圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题教师版
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习如何求圆锥曲线离心率
如何求圆锥曲线离心率在高考中圆锥曲线的分值占总分的15%左右．高考试题和各地的模拟试题中，大凡考查解析几何的，绝大多数以圆锥曲线为背景，而圆锥曲线的离心率，是描述曲线形状的重要参数，求离心率又是一种重要的题型，本文通过列举实例，介绍一些常用的求离心率范围的方法．1．利用离心率定义e=a c直接计算．例1．设双曲线12222=-b y a x (0<a<b)的半焦距为，直线过(a ，0)、 (0，b)两点，且原点到直线的距离为c 43，求双曲线的离心率．解：由过点(a ，0)、 (0，b)得的方程：bx+ay-ab=0．由点到的距离为c 43，得22ba ab +=c 43．将b=22a c -代入，平方后整理，得16(22c a )2-1622ca+3=0,解得332=e 或e=2．因为0<a<b ，故e=a c=221a b +>2，所以应舍去332=e ．故所求离心率．点评：如果很容易由题设条件确定、，可直接用离心率定义求解．此题由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出a c的值．注意同学们解此题时一不小心易得到错误答案：e=2或332=e ．究其原因是未注意到题设条件(0<a<b)，从而离心率e>2，而332<2，故应舍去．2．利用曲线定义求离心率．第一种定义和第二种定义的灵活转换常常是打开解析几何思路的钥匙，在题目中挖掘这隐含信息有助于解题．例2． F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，使PF 1⊥PQ ，且｜PF 1｜=｜PQ ｜，求椭圆的离心率e.解：设｜PF 1｜=t ，则｜PQ ｜=t ，｜F 1Q ｜=2t ， 由椭圆定义有：| PF 1｜+｜PF 2｜=｜QF 1｜+｜QF 2｜=2a ，∴｜PF 1｜+｜PQ ｜+｜F 1Q ｜=4a ， 即(2+2)t=4a,t=(4-22)a ，∴｜PF 2｜=2a-t=(22-2)a ，在Rt △PF 1F 2中，｜F 1F 1｜2=(2c)2，∴［(4-22)a ］2+［(22-2)a ］2=(2c)2∴(a c )2=9-62， ∴e=a c =26-．点评：一般的，涉及焦点、准线方程、离心率、圆锥曲线上的点中的三个，就要联想到圆锥曲线定义，有时甚至只要知道其中的两个，也可以联想到圆锥曲线定义．灵活巧妙地运用圆锥曲线的定义，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．3.利用数形结合求离心率.由图形的的特定形状，找出有关量的性质、特征，并把几何图形和数有机结合起来，从而求出离心率的范围．例3. 直线l 过双曲线12222=-b y a x的右焦点，斜率k=2．若l 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围．解：如图1，若k=a b ，则直线l 与双曲线的渐近线平行，从而l 与双曲线只有一个交点；若k>a b ，则l 与双曲线的两交点均在右支上， 故点评：此题若是直接求解，计算量比较大，而利用渐近线与双曲线的特性，从图中直接观察直线与渐近线，较易得出所要得出的东西．涉及直线与圆锥曲线交点问题，有时用此法也会取到意想不到的结果．4．运用均值不等式求解．例4． F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x 的两焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率的取值范围．解：由椭圆定义知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，两边平方得：4a 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|≤2（|PF 1|2+|PF 2|2），∵∠F 1PF 2=90°，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴4a 2≤2（2c)2，得22≤e ＜1．点评：涉及到角度时，利用勾股定理或余弦定理，再利用不等式放缩，往往简单明了，注意放缩时等号条件是否成立．5．利用三角函数的有界性求离心率． 例5． 题目同上．解：设点P 坐标为（acos θ，bsin θ），由定义、焦半径公式及题设有：(2c)2＝(a －ccosθ)2＋(a ＋ccosθ)2 ， 化简得cos 2θ＝2222122e c ac -=-． 或由∠F 1PF 2=90°得：1cos sin cos sin -=•-+c a b c a b θθθθ，整理得b 2sin 2θ+ a 2cos 2θ-c 2=0，即(a 2-b 2)cos 2θ= c 2-b 2，cos 2θ＝2222122e c a c -=-． ∵ 0≤cos 2θ≤1，∴0≤212e -≤1，结合0＜e ＜1得22≤e ＜1为所求．点评：设圆锥曲线的参数形式，列式子比较简洁，但要注意各参数所限制的范围．6．列方程组求离心率． 例6． 题目同上．解：原题等价于以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11222222y x b y a x 有实数解，消元得b 2x 2＋a 2(c 2﹣x 2)＝a 2b 2，即(b 2﹣a 2)x 2＋a 2c 2﹣a 2b 2=0有实数根，所以Δ≥0，即c 2﹣b 2≥0，c 2﹣（a 2 ﹣c 2）≥0，可得122<≤e ．点评：若两曲线相交，联立两个方程解出交点，再利用范围，列出不等式并 求其解或由根判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解．7．运用比例性质求解离心率．在椭圆或双曲线中，若已知焦点三角形中的两个角，则可由定义、正弦定理、合分比定理推出其离心率．例7．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，如果α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，求椭圆离心率．解：由椭圆定义知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，∵||||22221PF PF ca c a c e +===由正弦定理，得|PF 1|=2Rsin β,|PF 2|=2Rsin α，|F 1F 2|=2Rsin(α+β)∴2cos2cos2cos 2sin 22cos2sin 2 sin sin )sin()sin (sin 2)sin(2||||221βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=-⋅++⋅+=++=++=+=R R PF PF c e说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与焦点三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理．8．利用圆锥曲线中变量的变化范围求离心率．例8．已知椭圆，如果椭圆、的长轴两端点为B A b a by a x )0(12222>>=+上存在一点Q ，使0120=∠AQB ，求椭圆离心率的取值范围．解：根据椭圆的对称性，不妨设Q （x 0,y 0）在x 轴的上方，则b y ≤<00，a x y k a x y k QA QB+=-=0000, 321tan 202200-=+-=⋅+-=∠∴y a x ay k k k k AQB QB QA QA QB ①，又代入)1(22020b y a x -=①得)(322220b a ab y -=，则b b a ab ≤-<)(320222⇒ 22232c c a a ≤-,13631222<≤⇒≤-∴e e e ． 点评：此题解法实质上是分离变量．通过将离心率用曲线上一点坐标出来，借助于曲线上点的坐标范围求解离心率．涉及圆锥曲线中的不等问题要注意利用曲线上点的范围，探求离心率的范围．9．利用焦半径公式．例9．如图所示，已知梯形中，|AB|=2|CD|，点满足，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332<<λ时，求双曲线离心率的取值范围．解：∵，∴x 0=)1(2)2(+-λλc ①∴λλ+=1||||CA EA ，由焦半径公式，得：λλ+•+--=12ce a ex a ②， 将①代入②，得：2)1(2)2(cce a e a •+•--+-λλλλ+=1．∵e=a c ，∴2321+-=e λ．又∵4332≤≤λ，∴43233221≤-≤+e ，∴107≤≤λ．∴双曲线离心率取值范围为[7,10]．点评：此题的特点是：已知一个变量的范围求另一个变量的范围，先利用题设条件建立含范围变量的关系式，将变量λ和另一个变量分离e ，得到函数关系，再利用已知变量λ的范围求出变量e 的范围，解法实质是分离变量．同时，该解法巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种轻松自在的感觉，这表明善于记忆一些结果对我们的学习帮助很大．。
圆锥曲线离心率取值范围求法大放送
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圆锥曲线离心率取值范围求法大放送
作者：孔建芳
来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期
如何求解离心率的取值范围是很多学生较难掌握的内容.笔者通过多年的教学经验认为，
要解决此类问题，最重要的便是充分挖掘题中所隐含的条件，构造出解决此类问题的不等式.
一、利用直线与双曲线的位置关系
【例1】给出条件：已知双曲线x2a-y2=1（a>0）与直线l：x+y=1相交于两个点P和Q，要求解出双曲线离心率的取值范围.
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x，得（1-a2）y2-2y+1-a2=0，1-a2≠0
时，直线与双曲线有两个不同的交点，则Δ>0，Δ=4-4（1-a2）2=4a2（2-a2）>0，即a232
，即e>62且e≠2.
二、利用点和双曲线的位置关系
点评：在解决这一题时，可以先解出双曲线上其中一点的坐标，然后再利用相关性质“若点P在双曲线x2a2-y2b2=1
的左支上，则x≤-a；若点P在双曲线x2a2-y2b2=1的右支上，则x≥a”.
求双曲线离心率的取值区间时要根据题设的条件找到合适的切入点，因题制宜发现题中隐藏的不等关系，创建含有离心率的不等式是解决这类问题的重要之处.
（责任编辑金铃）。
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
圆锥曲线专题[求离心率的值、离心率的取值范围]
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圆锥曲线专题 求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。
策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221ab ac e -==；双曲线中221a b a c e +==.所以只要求出ab值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率.解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则1221221=-b y a x ① 1222222=-by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得13222121==--=a b x x y y k BD，解得322=ab ，所以231122=+=+=a b e .方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22ab 的值，从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+，2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22a b 的值，最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313.A 213.B 315.C 210.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率21-=k ，求椭圆的离心率.3.（母题）已知双曲线)0(1:22>=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为032=±y x ，比较可得32=a b ，则313941122=+=+=a b e .2.答案：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则1221221=+b y a x ① 1222222=+by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得2221212ab x x y y k -=--=直线AB 的斜率21-=k ，所以21222-=-=a b k ，解得4122=a b所以离心率23411122=-=-==a b a c e .3.答案：曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ，设),(00y x P ，则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=1001，点),(00y x P 到直线2l 的距离my m x d +-=1002，mmy x my m x y m x d d +-=+-⋅+=⋅11220000021因为),(00y x P 在曲线C 上，所以m my x =-2020，故21121=+=⋅m m d d ，解得1=m 所以2=e .策略二：构造c a ,的关系式求离心率根据题设条件，借助c b a ,,之间的关系，沟通c a 、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e .例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点P 在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，1MF 的中点为P ，则点P 的横坐标为2c-.由c F F PF ==21121， 焦半径公式a ex PF p --=1有a ca c c --⨯-=)2(，即02222=--ac a c 有0222=--e e解得31+=e ，或31-=e （舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于c a ,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义ace =整理成关于e 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】1.（2011新课标）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）.A 2.B 3.C 2 .D 32.（2008浙江）若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）.A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意a aa c AB 22222=-=，解得2=e .2.答案：依据题意2:3)(:)(22=-+c a c c a c ，整理得223a c =，所以3==ace .策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即e dMF =.例3.（2010年辽宁卷）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60,2AF FB =,求椭圆C 的离心率.解法一：作椭圆的左准线B A '',过A 作B A ''的垂线，垂足为A '；过B 作B B '的垂线，垂足为B '.过B 作A A '的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则e A A AF ='e AF A A ='⇒，e B B BF ='e BFB B ='⇒ 12::==''e BF e AF B B A A B B A A '='⇒2 且A A BM '⊥,所以M 是A A '的中点又因为直线l 的倾斜角为︒60，即︒=∠=∠60AFx BAM ， 所以在BAM Rt ∆中，A A AM AB '==2,故3232=⋅='=AB AB A A AF e . 解法二：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得221222223(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b -+--==++因为2AF FB =，所以122y y -=.即 2222223(2)3(2)233b c a b c a a b a b +--=⋅++得离心率 23c e a ==. 方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。
离心率的范围问题--2024年高考数学重难点攻略 解析版
微重点 离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1 B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出PF 1 ,PF 2 ，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P 在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，令半焦距为c ，由PF 1 =4PF 2 及PF 1 +PF 2 =2a ，得PF 1 =8a 5,PF 2 =2a5，显然PF 1 -PF 2 ≤|F 1F 2|，当且仅当点F 1,F 2,P 共线，且F 2在线段PF 1上时取等号，因此2c ≥8a 5-2a 5=6a 5，即e =c a ≥35，又0<e <1，则35≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围是35,1 .故选：A2(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF 2 2MF 1=MF 1 +2a2MF 1，变形后由基本不等式得最小值，从而得MF 1 =2a ，再利用双曲线中的范围有MF 1 ≥c -a ，由此结合可得离心率的范围．【详解】F 1，F 2是左、右焦点，M 为双曲线左支上的任意一点，则MF 2 -MF 1 =2a ，即MF 2 =MF 1 +2a ，代入MF 22MF 1得MF 22MF 1=MF 1 +2a2MF 1=MF 1 +4a 2MF 1+4a ≥2MF 1 ×4a 2MF 1+4a =8a ，当且仅当MF 1 =2a 时取等号，即MF 1 =2a ，又点M 是双曲线左支上任意一点，所以MF 1 ≥c -a ，即2a ≥c -a ，解得e ≤3，所以双曲线离心率e 的取值范围是1,3 .故选：C ．3(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2 B.2,+∞C.1,5D.5,+∞【答案】B【分析】方法一：连接AF 2，BF 2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接AF 2，BF 2，可得AF 2 =BF 2 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出k OM ，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a ，AM =BM =2a ，MF 1 =m ，所以MF 2 2=m 2-4a 2=4c 2-m 2，即m 2=2c 2+2a 2.设∠BF 1F 2=α，则∠MOF 2=2α，所以tan2α=2tan α1-tan 2α≥3，解得13≤tan 2α<1.又tan α=MF 2 MF 1 ，所以13≤m 2-4a 2m 2<1，解得m 2≥6a 2，所以2c 2+2a 2≥6a 2，即c 2≥2a 2，所以e =ca≥ 2.故选：B .方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a .设直线l 的方程为x =ty -c ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .由x =ty -cx 2a2-y 2b2=1，消去x 并整理，得b 2t 2-a 2 y 2-2b 2tcy +b 4=0.422422242242因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以-b a <1t <ba，即b 2t 2-a 2>0.由y 1+y 2=2b 2tc b 2t 2-a2y 1y 2=b 4b 2t 2-a 2，得AB =1+t 2y 1-y 2 =2ab 21+t 2 b 2t 2-a 2.结合AB =4a ，化简得t 2=b 2+2a 2b 2①.由x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，两式相减，得x 1-x 2y 1-y 2=a 2b 2⋅y 1+y 2x 1+x 2，即t =a 2b 2⋅k OM ②，②代入①化简，得k 2OM=b 4+2a 2b 2a 4≥3，所以b 2≥a 2，即c 2≥2a 2，所以e ≥ 2.故选：B .4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】 (2，2)【解析】双曲线C 与直线y =x 有交点，则b a >1，b 2a 2=c 2-a 2a 2>1，解得e =ca>2，双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则P 点在双曲线右支上，设PF 1与y 轴交于点Q ，由对称性得|QF 1|=|QF 2|，所以∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 2Q =∠PF 2F 1-∠QF 2F 1=2∠PF 1F 2=∠PQF 2，所以|PQ |=|PF 2|，所以|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，由|QF 1|>|OF 1|得2a >c ，所以e =ca<2，又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2+∠PF 2F 1=4∠PF 1F 2<180°，∠PF 1F 2<45°，所以c 2a =cos ∠PF 1F 2>22，即e =ca>2，综上，2<e <2.考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,2 2B.22,255C.55,255D.255,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，易知∠F1BF2<θ，又b>c，则tan θ2=tan∠F1MO=cb<1，0<θ2<π2，∴0<θ2<π4,∴0<∠θ<π2，即θ为锐角，∴45=sin∠F1BF2<sinθ，又sinθ=2sinθ2cosθ2sin2θ2+cos2θ2=2tanθ2tan2θ2+1,∴2tanθ2tan2θ2+1>45,∴12<tanθ2<2.又0<θ2<π4，∴12<tanθ2<1,∴12<cb<1，则14<c2b2<1，所以14<c2a2-c2<1，则55<ca<22，即55<e<22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=c a；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2 与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ，则B 2A 2 =a ,-b ,F 2B 1=-c ,-b ，∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2 ⋅F 2B 1=-ac +b 2<0，又b 2=a 2-c 2,∴a 2-ac -c 2<0，两边除以a 2得1-e -e 2<0，解得e >5-12或e <-5-12；又∵0<e <1，∴1>e >5-12．故选：D ．3(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B=3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A ,B 两点关于y 轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A 点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x 0,y 0 ，则B -x 0,y 0 ，因为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由F 1A ⋅F 1B =3c 2，得：x 0+c ⋅-x 0+c +y 20=3c 2，即x 20-y 20=-2c 2，点A ,B 在椭圆上，所以满足x 20a 2+y 20b2=1，代入上式可得：y 20-2c 2a 2+y 20b 2=1，即b 2y 20-2c 2 +a 2y 20=a 2b 2，即y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2，因为点在椭圆上，所以y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2≤b 2，解得：2c 2≤b 2，即3c 2≤a 2，解得：0<e ≤33.故选：B4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2) B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]【答案】A【解析】若点P 是双曲线的顶点，a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1无意义，故点P 不是双曲线的顶点，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2，又a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，∴|PF 1||PF 2|=c a ，即|PF 1|=ca ·|PF 2|，∴P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴c a |PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=2a 2c -a ，由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c -a ，∴2a 2c -a>c -a ，即c 2-2ac -a 2<0，∴e 2-2e -1<0，解得-2+1<e <2+1，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)．考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】 A【解析】双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，设双曲线上的点P (x 0，y 0)，所以x 20a 2-y 20b2=1，即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2，则P (x 0，y 0)到两条渐近线bx ±ay =0的距离分别为d 1=bx 0+ay 0a 2+b2，d 2=bx 0-ay 0a 2+b2，所以d 1d 2=b 2x 20-a 2y 2a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2，又|OP |2=x 20+y 20=a 2+a 2b2y 20+y 20=a 2+a2b2+1y 20，y 0∈R ，所以|OP |2≥a 2，因为d 1d 2≤12|OP |2恒成立，所以a 2b 2a 2+b2≤12a 2，整理得b 2≤a 2，即b 2a2≤1，所以离心率e =c a =c 2a 2=1+b 2a2≤2，则C 的离心率的最大值为 2.2(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x +b2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a ,b ,c 的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a 2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a ,b ,c 之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知△OFH 中，OF =c ，FH =b ，OH =a ，因为sin ∠HOF >sin ∠HFO ，由正弦定理可知b >a ，即b 2>a 2，所以c 2>2a 2，得e >2．又因为直线y =2x 与双曲线无公共点，则ba≤2，即b ≤2a ，结合a 2+b 2=c 2，所以c 2≤5a 2，所以e ≤5．综上：2<e ≤5，故选：A ．4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离, 从而可得出a 的范围, 进而求出离心率的范围.【详解】若从圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为y =kx ±k 2a 2+b 2，∴过圆上一点p 1x 1,y 1 的切线为y 1=kx 1±k 2a 2+b 2，y 1-kx 1 2=k 2a 2+b 2，即x 21-a 2 k 2-2x 1y 1k +y 21-b 2 =0.(1)又∵p 1x 1y 1 在圆上, ∴x 21+y 21=a 2+b 2，即x 21-a 2=-y 21-b 2 .(i )当x 21-a 2≠0时, (1)式为k 2-2x 1y 1x 2-a 2k -1=0,由根与系数关系知k 1k 2=-1, 故两条切线互相垂直.(ii )当x 21-a 2=0时, x =±a ,y =±b , 此时两条切线显然互相重直.故圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y 2=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2+1.若∠APB 恒为锐角, 则直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离故109+16>a 2+1, 又a >1,∴1<a <3,∴e =c a =a 2-1a =1-1a 2∈0,63 .故选:C .强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到PF 1 PF 2 =2b 2，设PF 1 PF 2=m ，结合双曲线的定义得到PF 1⋅PF 2 =4a 2m (m -1)2，则b 2a 2=2m +1m -2，构造函数f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，利用导数法求解.【详解】解：因为PF 1 -PF 2 =2a ，PF 1⊥PF 2，∴PF 1 2+PF 2 2=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2 =4a 2+2PF 1 PF 2 =4c 2，又b 2=c 2-a 2，∴PF 1 PF 2 =2b 2．设PF 1 PF 2=m ，则PF 1 =m PF 2 ，2≤m ≤4，∴PF 1 -PF 2 =(m -1)PF 2 =2a ，∴PF 2 =2a m -1，则PF 1 =2amm -1，∴PF 1 PF 2 =4a 2m(m -1)2．∴4a 2m (m -1)2=2b 2，则b 2a 2=2m m 2-2m +1=2m +1m -2，设f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，则f (m )=1-1m2>0，∴f m 在2,4 上单调递增，∴f (2)=12≤f (m )≤f (4)=94，∴49≤1f (m )≤2，∴89≤b 2a 2≤4，∴c 2a 2=1+b 2a2∈179,5 ，∴e =c a ∈173,5 ，故选：B ．2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62 B.62,+∞ C.324,62D.62,142【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF 1 =a 1+a 2MF 2 =a 1-a 2.进而在△MF 1F 2中，由余弦定理变形可得a 1c2+3a 2c 2-4=0，1e 22=134-1e 12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF 1 +MF 2 =2a 1MF 1 -MF 2 =2a 2 ，所以MF 1 =a 1+a 2MF2 =a 1-a 2.在△MF F 中，∠F MF =60°，由余弦定理可得cos ∠F 1MF 2=MF 12+MF 2 2-F 1F 2 22MF 1 ⋅MF 2 =a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-4c 22a 1+a 2 a 1-a 2=12，整理可得，a 21+3a 22-4c 2=0，两边同时除以c 2可得，a 1c 2+3a 2c 2-4=0.又e 1=c a 1，e 2=ca 2，所以有1e 1 2+31e 22-4=0，所以，1e 2 2=134-1e 12.因为e 1∈22,32 ，所以12≤e 21≤34，所以43≤1e 21≤2，所以，-2≤-1e 21≤-43，2≤4-1e 21≤83，所以，23≤1e 2 2=134-1e 12 ≤89.则63≤1e 2≤223，故324≤e 2≤62.故选：C .3(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为()A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 【答案】A【分析】设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，根据F 为△MAB 的重心，求得D 3c 2,-3b 2，由直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，得到3c 22a 2--3b22b 2>1，求得c a >133，再由e =3时，证得M ,F ,A ,B 四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0)，且M 0,3b ，设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，因为F 为△MAB 的重心，所以MF =2FD，即(c ,-3b )=2(x 0-c ,y 0)，解得x 0=3c 2,y 0=-3b 2，即D 3c 2,-3b2，因为直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，则满足3c 2 2a 2--3b 22b 2>1，整理得c 2a2>139，解得c a >133或c a <-133(舍去)，当离心率为e =3时，即a =33c 时，可得b =c 2-a 2=63c ，此时D 3c 2,-6c2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得x 1+x 2=3c ,y 1+y 2=-6c ，又由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减可得y2-y1x2-x1=b2x2+x1a2y1+y2=b2×3ca2×(-6c)=-6，即直线l的斜率为k l=-6，又因为k MF=0-3bc-0=-6，所以k MF=k l，此时M,F,A,B四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B0,b，则k AB=b-00+a=ba，又因为直线l垂直平分线段AB，所以k l=-a b，因为直线l与C存在公共点，所以-ab>-ba，即a2<b2，则a2<c2-a2，即2<c2a2,e2>2，解得e>2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+∞.故选：B5(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m∈0,4，过点P2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,5 2C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l ，由已知易知F22,0，若P在双曲线内部(如P 位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P 位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满故P 只能在双曲线的渐近线l 上方，此时过P 可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l 平行的直线符合要求；即1>24-m m ⇒4m -1<14⇒e 2=4m <54，故e ∈1,52，故选：B6(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案】D【分析】由PF 1 =4PF 2 结合椭圆的定义可求出PF 1 ，再由a +c ≥PF 1 ≥a -c 可求出离心率的范围.【详解】因为PF 1 =4PF 2 ，因为PF 1 +PF 2 =2a ，所以4PF 2 +PF 2 =2a ，所以PF 2 =2a 5，PF 1 =8a5，因为a +c ≥PF 1 ≥a -c ，所以a -c ≤8a5≤a +c ，所以5a -5c ≤8a ≤5a +5c ，所以5-5e ≤8≤5+5e ，解得e ≥35，因为0<e <1，所以35≤e <1，所以离心率的范围35,1 ，故选：D .7(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【分析】求出双曲线的解析式，根据△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心求出F 1E ,F 2E 的关系式和点H ,G 的横坐标，设出直线AB 的倾斜角，得到HG 的表达式，即可求出HG 的取值范围【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =ca =1+b 2a 2=1+6a 2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2 =c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463 .故选：D .【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58【答案】C【分析】设PF 2 =t ，由椭圆定义和勾股定理得到e 2=λ2+1λ+1 2，换元后得到λ2+1λ+12=21m -12 2+12，根据二次函数单调性求出12≤e 2≤58，得到离心率的取值范围.【详解】设F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，由椭圆的定义可得，PF 1 +PF 2 =2a ，可设PF 2 =t ，可得PF 1 =λt ，即有λ+1 t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2，即为λ2+1 t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1λ+12，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1λ+12=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由13≤λ≤3，可得43≤m ≤4，即14≤1m ≤34，则m =2时，取得最小值12；m =43或4时，取得最大值58.即有12≤e 2≤58，得22≤e ≤104.故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<λ<3，判断方程中分母的符号即可判断A ,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，∵x 2λ+6-y 23-λ=1表示双曲线，∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A 正确；对于B ，由A 项可得-6<λ<3，故λ+6>0,3-λ>0，∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为c (c >0)，则c 2=λ+6+3-λ=9，∴c =3，即焦距为2c =6，故C 正确；对于D ，离心率e =3λ+6，∵-6<λ<3，∴0<λ+6<3，∴e 的取值范围是(1,+∞)，故D 错误．故选：AC .10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点P 2,1 在椭圆内部求b 的范围，然后可得离心率范围，可判断A ；利用椭圆定义和基本不等式判断B ；当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，然后利用余弦定理判断∠F 1QF 2的最大值，然后可判断C ；利用点差法求解即可判断D .【详解】因为点P 2,1 在椭圆内部，所以24+1b2<1，得b 2>2，因为e =c a=1-b 2a2=1-b 24，所以0<e <22，A 正确；因为点Q 在椭圆上，所以QF 1 +QF 2 =2a =4，所以QF 1 ⋅QF 2 ≤QF 1 +QF 2 22=4，当且仅当QF 1 =QF 2 时等号成立，所以，QF 1 ⋅QF 2 有最大值4，B 错误；由椭圆性质可知，当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，此时，cos ∠F 1QF 2=a 2+a 2-2c 22a2=1-2e 2，因为0<e <22，所以cos ∠F 1QF 2=1-2e 2>0，即∠F 1QF 2的最大值为锐角，故不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0，C 正确；当e =33时，有c 2=33，得c =233，所以b 2=83，易知，当点P 为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k ，与椭圆的交点为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 214+y 21b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，由点差法得y 2-y 1 y 2+y 1 x 2-x 1 x 2+x 1 =-b 24=-23，又k =y 2-y 1x 2-x 1,x 2+x 1=22,y 2+y 1=2，所以22k =-23，即k =-223，D 错误.故选：AC11(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23【答案】ABD【分析】对于A ，根据当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，再根据S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P+S △IF 2P =3r ，代入进而即可求解；对于B ，根据PO =12PF 1 +PF 2，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C ，运用角平分线定理即可求解；对于D ，由正弦定理可得R =1sin θ，再又结合A 可得r =tan θ2，从而得到R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，再根据题意得到θ∈0°,60° ，进而即可求解．【详解】对于A ，设P x ,y ，-2<x <2，则-3<y <3，且y ≠0，所以S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅y =c ⋅y =y ，则当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，又S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =3r ，所以当S △PF 1F 2最大时，3r =3，即r =33，故A 正确；对于B ，过点H 作HG ⊥PF 1，垂足为点G ，又点H 为△PF 1F 2外接圆的圆心，即为△PF 1F 2三条边的中垂线的交点，则点G 为PF 1的中点，由PH ⋅PO =12PH ⋅PF 1 +PF 2 =12PH⋅PF 1 +PH ⋅PF 2 ，又PH ⋅PF 1 =PG +GH ⋅PF 1 =PG ⋅PF 1 =12PF 1 2，同理PH ⋅PF 2 =12PF 2 2，所以PH ⋅PO =14PF 1 2+PF 2 2 =14PF 1 2+PF 2 2≥12PF 1 +PF 222=a 22=2，当且仅当PF 1 =PF 2 =a 时等号成立，即PH ⋅PO的最小值为2，故B 正确；对于C ，由△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则IF 1，IF 2分别是∠PF 1F 2，∠PF 2F 1的角平分线，则由角平分线定理可得PI IM =PF 1 F 1M =PF 2 F 2M ，即PI IM =PF 1+ PF 2 F 1M + F 2M =2a 2c =a c =1e ，故C 错误；对于D ，设∠F 1PF 2=θ，PF 1=a 1，PF 2=a 2，由正弦定理可得2R =F 1F 2 sin θ=2c sin θ，即R =c sin θ=1sin θ，则cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2，即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=6cos θ+1，因为S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=3sin θcos θ+1=3sin θ2cos θ2cos 2θ2=3tanθ2，又结合A 有S △MF 1F 2=3r ，所以3tanθ2=3r ，即r =tan θ2，所以R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，又因为当P 在短轴的端点时，θ最大，此时PF 1=PF 2=F 1F 2=2，θ=60°，所以θ∈0°,60° ，即θ2∈0°,30° ，所以cos θ2∈32,1，故R ⋅r =12cos 2θ2∈12,23 ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】22【分析】焦点F 1,0 ，根据椭圆定义得到c =2，设椭圆和抛物线的交点为Q ，根据抛物线性质得到a =QF +QP2≥2，得到离心率的最大值.【详解】抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F 1,0 ，根据题意2c =3-1 2+2-0 2=22，c = 2.设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x =-1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a =QF +QP2=d +QP 2≥3--1 2=2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e =c a =22.故答案为：2213(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】1+32,2【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线PF 2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即batan60°=3⇒3a 2 b 2=c 2-a 2⇒e <2，设PF 2 =n ，则PF 1 =2a +n ，根据∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1可知PF 2 ≥F 1F 2 =2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知n 2+4c 2-2a +n 2=2cos120°×2cn ⇒n =2b 22a -c，即2b 22a -c≥2c ⇒b 2≥2ac -c 2⇒2c 2-2ac -a 2≥0，则2e 2-2e -1≥0⇒e ≥1+32，故2>e ≥1+32故答案为：1+32,2 14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】2,10 ∪10,+∞ 【分析】首先ba≠3，故e =1+b a 2≠10，其次由题意由点差法得y M =b 23a 2x M ①，同理y N =b 23a2x N ②，由P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，代入得b23a2=y0x0=k≥1，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，ba≠3，故e=1+b a 2≠10，设A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4,P x0,y0,AB的中点M x M,y M,DE的中点N x N,y N，则x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x21-x22a2-y21-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2⋅x My M=y1-y2x1-x2=3，所以y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，因为AB∥DE，所以P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，将①②代入得b23a2x M-y0x M-x0=b23a2x N-y0x N-x0，即x M-x Nb23a2x0-y0=0，因为x M≠x N，所以b23a2=y0x0=k≥1，所以b2a2≥3，所以双曲线C的离心率为e=ca=1+b2a2≥2.所以双曲线C的离心率的取值范围为2,10∪10,+∞.故答案为：2,10∪10,+∞.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，结合P,M,N三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且PF1=5PF2.(1)用a表示PF1,PF2；(2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)PF1=52a,PF2=12a(2)264<e <32【分析】(1)直接利用双曲线的定义结合条件求得PF 1 ,PF 2 ；(2)由余弦定理得到cos ∠F 1PF 2=135-85e 2，利用∠F 1PF 2是钝角，则-1<cos ∠F 1PF 2<0，解得离心率e 的取值范围.【详解】(1)因为点P 在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a ，又PF 1 =5PF 2 ，联立解得PF 1 =52a ,PF 2 =12a .(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=254a 2+a 24-4c 22×52a ×12a =132a 2-4c 252a 2=135-85e 2，因为-1<cos ∠F 1PF 2<0，所以-1<135-85e 2<0，所以264<e <32.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)2+1(3)2,+∞【分析】(1)根据离心率和右焦点即可求出答案.(2)根据对称性分析，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入曲线方程即可求得结果.(3)根据已知，利用圆心到直线l 距离为m k 2+1=1，得出m 2=k 2+1，再由∠AOB =π2，可得k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，然后联立y =kx +m x 2a 2-y 2b2=1，得出x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，上式联立化简可得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，进而利用a ,b ,c 关系，得出ca的范围.【详解】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0，则c =2，ca=2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA =c ，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1，可得b 2a 2-a 2b 2=2，令x =b 2a2x >0 ，则x -1x =2，解得x =1+2，即b 2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且R =1，则圆心到直线l 距离为mk 2+1=1，化简得m 2=k 2+1，①又∠AOB =π2，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k OA ⋅k OB =-1，即y 1x 1⋅y 2x 2=-1，则k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，②联立y =kx +m x 2a2-y 2b2=1得b 2-a 2k 2 x 2-2a 2kmx -a 2m 2-a 2b 2=0，则x 1+x 2=2a 2km b 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k2，③联立①②③，得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，则a 2+a 2b 2-b 2=0，又c 2=a 2+b 2，则c 2a2=c 2-a 2+2=b 2+2>2，则e =ca>2，即离心率e 的取值范围为2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.【答案】(1)1,2 (2)5-1,2【分析】(1)根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；(2)设直线l 的方程x =my +1，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A ，B 两点坐标，根据∠AOB 恒为锐角，转化为OA ⋅OB>0，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.【详解】(1)因为b <22，所以b 2<12，因为a 2+b 2=1，所以c =1，a 2=1-b 2>12，所以a >22，则C 的离心率e =c a =1a<122=2，又e >1，所以C 的离心率的取值范围是1,2 .(2)因为F 1,0 ，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为x =my +1.结合b 2=1-a 2(0<a <1)，联立x =my +1,x 2a2-y 21-a2=1,得a 2m 2+1 -m 2 y 2+2m a 2-1 y -a 2-1 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 由韦达定理，得y 1+y 2=-2m a 2-1a 2m 2+1 -m 2,y 1y 2=-a 2-1 2a 2m 2+1 -m 2,由于A ,B 两点均在C 的右支上，故y 1y 2<0⇒a 2m 2+1 -m 2>0，即m 2<a 21-a2.则OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=my 1+1 my 2+1 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2+m y 1+y 2 +1=m 2+1 ⋅-a 2-1 2a 2m 2+1 -m2+m ⋅-2m a 2-1 a 2m 2+1 -m2+1=m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1a 2m 2+1 -m 2.由∠AOB 恒为锐角，得对∀m 2<a 21-a 2，均有OA ⋅OB >0，即m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1>0恒成立.由于a 21-a 2 >0，因此不等号左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2=0时，-a 4+3a 2-1>0成立即可，解得5-12<a <5+12，结合0<a <1，可知a 的取值范围是5-12,1.综上所述，C 的实轴长的取值范围是5-1,2 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ．(1)若e =2，且双曲线E 经过点(2,1)，求双曲线E 的方程；(2)若a =2，双曲线E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦点到双曲线E 的渐近线的距离为3，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若MF 1 =8，求cos ∠F 1MF 2的值；(3)设圆O :x 2+y 2=4，k ,m ∈R ．若动直线l :y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A ,B 时，总有∠AOB =π2，求双曲线E 离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 2=1；(2)1316；。
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法
圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。
解：设因为，所以
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得
二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系
例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。
若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。
解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则L与双曲线的两交点均
在右支上，
例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。
若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐角即可，即∠AF2F1<45°。
则
三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系
例4．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的取值范围。
解：因为P在右支上，所以
又得
所以又
所以
例5．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
解：由题意得因为，所以，从而
，。
又因为P在右支上，所以。
四、利用判断式确定不等关系
例6．例1的解法一：
解：由椭圆定义知
例7．设双曲线与直线相交于不同的点A、B。
求双曲线的离心率e的取值范围。
解：。
圆锥曲线离心率及范围问题
因为 MH
OF2 ，所以， OF2
MH
OM
MF2 , MH
ab c
，即 M
点纵坐标为
ab c
，
将M
点纵坐标带入圆的方程中可得
x2
a2b2 c2
b2
，解得 x
b2 c
,M
b2
c
,
ab c
，
将M
b4
点坐标带入双曲线中可得
a2c2
a2 c2
1，
化简得 b4 a4 a2c2 ， c2 a2 2 a4 a2c2 ， c2 3a2 ， e c 3 ，选 D. a
PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为（
A．1 3 2
B． 2 3
） C． 3 1 2
D． 3 1
【答案】 3 1
【解析】设椭圆焦点在 x 轴上，则椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0.
因为 F2PF1 90 ， PF2F1 60 ， F1F2 2c ，所以 PF2 c ， PF1 3c
因为 MF1 3 MF2 ， M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知 MF1 MF2 2a ， 即 3 MF2 MF2 2a ， MF2 a 因为圆 x2 y2 b2 的半径为 b ， OM 是圆 x2 y2 b2 的半径，所以 OM b ， 因为 OM b, MF2 a,OF2 c, a2 b2 c2 ， 所以 OMF2 90 ，三角形 OMF2 是直角三角形，
设 F1 为椭圆右焦点， F2 为椭圆左焦点，则 PF1 PF2 2a ，所以 3 1 c 2a ，
所以 e c 2 2 3 1 3 1.故选 D. a 3 1 3 1 3 1
高三数学：专题11 圆锥曲线 理(教师版)
山东省2013届高三数学 各地市最新模拟理数试题精品分类汇编 专题11 圆锥曲线 理（教师版）一、选择题：1. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理7)已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为D. 32．(山东省德州市2013年1月高三上学期期末校际联考理10)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为12,l l ，点P 在第 一象限内且在1l 上，若2l ⊥PF 1，2l //PF 2，则双曲线的离心率是 （ ） AB ．2CD【答案】B【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，渐近线1:b l y x a =，2:bl y x a=-，因为点P 在第一象限内且在1l 上，所以设000(,),0P x y x >，因为2l ⊥PF 1，2l //PF 2，所以12PF PF ⊥，即1212OP F F c ==，即22200x y c +=，又00by x a=，代入得22200()b x x c a +=，解得00,x a y b ==，即(,)P a b 。
所以1PF bk a c=+，2l 的斜率为b a -，因为2l ⊥PF1，所以()1b ba c a ⨯-=-+，即2222()b a a c a ac c a =+=+=-，所以2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，所以双曲线的离心率2e =，所以选B.3．(山东省淄博市2013届高三上学期期末理8)已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于A ．2B ．3C ．2D ．234. （山东省济宁市2013届高三1月份期末测试理）抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 A.78B.1516C.34D.05.(山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理)抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为B. 【答案】D【解析】抛物线212y x =-的准线为3x =，双曲线22193x y -=的两渐近线为3y x =和3y x =-，令3x =，分别解得12y y ==，所以三角形的低为(=，高为3，所以三角形的面积为132⨯= D.6.(山东省青岛一中2013届高三1月调研理)过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线 A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条D ．不存在7.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A ．5 B ．2C ．32D ．58.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A.（0，）12- B.（122，） C.（0，22） D.（12-，1）9.(山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试)过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为 （ ）A ．2 B ．3 C ．12 D ．13二、填空题：10. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理15)若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是 ；11. (山东省烟台市2013年1月高三上学期期末理15)设F 是抛物线C 1：24y x =的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的一条渐近线的一个公共点，且AF x⊥轴，则双曲线的离心率为【解析】抛物线的焦点为(1,0)F .双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取by x a=，因为AF x ⊥，所以1A x =，所以2A y =±，不妨取(1,2)A ，又因为点(1,2)A 也在by x a=上，所以2b a=，即2b a =，所以22224b a c a ==-，即225c a =，所以25e =，即e =12. （山东省济宁市2013届高三1月份期末测试理13）已知双曲线的方程为221169x y -=，则双曲线的离心率是 .13.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理)若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m = . 【答案】23【解析】因为焦点在x 轴上。
离心率的值及范围专题(教师)
关于椭圆离心率例、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
第一类：利用曲线几何性质中某些量自身的有界性解法1：利用曲线中x 的范围设P （x ，y ），又知()0,1c F -，()0,2c F ，则),(),,(21y c x F y c x F -=+=，由02190=∠PF F ,得F F 21⊥，即021=⋅F F 即0)(2=+-+y c x c x ）（，得222c y x =+ 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2222222b a b ac a x --=由椭圆范围及02190=∠PF F 得220a x <≤，即22222220a ba b a c a <--≤ 即2222222a c c a c b c <⇒-≥⇒≥，故22≥e 综上，⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,22e （（1）若顶角为060类，利用数量积的坐标公式与一般公式可列等量关系，从而求出点P 的坐标。
相对090运算复杂；（2）本做法也可以求[]b b y ,-∈）解法2：利用焦半径的范围由焦半径公式得ex a PF +=1，ex a PF -=2，又由2212221F F PF PF =+,则2222222422c x e cx a x e cx a =+-+++即22222c x e a =+，22222ea c x -= 又点),(y x p 在椭圆上，且a x ±≠，则知220a x <≤，即222220a e a c <-≤得⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,22e （（1））第二类：利用定义与基本不等式 解法3：利用基本不等式由椭圆定义知a PF PF 221=+平方后得()22212122212224PF PF PF PF PF PF a +≤++=222182c F F ==，得2122≥a c ，故⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,22e 第三类：几何量存在则对应方程有解解法1：利用二次方程有实根由椭圆定义知a PF PF 221=+⇒221222142a PF PF PF PF =++又由02190=∠PF F ,知222122214c F F PF PF ==+则()22212c a PF PF -=⋅ 故21PF PF 、为方程0)(22222=-+-c a au u 的两实数根，则0)(84222≥--=∆c a a 即21222≥=a c e 22≥⇒e ，故⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,22e 解法2：利用三角形存在则三角函数有界 设α=∠21F PF ,β=∠12F PF ,由正弦定理0212190sin sin sin F F PF PF ==αβ⇒2121sin sin F F PF PF =++βα又a PF PF 221=+，c F F 221=，则βαsin sin 1+==a c e 2cos2sin21βαβα-+=2cos21βα-=由0900<-≤βα得04520<-≤βα，12cos 22≤-<βα，故⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,22e 第四类：利用图形之间的相关性解法：顶角为直角，则顶点P 在圆周上由02190=∠F PF ，得点P 在以c F F 221=为直径的圆上。
求离心率的值与范围的问题
求离心率值问题
x2 例 1： 如图， 若四边形 AF1BF2 F1 , F2 是椭圆 C1 : y 2 1 和双曲线 C2 的公共焦点， 4 为矩形，则双曲线的离心率为____________.
解析：关于共焦点的问题， c 相等，在椭圆里面 AF1 AF2 2a 4 在 RT AF1F2 中满足 AF12 +AF22 =F1F22 ，解得 AF1 =2- 2，AF2 =2+ 2 则在双曲线中 a 2, c 3 ，则 e
弦定理，所以变形一下得
c sin PF2 F1 PF1 a sin PF1F2 PF2
因为 PF 1 2a PF 2 ，所以
c sin PF2 F1 2a PF2 a sin PF1F2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c 所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
率为____________.
解析：题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且 A,B 均不在双曲线上，因此 求点坐标无用，题目双曲线中唯一出现的与 a, b, c 有关系的量就只有渐近线
了，因此题目中必定用到渐近线方程，题目中还给出了垂心的概念，因此垂直 关系就很明显了。而题目中的等量关系就是垂直，例如 AF OB ，因此可采用 斜率乘积为-1 来求，但是需要求出点 B 的坐标，点 B 的坐标是渐近线方程和抛 物线的交点，因此联立即可：
解得
1 e 1 2
离心率范围问题
x2 y 2 例 8： 双曲线 2 2 1 的两个焦点分别是 F1 , F2 ， 若 P 是其上的一点， 且 | PF 1 | 2 | PF 2 |， a b
则双曲线的离心率的取值范围是________.
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。
对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。
求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。
先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。
方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。
根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。
方法三：利用函数的思想分析解答。
根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。
例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。
需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线是一类常见的数学曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。
离心率的概念和求解方法由此可知，有关离心率的题目也就成为高考中的重要题目之一了。
本文将针对离心率圆锥曲线题型，从概念讲解其特点和求解方法，总结出常见的解题技巧，帮助学生们以更加有效的方式解答高考中的有关题目。
一、圆锥曲线离心率概念介绍圆锥曲线（又称双曲线）是由两个圆组成的曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。
离心率e的含义是：沿着椭圆的曲线，两个焦点到远点的距离与远点到椭圆长轴之间的比值。
它的取值范围在0到1之间，且不会等于1。
e=|FO|/2a其中FO是椭圆的焦距，2a为椭圆的长轴长度。
显然，离心率越大，椭圆所在的曲线就越“扁”，当离心率等于1时，椭圆就变成了一条直线。
二、离心率椭圆曲线的求解1.解题时首先要判断该圆锥曲线是否为椭圆曲线，及其离心率；2.如果是椭圆曲线，那么根据上述定义，可以计算离心率e，即：e=|FO|/2a；3.若有给定椭圆轴长2a和焦距|FO|，则可直接求出离心率e，即：e=|FO|/2a；4.若有给定椭圆轴长2a和离心率e，则可求出焦距|FO|，即：|FO|=2ae。
三、离心率椭圆曲线常用解题技巧1.学生们在解离心率椭圆曲线的题目时，可以先把题目的数据推导出离心率的大小，这会使问题更加容易解答；2.若问题涉及曲线上某点的坐标，可以根据离心率的大小，判断出曲线的形状，从而更方便的求解曲线上某点的坐标；3.若问题中出现“最大长短轴之比”，可以考虑根据离心率求出曲线的长短轴，然后求出最大长短轴之比；4.若问题中出现“最近点到焦点的距离”，可以考虑从曲线的射影中求解，也可以根据离心率的大小，判断出最近点到焦点的距离；5.还可以根据椭圆的倾斜角，求出椭圆的方程，以及椭圆上某点的关系，从而解答相关题目。
四、结语圆锥曲线离心率是数学曲线形状的重要特征，对于圆锥曲线题来说，学生们应该根据离心率概念及求解方法，掌握一些常用的解题技巧，以达到以更有效的方式解答高考中的有关题目。
第12讲 解析几何之圆锥曲线的方程(教师版)
第12讲解析几何之圆锥曲线的方程一．基础知识回顾（一）椭圆与椭圆的方程：1．椭圆的概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质线方程：1．双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，________．三．抛物线与抛物线的方程1．抛物线的概念：平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方二．典例精析 探究点一：圆锥曲线的定义及应用例1：（1）一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．（2）已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．（3）已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． 解（1）如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ，∴|CO 1|＋|CO 2|＝10，而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. （2）设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴)．所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |.所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2.所以|F A |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．（3）将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知 |P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72， 即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 坐标为(2,2)．变式迁移1：（1）求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．（2）已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（3）已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 解：（1）将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6.设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6.又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆．a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1. （2）设动圆M 的半径为r ，则由已知得，|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝22，又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，∴|C 1C 2|＝8.∴22<|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1 (x ≥2)． （3）A [点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1.]探究点二：求圆锥曲线的标准方程例2求满足下列各条件的圆锥曲线标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆方程 (2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.的椭圆方程 （3）已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)的双曲线方程．(4) 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程 (5)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点的抛物线方程 (6)过点P (2，－4)的抛物线方程解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a 2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b 2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝14∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. （3）∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2<y p ＝3， ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5.∴双曲线方程为y 25－x 220＝1. （4）设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ (λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y 24＝1. (5)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px(p >0)且－p 2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x .(6)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .变式迁移2：(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．（3）已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，求双曲线的方程(4)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)，求双曲线的方程 (5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0且m ≠n)．∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. （3）由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y 轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，且c ＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1. (4)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. （5）设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程为y ＝p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5， 解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.探究点三：圆锥曲线的几何性质例3：（一）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．（二）已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．（三）过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．解：(一)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn.∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．（二）(1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°. （三）由抛物线方程可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫ky ＋p 2，整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ，∴点C 坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1.∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴． 变式迁移3：（一）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．（二）已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．（三）已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值． 解（一）(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－b a，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．（二）(1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)，λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2.∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．（三）证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24， 当k 不存在时，直线方程为x ＝p 2，这时x 1x 2＝p 24.因此，x 1x 2＝p 24恒成立．(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝常数，所以1|AF |＋1|BF |为定值．1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( C )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( D )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( A )A. ⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C. ⎝⎛⎭⎫3π4，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( A )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( B )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5 6．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( B )A ．－12B ． 0C ．－2D ．47．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( D ) A. 2 B. 3 C ．2 D ． 3 8．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( B ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．49．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( C )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|10．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( A )A ． 直角B ．锐角C ．钝角D ．以上皆有可能11．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝16. 12．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为163． 13．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为62． 14．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝4 2.15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为324． 16．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解:(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．17．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由． 解:(1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪x －12，化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y ，得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)．因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，3y 12(x 1＋1)，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 12(x 1＋1).同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 22(x 2＋1).因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1＝0.②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)．AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32.同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32.因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋32×⎝⎛⎭⎫－32＝0.综上，FM →·FN →＝0，故FM ⊥FN .故以线段MN 为直径的圆过点F .18．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F为焦点，l 1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1.RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8，∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。
圆锥曲线离心率的求法教案
圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念，掌握圆锥曲线的标准方程。
2. 掌握离心率的定义，了解离心率与圆锥曲线的关系。
3. 学会运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。
4. 能够运用离心率解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及标准方程2. 离心率的定义及性质3. 公式法求解圆锥曲线的离心率4. 待定系数法求解圆锥曲线的离心率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的标准方程，离心率的求解方法。
2. 难点：待定系数法求解圆锥曲线的离心率，应用实例的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的概念、标准方程及离心率的定义。
2. 利用案例分析法，分析求解圆锥曲线离心率的公式法和待定系数法。
3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4. 开展小组讨论法，培养学生的合作意识，提高学生的创新能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过复习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，引出圆锥曲线的概念及标准方程。
2. 讲解圆锥曲线的标准方程，阐述离心率的定义及性质。
3. 讲解求解圆锥曲线离心率的公式法，并通过实例演示求解过程。
4. 讲解求解圆锥曲线离心率的待定系数法，并通过实例演示求解过程。
5. 开展练习环节，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，要求学生掌握圆锥曲线的标准方程，熟练运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。
六、教学评价1. 评价学生对圆锥曲线概念和标准方程的理解程度。
2. 评价学生对离心率定义和性质的掌握情况。
3. 评价学生运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线离心率的能力。
4. 评价学生在实际问题中运用离心率解决问题的能力。
七、课后作业1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固圆锥曲线标准方程和离心率的求解方法。
2. 请学生选取一个实际问题，运用离心率解决，并将解题过程和答案写成报告。
高中数学最全圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
慧学上进
的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． 6
B． 3
C． 2
3
D．
3
x2
6.（08 浙江理）若双曲线
a2
y2 b2
1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是（D）
（A）3
（B）5
（C） 3
（D） 5
7.（08 全国一理）在 △ABC 中， AB BC ， cos B 7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则 18
该椭圆的离心率 e
3
．
8
8.（10 辽宁文）设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂
直，那么此双曲线的离心率为（ ）
（A） 2
（B） 3
3 1
（C）
2
5 1
（D）
2
解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，
a2
2
15.
x2 （08 湖南）若双曲线 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）上横坐标为 3a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的 2
距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+ )
C.(1,5)
D. (5,+ )
解析 由题意可知 ( 3 a a2 )e ( 3 a a2 ) 即 3 e 1 3 1 解得 e 2 故选 B.
),
AB
ab ab
,
ab ab
，
因此 2 AB BC, 4a2 b2 ,e 5 ．答案：C
圆锥曲线专题求离心率课件高二上学期数学人教A版选择性
14
32
B.
4
3
C.
2
4
D.
3
练习1．椭圆 x2 y2 4m
1
1的离心率为 2
,则m ________.
练习1．椭圆 x2 y2 4m
1
1的离心率为
2
,则m ________.
当焦点位置不确定时，要“先定位，再定量”
x2 y2 1 4
A. 2 B. 3
3
6
C.
D.
2
2
A. 2
x2 y2 1 4
MF1 MF2 0的点 M 总在椭圆内部，则离心率 e 的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0, 1 ] C．(0, 2 ) D．[ 2 ,1)
2
2
2
已知哪 些重要
⇒
的信息？
⇒ ⇒ 上述圆内含于椭圆 ⇒
例3．椭圆 x 2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2，满足
例3．椭圆 x 2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2，满足
MF1 MF2 0的点 M 总在椭圆内部，则离心率 e 的取值范围为（ C ）
A．(0,1)
B．(0, 1 ] 2
C．(0, 2 ) D．[ 2 ,1)
2
2
练习4．双曲线x 2 a2
y2 b2
1(a
高二 —人教A版—数学选择性必修第一册—第三章
圆锥曲线专题：求离心率
学习目标
1.能理解椭圆与双曲线离心率的概念和相关性质，借 助题目条件进行求值应用.
2.通过问题的层层引入，总结出求离心率的方法.
3.通过分析一般情况下求离心率的方法，形成认识事 物规律要抓住一般性的科学思维.
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圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。
2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。
【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
2.解题时所使用的数学思想方法。
（1）数形结合的思想方法。
一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。
（2）转化的思想方汉。
如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。
（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。
（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。
【题型分析】1. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为（ ）A BCD ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2a x c =-，∴ 方程为224a y x c=；由双曲线可知2(,)b P c a ，∴ 2224()b a c a c =⨯，∴ 222222b b a a=⇒=，∴ 212e -=，e =2．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A ．312+ B ．31- C ．4(23)- D ．324+ 解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图， 由平面几何知识可得2112||:||:||1:3:2PF PF F F =，所以由椭圆的定义及cea=得： 1212||22312||||31F F c e a PF PF ====-++，故选B ． 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e =+．3. （09浙江理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10【解析】对于(),0A a ，则直线方程为x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因此222,4,5ABBC a b e =∴=∴=．答案：C4. （09江西理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．33 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =从而可得33c e a ==，故选B 5.（08陕西理）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）1F 2F xOyPA．BCD6.（08浙江理）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57.（08全国一理）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．388.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A（B（C（D解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴= 220c a ac --=，解得c e a ==9.（10全国卷1理）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：答案：33如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b )．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca.【解析1如图，||BF a ==, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =，得 1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232,c a a a =-e ⇒=【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22221x y a b+=，设()22,D x y ，F 分 BD 所成的比为2，222230223330;122212222c c c c y b x b y b bx x x c y y -++⋅-=⇒===⇒===-++，代入222291144c b a b +=，e ⇒=10. （07全国2理）设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ B ） ABCD解122222122210()()(2)10AF AF AF a aeAF AF c 11. 椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45o的直线与椭圆交于A 、B 两点且F 分向量BA 的比为2/3，椭圆的离心率e 为: 。
本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。
思路简单，运算繁琐。
下面介绍两种简单解法。
解法（一）：设点A(),A A x y ，B (),B B x y ，由焦半径公式可得32A B a ex a ex +=+，则2()3()A B a ex a ex +=+，变形2()A B B a ex a ex a ex +--=+，所以2()A B Be x x a ex -=+因为直线倾斜角为45o，所以有225e AB ，所以e =提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。
焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。
一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。
解法（二）：12. （10辽宁理）(20)（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o ,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为)y x c =-，其中c =.联立2222),1y x c x yab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y == 因为2AF FB =，所以122y y -=. 即2= 得离心率23c e a ==. ……6分 13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =2π,则椭圆离心率的范围是_________. 解析：设椭圆方程为2222b y a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆：x 2－ax +y 2=0,两式联立消y得222a b a -x 2－ax +b 2=0.即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2ea －a ＜a 22⇒＜e ＜1.答案：22＜e ＜1 14. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212MF MF b ⋅=，椭圆的离心率的取值范围是;解析: 由椭圆的定义，可得 212MF MF a +=又2212MF MF b ⋅=，所以21,MF MF 是方程22220xax b -+=的两根，由22(2)420a b ∆=--⨯≥， 可得222a b ≥，即2222()a c a ≥-所以2c e a =≥，所以椭圆离心率的取值范围是2[15. （08湖南）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)解析 由题意可知2233()()22a a a e a c c ->+即331122e e->+解得2e >故选B.16.（07北京）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．1(0]2，Ｂ．2(0，Ｃ．1[1)2，Ｄ．21) 解析 由题意得2222a c c ≤⨯∴2e ≥故选D.17.（07湖南）设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．2(0，B ．3(0，C ．21)D.3[1)分析 通过题设条件可得22PF c =，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：∵线段1PF 的中垂线过点2F ， ∴22PF c =，又点P 在右准线上，∴22a PF c c ≥-即22a c c c ≥-∴3c a ≥31e ≤<，故选D.点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.18. （08福建理）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（B ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断0x a解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.解2 如图2所示，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，222(2)4cos 254cos 2m m m ce a θθ+-===-.当点P 在右顶点处有θπ=.∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈.选B.小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.19.（08江西理）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．2D ．2[ 解 据题意可知，∠1F M2F 是直角，则垂足M 的轨迹是以焦距为直径的圆.所以2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<.又(0,1)e ∈，所以)22,0(∈e .选C.小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a ，b ，c 间的不等量关系，然后利用a ，b ，c 间的平方关系化为关于a ，c 的齐次不等式，除以2a 即为关于离心率e 的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围.20. （04重庆）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A43 B 53 C 2 D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B.21. 已知1F ，2F 分别为22221x ya b -= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A(1,2] B (1,3] C [2,3] D [3,)+∞解析222122222(2)4448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.22. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，椭圆的离心率e 的取值范围是; 。