完整word版,八年级上几何模型总结之等腰直角三角形和中线角平分线,推荐文档
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
八年级上册数学等腰三角形知识点总结必看
八年级上册数学等腰三角形知识点总结必看
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八年级上册数学等腰三角形知识点
一、等腰三角形知识点
1.等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的.一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
二、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)：等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
这以上是小编为大家提供的八年级上册数学等腰三角形知识点总结。
八年级上几何模型总结之等腰直角三角形和中线角平分线,推荐文档
等腰直角三角形+角平分线模型例题：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，求证：BE=2CD。
变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：BC=AC+CD=AB+DE。
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：△EDC的周长等于BC的长。
变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，延长BA、CD交于点F，求证：AF+CE=AB。
变式4：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。
变式5：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E ，若点D 为△ABC 外一点，且∠变式6：等腰Rt △ABC 中，AC=AB °，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D ，DM 的延长线于点M ，（1）求的值；（2）求BC AB BM +变式7：等腰Rt △ABC 中，AC=AB E ，过C 作CD ⊥BE 于D ，过A 建议收藏下载本文，以便随时学习！建议收藏下载本文，以便随时学习！建议收藏下载本文，以便随时学习！BFBF⊥AD于F,若OD=OE，求的AE为边作等腰直角△APM，其中等腰直角三角形+中线模型例题：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，过A 作AE⊥BD于E，求证：∠1=∠2。
变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点E 是线段BD上一点，若∠1=∠2，求证：AE⊥BD。
(完整版)等腰三角形知识点(可编辑修改word版)
⎩⎩ ⎩ 等腰三角形知识学习要点：掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握等腰三角形的性质和判定定理，并探索等边三角形的性质和判定定理。
结合实例体会反证法的含义。
中考热点：全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一，在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理，常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质综合起来进行命题，题型多为证明题或解答题。
知识点：1、全等三角形的判定及性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．证题思路：⎧⎧找夹角（SAS）⎪⎪⎪已知两边⎨找直角（HL）⎪⎪找第三边（SSS）⎪⎪⎧若边为角的对边，则找任意角（AAS）⎪⎪⎪⎪⎧找已知角的另一边（SAS）⎨已知一边一角⎨⎪⎪⎪边为角的邻边⎨找已知边的对角（AAS）⎪⎪⎪找夹已知边的另一角（ASA）⎪⎪⎪⎪⎧找两角的夹边（ASA）⎪已知两角⎨⎩⎩找任意一边（AAS）2 例1、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF．②∠FAB＝∠EAB，③EF ＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2、如图，FD⊥AO 于D，FE⊥BO 于E，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。
其中能够证明△DOF≌△EOF 的条件的个数有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3、如图，已知 AC=DB，要使△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是．4、（2016 泰安）如图，在△PAB 中，P A=P B，M，N，K分别是PA，PB，AB 上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P 的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°(（2016 莱芜）已知△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC 分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（）A．3 条B．5 条C．7 条D．8 条【分析】分别以A、B、C 为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC 为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得7 条．5、在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 1200，AD⊥BC，且AD=AB.(1)如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD(2)如图2,如果∠EDF= 600，且∠EDF 两边分别交边AB，AC 于点E，F，那么线段AE，AF，AD 之间有怎样的数量关系?并给出证明。
八年级数学上册等腰三角形知识点总结
八年级数学上册等腰三角形知识点总结本文总结了八年级数学上册中与等腰三角形相关的知识点。
等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角（底边两边所夹的角）相等。
2. 等腰三角形的两底角（底边两边所夹的角）相等且等于顶角。
3. 等腰三角形的高线（从顶角垂直到底边的线段）是底边的中线和中线所在直线的垂线，且等于底边的一半。
等腰三角形的判定条件一个三角形为等腰三角形的条件是：两条边的长度相等。
等腰三角形的性质应用1. 使用等腰三角形的性质可以解题，如求角度、边长等。
2. 可以利用等腰三角形的性质证明其他定理。
等腰三角形的特殊情况1. 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，三条边长度都相等。
2. 等腰直角三角形是一种既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。
示例问题解答问题1：在一个等腰三角形中，已知底边的长度为6cm，顶角的度数为60°，求等腰边的长度。
解答：根据等腰三角形的性质可知，等腰边的长度等于底边长度的一半。
等腰边的长度 = 6cm / 2 = 3cm所以等腰边的长度为3cm。
问题2：已知一个三角形的两条边长度相等，是否能判断这个三角形是等腰三角形？为什么？解答：不能确定这个三角形是等腰三角形。
两条边长度相等是等腰三角形的判定条件之一，但还需要确认第三条边的长度是否与两边相等，才能确定一个三角形是等腰三角形。
结论本文总结了八年级数学上册中关于等腰三角形的定义、性质、判定条件以及特殊情况，并提供了示例问题的解答。
了解等腰三角形的知识可以帮助解题和证明其他定理。
(完整word版)全等三角形经典模型总结(2),推荐文档
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S V V .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型 条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .A 、例题例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN ＝BM ＋DN ， 求证：（1）∠MAN ＝45°；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形ABCD 中，已知∠MAN ＝45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， AH ⊥MN ，垂足为H ，（1）试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB ＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
(完整版)角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
八年级上册数学等腰三角形知识点总结必看
八年级上册数学等腰三角形知识点总结必看等腰三角形是初中数学中常见且重要的图形之一，它具有很多特殊性质和应用。
在八年级上册数学课程中，学生们会接触到等腰三角形的构造、性质以及相关定理的证明。
本文将对八年级上册数学中的等腰三角形知识点进行总结和归纳。
一、等腰三角形的定义和性质1. 等腰三角形的定义：一个三角形的两边长度相等，两个底角的度数也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：a. 两边相等：等腰三角形的两边长度相等，分别称为腰。
b. 底角相等：等腰三角形的底角的度数相等。
c. 顶角对应边相等：等腰三角形的顶角对应的两边与底边相等。
二、等腰三角形的构造构造等腰三角形有几种常见的方法：1. 利用直尺和圆规：已知一个顶角和两个腰的长度，使用直尺和圆规可以构造出等腰三角形。
2. 利用等边三角形的性质：等边三角形的三边相等，所以等边三角形也是等腰三角形，可以通过构造等边三角形得到等腰三角形。
三、等腰三角形的重要定理1. 等腰三角形基本定理：如果一个三角形的两边相等，那么它也是一个等腰三角形。
2. 等腰三角形顶角定理：如果一个三角形的两边相等，那么它的两个底角的度数也相等。
3. 等腰三角形的高是腰的中线：等腰三角形的高既是高线，也是腰的中线，将等腰三角形的底边分成两等分，高线和腰的中线重合。
四、等腰三角形的应用等腰三角形在日常生活和实际问题中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用例子：1. 圆锥的侧面开平：当一个圆锥的侧面展开后，形成的平面图形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可以求解圆锥的侧面积。
2. 建筑物的设计：在建筑物的设计中，等腰三角形常用于制作屋顶、拱门等结构，利用等腰三角形的稳定性和美观性。
3. 镜子的设计：很多镜子的形状都是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可以增强镜子的稳定性。
综上所述，等腰三角形是八年级上册数学中的重要内容。
掌握等腰三角形的定义、性质、构造以及相关定理及其证明，能够帮助我们更好地理解三角形和解决实际问题。
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三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的A BCEDA BCD 12边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC（5）其它- 11 -。
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三角形(2) V ABC 也恵FG •••A=zE ..............11 •全等三角形的判定：SAS” A“A ” AAS” SSS” H “”（如图）几何表达式举例：⑴T AB = EF•/ ZB=ZF又T BC = FG••• A BC 也恵FG⑵ .......................(3)在Rt A ABC 和Rt A EFG 中T AB=EF又T AC = EG••Rt A ABC^Rt A EFG12.角平分线的性质定理及逆定理: （1 ）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2 ）到角的两边距离相等的点在角几何表达式举例：（1）QC 平分ZAOB 又'.CDdOA CE JOB •••CD = CE平分线上.（如图）A E(2) iCDdOA CEJOB 又〔CD = CE几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数二常识：1 •三角形中，第三边长的判断：另两边之差v第三边v另两边之和2 .三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段3 .如图，三角形中，有一个重要的面积等式,即:若CD1AB ,BE JCA,则CDAB=BE CA.4 .三角形能否成立的条件是：最长边v另两边之和5. 直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和6. 分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形7 .如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：(1) AC CB=CD AB ; (2)/1 = ZB，Z2=/A .8. 三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角9. 全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边. 10．等边三角形是特殊的等腰三角形. 11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证. 明12 .符合AAA”SSA”条件的三角形不能判定全等13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14.几何基本作图分为：（1 ）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15 .会用尺规完成SAS”、ASA”、AAS”、SSS”、HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的.作图16 .作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17.几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.探18 .几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角;④ 作辅助线必须符合几何基本作图（2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）①过D 点作DEAC 交AB 于E ，构造中位线； A B D C②延长AD 到E ，使DE=AD连结CE 构造全等，转移线段A 和角；B DZ C③'AD 是中线•S 从BD= S 从DC（等底等高的三角形等A面积）B D CE⑷ 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC①作等腰三角形ABC 底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形； ①在BA 上截取BE=BC 构造全等，转 ② 过D 点作DE/BC 交AB 于E ，构造等腰三角形.②作等腰三角形ABC 一边的平行线DE ，构 造新的等腰三角形.(5)其它作等边三角形ABC一边的平行线DE,构造新的等边三角形；A△B DC ②作CE AB，转移角；A B/\EBC D③延长BD与AC交于E，不规则图形转化为规则图形; Z^C。
人教版八年级数学上册知识讲义-11.三角形的中线、高线、角平分线
初中数学三角形的中线、高线、角平分线精讲精练三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3. ∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段。
1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2. ∠1=∠2=12∠BA C。
三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE，其中画对的是_______。
甲乙丙丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
初中等腰三角形模型总结—全面2023.5
初中等腰三角形模型总结—全面2023.5
初中等腰三角形模型总结—全面完整版2023.5.23
初中等腰三角形模型是数学学科中常见的一个几何模型。
本文
总结了初中等腰三角形模型的相关知识点和应用，旨在帮助学生更
好地理解和运用这一模型。
知识点总结
初中等腰三角形模型主要涉及以下几个知识点：
1. 等腰三角形的定义：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
2. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角（底边两边的夹角）
相等。
3. 等腰三角形的判定：通过边长和角度等条件可以判断一个三
角形是否为等腰三角形。
4. 等腰三角形的构造：可以通过已知条件构造等腰三角形。
应用总结
初中等腰三角形模型在数学中的应用非常广泛，具体包括以下几个方面：
1. 解题方法：在解答与等腰三角形相关的题目时，可以利用等腰三角形的性质和判定条件来推导解题过程。
2. 图形构造：通过等腰三角形的构造方法，可以在平面上画出等腰三角形，并利用其性质进行图形分析和构造。
3. 三角形相似性质：等腰三角形是一类特殊的三角形，与其他三角形存在一些相似性质，可以通过等腰三角形模型来研究和证明这些性质。
结论
初中等腰三角形模型是数学学科中的重要内容之一，掌握了等腰三角形的定义、性质、判定和构造方法，可以更好地解答与等腰三角形相关的题目，提高数学应用能力。
同时，等腰三角形模型也为研究其他三角形的性质提供了基础。
希望本文对初中学生对等腰三角形模型的理解和运用有所帮助。
以上为初中等腰三角形模型总结—全面完整版2023.5.23。
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八年级上册数学模型及结论
八年级上册数学模型及结论以下是八年级上册数学中的一些重要模型和结论：1. 平面直角坐标系：在平面内，有两条互相垂直且相交于原点的数轴，构成了平面直角坐标系。
通过给定坐标点在平面内的位置，可以表示平面内任意一点的坐标。
2. 一次函数：一次函数是函数的一种，其解析式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。
3. 三角形：三角形是由三条线段首尾顺次连接形成的平面图形。
三角形具有稳定性，即三角形三边的长度确定后，其形状和大小就固定了。
4. 全等三角形：如果两个三角形的三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。
全等三角形是相似三角形的特例。
5. 等腰三角形：等腰三角形是两边长度相等的三角形，其中相等的两边所对的角也相等。
等腰三角形是轴对称图形。
6. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
7. 勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即c² = a² + b²。
勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
8. 四边形：四边形是由四条线段首尾顺次连接形成的平面图形。
根据四边形的性质，可以分为平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
9. 平行四边形：平行四边形是两组相对边平行的一种四边形。
平行四边形的对角线互相平分，且对角相等。
10. 矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，其四个角都是直角。
矩形的对角线相等且互相平分，任意一边的平方等于其他三边的平方和。
以上是一些八年级上册数学中的重要模型和结论，掌握这些知识对于进一步学习数学以及其他学科都有很大的帮助。
初二几何证明一(线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质)
线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。
1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：BD ＋EC ＝DE 。
2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。
求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。
必备的八年级上册数学期末复习要点：等腰三角形
必备的八年级上册数学期末复习要点：等腰
三角形
一、等腰三角形知识点回顾
1.等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
二、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
通过对必备的八年级上册数学期末复习要点：等腰三
角形的学习，是否已经掌握了本文知识点，更多参考资料尽在!
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八年级数学上-等腰,角平分线与垂直平分线
第 3 讲 等腰,角分线，垂直平分线综合考点关键词： 等腰 垂直平分线 角分线 30°的直角 △ 分类讨论重点： 求角度 分类讨论 三角形个数问题 一线三垂直 难点： 全等构造 辅助线构造考点专题1：等腰三角形的个数 ① 等腰△与坐标系例1：(17汉阳八上期中)在平面直角坐标系中，已知A （0，2），B （2，0），若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9变式练：在二,四象限的角平分线上找一点C ，使△ABC 为等腰△，则这样的C 点有_____ 个。
② 等腰△与格点例2.(16黄陂八上期中)如图,A 、B 、C 三点均为格点,且△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C 个数有( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11第9题针对练：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ）B．7 C ．8 D ．9经验归纳：两圆一线 交轨法③ 等腰△求坐标例3.在平面直角坐标系中，A （0，1），B （4，0），以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，则C 点坐标为_____.针对练：在平面直角坐标系中，A （1，1），B （2，4），以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，则C 点坐标为_____.经验归纳：一线三垂直构全等考点专题2：等腰,角分线,垂直平分线综合求角度 ①(18年青山八上期中)考察角分线的性质与结论例4.如图,四边形ABCD 的对角线相交于点O, ∠BAD=∠BCD=60°, ∠CBD=55°, ∠ADB=50°, 则∠AOB 的度数为__________.16题A② 构造双角分线模型，利用模型解决例5：如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线交于点F ．已知∠F ＝42°，则∠E ＝___________方法一：作平行线（七年级常考方法）方法二：延长EB 构造双角分线模型针对练：如图，已知四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠ADB ＝32°，∠BCD ＋∠DCA ＝180°， 那么∠ACD 为_________度.例6：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中，有一个锐角为α，则α的度数为 _________ ．考点专题3：等腰综合求长度 ① 30°直角△例7：如图,已知∠AOB=60°,点P 在边OA 上,OP=12,点M 、N 在边OB 上,PM=PN,若MN=2，则OM=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6②等腰与角分线例8：如图,B 、C 、E 三点在同一条直线上,CD 平分∠ACE,DB=DA,DM ⊥BE 于M,若AC=2，BC=32,则CM 的长为________.例9：已知A(0，3), B(4，0).(1)如图1,点P(0，4),点Q 在x 轴上,且AB ⊥PQ,求点Q 的坐标;第8题60°BOA P第15题D图1x(2)如图2,点C 、D 的坐标分别为C(0，-4)、D(3，-4),点E 、F 分别为OC 、OB 中点,连接EF 交AD 于G ,求证:AG=GD;x(3)如图3,AB=3,点I 为△ABO 三条角平分线的交点,以BI 为直角边作等腰直角三角形BIP,点P 在第四象限,求点P的坐标;x☆ 本节课我学到了什么？八年级秋季讲义___________________________________________________________________________________过关测1.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°2．(17洪山八上期中调研)在平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是___________个3．(17汉阳八上期中改)如果一个等腰三角形一边上高等于某边的一半，则该等腰三角形的底角的度数是．正确率错误题号错误原因。
初二几何证明一(线段垂直平分线角平分线和等腰三角形的性质)
课题：几何证明 教学目标：1、 熟练掌握线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质2、 能够灵活应用性质及判定定理进行几何证明 ★ 知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上. 2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO3、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半PM NC BA4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。
★ 课前热身1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：BD ＋EC ＝DE 。
2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.MEF BACD3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。
初二数学等腰三角形中线性质
初二数学等腰三角形中线性质数学是一门非常重要的学科，它涉及到我们生活中许多方面。
在初中数学中，等腰三角形是一个非常重要的概念，它具有很多有趣的性质和应用。
本文将深入探讨初二数学中等腰三角形中线的性质。
一、等腰三角形的定义和特点首先，我们来回顾一下等腰三角形的定义和特点。
等腰三角形是指有两个边相等的三角形。
在等腰三角形中，两条等边称为腰，而不等边称为底边。
等腰三角形的两个底角是相等的，而顶角则是不等的。
这些特点是等腰三角形的基本属性，我们可以根据这些属性来证明等腰三角形中线的性质。
二、等腰三角形中线的性质1. 等腰三角形中线相等在等腰三角形中，连接腰的中线是等长的。
也就是说，等腰三角形的两条腰的中线相等。
我们可以通过以下步骤来证明这一性质。
首先，连接等腰三角形的两个顶点和底边的中点，得到两个三角形。
由于等腰三角形的两个底角相等，所以两条中线相交于顶点的角度也是相等的。
接下来，我们利用三角形的性质，通过边角关系可以证明等腰三角形的两个中线相等。
因此，等腰三角形的中线性质是成立的。
2. 等腰三角形中线平行于底边在等腰三角形中，连接顶点和底边中点的线段是底边的平行线。
为了证明这个性质，我们可以使用数学中的平行线判定条件。
首先，我们连接等腰三角形的顶点和底边的中点，并延长这条线段。
接下来，我们分别连接等腰三角形的两个顶点和底边的另外两个点，得到两个三角形。
由于等腰三角形的两个底角相等，所以两条中线相交于顶点的角度也是相等的。
根据平行线判定条件中的内错角定理，我们可以得出这两条线段是平行的。
因此，等腰三角形的中线与底边是平行的。
3. 等腰三角形中线与顶角的关系在等腰三角形中，连接顶点和底边中点的线段与顶角之间的关系也是值得注意的。
我们可以通过以下步骤来证明这一性质。
首先，连接等腰三角形的顶点和底边的中点，并延长这条线段。
接下来，我们分别连接等腰三角形的两个顶点和底边的另外两个点，得到两个三角形。
由于等腰三角形的两个底角相等，所以连接顶点和底边中点的线段与顶角之间的夹角也是相等的。
等腰三角形八大几何模型与九类题型(模型梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版)25学年八年级数学上册
专题13.15等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】模型1:角平分线+平行线→等腰三角形AB AC DCB ACB CDAB =⇒⎭⎬⎫∠=∠//模型2:角平分线+垂线→等腰三角形AB AC CAD BAD BCAD ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠⊥∆中，在模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形ABAC B DAC ABC DAC ABC =⇒∠=∠∆∠∆2外角，为中，在模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形CE CD CBD ABD AB CH ACB ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠⊥=∠∆,900中，在模型5:等边三角形中含定角问题60=∠⇒=∆AFE CE BD AC BC E D ABC 上的两个动点、是、中，在等边模型6:等边三角形中含“手拉手”AEBD AE BD DCE ABC =⇒∆∆、中，连接和等边在等边模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形DC DB CBD ABD ACB ABC ACB ABC =⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠=∠∆2900中，在模型8:倍长中线构造等腰三角形题型目录【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形 (3)【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形 (4)【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形 (4)【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 (5)【题型5】等边三角形中含定角问题 (6)【题型6】等边三角形中含“手拉手” (7)【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形 (8)【题型8】倍长中线构造等腰三角形 (9)【题型9】拓展延伸 (9)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在ABC V 中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥于点D ，DE AC ∥交AB 于点E ，若8AB =，则DE =．【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在ABC V 中，AD 平分CAB ∠，ED AB ∥．若ED CD =，15EAD ∠=︒，则ADB ∠等于（）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在ABC V 中，ACB ∠的平分线交AB 于点E ，CF 平分ACD ∠，且EF BC ∥交AC 于点G ，若5cm CG =，则EF =cm ．【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在ABC V 中，CD 平分ACB ∠，CD BD ⊥，垂足为D ，180A CBD ∠+∠=︒，若5BD =，则AB 的长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 于点E ，A ABE ∠=∠，11AC =，7BC =，则BD 的长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，CE 平分ACB ∠且CE DB ⊥于E ，DAB DBA ∠=∠，若14AC =，CDB △的周长为20，则DB 的长为．【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍⇔等腰三角形【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在1ABA △中，1AB A B =，20B ∠=︒．在1A B 上取一点C ，延长1AA 到点2A ，使121A A AC =，连结2A C ；在2A C 上取一点D ，延长12AA 到点3A ，使232A A A D =，连结3A D ；……，按此操作进行下去，在以点5A 为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A ．20︒B ．10︒C ．5︒D ．2.5︒【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在ABC V 中，BD BC =，AE AC =，100ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为．【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在ABC V 中，AB AC =，36A ∠= ，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE AB ∥交BC 于点E ，EF BD ∥交CD 于点F ，则图中等腰三角形共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒，高AD 与角平分线BE 相交于点F ．（1）求证：AEF △是等边三角形；（2）若2AE =，求AD 的长度．【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，AE 是BAC ∠的角平分线，AE 与CD 交于点F ，求证：CEF △是等腰三角形．【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，ABC V 中，90BAC AD BC ABC ∠=︒⊥∠，，的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②AEF AFE ∠=∠；③EBC C ∠=∠；④AG EF ⊥；⑤AB GB =．正确结论有（）个.A ．2B ．3C ．4D ．5【题型5】等边三角形中含定角问题【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边ABC V 中，=AD CE ，BD 和AE 相交于F ，BG AE ⊥垂足为G ，求FBG ∠的度数．【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D ，E 分别是等边三角形ABC 的两边AB AC ，上的点，且=AD CE .（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）求BPC ∠的度数.【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，ABC V 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且=AD CE ，连接BD ，AE 相交于点F ，则下列说法正确的是（）①ABD CAE ≌ ；②60BFE ∠=︒；A ．①B ．②C ．①②D ．都错【题型6】等边三角形中含“手拉手”【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A 、C 、B 三点共线，DAC △与EBC 都是等边三角形，AE BD 、相交于点P ，且分别与CD CE 、交于点M ，N ．（1）求证：ACE DCBV V ≌（2）求APD ∠的度数【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，,ABC CDE △△都是等边三角形，将CDE 绕点C 旋转，使得点,,A D E 在同一直线上，连接BE ．若1,4BE AE ==，则CE 的长是．【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，ABC V 和ADC △都是等边三角形，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，且60EAF ∠=︒，若AEF △的周长最小时，则BAE ∠的大小是．【题型7】倍半角→等腰三角形【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，D 为AB 上一个动点．（1）已知2A BCD ∠=∠，求证：2AD AC AB +=．下面是两位同学分享的思路：小快同学：从求证目标出发，倍长AB 到E ，即2AE AB =，又AE AD DE =+，则只需证DE AC =．小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将BCD △关于直线BC 对称得到BCF V ，则可证ACF △为等腰三角形．请你选择一种思路，完成证明（2）已知AB BD AC +=，ACD α∠=，请直接写出A ∠的大小（用含α式子表示）．【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，ABC V 中，2C B ∠=∠，,AD AE 分别为ABC V 的高，角平分线，下列四个结论：①AC CD BD +=；②AC CD AB +=；③AC CE AB +=；④2B DAE ∠=∠．其中所有正确结论的序号是．【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A 是ABC 的中线，E 是A 上一点，BE 交AC 于F ，若EF AF =，8BE =，5CF =，则EF 的长度为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE AC =，BE 的延长线交AC 于点F ，若60ACB ∠=︒，44DAC ∠=︒，则求FBC ∠的度数为．第三部分【拓展延伸】【题型9】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，ABC V 中，BF CF 、分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点F 作DE BC ∥交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①DFB DBF ∠=∠；②EFC 为等腰三角形；③ADE V 的周长等于BFC △的周长；④1902BFC A ∠∠=+ ．其中正确的是【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图1，已知在ABC V 中，BD 是ABC V 的角平分线，AE 是ABC V 的中线，AE BD ⊥，垂足为点F ．（1）根据图1，写出ABC V 中小普同学所发现的结论，并给出证明；【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：（2）在如图1中，“线垂”三角形ABC 是否可以是直角三角形？如果可以，求DBC ∠的度数；如果不可以，请说明理由；（3）已知线段MN ，是否存在一点P ，使得以MN 为一边的“线垂”三角形PMN 为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出PMN ∠为“分角”的“线垂”等腰三角形PMN （不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P ），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．。
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等腰直角三角形+角平分线模型
例题：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，求证：BE=2CD。
变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：BC=AC+CD=AB+DE。
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过E作ED⊥BC于D，求证：△EDC的周长等于BC的长。
变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，延长BA、CD交于点F，求证：AF+CE=AB。
变式4：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。
变式5：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，
若点D 为△ABC 外一点，且∠ADC ＝135°求证：BD ⊥DC 。
变式6：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D ，DM ⊥AB 交BA 的延长线于点M ，
（1）求BC AB BM +的值；（2）求AB BC AM
-的值。
变式7：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，
过C 作CD ⊥BE 于D ，过A 作AT ⊥BD 于点T ，证明：AT +TE =2
1BE 。
1、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。
点N 为OA 上一点，OM ⊥BN 于M ，且∠ONB=45°+∠MON 。
（1）求证：BN 平分∠OBA ；
（2）求BN
MN OM 的值；
（3）若点P 为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP 与BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。
2、如图，直线AB 交X 轴负半轴于B （m ，0），交Y 轴负半轴于A （0，m ），OC ⊥AB 于C （-2，-2）。
（1）求m 的值；
（2）直线AD 交OC 于D ，交X 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F,若OD=OE ，求AE
BF 的值；
（3）如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角△APM ，其中PA=PM ，直线MB 交y 轴于Q ，当P 在x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。
等腰直角三角形+中线模型
例题：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，过A作AE⊥BD于E，求证：∠1=∠2。
变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点E 是线段BD上一点，若∠1=∠2，求证：AE⊥BD。
变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。
变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：∠1=∠2。
变式4：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接EF，求证：∠1=∠2。
变式5：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F，连接EF交BD于点M，求证：∠1=∠2。
1、如图，已知：△ABC 是等腰直角三角形，直角顶点C 在X 轴上，一锐角顶点B 在Y 轴上。
（1）、如图①若点C 的坐标是（2，0），点A 的坐标为（-2，-2），求AB 和BC 所在的直线解析式；
（2）、在（1）问的条件下，在图①中设边AB 交X 轴于点F ，边AC 交Y 轴于点E ，连接EF 。
求证：∠CEB=∠AEF
（3）、如图②所示：直角边BC 在两坐标轴上滑动，使点A 在第四象限内，过点
A 作Y 轴的垂线，垂足为D ，在滑动的过程中，两个结论：①BO
AD CO -为定值；②BO
AD CO +为定值；其中只有一个结论是正确的，请判断出正确的结论加以证明并求出其定值。
2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）。
（1）求B 点坐标；
（2）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°，连OD ，求∠AOD 的度数；
（3）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式1=-OF
FM AM 是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
3、已知在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC垂直平分线MN上一动点，直线AP交BC
于E，过P点后与AP关于MN成轴对称的直线交AB于D、交BC于F，连CD交PA
于G。
（1）如图1，若点P移动到BC上时，E、F重合，若FD=a，CD=b，则AE= （用含a、b的式子表示）
（2）如图2，若点P移动到BC的上方时，其他条件不变，求证：CD⊥AE；
（3）如图3，若点P移动到△ABC的内部时，其他条件不变，线段AE、CD、DF
之间是否存在确定的数量关系？请画出图形，并直接写出结论（不需证明）
正方形与等腰直角三角形
1 如图：正方形ABCD和正方形CDFG中,BH=EF,求证：∠AFH=45°
2 如图：正方形ABCD中,AE+CF=EF，求证：(1)∠EBF=45°(2)BE垂直平分HF
3 等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C 作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。
4 如图:长方形ABCD和正方形BDGH中,AD=BE,GH=EC,连AC和DE并延长DE交AC于点P．求证∠APD=45°
5 如图:长方形ADGN和正方形DBMF中,AD=BC,BD=EC,点M,B,C 在直线上, 点F,D,G 在直线上 ,连接CD,AE.求证: ∠APD=45°
11。