工程力学平面任意力系
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3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
工程力学-平面任意力系
即：
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
工程力学4章—理论力学
结论：平面任意力系向作用面内任 一点简化，可得一力和一个力偶。这个 力的作用线过简化中心，其力矢等于原 力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系 对简化中心的主矩。
二．解析法求主矢FR′的大小与方向
FR’
按图所选定的坐标系 Oxy,有
主矢FR′的大小及方向分别由下式 确定：
'2 '2 FR' FRx FRy ( X )2 ( Y )2 FRx=X1+X2+…Xn＝Σ X
二．物体系统的平衡
工程中的结构，一般是由几个构件通过一定的约束联系在一起的， 称为物体系统. 系统外的物体作用于该物体系统的力称为外力. 系统内部各物体之间的相互作用力称为内力. 对于整个物体系统来说，内力总是成对出现的，两两平衡，故无需考 虑，如图b的铰C处。而当取系统内某一部分为研究对象时，作用于系统 上的内力变成了作用在该部分上的外力，必须在受力图中画出，如图c中 铰C处的FCx和FCy。
l
B
l FBC
FP D
C MA ( F ) = 0 : FBC d - FP 2l = 0
解得：FBC=22FP
MB ( F ) = 0 : Fx = 0 :
FAy l - FP l = 0 解得： FAy= - FP FAx+FBCcos = 0 解得： FAx=-2FP
合力作用线位置：
合力作用线上一点坐标为(x,y)
O
F' R
(x,y)
M0
F R
A
x
M O ( FR ) M O ( F )
即：xFRy yFRx M O
' 4. FR
0， M O 0
(平衡)
静力学：第三章-平面任意力系(1)详解
合力
合力
3.3 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任
意点的主矩都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
一般式
二矩式
三矩式
Fx Fy
0 0
MO 0
F x
0
M A 0
M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
三个取矩点， 不得共线
解得: P3max=350kN
P3
P1
P2
75kN P3 350kN A
B
FA
FB
当 P3=180kN 时（平面平行力系）：
M A 0 4 P3 2 P1 14 P2 4 FB 0 P3
P1
P2
Fy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得： FA=210kN FB=870kN
平面任意力系的平衡方程只有三个，只能求三 个未知数。
三个特例：
平面汇交力系： Fx 0, Fy 0 平面力偶系： M o 0
平面平行力系： Fy 0, M o 0 或者 M A 0, M B 0
3.4 物体系统的平衡
静定问题：系统未知量数目等于独立的平衡方程数目。 超静定问题（静不定问题）：系统未知量数目超过独
其中：M B M B (F ) Fd
3.2 平面任意力系向作用面内一点简化
主矢：矢量和 FR Fi 主矩: 代数和 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
主矩简化什么情况下与简化位置无关？
平面任意力系应用：平面固定端约束
=
=
平面任意力系的简化结果
(1) FR 0, M O 0
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
工程力学 第4章 平面任意力系_2
第四章 平面任意力系
E
300
200
B C A 100
100
FEx F Ey
B FAy D W C
FAx
D W
∑F
y
= 0 FEy + FAy − W = 0 FAy = −66.7 N
第四章 平面任意力系
例：已知 DK = KD ,AB = BC =1m ,F=1732kN , Q=1000kN 处的约束力。 求：A、E 处的约束力。
A、B 连线与 轴不垂直 连线与Ox
A、B、C三点不共线 三点不共线
第四章 平面任意力系
平面平行力系平衡的条件： 平面平行力系平衡的条件
y
平面问题
∑ Fy = 0 ∑ M O ( F ) = 0
o
x
平面平行力系平衡的条件（二矩式） 平面平行力系平衡的条件（二矩式）：
∑ M A ( F ) = 0 , ∑ M B ( F ) = 0
第四章 平面任意力系
与重物的总重力为P=10kN，梁的 例4-2：已知起重电动机 与重物的总重力为 ：已知起重电动机E与重物的总重力为 ， 重力为W=5kN。已知角度θ=30º。求：钢索 和铰链 的约 。已知角度 钢索BC和铰链 和铰链A的约 重力为 。 束力， 束力，钢索受力的最大值 y
FBC FAx
F
E K
300
解：1、研究ED杆，画受力图. 研究 杆 画受力图. E D
FEx
F
FEy
F D
D
∑
W M E (F) = 0 FD ED cos 30 − F ⋅ EK = 0 FD = 1000kN
A
B
C
∑ Fx = 0
工程力学—平面任意力系
置a＝2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
FAx FT cos 0 (1)
FAy
FAx
Fy 0
A
FT
E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0
Q
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
从(3)式解出
FT
1
sin
l
FR
O
O′
d
4.3 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (FR ) FRd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (FR ) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
解之得：
FAx P cos
m Pb sin
FAy
a
FB
m
P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
补充内容： 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端约束。
A
FA A MA
MA
FAy FAx
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
FAx FT cos 0 (1)
FAy
FAx
Fy 0
A
FT
E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0
Q
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
从(3)式解出
FT
1
sin
l
FR
O
O′
d
4.3 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (FR ) FRd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (FR ) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
解之得：
FAx P cos
m Pb sin
FAy
a
FB
m
P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
补充内容： 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端约束。
A
FA A MA
MA
FAy FAx
平面任意力系(工程力学课件)
解：① 选AB梁为研究对象
qF
② 画受力图
FAy
qF
A
B
M
2a
a
FAx A
M
B FB
列平衡方程
M A(F)
0
F
2a q 2a a M
FB
3a
0
FB
5qa 3
Fx 0
Fy 0
FAx 0
FB FAy F 2qa 0,
FAy
4 qa 3
均布载荷
课堂练习 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布载荷q，
(2)建立直角坐标系，矩心选在A点，列平衡方程得：
MA (F ) 0
l FT sin 30l G1 2 G2 x 0
FT
G1
2G2 x l
34kN
Fx 0 FAx FT cos 30 0
FAx FT cos 30 29.4kN
平面任意力系的
平衡方程及其应用
Fy 0 FAy G1 G2 FT sin 30 0
FAy F ql 2ql
物体系统的平衡
物体系统的平衡
一、静定与静不定(超静定)问题的概念
平面汇交力系
Fx Fy
0 0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面力偶系 M 0 一个独立方程，只能求解一个未知数。
平面平行力系
Fy 0
M o F
0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面任意力系
ab
Gb cos
ab
平面任意力系的 平衡方程及其应用
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线共面且相互平行的力系。
平面平行力系是平面任意力系的特例，
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
工程力学平面力系
例3-9
求杆BD、CD和CE的内力
Ⅰ
Ⅰ
40
HOHAI UNIVERSITY
例3-10
求1杆内力。 Ⅰ
Ⅰ
41
HOHAI UNIVERSITY
F
A
Ⅲ
I
B
例3-11 F Ⅲ Ⅱ ② Ⅰ
E C
求指定4根杆的内力。 可以求出杆2内力
①
J
D
I-I Ⅱ Ⅰ
③
K
④
F
II-II 可以求出杆3、4内力
III-III 可以求出杆1的内力
∑Fix =0 ∑ Fiy =0
35
HOHAI UNIVERSITY
空间汇交力系：
∑Fix =0
∑ Fiy =0
∑ Fiz =0
36
HOHAI UNIVERSITY
例3-8
用节点法求各杆内力
零杆——内力为零的杆件
零杆判断：
②
①
1.如有三根杆件在某一节点相交，其中两根在同一直线上，且该节点不 受外力作用，则第三根杆（不必与另两根杆垂直）必为零杆； 2.如只有两根不共线的杆件相交于一节点，节点上无外力，则该两杆必 37 均为零杆。
25
HOHAI UNIVERSITY
按材料分：
木桁架
钢桁架
钢筋混凝土桁架
26
HOHAI UNIVERSITY
按空间形式分： 平面桁架：所 有杆件的轴线 在同一平面内。
空间桁架
27
HOHAI UNIVERSITY
按内力计算分： 静定桁架
超静定桁架
28
HOHAI UNIVERSITY
木桁架的榫接节点
21
HOHAI UNIVERSITY
工程力学第三章：平面任意力系
水平尾翼的约束。
车刀
利用平面任意力系的简化讨论固定端约束（以雨搭为例）：
Fi
A
雨搭
雨搭
简化为一个平面任意力系
MA
A
FA
雨搭
FAy
MA
A
FAx
雨搭
向A处简化，简化结果是 一个主矢加一个主矩
主矢方向待定，用两正交分 量表示
例1：已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F ́=200N。求此力 系向原点O简化的结果，并求力系的合力。
2
M=0
FR′≠0
3
M=0
合力
合力
合力作用线通过简化中心
合力作用线距离简化中心距离
4
M≠0
d M O / FR
第三种和第四种结果属于同一种情形。是简化中心选择的不同 引起的。
四、合力矩定理
可以证明，M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
由于简化中心可任取，因此上式有普遍意义，可描述为：平 面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各分力 对于同一点之矩的代数和。
4、在列平衡方程时，最好将力矩方程的矩心取为两个未知力的 交点，而对投影方程的投影轴的选取，应尽可能使其与某些未知 力垂直，为什么？ 答：避免解联立方程，使方程尽量简单。
5、在等腰直角三角形上的A、B、C三点分别作用三个力，各力 的大小和方向如图所示。问该力系是否平衡？为什么？
问题引入：平面任意力系研究物体或物系在受到相关力系作用
下的平衡问题。
吊车：工程中吊车的
起重载荷如何进行计
算？
破碎机：鄂式破碎机是矿山机械中常见的机械设备，颚板作用 给矿石的作用力应如何进行计算？
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1 2 3 3 1 0.768
y
F2
60°
A
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y Ry 0.789
4、 R=0，而LO=0，原力系平衡。
综上所述，可见：
⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不 为零时，则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主 矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。
§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
例题 3-1 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用 着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及
第三章 平面任意力系
平面任意力系
各个力的作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行的力 系称为平面任意力系
§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力的平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系的简化•主矢与主矩
平 §3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
面 任
§3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
F
F
F
Od A = O d A
=
F
Ol A
F
F F F
l Fd m0 F
§3–2
§3–2 力的平移定理
二、几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加
力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置
的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的 一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大 小相等的平行力。
三、力矩的正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转 动时，力矩取正值，反之为负。
四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为 N.m。
§3–1 力对点之矩
五、力矩的性质： 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零 4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶矩
该力系的最后的合成结果。
解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果：
①求主矢R：
2m
y
F2
60°
A
F1
O
3m
B
F3
F4 C 30° x
Rx Fx F2 cos 60 F3 F4 cos30 0.598
§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
Ry Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30
意 §3–6 平面平行力系的平衡 力
系 §3–7 物体系的平衡 与静不定问题的概念
§3–8 平面静力学在工程中的应用举例
§3–1 力对点之矩
一、力矩的定义——力F 的大小乘以该力作用线到 某点O 间距离d，并加上适当正负号，称为力F 对 O 点的矩。简称力矩。 B
O dF
A
二、力矩的表达式: MO F Fd
3、力的平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
§3–3 平面任意力系的简化•主矢与主矩
一、力系向给定点O 的简化
应用力的平移定理，可将刚体上平面任意力系 中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定
点O 。从而这力系被分解为平面平行力系和平面力 偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化 。点O 称为简化中心。
§3–1 力对点之矩
六、合力矩定理
y
Fy
B
F
A y
Fx
Ox
x
mo F xFy yFx
平面汇交力系的合力对平面内任一之矩等
于各分力对同一点之矩的代数和
§3–2 力的平移定理
一、力的平移定理：
把力F 作用线向某点O 平移时，须附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原力F 对点O 的矩。
证明：
主矩：
L0 mo F1 mo F2 mo Fn mo F
结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
§3–3 平面任意力系的简化•主矢与主矩
二、几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化 中心的位置无关。
2、LO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。
3、R≠0，LO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用 于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。
说明如下：
R
LO
O
=
R R
Lo
OR A
Lo R
= OR A
AO L0 R
m0F
R
R
§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
Fx 2
Fy 2
方向余弦：
cosR, x Fx R
cosR, y Fy R
2、主矩Lo可由下式计算：
L0 mo F1 mo F2 mo Fn mo F
§3–4 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理
简化结果的讨论
1、R=0，而LO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主 矩LO 不随简化中心位置而变。
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力
偶，这力偶的矩用LO 代表，称为原平面任意力系对 简化中心 O 的主矩。
L0 l1 l2 l3
mo F1 mo F2 mo F3
§3–3 平面任意力系的简化•主矢与主矩
推广： 平面任意力系对简化中心O 的简化结果
主矢：
R F1 F2 Fn F
F1
F2
A1 O
A2
A3
F1
= F2
l1
l2
O
l3
=
F3
F3
R
O
LO
§3–3交力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用 点在点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的
主矢。
R F1 F2 F3
F1 F2 F3
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置
有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要 指明简化中心。
§3–3 平面任意力系的简化•主矢与主矩
§3–3 平面任意力系的简化•主矢与主矩
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
R Rx2 Ry2