朱慈勉结构力学-静定结构-三铰拱-桁架
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H 在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
例3-7 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q
y
C
q
A l/2
f
Bx
A
ql x
l/2
2
[解] 由式 yx M x
H
先列出简支梁的弯矩方程
M x q xl x
2
注意
B
ql 2
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
3-3-2 三铰拱的压力线
1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、FQK、
FNK。这三个内力分量可用它的合力FR代替。将三铰拱每一截面上合力 作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。
3-3-2 三铰拱的压力线
K
压力线的概念在砖石和混凝土拱的设计中有重要意义。由于 这些材料的抗拉强度较抗压强度低得多，通常要求截面上不出现 拉应力。因此，压力线不应超出截面的核心区。若拱的截面为矩 形，由材料力学算得核心区高度为截面高度的1/3, 故压力线不应 超出截面三等分的中段范围。
拱轴线方程：
y
4f l2
x(l x)
解：求支座反力。
FyA Fy0A 28kN,
FyB Fy0B 20kN
M
0 C
20kN
8m
16kN
4m
96kN m
FH
M
0 C
f
96 4
24kN
②求截面6的内力：
x6 12m 6 2634
y6
4f l2
x6(l x6 ) 3m
tan6
三、拱的种类：
三铰拱
带拉杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
两铰拱
无铰拱
吊杆
拉杆
花篮螺丝
带吊杆的三铰拱
第4章
五、拱与曲梁的区别
3-3-1三铰拱的内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。 二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。 三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。
拱轴线方程：
y
4f l2
x(l x)
解：求支座反力。
FyA Fy0A 28kN,
FyB Fy0B 20kN
M
0 C
20kN
8m
16kN
4m
96kN m
M图(kN m)
FH
M
0 C
f
96 4
24kN
绘制内力图： FQ图(kN )
FN图(kN )
y
4f l2
x(l x)
解：求支座反力。
FyA Fy0A 28kN,
FyB Fy0B 20kN
M
0 C
20kN
8m
16kN
4m
96kN m
FH
M
0 C
f
96 4
24kN
①求截面2的内力：
x2 4m 2 2634
y2
4f l2
x2(l x2 ) 3m
tan2
dy dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x x2
借助于压力线的概念，可以用图解的方法求出拱任一截面上 的内力。
从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对三铰拱而言，在竖向荷载作用下，任意截面上弯矩计算式为： M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项 与拱轴形状有关。令 M M Hy 0
yx M x
3-3-1 三铰拱的内力计算
Fx 0, FxA FxB FH
FyA Fy0A FyB Fy0B
MC 0,
M
0 C
FH
f
0
FH
M
0 C
f
(推力计算公式 )
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。
⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁
f 8f
*合理轴线对应的是 一组固 定荷载（M0与荷载有关）；
所以拱的合理轴线方程为：
*合理轴线是一组具有不同高
yx
q 2
xl
x
8f ql 2
4f l2
xl x
跨比的抛物线(拱高 f 未定)。
纯受压状态的合力拱轴是一种理想状态，这一 状态只可能对应一种确定不变化的荷载（恒载 或静力荷载）才做得到。实际设计中，合理拱 轴是针对主要荷载，并使在各类荷载的不利组 合下拱的弯矩最小。
反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比)
愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。
FH
M
0 C
f
三铰拱的内力计算：
MK
M
0 K
FH
yK
相当梁
注：作拱结构的内力图时，为方便起见，可以取拱的水平投影 线为基线进行绘制。
MK
M
0 K
FH
yK
FH
M
0 C
f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。
拱轴线方程：
第4章
3-3 三铰拱
第4章
3-3 三铰拱 一、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构，拱式结构也常称为推力结构。
二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。
第4章
4f l2
(l
2x2 )
0.5
M2 80kN m 24kN 3m 8kN m
FQ2 (FyA qx2 )cos2 FH sin2 0kN
FN 2 (FyA qx2 ) sin2 FH cos2
26.8kN
MK
M
0 K
FH
yK
FH
M
0 C
f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。
dy dx
x x6
4f l2
(l
2x6 )
0.5
M6
M
0 6
FH
y6
8kN
m
FQL6 (FP FyB )cos6 FH sin6 7.15kN
FQR6 FyB cos6 FH sin6 7.15kN
FNL6 (FP FyB )sin6 FH cos6 23.24kN
FNR6 FyB sin6 FH cos6 30.40kN
例3-8 求图示三铰拱的合理拱轴线。
填土的容重为：γ。
竖向分布荷载：q( x) qC y
解：
d2M0 dx 2
q
d2y dx 2
1 FH
d2M dx 2
0
q( x) FH
本例y轴向下，所以：
d2y dx 2
q( x ) FH
d2y dx 2
1 FH
qC
y
即：
d2y dx 2
FH
y qC FH
解得： y Acosh
x B sinh
FH
FH
x
qC
确定常数：
当x 0时, y
0, 得:
最后得合理拱轴线：
A
qC
y
qC
cosh
当x
0时,
dy dx
0,得:
B0
FH
x
1
y M0 FH
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
例3-7 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q
y
C
q
A l/2
f
Bx
A
ql x
l/2
2
[解] 由式 yx M x
H
先列出简支梁的弯矩方程
M x q xl x
2
注意
B
ql 2
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
3-3-2 三铰拱的压力线
1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、FQK、
FNK。这三个内力分量可用它的合力FR代替。将三铰拱每一截面上合力 作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。
3-3-2 三铰拱的压力线
K
压力线的概念在砖石和混凝土拱的设计中有重要意义。由于 这些材料的抗拉强度较抗压强度低得多，通常要求截面上不出现 拉应力。因此，压力线不应超出截面的核心区。若拱的截面为矩 形，由材料力学算得核心区高度为截面高度的1/3, 故压力线不应 超出截面三等分的中段范围。
拱轴线方程：
y
4f l2
x(l x)
解：求支座反力。
FyA Fy0A 28kN,
FyB Fy0B 20kN
M
0 C
20kN
8m
16kN
4m
96kN m
FH
M
0 C
f
96 4
24kN
②求截面6的内力：
x6 12m 6 2634
y6
4f l2
x6(l x6 ) 3m
tan6
三、拱的种类：
三铰拱
带拉杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
两铰拱
无铰拱
吊杆
拉杆
花篮螺丝
带吊杆的三铰拱
第4章
五、拱与曲梁的区别
3-3-1三铰拱的内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。 二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。 三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。
拱轴线方程：
y
4f l2
x(l x)
解：求支座反力。
FyA Fy0A 28kN,
FyB Fy0B 20kN
M
0 C
20kN
8m
16kN
4m
96kN m
M图(kN m)
FH
M
0 C
f
96 4
24kN
绘制内力图： FQ图(kN )
FN图(kN )
y
4f l2
x(l x)
解：求支座反力。
FyA Fy0A 28kN,
FyB Fy0B 20kN
M
0 C
20kN
8m
16kN
4m
96kN m
FH
M
0 C
f
96 4
24kN
①求截面2的内力：
x2 4m 2 2634
y2
4f l2
x2(l x2 ) 3m
tan2
dy dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x x2
借助于压力线的概念，可以用图解的方法求出拱任一截面上 的内力。
从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对三铰拱而言，在竖向荷载作用下，任意截面上弯矩计算式为： M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项 与拱轴形状有关。令 M M Hy 0
yx M x
3-3-1 三铰拱的内力计算
Fx 0, FxA FxB FH
FyA Fy0A FyB Fy0B
MC 0,
M
0 C
FH
f
0
FH
M
0 C
f
(推力计算公式 )
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。
⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁
f 8f
*合理轴线对应的是 一组固 定荷载（M0与荷载有关）；
所以拱的合理轴线方程为：
*合理轴线是一组具有不同高
yx
q 2
xl
x
8f ql 2
4f l2
xl x
跨比的抛物线(拱高 f 未定)。
纯受压状态的合力拱轴是一种理想状态，这一 状态只可能对应一种确定不变化的荷载（恒载 或静力荷载）才做得到。实际设计中，合理拱 轴是针对主要荷载，并使在各类荷载的不利组 合下拱的弯矩最小。
反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比)
愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。
FH
M
0 C
f
三铰拱的内力计算：
MK
M
0 K
FH
yK
相当梁
注：作拱结构的内力图时，为方便起见，可以取拱的水平投影 线为基线进行绘制。
MK
M
0 K
FH
yK
FH
M
0 C
f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。
拱轴线方程：
第4章
3-3 三铰拱
第4章
3-3 三铰拱 一、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构，拱式结构也常称为推力结构。
二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。
第4章
4f l2
(l
2x2 )
0.5
M2 80kN m 24kN 3m 8kN m
FQ2 (FyA qx2 )cos2 FH sin2 0kN
FN 2 (FyA qx2 ) sin2 FH cos2
26.8kN
MK
M
0 K
FH
yK
FH
M
0 C
f
例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。
dy dx
x x6
4f l2
(l
2x6 )
0.5
M6
M
0 6
FH
y6
8kN
m
FQL6 (FP FyB )cos6 FH sin6 7.15kN
FQR6 FyB cos6 FH sin6 7.15kN
FNL6 (FP FyB )sin6 FH cos6 23.24kN
FNR6 FyB sin6 FH cos6 30.40kN
例3-8 求图示三铰拱的合理拱轴线。
填土的容重为：γ。
竖向分布荷载：q( x) qC y
解：
d2M0 dx 2
q
d2y dx 2
1 FH
d2M dx 2
0
q( x) FH
本例y轴向下，所以：
d2y dx 2
q( x ) FH
d2y dx 2
1 FH
qC
y
即：
d2y dx 2
FH
y qC FH
解得： y Acosh
x B sinh
FH
FH
x
qC
确定常数：
当x 0时, y
0, 得:
最后得合理拱轴线：
A
qC
y
qC
cosh
当x
0时,
dy dx
0,得:
B0
FH
x
1
y M0 FH
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。