开侨中学第十三周周日测试题

开侨中学2017届高三理科数学第十三周周日晚测试题
命题人：莫世理
1.在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC = ．若MN xAB y AC =+
， 则x = ；y = ．
2.已知函数12
22,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=
3. 如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60 ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB = ，则点P 的轨迹是
4.设双曲线22
221x y a b
-=（a >0,b >0）的右焦点为F,右顶点为A,
过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC
的距离小于a +，
则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 5.在ABC ∆中，点M 是BC 上的一点，3BM =
，AC =45B ∠=
，cos 10
BAM ∠=
．（1）求线段AM 的长度； （2）求线段MC 的长度．
6. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *
.
(1)求f(x)的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′(1
a n
)，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式；
(3)记b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和T n ，求证：4
3
≤T n <2.
C
B
A
7.如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形，M 、N 分别是EF 、BC 的中点,2AB AF =，60CBA ∠=
． （1）求证：DM ⊥平面MNA ；
（2）若三棱锥A DMN -
的体积为3
，求点A 到平面
DMN 的距离．
8.已知椭圆E ：22
221(0)x y a b
+=>>的上顶点P 在圆22:(2)9C x y ++=上，且椭圆的
C 的圆心是直线与椭圆E 交于A 、B 两
B C
D
A
E
F
M N
理科数学第十三周周日晚测试题答案
117
1.,;
2.;
3.
4.(1,0)(0,1).264
--- 椭圆； 5.（1
）∵cos BAM ∠=(0,180)BAM ∠∈ ，
∴sin BAM ∠==．
∵sin 2
ABM ∠=，3BM =，
sin sin BM AM BAM B =∠∠
，∴3sin sin BM B AM BAM ⋅∠=
==∠ （2）cos cos()AMC BAM B ∠=∠+∠cos cos sin sin BAM B BAM B =∠∠-∠∠
cos cos sin sin BAM B BAM B =∠∠-∠
∠22=
=
，
∵AC =，222
2cos AC MC AM MC AM AMC =+-⋅⋅∠，
∴2
2
2
25
MC MC =+-⨯， ∴2
650MC MC -+=，∴1MC =，或5MC =．
6.(1)由题意及f ′(x)＝2ax ＋b 得⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝2n ，
16n 2
a －4n
b ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝2n ，
即f(x)＝12
x
2
＋2nx(n ∈N *
)．
(2)由条件得1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2n ，累加得1a n －14
＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2
－n ，
∴1a n ＝(n －12)2，所以a n ＝1 n －12
2＝4 2n －1
2(n ∈N *)． (3)b n ＝a n a n ＋1＝2(12n －1－1
2n ＋1
)， 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－1
2n ＋1
)]＝2(1－
12n ＋1)<2.∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43，∴43≤T n <2. 7.（1）证明：连接AC ，在菱形ABCD 中，
∵60CBA ∠=
且AB AC =，∴ABC ∆为等边三角形． ∵N 是BC 的中点, ∴AN BC ⊥，AN BC ⊥．
∵ABCD ⊥平面ADEF ,AN ⊂平面ADEF ,
ABCD 平面ADEF AD =,∴AN ⊥平面ABEF ． ∵DM ⊂平面ADEF ,∴AN DM ⊥．
∵矩形ADEF 中，2AD AF =,M 是的中点, ∴AMF ∆为等腰直角三角形，∴45AMF ∠=
，
同理可证45DME ∠=
，∴90DAM ∠=
，∴DM AM ⊥．
∵AM AN N = ，AM ⊂平面MNA ，AN ⊂平面MNA ，∴DM ⊥平面MNA ． （2）设AF x =，则22AB AF x ==， 在Rt ABN ∆中，2AB x =，BN x =，
H
N M
F E A
D C
B
60ABN ∠=
，∴AN =．
∴2
122
ADN S x ∆=⋅=．∵ABCD ⊥平面ADEF ,FA AD ⊥,
ABCD 平面ADEF AD =,∴FA ⊥平面ABCD ． 设h 为点M 到平面ADN 的距离，则h FA x ==．
∴2
311333
M ADN CDF V V h x x -∆=⋅=⋅=，
∵3
M ADN D AMN V V --==，∴1x =．
作AH MN ⊥交MN 于点H ． ∵DM ⊥平面MNA ，∴DM AH ⊥． ∴AH ⊥平面DMN ,
即AH 为求点A 到平面DMN 的距离，
∵在Rt MNA ∆
中，MA =
AN ，
∴5
AH =．
∴点A 到平面DMN
8.（1）依题意，令0x =，
得220(2)9y ++=，解得1y =或5y =， ∴点P 的坐标为(0,1)，即1b =．
∵c e a ==，∴2a =，
∴椭圆E 1． （2）∵直线经过圆心，
①当直线的斜率不存在时，不合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为2y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ．
由22
214
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(1
4)16120k x kx +-+=， ∵2225648(14)0k k ∆=-+>，∴2
k > 121222
1612
,1414k x x x x k k
+==++， ∵11222,2y kx y kx =-=-，∴1212()4y y k x x +=+-，
2
(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =--=-++，。