2011邓泽华线代

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数学专业论文—线性方程组的求解及其应用

数学专业论文—线性方程组的求解及其应用
• 若 rankR rankR (即 d r 1 0 ),且 rankR n则原方程组(1.1) 有无穷多组解.这无穷多组解可以用一般解来表示,其中自由变量有nr 个,主变量有r个.
齐次:
• 若 rankR n,则齐次线性方程组(1.2)只有零解 0,0,,0.
T
• 若 • 若
1 0 0 2 1 0 1 2 1 1 3 1 0 1 0 4 0 1 0 0 0 1 1 4 3 . 2 1 4
3.线性方程组的求解
• 高斯消元法
2 x1 4 x2 2 x3 6, 例3 解线性方程组 x x 5 x 0, 1 2 3 4 x x 2 x 2. 3 1 2
3.线性方程组的求解
• 高斯消元法
2 x1 4 x2 2 x3 6, 例3 解线性方程组 x x 5 x 0, 1 2 3 4 x x 2 x 2. 3 1 2 7 类似的,我们将(3.3)中的第三个方程减去第二个方程的 3 倍,又可以 消去第三个方程中的变量 ,最后得到与(3.2)等价的方程组
• 通解表示形式
例1 求线性方程组的通解
3 x1 x2 x3 2 x4 2, x 5 x 2 x x 1, 1 2 3 4 2 x1 6 x2 3 x3 3 x4 3, x1 11x2 5 x3 4 x4 4.
2 Ax 1 4
4 2 x1 6 1 5 x2 0 B, 1 2 x3 2
其增广矩阵为
2 4 2 6 2 4 2 6 2 4 2 6 A A 1 1 5 0 0 3 6 3 0 3 6 3 4 1 2 2 0 7 2 10 0 0 12 3 量的个数,即当(1.1)中m=n时,即:

硕士研究生入学考试、复试、同等学力加试参考书目

硕士研究生入学考试、复试、同等学力加试参考书目
816管理学原理
《现代管理理论与方法》周三多,复旦大学出版社,1995年
817工程经济
《工程经济》黄愈祥,同济大学出版社,1994年
818机械设计
《机械设计》濮良贵,高等教育出版社,2001年,第7版
819机械控制工程基础
《控制工程基础》左建民,机械工业出版社2001年
820汽车理论基础
《汽车理论》余志生,机械工业出版社,2000年,第3版
502专业综合
《工程测量学》张正禄,武汉大学出版社,2005年
《GPS测量原理及应用》徐绍铨等,武汉大学出版社,2004年
503路基路面工程
《路基路面工程》邓学钧,人民交通出版社,2005年
《公路沥青路面设计规范》(JTG D50-2006),人民交通出版社
《公路水泥混凝土路面设计规范》(JTG D40-2002),人民交通出版社
复试科目
主要参考书目
529产业经济学
《产业经济学》苏东水,高等教育出版社,2000年
530统计学
《统计学原理》黄良文,中国统计出版社,2000年
531专业综合
《管理信息系统》薛华成,清华大学出版社,2003年
《物流管理》刘刚,中国人民大学出版社,2005年
532专业综合
《中级财务管理》宋献中,东北财经大学出版社,2002年
《计算机控制技术》于海生,机械工业出版社
522专业综合
《计算机控制技术》于海生,机械工业出版社
《模拟电子技术基础》童诗白,高等教育出版社,第3版
《数字电子技术基础》阎石,高等教育出版社,第5版
523锅炉原理
《锅炉原理》叶江明,中国电力出版社,2004年,第1版
524换热器原理
《换热器原理与设计》余建祖,北京航空航天大学出版社,2006年,第1版

合肥工业大学数学学院808高等代数历年考研真题汇编

合肥工业大学数学学院808高等代数历年考研真题汇编

2012年合肥工业大学高等代数考研真题2011年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题(每题5分,共20分)1.行列式中的系数为______,的系数为______;2.设3元非齐次线性方程组AX=B中,矩阵A的秩为2,且,是该方程组的两个特解,则该方程组的全部解是______;3.实二次型是正定的,则t的取值范围是______;4.三阶方阵A的三个特征值为1、2、3,则的特征值为______;二、(10分)计算行列式。

三、(15分)设和是数域P上两个一元多项式,k是给定的大于1的正整数,,求证:。

四、(15分)已知三级方阵,且B的每一个列向量都是下列方程组的解向量,(1)求的值;(2)证明。

五、(15分)矩阵,,且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+ BXA+E,其中E为3阶单位阵,求X。

六、(15分)设A为n级矩阵,是A的伴随矩阵,秩(A)=n-1,求证:秩()=1。

七、(10分)级方阵分块如下:,A、D依次分别是m级、n级可逆阵。

求方阵T的逆矩阵。

八、(10分)设向量组线性相关,线性无关。

问(1)能否由线性表出?证明你的结论;(2)能否由线性表出?证明你的结论;九、(15分)设为线性空间V的一组基,T是V的线性变换,且,,。

(1)求证:T是可逆的;(2)求在基下的矩阵。

十、(15分)求矩阵的若尔当标准型。

十一、(10分)求证:n维欧式空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。

2010年合肥工业大学高等代数考研真题一、填空题(每题5分,共40分)1.设n阶方阵A满足,其中E为单位阵,则______;2.设3维向量空间V有两组基底:和,又,,,V中向量在基下的坐标是,则在基下的坐标是______;3.设矩阵,已知矩阵A相似于B,则秩______;4.已知线性非齐次方程组的三个解向量为,且秩,,,则的通解为______;5.设是实函数空间V的子空间,则______;6.在中定义内积,,则对基正交单位化所得的一组标准正交基为______;7.矩阵的标准型为______;8.设是3阶方阵A的三个不同特征值,分别是其对应的特征向量,令,则______;二、(15分)计算行列式。

最新线性代数冲刺讲义-邓泽华汇总

最新线性代数冲刺讲义-邓泽华汇总

2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华2011导航领航考研冲刺班数学讲义线性代数邓泽华编第二篇线性代数一、填空题分析填空题主要考查基础知识和运算能力,特别是运算的准确性。

1.(06-1-2-3)设矩阵«Skip Record If...»,矩阵«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵行列式,2】2.(06-4)设矩阵«Skip Record If...»,矩阵«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵方程,«Skip Record If...»】3.(04-1-2)设矩阵«Skip Record If...»,矩阵«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵行列式,«Skip Record If...»】4.(03-4)设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»均为三阶矩阵,已知«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵方程,«Skip Record If...»】5.(04-4)设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»为三阶可逆矩阵,则«Skip Record If...» .【矩阵运算,«Skip Record If...»】6.(06-4)已知«Skip Record If...»为二维列向量,矩阵«Skip Record If...»,«Skip Record If...». 若行列式«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵行列式,«Skip Record If...»】7.(03-2)设«Skip Record If...»为三维列向量,若«Skip Record If...», 则«Skip Record If...» .【向量乘积,«Skip Record If...»】8.(05-1-2-4)设«Skip Record If...»均为三维列向量,记矩阵«Skip Record If...»,«Skip Record If...».若行列式«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵行列式,«Skip Record If...»】9.(03-3-4)设«Skip Record If...»维向量«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»的逆矩阵为«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵运算,«Skip Record If...»】10.(03-2)设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»均为三阶矩阵,已知«Skip Record If...»,若«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【矩阵行列式,«Skip Record If...»】11.(03-1)从«Skip Record If...»的基«Skip Record If...»到基«Skip Record If...»的过渡矩阵为 .【过渡矩阵,«Skip Record If...»】12.(05-3-4)设行向量组«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»线性相关,且«Skip Record If...»,则«Skip RecordIf...» .【向量线性相关性,«Skip Record If...»】13.(04-4)设«Skip Record If...»是实正交矩阵,且«Skip Record If...»,«SkipRecord If...»则线性方程组«Skip Record If...»的解是 .【非齐次线性方程组,«Skip Record If...»】14.(04-3)二次型«Skip Record If...»的秩为 .【二次型的秩,2】15.(07-1-2-3-4)设矩阵«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»的秩为 .【矩阵的秩,1】16.(08-1)设«Skip Record If...»为二阶矩阵, «Skip Record If...»是线性无关的二维列向量,«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»的非零特征值为 .【特征值与相似矩阵,«Skip Record If...»】17.(08-2)设3阶矩阵«Skip Record If...»的特征值为«Skip Record If...»,且«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【特征值与行列式,«Skip Record If...»】18.(08-3)设3阶矩阵«Skip Record If...»的特征值为1,2,2,则«Skip Record If...» .【特征值与行列式,«Skip Record If...»】19.(08-4)设三阶矩阵«Skip Record If...»的特征值互不相同,若行列式«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【特征值与行列式,«Skip Record If...»】20.(08-n)设三阶矩阵«Skip Record If...»的特征值为«Skip Record If...»,则行列式«Skip Record If...» .【特征值与行列式,«Skip Record If...»】21.(09-1)设三维列向量«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»,则矩阵«Skip Record If...»的非零特征值为 .【特征值,«Skip Record If...»】22.(09-2)设«Skip Record If...»为三维列向量,若矩阵«Skip Record If...»相似于«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【相似矩阵,«Skip Record If...»】23.(09-3)设«Skip Record If...»,若矩阵«Skip Record If...»相似于«Skip RecordIf...»,则«Skip Record If...» .【相似矩阵,«Skip Record If...»】24.(08-n)设向量组«Skip Record If...»线性相关,则«Skip Record If...» .【线性相关性,«Skip Record If...»】25.(10-1)设«Skip Record If...»,若由«Skip Record If...»生成的向量空间的维数为«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【向量空间,«Skip Record If...»】26.(10-2-3)设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»阶矩阵,且«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» .【行列式,«Skip Record If...»】27.(10-n)设«Skip Record If...»,则行列式«Skip Record If...» .【行列式,«Skip Record If...»】二、选择题分析解选择题的方法有⑴直接法;⑵间接法(排除法、特例法等);⑶数形结合法。

《线性代数》课程复习大纲与练习题

《线性代数》课程复习大纲与练习题

《线性代数》课程复习大纲与练习题第一章 线性方程组1.线性方程组的概念(1)线性方程组的一般形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(2)用消元法判断线性方程组是否有解,并求出解 2.初等变换对线性方程组进行求解 (1)初等变换的定义(2)用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组,从而判断是否有解3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211称为线性方程组的系数矩阵;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ssns s nn b a a a b aa ab a a a A 21222221111211称为线性方程组的增广矩阵 (1)线性方程组有解⇔秩(A )=秩(A )当线性方程组有解时:秩(A )=未知量个数n 时, 线性方程组有唯一解;秩(A )<未知量个数n 时,线性方程组有无穷多解。

(2)线性方程组无解⇔秩(A )<秩(A )4.齐次线性方程组:常数项全为0的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++0)1(00221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)解的情况:r(A)=n ,(或系数行列式0≠D )只有零解;r(A)<n ,(或系数行列式D =0)有无穷多组非零解。

(2)解的结构:r n r n c c c X --+++=ααα 2211。

(3)求解的方法和步骤:①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; ②写出对应同解方程组;③移项,利用自由未知数表示所有未知数; ④表示出基础解系; ⑤写出通解。

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1);21-12 解:;5)1(12221-12=-⨯-⨯= (2);11122++-x x xx 解:;1)1)(1(111232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22ba b a解:;2222ba ab b a ba -=(4);598413111 解:;5941531811931841511598413111=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(5);00000dc b a解:;0000000000000000=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=d c b a d b c a dc ba (6).132213321 解:.18321132213333222111132213321=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2.求下列排列的逆序数: (1)34215;解:3在首位,前面没有比它大的数,逆序数为0;4的前面没有比它大的数,逆序数为0;2的前面有2个比它大的数,逆序数为2;1的前面有3个比它大的数,逆序数为3;5的前面没有比它大的数,逆序数为0.因此排列的逆序数为5. (2)4312;解:4在首位,前面没有比它大的数,逆序数为0;3的前面有1个比它大的数,逆序数为1;1的前面有2个比它大的数,逆序数为2;2的前面有2个比它大的数,逆序数为2.因此排列的逆序数为5.(3)n(n-1)…21;解:1的前面有n-1个比它大的数,逆序数为n-1;2的前面有n-2个比它大的数,逆序数为n-2;…;n-1的前面有1个比它大的数,逆序数为1;n 的前面没有比它大的数,逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2.(4)13…(2n-1)(2n) …42.解:1的前面没有比它大的数,逆序数为0;3的前面没有比它大的数,逆序数为0;…;2n-1的前面没有比它大的数,逆序数为0;2的前面有2n-2个比它大的数,逆序数为2n-2;4的前面有2n-4个比它大的数,逆序数为2n-4;…;2n 的前面有2n-2n 个比它大的数,逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知,四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p 已固定,4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式:(1)71100251020214214;解:7110025102021421434327c c c c --01142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =-143102211014--321132c c c c ++-14171721099-= 0.(2);0111101111011110解:01111011110111104342c c c c --0111110110111000--=14)1(11110111+-⨯-- =-111101011--12c c +-121111001-=-1211-=-3.(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab---;解:111111111---=---=---abcdef fffd d d a a a bce efcfbfde cd bd ae ac ab3231c c c c -+12122100--abcdef=.412102)1(12abcdef abcdef=-⨯-+(4);100110011001dc b a---解:d c ba 100110011001---21ar r +dcb a ab 10110011010---+=)1()1(12-⨯-+dca ab 101101--+23dc c +010111-+-+cd cada ab =)1()1(23-⨯-+cdad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd .(5);222222ba c ccb c a b b a a cb a ------解:b ac c cb c a b b aa cb a ------2222223231c c c c --ba c cb ac b a b c b a a cb a --++++------2020 13r r +b ac c b a b c b a a c b a -+++------0202023r r +ba cbc b a a cb a ++------002020=3)(c b a ++. (6);1502321353140422-----解:1502321353140422-----134152c c c c --1031319522160422------=13192216422-----23212c c c c ++151102417020--- =15102472---=.270]10)24(157[2-=⨯--⨯--(7) ;222232222222221n解:n 222232222222221n,2,i 1=-rr i 2001010100012221-n=201222)1(12--+n=].)!2[(2--n(8) .001000000100a a a a解:阶阶11111000100)1()1(001000000100-+-+-+-=n n n a a a a a aaa a a=.)1()1(22)1(11---++-=--+n n n n n na a a aa 阶5.证明下列等式:(1)1112222b b a a b aba +=3)(b a -; 证明:1112222bb a a b ab a +00122222221312a b a b a a b a ab a cc c c ------ab ab a b a ab 22)1(22213-----=+21)(2a b a a b +-=.)(3b a -=(2)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;证明:2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项.06416416416412222=+ddd c cc bb b a aa (3) 1221100000100001a x a a a a x x x n n n+-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明:用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D10010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n nn n a xD +=-1n n n n a x a x a x ++++=--111 ,所以,对于n 阶行列式命题成立. 6.计算下列各题:(1) 设1x ,2x ,3x 是方程03=++q px x的3个根,计算行列式.132213321x x x x x x x x x 解:因为1x ,2x ,3x 是方程03=++q px x的3个根,即0))()((321=---x x x x x x ,那么0321=++x x x ,313221x x x x x x p ++=,321x x x q -=.132213321x x x x x x x x x 第一列都加到131322121332321x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=132132000x x x x x x =0.(2) 已知xx x x xx f 21123232101)(=,用行列式的定义求3x 的系数.解:由行列式的定义,xx x x x2112323210143214321)1(p p p p t a a a a -=,其中t 为4321p p p p 的逆序数.注意到行列式中含x 的ij a 有11a ,12a ,22a ,33a ,44a ,要使出现3x ,那么43214321)1(p p p p ta a a a -中33a ,44a 至少要出现一个,若只出现33a ,那么22a 必须出现,从而11a 也必须出现,这导致44a 也必须出现,因此,不可能只出现33a . 这样要使出现3x ,只有一种情况:4,3,1,24321====p p p p ,那么3x 的系数为1)1()2134(-=-t . (3) 设四阶行列式cdba a cb d a d bc dc b a D =4,求44342414A A A A +++,其中4i A 为元素4i a 的代数余子式.解:因为=cdb a a cbda dbcd c ba 4444343424241414A a A a A a A a +++,所以44342414A A A A +++=1111d b a c bdd b c c ba =0.(4) 设n 阶行列式xa a a x a aa x D=,求.21nn n n A A A +++解:nn n n A A A +++ 21=111a x a aa x 1-n ,2,,1i n=-ar r i 111000 a x a x --=.)(1--n a x7.计算下列各行列式(阶行列式为k D k ):(1) mx x x x m x x x x mx D n nn n---=212121;解:nD 第一列都加到mx x mxx m x mxx x m xn ni in ni in ni i-----∑∑∑===212121=mx x x m x x x m x n n n ni i ---∑=2221111)(n,2,i 1 =-r r i mmx x m x nni i ---∑=211)(=).()(11m x m ni i n --∑=-(2)nn nD n ----=112211321;解:n D到前一列后一列加nnn n n ---++++++121321=.2)!1()1(1n n +-- (3) dcdc b a ba D n=2,其中未写出的元素为0;解:阶展开按第一行122000-n ndd c d c b a b a a D阶121200)1(-+-+n n cdcd cb ab ab都按最后一行展开2222---n n bcD adD由此得递推公式: )1(22)(--=n nD bc ad D ,即 .)(2n n bc ad D -=(4)nna a a D +++=11111111121;解:nD 阶扩展为1+n 阶1211110111011101111++++n na a a ni r r i ,,3,21=-阶121010010011111+---n na a a列展开按最后一阶n n n a a a a 12110010011111----+阶n n n a a a 00010********)1(1-21)1(1-----++=1-n n D a +∏-=11n i ia由此得递推公式: ∏∏∏-=-=---=-++=+=112121111)(n i in i i n n n n i i n n na a D a a a D a D=∏∏=-=---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ni i n n n n i i n n n n n a a a D a a a a a a D a a 1212111211111=.1111∏∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n j j ni ia a (0≠i a , i=1 ,2,…,n ) 若i a 中为零的个数为1,则 111a a a a D i i n n -+=, 若i a 中为零的个数大于1,则 0=nD .(5) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+.提示:用德蒙行列式计算.解:nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++∏+≤<≤++--+--=112)1()]1()1[()1(n i j n n j a i a.!!1!2)!1(!)]([)1(1112)1(∏∏=+≤<≤+=⋅⋅⋅-⋅=---=ni n i j n n i n n j i8.用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++;32,12,02 )1(z y x z y x z y x解:81315130150121211112121-=---=---=--=D , ,4121212111120213111121=--=--=--=D,413111311120012311121012=-=-==D,123315331152013111120213-=--=--=--=D.23,21,21 321==-==-==∴D D z D D y D D x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-.3 37 ,1 3,3 ,4432 )2(4324214324321x x x x x x x x x x x x x 解:1684702500113753511113705350111043211370103111104321=--=---=-----=----=D,43216160202404324110831443230001411038314413731031111343241--=---=-----=------=D2811602042161620242-=-=--=,,4840002400113034410400420011304341133053301130434113301011113043412=-----=----=------=----=D,9680012001310442182400012001310442113705351310442113701131131044213=---=----=------=-----=D ,024400122003110432133703353110432133701031311043214=-----=-------=-----=D.0,6,3,8 44332211======-==∴DD x DD x DD x DD x9.λ,μ取何值时,以下齐次方程组有非零解?⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.020 0 321321321x x x x x x x x x μμλ,,解 μλμμλλμμμλλμμμλ-=---=--==0110111101211111D ,齐次线性方程组有非零解,则0=D 即 0=-μλμ得 10==λμ或.。

华南师大2011年考研试卷(高等代数)

华南师大2011年考研试卷(高等代数)

华南师大 2011 年考研试卷(高等代数)
一、1.写出四条矩阵 A的秩为 r 的充要条件;
2.写出欧式空间中子空间的正交补定义;
3.写出关于多项式 f(x)的代数基本定理;
4.写出 n 阶方阵 A的伴随矩阵的定义和基本结论;
5.写出对称变换的定义。

二、写出方程组
当 a、b 为何值时,方程组有唯一解,无解,无穷多解?并求无穷多 解的通解。

三、设多项式 f(x)=x 4 +4kx+1(k 为整数),证明 f(x)在有理数域 Q 上不 可约。

四、A、B为 n 阶方阵,证明:
r(A)+r(B)=
五、给定实二次型 f(x1,x2,x3)=x1 2 +2x2 2 +5x3 2 ­2x1x2+2tx1x3+6x2x3,试求 t 的值,使得该二次型正
定。

六、设 V 是有限维欧式空间,又 σ 为 V 的一个正交变换,记 V1= {α∈V|σ(α)=α},
V2={α­σ(α)|α∈V},证明:
1、 V1、V2 都是 V 的子空间;
2、 V1⊥V2
3、 V=V1 V2
七、设 W1 和 W2 是 n维向量空间 V 的两个子空间,且维数之和为 n, 证明:存在 V 上的线性变换 σ,使 ker(σ)=W1,Im(σ)=W2。

2011年四川大学硕士研究生考试-数学分析

2011年四川大学硕士研究生考试-数学分析

四川大学2011年硕士研究生考试——数学分析一、计算: 1、lim n →∞⎛ ⎝2、211limnn k n k→∞=+∑3、若01lim 1lim arccossin axx x x x→∞→⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求a4、()1220lim 3sin 1xxx e x x →++-二、计算下列积分: 1、 求()cos ln x dx ⎰; 2、 411dx x +∞+⎰;3、 求L I y ds =⎰,其中L 是球面2222x y z ++=和平面x y =的交线;4、 求()2I x y y dS ∑=++⎰⎰,其中2222:x y z R ∑++=;5、 已知函数()f x 在 上连续可导,求()()()22211Ly f xy x I dx y f xy dy yy+=+-⎰,其中L 是上半球面()0y >内以()2,3为起点()3,2为终点的有向“分段光滑”曲线。

6、计算2I ∑=⎰⎰∑为下半球面:z =的上侧。

三、函数(),z f x y =有二阶连续偏导数且0y f ≠,证明:对任意实数c ,(),f x y c =是一条直线的充要条件是:()()2220y xx x y xy x yy f f f f f f f -+=四、讨论函数1sin x x和1sinx在()0,+∞上的一致连续性,说明理由。

五、偶函数()f x 的二阶导数()f x ''在0x =的某领域内连续,且()01f =,()02f ''=证明:级数111n f n ∞=⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑绝对收敛。

六、函数()[]():0,10,1f x →在[]0,1上可导,且()1f x ''≠,证明:方程()f x x =在()0,1内有唯一的实根。

七、设()f x 在[]0,1上可积,在1x =处连续,证明:()()10lim 1nn n x fx dx f →∞=⎰八、设函数(),f x y 在区域22:1D x y +≤上有二阶连续偏导数且()222222x yf f exy-+∂∂+=∂∂,证明:2D f f I x y dxdy xy e π⎛⎫∂∂=+= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰。

利用对称性解方程组

利用对称性解方程组

利用对称性解方程组
左加林
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】1991(000)001
【摘要】对于平面坐标系中的任意点P(x,y),我们很容易证明它关于直线y=x对称的点的坐标
【总页数】2页(P25-26)
【作者】左加林
【作者单位】江西省宁冈中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.利用解方程组求解某些不定积分(二) [J], 谢芳
2.利用解方程组求某些不定积分 [J], 谢芳
3.利用共轭对称性的数字IQ频域校准方法 [J], 陶毅;丁丽
4.利用相变存储器不对称性的写入优化方法 [J], 张格毅;陈小刚;郭继鹏;宋志棠;陈邦明
5.利用“对称性”巧解碰撞问题 [J], 李维富
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华中师范大学社会学院730社会学研究方法历年考研真题汇编_PDF密码解除

华中师范大学社会学院730社会学研究方法历年考研真题汇编_PDF密码解除

2003年华中师范大学社会学研究方法考研真题2004年华中师范大学336社会调查原理与方法考研真题2005年华中师范大学340社会学研究方法考研真题2006年华中师范大学社会学研究方法考研真题(不完整)一、名词解释与辨析(每题6分,共30分)1.局外观察与参与观察2.区间估计与假设检验3.分析单位4.总体与样本5.分层抽样与配额抽样二、概念操作化与问卷设计,问卷要按合理的顺序排列(16分)1.一项调查希望验证“受教育水平影响收入”假设,请将此假设操作化并设计一套效度检测方案。

2.针对“受教育水平影响收入”问题的调查,面向教师设计一个封闭问题、一个开放问题和一个相倚问题。

三、简答题(每题7分,共42分)1.抽样设计的基本原则是什么。

2.使用观察法时调查者可以以哪些角色出现。

3.等距随机抽样方法。

4.简述电话访谈与进户访谈的区别。

5.在设计问卷时,对问题的提出有哪些技术要求。

6.简述抽样平均误差的来源。

四、论述题(每题15分,共45分)1.试述社会学研究的主要范式及其区别。

2.谈谈里克特量表的制作方法,并举例加以说明。

3.结合具体命题,说明假相关与因果关系及相关关系的联系与区别。

五、计算题1.某大学A学院270名本科生的入大学前居住地分布情况是:130个在大城市,100个在小城镇,40个在农村;B学院550人的情况是:400个在大城市,90个在小城镇,60个在农村,试选择合适的集中趋势说明两个学院新生入学前居住地分布特点,并比较两个趋势的代表性。

一、名词解释(每题5分,共40分)1.假设2.同期群研究3.构造效度4.抽样误差5.结构访问法6.控制组7.二次分析8.非正式访谈二、概念操纵化与问卷设计,并说明主要的问题(12分)设计几个问题用来测量概念“大学生厌学”(要求至少用三种不同的测量尺度)三、简答题(每题8分,共48分)1.简述寻找因果关系的基本方法。

2.简述社会学实证研究的几个阶段。

3.简述概念间可能的关系类型及其联系。

西南大学数学与统计学院《819高等代数》历年考研真题汇编

西南大学数学与统计学院《819高等代数》历年考研真题汇编

\ 10)设<4 =(叫/队…,】,),其中耳为实教” R不全为零,B-A A ,

4的转的“则8的全部特征值为, L〔2。分}设况为一复数,且是。[刈中某个非零多顼式的报,令
J = V(X)€ Q[x] |,愆)=0} a
证明;<D在/中存在唯一的最高轶项系数是1的多项式尸⑴,使p(x)整除J中每一多项
°
Fl 0 ]1
~
A⑵分)设』=0 2 0 ,且施+ E* 4田其中E为三阶单位矩阵,求研 101
3.⑵如设 X为三阶实对祢矩阵,其特征值为;I,=必
=o, %」与
L一
■2_
2
%=]分别是>1的属于精征值人与石的特征向量。求矩阵元
-2
虫门0胪设尸为教域,/(玖g⑴顷刈,以,弓如尸,且血-加#0,证明
2008年西南大学819高等代数考研真题
西南大学
澎磅年攻读用七学位研究生入学考试试题

学科,专业:摒湖"也
研究方向:&诗帮网佑为向
试题名称:曷驾心妲
试题编号:811
(答题-律做在答题纸上,并注明题忸番号,否则答题无效)
泠意:报汶学衍i n’MlWI.完我I,餐3. 4. 5. 6-境1°暨报引 向的与1「尼成!,2. 3. 4, 5. 6- 7> 8题,监试时问为3小旧’-满分为顷'■
[Q 0 0 1 . (6)给定尸'中的线性变换4如下:
A -. (x)ix1,x3)h>(2xi -xz,x2 +x^2xt +Xj)
则 KeM ="
(7)令4为V的正交变换.。=(2,0厂1厂2)为4的一个特征向街 则
(Aav Aa)=.

段正敏主编《线性代数》习题解答教学教材

段正敏主编《线性代数》习题解答教学教材

段正敏主编《线性代数》习题解答线性代数习题解答1张应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录:习题参考答案 (129)1教材:段正敏,颜军,阴文革:《线性代数》,高等教育出版社,2010。

第一章 行列式1.填空题:(1)3421的逆序数为 5 ;解:该排列的逆序数为00235t =+++=. (2)517924的逆序数为 7 ;解:该排列的逆序数为0100337t =+++++=. (3)设有行列式2311187001234564021103152----=D =)(ij a ∆, 含因子543112a a a 的项为 -1440,0 ;解:(23154)31223314554(1)(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=所以D 含因子543112a a a 的项为-1440和0.(4)若n 阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则()1na -;解:行列式D 中每一行可提出一个公因子1-,()()()1()1nnij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-.(5)设328814412211111)(x xx x f --=,则0)(=x f 的根为 1,2,-2 ;解:()f x 是一个Vandermonde 行列式,()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=的根为1,2,-2.(6)设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根,则行列式=132213321x x x x x x x x x 0 ; 解:根据条件有332123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-比较系数可得:1230x x x ++=,123x x x q =-再根据条件得:311322333x px q x px q x px q⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩ 原行列式333123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=. (7)设有行列式100132x x x -=0,则x = 1,2 ; 解:2231032(1)(2)001x x x x x x x -=-+=--=1,2x ∴=.(8)设=)(x f 444342343331242221131211a a a xa a x a a x a a xa a a ,则多项式)(x f 中3x 的系数为 0 ; 解:按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++,112131,,A A A 中最多只含有2x 项,∴含有3x 的项只可能是41xA()()12134141222433343123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a xa a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦41xA 不含3x 项,∴()f x 中3x 的系数为0.(9)如果330020034564321x =0,则x = 2 ;解:12346543122(512)(63)000265330033xx x =⋅=--= 2x ∴=.(10)000000000000dc ba = -abcd ;解:将行列式按第一行展开:1400000000(1)0000000000a b b a cabcd cdd+=⋅-=-. (11)如果121013c b a =1,则111425333---c b a = 1 ;解:1323323133301302524121111111Tr r AA r r a a b c a b c b c -=+---=.(12)如333231232221131211a a a a a a a a a =2,则333232312322222113121211222222222222a a a a a a a a a a a a ---= -16 , 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------= -4 ,3212000332313322212312111a a a a a a a a a= -4 ; 解:1112131121312122231231222321233132331323332T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======()()1112121332122222312231223313232331221232222222222222222288016a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-()1121112131122212223212123121231323132333122311232323232323232a a a a a a a a a a a a a a a ββββββββββββββββββ----=--=---- =-+-- =()1223122123224T A ββββββββββ-=- =-=-11213114122232132333000212423T a a a A a a a a a a + ⋅=-按第一行展开(-1).(13)设n 阶行列式D =0≠a ,且D 中的每列的元素之和为b ,则行列式D 中的第二行的代数余子式之和为=ab;解:11121111211112121222121212111=n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a ab b b ba a a a a a a a a 每行元素加到第二行()212220n b A A A a+++=≠按第二行展开∴212220,0n b A A A ≠+++≠且 21222n a A A A b∴+++=实际上,由上述证明过程可知任意行代数余子式之和12,1,2,,i i in aA A A i n b+++==.(14)如果4443423433322423221413121100a a a a a a a a a a a a a =1,则2423121144434234333224232200a a a a a a a a a a a a a = -1 , 443424433323423222a a a a a a a a a =111a ;解:令222324323334424344a a a B a a a a a a =,则 111213142223241111113233341142434401(1)10,000a a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-= ⇒ ≠=≠且 2223243233344111114243441112232400(1)10a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-=-=-223242233343112434441T a a a a a a B B a a a a ===. (15)设有行列式1001321x x -,则元素1-的余子式21M =231x ,元素2的代数余子式12A(16)设3214214314324321=D =)(ij a ∆,ij ij a A 表示元素的代数余子式,则=+++44342414432A A A A 0 ;解:方法一:14243444234A A A A +++可看成D 中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和,故其值为0.方法二:11424344412312342234034134124A A A A +++=推论.(17)设cdb a a cbda dbcd c b a D ==)(ij a ∆,ij ij a A 表示元素的代数余子式,则=+++44342414A A A A 0 ;解:1424344411011a b c c b d A A A A dbc a bd +++=推论4.(18)设600000000000200023002342345)(x x xx x x f --=,则5x 的系数为 6 ; 解:方法一:54255254320543243200432032000()66(1)(1)632002000020000000000006x x x xx f x x x x x x x x ⨯--===⋅-⋅-⋅=--方法二:()f x 只有一项非0()()54321615243342516610255543204320032000()12000000000000006(1)(1)66t x x x f x a a a a a a x x x x -∴==-- =-⋅-⋅⋅=综上所述:5x 的系数为6.(19)设111212122212111211112121222212221212m m m m mm n m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =, 且111212122212m m m m mma a a a a a a a a a =111212122212n n n n nnb b b b b b b b b b =,则D =()1mnab - ;解:方法一:令111212122212m m m m mma a a a a a A a a a a ==,111212122212n n n n nnb b b b b b B b b b b ==则1A O D A B ab CB==⋅=,()()211mnmnO AD A B ab B C==-⋅=-证明:根据行列式性质2和5,将行列式A 变成下三角行列式,得到:11112121222212121212m m m m m mmm m ma a a a a a a a a A a a a a a a a a a a '====''行列式1D 、2D 的变换和行列式A 的变换完全相同,得到:1212121111211112121222212221212m m m m n m n n n nm n n nna a a a a a D c c cb b bc c c b b b c c c b b b '''='''''''''1212122111211112121222212221212m m m n m n m n n nnn n nm a a a a a a D b b b c c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''分别将1D 、2D 第一次按第一行展开(2a 变成第一行),第二次按第二行展开(3a 变成第一行),……,总共进行m 次第一行展开,得到:112m D a a a B A B ab ==⋅=;()()()()()11111121211111n n n mn mnm D a a a B A B ab ++++++=-⋅--⋅=-⋅⋅=-证毕.方法二:设()ij m m A a ⨯=,()pq n n B b ⨯=,()()()ij m n m n A O D d C B +⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中:(), 1:,1:, 1:,1:,, , 1:,1:, ij ij pq pja i m j m db i m m n j m m n p i m q j mc i m m n j m p i m ==⎧⎪==++=++=-=-*⎨⎪=++==-⎩那么:()(){}{}1111111,,,,1,,1m m m n m m m n m n t p p p p p mp m p m n p p p m n A OD d d d d C B +++++++=+==-∑()()()()(){}{}{}{}()()()(){}{}{}{}()(){}{}()(){}11111111111111111111,,1,,,,1,,11,,1,,,,1,,11,,1,,,,11111m n m n m m n n m n m m n n m n m m t p p m l m l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l a a b b a a b b a a b b *++=====-⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由{}1,,n A B ab=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=⋅=∑1112121222122111211112121222212221212m m m m mmn m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =2D 中m a 依次与12,,,n b b b 对换,使得m a 在n b 下面;()1m a - 依次与12,,,n b b b 对换,使得()1m a - 在n b 下面,在m a 上面;……1a 依次与12,,,n b b b 对换,使得1a 在n b 下面,在a 2 上面;总共进行了mn 次对换。

2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华

2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华

2011导航领航考研冲刺班数学讲义线性代数邓泽华编第二篇 线性代数一、填空题分析填空题主要考查基础知识和运算能力,特别是运算的准确性。

1.(06-1-2-3)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .【矩阵行列式,2】2.(06-4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .【矩阵方程,1111-⎛⎫⎪⎝⎭】3.(04-1-2)设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则B = .【矩阵行列式,19】4.(03-4)设A ,B 均为三阶矩阵,已知2AB A B =+,202040202B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1()A E --= .【矩阵方程,1001()010100A E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭】5.(04-4)设010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,1B P AP -=,其中P 为三阶可逆矩阵,则 200422B A -= .【矩阵运算,300030001⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭】6.(06-4)已知12,αα为二维列向量,矩阵()12122,A αααα=+-,()12,B αα=. 若行列式6A =,则B = .【矩阵行列式,2-】7.(03-2)设α为三维列向量,若T 111111111αα-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭, 则Tαα= .【向量乘积,3】8.(05-1-2-4)设123,,ααα均为三维列向量,记矩阵()123,,A ααα=,()123123123,24,39B ααααααααα=++++++.若行列式1A =,则B = .【矩阵行列式,2】9.(03-3-4)设n 维向量T (,0,,0,)a a α=,0a <,T A E αα=-,T 1B E aαα=+,其中A 的逆矩阵为B ,则a = .【矩阵运算,1-】10.(03-2)设A ,B 均为三阶矩阵,已知2A B A B E --=,若101020201A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则B = .【矩阵行列式,12B =】11.(03-1)从2R 的基()()T T 121,0,1,1αα==-到基()()T T121,1,1,2ββ==的过渡矩阵为 .【过渡矩阵,2312⎛⎫⎪--⎝⎭】12.(05-3-4)设行向量组(2,1,1,1),(2,1,,)a a ,(3,2,1,)a ,(4,3,2,1)线性相关,且1a ≠,则a = .【向量线性相关性,12】13.(04-4)设()33ij a ⨯是实正交矩阵,且111a =,T(1,0,0)b =则线性方程组Ax b =的解是 .【非齐次线性方程组,T(1,0,0)】14.(04-3)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为 .【二次型的秩,2】15.(07-1-2-3-4)设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则3A 的秩为 .【矩阵的秩,1】 16.(08-1)设A 为二阶矩阵, 12,αα是线性无关的二维列向量,12120,2A A αααα==+,则A 的非零特征值为 .【特征值与相似矩阵,1】17.(08-2)设3阶矩阵A 的特征值为,2,3λ,且248A =-,则λ= .【特征值与行列式,1-】18.(08-3)设3阶矩阵A 的特征值为1,2,2,则14A E --= . 【特征值与行列式,3】19.(08-4)设三阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0A =,则()r A = . 【特征值与行列式,2】20.(08-n )设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则行列式12A -= . 【特征值与行列式,43】 21.(09-1)设三维列向量,αβ满足T2αβ=,则矩阵Tβα的非零特征值为 .【特征值,2】22.(09-2)设,αβ为三维列向量,若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则T βα= .【相似矩阵,2】23.(09-3)设T T (1,1,1),(1,0,)k αβ==,若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则k = .【相似矩阵,2】24.(08-n )设向量组T T T(1,0,1),(2,,1),(1,1,4)k αβγ==-=--线性相关,则k = . 【线性相关性,1】25.(10-1)设()()()T T T1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,a ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数为2,则a = .【向量空间,6】26.(10-2-3)设,A B 为3阶矩阵,且13,2,2A B A B -==+=,则1A B -+= .【行列式,3】 27.(10-n )设111123A -⎛⎫=⎪⎝⎭,则行列式TA A = .【行列式,0】二、选择题分析解选择题的方法有⑴直接法;⑵间接法(排除法、特例法等);⑶数形结合法。

邓正华高数基础01第一讲 极限及其相关问题

邓正华高数基础01第一讲  极限及其相关问题

第一讲 函数、极限与连续考纲要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立简单应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.一、函数问题1 如何求函数的定义域? 答 求定义域的步骤是: ⑴根据运算要求(如分式要求分母不等于零,开偶次方要求被开方数大于等于零,对数ln x要求真数0x >,反正弦arcsin x 要求1x ≤等)列不等式(组) ⑵解不等式(组) 例⑴已知2()e x f x =,[()]1f x x ϕ=-,()0x ϕ≥,求()x ϕ的定义域; 解 2()2[()]e 1()ln(1)x f x x x x ϕϕϕ==-⇒=-,又()0x ϕ≥,故()x ϕ=定义域为10,ln(1)0x x ->-≥,解得0x ≤,所求定义域为(,0]-∞ ⑵设()sin f x x =,2[()]1f x x ϕ=-,求()x ϕ的定义域. 解 22[()]sin ()1()arcsin(1)f x x x x x ϕϕϕ==-⇒=-,定义域为211x -≤,解得x ≤[问题2 已知函数()f x ,如何求复合函数[()]f x ϕ?答 用代入法,即以()x ϕ代替()f x 中的x ,就可以求出[()]f x ϕ. 例⑴已知1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 求[()]f f x ;⑵设2,0,(),0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩2,0,()2,0,x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩,求[()]g f x . 问题3 已知复合函数[()]f x ϕ,如何求函数()f x ?答 用换元法,即令()t x ϕ=,代入[()]f x ϕ,求出()f t ,就可以求出()f x .例⑴已知2(sin )sin xf x x=, 求()f x ; ⑵设2211()f x x x x+=+,求()f x .问题4 已知函数()y f x =,如何求其反函数?答 求反函数的步骤是:先由()y f x =解得1()x f y -=,再交换,x y ,得其反函数1()y f x -=.例⑴求cos ([,0])y x x π=∈-的反函数;⑵求2312,1,(),12,1216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数()g x .问题5 如何将{}(),max (),(),[()],sgn ()f x f x g x f x f x 表示成分段函数的形式?答 关键是找出分段函数的分段点,()f x 的分段点是使()0f x =的点,{}m a x (),()f x g x 的分段点是使()()f x g x =的点,[()]f x 的分段点是使()f x 取整数的点,sgn ()f x 的分段点是使()0f x =的点.例 将下列函数表示成分段函数:⑴2()f x x x =-; ⑵{}2()max 2,f x x x =-.问题6 叙述函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义.答 ⑴有界性:设函数()f x 在X 上有定义,如果存在0M >,使得x X ∀∈,都有()f x M ≤,则称()f x 在X 上有界.⑵单调性:设函数()f x 在区间I 上有定义,如果12,x x I ∀∈,当12x x <时,总有12()()f x f x <,则称()f x 在I 上是递增的. 如果12,x x I ∀∈,当12x x <时,总有12()()f x f x >,则称()f x 在I 上是递减的.⑶奇偶性:设函数()f x 的定义域D 关于原点对称,如果x D ∀∈,总有()()f x f x -=,则称()f x 是偶函数,如果x D ∀∈,总有()()f x f x -=-,则称()f x 是奇函数.⑷周期性:设函数()f x 的定义域为D ,如果存在0T ≠,使得x D ∀∈,都有()()f x T f x +=,则称()f x 是周期函数.问题7 叙述基本初等函数和初等函数的定义.答 基本初等函数是指:幂函数y x α=、指数函数(0,1)xy a a a =>≠、对数函数log (0,1)a y x a a =>≠、三角函数sin (cos ,tan ,cot ,sec ,csc )y x x x x x x =、反三角函数arcsin (arccos ,arctan ,arccot )y x x x x =,读者要会画它们的图形,并通过图形记住它们的性质.初等函数:由常数和基本初等函数通过有限次四则运算,有限次函数复合得到的,能用一个式子表示的函数称为初等函数.二、极限问题8 如何理解极限的定义?答 极限的定义很多,但主要的是以下四个:定义1 l i m n n x a →∞=⇔0,,N Z ε+∀>∃∈当n N >时,有n x a ε-<.定义2 0l i m ()x x f xA →=⇔0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时,有()f x A ε-<. 定义3 l i m ()x f xA →∞=⇔0,0,X ε∀>∃>当x X >时,有()f x A ε-<.定义4 0l i m ()x x f x→=∞⇔0,0,M δ∀>∃>当00x x δ<-<时,有()f x M >.以0lim ()x x f x A →=为例,0lim ()x x f x A →=表示自变量x →0x 时,相应的函数值)(x f 无限接近一个常数A ,即)(x f 与A 的距离()f x A -可以任意小,也就是说,只要x 和0x 接近到一定程度,()f x A -就可以小于任何正数ε,即0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时,有()f x A ε-<或者()A f x A εε-<<+.取1ε=,有1()1A f x A -<<+,得局部有界性; 若0A >,取2A ε=,有()022A Af x A >-=>,得局部保号性;若(0,)r A ∈,取A r ε=-,则有()()f x A A r r >--=, 由此可见,函数的极限0lim ()x x f x A →=反映的是函数的局部性态.2.左右极限左极限00()lim ()x x f x f x --→=,右极限00()lim ()x x f x f x ++→= 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.问题9 极限与左右极限有何关系?哪些情形下要求左右极限? 答 极限与左右极限的关系是:000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.求分段函数分段点的极限时,如果分段点两側函数表达式不同时,要求左右极限,此外,e ,arctan ∞∞型极限要求左右极限.⑴设1,0,()1,0,x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩ 求0lim ()x f x →;⑵求110elim2ex x x→-.问题10 叙述极限的性质. 答 数列极限的性质如下:性质1(唯一性)如果数列{}n x 收敛,则它的极限是唯一的. 性质2(有界性)如果数列{}n x 收敛,则数列{}n x 一定有界. 由此可得:无界数列必发散.性质3(保号性)如果lim n n x a →∞=且0a >,则存在N Z +∈,,0n n N x ∀>>.由此可得:如果lim n n x a →∞=,且0n x ≥,则0a ≥.性质4(子数列的收敛性)如果数列}{n x 收敛于a ,则它的任一子数列也收敛于a . 特别,若lim n n x a →∞=,则lim n k n x a +→∞=函数极限的性质如下:性质1(唯一性)如果0lim ()x x f x →存在,则极限是唯一的.性质2(局部有界性)如果0lim ()x x f x →存在,则)(x f 在某0()U x内有界.性质3(局部保号性)如果0lim ()x x f x A →=且0A >,则在某0()U x内,()0f x >.推论 如果0lim ()x x f x A →=,且在某0()U x内,()0f x ≥,则0A ≥.性质4( 函数极限与数列极限的关系)设0lim ()x x f x →存在,0()n x U x ∈且0lim n n x x →∞=,则lim ()n n f x →∞=0lim ()x x f x →.例 有界数列是否一定收敛?说明理由.答 收敛数列必有界,但有界数列不一定收敛,例如摆动数列1(1)n n x -=-有界,但是不收敛.问题11⑴若0lim n n x x →∞=而lim ()n n f x →∞不存在,有何结论?⑵若0lim n n x x →∞=,0lim nn x x →∞'=,而lim ()n n f x →∞lim ()n n f x →∞'≠,有何结论? 答 ⑴若0lim n n x x →∞=而lim ()n n f x →∞不存在,则0lim ()x x f x →不存在.⑵若0lim n n x x →∞=,0lim nn x x →∞'=,而lim ()n n f x →∞lim ()n n f x →∞'≠,则0lim ()x x f x →不存在. 请读者用反证法证明之.读者可以利用上述结论证明01lim sinx x→不存在. 问题12 叙述极限的运算法则.答 极限运算法则是极限运算的理论基础,正确使用法则才能求出正确的结果. 常用的极限运算法则有:定理1(极限的四则运算法则)设函数f 和g 在点0x 有极限,则 ⑴)(lim )(lim ))()((lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→+=+;⑵0lim(())lim ()x x x x cf x c f x →→=,其中c 为常数;⑶0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅;⑷000lim ()()lim ()lim ()x x x x x xf x f xg x g x →→→⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中0lim ()0x x g x →≠. 定理2(复合函数的极限运算法则) 设A u f u u =→)(lim 0,0)(lim 0u x g x x =→,且在点0x 的某去心邻域内有0)(u x g ≠,则复合函数[()]y f g x =当0x x →时的极限存在,且lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==.定理3(幂指函数极限法则)设0lim ()0x x f x A →=>,0lim ()x x g x B →=,则0()lim ()g x B x x f x A →=. 定理4(洛必达法则)如果(1)()lim()x af xg x →为0或者∞∞型;(2)'()lim '()x a f x g x →存在或者为无穷大,则()lim()x af xg x →=()lim ()x a f x g x →''. 问题13 ⑴若0lim(()())x x f x g x →+,0lim ()x x f x →存在,问0lim ()x x g x →是否存在? ⑵若0lim ()()x x f x g x →,0lim ()x x f x →存在,问0lim ()x x g x →是否存在?答 ⑴若0lim(()())x x f x g x →+,0lim ()x x f x →存在,0lim ()x x g x →一定存在,因为由极限运算法则知0lim ()lim[(()())()]x x x x g x f x g x f x →→=+-存在.⑵若0lim ()()x x f x g x →,0lim ()x x f x →存在,0lim ()x x g x →不一定存在,因为由极限的运算法则知()()lim ()lim()x x x x f x g x g x f x →→=不一定存在,例如001lim sin 0,lim 0x x x x x →→==,而01sin 1limlimsin x x x x x x→→=不存在.问题14 极限的四则运算法则和幂指函数极限法则的条件是什么?有何作用? 答 极限的四则运算法则和幂指函数极限法则的条件是: ⑴各函数的极限都存在, ⑵分母的极限不为零, ⑶底的极限大于零,法则的作用是:将复杂极限分解为简单极限,从而简化极限的运算. 问题15 叙述极限存在准则.答 定理5(单调有界准则)单调有界数列一定收敛.注:若{}n x 递增,且有上界M ,则lim n n x →∞存在且lim n n x M →∞≤;若{}n x 递减,且有下界m ,则lim n n x →∞存在且lim n n x m →∞≥.定理6(夹逼准则)设数列{}n x ,{}n y ,{}n z 满足:⑴n n n y x z <<(1,2,n = );⑵lim lim n n n n y z a →∞→∞==,则lim n x x a →∞=.问题16 求极限有哪些方法?答 求极限是重要的考点,必须熟练掌握各类极限(尤其是不定式)的求法. 与极限有关的考点还有: 确定极限式中的常数(极限的反问题)、已知一个极限,求另一个极限、无穷小比较、连续性的讨论、间断点的分类、可导性的讨论、渐近线、用极限定义函数、用极限研究函数的局部性态等.求极限的方法有: ⑴极限的定义 ⑵连续的定义⑶导数的定义(增量比的极限) ⑷定积分的定义(积分和的极限)⑸两个重要极限(类型与形式的统一:sin ()1()x x ϕϕ→,1()(1())e x x ϕϕ+→(()0x ϕ→)) ⑹无穷小与有界函数的乘积是无穷小⑺单调有界准则(证明极限存在,常用于求递推式的极限) ⑻夹逼准则(适当放缩)⑼极限存在的充要条件(极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等) ⑽初等变形(根式有理化、对数恒等式等) ⑾变量替换(倒代换、线性代换等)⑿极限运算法则(极限都存在,且分母极限不为零时才能使用)⒀等价无穷小代换(只有商或者积的分子、分母的无穷小因子才能代换) ⒁洛必达法则(适用于00或者∞∞且导数之比的极限存在或者为∞) ⒂微分中值定理⒃泰勒公式(五个函数的麦克劳林公式) ⒄积分中值定理问题17 求极限时,如何正确地使用等价无穷小代换?答 等价无穷小代换是简化极限运算的重要方法,使用时要注意两点: ⑴记住常用的等价无穷小:当0x →时,sin ~tan ~arcsin ~arctan ~1~ln(1)~xx x x x e x x -+,21cos ~,(1)1~(0),1~ln 2x x x x x a x a ααα-+-≠-,其中无穷小x 改为无穷小()x ϕ时各式仍成立.⑵这种方法只有在求商或者积的极限时才能使用,且只能将商或者积的分子、分母中的无穷小因子进行等价无穷小代换.常见的错误有:3300sin limlim 0x x x x x xx x →→--==(不是无穷小因子不能代换)1100sin lim()lim()1x x x x x x xx →→==(幂指函数不能代换)问题18 如何求不定式的极限?答 不定式有七种类型:00、∞∞、0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞,其中00、∞∞是两种基本类型,其余五种不定式均可化为00、∞∞,方法如下:0⋅∞型:1/1/f gf g g f⋅==; ∞-∞型:f g -(通常利用通分、根式有理化、倒代换); 1∞ 、00、0∞型:ln g g f f e =(幂指型通常利用对数恒等式).求不定式的极限,不能直接使用极限的四则运算法则和幂指函数法则,通常要综合运用初等变形(根式有理化、对数恒等式等)、变量替换(倒代换、线性代换等)、极限运算法则、等价无穷小代换、洛必达法则,先化简,再计算.例1. lim )x x x →-∞(50)- 2. sin 30lim sin x xx e e x →-1()6解 【无穷小sin x xe e -通常化为sin sin (1)x x x e e --,以便等价无穷小代换】sin sin sin sin 33000e (e 1)e 1lim lime lim sin sin x x x x x x x x x x x--→→→--=(初等变形,极限法则) 30sin 1lim x x xx →-=⋅(等价无穷小代换)201cos 1lim 36x x x →-==.(洛必达法则) 3. 21lim[ln(1)]x x x x →∞-+ 1()24. 2201lim(cot )x x x→-.解 【∞-∞型极限通常用通分化为00或者∞∞】2222222001sin cos lim(cot )lim sin x x x x x x x x x→→--=(通分,化为00) 40(sin cos )(sin cos )lim x x x x x x x x→+-=(分解因式,等价无穷小代换) 300sin cos sin cos lim lim x x x x x x x x x x →→+-=(极限运算法则,分解为两个简单极限) 20cos cos sin 22lim 33x x x x x x →-+==.(洛必达法则)5. 3012cos lim [()1]3xx x x →+-. 解 【幂指函数通常采用对数恒等式转化】2cosln 3330012cos 1lim [()1]lim [1]3xx x x x x e x x+→→+-=-(对数恒等式) 302cos ln3lim x x x x→+=(等价无穷小代换) 200sin ln(2cos )ln312cos lim lim 26x x xx x x x →→-+-+===-.(洛必达法则) 6. 1402sin lim()1xx xe xxe→+++. 解 【这种类型的极限,必须考虑单侧极限】左极限1144002sin 2sin lim()lim()21111xxx x xxe x e xx xee --→→+++=+=-=-++, 右极限11144340002sin 2sin 121lim ()lim ()lim 1011111xxxx x x xx x x e x e x e x xee e e +++-→→→-++++=+=⋅+=+=+++, 由极限存在的充要条件,得1402sin lim()11x x xe xxe→++=+. 7. 21lim tan nn n n →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 解 【若lim ()x f x A →+∞=,则l im ()n f nA →∞=. 利用此结论将数列的极限问题转化为函数的极限问题,以便运用洛必达法则】2211lim tan lim tan x x x x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(倒代换1t x=) 32tan 1tan 00tan tan lim lim 1t ttt t tt t t t t t t t ++--→→⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥==+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(第二个重要极限)22000tan sec 11cos 1limlimlim33cos 3t t t t t t tt t t teeee +++→→→---====,(洛必达法则) 由函数极限与数列极限的关系知2131lim tan n n n e n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭.问题19 如何求和的极限?答 求和的极限,常用方法有:⑴先求和(等差、等比、裂项相消、错位相减),再求极限; ⑵夹逼法(关键是适当放缩);⑶定积分(适用于积分和,见第三讲问题9). 例 1. ∞→n lim (nn n n n n n n +++++++++2222211 ) 【21】 2. ∞→n lim∑=+nk k k 1)4(1【4825】 问题20 如何利用递推式求极限?答 当数列由递推式给出时,必须先证明极限存在(常常利用单调有界准则),再利用递推式求极限.例 1.设11n a a +==lim n n a →∞. 【2】2.设103x <<,1(1,2,)n x n +== ,求lim n n x →∞. 【32】3.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n n x →∞.】问题21 如何确定极限式中的常数?答 确定极限式中的常数,关键是找到所求常数满足的等式(方程),除了利用已知极限外,例1.已知220ln(1)lim 2x xax bx x →+--=,求常数,.a b 【51,2a b ==-】2.已知(lim 32x x →+∞=,求常数,.a b (9,12)a b ==- 解 (lim 3lim 32x x x x →+∞→+∞⎛=-= ⎝,⑴x →+∞,330→=(否则,与⑴矛盾),故9a =. 将9a =代入⑴,得1lim 32126x b b x b →+∞--⎛-===⇒=- ⎝.问题21 如何从已知极限求另一个极限?答 关键是从已知极限中找出所求极限的相关信息,请看下面的例题. 例 1.已知30sin 6()lim 0x x xf x x →+=,求206()lim x f x x →+. 【36】2. 已知130()lim 1e x x f x x x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,求10()lim 1xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【2e 】 解 【要求2()1()00()()lim 1lim 1f x x x xf x x x f x f x x x →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,关键是验证0()lim0x f x x→=,并求20()lim x f x x→】 由011()1()ln 1lim ln 1300()lim 1lime e e x f x f x x x xx x x x x x f x x x →⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫++=== ⎪⎝⎭,得 01()lim ln 13x f x x x x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,由此得 0()limln 10x f x x x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,0()lim 0x f x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0()lim 0x f x x →=, 并由2000()1()()lim ln 1lim lim 13x x x f x x f x f x x x x x x x →→→+⎛⎫⎛⎫++==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得20()lim 2x f x x →=, 故()1()200()()lim 1lim 1e f x x x x f x x x f x f x x x →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.问题22 何谓无穷小比较?怎样进行无穷小比较?答 所谓无穷小比较就是比较无穷小趋于零的速度的快慢,进行无穷小比较,关键是求它们比值的极限()lim()x a x x αβ→:设βα,是在自变量的同一变化过程中的两个无穷小, ⑴若lim0βα=,则称β是比α高阶的无穷小,记作()o βα=; ⑵若limβα=∞,则称β是比α低阶的无穷小; ⑶若lim0c βα=≠,则称β是与α同阶的无穷小; ⑷若lim1βα=,则称β与α是等价的无穷小,记作~βα; ⑸若lim0k c βα=≠则称β是α的k 阶无穷小. 在比较多个无穷小的阶时⑴将它们逐个与基本无穷小比较;⑵若x a →时,()x α是基本无穷小x a -的k 阶无穷小,则()x α'是x a -的1k -阶无穷小,故无穷小阶的比较可以转化为它们的导数的阶的比较.例1.设0x →时,2e (1)x ax bx -++是比2x 高阶的无穷小,求常数,a b 【1,12a b ==】 2.设0x →时,tan e e xx-与nx 是同阶无穷小,则n = . 【3】3.试确定常数a ,b ,c 的值,使得23(1)1()x e bx cx ax o x ++=++,其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.三、连续性问题23 如何判断函数的连续性?答 首先要理解函数在一点连续和在一个区间上连续的定义:函数()f x 在点0x 连续00000lim ()()()()()x x f x f x f x f x f x -+→⇔=⇔==,函数在一个区间上连续是指它在这个区间上每一点都连续(在区间端点指单側连续), 由于初等函数在其定义区间上连续,重点是判断分段函数分段点的连续性.例 设21,1,(), 1.ax x f x x x b x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩确定,,a b 使()f x 在其定义域内连续. 解 1,()1x f x a x ≤=+连续,21()x f x x x b >=++,连续,要使()f x 在其定义域内连续,只要()f x 在1x =-左连续和在1x =右连续,()f x 在1x =-左连续1lim ()(1)x f x f -→-⇔=-⇔1b a =-,()f x 在1x =右连续1lim ()(1)x f x f +→⇔=⇔21b a +=+, 故1,0a b ==.问题24 如何判断间断点类型? 答 间断点分类标准是:间断点0x 处的左、右极限是否都存在,若函数在间断点0x 处的左、右极限都存在,则称0x 为第一类间断点(可去间断点、跳跃间断点),否则称0x 为第二类间断点(无穷间断点、振荡间断点等).要判断间断点类型,关键是求出间断点处的左右极限. 例1.求tan()4()(1)xx f x x π-=+在(0,2)π内的间断点并判断其类型.2.设1111(),[,1)s i n (1)2f x x x x x πππ=+-∈-,补充定义(1)f ,使()f x 在1[,1]2上连续.解 111()sin (1)f x x x x πππ=+--在1[,1)2x ∈上连续,要使()f x 在1[,1]2上连续,只要()f x 在1x =左连续,即1lim ()(1)x f x f -→=,故 11111(1)lim ()lim[]sin (1)x x f f x x x x πππ--→→==+--111(1)sin lim (1)(1)sin x x x t x x x πππππ-→--=+=-- 0011sin (1)11sin lim lim sin (1)sin t t t t t t t t t t ππππππππππ++→→---=+=+- 20011sin 11cos 1lim lim 2t t t t t t t ππππππππππππ++→→--=+=+=.问题25 如何求曲线的渐近线?答 曲线的渐近线有三种:水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线,可按如下次序求出:水平、垂直、斜渐近线. 求法如下:设曲线C 的方程为()y f x =.⑴若lim ()x f x c →∞=(lim ()x f x c →+∞=,lim ()x f x c →-∞=),则y c =是曲线C 的水平渐近线;⑵若lim ()x cf x →=∞(lim ()x cf x +→=∞,lim ()x cf x -→=∞),则x c =是曲线C 的垂直渐近线(x c =为()y f x =的无穷间断点或者是定义域的端点);⑶若()limx f x a x→∞=,lim[()]x f x ax b →∞-=(单側极限也可以),则y ax b =+是曲线C 的斜渐近线.注意 在同一过程中,有水平渐近线就没有斜渐近线. 例1.曲线32)y=的斜渐近线方程为 . 【32y x =+】2.曲线21e x y x =的渐近线方程为 . 【0x =;y x =】 问题26 如何处理含参数的极限(极限定义的函数)? 答 处理极限定义的函数(含参数的极限),通常是先求出极限(此极限通常与参数的符号、大小有关,要对参数进行讨论),化为一般的函数,读者应通过例题掌握含参数极限的求法.例1.求1e ()lim e nxnxn x f x x →∞-=+的间断点并指出其类型. 【0,x =第二类】2.讨论ln(e )()lim(0)n n n x f x x n→∞+=>的连续性. 【0x >连续】3.设()n f x =,求()f x .问题27 如何利用极限的保号性研究函数的局部性态?答 关键是利用极限的保号性:若0lim ()()0x x f x A →=><,则在某0()U x内()()0f x ><,得到一个不等式,再结合其它知识,得到函数的局部性态.例1.设2()()lim1()x a f x f a x a →-=--,则()f x 在x a =( ).(A )可导,且()0f a '≠ (B )取极大值 (C )取极小值 (D )不可导 【B 】2.设()f x 在(0)U 内连续,且0()(0)0,lim21cos x f x f x→==-,则()f x 在0x =( ). (A )可导,且(0)0f '≠ (B )取极大值 (C )取极小值 (D )不可导 【C 】问题28 叙述闭区间上连续函数的性质.答 闭区间上连续函数的性质是微积分理论的重要组成部分,它们是证明微分中值定理和积分中值定理的基础. 叙述如下:定理1(有界性定理)如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则它在[]b a ,上有界.定理2(最大值和最小值定理)如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,,则它在[]b a ,上有最大值和最小值.定理3(零点定理)如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,且()()0f a f b ⋅<,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使0)(=ξf .定理4(介值定理)如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,且()()f a f b ≠,则f 在[]b a ,上必取得介于(),()f a f b 之间的任何一个值.推论 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则f 在[]b a ,上必取得介于它的最大值和最小值之间的任何一个值.。

神奇的矩阵

神奇的矩阵

——作者 2013 年 9 月于哈尔滨
3
绪论
学过线性代数的人都感觉到,线性代数带来的困惑实在太多了:对于线性代数,无论你 从行列式入手还是直接从矩阵入手,从一开始就充斥着莫名其妙。比如说,在全国一般工科 院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材(现在到了第四版) ,一上来就介绍逆序数这个 “前无古人,后无来者”的古怪概念,然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义,接着 是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上, 再把那一列减过 来,折腾得那叫一个热闹,可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的 学生到这里就有点犯晕:连这是个什么东西都模模糊糊的,就开始钻火圈表演了,这未免太 “无厘头”了吧!于是开始有人逃课,更多的人开始抄作业。这下就中招了,因为其后的发展 可以用一句峰回路转来形容, 紧跟着这个无厘头的行列式的, 是一个同样无厘头但是伟大的 无以复加的家伙的出场——矩阵来了!多年之后,我才明白,当老师犯傻似地用中括号把一 堆傻了吧叽的数括起来,并且不紧不慢地说:“这个东西叫做矩阵”的时候,我的数学生涯掀 开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕!自那以后,在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东 西里,矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说,矩阵老大的 不请自来每每搞得我灰头土脸,头破血流。 要想提高自己的专业水平,你肯定深感数学能力的重要。随便打开一篇专著或论文,满 纸的微分方程、矩阵扑面而来。竭力迎头而上,每每被打得灰头土脸、晕头转向。我天生就 不是搞数学的?我的智力有问题吗? 太失望了,太伤自尊了。转头看看周围,莫不雷同。大多的工程师们靠经验来工作,经 验靠时间或试验来积累。数学应用的层次最多就是高中水平。也有硕士博士级的牛人,但也 少见把数学工具在工作中应用的得心应手、手到擒来的。 数学工具在科技实践中缺失的严重,导致我们的科技创新能力的严重缺失。普遍现象, 绝对的。返回来想一想,我的智力应该没问题,重点大学都毕业了,能有多严重的问题?所 有的工程师们、 大学毕业生们的智力也没问题。 问题是大家没把数学学好, 没有真正掌握它。 为啥没有在四年的大学阶段学好《线代》呢?要知道,学生是通过高考百里挑一录取的,智 力应是足够正常的。事实上,我并不是特例。一般工科学生初学线性代数,通常都会感到困 难。这种情形在国内外皆然。 我认为, 这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。 上述这些涉及到“如何能”、 “怎 么会”的问题,仅仅通过纯粹的数学证明来回答,是不能令提问者满意的。比如,如果你通 过一般的证明方证了矩阵分块运算确实可行, 那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。 他 们真正的困惑是: 矩阵分块运算为什么竟然是可行的?究竟只是凑巧, 还是说这是由矩阵这 种对象的某种本质所必然决定的?如果是后者, 那么矩阵的这些本质是什么?只要对上述那 些问题稍加考虑,我们就会发现,所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像 我们的教科书那样,凡事用数学证明,最后培养出来的学生,只能熟练地使用工具,却欠缺 真正意义上的理解。 自从 1930 年代法国布尔巴基学派兴起以来,数学的公理化、系统性描述已经获得巨大 的成功, 这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。 然而数学公理化的一个备受争议 的副作用, 就是一般数学教育中直觉性的丧失。 数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的, 因此毫不犹豫地牺牲掉前者。 然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑, 我们不认为直 觉性与抽象性一定相互矛盾,特别是在数学教育中和数学教材中,帮助学生建立直觉,有助 于它们理解那些抽象的概念,进而理解数学的本质。反之,如果一味注重形式上的严格性, 学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样,变成枯燥的规则的奴隶。
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▲利用行列式性质和范德蒙德行列式.
a b ⋯ b b a ⋯ b 9.计算 D n ≪ .【 [ a ( n 1) b]( a b) n 1 】 ⋮ ⋮ ⋮ b b ⋯ a
▲各行元素之和相等,各列加到第一列. 10.设 A ≪( aij ) 为 n 阶矩阵,其中 aij ≪i j ,求 A 【 A ≪( 1)
▲先计算左端四阶行列式,再解方程.
x 1 1 2 x 3.设 f ( x ) ≪ 2 0 1 x
2 4 2 4 ,证明 f ℤ ( x ) ≪0 有小于 1 的正根. 1 2 x x 3 x 6
▲先验证 f (0) ≪ f (1) ,再用罗尔定理.
1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 4 4.计算行列式 D ≪ .【 x 】 1 x 1 1 1 x 1 1 1 1 解 【行和相等,首先将第 2、3、4 列加到第 1 列】 1 1 1 1 1 x 1 x x 1 1 c1 c2 c3 c4 x 1 1 1 x 1
D1 ≪1 a , D2 ≪ 1 a a2 ,
D3 ≪(1 a ) D2 aD1 ≪1 a a 2 a 3 , D4 ≪(1 a) D3 aD2 ≪ 1 a a2 a3 a4 , D5 ≪(1 a) D4 aD3 ≪1 a a2 a3 a4 a5 .
公式 2
关于副对角线的上(下)三角形行列式
*
*
*
a1
公式 3
范德蒙德行列式
1 x1 ⋮
1 x2 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n 1 n

1ℂ j ⊲i ℂn

( xi x j ) .
x
n 1 1
x
n 1 2
⋯ x
▲计算行列式时,根据行列式的特点(例如行和相等、爪形、可化为爪形、
三对角等) ,采用适当的变形方法,可以简化运算.

2 1 0½ apple ¼ 6.设 A ≪apple 1 2 0 ¼,矩阵 B 满足 ABA* ≪2 BA * E ,则 B ≪ apple ¼ Š0 0 1 ¾ 解
n 1
(n 1)2n 2 】
a b 11. D ≪ c
b a d
c d a
d c 2 2 2 2 2 .【 ( a b c d ) 】 b
1 a a 0 1 1 a a 12.计算 D ≪ 0 1 1 a 0 0 0 0 1 0
0 0 a
0 0 0 .【 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 】
1 a a 1 1 a
解 【这是一个三对角行列式,可以用下面三种方法计算】
(方法一)按第一行展开(这是计算三对角行列式的基本方法)
D ≪D5 ≪(1 a) A (1 a) D4 aD3 11 aA 12 ≪
一般地,有递推公式 Dn ≪(1 a) Dn 1 aDn 2 ,
. 【
5.设 A 为 3 阶方阵,且 A ≪2 ,则 ( 2 A) 1 A* ≪
27 】 16

1 1 1 * (2 A) 1 A* ≪ A 1 A* ≪ A A* 2 2 A 3 * 3 3 2 27 A ≪( ) 3 A* ≪( ) 3 A ≪ 4 4 4 16 1 9
问题 4 行列式按一行(列)展开公式 答
A ≪ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ⋯ ain Ain (按第 i 行展开)
A ≪a1 j A1 j a2 j A2 j ⋯ a nj A nj (按第 j 列展开)
▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零,即
ai 1 A j 1 ai 2 Aj 2 ⋯ ain A jn ≪0 (i j )
T
定理 2 设 A 为 n 阶方阵,则下列命题等价:
⑴ A ≪0 ( A 奇异) ; ⑵ A 不可逆; ⑶ r (A ) ⊲ n ; ⑷0 是
A 的一个特征值;
⑸ A 的行(列)向量组线性相关; ⑹ Ax ≪0 有非零解; ⑺ Ax ≪b 有无穷多解或者无解.
问题 2
余子式、代数余子式
答 余子式、代数余子式的定义见教材,由定义知,代数余子式 Aij 与第 i 行、第 列的元素的取值无关.
常用变形方法 ⑴把某一行(列)的倍数加到其余各行(列) ; ⑵把其余各行(列)的倍数加到某一行(列) ; ⑶把上一行(列)的倍数加到下一行(列).
例题
2 2½ 3 apple ¼ 1.设方阵 A ≪apple ,且 A ℓ E ≪0 ,求 ℓ 的值.【 ℓ 1 ≪ℓ 2 ≪ 1, ℓ 3 ≪ 1】 k 1 k ¼ apple 4 2 3¼ Š ¾
0 d1 .【 ( a1 a2 b1b2 )( c1c2 d1d 2 ) 】 0 c2
▲特点:除对角元素外,各列元素相同,只要将第 2、3、4 行减去第 1 行,就化为爪形
a1 0 7.计算 D ≪ b2 0
▲多零,按第一行展开.
1 1 1 1 2 3 4 5 8.计算 D ≪ .【 4】 4 9 16 25 16 27 64 125
(方法二)化为三角形行列式,为此,将行列式拆分成两个行列式之和:
1 a 0 0 0 a a 0 1 1 a a 0 0 0 1 a a D ≪D5 ≪ 0 1 1 a a 0 0 1 1 a 0 0 1 1 a a 0 0 1 0 0 0 1 1 a 0 0 0 1 0 ≪0 0 0
0 0 a 1 a 1
0 0 0 a 1 a
a 1 0 0 0
0 0 0 a 0 0 1 a 0 0 1 a 0 0 1
a a 0 0 0 0 1 a a 0 0 0 1 1 a a 0 0 0 1 1 a a 0 0 0 1 1 a
≪1 aD4 ≪1 a(1 aD3 ) ≪1 a a 2 (1 aD2 ) ≪1 a a 2 a 3 a 4 a 5 . 1 a 0 0 0 0 1 a a 0 0 D ≪D5 ≪ 0 1 1 a a 0 ≪D4 ( a )( 1)5 1 a 4 0 0 1 1 a a a 0 0 1 1 a
(方法三)根据行和特点,将第二、三、四、五列都加到第一列,再按第一列展开, 得
问题 6 如何计算抽象行列式? 答 计算抽象行列式,除了掌握行列式的性质,还必须熟记关于矩阵行列式的结论:
⑴若 A 为 n 阶矩阵,则 kA ≪k n A . ⑵若 A 为 n 阶矩阵,则 A T ≪ A , A* ≪ A ⑶若 A 为 n 阶可逆矩阵,则 A 1 ≪ A
定理 1 设 A 为 n 阶方阵,则下列命题等价:
⑴ A 0 ( A 非奇异) ; ⑵ A 可逆; ⑶存在方阵 B ,使得 AB ≪E ; ⑷ r (A ) ≪n ( A 满秩) ; ⑸ A 的特征值全不为零; ⑹ A 的行(列)向量组线性无关; ⑺ Ax ≪0 只有零解; ⑻ Ax ≪b 有惟一解; ⑼ A A 为正定矩阵.
1 0 0 a4
a3 0 a2
,其中 a 2 a 3 a 4 0 . 【 a 2 a3 a 4 (a1
1 1 1 )】 a2 a3 a4
▲爪形行列式,将第 2、3、4 列的适当倍数加到第 1 列,化为上三角.
a1 1
6.计算 D ≪
a3
a4
a1 a1 a1
0 c1 0 d2
a2 2 a3 a4 a a a .【 4!(1 a1 2 3 4 ) 】 a2 a3 3 a4 2 3 4 a2 a3 a4 4 b1 0 a2 0

↦ 1, ↦ 1 2↦ 2 ,↦ 1 2↦ 2 3↦ 3 ≪↦ 1 , 2↦ 2 , 2↦ 2 3↦ 3
≪↦ ↦ 1 , 2↦ 2, 3 3 ≪6 ↦ 1 ,↦ 2 ,↦ 3 ≪12
3.设 ↦ 1, ↦ 2 ,↦ 3 都是 3 维列向量,记矩阵 , B ≪(↦ , A ≪(↦ ↦ ↦ ↦ ↦ 1 ,↦ 2 ,↦ 3) 1 ↦ 2 ↦ 3 ,↦ 1 2 2 4 3 ,↦ 1 3 2 9 3) 如果 A ≪1,那么 B ≪ .【 2 】
1 1 设D ≪ 1 1
0 1 1 2
1 2 0 3 , 求 A41 A42 A43 A44 ; M 41 M 42 M 43 M 44.【 1 ; 5 1 0 5 4
问题 3 行列式的性质 答 行列式的性质有
⑴行列互换,行列式不变; ⑵两行互换,行列式反号; ⑶一行的公因子可以提出来; ⑷两行成比例,行列式为零; ⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和; ⑹一行的倍数加到另一行,行列式不变. ▲行列式对行成立的性质,对列也成立.
▲求矩阵的特征值,先计算三阶行列式,再解方程.
x 2 x 1 x 2 x 3 2x 2 2x 1 2x 2 2x 3 2.求方程 ≪0 的根. 【 x ≪0, x ≪1 】 3 x 3 3x 2 4 x 5 3 x 5 4x 4 x 3 5x 7 4 x 3
, i ,↦ 3 ,↦ 2 ,↦ 1 ≪b ↕ ,↦ 3 ,↦ 2 ,↦ 1 ≪b a 故 2i , ↦ 2( a b) . 1, ↦ 2 ,↦ 3 ≪2 i , ↦ 1, ↦ 2, ↦ 3 ≪ 2.设 ↦ ,则 ↦ 1, ↦ 2 ,↦ 3 ≪2 1, ↦ 1 2↦ 2 ,↦ 1 2↦ 2 3↦ 3 ≪ .【 12 】
第二篇 线性代数
第一讲 行列式 考纲要求
1.了解行列式的定义,掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.
一、行列式的计算 问题 1 何谓行列式?行列式在线性代数中有哪些应用? 答 行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数,这个数从不同的角度反映了
方阵的性质. 行列式在线性代数中有广泛应用,从下面的定理可见一斑.
例题
1.设 ↦ 都是 4 维列向量,且 ↦ , ↕ i ,↦ , 1 ,↦ 2 ,↦ 3 , ↕, i 1 ,↦ 2 ,↦ 3 , ↕ ≪a 3 ,↦ 2 ,↦ 1 ≪b
2i , ↦ 1 ,↦ 2 ,↦ 3 ≪ 解
.【 2( a b) 】
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