【备考2012】高考数学 精选试题大练兵第三练 冲刺题 第一讲 函数与导数 十二 函数 导数与数列
2012高考数学6大解答题最后冲刺(理科) 导数(32道题详解)
2012高考数学理最后冲刺【六大解答题】导数专练1、已知函数()ln ,()()6ln ,a f x x g x f x ax x x=-=+-其中a R ∈。
（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）若()g x 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）设函数2()4,2h x x m x a =-+=当时,若12(0,1),[1,2],x x ∃∈∀∈总有12()()g x h x ≥成立，求实数m2. 已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R． (I)讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤1ln +x x恒成立，求a 的取值范围．3.已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．（I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45o，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2m g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？4.已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2-='，b f =)0(，a ．b 为实数。
m]（Ⅰ）若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式。
5.已知函数22()ln ax f x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。
高三数学一轮复习(函数、导数及其应用)单元练习题 新人教版 试题
2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用导数【高考目标定位】一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击（1）了解导数概念的实际背景 （2）理解导数的几何意义；（3）能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=1x,y ; （4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数。
2、热点提示（1）导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中；（2）导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。
二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
（3）会利用导数解决某些实际问题。
2、热点提示（1）在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。
有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。
（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题目。
【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算 1、函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-则平均变化率可表示为y x∆∆。
2、函数y=f(x)在x=x 0处导数 （1）定义称函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为y=f(x)在x=x 0处导数，记作 0000000()()()|,()lim limx x x x f x x f x yf x y f x x x =∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即 （2）几何意义函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x ，0()f x '）处的切线的斜率。
2012高考数学专题复习——函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析
函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析【考情分析】【常见题型及解法】1. 常见题型2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：3. 解题方法规律总结【基本练习题讲练】【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚 乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ） 【答案】 B 【解析】在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．【点评】函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生【例2】（山东高考题）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=A B C D【例3】若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）A ． 23错误！未指定书签。
B ．32 C ．3 D ．31【例4】若函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．【例5】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ）（A ）（1，2） (B) ［1，2） (C)（1，2） (D) ［1，2）【例6】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）【典型题剖析及训练】【例1】已知a 、b 为常数，且a ≠0，函数()ln f x ax b ax x =-++，()2f e =。
高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》基础测试题及答案解析
【高中数学】数学《函数与导数》复习资料一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.3．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1- B ．16C ．1D ．与b 有关【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++， 故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ． 【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.5．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()1,+?C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.6．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】 令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-，即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()3233921224V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)312x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()32339214V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.9．函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ） A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log << C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.3 1.130.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.11．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(,-∞C ．(,3)-∞D ．27(,)5-∞ 【答案】D 【解析】 【分析】把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x+>⇒+>，解出()f x 的最大值． 【详解】220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2f x x x=+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值275=，当5x =时取得，故选D12．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．13．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t =D ．12t ≥或12t ≤-或0t =【解析】 【分析】()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2121f t at -≤--即可.【详解】∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，∴()22111t at f --≥-=-，即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；②0t >时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；③0t <时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-故选：C. 【点睛】本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.14．函数()||()af x x a R x=-∈的图象不可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.【详解】,0(),0a x x x f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩'⎪. (1)当0a =时,,0(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A; (2)当0a >时,210a x+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增, 令210a x-+=得x =∴当x <,210a x-+<,当0x <<时,210a x-+>, ∴()f x在(,-∞上单调递减,在(上单调递增,图象为D;(3)当0a <时,210a x -+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减, 令210a x+=得x =∴当x >时,210a x+>,当0x <<,210a x+<, ∴()f x在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B;故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.15．()263,034,0x x x x f x x ⎧---≤=⎨->⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．7【答案】D【解析】【分析】作出()f x 的图像，将()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，令()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案.【详解】由题意，()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，作()f x 的图像如图所示，设()t f x =，则()0f t =，当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=-当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =-()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根，所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦有7个根，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题.16．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】A【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A【点睛】 本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.17．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥18．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案；【详解】由题意可得32431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解， 设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2126621f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增， ∴()min 11124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，解得：54a <. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，(2)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】【分析】 利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=， 32022223<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.20．函数2ln x xy x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e 上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .【详解】 令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,结合图像分析,,A C 不正确.故选:D【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.。
2012年高考模拟试题——导数
2012年高考模拟试题——导数（2012，1海淀文）18．已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（2012，1海淀理）18．已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（2012,1西城文）18.已知函数21()ln 2f x ax x =+，其中a ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.（2012,1西城理）19.已知函数)1ln(21)(2x axx x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.（2012,1东城文）18.已知函数1331(223+-+=x m mxx x f ）(0)m >．（Ⅰ）若1=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．（2012,1东城理）18．已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ． （Ⅰ）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是增函数；（Ⅱ）若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围．（2012,1丰台文）19．已知函数x xb ax x f ln 2)(++=．（Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，21=x 处取得极值，求a ，b 的值；（Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围．（2012,1丰台理）19．设函数xb x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．（2012,1朝阳文）18.设函数2()ln 2,R 2axf x a x x a =+-∈．（Ⅰ）当1a =时，试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值；（Ⅱ）当0a ≥时，试求函数()f x 的单调区间．（2012,1朝阳理）18.已知函数1()ln(1)1x f x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）．（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．（2012,1石景山文）19.已知()ln ,()f x ax x a =-∈R ． （Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.（2012,4海淀文）18.已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R ．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（2012,4海淀理）18.已知函数21()e ()(0)kxf x x x k k-=+-<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e-？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2012,4西城文）19.如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），C D ∥A B ．记||2CD x =，梯形A B C D 面积为S ． （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||||C D k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．（2012,4西城理）18．已知函数()e(1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．（2012,4东城文）18．已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤． （2012,4东城理）18．已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立； （Ⅲ）若函数()()a F x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围．（2012,4丰台文）18．已知函数321()13f x x ax =-+()a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=平行，求a 的值； （Ⅱ）若0a >，函数()y f x =在区间2(,3)a a -上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若2a >，求证：函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点．（2012,4丰台理）18．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．（2012,4朝阳文）18．已知函数2()(1)e x f x ax =-⋅，a ∈R ． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间．（2012,4朝阳理）18．设函数2e(),1axf x a x R =∈+．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.（2012,4石景山文）18．已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（2012,4石景山理）18．已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（2012,5海淀文）18.已知函数22()3x a f x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值．（2012,5海淀理）19.已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值． （本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln0.5945≈≈≈）（2012,5西城文）18.已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．（2012,5西城理）19.已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．（2012,5东城文）18.已知函数21()2e 2xf x x x a =-+-．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．（2012,5东城理）19.已知函数11()()ln f x a x x ax=++-（1a >）． （Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265x x +>．（2012,5朝阳文）18．设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠．（Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．（2012,5朝阳理）18．已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤．（2012,5丰台文）20．已知函数()ln f x x =，()b g x ax x=+，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：当1x >时，()()f x g x <成立； （Ⅲ）证明：1111...ln(1)23n n++++>+（*n ∈N ）．（2012,5丰台理）20．设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211ni i x ==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N．。
2012高考数学 精英备考专题讲座第一讲函数 第二节导数(文)
第二节 导数导数是文科生研究函数的单调性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考中必须引起重视. 导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5～0.8之间.考试要求①了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义；②了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值；③能求一些初等函数的导数；④了解函数在某点取得极值的充要条件；⑤能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题.题型一初等函数的导数例1 设函数32sin 32()tan f x x x θθθ=++,其中512[0,]πθ∈，且2)1(='f ，求θ.点拨看清题目中变量x 和θ，)(x f 的自变量是x ，θ为参变量，因此)(x f 是三次函数；于是先对)(x f求导，再求)1(f '，从而转化为已知三角函数值求角的问题.解∵,cos 3sin )(2x x x f ⋅+⋅='θθ∴(1)sin f θθ'=+=sin()32πθ+=， 又512[0,]πθ∈,3334[,]πππθ+∈,∴334ππθ+=,得512πθ=.易错点 ①此题)(x f 中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；.②容易忽略θ的X 围.变式与引申1： 设函数32sin ()tan 32f x x x θθθ=++，其中 512[0,]πθ∈，则导数(1)f '的取值X 围是_________.题型二 初等函数的单调区间和极值例2已知函数32()3f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，且()0f x =的一个根为b -.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求证：()0f x =还有不同于b -的实根1x 、2x ，且1x 、b -、2x 成等差数列；（Ⅲ）若函数()f x 的极大值小于16，求(1)f 的取值X 围.点拨第（Ⅰ）问中由已知得出函数的极大值点是0=x ，即可解出c 的值；第（Ⅱ）问要使21,,x b x -成等差数列，必须b x x 221-=+，因此关键是将)(x f 因式分解，再借助韦达定理推出1x 、b -、2x 三者的关系；用函数的思想分析第（Ⅲ）问，将(1)f 看作是关于b 的函数)(b g ，题目即转化为求)(b g 的值域问题.解（Ⅰ）2()36f x x bx c '=++，0x =是极大值点，(0)0,0f c '==∴.（Ⅱ）令()0f x '=，得0x =或2b -,由()f x 的单调性知22,1b b -≥≤-∴，b -是方程()0f x =的一个根，则323()3()02b b b d d b -+-+==-⇒.∴32322()32()(22)f x x bx b x b x bx b =+-=++-,方程22220x bx b +-=的根的判别式22244(2)120b b b ∆=--=>.又222()2()230b b b b b -+--=-≠，即b -不是方程22220x bx b +-=的根∴()0f x =有不同于b -的根1x 、2x .122x x b +=-，∴1x 、b -、2x 成等差数列.（Ⅲ）根据函数的单调性可知0x =是极大值点,∴3(0)162162f b b <⇒-<>-∴，于是21b -<≤-,令3()(1)231g b f b b ==-++,求导2()63g b b '=-+,21b -<≤-时，()0g b '<,∴()g b 在(2,1]--上单调递减,∴(1)()(2)g g b g -≤<-即0(1)11f ≤<.易错点在第（Ⅱ）问中学生对)(x f 进行因式分解时易出错或不能因式分解，分解之后易忽视判断“b -不是方程22220x bx b +-=的根”； 第（Ⅲ）问中学生不易从函数的角度分析(1)f 的取值X 围.变式与引申2：设函数()sin cos 1,f x x x x =-++02x π<<，求函 数()f x 的单调区间与极值. 题型三 导数与不等式例3 已知函数3213()f x x x ax b =-++的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为.23-=x y (Ⅰ) 某某数b a ,的值；(Ⅱ) 设1)()(-+=x mx f x g 是[2,)+∞上的增函数. 某某数m 的 最大值；点拔① 过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，从而布列方程组求出b a ,的值；②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)零”转化为不等式恒成立的问题.解(Ⅰ)由a x x x f +-='2)(2及题设得⎩⎨⎧-=='.2)0(,3)0(f f 即⎩⎨⎧-==.2,3b a(Ⅱ) 由12331)(23-+-+-=x m x x x x g 得22(1)()23.mx g x x x -'=-+- ∵)(x g 是[2,)+∞上的增函数， ∴0)(≥'x g 在[2,)+∞上恒成立. 即22(1)230m x x x --+-≥在[2,+∞]上恒成立,设2(1)x t -=.∵[2,)x ∈+∞， ∴[1,)t ∈+∞,即不等式tmt -+2≥0在[1,)+∞上恒成立. 当0≤m 时，设02≥-+=t mt y 在[1,)+∞上恒成立. 当m ＞0时，设02≥-+=tmt y ，[1,)t ∈+∞.因为21tm y +='＞0，所以函数t mt y -+=2在[1,)+∞上单调递增.因此.3min m y -=∵,0min ≥y∴,03≥-m即.3≤m 又0m >, 故03m <≤.综上，m 的最大值为3. 易错点 有些学生错用1)()(-+=x mx f x g 是[2,)+∞上的增函数0)(≥'⇔x g 的解为[2,)+∞.变式与引申3：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，某某数a 的值.题型四 导数与解析几何例4 已知函数c bx ax x x f ++-=23)(．(Ⅰ) 若函数()y f x =的图像上存在点P ，使P 点处的切线与x 轴平行，某某数a ,b 的关系式； (Ⅱ) 若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，且其图像与x 轴有且只有3个交点，某某数c 的取值X 围．点拨本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P 的存在性问题”转化为“方程0)(='x f 解的存在性问题”；第(Ⅱ)问中“图像与x 轴有且只有3个交点”转化为“)(x f 的极大值大于0，且极小值小于0”.解(Ⅰ) b x a x x f +-='23)(2, 设切点为),(00y x P ,则曲线)(x f y =在点P 处的切线的斜率b ax x x f k +-='=020023)(,由题意，知023)(0200=+-='b ax x x f 有解，∴ 24120a b ∆=-≥ 即23a b ≥.(Ⅱ)由已知可得1x =-和3x =是方程2()320f x x ax b '=-+=的两根， ∴ 2133a -+=，133b-⨯=，∴ 3a =，9b =-． ∴ ()3(1)(3)f x x x '=+-，∴ ()f x 在1x =-处取得极大值，在3x =处取得极小值．∵ 函数()y f x =的图像与x 轴有且只有3个交点， ∴ (1)0,(3)0.f f ->⎧⎨<⎩又32()39f x x x x c =--+， ∴ 1390,2727270c c --++>⎧⎨--+<⎩ 解得527c -<<．易错点有些学生对三次函数图像与x 轴（或平行x 轴的直线）的交点问题难以从整体把握，难以找到几何问题转化为代数问题的切入点. 变式与引申4： 设函数()|1||1|f x x ax ，已知)1()1(f f =-，且R a ∈（R a ∈,且0≠a ），函数32()g x ax bx cx =++（R b ∈，c 为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图像上取得极值的两点A 、B 与坐标原点O 在同一直线上.（1）试求a ，b 的值；（2）若0x ≥时，函数()g x 的图像恒在函数()f x 图像的下方，求正整数c 的值.本节主要考查初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单调性；求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想. 点评： ①求)(x f 在[]b a ,的最值的方法：②求)(x f 单调区间、极值的方法：22)的值值③利用导数，求曲线)(x f y =在点()00,y x 处的切线方程，先求)(0x f k '=再求方程).)((000x x x f y y -'=-习题1—21．已知2()3(2),(2)f x x xf f ''=+则=.2. 曲线321xy e x =+-在点（0，1）处的切线方程为． 3. 设定函数32()3a f x x bx cx d =+++(a ＞0)，且方程 '()90f x x -=的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当=a 3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值X 围. 4. 已知函数3223()39f x x ax a x a =--+． （Ⅰ）设1a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若14a >，且当[14]x a ∈，时，|()|12f x a '≤恒成立，试确定a 的取值X 围．5. 设函数32132()af x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程为1=y .（Ⅰ）确定c b ,的值;（Ⅱ）设曲线()y f x =在点11(,())x f x 及22(,())x f x 处的切线都过点(0,2).证明：当12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()y f x 的三条不同切线，求a 的取值X 围.。
2012高考数学理专题突破课件第一部分专题一第三讲：导数及其应用
当 g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(0)时， g(0)≥g(2)， 6 即 0≥20a－24.故得 a≤ . 5 6 反之，当 a≤ 时，对任意 x∈[0,2]， 5 6 2 3x 2 3x g(x)≤ x (x＋3)－3x(x＋2)＝ (2x ＋x－10)＝ (2x 5 5 5 ＋5)(x－2)≤0， 而 g(0)＝0，故 g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(0)． 6 综上，a 的取值范围为－∞， . 5
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
【解】
(1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－ 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
由直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝ f(x)(f(x)≥0) 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 S ＝ ∫ b a f(x)dx.若 F′(x)＝f(x)，则 S＝F(b)－F(a)．
高考热点讲练
导数的几何意义
例1 设f(x)＝xln x＋1，若f′(x )＝2，则f(x)在点 0
5．函数的单调性与极值的关系
一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝0.
(1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值． (2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．
6．利用定积分求曲边梯形的面积
若在区间(0，e]上至少存在一点 x0，使得 f(x0)<0 成 立， 其充要条件是 f(x)在区间(0，e]上的最小值小于 0. 1 因为 a<0，所以 x＝ <0，f′(x)<0 对 x∈(0，＋∞) a 成立， 所以 f(x)在区间(0，e]上单调递减， 1 1 故 f(x)在区间(0，e]上的最小值为 f(e)＝ ＋aln e＝ e e ＋a， 1 1 1 由 ＋a<0，得 a<－ ，即 a∈－∞，－ . e e e
2012北京高考模拟数学试题汇总-导数(理)
2012 高考模拟试题汇总——导数
【2012 西城一模理】18.已知函数 f ( x) e ( a 1) ，其中 a 1 .
ax
a x
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）求 f ( x) 的单调区间. 18.（Ⅰ）解：当 a 1 时， f ( x) e ( 2) ， f ( x) e ( 2
…………14 分
2
峰炜佳奇·状元教育
【2012 海淀一模理】(18)已知函数 f ( x ) e （Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间；
kx
1 ( x 2 x ) (k 0) . k
（Ⅱ）是否存在实数 k ，使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e ？若存在，求出 k 的值；若不存 在，请说明理由. (18)解： （Ⅰ） f ( x ) 的定义域为 R .
当 k 2 时， f ( x ) 无极大值.
3
峰炜佳奇·状元教育
当 2 k 0 时， f ( x ) 的极大值为 f ( ) e (
2 k
2
4 1 )， k2 k
………………………………………8 分 令e (
2
4 1 4 1 4 ) 3e2 ，即 2 3, 解得 k 1 或 k （舍）……9 分 2 k k 3 k k
x x
1 x
1 x
1 )． x2
……2 分
由于 f (1) 3e ， f (1) 2e ， 所以曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 2ex y e 0 ． ………4 分 （Ⅱ）解： f ( x) ae