用因式分解法解一元二次方程
2.4_用因式分解法解一元二次方程
x2=3x
∴ x2-3x=0
你能自己解方程吗？
配方法
解 :x 2 3 x 0 9 9 x 3x 4 4
2
公式法 解 :x 2 3 x 0
a=1,b=-3,c=0 b2 4ac (3) 2 4 1 0 9 0 3 9 33 x 2 1 2 x1 3, x2 0
1.x1 5; x2 2.
2.x ( 3 5 ) x 15 0
2
2.x1
5; x2 3.
3.x 2 (3 2 ) x 18 0
4. (4x 2)2 x(2x 1)
3.x1 3; x2
4.x1
2.
1 4 ; x2 . 2 7
2
看出了点什么 ? 有没有规律?
【解析】通过观察上述的式子，可得以下两个结论：
（1）对于一元二次方程（x-p）（x-q）=0，那么它的两个 实数根分别为p、q； （2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p、q，那么这 个一元二次方程可以写成（x-p）(x-q)=0的形式，
二次三项式ax2+bx+c 的因式分解 一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o), 只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)的 两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以 了. 即ax2+bx+c=a(x-x )(x-x ) 1 2
a=2,b=7,c=-4 b2 4ac 7 2 4 2 (4) 81 0 7 81 7 9 x 2 2 4 1 x1 , x2 4 2
利用因式分解求解一元二次方程
利用因式分解求解一元二次方程一元二次方程是初中数学中的重要内容，解一元二次方程是数学学习中的基本技能之一。
在解一元二次方程时，我们可以利用因式分解的方法来求解。
因式分解是将一个多项式分解成几个乘积的形式，而在解一元二次方程时，我们将方程进行因式分解，然后利用零乘积法则得到方程的解。
下面，我将通过几个例子来详细说明利用因式分解求解一元二次方程的方法。
例子一：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先，我们将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0然后，利用零乘积法则，得到x - 2 = 0 或者 x - 3 = 0解得x = 2 或者 x = 3所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x = 2 或者 x = 3例子二：解方程2x^2 - 7x - 3 = 0首先，我们将方程进行因式分解，得到(2x + 1)(x - 3) = 0然后，利用零乘积法则，得到2x + 1 = 0 或者 x - 3 = 0解得x = -1/2 或者 x = 3所以，方程2x^2 - 7x - 3 = 0的解为x = -1/2 或者 x = 3通过以上两个例子，我们可以总结出利用因式分解求解一元二次方程的一般步骤：1. 将方程进行因式分解，得到多个因式的乘积形式。
2. 利用零乘积法则，将每个因式设置为零，得到多个方程。
3. 解每个方程，得到方程的解。
4. 将所有解合并，得到原方程的解集。
利用因式分解求解一元二次方程的方法有以下几个优点：1. 简单明了：通过因式分解，将复杂的方程转化为多个简单的方程，使解题过程更加简单明了。
2. 快速高效：因式分解求解一元二次方程的方法通常比其他方法更快速高效，特别是在方程的系数较小的情况下。
3. 提高思维能力：通过因式分解求解一元二次方程，学生可以培养观察、分析和推理的能力，提高数学思维的灵活性和逻辑性。
当然，利用因式分解求解一元二次方程也有一些限制：1. 方程必须可以进行因式分解：并不是所有的一元二次方程都可以通过因式分解来求解，有些方程可能需要使用其他方法。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。
②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。
③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。
④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
用因式分解法解一元二次方程
教学步骤及教学内容用因式分解法解一元二次方程【学习目标】1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．【主体知识归纳】1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x2－9＝0，这个方程可变形为(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等于0，必须并且只需(x＋3)等于0或(x－3)等于0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0A＝0或B＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x2＋5x＝0的较大的一个根设为m，x2－3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为( )A．1 B．2 C．－4 D．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A．5 B．5或11 C．6 D．11(8)方程x2－3|x－1|＝1的不同解的个数是( )A．0 B．1 C．2D．32．填空题(1)方程t(t＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为__________．(5)方程x(x－5)＝5－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；(4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．作业：用适当方法解下列方程：(1)3(1－x)2＝27； (2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1；(4)y2－15＝2y； (5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2．。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
《用因式分解法解一元二次方程》
不是所有的一元二次方程都可以进行因式分解，需要判断是否可以 提取公因式或使用十字相乘法。
注意符号问题
在因式分解过程中，需要注意符号问题，确保结果的正确性。
限制条件
仅适用于一元二次方程
对符号敏感
因式分解法仅适用于一元二次方程， 不适用于其他类型的一元方程或多元 方程。
因式分解法对符号非常敏感，稍不注 意就会导致结果错误，因此需要特别 注意运算过程中的符号问题。
与开平方法比较
适用范围
开平方法和因式分解法都适用于 能够通过因式分解的一元二次方 程，但开平方法适用于开口向上
的二次方程。
简便性
对于能够通过因式分解的开口向 上的二次方程，开平方法相对简 单，因为不需要进行复杂的计算。
求解过程
开平方法需要找到方程的两个根， 然后进行开平方运算，而因式分 解法可以直接进行因式分解求解。
求解过程
因式分解法的求解过程相 对直观，而公式法需要使 用公式进行计算。
与配方法பைடு நூலகம்较
适用范围
配方法和因式分解法都适用于能 够通过因式分解的一元二次方程，
但配方法还可以用于其他形式的 一元二次方程。
简便性
配方法需要先进行配方，过程相对 复杂，而因式分解法相对简单。
求解过程
配方法需要先配方，然后使用公式 求解，而因式分解法可以直接进行 因式分解求解。
公式
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中 x1、x2是一元二次方程的两个解。
因式分解法的应用范围
适用条件
适用于所有形式的一元二次方程，特 别是当方程可以轻易地分解为两个一 次因式时。
限制
对于某些特殊形式的一元二次方程， 如完全平方或平方差公式，因式分解 法可能不是最简便的方法。
用因式分解法解一元二次方程
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
公式法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
以上解方程 x10 4.9 x 0
是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x10 4.9 x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是. “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
x1 2, x2 1.
一元二次方程的因式分解法
一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
一元二次方程的因式分解法是将方程转化成两个一次方程的乘积形式，从而求得方程的解。
我们来看一个简单的例子：x²-5x+6=0。
根据因式分解法，我们可以将x²-5x+6拆分成两个因式的乘积：(x-2)(x-3)=0。
接下来，我们分别将两个因式设置为0，得到两个一次方程：x-2=0和x-3=0。
解这两个一次方程，我们分别得到x=2和x=3。
所以，原方程x²-5x+6=0的解是x=2和x=3。
通过这个例子，我们可以总结出一元二次方程的因式分解法的步骤：1. 将一元二次方程化简为标准形式：ax²+bx+c=0，其中a≠0。
2. 将方程的三项分别与a的倒数相乘，得到新的方程：x²+(b/a)x+(c/a)=0。
3. 将新的方程进行因式分解，拆分为两个因式的乘积形式：(x-r₁)(x-r₂)=0，其中r₁和r₂是两个实数。
4. 分别将两个因式设置为0，得到两个一次方程：x-r₁=0和x-r₂=0。
5. 解这两个一次方程，得到方程的解x=r₁和x=r₂。
需要注意的是，一元二次方程的因式分解法只适用于一些特殊的情况，即方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积形式。
对于无法因式分解的一元二次方程，我们需要使用其他方法来求解，如配方法、求根公式等。
除了求解一元二次方程的根，因式分解法还可以用于化简一些复杂的代数表达式。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为简单的因式乘积形式，从而更方便地进行计算和运算。
一元二次方程的因式分解法是解决一元二次方程的一种有效方法。
通过将方程进行因式分解，我们可以将问题转化为解两个一次方程的问题，从而求得方程的解。
同时，因式分解法还可以应用于化简代数表达式，方便进行计算和运算。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
因式分解法解一元二次方程式
结论和要点
通过使用因式分解法，我们可以更容易地解决一元二次方程式。记住要始终从简化方程式开始，并使用 因式分解来找到方程的解。
因式分解法的步骤
1
步骤二
2
根据二次方程式的特性，找到两个数
的乘积等于常数项c且和等于系数b的
二次项。
3
步骤四
4
将方程式分解为两个因子的乘积，并 将每个因子设置为0，解方程得到结
果。
步骤一
将方程式移项，使等式右侧为0。
步骤三
使用这两个数分解二次项并重新排列 方程式。
因式分解法的应用
因式分解法可以帮助我们更轻松地解决一元二次方程式，尤其是对于复杂的 方程式。通过分解方程式，我们可以找到方程的根。
因式分解法的优劣势
优势
因式分解法能够直接得到方程的解，无需使 用复杂的公式。
劣势
对于一些复杂的方程式，因式分解法可能比 其他43; 5x + 6 = 0
例题二
解方程式：2x^2 + 7x + 3 = 0
例题三
求方程式的解：3x^2 - 10x + 3 = 0
因式分解法解一元二次方 程式
在本节中，我们将介绍因式分解法，了解一元二次方程式的定义，并学习因 式分解法的步骤以及如何将其应用于解决一元二次方程式。
因式分解法介绍
因式分解法是一种常用于解决一元二次方程式的方法。通过将方程式分解为 两个因子的乘积，我们可以更容易地求解方程。
一元二次方程式的定义
一元二次方程式是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是实数且a不等于0。
用因式分解法解一元二次方程
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为
一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用
因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
5
∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8.
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝
144+36 ＝ 180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
因式分解，得 x5 x 4 0.
x 0, 或5 x 4 0.
4
x1 0，x2
5
（2）移项，得 x 2 xx 2 0,
因式分解，得 x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0.
x1 2，x2 1
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分
解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2
因式分解法解一元二次方程
第四讲 一元二次方程的解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。
步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。
注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。
①提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式 ②公式法：平方差公式：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）完全平方公式：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2; a 2－2ab+b 2=（a －b ）2.（2）此法克拓展应用于求解高次方程。
【例1】用因式分解法解下列方程(1) (2x-1)2-x 2=0 (2) (x-3)-x(x-3) =0(3) y 2＋7y ＋6＝0； （4）0)32(2)32(32=---x x【变式练习】解下列方程(1) 4(3x+1)2-9=0 (2) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)（3）035122=+-x x （4）06)3(5)3(2=++-+x x【例2】解下列方程（1）42-6+5=0x x （2）20x x +=（3）24(-3)(-3)0x x x += （4）22()(-2)24x x x x ++=【变式练习】解下列方程(1)2(1)230x x +++= (2)2(32)-6(32)90x x +++=(3)(-3)(4)-12t t += (4)(-5)(3)(6)-17x x x x +++=【例3】解关于x 的方程：222-2++=0x ax a b【例4】已知：2++=14x xy y ，228y xy x ++=，求+x y 的值。
（1）方程23(4-9)-2(2-3)0x x =的解是 ； （2）已知：22-2-3=0x xy y (0,0)x y ≠≠，则代数式2+32x yy= ； （3）已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．（4）已知c 为实数，并且方程2+3+=0x x c 的一根的相反数是方程2+3-=0x x c 的一根，求方程2+3-=0x x c的根和c 的值。
2.4用因式分解法求解一元二次方程
a·b=0 a=0或b=0
注意
“二者中至少有一个为0”的意思，包括二者同
时为0；二者不能同时为0。
a·b=0
a=0或b=0
a=0，b≠0 a≠0，b=0
a=b=0
知识点 2 因式分解法的概念
因式分解法的概念： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法．
解题技巧
解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分 解法，不能用这两种方法时，再用公式法，但对 于系数较大时，一般不适宜用公式法；没有特殊 要求的，一般不用配方法．其中配方法和公式法 适合于所有一元二次方程
解题技巧
解一元二次方程方法的口诀 ①方程没有一次项，直接开方最理想； ②如果缺少常数项，因式分解没商量； ③ b，c相等都为0 ，等根是0不要忘； ④ b，c同时不为0，因式分解或配方，
如果ab=0,那么
.
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分解因式:ma+mb+mc= m（a+b+c）. 提公因式法
分解因式: x2-y2 = ( x+y )(x－y) 套公式法（平方差公式）
x2+2xy+y2=( x+y )(x+y ) 套公式法
一元二次方程(因式分解法)
一元二次方程（因式分解法）【知识要点】1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x（5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x（7）0625412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0．例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________. 例4、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 （ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2．例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x【经典练习】填空题1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。
2、（1）方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．3、（1）用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程和 求解。
用因式分解法求解一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程一、因式分解法(重点、难点、掌握)定义：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可使这两个一次式分别等于0，即若(x＋a)(x＋b)＝0，则必有x＋a＝0或x＋b＝0，进而求得方程的解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．【知识拓展】(1)因式分解法是解一元二次方程经常选用的一种方法，其基本思想是转化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程)，基本方法是降次(将二次式转化为两个一次因式的积)．(2)因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0．(3)其一般步骤为：①将方程化为右边为0的形式；②将方程的左边分解成两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④分别解一元一次方程可得原方程的解．规律方法小结（1）一元二次方程的解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，当不能用这两种方法时，再用公式法，没有特殊要求时，一般不用配方法，因为用配方法解方程比较繁琐．(2)对形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，应选用直接开平方法．(3)对于右边是0且左边易于分解因式的方程，应选用因式分解法．(4)用公式法解一元二次方程时，要先求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，方程有实数根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．【新课导读·点拨】x2＋2x－120＝0，则(x＋12)(x－10)＝0，解得x1＝－12(舍去)，x2＝10．【例】解方程x(2x－1)＝3(2x－1)．分析：此方程可用因式分解法解，公因式是多项式2x－1；注意整体思想的运用．解：原方程可化为x(2x－1)－3(2x－1)＝0，∴(x－3)(2x－1)＝0，∴x－3＝0或2x－1＝0，∴11 2x ，x2＝3．整理归纳练习(2013．河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( ) A．x＝2B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3答案D##解析##(x－2)(x＋3)＝0，∴x－2＝0或x＋3＝0，∴x1＝0或x2＝－3.故选D.(2013·宁夏中考)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．－1B．2C．1和2D．－1和2答案D解析原方程可以化为x(x－2)＋(x＋2)＝0，∴(x－2)(x＋1)＝0，x－2＝0或x＋1＝0∴x1＝2，x2＝－1.故选D.(2013·天水中考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144 m2答案B解析设原来正方形木板的边长为x m.由题意可知x(x－2)＝48，解得x1＝8，x2＝－6(不合题意，舍去).所以8×8＝64.故选B.主观填空题(2013·巴中中考)方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______．答案15解析x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0，∴x－3＝0或x－6＝0，∴x1＝3，x2＝6.由长度为3，3，6的三条线段，不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长是3，6，6，周长是3＋6＋6＝15典型类型一利用提取公因式法解一元二次方程【例1】解方程(x－3)2＋4x(x－3)＝0．分析：方程的左边提取公因式x－3即可分解因式，因此该方程可用因式分解法求解．解：原方程可化为(x－3)(x－3＋4x)＝0，∴x－3＝0或5x－3＝0，解得x1＝3，235x=．【解题策略】公因式可能是单项式也可能是多项式，是多项式时要注意整体思想的运用．类型二利用平方差公式解一元二次方程【例2】解方程(3x－1)2＝(x＋1)2．分析：先移项，然后用平方差公式分解因式．解：原方程可化为(3x－1)2－(x＋1)2＝0，则(3x－1＋x＋1)(3x－1－x－1)＝0，∴4x＝0或2x－2＝0，解得x1＝0，x2＝1．【解题策略】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．类型三利用完全平方公式解一元二次方程【例3】解方程x2－16x＝－64．分析：先移项，然后用完全平方公式进行求解．解：原方程可化为x2－16x＋64＝0，即(x－8)2＝0，∴x1＝x2＝8．【解题策略】首先把一般式配成完全平方的形式，再利用直接开平方法求解．类型四利用“x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)”解一元二次方程【例4】用因式分解法解下列方程．(1)(x－3)(x＋1)＝5；(2)2x2－5x＋2＝0．解：(1)原方程可变形为(x－3)(x＋1)－5＝0，即x2－2x－8＝0，所以(x－4)(x＋2)＝0，所以x－4＝0或x＋2＝0，所以x1＝4，x2＝－2．(2)因为2x2－5x＋2＝0，所以(x－2)(2x－1)＝0，解得x1＝2，212x=．【解题策略】当一元二次方程的一次项系数与常数项分别为两个数的和与积时，就可以利用“x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)”对方程进行因式分解．类型五 一元二次方程与三角形知识的综合应用【例5】一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：原方程可化为(x －5)(x －7)＝0，∴x 1＝5，x 2＝7． 当x ＝5时，三角形的周长为3＋4＋5＝12，当x ＝7时，3＋4＝7，长为3，4，7的线段不能构成三角形， 故三角形的周长为12．规律方法小结：本题考查一元二次方程的解法和三角形的性质，根据实际情况对一元二次方程的根进行选择，是中考常见题型．类型六 利用换元法解一元二次方程【例6】解方程(x 2－2x)2＋(x 2－2x)－2＝0．分析：把x 2－2x 看成一个整体，用y 来代换，原方程可变为y 2＋y －2＝0，解这个方程，再把y 还原成x 2－2x 求解．解：设y ＝ x 2－2x ，则原方程可变为y 2＋y －2＝0． 解这个方程得．y ＝－2或1，所以x 2－2x ＝－2或1． 当x 2－2x ＝－2时，△＜0，方程没有实数根； 当x 2－2x ＝1时，解得1x =±．∴原方程的根是11x =+，21x =-【解题策略】本题主要考查换元法解一元二次方程，就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去替换，这样做，常能使问题化繁为简，化难为易．类型七 解一元二次方程中的“非负数和为0”的问题【例7】已知a ，b ，c 均为实数，且()2130b c ++++=，求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．解：由题意得a 2－3a ＋2＝0，b ＋1＝0，c ＋3＝0， ∴a 1＝1，a 2＝2，b ＝－1，c ＝－3．当a ＝1，b ＝－1，c ＝－3时，ax 2＋bx ＋c ＝0即为x 2－x ＋－3＝0．－－ ∴12x±==∴112x +=，212x -=．当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，ax 2＋bx ＋c ＝0即为2x 2－x －3＝0．∴(2x －3)(x ＋1)＝0，∴32x =或－1．【解题策略】因为0≥，10b +≥，()230c +≥，它们的和为0，所以a 2－3a ＋2＝0，b ＋1＝0，c ＋3＝0．因为a 的取值有两个，所以必须分两种情况对方程进行讨论：类型八 因式分解法解一元二次方程的变形题【例8】先阅读材料，然后解答问题． 【例】解方程2110x x ---=．解：①当x －1≥0，即x ≥1时，x 2－(x －1)－1＝0， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝1；②当x －1＜0，即x ＜1时，x 2＋(x －1)－1＝0，即x 2－x －2＝0， 解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－2．综上所述，原方程的解是x ＝1或x ＝－2．依照上例解法，解方程22240x x ++-=．分析：根据题中所给的材料把绝对值符号内的x ＋2分两种情况讨论(x ＋2≥0和x ＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程． 解：①当x ＋2≥0，即x ≥－2时， x 2＋2(x ＋2)－4＝0，即x 2＋2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2．②当x ＋2＜0，即x ＜－2时，x 2－2(x ＋2)－4＝0，即x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4(不合题意，舍去)，x 2＝－2(不合题意，舍去)． 综上所述，原方程的解是x 1＝0或x 2＝－2．【解题策略】从题中所给材料找到需要的解题方法是解题的关键，注意在去绝对值符号时要针对绝对值符号内的代数式的正负性分情况讨论．类型九 有关一元二次方程的实际应用【例9】在一块边长为1 m 的正方形铁板上截出一个面积为800 cm 2的矩形铁板，使长比宽多20 cm ，那么矩形铁板的长和宽分别为多少?分析：已知矩形的面积及其长与宽的关系，因此可根据矩形的面积公式列方程求解．解：设矩形铁板的宽为x cm ，则长为(x ＋20)cm ，由题意得x(x ＋20)＝800，解得x 1＝20，x 2＝－40(舍去)． ∴x ＋20＝40．答：矩形铁板的长和宽分别为40 cm 和20 cm ．【解题策略】解题关键是把实际问题转化成数学问题，找出等量关系，建立方程模型．类型十解法规律探究——十字相乘法【例10】根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2－x－6＝(x＋2)(x－3)，等式右边的两个一次两项式的系数有关系，左边上、下角两数的积是原式左边二次项的系数，右边上、下角两数的积是原式左边的常数项，交叉相乘的积的和是原式左边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题．(1)解方程：①x2＋4x＋3＝0；②x2＋5x－6＝0．(2)填空：①分解因式：2x2－5x＋2＝______．②解方程：3x2＋x－2＝0，左边分解因式得( )( )＝0，∴x1＝_______，x2＝______．解：(1)①解x2＋4x＋3＝0，分解因式得(x＋1)(x＋3)＝0，所以x＋1＝0或x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．②解x2＋5x－6＝0，分解因式得(x＋6)(x－1)＝0，所以x＋6＝0或x－1＝0，解得x1＝－6，x2＝1．(2)①(2x－1)(x－2) ②x＋1 3x－2 －1 2 3中考链接考点透视一元二次方程的解法及其应用是中考的必考内容之一，主要考查对方程思想的理解及应用．本节知识单独考查时，一般以填空题和选择题为主要题型，在探究题、开放题、阅读理解题、综合应用题中也有着广泛的应用．真题剖析【例1】(2013·新疆中考)方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0分析：直接因式分解得x(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝5．故选C’【例2】(2013·天水中考)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确分析：由方程(x－2)(x－4)＝0可得x－2＝0或x－4＝0，解得x＝2或x＝4．当x＝2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；当x＝4时，3，4，6能构成三角形，此时周长为3＋4＋6＝13．故选C．【例3】(2013·平凉中考)现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a ★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是______．分析：根据题中的新定义将x★2＝6变形得x2－3x＋2＝6，即x2－3x－4＝0，因式分解得(x－4)(x＋1)＝0，解得x1＝4，x2＝－1，则实数x的值是－1或4．故填－1或4．【例4】(2013·广州中考)解方程x2－10x＋9＝0．分析：用因式分解法求解．解：x2－10x＋9＝0，(x－1)(x－9)＝0，∴x－1＝0或x－9＝0，∴x1＝1，x2＝9．。
用因式分解法解一元二次方程详细
用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。
用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程【学习目标】1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根． 【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝23．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． (3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1， ∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--，∴x 1＝372+，x 2＝372-．(4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0； ∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝41．(6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0， ［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0， (11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12．说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简． (2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0． 当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0． (2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程． 分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0， ∴x 1＝ba ab +-，x 2＝ba b a -+．说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252yxy x y xy x ++--的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ． 当x ＝2y 时，135y13y 5y5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y5x y 2xy 5x y 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y4y 2y5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y5x y 2xy 5x y 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2．说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5 B ．5或11 C ．6 D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0；(2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0；(5)(x －1)(x ＋3)＝12；(6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0；(8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程： (1)x 2－4x ＋3＝0； (2)(x －2)2＝256； (3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2－2x －3＝0；(5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)；(6)(3－y )2＋y 2＝9；(7)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0；(8)5x 2－(52＋1)x ＋10＝0；(9)2x 2－8x ＝7(精确到0．01)；(10)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0． 5．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6； (3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0． 6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2． 当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗 参考答案1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D 2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－13．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31；(7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2．4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1；(5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3；(8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7．5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2， ∴x －2a ＝±(a －1)， ∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0， ∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2 ∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， (x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0， ∴x 1＝－m ，x 2＝－m －1 6．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，yx y x +-＝3544=+---yy y y ；当x ＝y 时，yx y x +-＝yy y y +-＝0．7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0， (x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0， (x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0， ∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去) 8．x 1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝10 10．10＝－5(t －2)(t ＋1)，∴t ＝1(t ＝0舍去) 11．(1)x 1＝－2，x 2＝2 (2)(x 2－2)(x 2－5)＝0， (x ＋2)(x －2)(x ＋5)(x －5)＝0。
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2
2
教 （ 学 ） 后 反 思
诸城市
年级上册数学导学稿
编号：
课题 学习目标：
3.4
用因式分解法解一元二次方程
课型
新授
。
1．会用因式分解法解某些一元二次方程，体会“降次”化归和转化的思想方法 2. 理解因式分解法解一元二次方程的根据。
3．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．体会解决问题策略 的多样性。
重点：用因式分解法解一元二次方程。 难点：将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解。 内容设计 温故知新：
创设情境：1、你想学习解方程的最简便方法吗？
2、你发现了几种解方程 x2+7x = 0 的方法？体会到哪种方法最简便？
交流展示：学生板演
活动一：1、此方程的两边有什么特点？是不是每个方程都可以这么做？ 学生讨论，从而找到此类方程的特点。 2、最简便解法可以叫什么法？为什么？（从而得出本节课主题） 用此种方法解题的根据是什么？ 活动二：例 1 用因式分解法解方程 （1）15x +6x=0
巩固提升：用因式分解法解
(1)9(2x-1)2=x2 (4)4(3x+1)2-9=0 (2) (x-3)-x(3-x) =0 (3) (x-3)=x(x-3)
(5) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3) (6)（x+2）2=3x+6；
课堂小结： 1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
2.解一元二次方程的方法有哪几种？
1．因式分解的常用方法： 2． 平方差公式： a2-b2=( 3．若 A·B＝0,则 A )( 或B 、 。 )2
个性备课
); 完全平方公式 a2±2ab+ b2=( ；
4.一元二次方程(x-1)(x-2)=0 可化为两个一次方程为 和 ，方程的根是 试试看。 。
课 前 准 备
5．你能用几种方法解方程 x2+7x = 0？
(1)方程 t(t＋3)＝28 的解为_______． (2)方程(2x＋1) ＋3(2x＋1)＝0 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0； (2)4(3x＋1) ＝25(x－2) ． 4．用适当方法解下列方程： (1)x －2x－3＝0；
达标检测：
1．选择题(1)方程(x－16)(x＋8)＝0 的根是( A．x1＝－16，x2＝8 C．x1＝16，x2＝8 )
B．x1＝16，x2＝－8 D．x1＝－16，x2＝－8 ) D．以上答案都不对
(2)方程(y－5)(y＋2)＝1 的根为( A．y1＝5，y2＝－2 2．填空题 B．y＝5 C．y＝－2
2 2 2 2
(2)(2t＋3) ＝3(2t＋3)；
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(3)(3－y) ＋y ＝9；
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(4)(1＋ 2 )x －(1－ 2 )x＝0；
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1、已知(x ＋y )(x －1＋y )－12＝0．求 x ＋y 的值． 2、请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864．
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2 后 延 伸
3、已知 x ＋3x＋5 的值为 9，试求 3x ＋9x－2 的值． 4、一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度 h(单位：米)与所 用的时间 t(单位：秒)的关系式 h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入 水所用的时间．
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(2)4x -9=0
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两生板演，其余学生独立完成，学生点评，总结用因式分解法解方 程的一般步骤：一化二分三得四解
课 内 探 究
活动三：例 2 用因式分解法解方程
(2x+1) -(x-3) =0
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一生板演 你还有其他的求解方法吗？哪种方法最简便？ 活动四：研究挑战自我（课本 96 页）犯此类错误的原因是什么？你找到了 吗？你会如何做？