参数估计方法
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
参数估计
参数估计
参数估计就是用样本统计量来推算总体参 数，有点估计和区间估计两种方法。 一、参数估计的理论基础 按正态分布理论对参数进行估计。 正态分布的主要特征有： 1.以总体平均数为中心两侧呈对称分布，即 1.以总体平均数为中心两侧呈对称分布，即 样本平均数大于或小于总体平均数的概率完全相 等，就是说样本平均数的正离差与负离差出现的 可能性完全相等。
2.样本平均数越接近总体平均数，其出现的 2.样本平均数越接近总体平均数，其出现的 可能性越大；反之样本平均数越远离总体平均数， 其出现的可能性越小。这种可能性数学上称为概 率F(t),也就是可靠性。与概率对应的数值称为 ),也就是可靠性。与概率对应的数值称为 概率度，即抽样误差扩大的倍数，用字母t表示。 概率F(t)与概率度t 的对应函数关系如图4-2所 的对应函数关系如图4 示。
30
f x
25 20
( )
15
10
5
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-3t
x 3 x 2
-2t
x
-1t
0 68.27% 95.45% 99.73% F(t)
X
x + x + 2
1t
2t
x + 3
3t
图4 - 2
正态分布概率图
图4-2显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1μ的 显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1 概率为0.6827,不超过2 的概率为0.9545,不超过3 概率为0.6827,不超过2μ的概率为0.9545,不超过3μ的概率为 0.9973。即： 0.9973。即： 当t =1时，F(t) = 0.6827 =1时， 当t =2时，F(t) = 0.9545 =2时， 当t =3时，F(t) = 0.9973 =3时， 概率度t与概率F(t)的对应关系是：概率F(t)越大，则概率 度t值越大，估计的可靠性越高，样本统计量与总体参数之间正 负离差的变动范围也越大。对于t每取一个值，概率保证程度F(t) 有一个唯一确定的值与之对应。因此人们制定正态分布概率表 有一个唯一确定的值与之对应。因此人们制定正态分布概率表 （见书后附页）供大家查找。
参数估计算法
参数估计算法
参数估计算法是统计学中的一种方法，用于根据已有数据来估计未知参数的值。
它在各种实际应用中都有广泛的应用，如金融、医疗等领域。
参数估计算法的基本思想是通过样本数据，推断总体的某些特征，如均值、方差、比例等。
在参数估计中，我们通常会使用点估计和区间估计两种方法。
点估计是从样本数据中得到一个点，作为总体参数的估计值。
点估计的方法有很多种，如最大似然估计、最小二乘估计、矩估计等。
其中，最大似然估计是最常用的一种方法，它是利用样本数据寻找最可能出现的总体参数值。
最小二乘估计则是通过最小化样本数据与总体数据之间的差距，来求得总体参数的估计值。
矩估计则是利用样本数据的矩来估计总体的矩。
区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一个范围。
区间估计的方法有置信区间和最大似然区间等。
其中，置信区间是指总体参数落在某个区间内的概率为一定值，这个概率称为置信水平。
最大似然区间则是指总体参数落在某个区间内的概率最大。
参数估计算法的应用非常广泛。
在金融领域，我们可以用参数估计算法来估计股票收益率、波动率等；在医疗领域，我们可以用参数估计算法来估计疾病发病率、死亡率等。
在实际应用中，我们通常
会结合点估计和区间估计两种方法，来获得更加准确的估计结果。
参数估计算法是一种非常有效的统计学方法，它可以帮助我们从样本数据中推断总体的某些特征。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的估计方法，并结合点估计和区间估计两种方法，来获得更加准确的估计结果。
经典参数估计方法(3种方法)
经典参数估计方法：普通最小二乘（OLS）、最大似然（ML）和矩估计（MM）普通最小二乘估计（Ordinary least squares，OLS）1801年，意大利天文学家朱赛普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最大似然估计（Maximum likelihood，ML）最大似然法，也称最大或然法、极大似然法，最早由高斯提出，后由英国遗传及统计学家费歇于1912年重新提出，并证明了该方法的一些性质，名称“最大似然估计”也是费歇给出的。
该方法是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大似然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体的内在机理。
计量经济学的发展，更多地是以最大似然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，最大似然法才是成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
从总体中经过n次随机抽取得到的样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，参数估计是其中一个重要的概念，它允许我们通过样本数据来推断总体的特征。
本文将介绍统计学中常用的参数估计方法，包括点估计和区间估计。
一、点估计点估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法。
在点估计中，我们选择一个统计量作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种基于样本数据的估计方法，它通过选择使得观察到的数据出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
最大似然估计的核心思想是找到一个参数估计值，使得观察到的数据在该参数下出现的概率最大化。
最大似然估计方法在统计学中被广泛应用，它具有良好的渐进性质和统计学性质。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩的性质来估计总体参数。
矩估计的核心思想是将样本矩与总体矩相等，通过求解方程组来得到参数的估计值。
矩估计方法相对简单，易于计算，但在样本较小或总体分布复杂的情况下，可能会出现估计不准确的问题。
二、区间估计区间估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法，它提供了参数估计的置信区间。
在区间估计中，我们通过计算样本数据的统计量和抽样分布的性质，得到一个包含真实参数的区间。
置信区间是区间估计的核心概念，它是一个包含真实参数的区间。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和抽样分布的性质。
常见的置信区间计算方法有正态分布的置信区间和bootstrap置信区间。
正态分布的置信区间是一种常用的区间估计方法，它基于样本数据的统计量服从正态分布这一假设。
通过计算样本数据的均值和标准差，结合正态分布的性质，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
Bootstrap置信区间是一种非参数的区间估计方法，它不依赖于总体分布的假设。
Bootstrap方法通过从原始样本中有放回地抽取样本，生成大量的重采样数据集，并计算每个重采样数据集的统计量。
通过分析这些统计量的分布，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
参数估计的方法有
参数估计的方法有
以下几种方法：
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：利用数据样本的信息，寻找参数的取值，使得样本出现的概率最大。
2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation, LSE）：在一组在某些方面“不完美"的观测值与模型估计值之间，寻找一个最佳拟合直线（或其他曲线），使得它们之间的残差平方和最小。
3. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：在先验分布和数据的基础之上，利用贝叶斯公式推导出后验分布，从而得到参数的估计值。
4. 矩估计（Moment Estimation）：以样本矩估计总体矩的方法来估计参数。
5. 似然比检验估计（Likelihood Ratio Estimation）：将最大似然值与模型的交集和样本容差进行比较，从而确定参数的估计值。
6. 非参数估计方法（Nonparametric Estimation）：不需要对总体分布进行任何假设，在方法上不依赖于总体的形式。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的取值。
它在各个领域都有广泛的应用，例如经济学、医学、社会学等。
本文将介绍参数估计的一般步骤，帮助读者了解如何进行参数估计。
一、确定参数类型在进行参数估计之前，首先需要确定要估计的参数类型。
参数可以是总体均值、总体比例、总体方差等，根据具体问题来确定。
二、选择抽样方法接下来，需要选择合适的抽样方法来获取样本数据。
常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
选择合适的抽样方法可以保证样本的代表性，从而提高参数估计的准确性。
三、收集样本数据在进行参数估计之前，需要收集样本数据。
收集样本数据时要注意数据的准确性和完整性，避免数据采集过程中的偏差。
四、计算点估计量得到样本数据后，可以计算点估计量来估计总体参数的取值。
点估计量是根据样本数据计算得出的一个具体数值，用来估计总体参数的未知值。
常见的点估计量有样本均值、样本比例等。
五、构建置信区间除了点估计量，还可以构建置信区间来估计总体参数的取值范围。
置信区间是一个区间估计，表示总体参数的真值有一定的概率落在该区间内。
置信区间的计算方法与具体的参数类型有关，可以利用统计学中的分布理论或抽样分布来计算。
六、进行假设检验除了估计总体参数的取值，参数估计还可以用于假设检验。
假设检验是根据样本数据来判断总体参数是否符合某个特定的假设。
在假设检验中，需要先提出原假设和备择假设，然后计算检验统计量，最后根据统计显著性水平来判断是否拒绝原假设。
七、解释结果需要对参数估计的结果进行解释和说明。
解释结果时要清楚、简洁，避免使用过于专业的术语，以便读者能够理解和接受。
参数估计是统计学中重要的内容之一，它可以帮助我们从有限的样本数据中推断总体的特征。
通过合理选择抽样方法、收集准确的样本数据，并运用适当的统计方法，我们可以得到准确可靠的参数估计结果，为实际问题的决策提供科学依据。
参 数 估 计
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
参数估计方法
参数估计方法
参数估计（Parameter Estimation）是统计学中重要的一个研究目标，也是机器学习
领域中重要的一个问题。
参数估计的目的是从给定的数据中求取一组模型参数，使得模型
最能拟合数据。
常用的参数估计方法有最小二乘法（Least Squares）、极大似然法（Maximum Likelihood）等。
最小二乘法是一种估计统计模型参数的经典方法，其基本思想是求解使得拟合散点的
模型函数的残差的平方和最小的参数向量。
它的优点是简单易行，但不能解决线性模型参
数求解问题而有多解的情况。
极大似然法是在概率论和统计学中广泛使用的参数估计技术，它的基本思想是找到使
出现观测数据最有可能的模型参数，即概率估计参数使得所有观测数据的联合概率（likelihood）最大。
优点是可以给出参数的分布关系，而每个参数的准确值也可以得到。
缺点是计算难度稍大。
此外，对参数估计的选择也会受到具体的应用背景的影响。
例如，在机器学习中，如
果所需要估计的参数太多，可以考虑使用正则化技术，通过引入一定的约束条件来达到减
少估计参数数量的目的。
因此，在实际应用中如何正确选择参数估计方法，以求得最符合实际情况的模型参数，是相当重要的研究课题。
参数估计的若干方法及应用
参数估计的若干方法及应用
参数估计是指在一组观测数据或实验结果中，出最有效的参数值，以
满足实验结果或经验数据的最佳拟合，是机器学习和统计学中重要的技术，也是数据挖掘的核心过程。
参数估计通常分为经验参数估计法和概率参数
估计法，它们的估计结果和拟合效果是不同的。
一、经验参数估计法
经验参数估计法是一种基于经验数据的唯一参数估计方法，它只需要
对历史数据进行几次迭代就可以得出拟合参数的估计值，它的优点是可以
迅速收敛，有利于提高算法的效率。
常用的经验参数估计法包括最小二乘法、最小平方误差法、平滑最小二乘法、弦截法等。
（1）最小二乘法是一种经典的经验参数估计方法，它最大程度地减
少了数据拟合时的残差，也就是预测值和实际值之间的差异。
它将残差的
平方和作为优化的目标函数，最小二乘法的优化问题可以用矩阵的形式进
行求解。
（2）最小平方误差法是求解参数矩阵的有效方法，它是基于极大似
然估计的，通过极大似然法求解参数，来得到一个使得观测数据出现的概
率最大的参数矩阵，这样就可以得出一组最优参数。
（3）平滑最小二乘法是一种非线性的经验参数估计法，它的目的是
使参数矩阵有一个均匀的变化。
关于参数估计的几种方法
a1 是 ( X T X ) −1 ( X T Y )(Y T Y ) −1 (Y T X ) 的最大特征值对应的
特征向量； 特征向量；
b1 是 (Y T Y ) −1 (Y T X )( X T X ) −1 ( X T Y )的最大特征值对应
的特征向量； 的特征向量；
1.表内成分提取 1.表内成分提取——主成分分析 表内成分提取 主成分分析
数据表： 数据表：有P个变量 x1, x 2 , ..., x p ，对它们 个变量 进行n次观测 所构成矩阵即为一数据表。 次观测， 进行 次观测，所构成矩阵即为一数据表。 基本原理：对原数据表中的信息重新组合，提取 基本原理：对原数据表中的信息重新组合， 数据表中的信息重新组合 ），使这 使这m 出m个综合变量 F1 , F 2 , ... F m （m< p），使这 个综合变量 个综合变量能最多的概括原数据表的信息 原数据表的信息。 个综合变量能最多的概括原数据表的信息。 数据集合中的信息指的是集合中数据变异的情况。 数据集合中的信息指的是集合中数据变异的情况。 指的是集合中数据变异的情况 而在一张数据表中，数据集合的变异信息即为全部 而在一张数据表中，数据集合的变异信息即为全部 变量的方差和来表示 来表示。 变量的方差和来表示。
典型相关分析
不能较好的反映2组变 还不能较好的反映 组变
间的相关关系， 个典型成分。 量X与Y间的相关关系，还可以考虑第 、3…个典型成分。 与 间的相关关系 还可以考虑第2、 个典型成分
Fi
对应的典型主轴
ai 是矩阵( X T X )−1 ( X T Y )(Y T Y )−1 (Y T X )
T 1 1
F0 = t r + F1
统计推断中的参数估计方法
统计推断中的参数估计方法统计推断是统计学的一个重要分支，通过样本数据对总体参数进行估计，并对估计结果的可靠性进行推断。
在统计推断中，选择合适的参数估计方法至关重要。
本文将介绍几种常用的参数估计方法，包括点估计、区间估计和最大似然估计。
一、点估计点估计是使用样本数据来估计总体参数的一种常用方法。
它的思想是根据样本数据得到一个单独的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心是选择一个合适的统计量作为参数的估计量。
常用的点估计方法有样本均值估计、样本方差估计和极大似然估计等。
例如，在对总体均值进行估计时，可以使用样本均值作为参数的点估计量。
这是因为根据大数定律，当样本足够大时，样本均值会无偏且一致地估计总体均值。
二、区间估计点估计虽然简单直观，但无法给出估计结果的可靠程度。
为了解决这个问题，统计学引入了区间估计的概念。
区间估计以一个区间作为总体参数的估计范围，并给出该区间包含总体参数的概率。
常用的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计用于对总体参数的估计，预测区间估计则用于对新观测值的估计。
以置信区间估计为例，它的计算基于样本统计量的分布特性和样本容量。
三、最大似然估计最大似然估计是统计推断中一种重要的参数估计方法。
它通过选择最大化样本数据出现的概率或似然函数来估计参数值。
最大似然估计的核心思想是选择参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计有着良好的性质，包括无偏性、一致性和渐近正态性。
它在很多统计模型中被广泛应用，如正态分布、二项分布和泊松分布等。
总结：统计推断中的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计通过使用样本数据得到总体参数的单个数值估计；区间估计提供了参数估计结果的可靠性区间；最大似然估计通过选择使样本数据出现概率最大的参数值进行估计。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，帮助我们更好地理解和推断总体参数。
通过合理地选择和应用这些参数估计方法，我们可以从样本数据中获得对总体的有效估计，并对估计结果的可靠性进行推断。
参 数 估 计
二、参 数 估 计
【例5-5】 设X～B(1,p)，(X1，X2,…,Xn)是取自总体X的一个子样， 试求参数p的极大似然估计量。
解：设(x1,x2,…,xn)是子样(X1，X2,…,Xn)的一组相应的取值。总体X 的分布律为
则似然函数为 取对数后，有 令
二、参 数 估 计
从而得p的极大似然估计值为 p的极大似然估计量为
项目
参数估计
二、参 数 估 计
一、 参数估计的基本原理
参数估计是指由样本指标值（统计量）估计总体指标值 （参数），即当总体的分布性质已知，但其所含参数真值未 知时，根据一组样本的观察值X1，X2,…,Xn来估计总体中未 知参数θ或θ的某函数。首先从样本(X1，X2,…,Xn)中提取有 关总体X的信息，即构造样本的函数——统计量 g(X1X2,…,Xn)；然后用样本值代入，求出统计量 g(x1,x2,…,xn)的值，用该值来作为相应待估参数的值。
二、参 数 估 计
二 、 评价估计量的标准
在参数估计中，用样本估计量 作为总体参数θ的估 计量，实际上，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量。 也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，从原则上 讲，任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪 一个估计量好呢？这就涉及估计量的评价问题，而判断估计 量好坏的标准是：有无系统偏差，波动性的大小，伴随样本 容量的增大是否越来越精确，这就是估计的无偏性、有效性 和一致性。
区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的
方法，使区间的平均长度最短。
二、参 数 估 计
用给定的置信度1－α说明区间估计的可靠程度
，通常α取值很小，如取0.05、0.01，有时取0.1。
参数估计方法
参数估计方法参数估计方法是统计学中非常重要的一个概念，它用于根据样本数据来估计总体参数的数值。
在统计学中，参数通常是指总体的特征数值，比如总体均值、方差等。
而样本则是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计方法的目的就是通过对样本数据的分析，来估计总体参数的数值。
本文将介绍几种常见的参数估计方法。
一、最大似然估计法。
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法。
它的核心思想是，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值作为总体参数的估计值。
具体来说，假设总体的概率分布函数为f(x|θ)，其中θ是待估计的参数，x是观察到的样本数据。
那么最大似然估计法就是要找到一个θ值，使得观察到的样本数据出现的概率f(x|θ)最大。
通过对数似然函数的求解，可以得到最大似然估计值。
二、贝叶斯估计法。
贝叶斯估计法是另一种常见的参数估计方法。
它的特点是将参数视为一个随机变量，而不是一个固定但未知的数值。
在贝叶斯估计中，参数的取值是有一定概率分布的，这个概率分布称为参数的先验分布。
当观察到样本数据后，可以通过贝叶斯定理来更新参数的概率分布，得到参数的后验分布。
而后验分布的均值或中位数可以作为参数的估计值。
三、矩估计法。
矩估计法是一种比较直观的参数估计方法。
它的思想是利用样本矩来估计总体矩，进而得到总体参数的估计值。
具体来说，对于总体的某个参数，可以通过样本的矩（如样本均值、样本方差等）来估计总体对应的矩，然后解出参数的估计值。
矩估计法的计算比较简单，但在某些情况下可能会产生不稳定的估计结果。
四、区间估计法。
除了点估计方法，还有一种常见的参数估计方法是区间估计法。
区间估计法不是直接给出参数的估计值，而是给出一个区间，称为置信区间，该区间内有一定的概率包含真实的参数值。
区间估计法的优势在于可以提供参数估计的不确定性信息，而不仅仅是一个点估计值。
总之，参数估计方法是统计学中的重要内容，不同的参数估计方法有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数估计方法，并结合实际问题对参数进行准确估计。
参数估计的基本方法
因此，容易得到在抽样中，总体参数将以同样 的可能性 （概率）存在于下面的区间内：
置信区间
一般地，设总体参数为， L、 U为由样本确定 的两个统计量值，对于给定的（0< <1），有
则称（ L， U ）为参数的置信度为1- 的置信 区间， L、 U分别称为置信下限与置信上限， 为显著性水平， 1- 为置信度。
三、区间估计（Interval Estimation)
（一）区间估计基本原理 （二）总体均值的区间估计 （三）总体比例的区间估计
（一）区间估计基本原理
1. 大数定律主要是说明：当n足够大时，独立同分布
的随机变量的算术平均数趋近于数学期望；事件发 生的频率接近于其发生的概率。 即样本统计量接 近于总体参数。 • 因此，可以用样本平均数（或比例）估计总体平均 数（或比例）
2. 中心极限定理是说明：当n充分大时，大量的起
微小作用的相互独立的随机变量之和趋于正态分布。 • 因此可以用正态分布来确定总体参数的估计范围
（置信区间）和可靠程度（即概率或置信度）。
3、区间估计方法理论
区间估计则是根据样本估计量以一定的可靠程度推断总 体参数所在的区间范围。
如果抽样分布已知，则在点估计中，可以知道抽样的点 估计值与总体参数的离差在某一给定范围内的概率大小， 即以一定的可靠程度知道以下抽样极限误差：
用s2代替σ2 ，对于给定的置信度1-α，总体均值的置
信区间为
(x z / 2
s n
,
x
z
/2
s) n
例：某进出口公司出口一种名茶，规定每包重量不低于150克。现不 重复抽取1%检验，结果如下。以95.45%的概率估计这批茶叶平均 每包重量范围，以确定该批茶叶是否达到要求。
参数估计
第七章 参数估计参数估计就是要从样本出发构造一些统计量作为总体某些参数（或数字特征）的估计量。
点估计就是构造统计量。
=Λj θ),(21n j X X X ΛΛθ j=1,2,…n以Λjθ的值作为j θ的近似值。
对j θ进行估计，叫(点)估计量。
若样本值代入),(21njx x x ΛΛθ称为jθ的估计值。
区间估计是根据样本构造出适当的区间，它以一定的概率包含未知参数。
§ 点估计（一）矩估计法 1.矩估计法的基本思想在总体的各阶矩存在的条件下，用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，又由于总体的分布类型已知，总体的各阶矩可表示为未知参数的已知函数，这样样本的各阶矩就与未知参数的已知函数联系起来，从而得到参数的各阶矩。
2.一般求法),()(21k l ll g X E m θθθΛ== l =1,2…k⇒),,(21k l m m m h Λ=θl =1,2…k✍ 令∑=ΛΛ===n i l i l l l x n M X E m 11)(l =1,2…k✍将Λl m 代入✍中，),(21ΛΛΛΛ=k l lm m m h Λθl =1,2…k例 2 P159总体X~U[a,b],参数a,b 未知，求a,b 的矩估计。
例 3 P160以下为第一版例。
例7：总体X~U[0,b],参数b 未知，求b 的矩估计。
例8：总体),(~2σμN X ，2, σμ未知，已知n x x x Λ21, 是来自总体X 的样本值，求2, σμ的矩估计。
例9：总体的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=--11)(22101),;(21θθθθθθθx x ex f x参数,02>θ+∞<<∞-1θ均未知，n x x x Λ21, 是来自总体的样本，求21θθ，的矩估计。
３.总体的数学期望与方差的矩估计 已知总体的二阶矩存在，n x x x Λ21, 是来自总体的样本值。
E(X),D(X)的矩估计是X X E=)(ˆ '221)(1)(M x x n X D ni i =-=∑=Λ注意： 此结论用于只要E(x)、D(x)存在的，不论分布是否已知的各类型总体的数字特征E(X)、D(X)的矩估计。
参数估计方法
参数估计的方法矩法一、矩的概念矩(moment )分为原点矩和中心矩两种。
对于样本n y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为样本的k 阶原点矩，记为k y ，有∑==n i k i k y n y 11，例如，算术平均数就是一阶原点矩；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为样本的k 阶中心矩，记为k y y )(-或k μˆ，有∑-=-=ni k i k y y n y y 1)(1)(，例如，样本方差∑-=n i i y y n 12)(1就是二阶中心矩。
对于总体N y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为总体的k 阶原点矩，记为)(k y E ，有∑==N i k i k y N y E 11)(；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为总体的k 阶中心矩，记为])[(k y E μ-或k μ，有∑-=-=N i k i k y N y E 1)(1])[(μμ。
二、矩法及矩估计量所谓矩法就是利用样本各阶原点矩来估计总体相应各阶原点矩的方法，即 ∑==n i ki k y n y 11→)(k y E(8·6)并且也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩同一函数，即若))(，)，()，((k y E y E y E f Q 2=则)，，，(k y y y f Q 2ˆ= 由此得到的估计量称为矩估计量。
[例8.1] 现获得正态分布)，(2σμN 的随机样本n y y y ，，， 21，要求正态分布)，(2σμN 参数μ和2σ的矩估计量。
首先，求正态分布总体的1阶原点矩和2阶中心矩：⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅=⎰=∞+∞-∞+∞-μσμσπdy y y dy y yf y E 22exp 2)(21)()( (此处⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22exp σμ2)(y 表示自然对数底数e 的⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22σμ2)(y 的指数式，即][2)(22σμ--y e )22222exp σσμσπμμμ⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅-=⎰-=-∞+∞-∞+∞-dy y y dy y f y y E 2)(21)()()()][(2 然后求样本的1阶原点矩和2阶中心矩，为∑-==∑====n i i n i i y y n s y n y 12221ˆˆ)(1，1μμ 最后，利用矩法，获得总体平均数和方差的矩估计 ∑-==∑====n i i ni i y y n s y n y 12221ˆˆ)(1，1σμ故总体平均数和方差的矩估计值分别为样本平均数和样本方差，方差的分母为n 。
参数估计公式
参数估计公式参数估计是统计学中非常重要的一个概念，它是指对于一个总体的一些参数进行估计，使得估计值接近于真实值。
参数估计一般分为点估计和区间估计两种，其中点估计是指用一个数值来估计总体参数，而区间估计是指用一个区间来估计总体参数。
本文将着重介绍点估计中的一些常用的精确估计方法。
首先，最简单也是最常用的点估计方法是样本均值估计总体均值。
假设我们有一个样本数据集，包含n个观测值，样本均值可以作为总体均值的一个良好估计。
它的计算公式如下：\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]其中，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本均值可以作为总体均值的一个无偏估计，即样本均值的期望等于总体均值。
另外一个常用的点估计方法是样本方差估计总体方差。
样本中的每一个数据点和样本均值之间的差别可以用来估计总体的分散程度。
样本方差可以通过以下公式计算：\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)其中，\(s^2\)表示样本方差，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本方差是总体方差的一个无偏估计，即样本方差的期望等于总体方差。
除此之外，还有一些其他的点估计方法，例如极大似然估计和最小二乘估计等。
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计参数值。
最小二乘估计是一种常用的线性回归模型参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型估计值之间的平方残差和来估计参数值。
在进行参数估计时，我们通常需要估计参数的精确度。
一个常用的方法是计算参数的标准误差。
对于样本均值的标准误差，可以用以下公式计算：\(SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)其中，\(SE(\bar{x})\)表示样本均值的标准误差，s表示样本方差，n表示样本的个数。
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1 n 1 n 2 2 = y = ∑ y i，σ = s = ∑( y i y )2 n i =1 n i =1
故总体平均数和方差的矩估计值分别为样本平均数和样 本方差，方差的分母为 。 本方差，方差的分母为n。
单峰分布曲线还有二个特征数， 偏度( )与 单峰分布曲线还有二个特征数，即偏度( skewness )与峰 )，可分别用偏度系数和峰度系数作测度。 度( kurtosis )，可分别用偏度系数和峰度系数作测度。 偏度系数( )是指 是指3阶中心矩与标准 偏度系数( coefficient of skewness )是指 阶中心矩与标准 )是指 是指4阶中 差的3次方之比；峰度系数( 差的 次方之比；峰度系数( coefficient of kurtosis )是指 阶中 次方之比 心矩与标准差的4次方之比。 心矩与标准差的 次方之比。 次方之比 当偏度为正值时，分布向大于平均数方向偏斜；偏度 当偏度为正值时，分布向大于平均数方向偏斜； 为负值时则向小于平均数方向偏斜；当偏度的绝对值大于 为负值时则向小于平均数方向偏斜；当偏度的绝对值大于2 时，分布的偏斜程度严重。当峰度大于3时，分布比较陡峭， 分布的偏斜程度严重。当峰度大于 时 分布比较陡峭， 峰态明显，即总体变数的分布比较集中。 峰态明显，即总体变数的分布比较集中。
第二节 矩法
一、矩的概念 )分为原点矩和中心矩两种 分为原点矩 两种。 矩( moment )分为原点矩和中心矩两种。 对于样本y 各观测值的k次方的平均值 次方的平均值， 对于样本 1,y2,…yn，各观测值的 次方的平均值，称为 1 n k k 阶原点矩， 样本的k阶原点矩，记为 y k，有 y = ∑ y i , 用观测值减去 n i =1 平均数得到的离均差的k次方的平均数称为 次方的平均数称为样本的 阶中心矩, 平均数得到的离均差的 次方的平均数称为样本的k阶中心矩 n k k ，有( y y )k = 1 ∑( y y )k 。 记为 ( y y ) 或 i n i =1 对于总体y 各观测值的k次方的平均值 次方的平均值， 对于总体 1,y2,…yN，各观测值的 次方的平均值，称为 值减去平均数得到的离均差的k次方的平均数称为总体的k阶 值减去平均数得到的离均差的 次方的平均数称为总体的 次方的平均数称为
第八章
参数估计方法
第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准 第二节 矩法 第三节 最小二乘法 第四节 极大似然法
第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准
一、农业科学中的主要参数 农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括 农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括: (1)总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产 总体数量特征值参数，例如， 总体数量特征值参数 量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应； 用平均数差数来估计施肥等处理的效应； (2)在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个 在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述 个 在揭示变数间的相互关系方面 变数间的线性关系；用回归系数、 变数间的线性关系；用回归系数、偏回归系数等来描述原因 变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量， 变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数 来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。 来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。
(二) 参数估计量的评选标准 二 评价估计量优劣的标准主要有无偏性、有效性、 评价估计量优劣的标准主要有无偏性、有效性、相合性等 (1) 无偏性 参数估计量的期望值与参数真值是相等的，这 参数估计量的期望值与参数真值是相等的， 种性质称为无偏性，具有无偏性的估计量称为无偏估计量。 种性质称为无偏性，具有无偏性的估计量称为无偏估计量。 无偏性 无偏估计量 例如， 例如，在抽样分布中已经介绍了离均差平方和除以自由度得 到的均方的平均数等于总体方差， 到的均方的平均数等于总体方差，即该均方的数学期望等于 相应总体参数方差，这就是说该均方估计量是无偏的。 相应总体参数方差，这就是说该均方估计量是无偏的。 估计量的数学期望值在样本容量趋近于无穷大时与参数 的真值相等的性质称为渐进无偏性 渐进无偏性， 的真值相等的性质称为渐进无偏性，具有渐进无偏性的估计 量称为渐进无偏估计量。 量称为渐进无偏估计量。 渐进无偏估计量
由样本计算的偏度系数
1 n cs = 3 σ 3 = ∑ ( yi y ) 3 n i =1
峰度系数
1 n 2 n ∑ ( yi y ) i =1
3 2
(87)
1 n ck = 4 σ 4 = ∑ ( yi y ) 4 n i =1
1 n ( yi y ) 2 n ∑ i =1
161 214 125 175 219 118 192 176 175
97 129 143 179 174 159 165 136 108 101 141 148 168 91 142 140 154 152 163 123 205 149 155 131 209
∞
(81)
这样可以求得总体平均值。 这样可以求得总体平均值。 对于连续型随机变数y的数学期望 对于连续型随机变数 的数学期望E(y)为： 的数学期望 为
E ( y ) = ∫ yf ( y )dy
∞
+∞
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(82)
其中f(y)为随机变量 的概率密度函数 其中 为随机变量y的概率密度函数，这样可以求得总 为随机变量 的概率密度函数， 体均值。 体均值。
4 2
(88)
[例8.2] 计算表 数据资料 例 计算表3.4数据资料 数据资料(140行水稻产量 所属分布曲线 行水稻产量)所属分布曲线 行水稻产量 的偏度和峰度。 的偏度和峰度。
表3.4 140行水稻产量(单位：克) 177 215 197 214 98 95 158 97 123 159 245 119 119 131 149 152 167 104 95 136 199 116 165 83 137 80 138 151 187 126 196 134 206 137 75 130 149 150 161 155 111 158
二、参数估计量的评选标准 (一) 数学期望 一 样本平均数的平均数就是一种数学期望。 样本平均数的平均数就是一种数学期望。 例如，一个大豆品种的含油量为 例如，一个大豆品种的含油量为20%，测定一次可能 ， 是大于20%，再测定可能小于20%， 是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均 结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数 ，这时 结果为 便可看作为该大豆品种含油量的数 学期望，而每单独测定一次所获的值只是 个随机变量 个随机变量。 学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。 抽象地， 抽象地，随机变量的数字特征是指随机变量的数学期 望值。 望值。
(3) 相合性 用估计量估计参数涉及一个样本容量大小问题， 用估计量估计参数涉及一个样本容量大小问题， 如果样本容量越大估计值越接近真值，那么这种估计量是相 如果样本容量越大估计值越接近真值，那么这种估计量是相 合估计量。 合估计量。 除以上三方面标准外，还有充分性 完备性也是常考虑 充分性与 除以上三方面标准外，还有充分性与完备性也是常考虑 的。 充分性指估计量应充分利用样本中每一变量的信息； 充分性指估计量应充分利用样本中每一变量的信息； 指估计量应充分利用样本中每一变量的信息 完备性指该估计量是充分的唯一的无偏估计量。 完备性指该估计量是充分的唯一的无偏估计量。 指该估计量是充分的唯一的无偏估计量
对于离散型(间断性 随机变量 的分布列为： 对于离散型 间断性)随机变量 的分布列为：P{y=yi}=pi ， 间断性 随机变量y的分布列为 其中， ， ， ，那么随机变量y的数学期望 的数学期望E(y)为： 其中，i=1，2，…，那么随机变量 的数学期望 为
E( y ) = ∑ y i p i
i =1
连续型随机变量方差的数学期望为： 连续型随机变量方差的数学期望为：
+∞ D( y ) = ∫ ∞ [ y E( y )] f ( y )dy 2
(85)
数学期望有这样一些常用的性质： 数学期望有这样一些常用的性质： (1) 常数的数学期望为常数本身； 常数的数学期望为常数本身； (2) 随机变量与常数的乘积的数学期望是常数与随机 变量的数学期望的乘积； 变量的数学期望的乘积； (3) 多个随机变量分别与常数的乘积的求和函数的数 学期望是常数与多个随机变量的数学期望的乘积的和； 学期望是常数与多个随机变量的数学期望的乘积的和； (4) 多个相互独立的随机变量的乘积的数学期望是多 个随机变量的数学期望的乘积。 个随机变量的数学期望的乘积。
(2) 有效性 无偏性表示估计值是在真值周围波动的一个数 值，即无偏性表示估计值与真值间平均差异为0，近似可以 即无偏性表示估计值与真值间平均差异为 ， 用估计值作为真值的一个代表。 用估计值作为真值的一个代表。 同一个参数可以有许多无偏估计量， 同一个参数可以有许多无偏估计量，但不同估计量的期望 方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。 方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计 量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越 差；否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差，方 否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差， 差最小说明最有效。 差最小说明最有效。 如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量， 如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其 期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计 期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计 量。
表示方差， 用D(y)表示方差，有 表示方差 D(y)=E [y－E(y)]2
(83)
这就是随机变量函数的数学期望。同理， 这就是随机变量函数的数学期望。同理，离散型随机 变量方差的数学期望为： 变量方差的数学期望为：