【数学】江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(一)数学试题 含答案
2017-2018学年江苏省徐州一中高三(上)第一次模拟数学试卷(理科)
2017-2018学年江苏省徐州一中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）2．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=（2﹣y）﹣3i，则|x+yi|=（）A．B．C．3 D．3．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定4．（5分）命题p：x，y∈R，x2+y2＜2，命题q：x，y∈R，|x|+|y|＜2，则p是q的什么条件（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．必要充分条件D．非充分非必要条件5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．6．（5分）下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是““∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．若p，q均为假命题，则p∧q为假命题D．命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x≠1或x≠﹣1，则x2≠17．（5分）设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④9．（5分）一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个都是白球的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．4811．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（）A．B．2 C．D．12．（5分）若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1 D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在的展开式中，x2项的系数为．14．（5分）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是．15．（5分）在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，a n﹣1a n a n+1=324，则n=．16．（5分）已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17\～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x ∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）已知在△ABC中，∠C=（Ⅰ）若c2=5a2+ab，求（Ⅱ）求sinA﹣sinB的最大值．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）[选修4-4；极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+a|x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，解关于x的不等式f（x）≥4；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省徐州一中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，∴B=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），故选：B．2．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=（2﹣y）﹣3i，则|x+yi|=（）A．B．C．3 D．【解答】解：由1+xi=（2﹣y）﹣3i，得，解得．∴|x+yi|=．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【解答】解：2a7﹣a8=2（a1+6d）﹣（a1+7d）=a1+5d=a6=5，∴．故选：B．4．（5分）命题p：x，y∈R，x2+y2＜2，命题q：x，y∈R，|x|+|y|＜2，则p是q的什么条件（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．必要充分条件D．非充分非必要条件【解答】解：如图示：，命题“x2+y2＜2”对应的图象为半径为的圆及其内部，命题“|x|+|y|＜2”对应的图象为正方形及其内部，则命题“x2+y2＜2”是命题“|x|+|y|＜2”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥P﹣ABCD，底面边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD．PA=2，四棱锥的表面积S=+2×=8+4．故选：C．6．（5分）下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是““∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．若p，q均为假命题，则p∧q为假命题D．命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1【解答】解：A中am2＜bm2能推出a＜b，但a＜b不能推出am2＜bm2，当m2=0时不成立，故正确；B中命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是““∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”美洲命题的否定形式，正确；C中若p，q均为假命题，则p∧q为假命题，故正确；D中命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1；原命题不满足逆否命题的形式，故不正确；故选：D．7．（5分）设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离，由图象知D到直线2x﹣y=0的距离最小，此时d===，故选：D8．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．9．（5分）一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个都是白球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，基本事件总数=10，摸出的两个都是白球，包含的基本事件个数m==3，∴摸出的两个都是白球的概率是p==．故选：B．10．（5分）某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．11．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（）A．B．2 C．D．【解答】解：解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则由于|BC|=3|BF|=3|BN|，则直线l的斜率为2，∵|AF|=4，∴AM=4，故|AC|=3|AM|=12，从而|CF|=8，|CB|=6．故，即p=，故选：C．12．（5分）若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1 D．【解答】解：由题意可得：x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2，，∴，据此可得函数在定义域（0，a）上单调递增，其导函数：在（0，a）上恒成立，据此可得：0＜x≤1，即实数a的最大值为1．故选：C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在的展开式中，x2项的系数为﹣7．==，【解答】解：通项公式T r+1令8﹣2r=2，解得r=3．∴x2项的系数==﹣7．故答案为：﹣7．14．（5分）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是．【解答】解：在一次实验中，成功的概率为：1﹣•=；且ξ～（8，），所以在8次试验中，成功次数ξ的期望为Eξ=8×=；故答案为：．15．（5分）在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，a n﹣1a n a n+1=324，则n=14．【解答】解：正项等比数列{a n}中，∵a1a2a3=4，a4a5a6=12，∴a=4，a=12，a=36，a=108，a=324，a n a n+1=a=324，∵a n﹣1∴n=14．故答案为14．16．（5分）已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17\～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x ∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，⇒m=0或m=2，当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x2，当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A=[1，4），当x∈[1，2）时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k），即B=[2﹣k，4﹣k），若命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，则，即，解得：0≤k≤1．18．（12分）已知在△ABC中，∠C=（Ⅰ）若c2=5a2+ab，求（Ⅱ）求sinA﹣sinB的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设c2=a2+b2+ab=5a2+ab，得b=2a．由正弦定理，可得：，得．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠A+∠B=．可得：sinA﹣sinB=sinA﹣sin（﹣A）=sinA（cosA﹣sinA）=sin2A+cos2A ﹣=sin（2A+）﹣，因为0，所以当A=，sinA﹣sinB取得最大值．…（12分）19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，∴恰有2人不赞成的概率为：P（ξ=2）=+=．…（7分）（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是：…（10分）所以ξ的数学期望Eξ=．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由已知得，∴a2=2，b2=1，∴椭圆C的标准方程：（2）依题意过点D（0，2）且斜率为k的直线l的方程为：y=kx+2由得（1+2k2）x2+8kx+6=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣，x1x2=；又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣．y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=．设存在点E（0，m），则．所以==要使=t（t为常数），只要=t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0即2m2﹣2﹣2t=0且m2﹣4m+10﹣t=0由（1）得t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点E（0，），使恒为定值．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…（2分）令f′（x）=0，得x=1．…（3分）当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…（5分）（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…（7分）当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…（8分）当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，故必须满足0＜＜e，所以a＞．…（10分）此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：（所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2使得g（x1）=g（x2）=f（x0），当且仅当a满足下列条件，即，…（13分）令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…（16分）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）[选修4-4；极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去t得，即4x+3y﹣2=0．曲线C：，即ρ=2cosθ+2sinθ，又，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．故曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数）⇒直线l的参数方程为（t′为参数），代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，消去x，y得t/2+4t′+3=0，由参数t′的几何意义知，．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+a|x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，解关于x的不等式f（x）≥4；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，原问题等价于|2x﹣1|+|x﹣1|≥4，若，则2﹣3x≥4，解得；若，则x≥4，不符合题意，舍；若x＞1，则3x≥6，解得x≥2；不等式的解集为；（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含，∴a|x﹣1|≥3﹣3x对恒成立，故时，a（1﹣x）≥3﹣3x，a≥3，∴1≤x≤2时，a（x﹣1）≥3﹣3x，∴a≥﹣3；综上：a≥3．。
2018届江苏高考数学模拟试卷(1)(含答案)
2018届江苏高考数学模拟试卷（1）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{02},{11}A x x B x x =<<=-<<，则A B U = ▲ ．2. 设复数1a +=-i z i（i 是虚数单位，a ∈R ）．若z 的虚部为3，则a 的值为 ▲ ．3．一组数据5，4，6，5，3，7的方差等于 ▲ ．4.右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．5.某校有B A ,两个学生食堂，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则此三人不在同一食堂用餐的概率为 ▲ ．6. 长方体1111ABCD A B C D -中，111,2,3AB AA AC ===，则它的体积等于 ▲ ．7．若双曲线2213x y a -=的焦距等于4，则它的两准线之间的距离等于 ▲ ．8. 若函数()22xx af x =+是偶函数，则实数a 等于 ▲ ．9. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若f (π3)＝0，f (π2)＝2，则实数ω的最小值为 ▲ ．S ←0 a ←1 For I From 1 to 3a ←2×a S ←S ＋a End For Print S （第4题）10. 如图，在梯形ABCD 中，,2,234,//CD AD AB CD AB ====，，如果 ⋅-=⋅则,3= ▲ .11.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .12．若数列12{}(21)(21)n n n +--的前k 项的和不小于20172018，则k 的最小值为 ▲ ．13. 已知24παπ<<，24πβπ<<，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ=+，则tan()αβ+的最大值为▲ ．14. 设,0a b >，关于x 的不等式3232x xx xa N Mb ⋅-<<⋅+在区间（0，1）上恒成立，其中M , N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1. 则ab的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15.如图，在ABC ∆中，已知7,45AC B =∠=o，D 是边AB 上的一点，3,120AD ADC =∠=o . 求：（1）CD 的长； （2）ABC ∆的面积.16.如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AB ，SC 的中点. （1）求证：EF ∥平面SAD ； A D CB（2）若SA=AD ，平面SAD ⊥平面SCD ，求证：EF ⊥AB .17.如图，有一椭圆形花坛，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点. 现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE =OF ，沿CE 、CF 、F A 铺设管道，设θ=∠CFO ，若OA =20m ，OC =10m ， （1）求管道长度u 关于角θ的函数；（2）求管道长度u 的最大值.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:C x y r +=和直线:l x a =（其中r 和a 均为常数，且0r a <<），M 为l 上一动点，1A ，2A 为圆C 与x 轴的两个交点，直线1MA ，2MA 与圆C 的另一个交点分别为,P Q .（1）若2r =，M 点的坐标为(4,2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标.19.设R k ∈，函数2()ln 1f x x x kx =+--，求： （1）1=k 时，不等式()1f x >-的解集； （2）函数()x f 的单调递增区间；（3）函数()x f 在定义域内的零点个数.20.设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. （1）已知06,12321=+-=b b b b ，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （3）求所有满足：11n n n na b b a ++=+对一切的*N n ∈成立的数列{}n a ，{}n b .数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，在△ABC 中，90BAC ∠=，延长BA 到D ，使得AD =12AB ，E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求证：DF =BE ．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知曲线1C ：221x y +=，对它先作矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，再作矩阵010m B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换（其中0≠m ），得到曲线2C ：2214x y +=，求实数m 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知圆C的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩， ， （θ为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩， ， （t 为参数，0 ααπ<<π≠2，且），若圆C 被直线lα的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）对任给的实数a 0a ≠()和b ，不等式()12a b a b a x x ++-⋅-+-≥恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A A 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是棱CC 1，BC 的 中点，点P 在直线A 1B 1上．（1）求直线PN 与平面ABC 所成的角最大时，线段1A P 的长度；（2）是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为6π. 如果存在，试确定点P 的位置；如果不存在，请说明理由.（第21—A 题）BECFDA123．（本小题满分10分）设函数()sin cos n n f θθθ=+，其中n 为常数，n ∈*N ， （1）当(0,)2πθ∈时， ()f θ是否存在极值？如果存在，是极大值还是极小值？（2）若sin cos a θθ+=，其中常数a 为区间[内的有理数． 求证：对任意的正整数n ，()f θ为有理数．2018高考数学模拟试卷（1）数学Ⅰ答案一、填空题答案：1. {12}x x -<<2. 5 3．53 4． 14 5． 43 6.4 7． 1 8. 1 9． 3 10．2311. 111(,)(,1)322⋃.解：422111232c a c e e c a>-⎧⇒<<≠⎨≠⎩且，故离心率范围为111(,)(,1)322⋃.12． 10解：因为对任意的正整数n ，都有1212)12)(12(211--=--++n n n n n 1-1， 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+)12)(12(21n n n的前k 项和为 1)1)(2(221)1)(2(221)1)(2(221322211--++--+--+k kk12112112112112112113221---++---+---=+k k 12111--=+k 使2018201712111≥--+k ，即2018121≥-+k ，解得10≥k ，因此k 的最小值为10.13. -4解：因为24ππ<<βα,，所以βαβαsin sin cos cos ,,,均不为0.由βαβαβαcos cos )sin(sin sin 22+=，得βαβαβαβαsin cos cos sin tan tan sin sin +=，于是αββαtan 1tan 1tan tan +=，即βαβαβαtan tan tan tan tan tan +=， 也就是βαβα22tan tan tan tan =+，其中βαtan tan ,均大于1. 由βαβαβαtan tan 2tan tan tan tan22⋅≥+=⋅，所以34tan tan ≥βα.令()341tan tan 1-,--∞∈=βαt ， βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan )tan(22-=-+=+21-+=tt 4-≤，当且仅当1-=t 时取等号.14．4+解：32()32xxx x a f x b ⋅-=⋅+，则23()6l n2()0(32)xx x a b f x b +'=>⋅+恒成立，所以()f x 在（0，1）上单调递增， 132(0),(1)132a a f f b b --==++，∴()f x 在（0, 1)上的值域为132(,)132a ab b --++，M x f N <<)( 在（0,1）上恒成立，故mi n 321()1321(32)(1)a a ab M N b b b b --+-=-==++++，所以2342a b b =++，所以2344a b b b=++≥.所以min ()4ab=+.二、解答题答案15.解：（1）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2227323cos120CD CD =+-⨯⋅o ，解得5CD =.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD CD BCD B =∠，5sin 75sin 45BD =o o，解得BD = 所以BDC BD CD ADC CD AD S S S BCD ACD ABC ∠⋅+∠⋅=+=∆∆∆sin 21sin 2111535sin120560222+=⨯⨯+⨯⨯oo 758+=.16. 解（1）取SD 的中点G ，连AG ，FG .在SCD ∆中，因为F ，G 分别是SC ，SD 的中点， 所以FG ∥CD ，12FG CD =. 因为四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 的中点， 所以1122AE AB CD ==，AE ∥CD . 所以FG ∥AE ，FG=AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF ∥AG .因为AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD . （2）由（1）及SA=AD 得，AG SD ⊥.因为平面SAD ⊥平面SCD ，平面SAD ⋂平面SCD =SD ，AG ⊂平面SAD , 所以AG ⊥平面SCD ，又因为SCD CD 面⊂，所以AG ⊥CD . 因为EF ∥AG ，所以EF ⊥CD ， 又因为CD AB //，所以EF ⊥AB .17. 解：（1）因为θsin 01=CF ，θtan 10=OF ，θtan 10-20=AF ， 所以θθθθsin cos 102020tan 1002sin 02-+=-+=++=AF CF CE u ， AE DCS FG其中，552cos 0<<θ. （2）由 θθsin cos 102020-+=u ，得θθ2'sin cos 0201-=u ，令21cos 0'==θ，u ， 当 21cos 0<<θ时，0'>u ，函数）（θu 为增函数；当552c o s 21<<θ时，0'<u ，函数）（θu 为减函数. 所以，当21cos =θ，即3πθ=时，310203sin21102020max +=⨯-+=πu （m ）所以，管道长度u 的最大值为）（31020+m.18. 解：（1）当2r =，(4,2)M 时，则1(2,0)A -，2(2,0)A ，直线1MA 的方程：320x y -+=，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩得86(,)55P .直线2MA 的方程：20x y --=，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩得(0,2)Q -.所以PQ 方程为220x y --=.（2）由题设得1(,0)A r -，2(,0)A r ，设(,)M a t ，直线1MA 的方程是()ty x r a r =++，与圆C 的交点11(,)P x y ， 直线2MA 的方程是()ty x r a r=--，与圆C 的交点22(,)Q x y ，则点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在曲线[()()][()()]0a r y t x r a r y t x r +-+---=上， 化简得2222222()2()()0a r y ty ax r t x r ---+-=， ①又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在圆C 上，圆C ：2220x y r +-=， ②①－2t ×②得22222222222()2()()()0a r y ty ax r t x r t x y r ---+--+-=，化简得2222()2()0a r y t ax r t y ----=.所以直线PQ 方程为2222()2()0a r y t ax r t y ----=.令0y =得2r x a =，所以直线PQ 过定点2(,0)r a.19.解（1）k =1时，不等式()1f x >-即2ln 0x x x +->，设2()l n g x x x x =+-，因为2121()210x x g x x x x-+'=+-=>在定义域(0,)+∞上恒成立，所以g (x )在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，所以()1f x >-的解集为(1,)+∞.（2）2121()2(0)x kx f x x k x x x-+'=+-=>，由()0f x '≥得2210x kx -+≥……（*）. （ⅰ）当280k ∆=-≤，即k -≤≤（*）在R 上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （ⅱ）当k >时，280k ∆=->，此时方程2210x kx -+=的相异实根分别为12x x ==，因为12120,2102k x x x x ⎧+=>⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，所以120x x <<，所以()0f x '≥的解集为(0,[)44k k -+∞U ， 故函数f (x )的单调递增区间为)+∞和.（ⅲ）当k <-时，同理可得：,0,21,020212121<<∴⎩⎨⎧<=+>=x x kx x x x ()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.综上所述，当k >()f x的单调递增区间为)+∞和；当k ≤()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （3）据（2）知①当k ≤时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增，令210,0x kx x ⎧-->⎨>⎩得2k x +>，取}m =，则当x >m 时，2()10f x x kx >-->.设01x <<，21max{1,}x kx k λ--<--=，所以()l n f x x λ<+，当0x e λ-<<时，()0f x <，取m i n {1,}n e λ-=，则当(0,)x n ∈时，()0f x <，又函数()f x 在定义域(0,)+∞上连续不间断，所以函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.②当22>k 时，()f x 在12(0,)(,)x x +∞和上递增，在12(,)x x 上递减， 其中012,0122211=+-=+-kx x kx x则2221111111()ln 1ln (21)1f x x x kx x x x =+--=+-+-211ln 2x x =--.下面先证明ln (0)x x x <>：设x x x h -=ln )(），由1()xh x x-'=>0得01x <<，所以h (x )在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，01)1()(m a x <-==h x h ，所以()0h x <)0(>x ，即 ln (0)x x x <>.因此，047)21(2)(212111<---=--<x x x x f ，又因为)(x f 在12(,)x x 上递减，所以21()()0f x f x <<，所以()f x 在区间2(0,)x 不存在零点.由①知，当x m >时，()0f x >，()f x 的图象连续不间断，所以()f x 在区间2(,)x +∞上有且仅有一个零点. 综上所述，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.20.解（1）设{}n b 的公比为q ，则有063=+-q q ，即2(2)(23)0q q q +-+=，所以2q =-，从而1(2)3nn S --=.（2）由11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+得112211(2)22nn n a b a b a b n --++⋅⋅⋅+=-+，两式两边分别相减得2(2)nn n a b n n =⋅≥.由条件112a b =，所以*2(N )n n n a b n n =⋅∈，因此111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋅≥，两式两边分别相除得12(2)1n n a n q n a n -⋅=≥-，其中q 是数列{}n b 的公比.所以122(1)(3)2n n a n q n a n ---⋅=≥-，上面两式两边分别相除得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=≥-.所以312234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+，解得113a d a d ==-或，若d a 31-=，则04=a ，有024444==⋅b a 矛盾，所以1a d =满足条件，所以2,nn n a dn b d==.（3）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 当q =1时，112n n b b b ++=，所以112n na b a +=，所以数列{}n a 是等比数列，又数列{}n a 是等差数列，从而数列{}n a 是各项不为0的常数列，因此112b =，经验证，110,2n n a a b =≠=满足条件.当1q ≠时，由11n n n n a b b a ++=+得1111(1)n dn a b q q dn a d-+=++-……（*） ①当d>0时，则1d a n d ->时，10n n a a +>>，所以111dn a dn a d +>+-此时令112dn a dn a d +<+-得12d a n d->，因为112d a d a d d -->所以，当12d a n d ->时，1112dn a dn a d +<<+-. 由（*）知，10,0b q >>. （ⅰ）当q >1时，令11(1)2n b q q-+>得121log (1)qn b q >++，取11122max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当1n M >时，（*）不成立. （ⅱ）当0<q <1时，令11(1)1n b q q -+<得111log (1)qn b q >++，取12121max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当2n M >时，（*）不成立. 因此，没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .②同理可证：当d <0时，也没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .综上所述，所有满足条件的数列{}n a ，{}n b 的通项公式为110,2n n a a b =≠=（*N n ∈）.数学Ⅱ（附加题）答案21．【选做题】答案A ．选修4—1：几何证明选讲 解：取AB 中点G ，连结GF ，12AD AB =，AD AG ∴=，又90BAC ∠=, 即AC 为DG 的垂直平分线, ∴ DF = FG ………………① ，又E 、F 分别为BC 、AC 中点, 1//2EF AB BG EF BG ==∴ 四边形BEFG 为平行四边形, ∴ FG = BE …………② 由①②得BE =DF .B ．选修4—2：矩阵与变换 解:010********m m BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设P ()00,x y 是曲线1C 上的任一点，它在矩阵BA 变换作用下变成点(),P x y '''，则000020210x my x m y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则002x my y x '=⎧⎨'=⎩，即0012x y y x m'=⎧⎪⎨'=⎪⎩， 又点P 在曲线1C 上，则22214x y m''+=，'p 在曲线2C 上，则14''22=+x y ， 故21m =，所以，1m =±.C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：圆的直角坐标方程为()(2214x y -+-=，直线的直角坐标方程为()1y k x =-()tan k α=，因为圆C 被直线l，∴=k =，即tan α=， 又0πα≤<,∴α=π3或2π3.D ．选修4—5：不等式选讲 解：由题知，aba b a x x ++-≤-+-21恒成立，故|1||2|x x -+-不大于aba b a ++-的最小值 ，∵||||2|||≥|a b a b a b a b a -++++-=，当且仅当()()0≥a b a b +-时取等号, ∴aba b a ++-的最小值等于2.∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得1522≤≤x .【必做题】答案22. 解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A 1（0，0，1），B 1（1，0，1）， M （0，1，12），N （12，12，0）设10),1,0,(<<=λλp .则)0,0,(1λ=A ，)1,0,(11λ=+=A ；)1,21,21(--=λ， （1）∵()0,0,1=m 是平面ABC 的一个法向量．=><=∴|,cos |sin m θ45)21(1141)21(|100|22+-=++--+λλ∴当12λ=时，θ取得最大值，此时sin θ=，tan 2θ=即：当12λ=时， θ取得最大值，此时tan 2θ=． 故P A 1的长度为21.（2）=)21,21,21(-，由（1）)1,21,21(--=λ，设(),,x y z =n 是平面PMN 的一个法向量．则111022211()022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎨⎪-+-=⎩得123223y x z x λλ+⎧=⎪⎨-⎪=⎩令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ, ∴()3,12,22λλ=+-n ， ∴|cos ,|<>=m n 4210130λλ++=（*）∵△＝100－4⨯4⨯13＝－108＜0，∴方程（*）无解∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º． 23. 解：（1）当(0,)2πθ∈时，设22()sin cos (sin cos )0n n f n θθθθθ--'=->，等价于0cos sin 22>---θθn n .（ⅰ）n =1时，令，＞0)('f θ得110sin cos θθ->，解得04πθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递增，在(,)42ππ上单调递减，所以()f θ存在极大值，无极小值.（ⅱ）n =2时，()f θ=1，()f θ既无极大值，也无极小值. （ⅲ）3n ≥时，令，＞0)('f θ得sin cos θθ>，所以42ππθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递减，在(,)42ππ上单调递增，所以()f θ存在极小值，无极大值.（3）由22sin cos sin cos 1a θθθθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：21sin cos 2a θθ-= ， 所以sin θ，cos θ是方程22102a x ax --+=的两根， x =，∴()((2nnnnna a f θ+=+=⎝⎭⎝⎭，当k n 2=为偶数时，()()()()()()()()]222222[(2]222222[(2222222244222224244222222kn n n n n kn nn nnnna a C a C a a C a C a a-++-+-+=-++-+-+=--+-+----当12+=k n 为奇数时，()()()()()()()()]2222222[(22222222(222222122442222214244222222kn n n n n n n knn nn nn n nnna C a C a C a C a C a C a a -++-+-+=-++-+-+=--+-+------∵a为[内的有理数，m n C，2n为正整数，∴()fθ为有理数．。
江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学
0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1．已知集合 A { 1,2,3} ， B {2,3,4} ，则集合 A B 中元素的个数为 ▲ ．
x2 8．若双曲线 a2
y2 1
4a 2 的离心率为
3 ，则实数 a 的值为
▲ ．
9．设 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和，若 a1 +a3 a5 a7 a9
10 ，a82 a2 2 =36 ，则 S10 的值为 ▲ ．
10．函数 f ( x) Asin( x 的值为 ▲ ．
)( A 0,
切点为 T ，若 PA 2PT ，则实数 k 的取值范围是 ▲ ．
13．如图，在梯形 ABCD 中， AB // DC ，
D
C
AB 4, AD 2, BAD
且
3 ， E 为 BC
的中点，若 AE DB 9 ，则对角线 AC
E
A
B
（第 13 题）
的长为 ▲ ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14．若关于 x 的不等式 x3 3x2 +ax b 0 对
3
3.
（ 1）求 tan B ；
（ 2）若 a2 b2 7 ，求 c 的值 .
16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中．
H01徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题
徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合AB 中元素的个数为 ．2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ．3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为 ．4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是 ．6．若函数4()2x xaf x x -=⋅为奇函数，则实数a 的值为 ．7．不等式2221xx --<的解集为 ．8．若双曲线222142x y a a -=-的离心率为3，则实数a 的值为 ． 9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若13579+10a a a a a +++=，2282=36a a -，则10S 的值为 ．10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(1)(2)(2018)f f f +++的值为 ．11．已知正实数,m n 满足+3m n =，则22+1++1m n m n 的最小值为 ．12．已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则实数k 的取值范围是 ． 13．如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，且AB=4，AD=2，4,2,3AB AD BAD π==∠=，E 为BC 的中点，若9AE DB ⋅=，则对角线AC 的长为 ．14．若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．S ←0For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S（第4题）AD BCE（第13题）已知在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 33A C ==.（1）求tan B ；（2）若227a b +=，求c 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面PAD ； （2）若AD ∥BC ，2AD BC =，E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ．17．(本小题满分14分)如图（1）是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r 分米的半圆，及矩形ABCD组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B ，且椭圆的离心率为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线BP 与x 轴交于点R ，记直线2A Q RQ ，的斜率分别为12k k ，．求证：212k k -为定值．19．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 满足12n n a a ++=，n S 为其前n 项和． （1）若12a =-，求4S ；（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值；（3）数列{}n a 是否能为等差数列？若能，求出满足条件的1a ；若不能，说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R ． （1）若1a =，解关于x 的方程()0f x =； （2）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值；（3）若存在m ，对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，试确定a 的所有可能值．徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =⋅．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵A 的逆矩阵．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=，已知3(1,)2P π，Q 为圆C 上一点，求线段PQ 长度的最小值．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证： 111x y z yz zx xy x y z++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出. （1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X 为选出的4名同学中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，21111n n n a a a --=+-.（1）用数学归纳法证明：1tan 2n n a +π=； （2）求证：122C (1)2C (1)C (1)C (1)0kk nn n n n n nn n n a a k a n a -+-++-++-≤.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I 参考答案一、填空题1．4 2． 5 3． 1200 4． 45 5．236． 1- 7． (1,2)- 8． 1 9．55210．2+2 11．答案：312．答案：3737[,]77-13．答案：23 14．答案：(,2)-∞- 二、解答题15．（1）在ABC △中，由1cos 3A =，得22122sin 1cos 1()33A A =-=-=.……………………………………………2分所以sin sin C A <，所以C A <，所以C 为锐角，于是2263cos 1sin 1()33C C =-=-=，…………………………………………4分 所以sin tan 22cos A A A ==，sin tan 2cos CC C==，……………………………………6分所以tan tan 222tan tan()21tan tan 1222A CB AC A C ++=-+=-=-=--⨯. ………………8分 （2）由,sin sin a bA B =可得22sin 233sin 363a Ab B ===， ……………………………10分 又227a b +=，解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………………………………………………12分所以22232cos 74333c a b ab C =+-=-⨯=， 所以3c =.……………………………………………………………………………14分（另解：又因为tan tan B C =，角B C ，为ABC △的内角，所以3c b ==.） 16．（1）因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥， 又因为PB PD ⊥， 且ADPD D =，AD PD ⊂，平面PAD ，所以PB ⊥平面PAD ， 又因为PB ⊂平面PBD ，PEABCDF（第16题图）所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分 （2）取PD 的中点F ，连结EF ，因为E F ，分别是PA ，PD 的中点，所以//EF AD ，且=2AD EF ，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2AD BC =，所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形，所以//BE CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD ． …………………………………………………………14分 17．（1）由题意可知：232144(2)282r r ar r ar =π+=π+，所以332242284r r a r r -π-π==. ……………………………………2分 又因为2r a r ≤≤，得332284r ≤≤+π+π. …………………………………4分 所以2224(22)42(4)12810y r a r ar r r r ar r r =+++π⨯+π=++π，=2222128104r r r r r -π⨯++π=26(87)r r++π， 定义域为3322[,]84+π+π.……………………………………………………………6分 （2）令26()(87)f r r r =++π，所以26()(1614)f r r r'=-++π， …………………8分令()0f r '=，即26(1614)r r=+π，解之得：3387r =+π，当3387r >+π时()0f r '>，函数()y f r =为增函数； 当3387r <+π时()0f r '<，函数()y f r =为减函数. …………………12分 又因为332284r ≤≤+π+π，所以函数()y f r =在3322[,]84+π+π上为增函数， 所以当328r =+π时，首饰盒制作费用最低. 答：当328r =+π时，该首饰盒的制作费用最低. …………………………………14分 18．（1）因为椭圆的上顶点为(0,1)B ，离心率为32， 所以1,3,2b c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………2分又222a b c =+，得224,1a b ==，所以椭圆的标准方程是2214x y +=；…………………………………………………4分 （2）根据题意，可得直线1:12xA B y =+，直线21:2)A Q y k x =-（，由112(2)x y y k x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分 由122(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22214(2)4x k x +-=，化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=， 因为2A (2,0)，所以2121164241P k x k -=+，所以21212(41)41P k x k -=+，将21212(41)41P k x k -=+代入直线方程得：121441P k y k -=+，所以21122112(41)4(,)4141k k P k k --++. ……………………………………………10分 又因为(0,1)B ，所以1211211214141212(41)2(21)41BP k k k k k k k --++==----+， 所以直线1121:12(21)k BP y x k +=-+-，令0y =得，112(21)(0)21k R k -+，.………………12分 于是1112111140211=2(21)2(21)242121RQ k k k k k k k k k -- ==++---+，所以1211112=2()242k k k k -+-=，为定值．…………………………………………16分19．（1）由12a =-及12n n a a ++=得，20a =，所以32a =，40a =，所以41234=0S a a a a +++=；…………………………………………………………2分 （2）因为10a >，所以2112||2a a a =-=-，3212||2|2|a a a =-=--，①当102a <…时，3112(2)a a a =--=，所以2211(2)a a =-，得1=1a ；②当12a >时，3112(2)4a a a =--=-，所以2111(4)(2)a a a -=-，得1=22a -（舍）或1=22a +；综合①②可知，1=1a 或1=22a +；…………………………………………………6分 （3）假设数列{}n a 是等差数列，则有212||a a =-，312|2|||a a =--，且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=（*） ……………………………………8分 ①当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾；②当102a <…时，由（*）得11a =，从而1()n a n *=∈N ，此时数列{}n a 为等差数列； ③当10a ?时，可得公差2d =，因此存在2m …， 使得12(1)2m a a m =+->，这与12||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知，当且仅当11a =时，数列{}n a 为等差数列. ……………………16分20．（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，显然(1)0f =，所以1x =是方程()0f x =的一个根．………………………………2分又因为11()1xf x x x-'=-=，且当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而max ()(1)0f x f ==，所以1x =是方程()0f x =的唯一根． ………………………………………………4分（2）因为11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， ①当0a …时，恒有()0f x '>，所以()f x 在[1e]，上单调递增， 所以max ()(e)1+e f x f a a ==-；②当0a >时，当10x a <<时，()0f x '>，当1x a>时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，若1e a …，即10e a <…，max ()(e)1+e f x f a a ==-； 若11e a <<<，即11e a <<，max 11()()ln 11ln f x f a a a a a ==-+=--；若101a<…，即1a …，max ()(1)0f x f ==． 综上所述，()f x 在[1e]，上的最大值为 max 11e,,e 1()1ln ,1,e 1, 1.a a a f x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分 （3）因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，所以22(1)ln (1)x x ax a x --<-+<- ， （i ）设2()(1)ln g x x x ax a =--+-，则11()2(1)22g x x a x a x x'=--+=-+-，显然()g x '在(1,)+∞单调递增， 所以()(1)=1g x g a ''-…， ①当1a …时，恒有g (1)0'…，所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立， 所以()g x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0g x g >，所以1a …符合题意； ②当01a <<时，有122(1)g (1)0,()20a g a a a-''<=-=>， 所以11(1,)x a∃∈，使得1()0g x '=，从而当11x x <<时，g ()0x '<，即()g x 在1(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0g x g >，不符合题意； ③当0a …时，2221()=0x x g x a x --'+<在13(1,)2+恒成立，所以()g x 在13(1,)2+单调递减，所以()<(1)=0g x g >，不符合题意. 综上，()0g x >恒成立时，1a ….……………………………………………………13分 （ii ）设2()(1)ln h x x x ax a =-+-+，则1()22h x x a x'=+--， ()h x '在(1,)+∞单调递增（建议阅卷忽略，讲评要求证）， 所以()(1)=1h x h a ''-…，①当1a >时，有1(1)0,()20h h a a a''<=+->，所以2(1,)x a ∃∈ ，使得2()0h x '=，从而当21x x <<时，()0h x '<，即()h x 在2(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0h x h >，不符合题意； ②当1a …时，有(1)0h '…，所以()(1)0h x h ''>>?在(1,)+∞恒成立， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0h x h >恒成立， 所以1a …符合题意.综合（i ）、（ii ）可知，=1a . …………………………………………………………16分徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案21．A ．连结AC ．…………………………………………………1分因为EA 切圆O 于A ， 所以∠EAB ＝∠ACB ． …………3分因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以∠ACD ＝∠ACB ，AB ＝AD ．于是∠EAB ＝∠ACD ． …………………………………5分 又四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠ABE ＝∠D ． 所以ABE ∆∽CDA ∆．于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD ⋅=⋅．………………9分所以2AB BE CD =⋅．…………………………………10分B ．由λ⋅=⋅A αα得：1112222a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，122,44,a b +=-⎧∴⎨-=-⎩3,20,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ ………5分 设1x y s t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1310120102x y s t -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦A A ， 31,220,30,221,x s s y t t ⎧-=⎪⎪-=⎪∴⎨⎪-=⎪⎪-=⎩1,0,3,41,2x s y t =⎧⎪=⎪⎪∴⎨=-⎪⎪=-⎪⎩1314102-⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ． ……………………………………10分C ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的直角坐标方程为224410x y x y +---=，即22(2)(2)9x y -+-=，A EBCD O· （第21-A 题）所以圆心C 的坐标为(2,2)C ，………………………………………………………4分 点P 的直角坐标为(0,1)P -， ………………………………………………………6分 所以线段PQ 长度的最小值为3133PC -=-． ………………………………10分D ．因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， ………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥． ……10分 22．（1）由题意知，所有的选派方法共有2254=60C C ⋅种，其中有3名女生的选派方法共有112412=4C C C ⋅⋅种，所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种. …………3分 （2）X 的可能取值为0,1,2,3. ……………………………………………………5分2242225461(0)6010C C P X C C ====,2122114124222254+4+247(1)6015C C C C C C P X C C ====, 1111224122422254+16+611(2)6030C C C C C C P X C C ====,112412225441(3)6015C C C P X C C ====,8分 所以X 的分布列为所以171117()0123101530155E X =⨯+⨯+⨯+⨯= . …………………………………10分 23．（1）将11a =代入212111a a a =+-得221a =-，当1n =时，1tan14a π==成立. 假设当n k =（*k ∈N ，1k ≥）时成立，即1tan2k k a +π=， 则当1n k =+时，2111kk ka a a ++-=2111tan 12tan 2k k ++π+-=π1211cos 2tan 2sin 2k k k +++π-π==π， 这就说明，当1n k =+时结论也成立．综上所述，1tan2n n a +π=． ……………………………………………………5分 （2）因为11A C C !k kk n nn k k n k --==，所以111C (1)(1)C (1)k k k k n n n n n k a a n a ----=--， 因此122C (1)2C (1)C (1)C (1)k k nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-1(1)n n n a na -=-． X 012 3P110715 1130115由（1）知，1tan (0,1]2n n a +π=∈，所以1(1)0n n n a na --≤，得证．……………10分。
2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷
2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1. 已知集合A ={x|x 2−x =0}，B ={−1, 0}，则A ∪B =________． 【答案】 {−1, 0, 1} 【考点】 并集及其运算 【解析】化简集合A ，根据并集的定义写出A ∪B ． 【解答】解：集合A ={x|x 2−x =0}={x|x =0或x =1}={0, 1}， B ={−1, 0}，则A ∪B ={−1, 0, 1}． 故答案为：{−1, 0, 1}.2. 已知复数z =2+i 2−i（i 为虚数单位），则z 的模为________．【答案】 1【考点】 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵ z =2+i2−i =(2+i)2(2−i)(2+i)=35+45i ， ∴ |z|=√(35)2+(45)2=1．故答案为：1.3. 函数y =√log 12x 的定义域是________．【答案】(0, 1] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x 的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域． 【解答】 解：log 12x ≥0, ∴ 0<x ≤1.∴ 函数的定义域为(0, 1].故答案为：(0, 1].4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为________．【答案】13【考点】循环结构的应用【解析】通过分析伪代码，按照代码进行执行，当I=8时即跳出循环．输出b的值即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得，a=0，b=1，I=2，满足条件I≤6，执行循环体，a=0+1=1，b=1+1=2，I=2+2=4，满足条件I≤6，执行循环体，a=1+2=3，b=3+2=5，I=4+2=6，满足条件I≤6，执行循环体，a=3+5=8，b=8+5=13，I=6+2=8，不满足条件I≤6，退出循环，输出b的值为13．故答案为：13.5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[250, 400)内的学生共有________人．【答案】750【考点】频率分布直方图【解析】由样本的频率分布直方图求出a，从而成绩在[250, 400)内的频率为0.75，由此能求出成绩在[250, 400)内的学生人数．【解答】解：由样本的频率分布直方图得：(0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003)×50=1，解得a=0.006．∴成绩在[250, 400)内的频率为(0.004+0.006+0.005)×50=0.75，∴成绩在[250, 400)内的学生共有1000×0.75=750．故答案为：750.6. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0，则该双曲线的离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y=±bax，结合题意可得b a =12，即a=2b，由双曲线的几何性质可得c=√a2+b2=√5b，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线x2a2−y2b2=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±bax，若双曲线的一条渐近线方程为x−2y=0，即y=12x，则有ba =12，即a=2b，则c=√a2+b2=√5b，则该双曲线的离心率e=ca =√52.故答案为：√52.7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．【答案】59【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=6×6=36，利用列举求出事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个，由此能求出事件“点数之积是3的倍数”的概率．【解答】解：连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个，分别为：(1, 3)，(3, 1)，(1, 6)，(6, 1)，(2, 3)，(3, 2)，(2, 6)，(6, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(4, 3)，(3, 5)，(5, 3)，(3, 6)，(6, 3)，(4, 6)，(6, 4)，(5, 6)，(6, 5)，(6, 6)，∴事件“点数之积是3的倍数”的概率：p=2036=59．故答案为：59.8. 已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是3√5cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3．【答案】54【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3√5cm，求出高ℎ=6cm，由此能求出这个正四棱柱的体积．【解答】解：设正四棱柱的高为ℎ，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3√5cm，∴√32+ℎ2=3√5，解得ℎ=6(cm)，∴这个正四棱柱的体积V=Sℎ=3×3×6=54(cm3)．故答案为：54.9. 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】4【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义【解析】由题意，函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标可知，函数f(x)相邻的对称轴x=π4和π2，又根据相邻对称轴是半个周期即可求解ω的值．【解答】解：由题意，函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，可知函数f(x)相邻的对称轴x=π6+π32=π4，另一条为x=π2，相邻对称轴是半个周期，即12T=π2−π4，可得：T=π2．∴ω=2ππ2=4．故答案为：4.10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C:xy =√3上任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离的最小值为________． 【答案】 √3【考点】基本不等式在最值问题中的应用 点到直线的距离公式 【解析】设P(a,√3a)，可得任意一点P 到直线l:x+√3y =0的距离d =|a+3a|2=|a|+3|a|2，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】 解：设P(a,√3a )，则任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离： d =|a+3a|2=|a|+3|a|2≥2√32=√3，当且仅当|a|=√3时取等号．故答案为：√3.11. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10，a 82−a 22=36，则a 11的值为________． 【答案】 11【考点】等差数列的性质 等差数列的通项公式 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10，可得5a 5=10，可得：a 1+4d =2．由a 82−a 22=36，可得6d(a 8+a 2)=36，即2a 5⋅d =6，联立解出即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10， ∴ 5a 5=10，可得：a 1+4d =2．∵ a 82−a 22=36， ∴ 6d(a 8+a 2)=36，即2a 5⋅d =6，∴ d =32， ∴ a 1=−4．则a 11=−4+10×32=11．故答案为：11.12. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2：(x −2)2+(y −1)2=1上，则r 的取值范围是________．【答案】[√2−1, √2+1] 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 关于点、直线对称的圆的方程 【解析】根据圆的对称性转化为两圆相交的等价条件进行求解即可． 【解答】解：若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2：(x −2)2+(y −1)2=1上， 等价为若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆 与圆C 2：(x −2)2+(y −1)2=1相交，则圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆为 圆C:y 2+(x −1)2=r 2(r >0)，则圆心C(1, 0)，半径r ，圆心C 2(2, 1)，半径1， 则|CC 2|=√(2−1)2+1=√2，若两圆相交则满足r −1≤|CC 2|≤r +1， 即r −1≤√2≤r +1， 解得√2−1≤r ≤√2+1，即r 的取值范围是[√2−1, √2+1]， 故答案为：[√2−1, √2+1].13. 已知函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1 函数g(x)=f(x)+f(−x)，则不等式g(x)≤2的解集为________． 【答案】 [−2, 2] 【考点】一元二次不等式的解法分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】讨论当−1≤x ≤1时，当x <−1时，去绝对值，再分别讨论−1≤x ≤1，x <−1，x >1时，求得g(x)的解析式，解不等式求并集，即可得到所求解集． 【解答】解：函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1， 当−1≤x ≤1时，f(x)=1−x ； 当x <−1时，f(x)=x +3； 当x >1时，f(x)=(x −1)2． ①当x >1，即−x <−1，可得g(x)=(x −1)2+3−x =x 2−3x +4， 由g(x)≤2，解得1<x ≤2；②当x <−1时，−x >1，则g(x)=x +3+(x +1)2=x 2+3x +4， 由g(x)≤2，解得−2≤x <−1； ③当−1≤x ≤1时，−1≤−x ≤1， 可得g(x)=1−x +1+x =2， 由g(x)≤2，解得−1≤x ≤1，综上可得，原不等式的解集为[−2, 2]． 故答案为：[−2, 2].14. 如图，在△ABC 中，已知AB =3，AC =2，∠BAC =120∘，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB →⋅EC →的值为________．【答案】−277【考点】 余弦定理平面向量数量积的运算 向量的三角形法则 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理即可求出BC =√19，从而得出DC =√192，并求出cos∠ACB =2√19，这样在△ACD 中，由余弦定理即可求出AD 的值，从而求出cos∠ADC =√7×√19，这样在Rt △CDE 中即可求出DE 的值，而EB →∗EC →=ED →2−DB →2，从而可求出数量积EB →∗EC →的值．【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理：BC 2=32+22−2×3×2×(−12)=19， ∴ BC =√19，BD =DC =√192，∴ cos∠ACB =2×2×√19=2√19.在△ACD 中： AD 2=22+(√192)2−2×2×√192×2√19=74，∴ AD =√72，∴ cos∠ADC =74+194−42×√72×√192=√7×√19，在Rt △DEC 中，DE =CD ⋅cos∠ADC =2√7， ∴ EB →⋅EC →=(ED →+DB →)⋅(ED →+DC →)=(ED →+DB →)⋅(ED →−DB →) =|ED →|2−|DB →|2 =(52√7)2−(√192)2=2528−194 =−277． 故答案为：−277.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，tan(B −A)=13． (1)求tanB 的值；(2)若c =13，求△ABC 的面积． 【答案】解：(1)在△ABC 中，由cosA =35可知A 为锐角，所以sinA =45， 所以tanA =sinA cosA =43，所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3；(2)在三角形ABC 中，由tanB =3， 所以sinB =3√1010，cosB =√1010，由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050，由正弦定理bsinB =csinC ，得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78．【考点】两角和与差的正切公式 正弦定理同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出，（2）根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出． 【解答】解：(1)在△ABC 中，由cosA =35可知A 为锐角，所以sinA =45， 所以tanA =sinAcosA =43，所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3；(2)在三角形ABC 中，由tanB =3， 所以sinB =3√1010，cosB =√1010，由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050，由正弦定理bsinB =csinC ，得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =90∘，AB =AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点.求证：(1)MN // 平面ABB 1A 1；(2)AN ⊥A 1B . 【答案】证明：(1)如图，取AB 的中点P ，连结PM 、PB 1.因为M ，P 分别是AC ，AB 的中点， 所以PM // BC ，且PM =12BC .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， BC // B 1C 1，BC =B 1C 1， 又因为N 是B 1C 1的中点，所以PM // B 1N ，且PM =B 1N ． 所以四边形PMNB 1是平行四边形， 所以MN // PB 1，又MN 平面ABB 1A 1，PB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以MN // 平面ABB 1A 1.(2)因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1， 又因为BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，又因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，如图，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB=AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1=B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，又AN⊂平面AB1N，所以AN⊥A1B．【考点】两条直线垂直的判定平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)如图，取AB的中点P，连结PM、PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，BC.所以PM // BC，且PM=12在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC // B1C1，BC=B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM // B1N，且PM=B1N．所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN // PB1，又MN平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN // 平面ABB1A1.(2)因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，又因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，如图，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB=AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1=B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，又AN⊂平面AB1N，所以AN⊥A1B．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180∘而成，如图2，已知圆O的，圆锥的侧面积为Scm2．半径为10cm，设∠BAO=θ，0<θ<π2(1)求S关于θ的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．【答案】解：(1)根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，在△AOE 中，AE =10cosθ，AB =2AE =20cosθ， 在△ABD 中，BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ，所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ，(0<θ<π2). (2)由(1)得：S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3，(0<x <1)，则f′(x)=1−3x 2，令f′(x)=1−3x 2=0，可得x =√33，当x ∈(0, √33)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增，当x ∈(√33, 1)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减，所以f(x)在x =√33时取得极大值，也是最大值；所以当sinθ=√33，即cosθ=√63时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63；答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm ． 【考点】利用导数研究函数的最值 解三角形的实际应用同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，分析可得AB =2AE =20cosθ，BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ，由圆锥的侧面积公式可得S 的表达式，即可得答案；（2）由（1）可得S 的表达式可得S =12400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ)，设f(x)=x −x 3，(0<x <1)，求导求出其在区间(0, 1)上的最大值，求出x 的值，即可得当sinθ=√33，即cosθ=√63时，侧面积S 取得最大值，计算即可得答案．【解答】解：(1)根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，在△AOE 中，AE =10cosθ，AB =2AE =20cosθ， 在△ABD 中，BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ，所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ，(0<θ<π2). (2)由(1)得：S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3，(0<x <1)，则f′(x)=1−3x 2，令f′(x)=1−3x 2=0，可得x =√33，当x ∈(0, √33)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增，当x ∈(√33, 1)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减，所以f(x)在x =√33时取得极大值，也是最大值；所以当sinθ=√33，即cosθ=√63时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63；答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为12，且过点(1, 32)．F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若AF =FC ，求BFFD 的值；(3)设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2=mk 1，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由题意知e =ca =12，则a =2c ，b 2=a 2−c 2=3c 2， 将(1, 32)代入椭圆方程：14c 2+93c 2×4=1，解得：c =1， 则a =2，b =√3， ∴ 椭圆方程为：x 24+y 23=1；(2)若AF =FC ，根据椭圆的对称性可知，A(1, 32)， ∵ A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，∴ B(−1, −32)， ∵ F 为椭圆的右焦点，∴ F(1, 0)， 此时直线BF 方程为3x −4y −3=0，由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1 ，整理得7x 2−6x −13=0，解得x =137（x =−1舍去），故BFFD =1−(−1)137−1=73．(3)设A(x 0, y 0)，则B(−x 0, −y 0)，直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1)，代入椭圆方程x 24+y23=1，得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0，即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0，因为x =x 0是该方程的一个解，所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0，又C(x C , y C )在直线y =yx 0−1(x −1)上，所以y C =y 0x 0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0，同理，D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0)，所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1，即存在m =53，使得k 2=53k 1．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的应用 椭圆的标准方程 【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）由AF =FC ，即可求得A 和B 点坐标，求得直线BF 的方程，代入椭圆方程，即可求得B 点坐标，即可求得答案；（3）设A 点坐标，求得直线AF 的方程，代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，同理求得D 点坐标，根据直线的斜率公式，即可求得即存在m =53，使得k 2=53k 1． 【解答】解：(1)由题意知e =ca =12，则a =2c ，b 2=a 2−c 2=3c 2，将(1, 32)代入椭圆方程：14c 2+93c 2×4=1，解得：c =1， 则a =2，b =√3， ∴ 椭圆方程为：x 24+y 23=1；(2)若AF =FC ，根据椭圆的对称性可知，A(1, 32)， ∵ A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，∴ B(−1, −32)， ∵ F 为椭圆的右焦点，∴ F(1, 0)， 此时直线BF 方程为3x −4y −3=0，由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1，整理得7x 2−6x −13=0，解得x =137（x =−1舍去），故BF FD =1−(−1)137−1=73． (3)设A(x 0, y 0)，则B(−x 0, −y 0)，直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1)，代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0，即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0，因为x =x 0是该方程的一个解，所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0，又C(x C , y C )在直线y =y 0x 0−1(x −1)上，所以y C =y 0x0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0，同理，D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0)，所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1，即存在m =53，使得k 2=53k 1．已知函数f(x)=x 2+ax +1，g(x)=lnx −a(a ∈R)． (1)当a =1时，求函数ℎ(x)=f(x)−g(x) 的极值；(2)若存在与函数f(x)，g(x) 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞)，当a =1时，ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2， 所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，所以当0<x <12时，ℎ′(x)<0，当x >12时，ℎ′(x)>0， 所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减，在区间(12, +∞)单调递增， 所以当x =12时，函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2，无极大值；(2)设函数f(x)上点（x1, f(x1)）与函数g(x)上点（x2, g(x2)）处切线相同，则f′(x1)=g′(x2)=f(x1)−g(x2)x1−x2，所以2x1+a=1x2=x12+ax1+1−lnx2+ax1−x2，所以x1=12x2−a2，代入x1−x2x2=x12+ax1+1−lnx2+a得：1 4x22−a2x2+lnx2−a+a24−2=0(∗)设F(x)=14x −a2x+lnx−a+a24−2，则F′(x)=−12x3+a2x2+1x=2x2+ax−12x3，不妨设2x02+ax0−1=0(x0>0)，则当0<x<x0时，F′(x)<0，当x>x0时，F′(x)>0，所以F(x)在区间(0, x0)上单调递减，在区间(x0, +∞)上单调递增，代入a=1−2x02x0=1x0−2x0，可得F(x)min=F(x0)=x02+2x0−1x+lnx0−2，设G(x)=x2+2x−1x+lnx−2，则G′(x)=2x+2+1x2+1x>0对x>0恒成立，所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增，又G(1)=0，所以当0<x<1时G(x)≤0，即当0<x1≤1时F(x1)≤0，又当x=e m+2时F(x)=14e2m+4−a2e m+2+lne m+2−a+a24−2=14(1e m+2−a)2≥0，因此当0<x1≤1时，函数F(x)必有零点；即当0<x1≤1时，必存在x2使得(∗)成立；即存在x1，x2，使得函数f(x)上点（x1, f(x1)）与函数g(x)上点（x2, g(x2)）处切线相同．又由y=1x −2x得y′=−1x−2<0，所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减，因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞)，所以实数a的取值范围是[−1, +∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】（1）求得ℎ(x)的定义域，以及导数，讨论单调区间，可得极值；（2）设函数f(x)上点（x1, f(x1)）与函数g(x)上点（x2, f(x2)）处切线相同，分别求得导数和切线的斜率，可得14x 22−a2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗)设F(x)=14x 2−a2x +lnx −a +a 24−2，求出导数和单调区间，最值，运用单调性，计算可得a 的范围．【解答】解：(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞)，当a =1时，ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2， 所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，所以当0<x <12时，ℎ′(x)<0，当x >12时，ℎ′(x)>0， 所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减，在区间(12, +∞)单调递增， 所以当x =12时，函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2，无极大值；(2)设函数f(x)上点（x 1, f(x 1)）与函数g(x)上点（x 2, g(x 2)）处切线相同， 则f′(x 1)=g′(x 2)=f(x 1)−g(x 2)x 1−x 2，所以2x 1+a =1x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+ax 1−x 2，所以x 1=12x 2−a2，代入x 1−x 2x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+a 得：14x 22−a 2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗) 设F(x)=14x−a 2x+lnx −a +a 24−2， 则F′(x)=−12x 3+a2x 2+1x =2x 2+ax−12x 3，不妨设2x 02+ax 0−1=0(x 0>0)，则当0<x <x 0时，F′(x)<0，当x >x 0时，F′(x)>0，所以F(x)在区间(0, x 0)上单调递减，在区间(x 0, +∞)上单调递增，代入a =1−2x 02x 0=1x 0−2x 0，可得F(x)min =F(x 0)=x 02+2x 0−1x 0+lnx 0−2， 设G(x)=x 2+2x −1x +lnx −2，则G′(x)=2x +2+1x 2+1x >0对x >0恒成立，所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增，又G(1)=0，所以当0<x <1时G(x)≤0，即当0<x 1≤1时F(x 1)≤0， 又当x =em+2时F(x)=14e 2m+4−a2e m+2+lne m+2−a +a 24−2=14(1e m+2−a)2≥0，因此当0<x 1≤1时，函数F(x)必有零点； 即当0<x 1≤1时，必存在x 2使得(∗)成立；即存在x 1，x 2，使得函数f(x)上点（x 1, f(x 1)）与函数g(x)上点（x 2, g(x 2)）处切线相同．又由y=1x −2x得y′=−1x2−2<0，所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减，因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞)，所以实数a的取值范围是[−1, +∞)．已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1=2，S n=λna n+μa n−1，其中n≥2，n∈N∗，λ，μ∈R．(1)若λ=0，μ=4，b n=a n+1−2a n(n∈N∗)，求证：数列{b n}是等比数列；(2)若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；(3)若a2=3，且λ+μ=32，求证：数列{a n}是等差数列．【答案】(1)证明：若λ=0，μ=4，则当S n=4a n−1(n≥2)，所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1)，即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1)，所以b n=2b n−1，又由a1=2，a1+a2=4a1，得a2=3a1=6，a2−2a1=2≠0，即b n≠0，所以b nb n−1=2，故数列{b n}是等比数列．(2)解：若{a n}是等比数列，设其公比为q(q≠0)，当n=2时，S2=2λa2+μa1，即a1+a2=2λa2+μa1，得1+q=2λq+μ，①当n=3时，S3=3λa3+μa2，即a1+a2+a3=3λa3+μa2，得1+q+q2=3λq2+μq，②当n=4时，S4=4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3，得1+q+q2+q3=4λq3+μq2，③②-①×q，得1=λq2，③-②×q，得1=λq3，解得q=1，λ=1．代入①式，得μ=0．此时S n=na n，(n≥2)，所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列，则λ=1，μ=0．(3)证明：若a2=3，由a1+a2=2λa2+μa1，得5=6λ+2μ，又λ+μ=32，解得λ=12，μ=1．由a1=2，a2=3，λ=12，μ=1，代入S n=λna n+μa n−1得a5=4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n=n2a n+a n−1，得S n+1=n+12a n+1+a n，两式相减得：a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1，即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0，所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0，相减得：na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0，所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0，所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1)，因为a3−2a2+a1=0，所以a n+2−2a n+1+a n=0，即数列{a n}是等差数列．【考点】数列递推式等比关系的确定等差关系的确定【解析】（1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．（2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解．（3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明．【解答】(1)证明：若λ=0，μ=4，则当S n=4a n−1(n≥2)，所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1)，即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1)，所以b n=2b n−1，又由a1=2，a1+a2=4a1，得a2=3a1=6，a2−2a1=2≠0，即b n≠0，所以b nb n−1=2，故数列{b n}是等比数列．(2)解：若{a n}是等比数列，设其公比为q(q≠0)，当n=2时，S2=2λa2+μa1，即a1+a2=2λa2+μa1，得1+q=2λq+μ，①当n=3时，S3=3λa3+μa2，即a1+a2+a3=3λa3+μa2，得1+q+q2=3λq2+μq，②当n=4时，S4=4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3，得1+q+q2+q3=4λq3+μq2，③②-①×q，得1=λq2，③-②×q，得1=λq3，解得q=1，λ=1．代入①式，得μ=0．此时S n=na n，(n≥2)，所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列，则λ=1，μ=0．(3)证明：若a2=3，由a1+a2=2λa2+μa1，得5=6λ+2μ，又λ+μ=32，解得λ=12，μ=1．由a1=2，a2=3，λ=12，μ=1，代入S n=λna n+μa n−1得a5=4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n=n2a n+a n−1，得S n+1=n+12a n+1+a n，两式相减得：a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1，即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0，所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0，相减得：na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0，所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0，所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1)，因为a3−2a2+a1=0，所以a n+2−2a n+1+a n=0，即数列{a n}是等差数列．【选做题】本题包括21，22，23，24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：AB2=BE⋅BD−AE⋅AC．【答案】证明：如图所示，连接AD，BC．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90∘．∵EF⊥FB，∴∠EFB=90∘=∠ADB，∴ A ，D ，E ，F 四点共圆，∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF ． 在△EFA 与△BCA 中，∠EAF =∠BAC ，∠EFA =∠BCA ， ∴ △EFA ∼△BCA ，∴ AEAB =AFAC ，∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC ．∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC ． 【考点】与圆有关的比例线段 相似三角形的性质 相似三角形的判定 【解析】如图所示，连接AD ，BC ．由AB 是圆O 的直径，可得∠ADB ＝∠ACB ＝90∘．由EF ⊥FB ，可得四点A 、D 、E 、F 共圆，利用切割线定理：BD ⋅BE ＝AB ⋅BF ＝AB ⋅(AB +AF)＝AB 2+AB ⋅AF ．由已知可得：△EFA ∽△BCA ．可得AB ⋅AF ＝AE ⋅AC ．即可证明． 【解答】证明：如图所示，连接AD ，BC ．∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ADB =∠ACB =90∘． ∵ EF ⊥FB ，∴ ∠EFB =90∘=∠ADB ， ∴ A ，D ，E ，F 四点共圆，∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF ． 在△EFA 与△BCA 中，∠EAF =∠BAC ，∠EFA =∠BCA ， ∴ △EFA ∼△BCA ，∴ AEAB =AFAC ，∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC ． ∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC ． [选修4-2：矩阵及变换]已知矩阵A =[100−1]，B =[4123]，若矩阵M =BA ，求矩阵M 的逆矩阵M −1．【答案】解：M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3]， 所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]． 【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】根据矩阵的乘法，求得M ，根据二阶矩阵的逆矩阵的求法，即可求得矩阵M 的逆矩阵M −1． 【解答】解：M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3]， 所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]． [选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l:{x =1+2ty =1−2t （t 为参数）与圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0的位置关系． 【答案】解：把直线方程l {x =1+2ty =1−2t （t 为参数），转化为普通方程为x +y =2．将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为：x 2+2x +y 2−2y =0， 即：(x +1)2+(y −1)2=2． 圆C 到直线l 的距离d =√2=√2， 所以直线l 与C 相切． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的参数方程 直线与圆的位置关系 【解析】首先把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出直线和远的位置关系． 【解答】解：把直线方程l {x =1+2ty =1−2t （t 为参数），转化为普通方程为x +y =2．将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为：x 2+2x +y 2−2y =0， 即：(x +1)2+(y −1)2=2． 圆C 到直线l 的距离d =2=√2， 所以直线l 与C 相切． [选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a +b +c +d =1，求证：a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ≥15． 【答案】证明：∵ a ，b ，c ，d 都是正实数，且a +b +c +d =1； ∴ [(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ) ≥(√1+a a√1+a√1+b b √1+b√1+c ⋅c √1+c+√1+d d √1+d)2=(a +b +c +d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立；又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5；∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15．【考点】不等式的证明【解析】由a，b，c，d都是正实数，并且a+b+c+d＝1，根据柯西不等式即可得出[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥1，从而可得出a21+a+b21+b+c2 1+c +d21+d≥15．【解答】证明：∵a，b，c，d都是正实数，且a+b+c+d=1；∴[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥(√1+a√1+a √1+b√1+b√1+c⋅√1+c+√1+d√1+d)2=(a+b+c+d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立；又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5；∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=1，AA1=2，E，F，G分别是AA1，AC和A1C1的中点．以{FA→, FB→, FG→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F−xyz．(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角F−BC1−C的余弦值．【答案】解：(1)因为AB=1，AA1=2，则F(0, 0, 0)，A(12, 0, 0)，C(−12, 0, 0)，B(0, √32, 0)，E(12, 0, 1)，所以AC →=(−1, 0, 0)，BE →=(12,−√32, 1)，记直线AC 和BE 所成角为α， 则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24，所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24．(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z)， 因为FB →=(0, √32, 0)，FC 1→=(−12,0,2)，则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0，取x =4，得m →=(4, 0, 1)， 设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z)，因为CB →=(12,√32, 0)，CC 1→=(0, 0, 2)，则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ，取x =√3，得n →=(√3,−1,0)， ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117，根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角， 所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117． 【考点】用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】（1）求出AC →=(−1, 0, 0)，BE →=(12,−√32, 1)，由此能求出直线AC 和BE 所成角的余弦值．（2）求出平面BFC 1的法向量和平面BCC 1的一个法向量，利用向量法能求出二面角F −BC 1−C 的余弦值． 【解答】解：(1)因为AB =1，AA 1=2， 则F(0, 0, 0)，A(12, 0, 0)，C(−12, 0, 0)， B(0, √32, 0)，E(12, 0, 1)， 所以AC →=(−1, 0, 0)，BE →=(12,−√32, 1)，记直线AC 和BE 所成角为α， 则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24，所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24．(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z)， 因为FB →=(0, √32, 0)，FC 1→=(−12,0,2)，则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0 ，取x =4，得m →=(4, 0, 1)， 设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z)， 因为CB →=(12,√32, 0)，CC 1→=(0, 0, 2)，则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ，取x =√3，得n →=(√3,−1,0)， ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117，根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角， 所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117．在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C:y 2=4x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若直线l 1与曲线E 相切于点Q(s, t)，过Q 且垂直于l 1的直线为l 2，直线l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值． 【答案】解：(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ，所以F 的坐标为(1, 0)， 设M(m, n)，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2, 2n)，则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1，即2n(x −1)−y(n 2−1)=0， 所以2222=|n|，又m ，n ≠0，所以|2m −n 2−1|=n 2+1，即n 2−m +1=0， 所以E 的方程为y 2=x −1，(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t)，A(0, y 1)，B(0, y 2)，由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，由y′=2√x−1，所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t ， k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ，所以y 1=t 2−12t ，y 2=2t 3+3t ，所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ，t >0． 令f(t)=2t 3+52t +12t ，t >0， 则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2，由f′(t)>0得t >√−5+√7324，由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324，所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减，在(√−5+√7324单调递增，所以当t =√−5+√7324时，f(t)取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，此时s =t 2+1=19+√7324．【考点】直线与抛物线结合的最值问题 利用导数研究函数的最值 轨迹方程 【解析】（1）根据题意可得PF 的方程2n(x −1)−y(n 2−1)=0，根据距离即可求出，（2）点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，根据导数的几何意义和斜率公式，求|AB|，并构造函数，利用导数求出函数的最值． 【解答】解：(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ，所以F 的坐标为(1, 0)， 设M(m, n)，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2, 2n)，则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1，即2n(x −1)−y(n 2−1)=0， 所以2222=|n|，又m ，n ≠0，所以|2m −n 2−1|=n 2+1，即n 2−m +1=0， 所以E 的方程为y 2=x −1，(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t)，A(0, y 1)，B(0, y 2)，由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，由y′=2√x−1，所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t ， k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ，所以y 1=t 2−12t ，y 2=2t 3+3t ，所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ，t >0． 令f(t)=2t 3+52t +12t ，t >0， 则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2，由f′(t)>0得t >√−5+√7324，由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324，所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减，在(√−5+√7324单调递增，所以当t =√−5+√7324时，f(t)取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，此时s=t2+1=19+√73．24。
江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(一)数学试题(含答案)
2018届铜山区高考模拟卷(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B = ▲ ．2.设复数z 满足i z i 2)1(=+，则z =___▲___．3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是___▲___．6.已知3tan()63απ-=，则tan()6α5π+= ▲ ．7. 若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则目标函数y x z +=2的最小值为 ▲ ．8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_ ▲ ．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为___▲___．10.已知椭圆C ：22221x y a b +=，)0(>>b a 的左、右顶点分别为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为___▲___．11.函数()f x 是周期为4的偶函数，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则不等式()0xf x >在[1,3]-上的解集为 ▲ ．12.在矩形21==AD AB ABCD ，中，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。
2018年江苏省徐州市铜山区高考数学三模试卷
2018年江苏省徐州市铜山区高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．(★)知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x 2＜1}，则A∩B= ．2．(★)知复数z满足zi=1+i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在第象限．3．(★)人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如图（左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数），则该组数据的方差s 2的值为．4．(★)据图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．(★)将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为．6．(★★★)设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为．7．(★★)直线y=x+2与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为．8．(★★)已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是（填写所有真命题的序号）．9．(★★★)设S n是等比数列{a n}的前n项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2+a 5=2a m，则m= ．10．(★★★)等边△ABC边长为2，过边BC上一点P分别作AB，AC的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为．11．(★★★)已知圆O：x 2+y 2=r 2（r＞0）及圆上的点A（-r，0），过点A的直线l交y轴于点B（0，1），交圆于另一点C，若AB=2BC，则直线l的斜率为．12．(★★★)设函数f（x）= ，则满足f（f（a））＜（f（a））2的a的取值范围为．13．(★★★)正数a，b，c满足，若恒成立，则实数t最大值为14．(★★★)当a＞0时，若∃x∈R，使得a 3x-4成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(★★★)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=1，b=2 ，B-A= ．（1）求sinA的值；（2）求c的值．16．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，∠APB=90°，BP=BC，M为CP的中点．求证：（1）AP∥平面BDM；（2）BM⊥平面ACP．17．(★★★)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离AC=50m，在A，C之间取一导航标志观测点P，当点P在AC中点时，测得两楼顶导航标记的张角∠BPD=45°，若∠ACB=45°．（1）求两导航标记距离地面的高度AB、CD；（2）要使在点P处看两楼顶导航标记的张角∠BPD最大，点P应在何处？18．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是椭圆+ =1（a＞b＞0）的上、下顶点，点M（0，）为线段AO的中点，AB= a．（1）求椭圆的方程；（2）设N（t，2）（t≠0），直线NA，NB分别交椭圆于点P，Q，直线NA，NB，PQ的斜率分别为k 1，k 2，k 3．①求证：P，M，Q三点共线；②求证：k 1k 3+k 2k 3-k 1k 2为定值．19．(★★★)已知数列{a n}的首项a 1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n 2．（1）求证：数列{b n}的任意连续三项不成等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若对∀n∈N*且n≥2，不等式（a n-1）（a n+1-1）≥2（1-n）恒成立，求a的取值范围．20．(★★★)已知函数f（x）=x-a，g（x）=lnx-b，a，b∈R（1）若b=0，f（x）g（x）≥0恒成立，求实数a的值；（2）若a=0，，求证：函数h（x）在（0，+∞）上有唯一的零点；（3）若a=0，，若f（x 1）g（x 1）=f（x 2）g（x 2），x 1≠x 2，求证：．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．(★★★)AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．(★★★)已知a，b∈R，向量为= 是矩阵A= 的属于特征值-3的一个特征向量．（1）求矩阵A的另一个特征值；（2）求矩阵A的逆矩阵A -1．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）．求直线l被曲线C所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．(★★★)已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x 2+3y 2+z 2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．25．(★★★)某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；（2）设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．26．(★★★★)在各项均不相同的数列a 1，a 2，a 3，…，a n（n∈N*）中，任取k（k∈N，且k≤n）项变动位置，其余n-k项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P 4（0）+P 4（1）+P 4（2）+P 4（3）的值；（2）求P 5（5）的值；（3）设A n= kP n（n-k），求证：A n+1=（n+1）P n（n-k）．。
2018届高考模拟试卷一参考答案.doc
s i nB 2 sAi n，求边 a ， b 的值 .
【解析】（Ⅰ）因为
f (x) 2sin( x )cos x 6
3
1
2 sin x cos x cos x
2
2
3 sin x cos x cos2 x
------------------------------------------------------------------- 4 分
2 ． ---------------------------------------------------8 5
综上，满足要求的实数 k 有且仅有一个， k
2
； ---------------------------------9
5
（Ⅲ）当 k
1 时， an 1
2
1 ( an an 2 ) ，所以 an 2 an 1
kPB ?kBA
y1 - y0 ? y1 + y0 x1 - x0 x1 + x0
y12 -
2
x1 -
( y02
2
=
1-
x0
) ( x12 - 1-
4
2
2
x1 - x0
)x22
4 =-
1 4
............................... 9 分
(1-
又 kBA = kAD =
2l ) y0 - (x0 - (- x0 )
y0 ) =
(1- l ) y0
x0
故 kPB = -
1 =4k BA
x0
4 (1 - l ) y0 .----------------------------------------------------------------------
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2018届高考模拟试卷一参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）1.22.四3.284.35.8π 6.a ＞2 7.6π 8.54 9.6π10.3π11.448 12.2 13.24 14.()5333， 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，四边形DCEF 为梯形，EF ∥CD ，FB FD =．（1）若2CD EF =，求证：OE ∥平面ADF ； （2）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ．【解析】（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连接OG 、FG ，因为O 为对角线AC 与BD 的交点，则O 为AC 中点， 所以OG ∥CD ，且12OG CD =． 又因为EF ∥CD ，且2CD EF =，所以OG ∥EF ，OG EF =，则四边形OGFE 为平行四边形，----------3分 所以OE ∥FG ．又因为FG ⊂平面ADF ，OE ⊄平面ADF ，OE ∥FG ，所以OE ∥平面ADF ；-------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以OC BD ⊥，--------------------------7分又因为FB FD =，O 是BD 的中点，所以OF BD ⊥，------------------8分 又有OFOC O OF =⊂，平面ACF ，OC ⊂平面ACF ,所以BD ⊥平面ACF ，----------------------------------------------12分 又因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面ACF ⊥平面ABCD ．----------------------------------------14分16．（本小题满分14分）已知函数()2sin()cos 6f x x x π=-.（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且c =，1()2f C =，若sin 2sin B A =，求边a ，b 的值.【解析】（Ⅰ）因为)2()2sin()cos 612cos cos 22cos cos 1cos 2221sin(2)62f x x xx x x x x x x x x ππ=-=-=-+=-=---------------------------------------------------------------------4分当且仅当,3x k k Z ππ=+∈时，max 1()2f x =--------------------------------------6分 最小正周期分别为和22T ππ==.------------------------------------------------7分 （Ⅱ）因为11()sin(2)622f C C π=--=，即sin(2)16C π-=，因为0C π<<，所以 112666C πππ-<-<，于是262C ππ-=，即3C π=.------------------------------10分 因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，-------------------------------------12分 由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2212a b ab +-=，联立22212b aa b ab =⎧⎨+-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩.-------------------------------------------14分17．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；-（2）设P 为椭圆上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD PQ λ=，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，求实数λ的值.【解析】17.解:(1)因为点222，在椭圆C 上，则222112a b+=，------------------------------1分 又椭圆C 的离心率为32，可得32ca，即32ca ， 所以2222223124b acaa a ，代入上式，可得22221a a +=， 解得24a ，故22114ba .所以椭圆C 的方程为2214x y += ...............................................................................................5分 (2)设P (x 0，y 0)，则A (-x 0，-y 0)，Q (x 0，-y 0). 因为=λ,则(0，y D -y 0)=λ(0，-2y 0)，故y D =(1-2λ)y 0.所以点D 的坐标为(x 0，(1-2λ)y 0). ................................................................................................. 7分 设B (x 1，y 1)，221222101010222210101010114414PB BAx x y y y y y y k k x x x x x x x x ...............................9分 又0000121BA ADy y y k k x x x故001441PBBAx k k y .----------------------------------------------------------------------11分又PA ⊥PB ，且0PAx k y ， D QBPxAOy第17题所以1PB PA k k ，即0000141x y x y ，解得34. 所以34.................................................................................................................................... 14分 18．（本小题满分16分） 一块圆柱形木料的底面半径为12cm ，高为32cm ，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，要求笔筒底面的厚度超过2cm ． （1）求r 与h 的关系，并指出r 的取值范围；（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a （元/ cm 2），桶内侧面喷漆费用为2a （元/cm 2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a （元/ cm 2）（其中a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y （元）表示为r 的函数；②求出当r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，并求出y 的最小值．【解析】（Ⅰ）据题意，221(1232)3r h ππ=⋅⋅，所以23248h r ⨯=，----------------------3分 因为322h ->，所以30h <即2324830r ⨯<，解得r >----------------------------------------------------------5分 又012r <<，所以125r <<；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用22272(2)(1221232)y a r a rh a r πππππ=++⋅-⋅+⋅⋅，整理得2226412763248641276y a r a rh a a r a r a rππππππ=++⨯⨯=+⋅+⨯ 232326(152)a r rπ⨯=++，定义域为；----------------------11分 ②由①知，33/22323286(2)12r y a r a r rππ⨯-=-=⋅，令/0y =得8(,12)5r =∈，由表知，当8r =时，y 取极小值即最小值2064a π.------------------------15分答：当8r cm =时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，最小值为2064a π元．----16分19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，首项11a =，2a a =，12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求实数a 的值； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项n a ，1n a +，2n a +按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）． 【解析】（Ⅰ）当12k =时，由12()n n n a k a a ++=+得121()2n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，--------------------1分 公差为211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和为(1)(1)2n n n S n a -=+⋅-，由18171S =得18(181)17118(1)2a -=+⋅-， 解得2a =；---------------------------------------------------------3分（Ⅱ）设数列{}n a 为等比数列，则其公比为21a q a a ==，1n n a a -=，1n n a a +=，12n n a a ++=． 1︒若1n a +为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，解得1a =，与已知不符，舍去； 2︒若n a 为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，即220a a +-=，解得2a =-或1a =（舍），此时由12()n n n a k a a ++=+得11()n n n a k aa -+=+即2(1)a k a =+，故2215a k a ==-+；3︒ 若2n a +为等差中项，则212n n n a a a ++=+即112n n n a a a +-=+，即2210a a --=，解得12a =-或1a =（舍），仿2︒得2215a k a ==-+．---------------------------------------------------8分 综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；---------------------------------9分（Ⅲ）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，所以211()n n n n a a a a ++++=-+，于是32n n a a +++=211()n n n n a a a a +++-+=+．----------------------------------------11分1︒ 当n 为偶数时，123456112(1)()()()()()22n n n n n a S a a a a a a a a a a -+=++++++++=+=； ---------------------------------------------------------------------------------13分2︒ 当n 为奇数时，1234511231()()()()2n n n n S a a a a a a a a a a --=+++++++=++ 11211[()]1(1)22n n a a a a --=+⋅-+=-+（2n ≥），当1n =时，也适合该式， 所以11(1),2(1),2n n a n S n a n -⎧-+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数．-----------------------------------------------16分20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两条直线1y ax b =+，2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线，求实数a 的取值范围；（3）若{}|()0(0,1)x f x ⊆≤，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）/2211()a ax f x x x x-=-=（0x >）. 当0a <时，/()0f x <，()f x 的递减区间为(0,)+∞；----------------------------1分 当0a >时，由/()0f x =得1x a=，列表得：所以，函数()f x 的递减区间为1(0,)a ，递增区间为1(,)a+∞；-----------------------4分 （Ⅱ）因为存在两条直线1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线， 所以/()f x a =至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分 令/21()ax f x a x-==，得210ax ax -+=，记其两个根为1x 、2x （12x x <）， 则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，------------------------------------------------------------------------------------7分 而当4a >时，曲线()y f x =在点11(,())x f x 、22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-，设()()F x f x ax =-（0x >），由2//1222()()1()()a x x x x ax ax F x f x a x x----+-=-==知，当12x x x <<时，/()0F x >即()F x 在区间12[,]x x 上是单调函数，因此12()()F x F x ≠，所以11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-不重合，即1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）是曲线()y f x =的两条不同的切线，故4a >；----------------10分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数，因为11111()ln()10aaaaf ea e e e---=+=-<，而1(0,1)ae-∉，不符合题意；----------------------------------------------------------12分当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 的最小值为1()ln (1ln )f a a a a a a=-+=-.1︒若1()0f a>即0a e <<时，{}|()0(0,1)x f x φ≤=⊆，所以0a e <<符合题意；2︒若1()0f a =即a e =时，{}1|()0(0,1)x f x e ⎧⎫≤=⊆⎨⎬⎩⎭，所以a e =符合题意；3︒若1()0f a <即a e >时，101a <<，而(1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内递增，所以当1x ≥时，()0f x >，又因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以{}|()0(0,1)x f x ≤⊆，符合题意.综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞.----------------------------------------------16分课题经济生活第六课《投资理财的选择》知识目标能力目标考点1、2：我国的商业银行及其主要业务+ 储蓄存款利息的计算方法考点3：储蓄、债券、股票、商业保险等投资理财方式重点难点比较储蓄、债券、股票、商业保险四种投资理财方式的异同（知道排序）；分析不同的投资行为（把握投资原则）。
（数学）江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题+Word版含答案
徐州市2017～2018学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．. 1.1.已知集合已知集合2{|0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ．．2.2.已知复数已知复数22iz i+=-（i 为虚数单位），则z 的模为的模为 ．． 3.3.函数函数12log y x =的定义域为的定义域为 ．．4.4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为的值为 ．．5.5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[250,400)内的学生共有内的学生共有 人．人．人．6.6.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为 ．．7.7.连续连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为的倍数”的概率为 ．．8.8.已知正四棱柱的底面边长为已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积是，则这个正四棱柱的体积是3cm ．9.9.若函数若函数()sin()f x A x w j =+(0,0)A w >>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6p ，3p ，23p，则实数w 的值为的值为 ．．10.10.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：3xy =上任意一点P 到直线l ：30x y +=的距离的最小值为距离的最小值为 ．． 11.11.已知等差数列已知等差数列{}na 满足1357910a a a a a ++++=，226236a a -=，则11a 的值为 ．．12.12.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．．13.13.已知函数已知函数221,1()(1),1x x f x x x ì-+£ï=í->ïî，函数()()()g x f x f x =--，则不等式()2g x £的解集为解集为 ．．14.14.如图，在如图，在ABC D 中，已知3AB =，2AC =，120BAC Ð=，D 为边BC 的中点的中点..若CE AD ^，垂足为E ，则EB EC ×的值为的值为 ．．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.15.在在ABC D 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c o s 5A =，1tan()3B A -=. （1）求tan B 的值；的值；（2）若13c =，求ABC D 的面积的面积. .16.16.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC Ð=，1AB AA =，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点的中点..求证：求证：（1）//MN 平面11ABB A ； （2）1AN A B ^.17.17.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180而成，如图2.2.已知圆已知圆O 的半径为10cm ，设BAO q Ð=，02pq <<，圆锥的侧面积为2Scm .（1）求S 关于q 的函数关系式；的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大最大..求S 取得最大值时腰AB 的长度的长度. .18.18.如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF ，BF 并延长分别交椭圆于点C ，D .（1）求椭圆的标准方程；）求椭圆的标准方程； （2）若AF FC =，求BFFD的值；的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. .19.19.已知函数已知函数2()1f x x ax =++，()ln ()g x x a a R =-Î. （1）当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；的极值；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围的取值范围. .20.20.已知数列已知数列{}na ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a l m -=+，其中2n ³，*n N Î，,R l m Î.（1）若0l =，4m =，*12()nn nb aa n N +=-Î，求证：数列{}nb 是等比数列；是等比数列；（2）若数列{}na 是等比数列，求l ，m 的值；的值；（3）若23a =，且32l m +=，求证：数列{}n a 是等差数列是等差数列. .徐州市2017～2018学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[A.[选修选修4-14-1：几何证明选讲：几何证明选讲：几何证明选讲] ]如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：2AB BE BD AE AC =×-×.B.[B.[选修选修4-24-2：矩阵及变换：矩阵及变换：矩阵及变换] ] 已知矩阵1001A éù=êú-ëû，4123B éù=êúëû，若矩阵M BA =，求矩阵M 的逆矩阵1M -. C.[C.[选修选修4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程] ]以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐建立极坐标系，判断直线l ：1212x ty t=+ìí=-î（t 为参数）与圆C ：22cos 2sin 0r r q r q +-=的位置关系关系. .D.[D.[选修选修4-54-5：不等式选讲：不等式选讲：不等式选讲] ]已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证：2222111115a b c d a b c d +++³++++.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.22.在正三棱柱在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11AC 的中点的中点..以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz-.（1）求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；所成角的余弦值；（2）求二面角1F BC C --的余弦值的余弦值. .23.23.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x =于点P ，点F 为C 的焦点的焦点..圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B .当线段AB 的长度最小时，求s 的值的值. .徐州市2017-2018学年度高三第一次质量检测数学I 参考答案与评分标准一、填空题1．{1,0,11,0,1}}- 2 2．．1 3 3．．(0,1] 4 4．．13 5 5．．750 6750 6．．52 7 7．．598 8．．54 9．4 10 10．．3 11 11．．14 12 12．．[21,21]-+ 13 13．．[2,2]- 14 14．．277-二、解答题1515．．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A 为锐角，所以24sin 1cos 5A A =-=， 所以sin 4tan cos 3A A A ==， 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A -+=-+=--×.1433314133+==-´. （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以31010sin,cos 1010B B ==，由1310sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=，由正弦定理sin sin b c B C=,得31013sin 10=15sin 131050c B b C ´==， 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==´´´=.1616．．（1）取AB 的中点P ，连结1,.PM PB 因为,M P 分别是,AC AB 的中点，的中点， 所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =.所以四边形1PMNB 是平行四边形，是平行四边形， 所以1//MN PB ，而MN Ë平面11ABB A ，1PB Ì平面11ABB A ， 所以//MN 平面11ABB A .（2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ^平面111A B C ， 又因为1BB Ì平面11ABB A ，所以平面11ABB A ^平面111A B C ， 又因为90ABC Ð=，所以1111B C B A ^，平面11ABB A 平面11111=A B C B A ，11111B C A B C Ì平面，所以11B C ^平面11ABB A ，又因为1A B Ì平面11ABB A ，所以111B C A B ^，即11NB A B ^，连结1AB ， 因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ^，又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB Ì平面1AB N ，所以1A B ^平面1AB N ， 而AN Ì平面1AB N ，所以1A B AN ^.1717．．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ^，垂足为E ， 在AOE D 中，10cos AE q =，220cos AB AE q ==，（第16题）1A 1B NM1C CB AP在ABD D 中，sin 20cos sin BD AB q q q =×=×，所以1220sin cos 20cos 2S q q q =×p ××2400sin cos q q =p ，(0)2pq <<.（2）要使侧面积最大，由（）要使侧面积最大，由（11）得：）得：23400sin cos 400(sin sin )S q q q q =p =p -,设3(),(01)f x x x x =-<<,则2()13f x x ¢=-，由2()130f x x ¢=-=得：33x =， 当3(0,)3x Î时，()0f x ¢>，当3(,1)3x Î时，()0f x ¢<，所以()f x 在区间3(0,)3上单调递增，在区间3(,1)3上单调递减，上单调递减，所以()f x 在33x =时取得极大值，也是最大值；时取得极大值，也是最大值； 所以当3sin 3q =时，侧面积S 取得最大值，取得最大值，此时等腰三角形的腰长22320620cos 201sin 201()33AB q q ==-=-=． 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为206cm 3． 1818．．（1）由题意知：221,2191,4c a ab ì=ïíï+=ïî 解之得：2,3,a b =ìïí=ïî所以椭圆方程为22143x y +=．Dθ A BCOE（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,1,43x y x y --=ìïí+=ïî，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去）， 故1(1)713317BF FD --==-．（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1yy x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得2220000(156)815240x x y x x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标008552C x x x -=-，又(,)c CC x y 在直线00(1)1yy x x =--上，所以00003(1)152C c y yy x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，03)52y x+，所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． 1919．．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+¥． 当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+， 所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+¢=+-=， 所以当102x <<时，()0h x ¢<，当12x >时，()0h x ¢>， 所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+¥单调递增，单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln +ln224，无极大值．，无极大值．（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -¢¢==-， 故211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-，所以12122a x x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--，得222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= 设221()ln 2424aa F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x+-¢=-++=， 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x ¢<，当0x x >时，()0F x ¢>， 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +¥上单调递增，上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-，设21()2ln 2G x x x x x=+-+-，则211()220G x x x x¢=+++>对0x >恒成立，恒成立，所以()G x 在区间(0,)+¥上单调递增，又(1)=0G ，所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, 又当2a x e+=时，222421()ln 2424a a a aa F x e a e e +++=-++--2211()04a a e +=-≥，14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x ¢=--<，所以12(0,1]y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-Î-¥，， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+¥．2020．．（1）若=0,4 =l m ，则14n n S a -=(2n ≥), 所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-， 所以12n n b b -=，又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=¹，即0nb¹，所以12nn b b -=，故数列{}n b 是等比数列．是等比数列．（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ¹ ）， 当2n =时，2212S a a =+l m ，即12212a a a a +=+l m ，得，得12q q +=+l m ，①，①当3n =时，3323S a a =+l m ，即123323a a a a a ++=+l m ，得，得①q ，得③②q ，得代入①式，得此时n S na =12n a ==，1n n n 3((22a =-ú22)1111)1111a b c d a b c d++×++++++，所以111115a b c d a b c d +++³++++．1131(,0,0),,0,0),(0,,0),(,0,1)2222-所以(1,0,0)=-AC ，13(,,1)22=-BE 22122,|||413()()122´<>==+-+AC BE ，所成角的余弦值为24．因为3(0,,0)2FB =，1(,0,2)2FC =-13212FB y FC x ×=×=-，因为13(,,0)22CB =，(0,0,2)CC =则2212130,2220,CB x y CC z ì×=+=ïíï×==în n 取23x =得：(3,1,0)=-n ． 22222243(1)010251cos ,17(3)(1)0401´+-´+´\<>==×+-+×++m n ．根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C --的余弦值为25117． 2323．．（1）因为抛物线C的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)， 设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，所以22222(1)(1)(2)(1)n m n n n n n ---=+-，又,0m n ¹，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ¹． （2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（由（11）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由121¢=-y x ，所以12211211AQ t y k t t -==++-，2222111BQ t y k t t -==-+-+， 所以1122=-ty t，3223=+y t t ， 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．令351()222f t t t t =++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-¢=+-=， 由()0f t ¢>得57324t -+>，由()0f t ¢<得573024t -+<<， 所以()f t 在区间573(0,)24-+单调递减，在573(,)24-++¥单调递增，单调递增， 所以当57324t -+=时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，取得最小值， 此时21973124s t +=+=．。
徐州市2017-2018学年度高三年级摸底考试高三摸底数学I试题定稿答案
徐州市2017-2018学年度高三年级摸底考试数学I 参考答案一．填空题：1．{2}2．123．64．45．26．357．489．8810．2-+．(1,3)-12．3513．4[,0]3-14．[1,0][2,)-+∞二．解答题：15．（1）因为22cos a c b A +=，由正弦定理，得sin +2sin 2sin cos A C B A =．···························································2分 因为()C A B =π-+，所以()sin +2sin 2sin cos A A B B A +=．即sin +2sin cos 2cos sin 2sin cos A A B A B B A +=， 所以()sin 1+2cos 0A B ⋅=．····························································································4分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =-．················································································6分 又因为0B π<<，所以23B π=．···················································································································7分（2）由余弦定理2222cos a c ac B b +-=及b =22+12a c ac +=，即()212a c ac +-=．··································································································10分 又因为=4a c +， 所以4ac =，···············································································································12分所以11=sin 422ABC S ac B =⨯=△·································································14分16.（1）因为//DE 平面SAB ，D E ⊂平面ABC ，平面SAB 平面ABC AB =，所以//DE AB ．·················································3分 因为D E ⊂平面SDE ，AB ⊄平面SDE ， 所以//AB 平面SDE ．···························································································6分（2）因为D 为BC 的中点，//DE AB ，所以E 为AC 的中点． 又因为SA SC =，所以SE AC ⊥， ············································································8分又AB AC ⊥，//DE AB ，所以DE AC ⊥．···························································10分 ,DE SE ⊂平面SDE ，DE SE E = ， 所以AC ⊥平面SDE ．···························································································12分 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDE ．····················································································14分 17．（1）由题意，2cos AB R θ=，sin BC R θ=，且HOG △为等边三角形，所以，HG R =，sin EH R θ=-，·····························································2分()=ABCD EFGH f S S θ+2cos sin sin )R R R R θθθ=⋅+-2(2sin cos sin R θθθ=-，(0)3πθ∈，．·····························································6分 （2）要符合园林局的要求，只要()f θ最小， 由（1）知，22222()(2cos 2sin cos =(4cos cos 2)f R R θθθθθθ'=----）令()0f θ'=，即24cos cos 2=0θθ--，解得cos θ或cos θ（舍去），·························································10分令00cos 03πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 当00θθ∈（，）时，()0,()f f θθ'<是单调减函数， 当03πθθ∈（，）时，()0,()f f θθ'>是单调增函数， 所以当0=θθ时，()f θ取得最小值.答：当θ满足cos θ时，符合园林局要求.·····················································14分 18．（1）由题意可得：212a e =⎧⎪⎨=⎪⎩，即212a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，从而有2223b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为：221x y +=．····································································4分191111当2n ≥时，21n n S a =-，-1-121n n S a =-，两式相减得12n n a a -=，从而数列{}n a 为首项1=1a ，公比=2q 的等比数列，从而数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．由1(1)(1)n n nb n b n n +-+=+两边同除以(1)n n +，得111n nb b n n+-=+ 从而数列{}n b n 为首项11b =，公差1d =的等差数列，所以=n bn n，从而数列{}n b 的通项公式为2n b n =．·····························································4分（2）由（1）得12n n c a n -==⋅，于是221112232(1)22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ， 所以2312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得211212222212nn nn n T n n ---=++++-⨯=-⨯- ，所以-12+1n n T n =⋅（）， 由（1）得2121n n n S a =-=-，·················································································8分 因为对∀*n ∈N ，都有n n T nS a ≤-，即-12+1(21)n n n n a ⋅≤--（）恒成立， 所以21n a n ≤--恒成立，记21n n c n =--，所以min ()n a c ≤，············································································································10分 因为1+1(2(1)1)(21)n n n n c c n n +-=-+----210n =->， 从而数列{}n c 为递增数列，所以当=1n 时n c 取最小值1=0c ，于是0a ≤．···················································································································12分 （3）假设存在正整数m n ，（1n >），使1,,m n b a b 成等差数列，则1+=2n m b b a ， 即212m n +=，若n 为偶数，则21n +为奇数，而2m 为偶数，上式不成立.若n 为奇数，设21()n k k *=-∈N ，则22211+(21)4422m n k k k +=-=-+=， 于是212212m k k --+=，即212()12m k k --+=，当1m =时，1k =，此时=21=1n k -与1n >矛盾；当2m …时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立. 综上所述，满足条件的实数对(,)m n 不存在．··························································16分20．（1）函数()f x 的导函数'()(1)e xf x ax a =-+，则'()0f x …在区间[]1,2上恒成立，且等号不恒成立，又e 0x>，所以10ax a -+…在区间[]1,2上恒成立，·········································2分记()1g x ax a =-+，只需(1)0(2)0g g ⎧⎨⎩……， 即21010a a -⎧⎨-⎩…3?，解得13a …．···················4分（2）由'()(1)e =0xf x ax a =-+，得1ax a-=， ①当0a <时，有1(,),()0a x f x a -∈-∞'>；1(,),()0ax f x a -∈+∞'<， 所以函数()f x 在1(,)a x a -∈-∞单调递增，1(,)ax a-∈+∞单调递减， 所以函数()f x 在1ax a-=取得极大值1aa a e --⋅，没有极小值．②当0a >时，有1(,),()0a x f x a -∈-∞'<；1(,),()0ax f x a -∈+∞'>， 所以函数()f x 在1(,)a x a -∈-∞单调递减，1(,)ax a-∈+∞单调递增， 所以函数()f x 在1ax a-=取得极小值1aa a e --⋅，没有极大值．综上可知:当0a <时，函数()f x 在1ax a-=取得极大值1aa a e --⋅，没有极小值；当0a >时，函数()f x 在1ax a-=取得极小值1aa a e --⋅，没有极大值．·········································································································································10分 （3）设切点为(,(1))tT t at e -，则曲线在点T 处的切线l 方程为(1)(1)()t ty at e at a x t e --=-+-，当1a t a-=时，切线l 的方程为1=(1)e =e ata y at a ---⋅，其在x 轴上的截距不存在．当1at a -≠时，令0y =，得切线l 在x 轴上的截距为 11at x t at a -=--+(1)1at a a t at a -+-=--+11at at a=-+-+1111t t a=-+-+ 1111211t a a t a=-++-+-+，··············································································12分 当110t a-+>时，1111211x t a a t a=-++-+-+112=a a +…， 当且仅当111=1t a t a-+-+，即1=t a 或1=2t a -时取等号；·····························14分当110t a-+<时，1111211x t a a t a=-++-+-+112=4a a -+-…， 当且仅当111=11t a t a-+-+，即1=t a 或1=2t a -时取等号.所以切线l 在x 轴上的截距范围是11,4,a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.·····································16分。
江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题word含答案
江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题word含答案XXX年度高三年级数学I模拟检测注意事项：1.本试卷共20道填空题，满分160分，考试时间为120分钟。
请将试卷和答题卡一并交回。
2.考生在答题前，请务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写自己的姓名和准考证号。
3.请核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名和准考证号是否正确。
4.作答试题，必须在答题卡上指定的位置使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，其他位置作答一律无效。
5.如需作图，请使用2B铅笔，线条、符号等必须加黑、加粗。
一、填空题：1.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则集合AB中元素的个数为6.2.已知复数z=(1-2i)2（i为虚数单位），则z的模为5.3.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人。
若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为2000.4.运行如下伪代码，其结果为45.S←0For I From 1 To 9S←S+IEnd ForPrint S5.从集合A={0,1,2,3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是1/2.6.若函数f(x)=（4x-a）/（2x^2-a），则实数a的值为2.7.不等式2x^2-x-2<1的解集为（-∞，-1/2）∪（1，+∞）。
8.若双曲线2x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为3，则实数a的值为2.9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=2，an=3n，则S1的值为2.10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0）的图象如图所示，则f(1)+f(2)+。
+f(2018)的值为0.11.已知正实数m，n满足m+n=3，则(m^2+1)/(n^2+1)+（n^2+1)/(m^2+1)的最小值为3.12.已知圆C：（x-2）^2+y^2=2，直线l：y=k(x+2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若PA=2PT，则实数k的取值范围是（-∞，-1/2）∪（1/2，+∞）。
_江苏省徐州市2018届高三数学第一次质量检测试卷_
第1页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省徐州市2018届高三数学第一次质量检测试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人 得分一、填空题（共14题)1. 已知复数 （ 为虚数单位），则 的模为 ．2. 已知集合 ，，则．3. 函数的定义域为 ．4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出 的值为 ．5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 人．答案第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ．8. 已知正四棱柱的底面边长为 ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是9. 若函数 的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是 ，，，则实数 的值为 ．10. 在平面直角坐标系 中，曲线上任意一点 到直线的距离的最小值为 11. 已知等差数列满足，，则 的值为 .12. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点 ，且点 关于直线的对称点 在圆上，则 的取值范围是13. 已知函数 ，函数 ，则不等式 的解集为 ．14. 如图，在 中，已知 为边的中点.若，垂足为 ，则的值为第3页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人 得分二、解答题（共12题)15. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 , .（1）求 的值；（2）若，求 的面积.16. 如图，在直三棱柱 中，，，，分别是，的中点.求证： （1）；（2）. 17. 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 及其内接等腰三角形 绕底边 上的高所在直线 旋转180°而成，如图2.已知圆 的半径为 ，设，圆锥的侧面积为.答案第4页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求 关于 的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 最大.求 取得最大值时腰 的长度.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程； （2）若 ，求的值；（3）设直线，的斜率分别为 ，，是否存在实数 ，使得，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数 ．第5页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）当 时，求函数 的极值；（2）若存在与函数 ， 的图象都相切的直线，求实数 的取值范围． 20. 已知数列 ，其前 项和为，满足，，其中，， ，.（1）若 ，， （ ），求证：数列 是等比数列；（2）若数列 是等比数列，求 ， 的值；（3）若 a 2 = 3 ，且 λ + μ = ，求证：数列 { a n } 是等差数列. 21. 如图，是圆 的直径，弦，的延长线相交于点 ，垂直的延长线于点 .求证：.22. 已知矩阵 ， ，若矩阵 ，求矩阵 的逆矩阵 ．23. 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线 （ 为参数）与圆 的位置关系．24. 已知都是正实数，且，求证: ．25. 在正三棱柱 . 中，已知，， ， ，分别是，和的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．答案第6页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值．26. 在平面直角坐标系 中，已知平行于 轴的动直线 交抛物线 ： 于点 ，点 为 的焦点.圆心不在 轴上的圆 与直线 ， ， 轴都相切，设 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）若直线 与曲线 相切于点 ，过 且垂直于 的直线为 ，直线 ， 分别与 轴相交于点 ， .当线段的长度最小时，求 的值.参数答案【答案】：【解释】：第7页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】： 【答案】： 【解释】： 【答案】： 【解释】： 【答案】：【解释】：答案第8页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：第9页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】： 【答案】： 【解释】： 【答案】： 【解释】： 【答案】：【解释】：答案第10页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：第11页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】： 【解释】：（1）【答案】：答案第12页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：第13页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： （1）【答案】：答案第14页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：第15页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： （1）【答案】：（2）【答案】： （3）【答案】： 【解释】：答案第16页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：第17页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：答案第18页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：第19页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）【答案】：【解释】： 【答案】：答案第20页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：【答案】：第21页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： （1）【答案】：（2）【答案】：答案第22页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：第23页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：。
铜山区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
铜山区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，A=45°，O为△ABC的外心，则•等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（，），使f（sinφ）=f（cosφ），则实数m的取值范围是（）A．（）B．（，]C．（）D．（]4．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4C．D．25．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．6．“a=2”是“直线x+y=0与直线2x﹣ay=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对8． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．akmB ． akmC ．2akmD ．akm9． 若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知，满足不等式则目标函数的最大值为（ ）y 430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩2z x y =+A ．3B ．C ．12D ．1513211．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）A ．（0，1）B ．（2，1）C ．（2，0）D ．（0，2）12．函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（ ）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，1）D ．（0，5）二、填空题13．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．14．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．15．分别在区间、上任意选取一个实数，则随机事件“”的概率为_________.[0,1][1,]e a b 、ln a b ≥16．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）17．已知正整数的3次幂有如下分解规律：m ；；；；…113=5323+=119733++=1917151343+++=若的分解中最小的数为，则的值为.)(3+∈N m m 91m【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.18．函数的定义域是，则函数的定义域是__________.111]()y f x =[]0,2()1y f x =+三、解答题19．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 20．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，E 为BB 1中点．（Ⅰ）证明：AC ⊥D 1E ；（Ⅱ）求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面AD 1E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知在中，角所对的边分别为且ABC ∆C B A ，，，，，c b a .)3(sin ))(sin (sin c b C a b B A -=-+（Ⅰ）求角的大小；A （Ⅱ） 若，，求.2a =ABC ∆c b ,22．（本小题满分12分）如图，四棱柱中，侧棱底面，，1111ABCD A B C D －1A A ^ABCD //AB DC ，，，为棱的中点.AB AD ^1AD CD ＝＝12AA AB ＝＝E 1AA （Ⅰ）证明：面；11B C ^1CEC （II ）设点在线段上，且直线与平面，求线段的长.M 1C E AM 11ADD A AM11C123．（本题满分14分）已知两点与是直角坐标平面内两定点，过曲线上一点作)1,0(-P )1,0(Q C ),(y x M y 轴的垂线，垂足为，点满足，且.N E ME =0=⋅（1）求曲线的方程；C （2）设直线与曲线交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.l C B A ,O l 23AOB ∆【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．24．已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，{}n a {}n b n S {}n a 111a b ==3336b S =（）．228b S =*n N ∈（1）求和；n a n b （2）若，求数列的前项和．1n n a a +<11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T铜山区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．2．【答案】A【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，可得，，则•==16﹣18=﹣2；故选A．【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题3．【答案】A【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（，），则sinφ＞cosφ，则由f（sinφ）=f（cosφ），则=m，即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin（φ+）＜，则＜m＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．4．【答案】C【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C5．【答案】C【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．6．【答案】C【解析】解：由直线x+y=0与直线2x﹣ay=0互相垂直，得：（﹣1）•=﹣1，解得：a=2，∴“a=2”是“直线x+y=0与直线2x﹣ay=0互相垂直”的充要条件，故选：C．【点评】本题考察了直线互相垂直的性质，考察充分必要条件，是一道基础题．7．【答案】B【解析】解：∵a=3，，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===1，∴B=90°，即满足条件的三角形个数为1个．故选：B．【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．8．【答案】D【解析】解：根据题意，△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=BC=akm，∴由余弦定理，得cos120°=，解之得AB=akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D．【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．9．【答案】A【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．∴a+b=1．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．10．【答案】C考点：线性规划问题．【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题y的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定．11．【答案】D【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a0+3=1+1=2．∴函数f（x）=a x+1的图象必过定点（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了指数函数的性质和a0=1（a＞0且a≠1），属于基础题．12．【答案】A【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，∴f′（x）=3x2﹣6x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故选：A．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．二、填空题13．【答案】 （，0） ．【解析】解：y′=﹣，∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3），整理得：y=﹣2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：．【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题． 14．【答案】 （0，5） ．【解析】解：∵y=a x 的图象恒过定点（0，1），而f （x ）=a x +4的图象是把y=a x 的图象向上平移4个单位得到的，∴函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P （0，5），故答案为：（0，5）．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题． 15．【答案】1e e-【解析】解析： 由得，如图所有实数对表示的区域的面积为，满足条件“”的ln a b ≥ab e ≤(,)a b e ab e ≤实数对表示的区域为图中阴影部分，其面积为，∴随机事件“”的概率为(,)a b 1101|a a e da e e ==-⎰ln ab ≥．1e e-16．【答案】 10 cm【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A 关于茶杯口的对称点为A ′，则A ′A=4cm ，BC=6cm ，∴A ′C=8cm ，∴A ′B==10cm ．故答案为：10．【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．17．【答案】10【解析】的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，为连续两项和，为接下来三3m 3233项和，故的首个数为.3m 12+-m m ∵的分解中最小的数为91，∴，解得.)(3+∈N m m 9112=+-m m 10=m 18．【答案】[]1,1-【解析】考点：函数的定义域.三、解答题19．【答案】【解析】解：依题意，由M=得|M|=1，故M ﹣1=从而由=得═=故A （2，﹣3）为所求．【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础． 20．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接BD∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC …1分在长方形ABCD 中，AB=BC ，∴BD ⊥AC …2分又BD ∩D 1D=D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，…3分而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E …4分（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则A （1，0，0），D 1（0，0，2），E （1，1，1），B （1，1，0），∴…5分设平面AD 1E 的法向量为，则，即令z=1，则…7分 ∴…8分∴DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值为…9分（Ⅲ）解：假设在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面AD 1E ．设P 的坐标为（t ，0，0）（0≤t ≤1），则∵BP ∥平面AD 1E ∴，即，∴2（t ﹣1）+1=0，解得，…12分∴在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面AD 1E ，此时DP 的长．…13分．21．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有， 即. 3分2223c bc a b -=-bc a c b 3222=-+ 由余弦定理得：，又，故. 6分232cos 222=-+=bc a c b A ),0(π∈A 6π=A（Ⅱ） ，①， 8分 ABC ∆3sin 21=∴A bc 34=∴bc 又由（Ⅰ）及得，② 10分2223c bc a b -=-,2=a 1622=+c b 由 ①②解得或.12分32,2==c b 2,32==c b 22．【答案】【解析】【命题意图】本题考查直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面所成的角、两点之间的距离等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力23．【答案】【解析】（1）依题意知，∵，∴),0(y N )0,32()0,(32x x ME -=-==),31(y x E 则， …………2分)1,(-=y x QM )1,31(+=y x PE ∵，∴，即0=⋅PE QM 0)1)(1(31=+-+⋅y y x x 1322=+y x ∴曲线的方程为 …………4分C 1322=+y x24．【答案】（1），或，；（2）.21n a n =-12n n b -=1(52)3n a n =-16n n b -=21n n +【解析】试题解析：（1）设的公差为，的公比为，{}n a d {}n b 由题意得解得或2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩2,2,d q =⎧⎨=⎩2,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴，或，．21n a n =-12n n b -=1(52)3n a n =-16n n b -=（2）若，由（1）知，+1n n a a <21n a n =-∴，111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+∴．111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=-++…考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.。
徐州市2018~2019学年度高三年级考前模拟检测数学试题与答案
从而四边形 BEFG 为平行四边形， ………4 分
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于是 EF // BG ，
又因为 BG 面 ABB1A1 ， EF 面 ABB1A1 ， 所以 EF // 平面 ABB1A1 ；……………………7 分 （2）证明：在△ABC 中，因为 AB AC ， E 为 BC 的中点，
所以 AE BC ，
又因为侧面 BCC1B1 底面 ABC ，侧面 BCC1B1 底面 ABC=BC ，且 AE 面 ABC ， 所以 AE 平面 BCC1B1 ， ………………………………………………………12 分 又 AE 面 AEF ， 所以平面 AEF 平面 BCC1B1 . ……………………………………………………14 分
0
，
则实数 k 的值为 ▲ ．
9.
已知函数
f
(x)
2 sin(2 x
) 6
，若实数
x1,
x2
满足
f (x1)
f (x2 ) 0 ，则
x1 x2
的最小值
为▲．
10.已知数列{an} 的前 n 项积为 Tn ，若对 n 2 ， n N ，都有 Tn1 Tn1 2Tn2 成立，且
（2）若函数在区间1, 2 上存在极小值，求实数 a 的取值范围；
（3）如果 f (x) 0 的解集中只有一个整数，求实数 a 的取值范围.
（第 18 题）
20．（本小题满分 16 分) 在数列 {an} 中， a1 0 ，且对任意 k N ， a2k1, a2k , a2k1 成等差数列，其公差为 dk . （1）若 d1=2 ，求 a2 , a3 的值； （2）若 dk =2k ，证明 a2k , a2k1, a2k+2 成等比数列（ k N ）； （3）若对任意 k N ， a2k , a2k1, a2k+2 成等比数列，其公比为 qk .设 q1 1，证明数列 1 { } 是等差数列. qk 1
2018年江苏省徐州市铜山区高考数学热身试卷和答案
2018年江苏省徐州市铜山区高考数学热身试卷一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{2，3}，B＝{1，log2a}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z＝﹣i3，其中i虚数单位，则z的模为．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．4．（5分）一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是．5．（5分）有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1，2，3，4．将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为．6．（5分）若抛物线x2＝4y的焦点到双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为．7．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．8．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则＝．9．（5分）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），其前n项和为S n．若，2S12＝S2+10，则d的值为．10．（5分）已知tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝2，则的值为．11．（5分）如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，AD＝DC＝1，若，则＝．12．（5分）如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B1F2交A2B2于点P，若∠B1P A2是钝角，则椭圆E离心率e的取值范围是．13．（5分）已知实数a，b满足a+b＝1，则（a3+1）（b3+1）的最大值是．14．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|﹣x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x0∈[﹣1，1]，使f （x0）≤0，则a的取值范围为．二、解答题：本大题共7小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．16．（14分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2且（sin A+sin B）（a ﹣b）＝（sin C﹣sin B）c．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求△ABC的周长的取值范围．17．（14分）如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道，某公园P 位于商业中心北偏东θ角（0＜θ＜），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处．（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置．18．（16分）已知圆O：x2+y2＝4．（1）求过点（2，﹣1）圆O的切线方程．（2）已知两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（k为常数）①求常数k的值；②过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2＝m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）已经函数f（x）＝（x2﹣3x+3）e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）＝m，f（t）＝n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证m＜n；（3）若不等式（为k正整数）对任意正实数x恒成立，求k 的最大值．（解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95，ln8≈2.08）20．（16分）设数列{a n}的通项公式为a n＝pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p＝2，q＝﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m＝3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．21．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E 在C，D之间），求证：∠CBE＝∠BDE．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知a，b∈R，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征向量，求直线l：2x﹣y﹣3＝0在矩阵A对应的变换作用下得到的直线l'的方程．23．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l 被曲线C所截得的弦长．24．求函数的最大值．25．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为S n”．（1）当时，记ξ＝|S3|，求ξ的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求S8＝2且S i≥0（i＝1，2，3，4）的概率．26．如图，已知抛物线x2＝y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|P A|•|PQ|的最大值．2018年江苏省徐州市铜山区高考数学热身试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．【解答】解：∵集合A＝{2，3}，B＝{1，log2a}，A∩B＝{3}，∴log2a＝3，解得a＝8．∴实数a的值为8．故答案为：8．2．【解答】解：z＝﹣i3＝，则z的模为．故答案为：．3．【解答】解：根据如图所示伪代码，可知；I＝2，S＝0，满足条件I＜13，执行循环体，S＝2，I＝4；满足条件I＜13，执行循环体，S＝6，I＝6；满足条件I＜13，执行循环体，S＝12，I＝8；满足条件I＜13，执行循环体，S＝20，I＝10；满足条件I＜13，执行循环体，S＝30，I＝12；满足条件I＜13，执行循环体，S＝42，I＝14；此时，不满足条件I＜13，退出循环，输出S＝42．故答案为：42．4．【解答】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10＝5×5，解得x＝3，∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]＝8，∴此组数据的标准差S＝＝2．故答案为：2．5．【解答】解：有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1，2，3，4．将此木块在水平桌面上抛两次，基本事件总数n＝4×4＝16，两次看不到的数字都大于2包含的基本事件个数m＝2×2＝4，则两次看不到的数字都大于2的概率为p＝＝．故答案为：．6．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，∴＝＝，∴e＝＝3，故答案为：3．7．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（，）时，取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，取最小值，最小值为1，∈[1，3]．∴＝＝＝2﹣，∵∈[1，3]．∴的最大值为：．故答案为：．8．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的＝，∴＝＝．故答案为：．9．【解答】解：由，2S12＝S2+10，得，解得d＝﹣10．故答案为：﹣10．10．【解答】解：tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝2，＝＝，分式同除以cos（α+β）cos（α﹣β）），＝＝1．故答案为：1．11．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝3，AD＝DC＝1，∴＝＝＝＝1﹣＝．∴cos∠DAB＝，∴则＝3×＝．故答案为：．12．【解答】解：∠B1P A2是向量与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则向量＝（a，﹣b），＝（﹣c，﹣b），∵∠B1P A2为钝角，∴﹣ac+b2＜0，把b2＝a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＜0，∴1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，解得e＜或e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1，∴椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．13．【解答】解：实数a，b满足a+b＝1，则（a3+1）（b3+1）＝（ab）3+1+（a3+b3）＝（ab）3+1+（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（ab）3+1+a2﹣ab+b2＝（ab）3+2﹣3ab，由a+b＝1，可得ab≤（）2＝，令t＝ab，t≤，则y＝t3﹣3t+2，t≤，导数y′＝3t2﹣3，可得函数y在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，可得t＝﹣1处函数y取得最大值4，故答案为：4．14．【解答】解：∵存在x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≤0，∴f min（x）≤0，x∈[﹣1，1]．当x≤a时，f（x）＝（x﹣a）（a﹣x）+x2+2a+1＝2ax﹣a2+2a+1，∴f（x）在（﹣∞，a]上单调递减；当a＜x＜0时，f（x）＝（x﹣a）2+x2+2a+1＝2x2﹣2ax+a2+2a+1，∴f（x）在（a，）上单调递减，在（，0）上单调递增；当x≥0时，f（x）＝（x﹣a）2﹣x2+2a+1＝﹣2ax+a2+2a+1，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增．（1）若﹣1，即a≤﹣2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴f min（x）＝f（﹣1）＝a2+4a+3≤0，解得﹣3≤a≤﹣1，∴﹣3≤a≤﹣2；（2）若，即﹣2＜a＜0时，f（x）在[﹣1，]上单调递减，在（，1]上单调递增，∴f min（x）＝f（）＝+2a+1≤0，解得﹣2﹣≤a≤﹣2+，∴﹣2＜a≤﹣2+．综上，a的取值范围是[﹣3，﹣2+]．故答案为：[﹣3，﹣2+]．二、解答题：本大题共7小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】证明：（1）由题知，EF是△AA1B的中位线，所以EF∥A1B……………（2分）由于EF⊄平面BC1A1，A1B⊂平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1．……………（6分）（2）由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1．……（8分）又∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以A1C1⊥C1B1．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1⊂平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1，又CC1∩C1B1＝C1，CC1，C1B1⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，又B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C..……………（10分）因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1⊂平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1．……………（12分）又A1B⊂平面BC1A1，所以B1C⊥A1B．又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C．……………（14分）16．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，化简得：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得：，又因为：0＜A＜π，所以：．（Ⅱ）在△ABC中有正弦定理得，又a＝2，所以，，故，因为，故，所以，可得：b+c∈（2，4]，故△ABC得周长的取值范围是（4，6]．17．【解答】解：（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P（m，n），∵，，∴，，则，，…（4分）依题意，AB⊥OA，则OA＝，OB＝2OA＝9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km．（2）设A（n，0），AB：，得，，当且仅当即n＝6时取等号．答：A选地址离商业中心6km，B离商业中心3km为最佳位置．18．【解答】解：（1）圆O：x2+y2＝4的圆心坐标为O（0，0），半径为1，当过点（2，﹣1）圆O的切线斜率不存在时，切线方程为x＝2；当斜率存在时，设切线方程为y+1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1＝0．由，解得k＝，则切线方程为3x﹣4y﹣10＝0．∴过点（2，﹣1）圆O的切线方程为x＝2或3x﹣4y﹣10＝0．（2）①设点P（x，y），x2+y2＝4，P A＝，PB＝，∵，∴（x﹣a）2+（y﹣2）2＝k2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，又x2+y2＝4，化简得2ax+4y﹣a2﹣8＝k2（2mx+2y﹣m2﹣5），∵P为圆O上任意一点，∴，又m＞0，k＞0，解得，∴常数k＝．②设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又MN在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7＝0与圆C：x2+y2＝1有交点，则圆心（0，0）到直线的距离d＝，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得t∈[，]．19．【解答】解：（1）因为f'（x）＝（x2﹣3x+3）•e x＝x（x﹣1）•e x令f'（x）＞0，得：x＞1或x＜0；令f'（x）＜0，得：0＜x＜1所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减要使f（x）在[﹣2，t]为单调函数，则﹣2＜t≤0所以t的取值范围为（﹣2，0]（2）证：因为f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x＝1处取得权小值e又，所以f（x）在[﹣2，+∞）的最小值为f（﹣2）从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n（3）等价于x2+4x+1＞k（xlnx﹣1）即记，则由g'（x）＝0得x＝k+1，所以g（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增所以g（x）≥g（x+1）＝k+6﹣kln（k+1），g（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6﹣kln（k+1）＞0，即记，则所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，所以k的最大值为6．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3＝7．（Ⅱ）由题意，得a n＝2n﹣1，对于正整数m，由a n≥m，得．根据b m的定义可知当m＝2k﹣1时，b m＝k（k∈N*）；当m＝2k时，b m＝k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m＝（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）＝（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]＝．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵b m＝3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，对于任意的正整数m都有，即﹣2p﹣q≤（3p﹣1）m＜﹣p﹣q对任意的正整数m都成立．当3p﹣1＞0（或3p﹣1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p﹣1＝0，即时，得，解得．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得b m＝3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．21．【解答】证明：∵直线AB、直线CDE分别是圆O的切线和割线，∴由切割线定理得CA2＝CE•CD，∵C为线段AB的中点，∴BC2＝CA2，在△BCE和△DCB中，＝，∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE～△DCB，∴∠CBE＝∠BDE．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．【解答】解：由题意，Aα＝3α，即•＝3，所以，解得a＝1，b＝﹣1，所以；设直线l上一点P（x，y）在A的作用下得到直线l'上一点P'（x'，y'），则•＝，即，所以，代入直线l：2x﹣y﹣3＝0，得7x'﹣5y'﹣18＝0，即直线l'的方程为7x﹣5y﹣18＝0．23．【解答】解：曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，圆心为（1，1），半径为，（3分）直线的直角坐标方程为x﹣y﹣＝0，（5分）所以圆心到直线的距离为d＝＝，（8分）所以弦长＝2＝．（10分）24．【解答】解：由，得≤x≤1．∴＝＝．当且仅当，即x＝时上式“＝”成立．∴函数的最大值为．25．【解答】解：（1）∵ξ＝|S3|的取值为1，3，又；∴，．∴ξ的分布列为：∴Eξ＝1×+3×＝；Dξ＝＝（2）当S8＝2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，又已知S i≥0（i＝1，2，3，4），若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．此时的概率为．26．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP＝＝x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以＝（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则k＝＝x﹣，即x＝k+，则AP：y＝kx+k+，BQ：y＝﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故＝（，），又因为＝（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|P A|•|PQ|＝•＝+＝（1+k）3（k﹣1），所以|P A|•|PQ|＝（1+k）3（1﹣k），令f（x）＝（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）＝（1+x）2（2﹣4x）＝﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max＝f（）＝，即|P A|•|PQ|的最大值为．。
江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题 (10)
【题文】某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm ，设BAO θ∠=，02πθ<<，圆锥的侧面积为S cm 2.（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大.求S 取得最大值时腰AB 的长度.【答案】（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅， 所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅ 2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<.（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S θθθθ=π=π-,设3(),(01)f x x x x =-<<,则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =，当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间3上单调递增，在区间(3上单调递减，所以()f x 在x 时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB ．【解析】【标题】江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题【结束】。
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2018届铜山区高考模拟卷(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B = ▲ ．2.设复数z 满足i z i 2)1(=+，则z =___▲___．3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是___▲___．6.已知tan()6απ-=，则tan()6α5π+= ▲ ．7. 若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则目标函数y x z +=2的最小值为 ▲ ．8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_ ▲ ．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为___▲___．10.已知椭圆C ：22221x y a b+=，)0(>>b a 的左、右顶点分别为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为___▲___．11.函数()f x 是周期为4的偶函数，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则不等式()0xf x >在[1,3]-上的解集为 ▲ ．12.在矩形21==AD AB ABCD ，中，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。
若μλ+=，则的最μλ+大值为___▲___．13.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =___▲___． 14.已知1,2a b >>2a b +___▲___．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，[0,]2x π∈（1）求()f x 的值域； （2）若ABC ∆的面积为2，角C 所对的边为c，且1()2f C =，c =ABC ∆的周长．16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC BC =，90ACD ∠=︒．（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明：EP ∥平面BCD ．17.（本小题满分14分）某企业为了减少噪声对附近居民的干扰，计划新增一道“隔音墙”，从上往下看，“隔音墙”可以看成曲线，在平面直角坐标系xOy 中，“隔音墙”的一部分所在曲线的方程[]2,1,1ln )(∈++=x x ax x f 为（单位：千米）. 已知居民区都在x 轴的下方，这部分曲线上任意两点连线的斜率都小于-1时“隔音墙”的隔音效果最佳. （1）当29=a 时，求“隔音墙”所在曲线)(x f 上的点到轴最近距离； （2）当实数a 在什么范围时，“隔音墙”的隔音效果最佳？18. (本小题满分16分)已知椭圆C 1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C （﹣1，0）的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数()()221ln f x ax a x x =+--，R a ∈．⑴若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1sin 8g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．20．（本小题满分16分）已知两个无穷数列{}{}n n b a ,分别满足⎩⎨⎧=-=+2111n n a a a ⎪⎩⎪⎨⎧==+2111nn bb b ，其中*N n ∈，设数列{}{}n n b a ,的前项和分别为n n T S ,.（1）若数列{}{}n n b a ,都为递增数列，求数列{}{}n n b a ,的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数)2(≥k k ，使得1-<k k c c ，称数列{}n c 为“坠点数列”.①若数列{}n c 为“坠点数列”，求n S②若数列{}n a 为“坠点数列”，数列{}n b 为“坠点数列”，是否存在正整数，使得m m T S =+1，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.2018届铜山区高考模拟卷(一）数学附加(满分40分，考试时间30分钟)21. B. (选修4-2：矩阵与变换) 若二阶矩阵M 满足：M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5846.曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，设圆C 经过点P(3，π6)，圆心是直线ρsin(π3－θ)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1C1B1＝90°，AC＝2，BC＝BB1＝1，点D是棱A1C1的中点．求：(1) 直线AB与平面BB1D所成角的正弦值；(2) 二面角A-BD-B1的大小．23. 设有甲、乙两个盒子，均分别装有编号依次为1，2，3，…，n (n≥5，且n∈N*)的n个球，学生A从甲盒子中随机选取i个球，学生B从乙盒子中随机选取j个球，其中i，j ≤n，且i，j∈N*.(1) 若i＝2，j＝3，且A在编号为1到m(m为给定的正整数，且2≤m≤n－3)的球中选取，B在编号为m＋1到n的球中选取．记P(u，v)(1≤u≤m，m＋1≤v≤n)是编号为u的球和编号为v的球同时被选中的概率．①若n＝10，m＝4，求P(2，8)的值；②求所有的P(u，v)的和；(2)求学生A，B取到的球的编号不相同的概率．2018届铜山区高考模拟卷（一）答案 1、{|2<<3}x x 2、1200 4、1 5、14 6、33-7、1 8、3π4 9、4 1011、()()3,10,1 - 12、3 13、1214、6 15. 【解析】：（1）1cos 21cos21113()cos22cos222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=- ⎪⎝⎭112cos 2sin 24426x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭． [0,]2x π∈，52[,]666x πππ∴-∈-，故11()[,]42f x ∈-．（2）由已知，1sin C 2ab =．由1()2f C =，得C 3π=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为516.证明 （1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，90ACD ∠=︒，即CD ⊥AC ， 平面ABC平面ACD =AC ，CD ⊂平面ACD ， 所以CD ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ，因为AC BC =，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ，又CE CD C =，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ，所以AB ⊥平面EDC ． （2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ， 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF EG =E ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ，所以平面EFG ∥平面BCD ， 又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ， 所以EP ∥平面BCD ． 17、【解析】（1）当29=a 时，[]2,1,)1(29ln )(∈++=x x x x f , []2,1,0)1(2)2)(12()1(291)(22∈≤+--=+-='x x x x x x x x f , 所以)(x f 在[]2,1上单调递减，232ln )2()(+=≥f x f ， 所以“隔音墙”所在曲线)(x f 上的点到x 轴最近距离为232ln )2(+=f 千米. （2）在曲线)(x f ，[]2,1∈x 上任取两点122111))((,()),(,(x x f x B x f x A ≤<)22≤x , 要使“隔音墙”的隔音效果最佳，即2121)()(x x x f x f --<1-恒成立，则)()(21x f x f ->)(21x x --⇒11)(x x f +>22)(x x f +,令[]),2,1()()(∈+=x x x f x g 则需)(1x g >)(2x g 恒成立, 需[]2,11ln )()(在x x ax x x f x g +++=+=上单调递减, 即[]2,101)1(1)(2在≤++-='x a x x g 在上恒成立, []2,1])1()1([22在+++≥x xx a 上恒成立令[]2,1,)1(21)1()1()(222∈++++=+++=x x x x x x x x h , 则222)12()1()1(211)(xx x x x x h -+=++-=='>0[],2,1∈x 所以)(x h 在[]2,1上单调递增，所以227)2()(max ==h x h ， 故当实数227≥a 时，“隔音墙”的隔音效果最佳 18.【解析】（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为． ∴椭圆焦点在y 轴，且c=，依题意可知b=2，∴a 2=c 2+b 2=9． 则椭圆C 1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C 2的方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵λ＞1，∴点C （﹣1，0）在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点． 当直线l 垂直于x 轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l 为y=k （x+1）（A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0）， 由，得．由韦达定理得．∵，而点C （﹣1，0），∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），则y 1=﹣2y 2， 即y 1+y 2=﹣y 2，故．∴△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB 的面积取得最大值．∴直线的方程为或．19、【解析】x x a x x a ax x a ax x f )1)(12(1)12(21)12(2)()1(2+-=--+=--+='由题意得，)12(2)1(-='∴a f 13)1(-=a f13)1)(122))1(1)(-+--==∴a x a y f x f y （处的切线方程为，在点（曲线 211,2=a ），得代入（⑵()()()211'ax x f x x-+=，∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，410{610a a -≥∴-≥，得14a ≥； 若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，410{610a a -≤∴-≤，得16a ≤， 综上，实数a 的取值范围为11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，()max 128g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()min 158f x ∴≥，即()()21521ln 8f x ax a x x =+--≥， 由()()()()()222112111'221ax a x ax x f x ax a x x x+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；当0a >时，由()'0f x =，得12x a=或1x =-（舍去）， 当102x a<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当12x a>时，()'0f x >，()f x 单调递增．()min 11528f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，即117ln 428a a --≥， 整理得，()117ln 2228a a -⋅≥， 设()1ln 2h x x x =-，()21102h x x x∴=+>'，()h x ∴单调递增，a Z ∈，2a ∴为偶数，又()172ln248h =-<，()174ln488h =->， 24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。