是55，则a 的 取值围是（ ）（改编题） A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤9.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶 在几何体ADF －BCE 自由飞翔，则它飞入几何体F －AMCD 的概率为( )(改编题) A. 12 B. 23 C. 13 D. 3410、已知p (p ),p (p )分别是定义在p 上的偶函数和奇函数，且p (p )−p (p )=ln (p +√1+p 2)−p 2+1，则p (−1)+p (−1)=（ ）（改编题） A 、0 B 、1- C 、ln (1+√2) D 、ln (√2−1)11.已知函数p (p )={−p 2+2p , p ≤0p −ln (p +1), p >0，若p (p )=|p (p )|−pp , 对于任意的p ∈p 都有p (p )≥0,求p 的取值围（ ）（改编题） A 、[−2,0] B 、(−∞,0] C 、[−2,15p2] D 、(−∞,15p2]12.有一块半径为R （R 是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ∆，其中O 为圆心，A 、B 在圆的直径上，C 、D 、E 在半圆周上，如图.设θ=∠BOC ，征地面积为)(θf ，当θ满足()()θθθsin 2R f g +=取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角θ和)(θg 的最大值分别为（ ）（改编题） A. 21,232R π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()2,124R π+C. ()2,123R π+D.21,242R π⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R 2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜03．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣487．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+48．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B=R．故选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a﹣3）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=0．故选：B．3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：1﹣=．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，∴a5=．则tan a5=tan=﹣．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，故A，B均错误，∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，故选：D．6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48=•24﹣r（﹣x）r，【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为T r+1∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，故选：A．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，故选：B8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b【解答】解：根据对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，log b a＜log c a正确，∵a＞1，0＜c＜b＜1，∴a c＜a b，a﹣c＞0，∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，∵c﹣b＜0，∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得x P+x Q=6，x P x Q=1，|PF|=x P+1，|QF|=x Q+1，|PF||QF|=x Q+x P+x P x Q+1=6+1+1=8，则+===1．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1﹣a n）=a n+1，﹣（n+1）a n=1，即na n+1则有﹣==﹣，则有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1 =（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t2+at﹣1即3﹣＜2t2+at﹣1，∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，∴2t2+at﹣1≥3，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）=2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为0．【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，﹣），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．【解答】解：实数x，y满足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，如果z最大，则直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至B点时，z=x﹣3y+1取得最大值，联立，解得B（，）．所以z=x﹣3y+1的最大值是：．故答案为：﹣．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|=，以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，e=1﹣舍去．故答案为：1+．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）则长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为6﹣2x=2，∴其外接球的直径2R==2，∴R=，∴其外接球的体积V==4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴=，∴AD=AC=．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，又M为CC1的中点，∴．∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD∥EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD∥平面MAB1；解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB1的法向量为，可取又平面B1C1CB的法向量为．cos==．∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为=，∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种．∴P（X≥87）==．②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：ξ01234 P∴E（ξ）==2．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，∴，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=kx0+2=．∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，设G（m，0），则k GE==﹣，∴m==，当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；∴﹣≤m＜0，当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；∴0＜m≤．∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，∴f′（x）=e x﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，记g（x）=e﹣x﹣x，则g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，故g（x）在[0，+∞）递减，故g（x）≤g（0）=1，a≥1，故实数a的范围是[1，+∞）；（2）∵0＜a＜，f′（x）=e x﹣，记h（x）=f′（x），则h′（x）=e x+＞0，知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x0，即f′（x0）=﹣=0，于是x0=﹣ln（x0+a），当﹣a＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）min=f（x0）=﹣2a﹣ln（x0+a）=x0+a+﹣3a≥2﹣3a，当且仅当x0+a=1时取“=”，由0＜a＜得2﹣3a＞0，∴f（x）min=f（x0）＞0，即函数f（x）无零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，则其参数方程为，（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．【解答】（1）解：不等式f（x）+f（2+x）≤4，即为|x﹣2|+|x|≤4，当x≥2时，2x﹣2≤4，即x≤3，则2≤x≤3；当0＜x＜2时，2﹣x+x≤4，即2≤4，则0＜x＜2；当x≤0时，2﹣x﹣x≤4，即x≥﹣1，则﹣1≤x≤0．综上可得，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}；（2）证明：g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）=|x﹣2|﹣|x|，由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，当且仅当x≤0时，取得等号，即g（x）≤2，则m=2，任意不相等的正实数a，b，可得af（b）+bf（a）=a|b﹣2|+b|a﹣2|=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|，当且仅当（a﹣2）（b﹣2）≤0时，取得等号，即af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．。
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(六)理科数学含解析
普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(六)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()13i 2i z +=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ． 2．设α为锐角，()sin ,1α=a ，()1,2=b ，若a 与b 共线，则角α=（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°【答案】B【解析】由题意2sin 1α=，1sin 2α=，又α为锐角，∴30α=︒．故选B ． 3．函数()f x 在()0,+∞单调递增，且()2f x +关于2x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．(][),22,-∞-+∞C ．(][),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D【解析】()2f x +函数图像是由()f x 图像向左平移2个单位后得到，故()f x 关于y 轴对称，且在(),0-∞上递减．故()21f x -≤等价于222x -≤-≤，解得04x ≤≤．4．如图，执行所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）A ．1-BCD ．4【答案】D【解析】按照图示得到循环一次如下：4S =，1i =；1S =-，2i =；23S =，3i =；4i =；4S =，5i =；1S =-，6i =；23S =，7i =；8i =；4S =，9i =．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D ．5．则图中m 的值为（ ）A ．1BC ．2D 2 【答案】B，k ∈Z ， ，得02m <<，∴B ．6．李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ） A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步【答案】B【解析】设圆池的半径为r 步，则方田的边长为()240r +步，由题意，得()22240313.75240r r =+-⨯，解得10r =或170r =-（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B ．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A．3π B ．83πC ．163π D．27π 【答案】D【解析】几何体为如图，所以外接球的半径R满足)221R R =+，R ∴=，体积为34327π=，选D ．8．设点M 是20260 220x x y x y +≤-+≥++≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的区域1Ω内任一点，点N 是区域1Ω关于直线:l y x =的对称区域2Ω内的任一点，则MN 的最大值为（ ）AB．C．D．【答案】D【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点A 与点A 关于直线y x =的对称点A '间的距离最大，最大距离就是点A 到直线y x =距离的2倍，联立260 220x y x y -+=++=⎧⎨⎩，解得：4 1x y =-=⎧⎨⎩，点()4,1A -到直线y x =的距离d =，那么max MN AA '==，故选D ．9．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A． B． C．(201海里 D ．40海里【答案】A【解析】在ACD △中，1590105ADC ∠=+=︒︒︒，30ACD ∠=︒，所以45CAD ∠=︒，由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，解得140sin sin 2CD ACDAD CAD⨯∠===∠在Rt DCB △中，45BDC ∠=︒，所以BD ==， 在ABD △中，由余弦定理可得：解得AB =10．若函数()y f x =图像上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(),A B为函数()y f x =的“孪生点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”．若函数()322,0 692,0x f x x x x a x <=-+-+-≥⎧⎨⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】A【解析】当0x ≥时，()()()()223129343313f x x x x x x x =-+-=--+=---'，故函数在区间[)0,1，()3,+∞上递减，在()1,3上递增，故在1x =处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当0x ≥时，函数图像与2y =-的图像有两个交点，即()122f a =--=-，0a =．11．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】A【解析】∵22::3:4:5AB BF AF =，不妨令=3AB ，2=4BF ，2=5AF ， ∵22222+=AB BF AF ，∴290ABF ∠=︒，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=， ∴11345AF AF +-=-，∴13AF =． ∴123342BF BF a -=+-=，∴1a =．在12Rt BF F △中，2222212126452F F BF BF =+=+=，又22124F F c =，∴2452c =A ．12()()3g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()3,0-【答案】B【解析】由题可知()()23,03,03 3,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪=-≤≤⎨⎪-->⎪⎩，故()2,03,0 3 6,3x x f x x x x x ⎧-<⎪-=-≤≤⎨⎪->⎩，∵函数()()()()3y f x g x f x f x b =-=+--恰有4个零点， ∴方程()()30f x f x b +--=有4个不同的实数根，即函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点．又()()223,033,03 715,3x x x y f x f x x x x x ⎧---<⎪=+-=-≤≤⎨⎪-+->⎩，在坐标系内画出函数函数()()3y f x f x =+-的图象，其中点A ，B的坐标分别711,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．由图象可得，当1134b -<<-时，函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点，故实数b 的取值范围是113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭．选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{}20A x x x =-=，{}1,0B =-，则A B =________． 【答案】{}1,0,1-【解析】{}0,1A =，所以{}1,0,1A B =-．14()y g x =的图像，若()g x 最小正周期为a ，则6a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．个单位后得到函数()2sin 2g x x =，函数的最小正周期是π，那么15．已知圆22:42440C x y x y +---=，点P 的坐标为(),4t ，其中2t >，若过点P 有且只有一条直线l 被圆C 截得的弦长为，则直线l 的一般式方程是____________________． 【答案】43360x y +-=【解析】整理可得圆()()222149C x y -+-=：，由弦长C 到直线l C 到直线l 的距离恒为5，故这样的直线l 是圆D ：()()222125x y -+-=的切线，若点P 在圆D 外，这样的直线必有两条，由直线l 的唯一性知，点P 在圆D 上，于是()()2224125t -+-=，解之得6t =或2-，又2t >，故6t =，则P 点坐标为()6,4，于是直线PC 而l P C ⊥，故直线l 的43360x y +-=．故答案为：43360x y +-=． 16．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，2BC =，E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足2AG GE =，若四面体ABCD 的外接球的表面积为，则tan AGD ∠=________． 【答案】2 【解析】2AG GE =，22233AG AE ∴===， 设ABC △的外心为O ，则O 在AE 上，设OA r =，则222OE CE OC +=， 即()22231r r -+=，解得53r =，∴四面体A B C D 的外接球的半径R =4AD =，则tan 2AD AGD AG ∠==． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，满足21n n S a =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）记1n n n n a b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明12n T <． 【答案】（1）12n n a -=（2）1111221n +⎛⎫- ⎪-⎝⎭，见解析【解析】（1）解：由21n n S a =-，得1121n n S a ++=-， 后式减去前式，得1122n n n a a a ++=-， 得12n n a a +=．···········3分 因为110a =≠，可得0n a ≠，所以12n na a +=， 即数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=．·········6分（2）证明：因为()1122112nnn S ⨯-==--，···········7分所以()()11122121n n n n n n n a b S S -++===--111122121n n +⎛⎫- ⎪--⎝⎭，···········8分 所以121n ⎛++-⎝ ···········10分 因为11021n +>-，所以12n T <．···········12分 18．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a ．某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年950续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【答案】（1）见解析；（2）2732，50万元． 【解析】（1）由题意可知的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a ．······1分由统计数据可知：()()()()11110.9,0.8,0.7,4884P X a P X a P X a P X a ========，()()311.1, 1.31616P X a P X a ====．···········4分 所以X 的分布列为：∴0.90.80.7 1.1 1.390348841616EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈． (6)分（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为14，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：9分 ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，则Y 的可能取值为－4000，8000．所以Y 的分布列为：11分∴所以()1340008000500044E Y =-⨯+⨯=．所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y =万元．···········12分19．已知三棱锥D ABC -中，BE 垂直平分AD ，垂足为E ，ABC △是面积为的等边三角形，60DAB ∠=︒，CD =CF ⊥平面ABD ，垂足为F ，O 为线段AB 的中点．（1）证明：AB ⊥平面DOC ；（2）求CF 与平面BCD 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析（2 【解析】（1）证明：∵BE 垂直平分AD ，垂足为E ，∴AB DB =． ∵60DAB ∠=︒，∴ABD △是等边三角形． 又ABC △是等边三角形．∴O 是AB 中点，DO AB ⊥，CO AB ⊥．···········3分 ∵DO CO O =，DO ，CO ⊂平面DOC ，∴AB ⊥平面DOC ．···········5分（2）解：由（1）知OC OD =，平面DOC ⊥平面ABD ． 因为平面DOC 与平面ABD 的交线为OD ．∵CF ⊥平面ABD ．∴F CD ∈． 又等边ABC △面积为OC =又CD =，∴F 是OD 中点． 如图建立空间直角坐标系O xyz -，()100B ，，，()00C，302D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，···········7分所以304CF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，···········8分()10BC =-，312BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，， 设平面BDC 的法向量为(,,)x y z =n ，则2BC x BD x ⋅=-+⋅=-+取y =则3x =，1z =．即平面BCD 的一个法向量为()31．·········11分 所以CF 与平面BCD 所成角的正弦值为CF CF ⋅=⋅n n 12分 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线交椭圆C 于,A B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA OB tOP +=，其中2t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，求AB 的取值范围． 【答案】（1）2212x y +=；（2）0,3⎛ ⎝⎭． 【解析】（13分∴椭圆方程2212x y +=．···········4分（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为()2y k x =-，()2222128820k x k x k +-+-=，···········5分 ∴()28120k ∆=->，得212k <，···········6分 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y由OA OB tOP +=7分 代入椭圆方程得2221612k t k =+，···········8分2t <<得21142k <<，···········9分∴AB ==···········10分令2112u k =+，则12,23u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴AB ⎛= ⎝⎭． (12)分21 （1）当3a =时，求()f x 的极值；（2）当1a = 【答案】（1）当12x =，()f x 取得极小值113ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当1x =时，()f x 取得极大值()11f =-；（2）见解析． 【解析】（1）当3a =时，()13ln 2f x x x x=+-， ()231'2f x x x=--=()()222211231(0)x x x x x x x ---+-=->，···········1分当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； (2)分当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； (3)分当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减．·········4分所以，当12x =，()f x 取得极小值113ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 当1x =时，()f x 取得极大值()11f =-．···········5分 （2）证明：当1a =时，()()()11ln 1211f x x x x -=-+---，1x >，设()()()1ln 11g x x x =--+，则()()1ln 1g x x '=+-，令()0g x '=，得7分上，()0g x '<，()g x 是减函数；上，()0g x '>，()g x 是增函数．9分在()1,2上，()0h x '>，()h x 是增函数；在()2,+∞上，()0h x '<，()h x 是减函数，所以()()h x g x <，12分 （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分） 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是 26x ty t ==+⎧⎨⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．【答案】（1）260x y -+=，(222x y -+=；（2）2⎡-⎣．【解析】（1）由 26x ty t ==+⎧⎨⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，···········2分由ρθ=，得2c o s ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C 的普通方程为(222x y -+=；···········5分（2）据题意设点)Mθθ，8分所以x y +的取值范围是2⎡-⎣．···········10分23a ∈R ． （1）若()()111f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式()54f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]0,5．【解析】（1）()()11111f f a a +-=--+>，···········1分 若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立，···········2分若11a -<<，则()111a a --+>，得12a <-，即112a -<<-，···········3分若1a ≥，则()()111a a ---+>，得21->，即不等式无解，···········4分综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．···········5分（2当(],x a ∈-∞时，()2f x x ax =-+，()2max24a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，······7分因为5544y y a a ++-≥+， 所以当5,4y a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦9分即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(]0,5．·····10分。
2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(六)含答案
绝密★启用前年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（六）本试题卷共!语法错误，1页，题（含选考题）。
全卷满分分。
考试用时分钟。
★祝考试顺利★注意事项：、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。
、选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
．在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（） ．．．．．已知集合，，则（）．． ．．．已知函数，若，则实数的取值范围是（） ．． ．．．若，则等于（）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封．．．．．已知向量，，，若，则实数的值为（）．．．．．《九章算术》卷《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为（）．．．．．已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（）．．．．．已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（）．．．．．设不等式组所表示的平面区域为，在内任取一点，的概率是（）．．．．．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）．．．．．为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）．或或．或．或．或．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，连结，分别交抛物线于点，，且，，三点共线，则的值为（）．．．．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2018年高考信息预测押题仿真模拟试题(新课标全国卷)
理科数学(六)
【命题老师提示】本套试题根据全国新课标考试大纲，结合最新全国卷高考命题动向，锁定高考命题规律，精准押题，精心预测创编完成的精品试题。
同学们付出就有回报，一起超越梦想吧!
本试卷分必考和选考两部分．
必考部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的．
1．已知集合{|A x y =∈Z ，集合{|(2)(4)0}B x x x =∈+-N ≤，则
A B I =
A ．{0，1，2，3}
B ．{1，2}
C ．{0，1，2}
D ．{1，2，3}
2．若i(1i)25i a b +-=-(i 是虚数单位，,a b ∈R )，则复数i a b +在复平面内对应的点位
于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知椭圆22
212
x y a +=(a >的离心率为3，则a =
A ．
B
C ．2
D ．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，若3214S a a =+，5243T =，则1
a 的值为
A ．3
B ．1
C ．13
D ．3- 5．已知平面α和两条不同的直线m ，n ，则下列命题是真命题的是
A ．若直线m ，n 与平面α所成的角相等，则m ∥n
B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
6．如图是一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图的面积为82，则该几何体的表面积为
A ．2042+
B ．1682+
C ．2082+
D ．1642+
7．在如图所示的扇形AOB 中，∠AOB =6
π，半圆C 切AO 于点D ，与圆弧AB 切于点B ，若随机向扇形AOB 内投一点，则该点落在半圆C 外的概率为
A ．13
B ．23
C ．34
D ．35
8．已知1a b <<，1b m a -=，1a n b -=，则m ，n 的大小关系为
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．以上选项都有可能
9．已知一元二次方程220x ax b ++=(,a b ∈R )的两个根分别在区间(0，1)，(1，2)上，
若2222a b a b M ++->恒成立，则实数M 的最大值为
A ．4
B ．2
C ．65
- D ．1- 10．已知函数()sin cos f x a x b x ωω=+(0ab ≠，0ω>)的图象的相邻两条对称轴之间的
距离为π，将()f x 的图象向左平移2
π个单位长度后与函数()f x -的图象重合，则函数()f x 的图象的对称中心可以为
A ．(,0)2π
- B ．(,0)4π-
C ．(,0)2π
D ．(,0)4π 11．已知圆1C ：222240x y ax a +++-=和圆2C ：2226190x y by b ++-+=恰有三条
公切线，(,)M a b ，则1||C M 的取值范围为
A ．(1，6]
B ．(0，6]
C ．(1，6)
D ．[1，6]
12．对于函数2()2
x x f x e x -=+，下列不正确的是 A ．当0x >时，(2)20x x e x -++>
B ．当1x >时，1(2)20x x e x --++>
C ．当3x <-时，3(2)5(2)0x x e x +--+<
D ．当20x -<<时，(2)20x x e x -++<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且222AB AD CD ===，∠BAD =90°，则
AC u u u r 与BD u u u r 夹角的余弦值为 ．
14．执行如图所示的程序框图，如果输出的S 的值为6，则输入的自然数n 的可能值的个数
为 ．
15．已知0xy <，且2x y +=，若5
()x y +按x 的降幂排列的展开式中，第三项不大于第四项，那么x 的取值范围为 ．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21sin()22
n n n n S a π-+=⋅-，*n ∈N ，则曲线C ：22
20172016
1x y a a +=的离心率是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足
(53)cos 3cos a b C c B -=．
(1)若7sin 25
B =，且27b c +=，求cos A 及a ； (2)若46c =52b =AB
C ∆的面积S ．
18．(本小题满分12分)
甲、乙2名选手进行5局某项比赛(每局决出胜负)，甲每局获胜的概率为
23
，且每局比赛的结果对下局比赛不产生影响．
(1)①求甲恰好获胜3局的概率；
②求甲有且仅有3局是连续获胜的，而且另外2局不全负的概率．
(2)若规定：每局比赛胜方得2分，负方得1分，记ξ为5局比赛中甲得分减去乙得分
的值，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
19．(本小题满分12分)
如图，已知在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在底面ABC 上的射影D 为AB 的中点．
(1)求证：AB ⊥1A C ；
(2)求平面1A CD 与平面11B C D 所成锐二面角的余弦值．
20．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上．若点(,0)A a -，(0,)3a B ，且32
AB BC =u u u r u u u r ． (1)求椭圆M 的离心率；
(2)设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为
直线l ，且直线l 不与y 轴重合．
(i)若点(3,0)P -，直线l 过点6(0,)7-，求直线l 的方程；
(ii)若直线l 过点(0,1)-，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．
21．(本小题满分12分) 已知函数1()ln 1f x x x =++，1()g x x x
=+(0x >)．
(1)求证函数()f x 与()g x 有相同的极值点，并求出这个极值；
(2)函数()()()h x f x ag x =-有两个极值点1x ，2x (12x x <)，若1()h x m <恒成立，求
实数m 的取值范围．
选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4─4：坐标系与参数方程]
已知在直角坐标系xOy 中，直线l 过点3(3,)2
P --，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：5ρ=，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点．
(1)求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若||8AB =，求直线l 的普通方程．
23．(本小题满分10分)[选修4─5：不等式选讲]
已知函数()|2||2|f x x a x a =-+-．
(1)若1a =，解不等式()6f x ≤；
(2)若对任意的x ∈R ，2()1f x a -≥(0a >)恒成立，求实数a 的取值范围．。