结构力学-第4章静定梁拱
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4章 静定拱【圣才出品】
第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和无拉杆三铰拱的区别与联系二、三铰拱的计算 ★★★★★1．支座反力的计算（见表4-1-3）表4-1-3 支座反力的计算2．内力的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内力计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受力情况和内力计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受力情况和内力计算的区别①约束反力方面，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力），而梁在竖向荷载作用下不会产生水平反力（推力）；②内力分布方面，由于水平推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀；③内力分析方法方面，若只有竖向荷载时，梁只需进行简单的整体分析即可求解，而拱由于水平力的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受力情况和内力计算的异同①内力分析方法方面，拱与刚架的受力情况和内力计算的特点和所应用方法基本一致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应用平衡条件计算内力时，拱仍然取投2．在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受非竖向荷载的情况，可将非竖向荷载分解为水平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应用式（4-1）和（4-2），将水平反力加上非竖向荷载水平方向上的分量一起代入公式中进行求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ⎫⎪=⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F ϕϕϕϕ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=+⎪⎭3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作用下三铰拱的合理拱轴线形状。
结构力学 第四章 三铰拱
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 跨度 拱趾铰 拱轴线 拱（矢）高
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A ∑ M A = 0, VB l − M ABP = 0 H A
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 §4-3 压力线与合理拱轴
第四章 三铰拱
§4-1 概述 实例——拱桥 一、实例 拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承受轴向压力为主 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
第四章 三铰拱 [例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 三铰拱及其所受荷载如图所示 y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。 求支座反力，并绘制内力图。 解: (1) 反力计算
4 × 4 + 1× 8 ×12 0 VA = VA = 16 = 7kN ( ↑ ) 7kN
M ABP VB = l l 同跨度同荷载简支梁(代 同跨度同荷载简支梁( 的支座反力： 梁）的支座反力：
i i
P
q
C
f
B
l1
l − l1
HB VB
∑ Pa =
VA
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
结构力学-第四章-结构位移计算-2
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架
YA
C
XC
YC
B
YB
XB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
C
l 2 l 2
解:1)取整体为隔离体
P
F
x
0, X B P()
A
MA
l 2 l 2
B
YB
XB
YA
2)取右部分为隔离体 l M C 0, X B l YB 2 0, YB 2P() Fy 0, YC YB 0, YC YB 2P()
l
XB
B
YB
C
E
XB
P B
N D
YB
C
E
N EF
XA
A
l l
D
l
F
3)取BCE为隔离体
YA
解:1)取BCE为隔离体 Fx 0, X B 0
M
C
0, P l YB l N EF l 0,
0, N CD 6 P()
F 0, X 0 F 0, Y Y
1 ql 2
ql 2
2ql 2
q
A B QAB QBA M A 0 QBA 11ql / 4
F
Y
0 Q AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l l ql
2l q
4l
2l
l
l ql
1 ql 2
内力计算的关键在于: 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算./ 2 ql ql
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】
李廉锟《结构⼒学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】⼀、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和⽆拉杆三铰拱的区别与联系⼆、三铰拱的计算 ★★★★★1．⽀座反⼒的计算（见表4-1-3）表4-1-3 ⽀座反⼒的计算2．内⼒的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内⼒计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受⼒情况和内⼒计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受⼒情况和内⼒计算的区别①约束反⼒⽅⾯，拱在竖向荷载作⽤下会产⽣⽔平反⼒（推⼒），⽽梁在竖向荷载作⽤下不会产⽣⽔平反⼒（推⼒）；②内⼒分布⽅⾯，由于⽔平推⼒的存在，拱的弯矩常⽐跨度、荷载相同的梁的弯矩⼩得多，使得拱截⾯上的应⼒分布较为均匀；③内⼒分析⽅法⽅⾯，若只有竖向荷载时，梁只需进⾏简单的整体分析即可求解，⽽拱由于⽔平⼒的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的异同①内⼒分析⽅法⽅⾯，拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的特点和所应⽤⽅法基本⼀致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应⽤平衡条件计算内⼒时，拱仍然取投2．在⾮竖向荷载作⽤下怎样计算三铰拱的反⼒和内⼒？能否使⽤式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受⾮竖向荷载的情况，可将⾮竖向荷载分解为⽔平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应⽤式（4-1）和（4-2），将⽔平反⼒加上⾮竖向荷载⽔平⽅向上的分量⼀起代⼊公式中进⾏求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ??=??=?=cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F =-??=-?=+3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作⽤下三铰拱的合理拱轴线形状。
结构力学(拱结构)
2、计算各截面内力 截面1 ql
x1 2m
qlcos1
由式（4-4） （4-5）
方向； 3、注意左半拱截面的方向角为正，右半拱 1 M 1 M 10 H y1 7 2 1 22 6 1.75 1.5kN m 截面的方向角为负。 2 （4-3）
0 MC 5 8 4 4 H 6kN f 4
2、计算各截面内力
9
三铰拱的内力计算
4f (l x1 ) x1 2 l N1 4 4 M1 qlsin1 2 (16 2 ) 2 1.75m 1 6 sin1 16 6 cos1 dy Q1 0 tan1 6kN dx x 2m 1 1、计算原理仍然是截面法； 7 sin1 2m 4f 44 2 l 2 x1 2、拱轴线方程主要用于确定截面的位置及 2 0.75 16 2 。 l 16 16 7 cos1 其法线方向，从而确定截面上的剪力和轴力 0.8 7kN 1 3652，, sin1 0.6 , cos 1 y1
三铰拱的内力计算11三铰拱的内力计算3内力图绘制弯矩图绘制12弯矩图绘制等代梁弯矩图水平推力引起的弯矩图竖向荷载作用下拱结构的受力特点1三铰拱与对应的等代梁相比弯矩要小得多其原因是水平推力的存在所致
江苏大学本科生课程课件
江苏大学土木工程与力学学院
1
第四章 静定拱
4.1
概述
1、拱结构的定义 拱结构：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下，支座产生水平推力的结构。
VB0
1
N K VAsinK P sinK HcosK 1 (VA P )sinK HcosK 1
0 K
0 A
0 0 QK VA P1 VA P1
《结构力学二》平时作业-2020年华南理工大学网络教育
3、图示抛物线三铰拱的轴线方程为 ，试求截面K的内力。（第4章静定拱）
4、试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。（第5章静定平面桁架）
5、作图示结构的M图，并求链杆的轴力。（第5章静定平面桁架）
6、图示简支刚架支座B下沉b，试求C点水平位移。（第6章结构位移计算）
7、图示结构的支座B发生了水平位移 （向右）， （向下）， 。已知各杆的 ， 。试：（a）作M图；（b）求D点竖向位移及F点水平位移。（第7章力法）
《结构力学二》平时作业
2020年华南理工大学网络教育
1、试对图示平面体系进行机动分析。（第2章平面体系的机动分析）
刚片1与刚片2通过不共线三个铰相连，故为无多余约束的几何不变体系
1、试不计算反力而绘出梁的弯矩图。（第3章静定梁与静定刚架）
2、作图示结构的 图,并求a杆的轴力。q=20kN/m。（第3章静定梁与静定刚架）
8、用力法计算，并绘图示结构的M图。EI=常数。（第7章力法）
9、用力法计算图示结构，作其M图。EI=常数。（第7章力法）
10、用位移法计算图示结构，并作M图。EI=常数。（第8章位移法）
11、已知图示结构B点的转角 ，各杆EI=常数,作M图。P=8kN,q=12kN/m。（第8章位移法）
12、试用位移法计算刚架，绘制弯矩图。E=常数。（第8章位移法）
13、试用力矩分配法计算图示刚架，并绘制M图。E=常数。（第9章渐近法）
14、用力矩分配法计算并Байду номын сангаас图示结构M图。EI=常数。（第9章渐近法）
15、试作图示伸臂梁 影响线。（第11章影响线及其应用）
结构力学习题集4-静定位移
《结构力学习题集》4-静定位移(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--- 20 -第四章 静定结构位移计算一、是非题1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。
5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p21y 1y 2**ωω7、图示桁架各杆EA 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
A8、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
aa9、图示简支梁，当P 11=，P 20=时，1点的挠度为0.01653l EI /，2点挠度为0.0773l EI /。
当P 10=，P 21=时，则1点的挠度为0.0213l EI /。
（ ）l10、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式即可求出杆AC 的转角。
C1P11、图示梁AB 在所示荷载作用下的M 图面积为ql 33。
lAl /212、图示桁架结点C 水平位移不等于零。
2113、图示桁架中，结点C 与结点D 的竖向位移相等。
二、选择题1、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;;B.D.C.=1=12、图示结构A 截面转角（设顺时针为正）为：A.22Pa EI / ;B.-Pa EI 2/ ;C.542Pa EI /() ; 542Pa EI /() 。
aa3、图示刚架l a >>0 , B 点的水平位移是：A .不定，方向取决于a 的大小；B .向左；C .等于零；D .向右。
结构力学第四章(荷载作用下位移计算公式)
By
0l
MPM EI
ds
0 2
MPM EI
Rd
PR3
4EI
()
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MM Pds EI
FN FNP ds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
2x6 2
3
AC段
0 x 2
80x qx 2
1 x 3
D
2720 9EI
()
例题：计算D处竖向位移，B处角位移？（EI为常数）
解：1.构造虚设状态
x
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
DB段
0 x2
P 轴向
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
式中：
剪切 弯曲
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。
解：1.构造虚设状态
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
结构力学：第4章 静定结构影响线1
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
4、 结点荷载作用下梁的影响线
实际结构的移动荷载有时并不是直接作用在主梁上， 而是如下图所示作用在次梁上，再通过横梁将荷载 传递到主梁上，这就是间接荷载。
作截面Ⅰ-Ⅰ，分别由左部和右部隔离体的力矩平
衡方程 M5 0 得
FNa
3Fy11 Fy3
FP 1位于结点4以左 FP 1位于结点6以右
并注意到结点4、6间的影响线为线性变化，得
同样作截面Ⅰ-Ⅰ，分别由左部和右部隔离体的力
平衡方程 Fy 0 得
FNb
Fy11 Fy3
FP 1位于结点4以左 FP 1位于结点6以右
移动荷载作用于上或下弦时，影响线是有差异的
作截面Ⅱ-Ⅱ，分别由左部和右部隔离体取 Fy 0
FNc
2Fy11
2Fy3
FP 1位于结点6以左 FP 1位于结点8以右
同理，可作出移动荷载作用于下弦时的各内力
影响线。将会发现当移动荷载作用于上或下弦
时，FNa 、FNc 的影响线不变，但 FNb 的影响线略有 变化。
求右图中 M C 的影 响线
先将与 M C相应的联系撤除，即在C截面处插入一 个铰，并以一对大小等于M C 的力矩取代原有联系 中的作用力。如下图所示
然后使结构顺着 M C的 正方向发生一虚位移
列虚功方程为
1P MC ( ) 0
1P MC ( ) 0
MC
P
为 M C相应的广义位移
结构力学 4静定结构受力分析-刚架
P
Ph Ph a
P
h Ph a
集中力偶作用处无变化发生突变两直线平行集中力偶作用点弯矩无定义荷载不符注意这个铰该处支座反力沿着杆件轴线方向不产生弯矩铰上无弯矩集中力偶处弯矩有突变弯矩图正误判断作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件
静定结构受力分析
几何特性： 无多余联系的几何不变体系 几何特性： 静力特征： 仅由静力平衡条件可求全部反力、内力。 静力特征： 求解一般原则: 求解一般原则:从几何组成入手，按组成的相反 顺序进行逐步分析即可 本章内容： 静定梁；静定刚架 静定刚架； 三铰拱；静定 本章内容： 静定刚架 桁架；静定组合结构；静定结构总论 学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章是 学习中应注意的问题： 后面学习的基础，十分重要, 要熟练掌握！
几点说明 刚架内力仍然可以利用q、Q、M微分关系。 微分关系。 内力符号规定： 内力符号规定： N —— 拉力为正 Q —— 使杆段顺时针转动为正 M —— 绘在受拉一边 内力记号： 内力记号： NAB ——AB杆A端的轴力。 端的轴力。 杆 端的轴力 QAB——AB杆A端的剪力。 端的剪力。 杆 端的剪力 MAB ——AB杆A端的弯矩。 端的弯矩。 杆 端的弯矩
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处
M
集中力作用 力无
集中力偶作用点 无
判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。 判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。
P D ↓↓↓↓↓↓↓↓ P D q ↓↓↓↓↓↓↓↓
×
B
C
×
E （a）
弯矩 图与 荷载 不符
B
C
q
A
A （b）
E
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×
结构力学第4章 静定拱结构
一、工程中的拱结构轴线为曲线、仅在竖向荷载下能产生水平反力(推力)的结构称为拱。
图4-1所示为拱结构的工程实例。
图4-1工程中的拱结构二、拱式结构的特征及其应用1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
2、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。
（2）用料省、自重轻、跨度大。
（3）可用抗压性能强的砖石材料。
（4）构造复杂，施工费用高。
3、拱的种类：图4-2拱的种类4、拱各部分的名称：一、支座反力的计算C拱顶铰BA拱肋跨度拱趾铰(a) 等高三铰拱C高差hAB(b) 不等高三铰拱严格的来说，实体三铰拱支座反力的计算与一般三铰刚架结构反力计算相同。
本书介绍的是等代梁解法。
图4-4实体三铰拱第二节实体三铰拱的数解法图4-5等代粱ll 1l 2a 3b 3b 2b 1a 2a 1F P1F P2F P3F P1F P2F P3F A yF B yF A yF B yF B xF A x 00A CBAB C(b)(a )f0CH M F =HB A F F F ==x x 0Ay Ay F F =0ByBy FF =二、拱内截面内力的计算图4-6拱内截面内力1、拱的内力计算原理仍然是截面法。
2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
对于竖向荷载作用三铰拱，其内力计算有简捷公式。
(c)CB A00F B yF A yF P3F P2F P1B F B xAF A x F A yF B y(a )C F P3F P2F P1a 1a 2b 1b 2b 3a 3lϕK F A y F A xF P1KM K F NKF QKx KK ϕy KxyK K(b)yF MM H 0-=ϕϕsin cos H 0Q Q F F F -=ϕϕcos sin H 0Q N F F F --=A0AyFQ F 0M (b) 代梁受力F Ax =F H F Ayx A y k F y FxyϕM(a) 截面k 坐标方向力图4-7拱内截面内力需要指出的是，非竖向荷载作用不等高三铰拱等情形，上述公式是不适用的。
第4章：静定拱-结构力学课件
M FN
载及A 三三个x铰铰拱y的的位内f 置力有不关但，与B而荷 FH FH
FH且与拱轴l线1 的形状l有2x 关。
FAV
F1
FS
FAV 由于推力的l 存在，拱F的BV FAV0 弯矩比相应简支梁的弯矩要
FS0 M0
等小代。梁 F1 A
KC
F2
M=[FAV x– F1 (x-a1)] – FH y =M0 – FH y
F1
C
F2
结论：F1
A
f
B FBH三载铰及F拱 三H 的 个反 铰力 的只 位与 置荷 有
FAH
l1
FAV
等代梁
A
F1
l2 l
C
a1
b1
FAV0
a2
FBV
关关，。F与AV拱F轴1 线形状M无c0
F2
荷水载平与 推跨 力F度 与AV0一 矢定 高时 成， 反
B ∑Μ比。C=0
b2 FBV0 FH=1/ f ［ FAV l1 – F1 (l1- a1 )］
FBV=FBV0 FAV=FAV0 FAH=FBH =F H
MC0= FAV0 l1 – F1 (l1- a1 )
FH= MC0 / f
2.内力的计算：
基本法—截面法
注： 拱的内力正负号的规定：
剪力以绕隔离体顺时针转动为正；
轴力以压力为正；
弯矩以使拱的下侧受拉为正。
y F1 K C
F2
F1
分析：本题为F非N +d竖FN向
荷载，我们可由假定拱
圆
F轴进N 处行于受R无力弯分矩析状，态建入立手平，
衡方程求出合理拱轴线。
M=0 → dM=FQ=0 因此横截面只有轴力FN ,FN+dFN. ∑MO=0 → FNR-(FN +d FN )R=0 → d FN=0 → FN=常数。 沿s-s轴投影方程：2FN sin(d/2)-qRd =0, sin(d/2)=d/2
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
结构力学复习题
1、思路
三、多跨静定梁的计算
①计算次序与构造次序相反 ②计算方法：分层法（对结构进行几何组成分析，分清基本部 分和附属部分；先计算附属部分的反力和内力，再计算基本部 分的反力和内力。） ③计算关键：基本部分和附属部分之间的相互连接力（作用力 和反作用力），求出这些连接力后，各部分当作单跨静定梁来 计算。分段作内力图。拼接 2 、分析步骤 ① 几何组成分析：先作层次图、分清主次部分，从最上层 的附属部分开始计算； ② 分层法：将附属部分的支座反力反向指其基本部分，就 是加于基本部分的荷载，再计算基本部分；
静定刚架内力计算及内力图的绘制
1、内力正负的约定
剪力和轴力规定同梁；弯矩不分正负，画在受拉边 2、几点说明：
(1)在结点处有不同的杆端截面： 采用两个下标
3、作刚架内力图的步骤
（1）求支座反力 （2）采用截面法，先求出各控制截面（含杆端）内力，然后 利用杆端内力分别作各杆的内力图，各杆内力图合在一起就是 刚架的内力图。 （3）内力图的校核
三、二元体规则
在一个体系上增加一个二元体 或拆除一个二元体，不会改变 原有体系的几何构造性质
（1）一铰在无穷远处
三个刚片用两个实铰或在有限远处的虚铰与一个无限远处虚铰相 联结，
若形成虚铰的一对平行链杆与另两铰连线不平行几何不变体系； 若形成虚铰的一对平行链杆与另两铰连线平行几何瞬变体系 若形成虚铰的一对平行链杆与另两铰连线平行且三者等长几何常 变体系
③ 内力图：各单跨梁的内力图连在一起。
例1：作内力图
1、几何组成分析： 2、分层法： 将附属部分的 支座反力反向 指其基本部分， 就是加于基本 部分的荷载； 3、内力图：各 单跨梁的内力 图连在一起
（KN.m）
10KN
《结构力学》第四章静定拱
实例演示
通过实例演示内力图的 绘制过程，帮助读者掌
握绘制技巧。
04 静定拱的位移计算
位移计算基本概念
位移的定义
位移是指在外力作用下，结构物 某一点或某一截面位置的变化。
静定拱的位移
静定拱在荷载作用下的位移包括 拱顶竖向位移、拱脚水平位移和
转角位移等。
位移计算的意义
位移计算是结构力学中的重要内 容，对于评估结构的安全性、稳 定性和使用功能具有重要意义。
虚功原理在位移计算中的应用
虚功原理的基本概念
01
虚功原理是结构力学中的一个基本原理，它建立了外
力功与结构内部应变能之间的关系。
虚功原理在静定拱位移计算中的应用
02 通过构建静力可能位移和虚力状态，利用虚功原理可
以求解静定拱在各种荷载作用下的位移。
虚功原理的适用条件
03
虚功原理适用于线弹性结构，即结构在受力过程中满
解题思路
同样需要构建静力可能位移和虚力 状态，利用虚功原理求解位移。
解题步骤
详细列出解题步骤，并解释每一步 的意义和计算方法。
05 静定拱的稳定性分析
稳定性分析基本概念
稳定性
结构在受到外部扰动后，能够恢复原有平衡状态的能力。
临界荷载
使结构失去稳定或发生破坏的最小荷载。
稳定性分析
研究结构在荷载作用下是否会发生失稳或破坏，以及如何提高结 构的稳定性。
通过截取拱的任意截面，利用静 力平衡条件求解截面上的内力。
叠加法
将复杂的拱结构分解为若干简单结 构，分别计算内力后再进行叠加。
力法
通过引入多余未知力，建立力法方 程求解拱的内力。
典型例题解析
圆弧拱内力计算
01
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M
B
0 F AV 0 F BV
Fb
i
i
l
M
Fa
i
i
2 F N sin sin d 2
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
FH
方程的一般解为
y A cosh
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B 0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh
FH
x 1)
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
第四章
§4-1 概述
静定拱
§4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
§4-1 概述
拱：杆轴线为曲线在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。 常用的形式有 三铰拱—静定结构
水平反力指向内方称为推力
两铰拱—超静定结构
无铰拱—超静定结构
竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构或推力结构。
0 C
三铰拱的推力为
FH
M f
ql
2
8f
合理拱轴线方程为
y
M
0
4f l
2
x (l x )
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求图示对称三铰拱在上填料重量作用下的合理拱轴线。 荷载集度q=qc+γy，qc为拱顶处的荷载集度，γ为填料容重。
解：由图中所示的坐标系截面弯矩为
M M
解：由图a，荷载为非竖向荷载。 思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。
M
O
0
FN ( FN d FN ) 0
可得 d F N 0 合理拱轴线方程为
FN q
FN =常数
d 2 d 2 qd 0
沿s-s 写出投影方程为 圆弧线 因 d 极小
A
l
F
M
0
x
0
F AH F BH F H
取左半拱为隔离体
C
FH
F AV l1 F1 ( l1 a 1 ) f
可 得 相应简支梁
F AV F AV
0
F BV F BV
0
FH
M f
0 C
三铰拱的反力只 与荷载及三个铰的位 置有关，与拱轴线形 状无关； 推力FH 与拱高 f 成反比。
0
FN FS sin FH cos
0
压力为的 位置有关，与拱轴线形状有关；
§4-2 三铰拱的计算
例4-1 试作图a所示三铰拱的内力图。拱轴线为抛物线，方程 为 y 4l f x ( l x )
2
解：求支座反力，结果如图a。
求内力，将拱沿水平方向分为 8等分，如图a。
0
FH ( f y )
M
0
由M=0可得
( f y)
FH
相应简支梁的弯矩方程无法写出，对上式两边求导得 当q向下为正时 将已知条件代入得
d M dx
2 2 0
y
1 d M FH dx
2
2
0
q
可得
qc FH
y
q FH
y
FH
y
（二阶常系数线性非齐次微分方程）
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
计算图a所示三铰拱K截面的内力 取隔离体如图b
M [ F AV x F1 ( x a 1 )] F H y
相应简支梁K截面的弯矩为M 0 相应简支梁K截面的剪力为FS0 相应简支梁K截面的轴力为FN0
M M FH y
0
FS FS cos FH sin
0
（b）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
合理拱轴线：拱上所有截面的弯矩都等于0（剪力也为0），只有轴力
时的拱轴线。
由 M M 0 FH y 0 得 y
M
0
FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为
M
0
1 2
qx ( l x )
§4-2 三铰拱的计算
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（b）。 由平衡条件可得 （a）
F AV F
0 AV
, F BV F
0 BV
, F R
M f
0 C
M h
0 C
F H F R cos
0
F AV F AV F H tan F BV F BV F H tan