广东省中山市一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学试卷
广东省中山一中2020届高一第二学期第一次段考
中山一中2020届高一第二学期第一次段考语文试题卷一、现代文阅读（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
相对来说，宋代文化环境比较宽松，士人群体活跃，“开口揽时事，论议争煌煌”，正是在这样相对开明、宽松的环境下，宋代社会充满活力，大师、精英辈出，由这种开放氛围孕育出一种开创精神。
葛兆光先生曾说，唐文化是“古典文化的巔峰”，而宋文化则是“近代文化的滥觞”。
这两者的区别，简单来概括，就是出现了“平民化、世俗化、人文化”的趋势。
比较唐宋两代都城，能直观感受到两类都市格局和它所呈现的不同气象。
唐代长安城的布局非常严整，而宋代开封相对来说商业气氛比较浓重。
唐代居民住宅区基本上是坊式结构，“坊”在某种意义上接近于封闭的小区。
而宋代城市结构，基本是一种长巷式、街区式的布局，是一种开敞式的氛围，南宋都城临安也是如此。
两宋时期，文学重心逐渐下移，文学体裁从诗文扩大到词曲、话本小说，与市井有了更密切的关系；创作主体从士族文人扩大到庶族文人乃至市井文人；文学的接受者扩大到市民以及社会大众。
当时都市的街头巷尾，活跃着一些讲史，说书的艺人，他们不仅是故事情节的传布者，也是文学作品的丰富者、参与创造者。
而生活在市井中的普通民众，也成为文学艺术的直接欣赏者和接受者。
在道路通衢、瓦肆勾栏，有杂耍的、说书的、讲史的，也有街头的饮茶活动，这些都是市民文化勃兴的重要标志。
通过读书、科举、仕宦、创作、教学、游赏等活动，宋代的文人士大夫结成了多种类型、不同层次的交游圈，像真率会、同乡会、同年会等各种各样的聚会形式，层出不穷。
有时，“者老者六七人，相与会于城中之名园古寺，且为之约；果实不过五物，殽膳不过五品，酒则无算。
以为俭则易供，简则易继也。
命之曰‘真率会’”。
都市中的茶楼、酒肆，成为文人交往、会聚的场所。
一些私人的花园、亭馆也成了士人交游访友的去处。
士人也将茶具、酒器、梅花、新茶等作为重要的礼品彼此互赠。
广东省中山市纪念中学2020-2021学年高一上学期《数据与计算》学业水平模拟信息技术试题(解析版)
D.经过实验验证，我们得出电流I与电阻R成反比例关系，这是智慧
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查数据、信息与知识。
经过实验验证，我们得出电流I与电阻R成反比例关系，这是知识。故本题选D选项
8.班级的所有同学共同完成一个项目作业，每个同学按照分工需完成不同的部分和任务，并最终汇总形成本组的项目报告。下列（）工具更适合于这样的团队合作任务。
14.算法是指（）。
A.数学的计算公式
B.程序设计语言的语句序列
C.问题的精确描述
D.解决问题的精确步骤
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查算法的描述。算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制，故本题选D选项。
15.下面关于算法的描述，错误的是（）。
A.微信B.有道云协作C.网络画板D.PowerPoint
【答案】B
【解析】
【详解】本题主要考查计算机交流软件的使用。每个同学按照分工需完成不同的部分和任务，并最终汇总形成本组的项目报告，有道云协作更适合于这样的团队合作任务，故本题选B选项。
9.如果你只需要保存一个软件的序列号或仅保存一段文本（如软件说明书），使用方便且占用空间小的应用软件是( )
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查进制数的转换。二进制、八进制、十六进制数均可通过“按权展开、逐项相加”的方法转换为十进制数，故10101000B=168D，247O=167D，A9H=169D，故最大的是十六进制的A9，故本题选D选项。
4.英文字母A的ASCII码为01000001，英文字母D的ASCII码转化为十进制后是（）
2020-2021学年广东省中山一中高三(上)第一次统测数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学（理科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．32．（5分）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）3．（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+ g（x）=B．f（x）= g（x）=（）3C．f（x）=• g（x）=D．f（x）= g（x）=x04．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．127．（5分）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题11．（5分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]12．（5分）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）= ．15．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2020-2021学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学（理科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3【分析】本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；①当B=∅时，a=0，②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，综上，a的值是0，3，，故选：A．【点评】本题容易忽略B=∅的情况．2．（5分）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+ g（x）=B．f（x）= g（x）=（）3C．f（x）=• g（x）=D．f（x）= g（x）=x0【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系．6．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．（5分）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程 log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．8．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．11．（5分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．12．（5分）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】由题目给出的新定义可知满足关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，分别取i=1，j=1，2，3；i=2，j=1，2，3；i=3，j=1，2，3验证后即可得到答案．【解答】解：有定义可知满足（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i 后除以3等于0，i=1，j=1，（1+1）除以3的余数是2，（2+1）除以3的余数是0；i=1，j=2，（1+2）除以3的余数是0，（0+1）除以3的余数是1；i=1，j=3，（1+3）除以3的余数是1，（1+1）除以3的余数是2；i=2，j=1，（2+1）除以3的余数是0，（0+2）除以3的余数是2；i=2，j=2，（2+2）除以3的余数是1，（1+2）除以3的余数是0；i=2，j=3，（2+3）除以3的余数是2，（2+2）除以3的余数是1；i=3，j=1，（3+1）除以3的余数是1，（1+3）除以3的余数是1；i=3，j=2，（3+2）除以3的余数是2，（2+3）除以3的余数是2；i=3，j=3，（3+3）除以3的余数是3，（3+3）除以3的余数是0．所以满足条件的数对有（1，1），（2，2），（3，3）共3对．故选C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是基础题型．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）= ﹣2 ．【分析】推导出f（x+2）=f（x），f（1）=0，由此利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，能求出f（﹣）+f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∵当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（﹣）+f（1）=﹣f（）+0=﹣f（）=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得 x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．16．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax2﹣2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域为R，∴对任意x∈R都有ax2﹣2x+a＞0恒成立，则，解得：a＞1．∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，∴ax2﹣2x+a能取到大于0的所有实数，则，解得：0＜a≤1．∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1，2]，∴a≤1；∵命题q：“”，∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）解：对称轴，定义域x∈[2，5]①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m ＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①（1分）又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2（3分）∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（5分）（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，（7分）当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|（13分）∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）消去参数t，可得曲线C1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），消去参数可得：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．化为ρcosθ﹣2ρsinθ=7，它的普通方程为：x﹣2y﹣7=0．（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，Q的直角坐标为：（﹣4，4），设P（8cost，3sint），故M（﹣2+4cost，2+），PQ中点M到曲线C2上的点的距离d==（其中tanβ=），当sint=，cost=时，PQ中点M到曲线C2上的点的距离最小值为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
广东省中山市第一中学2019-2020学年高一上学期第二次段考物理试题(含答案)
中山市第一中学2019—2020学年度第一学期高一级 第二次段考 物理试题命题人：高一物理组 审题人：高一物理组第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、单项选择题：本题包括10个小题，每小题3分，共30分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的要求，选对得3分，多选、错选均不得分。
1．以下说法正确的是（ ）A ．速度、加速度、力都是矢量B ．“一节课40分钟”中的40分钟指的是时刻C ．所有体积很小的物体都能视为质点D ．研究物体的运动时，只能以地面为参考系2． 如图，在弹簧秤钩下竖直悬挂一个静止的木块，下列说法中正确的是（ ）A ．木块对弹簧秤的拉力的施力物体是地球B ．木块的重力和弹簧秤对小球的拉力是一对相互作用力C ．弹簧秤对木块的拉力在数值上等于木块的重力D ．弹簧秤对木块的拉力和木块对弹簧秤的拉力是一对平衡力3．列车出站做匀加速直线运动，车头经过站台某点O 时速度是1m/s ，车尾经过O 点时 速度是7m/s ，则列车中点经过O 点时的速度大小为（ ）A ．5.5m/sB ．5m/sC ．4m/sD ．3.5m/s4．用手握住瓶子，使瓶子在竖直方向静止，如图所示，如果握力加倍，则手对瓶子的摩擦力( ) A ．握力越大，摩擦力越大 B ．手越干越粗糙，摩擦力越大 C ．方向由向下变成向上D ．只要瓶子不动，摩擦力大小与握力大小无关5．一质点沿x 轴做直线运动，其vt 图像如图所示．质点在t ＝0时位于x ＝5 m 处，开始沿x 轴正向运动．当t ＝8 s时，质点在x 轴上的位置为 ( ) A ．x ＝3 m B ．x ＝8 m第2题图第4题图C ．x ＝9 mD ．x ＝14 m6．如右图所示，起重机将重为G 的重物匀速吊起，此时四条钢索与竖直方向的夹角均为60°，则每根钢索中弹力大小为（ ） A ．4G B ．2GC ．G 433 D ．G 633 7．如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为N 1，球对木板的压力大小为N 2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中 ( ) A ．N 1先增大后减小，N 2始终减小 B ．N 1先增大后减小，N 2先减小后增大 C ．N 1始终减小，N 2始终减小D ．N 1始终减小，N 2始终增大二、多项选择题：本题共6小题，每小题4分，共计24分。
2020-2021学年度九年级第二学期第一次中考模拟考试卷(7)
2020-2021学年度第二学期九年级模拟考试（一）数学试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣7的倒数是（）A．7B．﹣C．D．﹣72．新冠病毒肆虐全球，截止至2021年1月，全球约有85500000人感染新冠病毒，将85500000用科学记数法可表示为（）A．8.55×106B．8.55×107C．855×105D．0.855×1083.如图所示的几何体，它的俯视图是（）A. B. C. D.4．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝8a3D．A3÷a＝a35．如图，已知a∥b，将一块等腰直角三角板的两个顶点分别放在直线a、b上．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．110°D．115°6．“节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量的中位数是（）月用水量（吨）4569户数（户）3421 A．5B．6C．5.5D．2.57．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正六边形D．圆8．不等式组⎩⎨⎧≤-<-3120x x 的解集为（ ）A ．0>xB ．2≤xC ．20≤<xD ．0<x9．已知x 1，x 2是一元二次方程x x 32=的两个实数根，下列结论错误的是（ ） A ．x 1≠x 2B ．x 12-3x 1＝0C ．x 1+x 2＝3D ．x 1x 2＝310．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①abc ＞0；②4ac ﹣b 2＜0；③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；④2c ＜3b ； 其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 11．.分解因式：=-1822a ．12．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和 ． 13．若032=++-b a ，则()=+2021b a ．14．已知a ﹣b ＝5，ab ＝﹣1，则3a ﹣3（ab +b ）的值是 ．15．如图，⊙O 的半径是2，扇形BAC 的圆心角为60°．若将扇形BAC 剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为 ．16．如图，△ABC 中，以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于E 、F 点，分别以点E 、F 为圆心，以大于EF 的长为半径作弧，两弧交于点G ，做射线BG ，交AC 于点D ，过点D 作DH ∥BC 交AB 于点H ．已知HD ＝3，BC ＝7，则AH 的长为 ． 17．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把△PBE 沿PE 折叠，得到△PFE ，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为 ．18．先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝﹣2．19．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE ＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．20．为了解疫情期间网络学习的效果，某中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不好”四个等次中，选择一项作为评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共抽查了人；扇形统计图中，学习效果“一般”所对应的圆心角度数为；请将条形统计图补充完整；（2）张老师在班上抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．21．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA 的延长线于F．（1）求证：∠DCP＝∠DAP；（2）若AB＝2，DP：PB＝1：2，且P A⊥BF，求对角线BD的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OC＝，求BH的长．23．今年3月份，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？五．解答题（二）（共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连接OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA 时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．（3）求点C的坐标．25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠P AC＝45°时，求m的值．。
2020-2021学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣26．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、多项选择题（共4小题）.9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是811．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝，单调递增区间是．14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0≤x＜4}B．{x|0≤x≤2}C．{x|2＜x＜4}D．{x|x＜4}解：因为集合A＝{x|1≤x+1＜5}＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴∁R B＝{x|x＞2}，∴A∩（∁R B）＝{x|2＜x＜4}，故选：C．2．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．y＝|x|，u＝B．y＝，s＝（）2C．D．解：A．y＝|x|和的定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为{x|x≠1}，m＝n+1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，定义域不同，不是同一函数．故选：A．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：∵，∴a＜0，∵ln3＞lne＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．在△ABC中，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，A∈（0，π），考虑充分性，“”推不出“”，如当A＝时，sin A＝，所以“”不是“”的充分条件；再考虑必要性，“”⇒A∈（）⇒“”，所以“”是“”的必要条件；故选：C．5．已知函数f（x+2）＝2x+x﹣2，则f（x）＝（）A．2x﹣2+x﹣4B．2x﹣2+x﹣2C．2x+2+x D．2x+2+x﹣2解：设t＝x+2，则x＝t﹣2，∴f（t）＝2t﹣2+t﹣2﹣2＝2t﹣2+t﹣4，∴f（x）＝2x﹣2+x﹣4．故选：A．6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由函数y＝，y＝log a（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，将其向右平移个单位长度后得到的函数解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（2x﹣）D．y＝sin（2x﹣）解：由函数图象知，A＝，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，所以函数f（x）＝sin（2x+φ）；因为f（）＝sin（+φ）＝﹣sin（+φ）＝﹣，所以+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）；将函数的图象向右平移个单位长度后，得y＝sin[2（x﹣）+]的图象，即y＝sin（2x﹣）．故选：C．8．方程cos x＝log8x的实数解的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：方程cos x＝log8x的实数解的个数，即函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象交点的个数．数形结合可得函数y＝cos x的图象和函数y＝log8x的图象（图中红色曲线）交点的个数为3，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列各式中，值为的是（）A．cos2﹣sin2B．C．2sin195°cos195°D．解：对于A，cos2﹣sin2＝cos＝；对于B，＝tan45°＝；对于C，2sin195°cos195°＝sin390°＝sin30°＝；对于D，＝＝．故选：BC．10．已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A．B．若a+b＝4，则log2a+log2b的最大值为2C．若a＞b，则D．若a+b＝1，则的最小值是8解：已知a，b为正实数，（a+）（b+）＝ab+++≥2+2＝4，当且仅当a＝b ＝1是取等号，故，所以A正确；因为正实数a，b满足a+b＝4，∴4≥2，化为：ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，则log2a+log2b＝log2（ab）≤log24＝2，其最大值是2．则log2a+log2b的最大值为2，所以B正确；若a＞b，a，b为正实数，有不等式性质有，所以C正确；若a+b＝1，+＝（+）•（a+b）＝1+4++≥5+2＝9，所以D不正确；故选：ABC．11．已知函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，下列说法正确的是（）A．若x∈[﹣π，π]，则f（x）有2个零点B．f（x）的最小值为C．f（x）在区间上单调递减D．π是f（x）的一个周期解：根据函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|，整理得f（x）＝2cos2x+|cos x|﹣1，对于A：若x∈[﹣π，π]，当x＝±π或时，满足函数f（x）＝0，则f（x）有4个零点，故A错误；对于B：由于t∈[0，1]，当t＝0时，f（x）的最小值为﹣1，故B错误；对于C：利用函数的关系式转换为f（x）＝g（x）+h（x），由于函数g（x）＝|cos x|在（0，）上单调递减，函数h（x）＝|cos2x|在（0，）上单调递减，故f（x）在区间上单调递减，故C正确；对于D：因为f（x+π）＝f（x），所以f（x）的周期T＝π，故D正确；故选：CD．12．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，且ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则（）A．B．C．是偶函数D．是奇函数解：由题意函数f（x）＝a sin x+b cos x＝sin（x+φ），其中a，b∈R，ab≠0．因为＝1，对一切x∈R恒成立，可知f（）＝±1，所以+φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝kπ+，k∈Z，可得φ＝，f（）＝sin（+），f（）＝sin（+），故f（）＞f（），或f（）＜f（），故A错误；因为f（x﹣）＝sin（x﹣+）＝sin x，所以f（x）为奇函数，故C错误；因为f（x+）＝sin（x++）＝sin（x+）＝cos x，又因为cos x是偶函数，所以f（x）为偶函数，故D错误；f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sin（x﹣），故B正确；故选：B．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝2，单调递增区间是．解：由周期的求解方法可知；π＝，可得ω＝2；可得函数f（x）＝2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ∴+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）即函数f（x）的递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故答案为2，[+kπ，+kπ]（k∈Z）14．命题“所有三角形都有内切圆”的否定是“存在一个三角形没有内切圆”．解：全称命题“所有三角形都有内切圆”，它的否定是特称命题：“存在一个三角形没有内切圆”．故答案为：“存在一个三角形没有内切圆”．15．已知角θ的终边在直线y＝﹣3x上，则＝．解：∵角α的终边在直线y＝3x上，∴tanα＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．16．已知函数，若a、b、c、d、e（a＜b＜c＜d＜e）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝f（e），则M＝af（a）+bf（b）+cf（c）+df（d）+ef（e）的取值范围为（0，9）．解：函数f（x）的图象如图所示：由图可得a+d＝2，b+c＝2，5＜e＜6，所以M＝（a+b+c+d+e）f（e）＝（4+e）（6﹣e）＝﹣e2+2e+24＝﹣（e﹣1）2+25，因为5＜e＜6，所以函数M在（5，6）上单调递减，又e＝5时，M＝9，e＝6时，M＝0，所以M的取值范围为（0，9），故答案为：（0，9）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式＝；（2）原式＝3+lg100+2＝3+2+2＝7．18．已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）x m+2，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若（3﹣a）m＞（a﹣1）m，求a的取值范围．解：（1）∵函数是幂函数，∴m2+2m﹣2＝1，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴m+2＜0，即m＜﹣2，∴m＝﹣3，∴f（x）＝x﹣1，（2）令g（x）＝x﹣3，因为g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，∵（3﹣a）﹣3＞（a﹣1）﹣3，∴3﹣a＜a﹣1＜0或0＜3﹣a＜a﹣1或3﹣a＞0＞a﹣1，解得2＜a＜3或a＜1，故a的取值范围为：{a|2＜a＜3或a＜1}．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；（2）若锐角α满足，且β满足，求cosβ的值．解：f（x）＝sin2x﹣×（1+cos2x）+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则（1）f（x）的最小正周期T＝，由2x﹣＝kπ+得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称轴为{x|x＝+，k∈Z}．由2x﹣＝kπ得2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）若锐角α满足，且β满足，则sin[2（α+）﹣]＝﹣，得sin（2α+）＝cos2α＝﹣，即2cos2α﹣1＝﹣，得2cos2α＝，即cos2α＝，则cosα＝，sinα＝，∵，∴cos（α+β）＝±，当cos（α+β）＝时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×+×＝，当cos（α+β）＝﹣时，cosβ＝cos（α+β﹣α）＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21．已知定义域为R的函数，是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）单调性并证明；（3）若∀t∈[﹣1，4]，不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．解：（1）由于定义域为R的函数是奇函数，则即，解得，即有f（x）＝，经检验成立；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．证明：设任意x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，由于x1＜x2，则2x1＜2x2，即有＞0，则有f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；（3）不等式f（t2+2）+f（2t2﹣kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（﹣x）＝﹣f（x），f（2t2﹣kt）＜﹣f（2+t2）＝f（﹣t2﹣2），再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则2t2﹣kt＞﹣t2﹣2，即有3t2﹣kt+2＞0对t∈[﹣1，4]恒成立，当t＝0时，2＞0，显然成立；当0＜t≤4时，k＜＝3t+，3t+≥2，当且仅当t＝时，取得等号，则k＜2；当﹣1≤t＜0时，k＞＝3t+，又3t+＝﹣[（﹣3t）+]≤﹣2，当且仅当t＝﹣∈[﹣1，0）时，取得等号，则k＞﹣2；综上可得k的范围是（﹣2，2）．22．已知函数为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴．（1）若f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，求f（x）；（2）若f（x）在上单调，求ω的最大值．解：（1）因为f（x）在[0，2π]内有且仅有6个零点，则6个零点间有周期，所以①，又8个零点间的一定比[0，2π]的区间长度大，即②，由①②可得，又为f（x）的零点，所以，k1∈Z③，为f（x）图象的对称轴，则，k2∈Z④，④﹣③可得，即ω＝2（k2﹣k1）+1，因为k1∈Z，k2∈Z，所以ω为奇数，故ω＝3，由③可得φ＝，k1∈Z，又|φ|，所以φ＝﹣，故；（2）由（1）可知，ω＝2（k2﹣k1）+1，k1，k2∈Z，故ω为奇数，因为f（x）在上单调，则，解得ω≤12，所以ω的最大值可能为11，9，7，…，当ω＝11时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝﹣，故，此时函数f（x）在上不单调；当ω＝9时，φ＝k1π，又|φ|，所以φ＝，故，此时函数f（x）在上单调递减，符合题意．综上可得，ω的最大值为9．。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
2020-2021学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|3x +2>0}，B ={x ∈R|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. (−1,−23)C. ﹙−23，3﹚D. (3,+∞)2. 如果a <b <0，那么下列各式一定成立的是( )A. |a|<|b|B. a 2<b 2C. a 3<b 3D. 1a <1b3. 德国数学家秋利克在1837年时提出“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，“这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f(x)由如表给出，则f(f(2020))的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 20184. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A. [2,6]B. [−6,−2]C. (2,6)D. (−6,−2)5. 设a =0.60.3，b =0.30.6，c =0.30.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a6. 若实数a ，b 满足1a +4b =√ab ，则ab 的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 已知函数f(x)={2x ,x ≥2(x −1)2,x <2，若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，则数k 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (1,3)8. 已知函数f(x)=2+x2+|x|，x ∈R ，则不等式f(x 2−2x)<f(2x −3)的解集为( )A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,32]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列函数中，最小值是2的是()A. y=a2−2a+2a−1(a>1) B. y=√x2+2+1√x2+2C. y=x2+1x2D. y=x2+2x10.下列四个结论中正确的是()A. 命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”B. 命题“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是真命题C. “a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件D. 当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减11.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入−支出费用).由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法中正确的是()A. 图2的建议是：减少支出，提高票价B. 图2的建议是：减少支出，票价不变C. 图3的建议是：减少支出，提高票价D. 图3的建议是：支出不变，提高票价12.对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是()A. ∃x∈R，x≥[x]+1B. ∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]C. 函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)D. 若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[t5]=3…，[t n]=n−2同时成立，则正整数n的最大值是5三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=a x−2−4(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为．14.若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4，则a的值为．15.y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，则y=f(3−x2)的单调递减区间为．16.对于函数f(x)，若在定义域存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32.18.设函数y=√−x2+7x−12的定义域为集合A，不等式1x−2≥1的解集为集合B．(1)求集合A∩B；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的和为6．(1)求函数f(x)解析式；(2)求函数g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值．20.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x3．(1)求x<0时f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x+1)≥8f(x)．21.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式：y1=4−at(0<a<43,a为常数)，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式：y2={√t,0<t<13−2t,1≤t≤3，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．(1)若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？(2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．22. 定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，ℎ(−2)=ℎ(0)=1，ℎ(−3)=−2． (1)求g(x)和ℎ(x)的解析式；(2)若对于x 1，x 2∈[−1,1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；(3)设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在(2)的条件下，讨论方程f[f(x)]=a +5的解的个数．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．先求出集合B和A，然后利用交集运算求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|(x+1)(x−3)>0}={x|x<−1或x>3}，}，又集合A={x∈R|3x+2>0}={x|x>−23}∩{x|x<−1或x>3}={x|x>3}，所以A∩B={x|x>−23故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据条件取特殊值a=−2，b=−1，即可排除ABD；由不等式的基本性质，即可判断C．【解答】解：由a<b<0，取a=−2，b=−1，则可排除ABD；由a<b<0，根据不等式的基本性质可知C成立．故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．先求出f(2020)=2018，从而f(f(2020))=f(2018)，由此能求出结果．【解答】解：由题意知：f(2020)=2018，f(f(2020))=f(2018)=3．故选：C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查存在量词命题的真假，二次不等式恒成立，考查转化思想．先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”的否定为：“∀x∈R，都有x2+mx+2m−3≥0”，由于命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则其否定为真命题，∴Δ=m2−4(2m−3)≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2,6]．故选：A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了幂函数和指数函数的性质，是基础题．利用幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，比较出a，c的大小，再利用指数函数y=0.3x 在R上单调递减，比较出b，c的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，且0.6>0.3，∴0.60.3>0.30.3，即a>c，∵指数函数y=0.3x在R上单调递减，且0.6>0.3，∴0.30.6<0.30.3，即b<c，∴b<c<a，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由已知得a，b>0，利用√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b即可得出ab≥4，验证等号成立的条件．【解答】解：实数a，b满足1a +4b=√ab，则a，b>0．∴√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b，可得ab≥4，当且仅当1a =4b，a=1，b=4时取等号．则ab的最小值为4．故选：D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．题目等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：作出函数f(x)的图象如图：若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，即函数y =f(x)的图象与直线y =k 有三个交点，根据图象可知，k ∈(0,1)． 故选：A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查分段函数的性质以及应用，注意将函数解析式写出分段函数的形式，属于中档题．根据题意，将函数的解析式写出分段函数的形式，据此作出函数的大致图象，据此可得原不等式等价于{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=2+x2+|x|={−4x−2−1,x <01,x ≥0，其图象大致为：若f(x 2−2x)<f(2x −3)，则有{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得：1<x <2，即不等式的解集为(1,2)；故选：A．9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A：a−1>0，y=a2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B：y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C：y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D：当x<0时，无最小值，故D错误．故选：AC．10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，幂函数的性质等知识的应用，是基本知识的考查．利用命题的否定判断A；令n=2k和n=2k+1，k∈Z分析n2+1是不是4的倍数判断B；根据充要条件判断C；由幂函数的性质判断D即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”，满足命题的否定形式，所以A正确；令n=2k，k∈Z，则n2+1=4k2+1不是4的倍数，令n=2k+1，k∈Z，则n2+1=4k2+4k+2不是4的倍数，所以“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是假命题，所以B不正确；“a>5且b>−5”推出“a+b>0”成立，反之不成立，如a=5，b=−4，满足a+ b>0，但是不满足a>5且b>−5，所以“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件不成立，所以C不正确．当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减，满足幂函数的性质，所以D正确；故选：AD．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的支出情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变；由图(3)看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持支出不变，故选：BD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，由新定义把问题转化不等关系是解题关键．由新定义得[x]≤x <[x]+1，可得函数f(x)=x −[x]值域判断C ；根据题意，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，判断D ． 【解答】解：∀x ∈R ，x <[x]+1，故A 错误；由“取整函数”定义可得，∀x ，y ∈R ，[x]≤x ，[y]≤y ，由不等式的性质可得[x]+[y]≤x +y ，所以[x]+[y]≤[x +y]，B 正确；由定义得[x]≤x <[x]+1，所以0≤x −[x]<1，所以函数f(x)=x −[x]的值域是[0,1)，C 正确；若∃t ∈R ，使得[t 3]=1，[t 4]=2，[t 5]=3，…[t n ]=n −2同时成立，则1≤t <√23，√24≤t <√34，√35≤t <√45，√46≤t <√56，…√n −2n ≤t <√n −1n ，因为√46=√23，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，只有n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，故选：BCD ．13.【答案】(2,−3)【解析】 【分析】本题主要考查指数函数的性质，利用a 0=1的性质是解决本题的关键．比较基础． 根据指数函数的性质，令指数为0进行求解即可求出定点坐标． 【解答】解：由x −2=0得x =2，此时f(2)=a 0−4=1−4=−3， 即函数f(x)的图象过定点A(2,−3)， 故答案为：(2,−3)14.【答案】38【解析】 【分析】口向上和向下两种情况判定函数值在何时取最大值，并根据最大值为4，即可求出对应的实数a的值【解答】解：当a=0时，f(x)=1，不符合题意，舍去．当a≠0时，f(x)的对称轴方程为x=−1，(1)若a<0，则函数图象开口向下，函数在[1,2]递减，当x=1时，函数取得最大值4，即f(1)=a+2a+1=4，解得a=1(舍)．(2)若a>0，函数图象开口向上，函数在[1,2]递增，当x=2时，函数取得最大值4，即f(2)=4a+4a+1=4，解得a=3，8，综上可知，a=38．故答案为：3815.【答案】[0,+∞)【解析】【分析】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于中档题．根据复合函数单调性“同增异减”的原则，问题转化为求y=3−x2的单调递减区间，求出即可．【解答】解：根据复合函数单调性“同增异减”的原则，因为y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，要求y=f(3−x2)的单调递减区间，即求y=3−x2的单调递减区间，而函数y=3−x2在[0,+∞)单调递减，故y=f(3−x2)的单调递减区间是[0,+∞)，故答案为：[0,+∞)．16.【答案】[−2,+∞)【分析】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“局部奇函数”的定义，属于拔高题．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解．可设2x+2−x=t(t≥2)，从而得出需方程t2−mt−8=0在t≥2时有解，从而设g(t)=t2−mt−8，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则方程f(−x)=−f(x)有解；即4−x−m⋅2−x−3=−(4x−m⋅2x−3)有解；变形可得4x+4−x−m(2x+2−x)−6=0，即(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解即可；设2x+2−x=t(t≥2)，则方程等价为t2−mt−8=0在t≥2时有解；设g(t)=t2−mt−8=0，必有g(2)=4−2m−8=−2m−4≤0，解可得：m≥−2，即m的取值范围为[−2,+∞)；故答案为：[−2,+∞)．17.【答案】解：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512=0.43×(−13)−1+24×34+0.52×12=2.5−1+8+0.5=10；(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32=lg5+lg2+3−log32−2(log23×log32)=1+12−2=−12．【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质，属于基础题．(1)根据指数幂的运算性质计算即可；(2)根据对数的运算性质计算即可．18.【答案】解：由题意得：−x2+7x−12≥0，解得：3≤x≤4，故A=[3,4]，∵1x−2≥1，∴x−3x−2≤0，解得：2<x≤3，故B=(2,3]，(1)A∩B={3}；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，即[3,4]⫋(a，+∞)，故a<3，故a的取值范围是(−∞,3)．【解析】本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，考查了充分必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)分别求出集合A，B，求出A∩B即可；(2)根据集合的包含关系求出a的范围即可．19.【答案】解：(1)函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a+a2=6，即a2+a−6=0，解得a=2或a=−3(舍)，故a=2，∴f(x)=2x；(2)g(x)=f(2x)−8f(x)=22x−8⋅2x，令2x=t，则原函数化为ℎ(t)=t2−8t，t∈[2,2m]，其对称轴方程为t=4，当2m≤4，即1<m≤2时，函数最小值为(2m)2−8⋅2m=4m−8⋅2m；当2m>4，即m>2时，函数的最小值为42−8×4=−16．∴g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值为g(x)min={4m−8⋅2m,1<m≤2−16,m>2．【解析】本题考查指数函数的解析式、单调性与最值，二次函数的性质，是中档题．(1)根据指数函数的性质建立方程a+a2=6，即可求a的值，进一步得到函数解析式；(2)求出函数g(x)=f(2x)−8f(x)的解析式，换元后对m分类，利用二次函数的性质求最值．20.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)=(−x)3=−x 3，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=−x 3， 故x <0时f(x)的解析式为f(x)=−x 3； (2)根据题意，f(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)， 所以8f(x)=8f(|x|)=8×|x|3=(2|x|)3=f(2|x|)， 又由当x ≥0时，f(x)=x 3，在[0,+∞)上为增函数；则f(x +1)≥8f(x)⇔f(|x +1|)≥f(|2x|)⇒|x +1|≥|2x|， 变形可得：3x 2−2x −1≤0，解可得：−13≤x ≤1，即不等式的解集为[−13,1]．【解析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题．(1)根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式可得f(−x)=(−x)3=−x 3，结合函数的奇偶性分析可得答案；(2)根据题意，由函数的奇偶性以及解析式分析可得原不等式等价于|x +1|≥|2x|，解可得x 的取值范围，即可得答案．21.【答案】解：(1)当a =1时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为：y =y 1+y 2={−t +√t +4,0<t <17−(t +2t),1≤t ≤3； ①当0<t <1时，y =−t +√t +4=−(√t −12)2+174，所以当t =14时，y max =174；②当1≤t ≤3时，∵t +2t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号， 所以y max =7−2√2(当且仅当t =√2时取到)，因为174>7−2√2， 故当t =14时，y max =174．(2)由题意y ={−at +√t +4(0<t <1)7−(at +2t )(1≤t ≤3) ① −at +√t +4≥4 ⇒ −at +√t ≥0 ⇒ a ≤√t ，又0<t <1，得出a ≤1；令u =1t ，则a ≤−2u 2+3u,u ∈[13,1]，可得(−2u 2+3u )min =79 所以a ≤79， 综上可得0<a ≤79， 故a 的取值范围为(0,79]．【解析】本题考查学生的函数思想，考查学生分段函数的基本思路，用好分类讨论思想，注意二次函数最值问题，基本不等式在求解该题中作用．恒成立问题的处理方法．用好分离变量法．(1)建立血液中药物的浓度与时间t 的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、还要注意基本不等式的运用；(2)分段求解关于实数a 的范围问题，注意分离变量法的应用．22.【答案】解：(1)∵g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，∴g(−x)+2g(x)=e −x +2e x −9， 由以上两式联立可解得，g(x)=e x −3； ∵ℎ(−2)=ℎ(0)=1，∴二次函数的对称轴为x =−1，故设二次函数ℎ(x)=a(x +1)2+k ， 则{a +k =14a +k =−2，解得{a =−1k =2，∴ℎ(x)=−(x +1)2+2=−x 2−2x +1；(2)由(1)知，g(x)=e x −3，其在[−1,1]上为增函数，故g(x)max =g(1)=e −3，∴ℎ(x 1)+ax 1+5≥e −3+3−e =0对任意x 1∈[−1,1]都成立，即x 12+(2−a)x 1−6≤0对任意x ∈[−1,1]都成立，∴{1−(2−a)−6≤01+(2−a)−6≤0，解得−3≤a ≤7， 故实数的a 的取值范围为[−3,7]；(3)f(x)={e x −3,x >0−x 2−2x +1,x ≤0，作函数f(x)的图象如下，令t=f(x)，a∈[−3,7]，则f(t)=a+5∈[2,12]，①当a=−3时，f(t)=2，由图象可知，此时方程f(t)=2有两个解，设为t1=−1，t2=ln5∈(1,2)，则f(x)=−1有2个解，f(x)=ln5有3个解，故共5个解；②当−3<a<e2−8时，f(t)=a+5∈(2,e2−3)，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个正实数解，设为t3=ln(a+8)∈(ln5,2)，则f(x)=t3=ln(a+8)有3个解，故共3个解；③当a=e2−8时，f(t)=a+5=e2−3，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t4=2，则f(x)=t4=2有2个解，故共2个解；④当e2−8<a≤7时，f(t)=a+5∈(e2−3,12]，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t5=ln(a+8)∈(2,ln15]，则f(x)=t5有1个解，故共1个解．【解析】本题考查函数解析式的求法，考查不等式的恒成立问题及函数零点与方程解的关系，旨在考查数形结合及分类讨论思想，属于中档题．(1)运用构造方程组法可求g(x)，运用待定系数法可求ℎ(x)；(2)原问题等价于x12+(2−a)x1−6≤0对任意x1∈[−1,1]都成立，进而求得实数a的取值范围；(3)作出函数f(x)的图象，结合图象讨论即可．。
广东省中山市普通高中2022-2021学年高一上学期数学综合测试题01 Word版含答案
高一上学期数学综合测试题01满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于( ) A ．{0,1,2,6,8} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8} D ．{1,3,6,7,8}2．如图，可作为函数y ＝f (x )的图象是( )3．已知f (x )，g (x )对应值如表．x 0 1 － 1 f (x )1－1x 0 1 －1 g (x )－11则f (g (1))的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．不存在4．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }；则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．105．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．46．f (x )＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．{2}B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]7．定义集合A 、B 的运算A *B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．A D ．B8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 的定义域为[a －1,2a ]的偶函数，则a ＋b 的值是( )A ．0 B.13 C ．1D ．－19．若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为( ) A ．{x |x >3或－3<x <0} B ．{x |x <－3或0<x <3} C ．{x |x <－3或x >3} D ．{x |－3<x <0或0<x <3}10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)11．设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝( )A ．0B ．1 C.52 D ．5 12．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，若f (x )≥g (x )，f (x )，若f (x )<g (x ).则F (x )的最值是( ) A ．最大值为3，最小值－1 B ．最大值为7－27，无最小值 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.14．已知函数f (x )＝3x 2＋mx ＋2在区间[1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________．15.如下图所示，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．16．某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是产品数θ的函数，k (θ)＝40θ－120θ2，则总利润L (θ)的最大值是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，集合B ＝{x |－3≤x ≤2}．求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )．18．(本题满分12分)二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f(x)的局部图象，已知f(x)的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f(1)与f(3)的大小．20．(本题满分12分)为削减空气污染，某市鼓舞居民用电(削减燃气或燃煤)，接受分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算．(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；(2)小明家第一季度交纳电费状况如下：月份一月二月三月合计交费金额76元63元45.6元184.6元则小明家第一季度共用电多少度？21．(本题满分12分)设函数f(x)在定义域R上总有f(x)＝－f(x＋2)，且当－1<x≤1时，f(x)＝x2＋2.(1)当3<x≤5时，求函数f(x)的解析式；(2)推断函数f(x)在(3,5]上的单调性，并予以证明．22．(本题满分12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2.(1)求f(0)的值；(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；(3)解不等式f(3－x2)>4.答案1： C [解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.2： D3： C [解析]∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.4： D[解析]x＝5，y＝1,2,3,4x＝4，y＝1,2,3，x＝3，y＝1,2，x＝2，y＝1共10个5： B [解析]f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故选B.6： C[解析]f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增区间为(－∞，m2]，由条件知m2≥1，∴m≥2，故选C.7： D [解析]A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．因此(A*B)*A是图中阴影部分与A的并集，除去A中阴影部分后剩余部分即B，故选D.[点评]可取特殊集合求解．如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，则A*B＝{2,3,5}，(A*B)*A＝{1,5}＝B.8： B [解析]由函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，得b＝0，并且a－1＝－2a，即a＝13，∴a＋b的值是13.9：C[解析]由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即为f(x)<f(3)，∴x>3，当x<0时，f(x)即f(x)<f(－3)，∴x<－3，故选C.10： A [解析]若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)，又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.11： C[解析]f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.12： B [解析]作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.13： 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 14： [2，＋∞)[解析] ∵－m6≤1，∴m ≥－6，f (2)＝14＋2m ≥14＋2×(－6)＝2. 15： 2[解析] 由已知，得f (3)＝1，f (1)＝2，则f (1f (3))＝f (1)＝2.16： 2 500万元[解析] L (θ)＝k (θ)－10θ－2000＝－120θ2＋30θ－2000.当θ＝302×120＝300时，L (θ)有最大值为：2500万元． 17[解析] 如下图所示，在数轴上表示全集U 及集合A ，B .∵A ＝{x |－2<x <3}， B ＝{x |－3≤x ≤3}．∴∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x <－3，或2<x ≤4}． ∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}；(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}； A ∩(∁U B )＝{x |2<x <3}；(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x ≤－2，或2<x ≤4}． 18[解析] (1)∵f (x )为二次函数且f (0)＝f (2)， ∴对称轴为x ＝1.又∵f (x )最小值为1，∴可设f (x )＝a (x －1)2＋1 (a >0) ∵f (0)＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －1)2＋1， 即f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)由条件知2a <1<a ＋1，∴0<a <12.19[解析] 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f (3)>f (1)．20[解析] (1)当0≤x ≤100时，y ＝0.57x ；当x >100时，y ＝0.5×(x －100)＋0.57×100＝0.5x －50＋57＝0.5x ＋7. 所以所求函数式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ， 0≤x ≤100，0.5x ＋7， x >100. (2)据题意，一月份：0.5x ＋7＝76，得x ＝138(度)， 二月份：0.5x ＋7＝63，得x ＝112(度)， 三月份：0.57x ＝45.6，得x ＝80(度)． 所以第一季度共用电： 138＋112＋80＝330(度)． 故小明家第一季度共用电330度． 21[解析] (1)∵f (x )＝－f (x ＋2)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x )＝f [(x －2)＋2]＝－f (x －2)＝－f [(x －4)＋2]＝f (x －4)． ∵－1<x ≤1时，f (x )＝x 2＋2， 又∵当3<x ≤5时，－1<x －4≤1， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2.∴当3<x ≤5时，f (x )＝(x －4)2＋2.(2)∵函数f (x )＝(x －4)2＋2的对称轴是x ＝4，∴函数f (x )＝(x －4)2＋2在(3,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增． 证明：任取x 1，x 2∈(3,4]，且x 1<x 2，有 f (x 1)－f (x 2)＝[(x 1－4)2＋2]－[(x 2－4)2＋2] ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－8)． ∵3<x 1<x 2≤4，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－8<0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 故函数y ＝f (x )在(3,4]上单调递减． 同理可证函数在[4,5]上单调递增． 22[解析] (1)解：对任意x ，y ∈R ， f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)·f (0)， 即f (0)·[f (0)－1]＝0.令y ＝0，得f (x )＝f (x )·f (0)，对任意x ∈R 成立， 所以f (0)≠0，因此f (0)＝1.(2)证明：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f (x 2)·f (x 2)＝[f (x2)]2≥0. 假设存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 由f (3－x 2)>4，得f (3－x 2)>f (2)， 即3－x 2>2. 解得－1<x <1.所以，不等式的解集是(－1,1)． 则对任意x >0，有f (x )＝f [(x －x 0)＋x 0]＝f (x －x 0)·f (x 0)＝0. 这与已知x >0时，f (x )>1冲突． 所以，对任意x ∈R ，均有f (x )>0成立． (3)解：令x ＝y ＝1有 f (1＋1)＝f (1)·f (1)， 所以f (2)＝2×2＝4. 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1) ＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)·f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 1)·[f (x 2－x 1)－1]． ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， 由已知f (x 2－x 1)>1， ∴f (x 2－x 1)－1>0. 由(2)知x 1∈R ，f (x 1)>0.。
2020-2021学年广东省中山纪念中学高一(上)第一次段考数学试卷
2020-2021学年广东省中山纪念中学高一（上）第一次段考数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}.则（∁U A）∩（∁U B）=（）A.{5.8}B.{7.9}C.{0.1.3}D.{2.4.6}2.（单选题.5分）命题：“对任意的x∈R.x2+x+1＞0”的否定是（）A.不存在x∈R.x2+x+1＞0B.存在x0∈R.x02+x0+1＞0C.存在x0∈R.x02+x0+1≤0D.对任意的x∈R.x2+x+1≤03.（单选题.5分）已知函数f(x)=1x2+2.则f（x）的值域是（）A.{y|y≤ 12}B.{y|y≥ 12}C.{y|0＜y≤ 12}D.{y|y＞0}4.（单选题.5分）已知a∈R.则“a＞1”是“ 1a＜1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5.（单选题.5分）已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}.则不等式bx2-5x+a＞0的解集为（）A.{x|- 13＜x＜12}B.{x|x＜- 13或x＞12}C.{x|-3＜x＜2}D.{x|x＜-3或x＞2}6.（单选题.5分）设集合A={1.2.4}.B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}.则B=（）A.{1.-3}B.{1.5}C.{1.0}D.{1.3}7.（单选题.5分）设f（x）= {√x，0＜x＜12(x−1)，x≥1若f（a）=f（a+1）.则f（1a）=（）A.2B.4C.6D.88.（多选题.5分）下列各组函数中.两个函数是同一函数的有（）A.f（x）=|x|与g(x)=√x2B.f（x）=x+1与g(x)=x2−1x−1C.f（x）= |x|x 与g（x）= {1，x＞0−1，x＜0D. f(x)=√x2−1与g(x)=√x+1•√x−19.（多选题.5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数.下列命题中正确的有（）A.f（0）=0B.若f（x）在[0.+∞）上有最小值-1.则f（x）在（-∞.0]上有最大值1C.若f（x）在[1.+∞）上为增函数.则f（x）在（-∞.-1]上为减函数D.若x＞0时.f（x）=x2-2x.则当x＜0时.f（x）=-x2-2x10.（多选题.5分）对于实数a、b、c.下列命题中正确的是（）A.若a＞b.则ac＜bcB.若a＜b＜0.则a2＞ab＞b2C.若c＞a＞b＞0.则ac−a ＞bc−bD.若a＞b. 1a ＞1b.则a＞0.b＜011.（多选题.5分）下列求最值的运算中.运算方法错误的有（）A.若x＜0. x+1x =−[(−x)+1−x]≤−2√(−x)•1−x=−2 .故x＜0时. x+1x的最大值是-2B.当x ＞1时. x +2x−1≥2√x •2x−1.当且仅当 x =2x−1取等.解得x=-1或2．又由x ＞1.所以取x=2.故x ＞1时.原式的最小值为 2+22−1=4 C.由于 x 2+9x 2+4=x 2+4+9x 2+4−4≥2√(x 2+4)•9x 2+4−4=2 .故 x 2+9x 2+4的最小值为2D.当x.y ＞0.且x+4y=2时.由于 2=x +4y ≥2√x •4y =4√xy .∴ √xy ≤12.又 1x+1y≥2√1x•1y=2√xy≥212=4 .故当x.y ＞0.且x+4y=2时. 1x +1y的最小值为412.（填空题.5分）设函数f （x ）= {√2x −1−x 2，x ≥12f (x +2)，x ＜12.则f （-3）=___ ．13.（填空题.5分）函数f （x ）=2x 2−4x+5x−1（x ＞1）的最小值是___ ． 14.（填空题.5分）如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅游者在相距80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系.有人根据函数图象.提出了关于这两个旅行者的如图信息：① 骑自行车者比骑摩托车者早出发3h.晚到1h ； ② 骑自行车者是变速运动.骑摩托车者是匀速运动； ③ 骑摩托车者在出发1.5h 后追上了骑自行车者； ④ 骑摩托车者在出发1.5h 后与骑自行车者速度一样． 其中.正确信息的序号是___ ．15.（填空题.5分）若函数 f (x )={−x 2+(2−a )x ，x ≤0(2a −1)x +a −1，x ＞0在R 上为增函数.则a 取值范围为___ ．16.（问答题.10分）已知全集U=R.集合A={x|x 2-2x-15＜0}.集合B={x|（x-2a+1）（x-a 2）＜0}．（1）若a=1.求∁U A 和B ；（2）若A∪B=A .求实数a 的取值范围．17.（问答题.12分）为了保护环境.发展低碳经济.某单位在国家科研部门的支持下.进行技术攻关.采用了新工艺.把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨.最多为600吨.月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000 .且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时.才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利.求出最大利润；如果不获利.则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？18.（问答题.12分）已知函数f（x）= ax+bx2+1是定义在（-1.1）上的奇函数.且f（12）= 25．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（-1.1）上的单调性.并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+ 12）+f（t- 12）＜0．19.（问答题.12分）设函数f（x）对任意x.y∈R.都有f（x+y）=f（x）+f（y）.且x＞0.f（x）＜0；f（1）=-2．（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间[-3.3]上的最大值和最小值．20.（问答题.12分）已知f（x）=ax2+x-a.a∈R．（1）若a=1.解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）＞-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立.求实数a的取值范围；（3）若a＜0.解不等式f（x）＞1．21.（问答题.12分）已知幂函数f（x）=（p2-3p+3）x p2−32p−12满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f2（x）+mf（x）.x∈[1.9].是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在.求出m的值；若不存在.说明理由．（3）若函数h（x）=n-f（x+3）.是否存在实数a.b（a＜b）.使函数h（x）在[a.b]上的值域为[a.b]？若存在.求出实数n的取值范围；若不存在.说明理由．2020-2021学年广东省中山纪念中学高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}.则（∁U A）∩（∁U B）=（）A.{5.8}B.{7.9}C.{0.1.3}D.{2.4.6}【正确答案】：B【解析】：由题已知全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}.可先求出两集合A.B的补集.再由交的运算求出（∁U A）∩（∁U B）【解答】：解：由题义知.全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}. 所以C U A={2.4.6.7.9}.C U B={0.1.3.7.9}.所以（C U A）∩（C U B）={7.9}故选：B．【点评】：本题考查交、并、补集的混合计算.解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则2.（单选题.5分）命题：“对任意的x∈R.x2+x+1＞0”的否定是（）A.不存在x∈R.x2+x+1＞0B.存在x0∈R.x02+x0+1＞0C.存在x0∈R.x02+x0+1≤0D.对任意的x∈R.x2+x+1≤0【正确答案】：C【解析】：直接利用全称命题的否定是特称命题.写出结果即可．【解答】：解：因为全称命题的否定是特称命题.所以.命题：“对任意的x∈R.x2+x+1＞0”的否定是：存在x0∈R.x02+x0+1≤0．故选：C．【点评】：本题考查全称命题与特称命题的否定关系.基本知识的考查．3.（单选题.5分）已知函数f(x)=1x2+2.则f（x）的值域是（）A.{y|y≤ 12}B.{y|y≥ 12}C.{y|0＜y≤ 12}D.{y|y＞0}【正确答案】：C【解析】：根据条件知x2+2≥2.故0＜1x2+2≤12.即可得函数的值域．【解答】：解：∵x2+2≥2.∴ 0＜1x2+2≤12；∴f（x）的值域是{y|0＜y≤ 12}．故选：C．【点评】：本题考查了根据基本初等函数求值域问题.属于基础题．4.（单选题.5分）已知a∈R.则“a＞1”是“ 1a＜1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：A【解析】：“a＞1”⇒“ 1a ＜1”.“ 1a＜1”⇒“a＞1或a＜0”.由此能求出结果．【解答】：解：a∈R.则“a＞1”⇒“ 1a＜1”.“ 1a＜1”⇒“a＞1或a＜0”.∴“a＞1”是“ 1a＜1”的充分非必要条件．故选：A．【点评】：本题考查充分条件、必要条件的判断.考查不等式的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（单选题.5分）已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}.则不等式bx2-5x+a＞0的解集为（）A.{x|- 13＜x＜12}B.{x|x＜- 13或x＞12}C.{x|-3＜x＜2}D.{x|x＜-3或x＞2}【正确答案】：B【解析】：由不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}得到a、b的值.代入到不等式中确定出不等式.求出解集即可．【解答】：解：因为ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2-5x+b=a（x+3）（x-2）且a＜0解得a=-5.b=30．则不等式bx2-5x+a＞0变为30x2-5x-5＞0解得x＜- 13或x ＞12故选：B．【点评】：考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力.会解一元二次不等式的能力.6.（单选题.5分）设集合A={1.2.4}.B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}.则B=（）A.{1.-3}B.{1.5}C.{1.0}D.{1.3}【正确答案】：D【解析】：由交集的定义可得1∈A且1∈B.代入二次方程.求得m.再解二次方程可得集合B．【解答】：解：集合A={1.2.4}.B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}.则1∈A且1∈B.可得1-4+m=0.解得m=3.即有B={x|x2-4x+3=0}={1.3}．故选：D．【点评】：本题考查了交集及其运算.考查了一元二次不等式的解法.是基础题．7.（单选题.5分）设f （x ）= {√x ，0＜x ＜12(x −1)，x ≥1若f （a ）=f （a+1）.则f （ 1a）=（ ）A.2B.4C.6D.8【正确答案】：C【解析】：利用已知条件.求出a 的值.然后求解所求的表达式的值即可．【解答】：解：当a∈（0.1）时.f （x ）= {√x ，0＜x ＜12(x −1)，x ≥1.若f （a ）=f （a+1）.可得 √a =2a.解得a= 14 .则：f （ 1a ）=f （4）=2（4-1）=6．当a∈[1.+∞）时．f （x ）= {√x ，0＜x ＜12(x −1)，x ≥1 .若f （a ）=f （a+1）.可得2（a-1）=2a.显然无解． 故选：C ．【点评】：本题考查分段函数的应用.考查转化思想以及计算能力． 8.（多选题.5分）下列各组函数中.两个函数是同一函数的有（ ） A.f （x ）=|x|与 g (x )=√x 2 B.f （x ）=x+1与 g (x )=x 2−1x−1C.f （x ）= |x|x与g （x ）= {1，x ＞0−1，x ＜0D. f (x )=√x 2−1 与 g (x )=√x +1•√x −1 【正确答案】：AC【解析】：判断函数的定义域与对应法则是否相同.即可判断两个函数是否为相同函数．【解答】：解：对于选项A ：函数g （x ）= √x 2 =|x|.两函数的定义域都、值域和解析式都相同.所以它们是同一个函数.对于选项B ：函数f （x ）的定义域为R.函数g （x ）的定义域为{x|x≠1}.它们的定义域不同.所以它们不是同一个函数. 对于选项C ：函数f （x ）= {1，x ＞0−1，x ＜0.两函数的定义域、值域和解析式都相同.所以它们是同一个函数.对于选项D：函数f（x）的定义域为{x|x≤-1或x≥1}.函数g（x）的定义域为{x|x≥1}.它们的定义域不同.所以它们不是同一个函数.故选：AC．【点评】：本题考查函数的基本性质.判断两个函数是否相同.需要判断定义域与对应法则是否相同．9.（多选题.5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数.下列命题中正确的有（）A.f（0）=0B.若f（x）在[0.+∞）上有最小值-1.则f（x）在（-∞.0]上有最大值1C.若f（x）在[1.+∞）上为增函数.则f（x）在（-∞.-1]上为减函数D.若x＞0时.f（x）=x2-2x.则当x＜0时.f（x）=-x2-2x【正确答案】：ABD【解析】：根据题意.由奇函数的性质依次分析选项.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A.函数f（x）是定义在R上的奇函数.则f（-x）=-f（x）.当x=0时.有f（0）=-f（0）.变形可得f（0）=0.A正确.对于B.若f（x）在[0.+∞）上有最小值-1.即x≥0时.f（x）≥-1.则有-x≤0.f（-x）=-f（x）≤1.即f（x）在（-∞.0]上有最大值1.B正确.对于C.奇函数在对应的区间上单调性相同.则若f（x）在[1.+∞）上为增函数.则f（x）在（-∞.-1]上为增函数.C错误.对于D.设x＜0.则-x＞0.则f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x.则f（x）=-f（-x）=-（x2+2x）=-x2-2x.D正确.故选：ABD．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用.注意函数的奇偶性与单调性的关系.属于基础题．10.（多选题.5分）对于实数a、b、c.下列命题中正确的是（）A.若a＞b.则ac＜bcB.若a＜b＜0.则a2＞ab＞b2C.若c＞a＞b＞0.则ac−a ＞bc−bD.若a ＞b. 1a ＞1b .则a ＞0.b ＜0 【正确答案】：BCD【解析】：利用不等式的性质和作差法判断即可．【解答】：解：对于实数a 、b 、c. A 错.c ＞0.不成立.B 对.a ＜b ＜0.因为a ＜0.所以a 2＞ab 成立.因为b ＜0.所以ab ＞b 2成立.C 对.若c ＞a ＞b ＞0.则c-a ＞0.c-b ＞0.且-a ＜-b.c-a ＜c-b.故 1 c−a ＞1c−b ＞0.又a ＞b ＞0.则 ac−a ＞bc−b成立. D 对. 1a ＞1b .则 1 a −1b ＞0.即 b−aab ＞0 .又a ＞b.则ab ＜0.故a ＞0.b ＜0． 故选：BCD ．【点评】：考查了不等式的性质.作差法比较大小等.基础题． 11.（多选题.5分）下列求最值的运算中.运算方法错误的有（ ）A.若x ＜0. x +1x =−[(−x )+1−x ]≤−2√(−x )•1−x =−2 .故x ＜0时. x +1x 的最大值是-2 B.当x ＞1时. x +2x−1≥2√x •2x−1.当且仅当 x =2x−1取等.解得x=-1或2．又由x ＞1.所以取x=2.故x ＞1时.原式的最小值为 2+22−1=4C.由于 x 2+9x 2+4=x 2+4+9x 2+4−4≥2√(x 2+4)•9x 2+4−4=2 .故 x 2+9x 2+4 的最小值为2 D.当x.y ＞0.且x+4y=2时.由于 2=x +4y ≥2√x •4y =4√xy .∴ √xy ≤12 .又 1x +1y ≥2√1x •1y =√xy≥212=4 .故当x.y ＞0.且x+4y=2时. 1x +1y 的最小值为4【正确答案】：BCD【解析】：利用基本不等式的性质逐项检查即可.需要注意取等的条件．【解答】：解：对于A.符合基本不等式中的“一正二定三相等”.即A 的运算方法正确； 对于B.当x ＞1时.x+ 2x−1 =x-1+ 2x−1 +1≥2 √(x −1)•2x−1 +1= 2√2 +1. 当且仅当x-1= 2x−1 .即x= √2 +1时.等号成立.即B 的运算方法错误；对于C.取等的条件是x 2+4= 9x 2+4 .即x 2+4=±3.显然均不成立.即C 的运算方法错误；对于D.第一次使用基本不等式的取等条件为x=4y.而第二次使用基本不等式的取等条件为x=y.两者不能同时成立.即D 的运算方法错误． 故选：BCD ．【点评】：本题考查利用基本不等式处理最值问题.理解“一正二定三相等”是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.属于中档题． 12.（填空题.5分）设函数f （x ）= {√2x −1−x 2，x ≥12f (x+2)，x ＜12.则f （-3）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意.由函数的解析式可得f （-3）=f （-1）=f （1）.计算可得答案．【解答】：解：根据题意.f （x ）= {√2x −1−x 2，x ≥12f (x +2)，x ＜12.则f （-3）=f （-1）=f （1）= √2×1−1 -1=0. 故答案为：0【点评】：本题考查分段函数解析式的运用.涉及函数值的计算.属于基础题． 13.（填空题.5分）函数f （x ）= 2x 2−4x+5x−1（x ＞1）的最小值是___ ． 【正确答案】：[1]2 √6 【解析】：由f （x ）= 2x 2−4x+5x−1 = 2(x−1)2+3x−1 =2（x-1）+ 3x−1.利用基本不等式即可求出．【解答】：解：∵x ＞1.∴x -1＞0. ∴f （x ）=2x 2−4x+5x−1 = 2(x−1)2+3x−1 =2（x-1）+ 3x−1≥2√2(x −1)(3x−1) =2 √6 .当且仅当2（x-1）= 3x−1时取等号.即x=1+ √62时.函数f （x ）=2x 2−4x+5x−1的最小值为2 √6 .故答案为：2 √6 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用.属于基础题．14.（填空题.5分）如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅游者在相距80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系.有人根据函数图象.提出了关于这两个旅行者的如图信息：① 骑自行车者比骑摩托车者早出发3h.晚到1h ； ② 骑自行车者是变速运动.骑摩托车者是匀速运动； ③ 骑摩托车者在出发1.5h 后追上了骑自行车者； ④ 骑摩托车者在出发1.5h 后与骑自行车者速度一样． 其中.正确信息的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：利用函数的图象.判断摩托车与自行车的速度关系.判断命题的真假即可．【解答】：解：看时间轴易知 ① 正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线.匀速运动．而骑自行车者在3h 到4h 中停了1小时.故 ② 正确；他们的速度一直不一样.但在4.5h 时骑摩托车者追上了骑直行车者.故 ③ 正确. ④ 错误． 故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查命题的真假的判断.函数的图象的识别与应用.是基本知识的考查． 15.（填空题.5分）若函数 f (x )={−x 2+(2−a )x ，x ≤0(2a −1)x +a −1，x ＞0在R 上为增函数.则a 取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.2]【解析】：由一次函数、二次函数.及增函数的定义便可得到 {2−a 2≥0a −1≥02a −1＞0 .从而解该不等式组即可得出a 的取值【解答】：解：f （x ）在（-∞.+∞）内是增函数；∴根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a 满足： {2−a 2≥0a −1≥02a −1＞0 ；解得1≤a≤2；∴a的取值范围为[1.2]．故答案为：[1.2]．【点评】：考查增函数的定义.一次函数及二次函数、分段函数的单调性.二次函数的对称轴．16.（问答题.10分）已知全集U=R.集合A={x|x2-2x-15＜0}.集合B={x|（x-2a+1）（x-a2）＜0}．（1）若a=1.求∁U A和B；（2）若A∪B=A.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为A∪B=A.所以B⊆A.对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论.求出a的取值范围．【解答】：解：（1）若a=1.则集合A={x|x2-2x-15＜0}={x|-3＜x＜5}.∴∁U A={x|x≤-3或x≥5}.若a=1.则集合B={x|（x-2a+1）（x-a2）＜0}={x|（x-1）2＜0}=∅.（2）因为A∪B=A.所以B⊆A.① 当B=∅时.a2=2a-1.解a=1.② 当B≠∅时.即a≠1时.B={x|2a-1＜x＜a2}.又由（1）可知集合A={x|-3＜x＜5}.∴ {2a−1≥−3.解得-1 ≤a≤√5 .且a≠1.a2≤5综上所求.实数a的取值范围为：-1 ≤a≤√5．【点评】：本题主要考查了集合的基本运算.是基础题．17.（问答题.12分）为了保护环境.发展低碳经济.某单位在国家科研部门的支持下.进行技术攻关.采用了新工艺.把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨.最多为600吨.月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示x2−200x+80000 .且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．为：y=12（1）该单位每月处理量为多少吨时.才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利.求出最大利润；如果不获利.则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【正确答案】：【解析】：（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000 .两边同时除以x.然后利用不等式的性质进行放缩.从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S.则S=100x-y.把y值代入进行化简.然后运用配方法进行求解．【解答】：解：（1）由题意可知.二氧化碳的每吨平均处理成本为：yx =12x+80000x−200（4分）≥2√12x•80000x−200=200 .当且仅当12x=80000x.即x=400时.才能使每吨的平均处理成本最低.最低成本为200元．（8分）（2）设该单位每月获利为S.则S=100x-y （10分）= 100x−(12x2−200x+80000)=−12x2+300x−80000 = −12(x−300)2−35000因为400≤x≤600.所以当x=400时.S有最大值-40000．故该单位不获利.需要国家每月至少补贴40000元.才能不亏损．（16分）【点评】：此题是一道实际应用题.考查了函数的最值和不等式的基本性质.及运用配方法求函数的最值．18.（问答题.12分）已知函数f（x）= ax+bx2+1是定义在（-1.1）上的奇函数.且f（12）= 25．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（-1.1）上的单调性.并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+ 12）+f（t- 12）＜0．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的性质可知.f （0）=0.代入可求b.然后根据 f (12)=25.代入可求a ； （2）任取-1＜x 1＜x 2＜1.然后利用作差法比较f （x 1）与f （x 2）的大小即可判断； （3）结合（2）的单调性即可求解不等式．【解答】：解：（1）由奇函数的性质可知.f （0）=0. ∴b=0.f （x ）= ax1+x 2 .∵ f (12)=25 = 12a 1+14． ∴a=1.f （x ）= xx 2+1 ；（2）函数f （x ）在（-1.1）上是增函数． 证明：任取-1＜x 1＜x 2＜1.则f （x 1）-f （x 2）= x 11+x 12 - x21+x 22 =x 1+x 1x 22−x 2−x 2x 12(1+x 12)(1+x 22) = (x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)＜0. 所以f （x 1）＜f （x 2）.所以函数f （x ）在（-1.1）上是增函数；（3）由 f (t +12)＜−f (t −12)⇒f (t +12)＜f (12−t) . ∴ { t +12＜12−t −1＜t +12＜1−1＜t −12＜1⇒{ t ＜0−32＜t ＜12−12＜t ＜32⇒−12＜t ＜0 −12＜t ＜0 ．故不等式的解集为（- 12 .0）．【点评】：本题主要考查了奇函数的性质及函数的单调性的定义在单调性的判断中的应用.及利用函数的单调性求解不等式.属于函数性质的综合应用．19.（问答题.12分）设函数f （x ）对任意x.y∈R .都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）.且x ＞0.f （x ）＜0；f （1）=-2．（1）证明f （x ）是奇函数； （2）证明f （x ）在R 上是减函数；（3）求f （x ）在区间[-3.3]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）先利用赋值法求出f（0）的值.欲证明f（x）是奇函数.即证明f（x）+f（-x）=0.再在题中条件中令y=-x即得；（2）利用单调性的定义证明.任取x1、x2∈R.且x1＜x2.证明即f（x1）＞f（x2）.即可；（3）利用（2）的结论得f（x）在[-3.3]上的最大值是f（-3）.最小值为f（3）．故只要求出f （3）和f（-3）即可．【解答】：证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）.得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）.∴f（x）+f（-x）=f（0）．又f（0+0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0．从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（2）任取x1、x2∈R.且x1＜x2.则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）．由x1＜x2.∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＜0．∴-f（x2-x1）＞0.即f（x1）＞f（x2）.从而f（x）在R上是减函数．（3）由于f（x）在R上是减函数.故f（x）在[-3.3]上的最大值是f（-3）.最小值为f（3）．由f（1）=-2.得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（-2）=-6.f（-3）=-f（3）=6．∴最大值为6.最小值为-6．【点评】：本题主要考查了抽象函数及其应用.考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题．20.（问答题.12分）已知f（x）=ax2+x-a.a∈R．（1）若a=1.解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）＞-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立.求实数a的取值范围；（3）若a＜0.解不等式f（x）＞1．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1.不等式即（x+2）（x-1）≥0.解此一元二次不等式求得它的解集．（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a-1＞0恒成立.当a=-2 时.显然不满足条件.故有{a+2＞0△=16−4(a+2)(a−1)＜0.由此求得a的范围．（3）若a＜0.不等式为 ax2+x-a-1＞0.即（x-1）（x+ a+1a ）＜0．再根据1和- a+1a的大小关系.求得此不等式的解集．【解答】：解：（1）当a=1.不等式f（x）≥1即 x2+x-1≥1.即（x+2）（x-1）≥0.解得x≤-2.或x≥1.故不等式的解集为{x|x≤-2.或x≥1}．（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a-1＞0恒成立.当a=-2 时.显然不满足条件.∴ {a+2＞0△=16−4(a+2)(a−1)＜0．解得 a＞2.故a的范围为（2.+∞）．（3）若a＜0.不等式为 ax2+x-a-1＞0.即（x-1）（x+ a+1a）＜0．∵1-（- a+1a ）= 2a+1a.∴当- 12＜a＜0时.1＜- a+1a.不等式的解集为 {x|1＜x＜- a+1a}；当 a=- 12时.1=- a+1a.不等式即（x-1）2＜0.它的解集为∅；当a＜- 12时.1＞- a+1a.不等式的解集为 {x|- a+1a＜x＜1}．【点评】：本题主要考查一元二次不等式的解法.函数的恒成立问题.体现了分类讨论的数学思想.属于中档题．21.（问答题.12分）已知幂函数f（x）=（p2-3p+3）x p2−32p−12满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f2（x）+mf（x）.x∈[1.9].是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在.求出m的值；若不存在.说明理由．（3）若函数h（x）=n-f（x+3）.是否存在实数a.b（a＜b）.使函数h（x）在[a.b]上的值域为[a.b]？若存在.求出实数n的取值范围；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据幂函数f（x）是幂函数.可得p2-3p+3=1.求解p.可得解析式；（2）由函数g（x）=f2（x）+mf（x）.x∈[1.9].利用换元法转化为二次函数问题求解最小值.可得m的值；（3）由函数h（x）=n-f（x+3）.求解h（x）的解析式.判断其单调性.根据在[a.b]上的值域为[a.b].转化为方程有解问题求解n的取值范围．【解答】：解：（1）∵f（x）是幂函数.∴得p2-3p+3=1.解得：p=1或p=2当p=1时.f（x）= 1x.不满足f（2）＜f（4）．当p=2时.f（x）= √x .满足f（2）＜f（4）．∴故得p=2.函数f（x）的解析式为f（x）= √x；（2）由函数g（x）=f2（x）+mf（x）.即g（x）= (√x)2+m√x .令t= √x .∵x∈[1.9].∴t∈[1.3].记k（x）=t2+mt.其对称在t= −m2.① 当−m2≤1.即m≥-2时.则k（x）min=k（1）=1+m=0.解得：m=-1；② 当1 ＜−m2＜ 3时.即-6＜m＜-2.则k（x）min=k（−m2）= −m24=0.解得：m=0.不满足.舍去；③ 当−m2≥3时.即m≤-6时.则k（x）min=k（3）=3m+9=0.解得：m=-3.不满足.舍去；综上所述.存在m=-1使得g（x）的最小值为0；（3）由函数h（x）=n-f（x+3）=n- √x+3在定义域内为单调递减函数.若存在实数存在实数a.b（a＜b）.使函数h（x）在[a.b]上的值域为[a.b]则h（x）= {n−√a+3=b①n−√b+3=a②两式相减：可得：√a+3−√b+3=a−b =（a+3）-（b+3）．∴ √a+3+√b+3=1③将③ 代入② 得.n=a+ √b+3 =a+1 −√a+3令t=√a+3 .∵a＜b.∴0≤t ＜12.得：n=t2-t-2=（t- 12）2- 94故得实数n的取值范围（−94.-2]．【点评】：本题主要考查幂函数解析式.函数最值的求解.方程与不等式的性质.讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．。
广东署山市第一中学2020_2021学年高一数学上学期第一次段考试题
广东省佛山市第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次段考试题（试题总分：150 分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是A. ，B. ，C. ，D. ，2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是A. B.C. D.3.已知a，且，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b< B. 22a b< C.b aa b< D. 2ab b<4.若集合，，且，则实数a取值的集合为( )A.B. C. D.5. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知00x y >>，，且,则的最小值是 A. 5B. 6C. 285D. 245 7. 已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a 的取值范围是A.B. C. 或 D. 或8.已知关于x 的一元二次不等式的解集为,则的最小值是A. 6B. C. D. 3 二、多项选择题（本大题共4小题,共20分,每小题有多个正确答案,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分）9.下列各结论中正确的是A. “”是“”的充要条件B. “”的最小值为2 C. 命题“，”的否定是“，” D. “函数的图象过点”是“”的充要条件10.关于函数，下列说法正确的是A. 在区间上单调递减B. 单调减区间为C. 最大值为2D. 无最小值11.下列各函数中，最小值为2的是 A. B. C. D.12.已知函数,关于的不等式的解集为，则 A.B. 设，则的最小值一定为C. 不等式的解集为D. 若，且，则x的取值范围是三、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.不等式2131x x +<-的解集是________．14.已知函数()()()()210,103,x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩若()14f x =，则x的值是 .15.已知函数()()2311x f x x x +=<-，则()f x 的最大值是______________16.已知，若对任意，不等式恒成立，则实数t的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共60分）17.（本小题满分10分）已知集合，．若，求，；若，求实数a的取值范围．18.（本小题满分12分）已知定义在上的函数．当时，判断函数的单调性，并证明你的结论；当时，求解关于x的不等式．19. （本小题满分12分）根据市场调查,某种商品在最近的40天内的售价(单位:百元/kg)与销售天数满足关系,日销售量(单位:kg/日)与销售天数t满足关系求这种商品的日销售获利金额的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数.若，求在区间上的最小值；若在区间上有最大值3，求实数a的值．21.（本小题满分12分）设函数.(1)求不等式的解集；(2)设, 设 , 为方程的两根,且，,试求实数的取值范围．22.（本小题满分12分）对于定义域为D的函数，若同时满足下列两个条件：在D内单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域为；那么就把叫闭函数．求闭函数符合条件的区间；判断函数是否为闭函数并说明理由；若是闭函数，求实数k的范围．佛山一中2020级高一上学期第一次段考数学科试题参考答案一.选择题1.B2. B3. C4. D5. B6. A7. D8. C二.多项选择题9.AD 10. AC 11. CD 12. ACD三.填空题- ; 16. 613. ; 14. ; 15. 2四.解答题17.解：因为，所以，，------2分所以 ---------3分因为 ----------4分所以， -----------5分(2)当时，时必有 --------6分当时，则有，----------7分又，则有或，解得：或 -------8分或． --------------------------9分综上实数a的取值范围为或 ---------------------------10分18.解：根据题意，设，--------------1分则， ----------------2分又由，则，，， ----------4分当时，，在上单调递减； -----------------5分当时，，在上单调递增； -----------------6分当时，由结论可知为减函数， ---------------------------7分则， -----------------------10分解可得：，不等式的解集为．--------------------12分19.设日销售获利金额为(百元)当，时----------------------------------------1分则对称轴为, ---------------------------------------3分故当时，．------------------------------------5分(说明:1分段写成等也算正确;3分段—5分段只要指出对称轴或者含有其他能直接或间接反映单调性的信息的文字都得满分)当时，时-------------------------------------------------------------6分则对称轴为 -----------------------------------------8分故当时，． ----------------------------------------10分(说明:6分段写成，等也算正确;8分段—10分段只要指出对称轴或者含有其他能直接或间接反映单调性的信息的文字都得满分)综合知,当时,日销售获利金额最大值为176(百元)．------12分20. 解：若，则所以函数在区间上递增，在区间上递减---------------------1分∵， ----------------------------------------------2分， ----------------------------------------------3分(说明:1分段只要有反映出二次函数单调性的信息(如对称轴)也得分,若最小值结果正确，2分段可省略)对称轴为 ------------------------------------------------4分当时,函数在在区间上递减, ----5分即；---------------------------------------------------------6分当时,函数在区间上递增,在区间上递减则 ----------------------------7分所以或(舍去) -----------------------------------------9分当时，函数在区间上递增,则 -----------------------10分解得；--------------------------------------------------11分综上所述，或．------------------------------------12分21.当时，得：， --------------1分当时，由得：，， -----------------2分当时原不等式的解集为 ----------------3分当，原不等式的解集为 ---------------4分当时，原不等式的解集为 ---------------------------5分当时，原不等式的解集为 -----------------6分(本题由于参数分类中并无可合并的结果,所以不进行综述也不扣分，若结果正确但没写成集合或者区间形式则在本题最后总得分中扣1分瑕疵分)(2) 由题意可得 ---------------------7分因为，为的两根，且，，所以 -----------------------------------------9分解得 -----------------------------------------------11分所以； -------------------------------------------------12分解法2:由可得 -----------7分显然不是上述方程的根，则 -------------------------8分令,则,则 ---------------------9分所以 ------------------------------------------10分因为，为的两根，且，所以有两根且， -----------------11分结合,所以 -------------12分解法3：由可得， -------------------------7分所以 --------------------------------------8分解得 ----------------------------------------11分所以 --------------------------------------------12分22.解：由题意，在上递减-------------------------1分则， -------------------------------------------------2分解得，所以所求的区间为； ---------------------3分， --------------------------------------4分则f(x)在上单调递增，在上单调递增即f(x)在定义域上不单调递增或单调递减，故该函数不是闭函数.------5分(本问通过如果通过取特殊值得出函数不单调也可得满分，若没有4分段的式子变形或者没有取值依据，但直接正确指出了单调性只给1分)在上单调递增 --------------------------6分若是闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即，b为方程的两个不等实数根---------------------7分即方程有两个不等的实根当时，有 -------------------------------------8分解得， -------------------------------------------------9分当时，有 --------------------------------------------10分该不等式组无解------------------------------------------------------11分综上所述，． ------------------------------------------12分解法2:至7分段和解法1相同，以下为不同部分:∴函数与的图象在上有两个不同交点 ---------8分当直线与曲线相切时,由得即 ----------------------------------------9分由得,即 ------------10分当直线过时, -----------------------------------11分结合图可知:当,即时直线与曲线有两个交点.所以 ----------12分。
广东省中山市华侨中学2023-2024学年高二上学期第一次段考数学试题
广东省中山市华侨中学2023-2024学年高二上学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ．(1)求经过点A 且与直线BC 平行的直线方程；(2)在ABC V 中，求BC 边上的高线所在的直线方程．18．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4DA DC ==，13DD =，点E 为11A B 中点，如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系．(1)求直线1D E 与1B C 夹角的余弦值；(2)求平面1A BC 的法向量；(3)求直线1D E 与平面1A BC 所成角的正弦值．19．在如图所示的五面体ABCDFE 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，^AE 平面(1)求二面角N MF D--的余弦值；(1)求A C¢长度；(2)求证：A C BD¢^；(2)若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点且AOB V 面积为24．ⅰ）求直线l 方程；ⅱ）若点P 为线段AB 上一动点，且PQ OB ∥交OA 于点Q ．在y 轴上是否存在点M ，使MPQ V 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．22．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形,ABFE CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，EF AB ∥，2AB EF =，3EA ED FB FC ====．(1)当点N 为线段AD 的中点且2CM MF =uuuu r uuur 时，求证：直线NF ∥平面BDM ；(2)当点N 在线段AD 上时（包含端点），求平面BFN 和平面ADE 的夹角的余弦值的取值范围．参考答案：1．B【解析】由方程可得斜率为1，即可得出倾斜角.【详解】可得直线10x y --=的斜率为1，设直线倾斜角为为a ，则tan 1a =，)0,180a éÎëo o Q ，45a \=o .故选：B.2．C【分析】根据空间直角坐标系的性质，即可求解.【详解】根据空间直角坐标系，可得点B 是点(1,2,1)A -在坐标平面Oyz 内的射影为(0,2,1)-.故选：C.3．A【分析】根据两直线的位置关系，列出方程，即可求解.【详解】因为直线(1)20+-+=a x y 与210x y -+=互相垂直，可得(1)1(1)(2)0a +´+-´-=，解得3a =-.故选：A.4．A【分析】根据a b ∥列方程，解方程得到,l m 即可.【详解】因为a b∥，所以()()2,4,1,,2x l m -=，则242x x x m l =ìï-=íï=î，解得224x m l =ìï=-íï=î，所以2l m +=.故选：A.5．C【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.则222222433a ca bb cì+=ï+=íï+=î，解得212abcì=ï=íï=î，x连接AC，BC，1-为正方体，所以平面ACA B C Db r ，AA c¢=u u u r r ，。
2022秋中山市高一上学期华辰一段考
2022秋中山市高一上学期华辰一段考一、选择题(本题包括20小题，每小题3分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意)1.中华民族有着灿烂的古代文明，四大发明对人类文明发展具有巨大促进作用，其产品应用时发生化学变化的是( )A. 黑火药B. 印刷术C. 指南针D. 造纸2.分类思想在化学发展中起到了重要的作用。
下列有关物质分类的说法中不正确的是( )A. H2SO4属于酸B.KOH 属于碱C. ClO2属于氧化物D.NH3·H2O 属于混合物3. 下列事实与胶体的说法不正确的是( )A. 由肾功能衰竭等疾病引起的血液中毒，可利用血液透析进行治疗B. 在实验中手不慎被玻璃划破，可用FeCl₃溶液应急止血C. “霾尘积聚难见路人”,雾霾所形成的气溶胶有丁达尔效应D. 纳米碳(粒子直径为1-100nm的材料)与金刚石是碳元素的同素异形体，性质相同4. 下列说法正确的是( )A. 铜丝、石墨均能导电，所以它们都是电解质B. 熔融的MgCl2能导电，所以MgCl2是电解质C. 固体KNO3不能导电，所以KNO3是非电解质D. NaCl溶于水，在通电条件下才能发生电离5. 在强酸性的无色溶液中，能够大量共存的离子组是( )A.Cu²+、Cl-、Ba2+、Na+B.K+、CO32-、Na+、Cl-C.Mg²+、Na+、Cl-、SO42-D. K+、Ba2+、OH-、Cl-6.宏观辨识与微观探析是化学学科核心素养之一。
下列物质性质实验对应的离子方程式书写正确的是( )A. 碳酸镁跟硫酸反应：MgCO₃+ 2H+= Mg²+ + H2O+ CO₃↑B. 碳酸氢钠溶液与足量盐酸反应：CO32-+ 2H+ =H2O+ CO₃↑C. 氢氧化钡溶液与硫酸铜溶液反应：Ba2+ + SO42- =BaSO4↓D. 铁与稀盐酸反应：2Fe + 6H+ = 2Fe³+ + 3H₃↑7. 下列各组离子反应可用H+ + OH-= H2O表示的是( )A. 氢氧化钡和硫酸B. 氢氧化铁和盐酸C. 醋酸和氢氧化钠D. 硝酸和氢氧化钠8.下列变化过程中，需要加入氧化剂才能实现的是( )A.H2O2→O₂B.AlO2-→Al(OH)3C.AsO33-→ AsO43-D.MnO₂→Mn²+9.饼干、月饼、蛋糕等零食包装中常常有个小纸袋，上面一般标有“保鲜剂”或者“脱氧剂”的字样。
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中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学科试卷满分：150分 考试用时：120分钟一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知21{}|,M y y x x R =+∈＝，2|{1},N y y x x R =−+∈＝，则M N ＝（ ）A . {1}B ．{0,1}C . {(0,1)}D . 1 2. 与||y x =为同一函数的是（ ）A .2y = B．y =C . ,(0),(0)x x y x x >⎧=⎨−<⎩ D . y x =3.设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的（ ）A . 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 若全集U R ＝，[1,3]A ＝，22{}|0B x x x −≤＝，则()UA B ＝（ ）A . [1,2]B ． (－∞,0)∪(2,3]C . [0,1)D . (2,3] 5. 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41y+的最小值为（ ） A . 5 B .143C . 92 D . 26. 设2|1|2,||1()1,||11x x f x x x−−≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f ＝（ ）A .12 B ． 95− C . 413 D . 2541 7. 设2()4()f x x x x R =−∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ ）A . 0x <B ．0x <或4x >C . |1|1x −>D . |2|3x −> 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A .(0)2a bab a b +≥>> B ．222(0)a b ab a b +≥>> C . 2(0)abab a b a b≥>>+ D .22(0)22a b a b a b ++≤>> 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 已知x ∈{1，2，x 2}，则有（ ）A ．1x =B ．2x =C ．0x =D ．2x = 10. 如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0 C ．cb 2＜ab 2 D ．ac (a －c )＜0 11. 下列命题中，真命题为（ ）A ．空集是任何一个非空集合的真子集B ．∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2C ．∃x ∈{－2,－1,0,1,2}，|x －2|＜2D ．∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解 12. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．4ab a b ≥+ C ．14ab ≥ D ．2a b +≤ 第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1y x x =−+的定义域为 ． 14．函数266y x x =−+，x ∈(－1,5]的值域为 ．15．已知集合|||2{}A x x =＝，1{}|B x mx =−＝，若B ⊆A ，则m 值的集合为 ． 16．不等式22(23)(3)10m m x m x −−−−−<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题10分）已知全集U ＝R ，2{|120}A x x px =++=，2{|50}B x x x q =−+=， (UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}．求A B ．18.（本题12分）若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，求不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集．19．（本题12分） 已知集合A ＝{x |212xx <−}，集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}． （1）求集合A ，B ；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．20．（本题12分）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求： （1）3x ＋4y 的最小值； （2）求xy 的最小值.21．（本题12分）实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0. 若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题，求实数c 的取值范围.22．（本题12分）某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x ＋1；g （x ）＝2101(03)1912(35x x x x x x +⎧≤≤⎪+⎨⎪−+−<≤⎩）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学科试卷答案满分：150分 考试用时：120分钟第I 卷（选择题）一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知21{}|,M y y x x R =+∈＝，2|{1},N y y x x R =−+∈＝，则M N ＝（ A ）A . {1}B ．{0,1}C . {(0,1)}D . 1 2. 与||y x =为同一函数的是（ B ）A .2y = B．y =C . ,(0),(0)x x y x x >⎧=⎨−<⎩ D . y x =3.设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的（ D ）A . 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 若全集U R ＝，[1,3]A ＝，22{}|0B x x x −≤＝，则()UA B ＝（ D ）A . [1,2]B ． (－∞,0)∪(2,3]C . [0,1)D . (2,3] 5. 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41y+的最小值为（ C ） A . 5 B .143C . 92 D . 26. 设2|1|2,||1()1,||11x x f x x x−−≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f ＝（ C ）A .12 B ． 95− C . 413 D . 2541 7. 设2()4()f x x x x R =−∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ C ）A . 0x <B ．0x <或4x >C . |1|1x −>D . |2|3x −>8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ D ） A .(0)2a bab a b +≥>> B ．222(0)a b ab a b +≥>> C .2(0)abab a b a b≥>>+ D .22(0)22a b a b a b ++≤>>二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 已知x ∈{1，2，x 2}，则有（ BC ）A ．1x =B ．2x =C ．0x =D ．2x = 10. 如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ABD ） A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0 C ．cb 2＜ab 2 D ．ac (a －c )＜0 11. 下列命题中，真命题为（ AC ）A ．空集是任何一个非空集合的真子集B ．∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2C ．∃x ∈{－2,－1,0,1,2}，|x －2|＜2D ．∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解 12. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则（ AD ） A ．2212a b +≥B ．4ab a b ≥+ C ．14ab ≥ D ．2a b +≤ 第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1y x x =−+的定义域为 ．{x |0≤x ≤1}14．函数266y x x =−+，x ∈(－1,5]的值域为 ．{x |－3≤x ≤13}15．已知集合|||2{}A x x =＝，1{}|B x mx =−＝，若B ⊆A ，则m 值的集合为 ．{－12,0,12} 16．不等式22(23)(3)10m m x m x −−−−−<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．{x |－15≤m ≤3} 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题10分）已知全集U ＝R ，2{|120}A x x px =++=，2{|50}B x x x q =−+=，(UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}．求AB ．【解答】解：∵(UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}，∴2∈B ，4∈A ，把x ＝4代入集合A 得，42＋4p ＋12＝0，解得p ＝－7， 把x ＝2代入集合B 得，22－5×2＋q ＝0，解得q ＝6， ∴A ＝2{|120}x x px ++=＝2{|7120}x x x −+=＝{3,4}， B ＝2{|50}x x x q −+=＝2{|560}x x x −+=＝{2,3}， ∴A ∪B ＝{2,3,4}．18.（本题12分）若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，求不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集． 【解答】解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，∴03434a b a c a ⎧⎪<⎪⎪−+=−⎨⎪⎪−⨯=⎪⎩，解得：b ＝－a ，c ＝－12a ，或∴不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0即为－ax 2＋2ax ＋15a ≥0， ∵a ＜0，∴x 2－2x －15≥0，解得：x ≤－3或x ≥5， ∴不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥5}．已知集合A ＝{x |212xx <−}，集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}． （1）求集合A ，B ；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）集合A ＝{x |212xx <−}＝{x |－2＜x ＜2}， 集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}＝{x |m ＜x ＜m ＋1}； （2）∵B ⊆A ， ∴212m m ≥−⎧⎨+≤⎩，解得21m m ≥−⎧⎨≤⎩，∴实数m 的取值范围是{m |－2≤m ≤1}．20．（本题12分）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求： （1）3x ＋4y 的最小值； （2）求xy 的最小值.【解答】解：（1）∵正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ， ∴1y ＋3x＝5，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×5×15＝15(3x ＋4y )(1y ＋3x )＝15(13＋3x y＋12y x )≥15(13＋)＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号， ∴3x ＋4y 的最小值为5.（2）∵正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，∴5xy ＝x ＋3y ≥2xy ≥1225， 当且仅当x ＝3y ＝65时取等号， ∴xy 的最小值1225.实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0. 若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题，求实数c 的取值范围.【解答】解：∵实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0， ∴(a ＋1)2＋(b －2)2＝0，得a ＝－1，b ＝2， ∵不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题， ∴－x 2＋2x ＋c ＜0对一切实数恒成立， 等价于x 2－2x －c ＞0对一切实数恒成立， ∴△＝(－2)2＋4c ＜0，解得c ＜－1， ∴实数c 的取值范围为{c |c ＜－1}.22．（本题12分）某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x ＋1；g （x ）＝2101(03)1912(35x x x x x x +⎧≤≤⎪+⎨⎪−+−<≤⎩）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可 【解答】解：设投入B 商品的资金为x 万元（0≤x ≤5），则投入A 商品的资金为5﹣x 万元，设收入为S （x ）万元，①当0≤x ≤3时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝1011x x ++， 则S （x ）＝6﹣x ＋1011x x ++＝17﹣[（x ＋1）＋91x +]≤17﹣＝17﹣6＝11，当且仅当x ＋1＝91x +，解得x ＝2时，取等号． ②当3＜x ≤5时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝﹣x 2＋9x ﹣12， 则S （x ）＝6﹣x ﹣x 2＋9x ﹣12＝﹣（x ﹣4）2＋10≤10，此时x ＝4．∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．。