2021年湖北高考数学考试说明(文科)

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2021新高考数学考试说明

2021新高考数学考试说明
2021新高考数学考试说明包括以下要点：
1. 落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查。

2. 体现高考数学的科学选拔功能和育人导向作用，试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则。

3. 倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，设计真实问题情境，体现数学的应用价值。

4. 科学把握必备知识与关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性，稳中求新，全面体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。

5. 发挥学科特色，彰显教育功能，高考数学命题始终坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题以增强学生社会责任感，引导学生形成正确的人生观、价值观、世界观。

6. 关注科技发展与进步、社会与经济发展以及优秀传统文化。

此外，新高考数学试卷中的单项选择题主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大。

多项选择题部分则需要在四个选项中选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度。

以上信息仅供参考，建议查阅2021新高考数学考试说明以获取最准确的信息。

高考湖北卷文科数学试卷分析

高考湖北卷文科数学试卷分析2021高考数学科目的考试已完毕，武汉新西方学校高考数学研讨中心对湖北高考数学文科卷停止点评，希望能对考生、家长有所协助，也希望对2021高考考生提供自创。

一、试卷总体剖析(文科)2021年湖北高考文科数学卷难度与2021年基本持平。

往年属于湖北最后一次独立命题，在知识考点散布上坚持动摇，比如第1题的双数的基本运算与2021年第2题分歧;第3题调查特称命题，而2021年第3题调查特称命题;第4题调查线性相关关系，2021年第6题异样调查线性相关关系;并且上述标题难度基本分歧。

愈增强调双基的调查，特别需求留意的是往年解答题的前三题，三角函数，数列，平面几何均为基此题型，并未出现知识点得交叉与综合。

2021年的高考文科试卷愈增强调才干的调查，综合调查先生信息获取才干以及知识运用才干。

比如第7题，第10题，以落第22题，标题给出一些新的定义，要求先生依照标题所给的背景处置实践效果;又比如第15题，调查解三角形的实践运用，近几年湖北卷尚未出现过此类考题。

此外值得留意的是，在阅历了12，13年两个较难的平面几何题之后，往年高考平面几何题难度继续降低，且未触及三视图这个考点。

(附表：近三年湖北高考文科数学考点散布及分值统计) 知识板块2021年高考2021年高考2021年高考题号分值题号分值题号分值集合逻辑、函数导数1，3，5，8，10，2139分1，3，9，15，16，2139分3，5，6，7，13，17，2144分三角向量6，7，1822分12，13，1822分11，15，18 22分数列、不等式9，17,1922分4，1917分10，12，19 22分平面几何16,2017分7，10，20 23分2013分解析几何2,14,2224分8，17，22 24分9，16，2224分概率统计、算法双数4,11，12，13，1525分2，5，6，11，1425分1，2，4，8，1425分从上表中可以看到，湖北高考数学试卷关于高中数学六大板块的调查分值比拟动摇;二、试题考点剖析(文科)对每道题的考点剖析如下：第1题，双数运算双数的基本运算，先生找规律即可算出结果。

2021年湖北省高考文科数学试卷及答案(word版)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕本试题卷共5页，22题。

全卷总分值150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★考前须知：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，那么UA =A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i -=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠〞的否认是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．假设变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩那么2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，那么 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p <<D ．312p p p <<6．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.50.5-0.52.0-3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+，那么 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如下图的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕，〔2，2，0〕，〔1，2，1〕，〔2，2，2〕. 给出编号为①、②、③、④的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，那么过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 那么函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为 A. {1,3} B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．?算数书?竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 假设样本中有50件产品由甲设备生产，那么乙设备生产的产品总数为件.12．假设向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，那么||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . π6A =，a =1，b =，那么B = . 14．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假设输入n 的值为9，那么输出S 的值为 .第14题图15．如下图，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．假设x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，那么正实数a 的取值范围为．16．某项研究说明：在考虑行车平安的情况下，某路段车流量F 〔单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时〕与车流速度v 〔假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒〕、平均车长l 〔单位：米〕的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.〔Ⅰ〕如果不限定车型， 6.05l =，那么最大车流量为辆/小时；〔Ⅱ〕如果限定车型，5l =, 那么最大车流量比〔Ⅰ〕中的最大车流量增加辆/小时. 17．圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，假设定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，那么〔Ⅰ〕b =；〔Ⅱ〕λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．〔本小题总分值12分〕某实验室一天的温度〔单位：℃〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. 〔Ⅰ〕求实验室这一天上午8时的温度；〔Ⅱ〕求实验室这一天的最大温差.第15题图19．〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由.20．〔本小题总分值13分〕如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：〔Ⅰ〕直线1BC ∥平面EFPQ ；〔Ⅱ〕直线1AC ⊥平面PQMN .21．〔本小题总分值14分〕π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.〔Ⅰ〕求函数ln ()xf x x=的单调区间；〔Ⅱ〕求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．〔本小题总分值14分〕在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C .〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．〔Ⅰ〕1900；〔Ⅱ〕100 17．〔Ⅰ〕12-；〔Ⅱ〕12三、解答题：18．〔Ⅰ〕ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.〔Ⅱ〕因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+，又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．〔Ⅰ〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.〔Ⅱ〕当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：〔Ⅰ〕连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．〔Ⅱ〕如图，连接AC ，BD ，那么AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥. 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .第20题解答图QBEMN ACD 1C 〔F 1D1A1BP21.〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=．当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．〔Ⅱ〕因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．由e 3π<<及〔Ⅰ〕的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<．由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>；由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <．综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．〔Ⅰ〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩〔Ⅱ〕在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①〔1〕当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，那么由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③〔ⅰ〕假设00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.〔ⅱ〕假设00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.〔ⅲ〕假设00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。

2021年高考真题——数学文(湖北卷)word解析版

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A . 【解析】试题分析：因为6072303()i i i i =⋅=-，所以应选A . 考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ． 134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石【答案】B .考点：1、简单的随机抽样；3.命题“0(0,)x ∃∈+∞， 00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C . 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A .考点：1、线性回归方程；5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C . 【解析】试题分析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .考点：1、函数的定义域求法； 7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D .考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 【答案】B . 【解析】试题分析：由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率2S p S=，其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选B .考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【解析】考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________．【答案】9.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10. 【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点(3,1)B 取得最大值，即max 33110z =⨯+=，故应填10.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 【解析】试题分析：由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=，故应填3；6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度 CD =_________m.【答案】1006.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.ABCD【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【解析】考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a为实数，函数2g a. 当a=_________时，f x x ax()||=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a的值最小.()【答案】22.考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得 221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．第20题图【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【解析】（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为，短半轴长为，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①第22题图1 第22题图2第22题解答图又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。

2021年高考全国乙卷数学(文科)试题及答案解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2. 设iz =4+3i ，则z =( )A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢(p ∨q)4. 函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( )A. 3π和√2B. 3π和2C. 6π和√2D. 6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B. √33C. √22D. √327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 168. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx9. 设函数f(x)=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( )A. f(x −1)−1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π611. 设B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A. 52B. √6C. √5D. 212.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，若a⃗//b⃗ ，则λ=______ ．14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ． (1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ；(2)若PD =DC =1，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =na n 3，已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和.证明：T n <S n 2．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值．21.已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2，3，4}，∴∁U(M∪N)={5}．故选：A．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由iz=4+3i，得z=4+3ii =(4+3i)(−i)−i2=−3i2−4i=3−4i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin x 3+cos x 3=√2sin(x 3+π4)， ∴T =2π13=6π．当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值√2； ∴函数f(x)的周期为6π，最大值√2．故选：C ．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =3x +y =4，解得A(1,3)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×1+3=6．故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：cos 2π12−cos 25π12=1+cos π62−1+cos 5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32．故选：D ．直接利用二倍角的余弦化简求值即可．本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为12−0=12，构成该事件的区域长度为13−0=13，所以取到的数小于13的概率P =1312=23．故选：B ．我们分别计算出区间(0,12)和(0,13)的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4，当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号，因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误；对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误．故选：C ．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB 与AD 1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A【解析】解：B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，所以B(0,1)，点P 在C 上，设P(√5cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，所以|PB|=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2 =√−4sin 2θ−2sinθ+6=√−4(sinx +14)2+254，当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为52．故选：A ．求出B 的坐标，设P(√5cosθ,sinθ)，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x =a 或x =b ，即x =a 及x =b 是f(x)的两个零点，当a >0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a <b ；当a <0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：因为a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，a⃗//b⃗ ，所以8−5λ=0，解得λ=85．故答案为：85．根据题意，由a⃗//b⃗ ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】√5【解析】解：双曲线x24−y25=1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x+2y−8=0的距离为d=√12+22=√5．故答案为：√5．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB=P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；(2)解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P−ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD=BC=2a，取CP的中点为F.连接MF，AF，EF，AE，可得MF//PB，EF//DP，那么AM⊥MF.且EF=12.AE=√14+4a2，AM=√a2+1，AF=√EF2+AE2．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√2+4a2，则MF=√2+4a22；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2=AF2，解得a=√22．底面ABCD的面积S=√2，则四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅ℎ⋅S =13×1×√2=√23．【解析】(1)通过线面垂直即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．(2)根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P −ABCD 的高，利用体积公式计算即可．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)∵a 1，3a 2，9a 3成等差数列，∴6a 2=a 1+9a 3，∵{a n }是首项为1的等比数列，设其公比为q ，则6q =1+9q 2，∴q =13，∴a n =a 1q n−1=(13)n−1， ∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ． (2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ，∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1， T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，①∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，② ①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1，∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】(1)解：由题意知，p =2，∴y 2=4x ．(2)由(1)知，抛物线C ：y 2=4x ，F(1,0)，设点Q 的坐标为(m,n)，则QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,−n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9m,−9n)∴P 点坐标为(10m −9,10n)，将点P 代入C 得100n 2=40m −36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =n m =10n 25n 2+9=1025n+9n ≤13，当n =3时取最大值．故答案为：13．【解析】(1)根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程，(2)设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−2x +a ，△=4−12a ，①当△≤0，即a ≥13时，由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f′(x)≥0，则f(x)在R 上单调递增；②当△>0，即a <13时，令f′(x)=0，解得x 1=1−√1−3a 3,x 2=1+√1−3a 3，令f′(x)>0，解得x <x 1或x >x 2，令f′(x)<0，解得x 1<x <x 2，∴f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)单调递增，在(x 1,x 2)单调递减；综上，当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；当a <13时，f(x)在(−∞,1−√1−3a 3),(1+√1−3a 3,+∞)单调递增，在(1−√1−3a 3,1+√1−3a 3)单调递减． (2)设曲线y =f(x)过坐标原点的切线为l ，切点为(x 0,x 03−x 02+ax 0+1),f′(x 0)=3x 02−2x 0+a ，则切线方程为y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0)，将原点代入切线方程有，2x 03−x 02−1=0，解得x 0=1，∴切线方程为y =(a +1)x ，令x 3−x 2+ax +1=(a +1)x ，即x 3−x 2−x +1=0，解得x =1或x =−1， ∴曲线y =f(x)过坐标原点的切线与曲线y =f(x)的公共点的坐标为(1,a +1)和(−1,−a −1)．【解析】(1)对函数f(x)求导，分a ≥13及a <13讨论导函数与零的关系，进而得出f(x)的单调性情况；(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y =f(x)联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1，⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)． (2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0，圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33，所以切线方程为y =±√33(x −4)+1，因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2,x ≤−34,−3<x <12x +2,x ≥1，∵f(x)≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3<x <1 4≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤−4或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x −a|+|x +3|≥|x −a −x −3|=|a +3|，若f(x)>−a ，则|a +3|>−a ，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−3，2,+∞)．即a的取值范围是(−32【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。

2021年高考数学全国卷Ⅱ文科试题(全解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在，每小题给出的四个选项中，参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}A B =，∴(){2,4}U C A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或（D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A（3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3 【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+ (5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。

全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2021 年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔大纲版〕一．选择题1．〔 5 分〕集合 A={ x| x 是平行四边形 } ，B={ x| x 是矩形 } ，C={ x| x 是正方形 } ，D={ x| x 是菱形 } ，那么〔〕A．A? B B．C? B C．D? C D．A? D2．〔5 分〕函数的反函数是〔〕A．y=x2﹣ 1〔 x≥ 0〕B．y=x2﹣1〔x≥ 1〕C．y=x2+1〔x≥ 0〕D．y=x2 +1〔x≥1〕3．〔5分〕假设函数是偶函数，那么φ=〔〕A．B．C．D．4．〔5分〕α为第二象限角，，那么 sin2 α=〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 x=﹣4，那么该椭圆的方程为〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1 =1， S n=2a n+1，那么当 n＞1 时， S n=〔〕A．〔〕n﹣1B．2n﹣ 1C．〔〕n﹣1D．〔﹣1〕7．〔5 分〕 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，那么不同的演讲次序有〔〕A．240 种B．360 种C．480 种D．720 种．〔分〕正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， AB=2，CC，E 为 CC1的中点，那么直线 AC 与平8 51=21面 BED的距离为〔〕A．2B．C．D．19．〔5分〕△ ABC中， AB 边的高为 CD，假设= ， = ， ?=0，| | =1， | | =2，那么=〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕1、F2为双曲线 C： x2﹣y2的左、右焦点，点P在C上F=2∠F1PF2=〔〕A．B．C．D．11．〔 5 分〕 x=ln π， y=log52，，那么〔〕A．x＜y＜z B．z＜x＜ y C． z＜y＜x D． y＜z＜x 12．〔 5 分〕正方形 ABCD的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC上，发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为〔〕A．8B．6C． 4D． 3二、填空题〔共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，在试卷上作答无效〕13．〔 5 分〕的展开式中x2的系数为．14．〔 5 分〕假设 x，y 满足约束条件那么z=3x﹣y的最小值为15．〔 5 分〕当函数 y=sinx﹣cosx〔0≤ x＜2π〕取得最大值时， x=16．〔5分〕正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别为 BB ，CC 的中点，11所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解容许写出文字说明、证明过程或作答无效！17．〔 10 分〕△ ABC中，内角 A， B，C 成等差数列，其对边a， b， c第 1 页〔共 13 页〕18．〔 12 分〕数列 { a n } 中， a1=1，前 n 项和20．〔 12 分〕乒乓球比赛规那么规定：一局比赛，对方比分在10 平前，一方球 2 次后，对〔1〕求 a2， a3；〔2〕求 { a n } 的通项公式．19．〔 12 分〕如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形， PA⊥底面 ABCD，，PA=2，E 是PC上的一点， PE=2EC．〔Ⅰ〕证明： PC⊥平面 BED；〔Ⅱ〕设二面角 A﹣PB﹣ C 为 90°，求 PD 与平面 PBC所成角的大小．第 2 页〔共 13 页〕21．〔 12 分〕函数．22．〔 12 分线 C：y=〔〔 1〕讨论 f〔x〕的单调性；在 A 处两切线为同l．〔 2〕设 f 〔x〕有两个极值点 x1，x2，假设过两点〔 x1， f〔x1〕〕，〔 x2，f〔 x2〕〕的直线 l 与 x 轴的交点〔Ⅰ〕求 r；在曲线 y=f〔x〕上，求 a 的值．〔Ⅱ〕设 m 异于 l 且与 C 都相切的两条线， m， n 为 D，求 D 距离．第 3 页〔共 13 页〕2021 年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔大纲版〕参考答案与试题解析一．选择题1．〔 5 分〕集合 A={ x| x 是平行四边形 } ，B={ x| x 是矩形 } ，C={ x| x 是正方形 } ，D={ x| x 是菱形 } ，那么〔〕A．A? B B．C? B C．D? C D．A? D【考点】 1E：交集及其运算．【专题】 11：计算题．【分析】直接利用四边形的关系，判断选项即可．【解答】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D? A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B? A，C? A，正方形是矩形，所以C? B．应选： B．【点评】此题考查集合的根本运算，几何图形之间的关系，根底题．2．〔5 分〕函数的反函数是〔〕A．y=x2﹣ 1〔 x≥ 0〕B．y=x2﹣1〔x≥ 1〕C．y=x2+1〔x≥ 0〕 D． y=x2+1〔x ≥ 1〕【考点】 4R：反函数．【专题】 11：计算题．【分析】直接利用反函数的求法求解即可．【解答】解：因为函数，解得x=y2﹣1，所以函数的反函数是 y=x2﹣1〔x≥0〕．应选： A．【点评】此题考查函数的反函数的求法，考查计算能力．3．〔5 分〕假设函数是偶函数，那么A．B．C．D．【考点】 H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HK：由 y=Asin〔ωx+φ〕的局部【专题】 11：计算题．【分析】直接利用函数是偶函数求出? 的表达式，然后求出? 的值．【解答】解：因为函数是偶函数，所以，k∈z，所以 k=0 时， ?=∈[ 0，2π]．应选： C．【点评】此题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的解析式的应用，考查计算能4．〔5 分〕α为第二象限角，，那么sin2α=〔〕A．B．C．D．【考点】 GG：同角三角函数间的根本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】 11：计算题．【分析】直接利用同角三角函数的根本关系式，求出cosα，然后利用二倍角【解答】解：因为α为第二象限角，，所以 cosα=﹣=﹣．所以 sin2α=2sin αcosα==．应选： A．【点评】此题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的根本关系的应用，考查计第 4 页〔共 13 页〕5．〔5 分〕椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 x=﹣4，那么该椭圆的方程为〔〕A．B．C．D．【考点】 K3：椭圆的标准方程； K4：椭圆的性质．【专题】 11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x 轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且∴c=2， a2=8∴b2=a2﹣c2 =4∴椭圆的方程为应选： C．【点评】此题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于根底题．n}的前n项和为S n ，a1， n n+1，那么当n＞1时，S n 〔〕6．〔5 分〕数列 { a=1 S =2a=A．〔〕n﹣1B．2n﹣ 1C．〔〕n﹣1D．〔﹣1〕【考点】 8H：数列递推式．【专题】 35：转化思想； 54：等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵ S n=2a n+1，得 S n =2〔S n+1﹣ S n〕，即 3S n =2S n+1，由 a1，所以n≠0．那么= ．=1S ∴数列 { S n} 为以 1 为首项，公比为的等比数列∴ S n=．应选： A．【点评】此题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算7．〔5 分〕 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，〔〕A．240 种B．360 种C． 480 种D． 720 种【考点】 D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】 11：计算题．【分析】直接从中间的 4 个演讲的位置，选 1 个给甲，其余全排列即可．【解答】解：因为 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，个位置，所以不同的演讲次序有=480 种．应选： C．【点评】此题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．8．〔5分〕正四棱柱ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=2，CC1=2，E为1平CC 面 BED的距离为〔〕A．2B．C．D． 1【考点】 MI：直线与平面所成的角．【专题】 11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面 BDE，再将线面距后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OE∥C1A第 5 页〔共 13 页〕∴直线 AC1与平面 BED的距离即为点 A 到平面 BED的距离，设为 h，∴ AB=在三棱锥 E﹣ABD中， V E﹣ABD△ABD×EC=× ×2×2×=由射影定理可得， AC2=AD?AB =S在三棱锥 A﹣BDE中， BD=2，BE= ， DE=，∴ S△EBD×2×∴==2∴ V﹣ BDE×△EBD×h=×2×h=A=S∴∴ h=1∴==应选： D．应选：D．【点评】此题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属根底题9．〔5 分〕△ ABC中， AB 边的高为 CD，假设= ，= ， ? =0，|| =1， || =2，那么 =〔A．B．C．D．【考点】 9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得， CA⊥CB，CD⊥ AB，由射影定理可得， AC2可求，进而可求=AD?AB 从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵ ? =0，∴ CA⊥CB∵ CD⊥AB∵ | | =1，|| =2第 6 页〔共 13 页〕应选： C．【点评】此题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．11．〔 5 分〕 x=ln π，y=log5 2，，那么〔〕A．x＜y＜z B．z＜ x＜ y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】 72：不等式比拟大小．【专题】 11：计算题； 16：压轴题．【分析】利用 x=ln π＞ 1， 0＜ y=log5＜，＞z=＞，即可得到答案．21【解答】解：∵ x=ln π＞ lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈〔0，〕；1=e0＞=＞=，即z∈〔，1〕，∴y＜ z＜x．应选： D．【点评】此题考查不等式比拟大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于根底题．12．〔 5 分〕正方形 ABCD的边长为 1，点 E 在边 AB上，点 F 在边 BC上，．定点P从E出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为〔〕A．8B．6C．4D．3【考点】 IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】 15：综合题； 16：压轴题．【分析】根据中的点E，F 的位置，可知入射角的正切值为，通过相后的点的位置，从而可得反射的次数．【解答】解：根据中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为第三次碰撞点为H，在 DC上，且 DH= ，第四次碰撞点为M ，在 CB 撞点为 N，在 DA 上，且 AN= ，第六次回到 E 点， AE= ．故需要碰撞 6 次即可．应选： B．【点评】此题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形位置，从而可得反射的次数，属于难题二、填空题〔共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，在试卷上作答无效〕13．〔 5 分〕的展开式中x2的系数为7．【考点】 DA：二项式定理．【专题】 11：计算题．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x2的系数即可．【解答】解：因为的展开式的通项公式为：=当 8﹣2r=2，即 r=3 时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为： 7．第 7 页〔共 13 页〕【点评】此题考查二项式定理的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．〔 5 分〕假设 x， y 满足约束条件那么z=3x﹣y的最小值为﹣1．【考点】 7C：简单线性规划．【专题】 11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，那么﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大 z 越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如下图由 z=3x﹣ y 可得 y=3x﹣z，那么﹣ z 表示直线 3x﹣y﹣ z=0在 y 轴上的截距，截距越大z 越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y 过点 C 时 z 最小由可得 C〔0， 1〕，此时 z=﹣1故答案为：﹣ 1根底试题15．〔 5 分〕当函数 y=sinx﹣cosx〔0≤ x＜2π〕取得最大值时， x=【考点】 GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】 11：计算题； 16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx 化为 y=2sin〔x﹣〕〔0≤x＜cosx〔0≤x＜2π〕取得最大值时x 的值．【解答】解：∵ y=sinx﹣cosx=2〔sinx﹣cosx〕 =2sin〔 x﹣〕．∵ 0≤ x＜ 2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时 x﹣ = ，∴x=．故答案为：．【点评】此题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角性质，将 y=sinx﹣ cosx〔 0≤ x＜2π〕化为 y=2sin〔x﹣〕〔 0≤ x＜ 2π档题．16．〔 5 分〕正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1的中点，所成角的余弦值为．【考点】 L2：棱柱的结构特征； LM：异面直线及其所成的角．【专题】 11：计算题； 16：压轴题．【分析】设正方体 ABCD﹣ A1【点评】此题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z 的几何意义，属于角坐标系，那么第 8 页〔共 13 页〕所成角的余弦值．【解答】解：设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1棱长为 2，以 DA 为 x 轴， DC为 y 轴， DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，则A〔2，0，0〕， E〔 2， 2， 1〕D1〔0，0，2〕， F〔 0， 2，1〕∴，=〔 0，2，﹣ 1〕，设异面直线 AE 与 D1 F 所成角为θ，那么 cosθ=|cos＜，＞| =|| = ．故答案为：．【点评】此题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！17．〔 10 分〕△ ABC中，内角 A，B，C 成等差数列，其对边a，b，c 满足 2b2=3ac，求 A．【考点】 8N：数列与三角函数的综合．【专题】 15：综合题； 2A：探究型．【分析】由题设条件，可先由A，B，C 成等差数列，及 A+B+C=π得到 B=，及 A+C=，再由正弦定理将条件 2b2=3ac 转化为角的正弦的关系，结合〔〕﹣求得cos A+C =cosAcosC sinAsinCcosAcosC=0，从而解出 A【解答】解：由 A，B，C 成等差数列，及A+B+C=π得 B=，故有A+C=由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC= ，所以 sinAsinC=所以 cos〔A+C〕=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣即cosAcosC﹣ =﹣，可得 cosAcosC=0所以 cosA=0或 cosC=0，即 A 是直角或 C 是直角所以 A 是直角，或 A=【点评】此题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相了转化的思想，有一定的探究性及综合性18．〔 12 分〕数列 { a n} 中， a1=1，前 n 项和（1〕求 a2， a3；（2〕求 { a n } 的通项公式．【考点】 8H：数列递推式．【专题】 11：计算题．【分析】〔1〕直接利用，求出a2，a3；〔 2〕利用关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项【解答】解：〔1〕数列 { a n} 中， a1，前n项和，=1可知，得 3〔a1+a2〕=4a2，解得 a2=3a1=3，由，得3〔a1+a2+a3〕=5a3，解得 a3==6．〔 2〕由意知 a1=1，当 n＞1 ，有 a n=s n s n﹣1=，整理得，于是 a1=1，a2= a1，a3= a2，⋯，a n﹣1 =a n﹣2，，将以上 n 个式子两端分相乘，整理得：．上 { a n} 的通公式【点】本考数列的的求法，累法的用，考算能力．【考点】 LW：直与平面垂直； MI：直与平面所成的角； MM ：向量言表述面的垂关系．【】 11：算．【分析】〔I〕先由建立空直角坐系， D〔，b，0〕，从而写出相关点和相关向量的要条件，明 PC⊥BE， PC⊥DE，从而利即可；〔 II〕先求平面 PAB的法向量，再求平面 PBC的法向量，利用两平面垂直的性，即最后利用空向量角公式即可求得面角的正弦，而求得面角【解答】解：〔I〕以 A 坐原点，建立如空直角坐系 A xyz，19．〔 12 分〕如，四棱P ABCD中，底面ABCD菱形， PA⊥底面 ABCD，，PA=2，E D〔，b，0〕，C〔2，0，0〕，P〔0，0，2〕，E〔，0，〕，〔，b，0〕是 PC上的一点， PE=2EC．∴ =〔2，0， 2〕， =〔，b，〕， =〔， b，〕〔Ⅰ〕明： PC⊥平面 BED；〔Ⅱ〕二面角 A PB C90°，求 PD 与平面 PBC所成角的大小．∴ ? ==0， ? =0∴PC⊥BE，PCB E ∩D E = E ∴P C ⊥平面B E D 〔I I 〕=〔0，0，2〕，=〔，b ，0〕平面P A B 的=〔x，y，z〕，第 10 页〔共 13 页〕取 =〔b，，0〕设平面 PBC的法向量为=〔p，q，r〕，那么取 =〔1，﹣，〕∵平面 PAB⊥平面 PBC，∴? =b﹣=0．故 b=∴ =〔1，﹣ 1，〕，=〔﹣，﹣，2〕∴ cos＜，＞==设 PD 与平面 PBC所成角为θ，θ∈[ 0，] ，那么 sin θ=∴θ=30°∴ PD与平面 PBC所成角的大小为30°【点评】此题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题20．〔 12 分〕乒乓球比赛规那么规定：一局比赛，对方比分在10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发（1〕求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1：2 的概率；（2〕求开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率．【考点】 C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA： n 次独次的概率．【专题】 5I：概率与统计．【分析】〔Ⅰ〕记 A i表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得i 分，第 3 次和第 4 次这两次发球，甲共得 i 分， i=0， 1， 2， A 表示事件：第表示事件：开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2，C 表示事件：开始分领先． B=，由此能求出开始第 4 次发球时，甲、乙的比分〔Ⅱ〕，P〔B1〕=2××，由 C=A1?B2+A2?B1+A2?B2，能求出开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率【解答】解：〔Ⅰ〕记 A i表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得B i表示事件：第 3 次和第 4 次这两次发球，甲共得i 分， i=0， 1， 2，A 表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分，B 表示事件：开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2，C 表示事件：开始第 5 次发球时，甲得分领先．∴ B=，P〔A〕，P〔A0〕2，P〔A1〕=2××，P〔B〕==P〔A0?A〕+P〔〕=××〔 1﹣〕．答：开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为1：2 的概率是．第 11 页〔共 13 页〕〔Ⅱ〕，P〔B1〕 =2××，，，∵C=A1?B2+A2?B1+A2?B2，∴P〔 C〕 =P〔A1?B2+A2B1+A2?B2〕1 2〕+P〔A2 1〕+P〔A22〕=P〔A ?B?B?B=P〔A1〕P〔B〕 +P〔A2〕 P〔 B1〕+P〔 A2〕P〔B2〕×××．答：开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率是．【点评】此题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意n 次独立重复试验的性质和公式的灵活运用．21．〔 12 分〕函数．（1〕讨论 f〔x〕的单调性；（2〕设 f 〔x〕有两个极值点 x1，x2，假设过两点〔 x1， f〔x1〕〕，〔 x2，f〔 x2〕〕的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y=f〔x〕上，求 a 的值．【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【专题】 11：计算题； 16：压轴题； 3：解题思想； 32：分类讨论．【分析】〔1〕先对函数进行求导，通过 a 的取值，求出函数的根，然后通过导函数的值的符号，推出函数的单调性．〔 2〕根据导函数的根，判断a 的范围，进而解出直线 l 的方程，利用 l 与 x 轴的交点为〔 x0， 0〕，可解出 a 的值．【解答】解：〔1〕f ′〔x〕 =x2+2x+a=〔x+1〕2+a﹣ 1．且仅当 a=1，x=﹣ 1 时， f ′〔x〕=0，所以 f〔x〕是 R 上的增函数；②当 a＜1 时， f ′〔x〕=0，有两个根，x1=﹣1﹣，x2=﹣1+，当 x∈时，f′〔x〕＞0，f〔x〕是增函数．当 x∈时，f′〔x〕＜0，f〔x〕是减函数．当 x∈时，f′〔x〕＞0，f〔x〕是增函数．〔 2〕由题意 x1，x2，是方程 f ′〔x〕=0 的两个根，故有 a＜1，，，因此====，同理．因此直线 l 的方程为： y=．设 l 与 x 轴的交点为〔 x0，0〕得 x0=，=，由题设知，点〔 x0，0〕在曲线 y=f〔x〕上，故 f〔x0〕=0，解得 a=0，或 a=或a=【点评】此题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程能力．22．〔 12 分〕抛物线 C ：y=〔x+1〕2 与圆〔r ＞ 0〕有一个公共点 A ，且在 A 处两曲线的切线为同一直线l ．〔Ⅰ〕求 r ；〔Ⅱ〕设 m ，n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线， m ，n 的交点为 D ，求 D 到 l 的距离．【考点】 IM ：两条直线的交点坐标； IT ：点到直线的距离公式； KJ ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】 15：综合题； 16：压轴题．【分析】〔Ⅰ〕设 A 〔 x 0 ，〔 x 0+1〕2〕，根据 y=〔x+1〕2，求出 l 的斜率，圆心 M 〔1，〕，求得MA的斜率，利用 l ⊥MA 建立方程，求得 A 的坐标，即可求得 r 的值；〔Ⅱ〕设〔 t ，〔t+1〕2〕为 C 上一点，那么在该点处的切线方程为y ﹣〔 t+1〕2〔〕〔 ﹣ 〕，即=2 t+1 x t 〔〕 ﹣ t 2+1，假设该直线与圆 M 相切，那么圆心 M 到该切线的距离为，建立方程，求得 y=2 t+1 x t 的值，求出相应的切线方程，可得 D 的坐标，从而可求 D 到 l 的距离．【解答】解：〔Ⅰ〕设 A 〔x 0，〔x 0+1〕 2〕，∵ y=〔x+1〕2，y ′=2〔 x+1〕 ∴ l 的斜率为 k=2〔x 0+1〕当 x 0=1 时，不合题意，所以 x 0≠1圆心 M 〔 1，〕， MA 的斜率．∵ l ⊥MA ，∴ 2〔 x 0+1〕×=﹣1∴ x 0 ，∴ 〔，〕，=0A 0 1∴ r=| MA| = ；〔Ⅱ〕设〔 t ，〔t+1〕2〕为 C 上一点，那么在该点处的切线方程为y ﹣〔 t+1〕2 〔〕〔 ﹣ 〕，即=2 t+1 x ty=2〔t+1〕x ﹣t 2+1假设该直线与圆 M 相切，那么圆心 M 到该切线的距离为∴∴ t 2〔t 2﹣4t ﹣ 6〕 =0∴ t 0=0，或 t 1=2+，t 2=2﹣抛物线 C 在点〔 t i ，〔t i +1〕 2〕〔i=0，1，2〕处的切线分别为l ，m ，n ，y=2x+1①， y=2〔t 1+1〕 x ﹣②， y=2〔t 2+1〕 x ﹣ ③②﹣③： x=代入②可得： y=﹣1∴ D 〔2，﹣ 1〕，∴ D 到 l 的距离为【点评】此题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．。

湖北高考文科数学试题

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕本试题卷共4页，三大题21题。

全卷总分值150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.设集合M={1,2,4,8}，N={ x x 是2的倍数}，刚M N = A.{2,4} B.{1,2.4} C.{2,4,8} D.{1,2,4,8}2.函数()f x =3sin()24x π-，x R ∈的最小正周期为 A. 2π B. π C. 2π D. 4π 3.函数f 〔x 〕={3x log x, x 0,2, x 0,≤那么f 19f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= A.4 B.14 C.-4 D.- 144.用a,b,c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题：①假设a ∥b, b ∥c,那么a ∥c;②假设,,a b b c ⊥⊥那么a c ⊥；③假设a ∥γ, b ∥γ,那么a ∥b;④假设,a b γγ⊥⊥,那么a ∥b.其中真命题的序号是A. ①②B.②③C. ①④D. ③④5.函数0.5log (43)y x =-的定义域为 A. 3(,1)4B. 3(,)4+∞ C. (1,)+∞ D. 3(,1) (1,+)4∞ 6.现有6名同学去听同时进展的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A. 65B.56C. 5654322⨯⨯⨯⨯⨯D. 65432⨯⨯⨯⨯ 7.等比数列()n a 中，各项都是正数，且1a 、121a 、22a 成等差数列，那么91078a a a a ++= A ．1+2 B ．1-2 C ．3+22 D ．3-228．ABC 和点M 满足MA +MB +MC = 0.假设存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立，那么m=A ．2B ．3C ．4D ．59.假设直线y=x+b 与曲线y=3 24x x -,有公共点，那么b 的取值范围是A {}122,122-+ C {}12,3-B {}1,122-+ D {}122,3- 10.记实数12,,n X X X 中的最大数为max {}12,,n X X X ,最小数为mix {}12,,n X X X .ABC 三边的边长为a,b,c (a b c ≤≤),定义它的倾斜度为max ,,min ,,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭= 那么“1=〞是“ABC 为等边三角形〞的A 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件B 充要条件 D 既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。

2021湖北省高考数学真题及解析

2021湖北省高考数学试卷及答案解析本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国统一高考真题数学试卷(文科)(含答案及解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N =（ )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4} 2.设43iz i =+，则z =（）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（） A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ∧⌝ D.()p q ⌝∨4.函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（） A.3πB.3π和2C.6πD.6π和25.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.46.225coscos 1212ππ-=（） A.12B.3C.2D.27.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（） A.34 B.23 C.13 D.168.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+ D.4n ln l y x x=+9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A.1()1f x -- B.1()1f x -+ C.1()1f x +- D.1()1f x ++10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2π B.3π C.4π D.6π 11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.52212.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 二、填空题13.已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= .14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 .15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b = .16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <. 20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 23.已知函数()|||3|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案及解析一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N =（ )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（） A.34i -- B.–34i + C.34i - D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（） A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案： A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q∧为真，选A. 4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3πB.3π和2C.6πD.6π和2 答案： C 解析：()sin()34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==. 故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案： C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（） A.12B.33 C.22 3 答案： D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D. 7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（） A.34 B.23 C.13 D.16答案： B解析：在区间1(0,)2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（） A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案： C 解析：对于A ，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合，对于B ，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t=+，根据对勾函数min 145y =+=不符合，对于C ，242222x x x xy -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=，当且仅当2t =时取等，符合，对于D ，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+. 根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案： B 解析：12()111x f x x x-==-+++， ()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数. 所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π 答案： D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC，12B P =，12PC =，BP =. 2221111312cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠===⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为 A.526 5D.2 答案： A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++≥.∴max 5||2PB =，故选A. 方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B . 因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 答案： D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值. 即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <. 当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值. 即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D. 二、填空题13.已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= . 答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=. 14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 . 答案：5解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离22|38|512d -==+. 15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，60B =︒,223a c ac +=，则b = .答案：22解析：由面积公式1sin 32S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b > 解得22b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案： ②⑤或③④ 解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==5BA BC ==2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高）. 答案：见解析解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯= 221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=. （2）10.3100.3y x -=-=22120.0360.04221010s s ++=20.0076=. ∵则0.30.0920.0760.0304=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案：见解析解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <. 答案：见解析解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =，故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--. 又3n n n b =，则1231123133333n n n n nT --=+++++，两边同乘13，则234111231333333n n n n nT +-=+++++，两式相减，得23412111113333333n n n nT +=+++++-，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---，整理得31323(1)4323423n n n nn n T +=--=-⨯⨯， 323314322()(1)04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =. 抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF =.∴222000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020001193944Q OQ Qy y k y y x y ===≤=++. ∴直线OQ 斜率的最大值为13. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 答案：见解析解析：（1）2()32f x x x a '=-+（i ）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii ）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，113x =，213x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113(33a a-+单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113(,33a a-++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 答案：见解析解析：（1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=，此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以k =代入直线方程并化简得40x -+=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ=⇔+=或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=⇔+=+23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围. 答案：见解析解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-；当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅；当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥. 综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞. （2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。

全国高考文科数学试题及答案湖北卷

2021年一般高校招生统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕考前须知：1. 答题前，考试务必将自己姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。

2. 选择题每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试完毕，请将本试题和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合要求。

1. 假设向量a=〔1，1〕，b=〔-1,1〕，c=〔4，2〕，那么c=A. 3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b 【答案】B 2. 函数)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且反函数是 A.)21,(2121≠∈-+=x R x x x y 且 B.)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 C.)1,()1(21≠∈-+=x R x x xy 且 D.)1,()1(21-≠∈+-=x R x x x y 且【答案】D 3.“sin α=21〞是“212cos =α〞【答案】A4. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参与公益活动，每人一天，要求星期五有一人参与，星期六有两人参与，星期日有一人参与，那么不同选派方法共有【答案】C【解析】5人中选4人那么有45C 种，周五一人有14C 种，周六两人那么有23C ，周日那么有11C 种，故共有45C ×14C ×23C =60种,应选C5. 双曲线22122x y -=准线经过椭圆22214x y b+=〔b ＞0〕焦点，那么b= A.3 B.5 C.3 D.2 【答案】C【解析】可得双曲线准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3.故C.6. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1长为1，那么该三棱柱高等于 A.21 B.22 C.23 D.33【答案】A7. 函数2)62cos(-+=πx y 图像F 按向量a 平移到F /，F /解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于 A.(,2)6π- B.(,2)6π C.(,2)6π-- D.(,2)6π- 【答案】D8. 在“家电下乡〞活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供运用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，假设每辆车至多只运一次，那么该厂所花最少运输费用为【答案】B【解析】设甲型货车运用x 辆，已型货车y 04082010100x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩,求Z=400x +300y 最小值.可求出最优解为〔4，2〕故min 2200Z =应选B.9. 设,R x ∈记不超过x 最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，那么{215+}，[215+],215+ 【答案】B【解析】可分别求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，51[]12+=.那么等比数列性质易得三者构成等比数列10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来探讨数，例如：他们探讨过图1中1，3，6，10，…，由于这些数可以表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中1，4，9，16，…这样数成为正方形数。

2021高考数学考试大纲文(1)

2021高考数学考试大纲文I.考试性质一般高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有一样学力的考生参加的选拔性考试.高等学校依照考生成绩，按已确信的招生打算，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.Ⅱ.考试内容依照一般高等学校对新生文化素养的要求，依据中华人民共和国教育部2003年公布的《一般高中课程方案（实验）》和《一般高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确信文史类高考数学科考试内容 .数学科的考试，依照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原那么，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素养融为一体，全面检测学生的数学素养 .数学科考试，要发挥数学作为要紧基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、大体技术的把握程度，要考查考生对数学思想方式和数学本质的明白得水平，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能 .一、考核目标与要求1.知识要求知识是指《一般高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理和由其内容反映的数学思想方式，还包括依照必然程序与步骤进行运算、处置数据、绘制图表等大体技术.各部份知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明对知识的要求依次是了解、明白得、把握三个层次 .(1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的熟悉，明白这一知识内容是什么，依照必然的程序和步骤照样仿照，并能(或会)在有关的问题中识别和熟悉它.这一层次所涉及的要紧行为动词有：了解，明白、识别，仿照，会求、会解等.(2)明白得：要求对所列知识内容有较深刻的理性熟悉，明白知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具有利用所学知识解决简单问题的能力 .这一层次所涉及的要紧行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判定，初步应用等 .(3)把握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，而且加以解决 .这一层次所涉及的要紧行为动词有：把握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象归纳能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处置能力和应用意识和创新意识 .(1)空间想象能力：能依照条件作出正确的图形，依照图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的大体元素及其彼此关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手腕形象地揭露问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观看、分析、抽象的能力，要紧表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观看研究所给图形几何元素之间的彼此关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言和对图形添加辅助图形或对图形进行各类变换；对图形的想象要紧包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.（2）抽象归纳能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭露其本质的属性；归纳是指把仅仅属于某一类对象的一起属性区分出来的思维进程.抽象和归纳是彼此联系的，没有抽象就不可能有归纳，而归纳必需在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象归纳能力是对具体的、生动的实例，在抽象归纳的进程中，发觉研究对象的本质；从给定的大量信息材料中归纳出一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判定.(3)推理论证能力：推理是思维的大体形式之一，它由前提和结论两部份组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的连续串的推理进程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方式既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按试探方式划分的直接证法和间接证法 .一样运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明 .中学数学的推理论证能力是依照已知的事实和已取得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力 .(4)运算求解能力：会依照法那么、公式进行正确运算、变形和数据处置，能依照问题的条件寻觅与设计合理、简捷的运算途径，能依照要求对数据进行估量和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技术的结合 .运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形和几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探讨运算方向、选择运算公式、确信运算程序等进程中的思维能力，也包括在实施运算进程中碰到障碍而调整运算的能力 .(5)数据处置能力：会搜集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有效的信息，并做出判定.数据处置能力要紧依据统计或统计案例中的方式对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.(6)应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方式解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能明白得对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方式解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明 .应用的要紧进程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.(7) 创新意识：能发觉问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方式，选择有效的方式和手腕分析信息，进行独立的试探、探讨和研究，提出解决问题的思路，制造性地解决问题 .创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观看、猜想、抽象、归纳、证明”，是发觉问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越高 .3. 个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观. 要求考生具有必然的数学视野，熟悉数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维适应，体会数学的美学意义 .要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时刻，以事实求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，表现锲而不舍的精神 .4. 考查要求数学学科的系统性和周密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部份知识的纵向联系和横向联系，要擅长从本质上抓住这些联系，进而通过度类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构 .(1)对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，组成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意迫求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.(2)对数学思想方式的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和归纳的考查，考查时必需要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方式的把握程度.(3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，确实是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，偏重表现对知识的明白得和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度和进一步学习的潜能 .对能力的考查要全面，强调综合性、应用性，并要符合考生实际 .对推理论证能力和抽象归纳能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查要紧体此刻对文字语言、符号语言及图形语言的相互转化上；对运算求解能力的考查主若是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处置能力的考查主若是考查运用概率统计的大体方式和思想解决实际问题的能力 .（4）对应用意识的考查要紧采纳解决应用问题的形式 .命题时要坚持“切近生活，背景公平，操纵难度”的原那么，试题设计要符合中学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践体会，使教学应用问题的难度符合考生的水平 .（5）对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查 .在考试中创设新颖的问题情境，构造有必然深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，表现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容，表现数学素养的试题；也要有反映数、形运动转变的试题和研究型、探讨型、开放型等类型的试题 .数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方式的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，尽力实现全面考查综合数学素养的要求 .二、考试范围与要求本部份包括必考内容和选考内容两部份 .必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列1的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题 .（一）必考内容与要求1.集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.（2）集合间的大体关系①明白得集合之间包括与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的大体运算①明白得两个集合的并集和交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集 .②明白得在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能利用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算 .2．函数概念与大体初等函数Ⅰ（指数函数、对数函致、幂函数)（1）函数①了解组成函数的要素，会求一些简单函数的概念域和值域；了解映射的概念 .②在实际情境中，会依照不同的需要选择适当的方式(如图像法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④明白得函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像明白得和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②明白得有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，把握幂的运算 .③明白得指数函数概念，明白得指数函数的单调性，把握指数函数图像通过的特殊点.④明白指数函数是一类重要的函数模型.(3)对数函数①明白得对数的概念及其运算性质，明白用换底公式将一样对数转化成自然对数或经常使用对数：了解对数在简化运算中的作用 .②明白得对数函数的概念，明白得对数函数的单调性，把握对数函数图像通过的特殊点. ③明白对数函数是一类重要的函数模型 .④了解指数函y =a x 与对函数y =log a x 互为反函数（a >0，且a ≠1）.（4）幂函数①了解幂函数的概念 . ②结合函数2132,1,,,x y x y x y x y x y =====的图像，了解它们的转变情形 .(5)函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的关系，判定一元二次方程根的存在性及根的个数 .②依照其体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解 .(6)函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数和幂函数的增加特征，明白直线上升，指数增加，对增加等不同函数类型增加的含义 .②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍利用的函数模型）的普遍应用 .3.立体几何初步①熟悉柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特点，并能运用这些特点描述现实生活中的简单物体的结构 .②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方式画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图(在不阻碍图形特点的基础上，尺寸、线条等不做严格要求).⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.(2)点、直线、平面之间的位置关系.①明白得空间直线、平面位置关系的概念，并了解如下能够作为推理依据的公理和定理 .●公理1：若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 .●公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 .●公理3：若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .●公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行.●定理：空间中若是一个角的两边与另一个角的两边别离平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述概念、公理和定理为起点，熟悉和明白得空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理 .明白得以下判定定理.●若是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.●若是一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.●若是一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.●若是一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直.明白得以下性质定理，并能够证明 .●若是一条直线与一个平面平行，那么通过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.●若是两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线彼此平行.●垂直于同一个平面的两条直线平行.●若是两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平而垂直.③能运用公理、定理和已取得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 .4．平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确信直线位置的几何要素 .②明白得直线的倾斜角和斜率的概念，把握过两点的直线斜率的计算公式 .③能依照两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 .④把握确信直线位置的几何要素，把握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一样式），了解斜截式与一次函数的关系 .⑤能用解方程组的方式求两条相交直线的交点坐标 .⑥把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程①把握确信圆的几何要素，把握圆的标准方程与一样方程.②能依照给定直线、圆的方程判定直线与圆的位置关系；能依照给定两个圆的方程判定两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方式处置几何问题的思想.（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 .②会推导空间两点间的距离公式 .5.算法初步(1)算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想.②明白得程序框图的三种大体逻辑结构：顺序、条件分支、循环 .(2)基本算法语句明白得几种大体算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.统计(1)随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方式让从整体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方式 .(2)用样本估量整体①了解散布的意义和作用，会列频率散布表，会画频率散布直方图、频率折线图、茎叶图，明白得它们各自的特点.②明白得样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③能从样本数据中提取大体的数字特点（如平均数、标准差)，并给出合理的说明 .④会用样本的频率散布估量整体散布，会用样本的大体数字特点估量整体的大体数字特点，明白得用样本估量整体的思想 .⑤会用随机抽样的大体方式和样本估量整体的思想解决一些简单的实际问题.(3)变量的相关性①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图熟悉变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式成立线性回归方程.7.概率(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确信性和频率的不稳固性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.(2)古典概型①明白得古典概型及其概率计算公式.②会用列举法计算一些随机事件所含的大体事件数及事件发生的概率.(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方式估量概率.②了解几何概型的意义 .8.大体初等函数Ⅱ（三角函数）（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念 .②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.(2）三角函数①明白得任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的概念. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出απααπ±±,的正弦、余弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图像，了解三角函数的周期性 .③明白得正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值和与x 轴的交点等)，明白得正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性 . ④明白得同角三角函数的大体关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x = . ⑤了解函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义；能画出y =A sin (ωx +φ)的图像，了解参数A 、ω、φ对函数图像转变的阻碍 .⑥了解三角函数是描述周期转变现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 .9.平面向量(1)平面向量的实际背景及大体概念①了解向量的实际背景.②明白得平面向量的概念，明白得两个向量相等的含义.③明白得向量的几何表示.（2）向量的线性运算①把握向量加法、减法的运算，并明白得其几何意义.②把握向量数乘的运算及其几何意义，明白得两个向量共线的含义 .③了解向量运算的性质及其几何意义 .（3）平面向量的大体定理及坐标表示①了解平面向量的大体定理及其意义 .②把握平面向量的正交分解及其坐标表示 .③会用标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④明白得用坐标表示的平面向量共线的条件.(4)平面向量的数量积①明白得平面向量数量积的含义及其物理意义 .②了解平面向量的数量积与向量投影的关系 .③把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 .④能运用数量积表示两个向量的夹角，用数量积判定两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方式解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方式解决简单的力学问题与其他一些实际问题.10.三角恒等变换(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求经历).11.解三角形(1)正弦定理和余弦定理把握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形气宇问题.(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方式解决一些与侧量和几何计算有关的实际问题 . 12.数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方式（列表、图像、通项公式） .②了解数列是自变量为正整数的一类函数 .(2)等差数列、等比数列①明白得等差数列、等比数列的概念.②把握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式 .③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 .④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 .13.不等式(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 .(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 .②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.(3)二元一次不等式组与简单线性计划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 .②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 .③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性计划问题，并能加以解决.(4)大体不等式：)0,(2≥≥+b a ab b a ①了解基本不等式的证明进程.②会用大体不等式解决简单的最大(小)值问题 .14.经常使用逻辑用语(1)命题及其关系①明白得命题的概念 .②了解“假设p ，那么q ”形式的命题及其逆命题、否命题与你否命题，会分析四种命题的彼此关系 .③明白得必要条件、充分条件与充要条件的意义.(2)简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义 .(3)全称量词与存在量词①明白得全称量词与存在量词的意义 .②能正确地对含有一个量词的命题进行否定 .15.圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②把握椭圆的概念、几何图形、标准方程及简单几何性质.③了解双曲线、抛物线的概念、几何图形和标准方程，明白它们的简单几何性质.④明白得数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.16.导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景 .②明白得导数的几何意义.(2)导数的运算①能依照导数概念求函数y=C(C为常数)，y=x，y=2x，y=1的导数 .x②能利用下面给出的大体初等函效的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数.。

普通高校招生考试考试说明——数学文试题

2021年普通高校招生考试考试说明——数学〔文〕2021年普通高校招生考试考试说明——数学〔文〕Ⅰ．考试性质和目的一、考试性质普通高等招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．高等根据考生成绩，按已确定的招生方案，对考生德、智、体全面衡量，择优录取，因此，新课程高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的灵敏度．二、考试目的根据教育部考试中心公布的?2021年普通高等招生全国统一考试大纲〔文科·课程HY实验版〕?〔以下简称?大纲?〕，结合根底教育的实际情况，制定了?2021年普通高等招生全国统一考试大纲的说明〔文科·课程HY实验版〕〔供使用〕?〔以下简称?说明?〕的数学科局部．制定?说明?既要有利于数学新课程的HY，又要发挥数学的根底学科的作用；既要重视考察考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考察考生进入高等继续学习的潜能；既要符合?普通高中数学课程HY 〔实验〕?〔以下简称?HY?〕和?普通高中课程方案〔实验〕?的要求，符合教育部考试中心?大纲?的要求，符合?2021年普通高校招生考试HY指导方案?和普通高中课程HY实验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程课堂教学HY．〔一〕考核目的1．知识目的知识是指?HY?所规定的必修课程、选修系列1和选修系列4中的数学概念、性质、法那么、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进展运算、处理数据、绘制图表等根本技能．对知识的要求依次是理解、理解、掌握三个层次．〔1〕理解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模拟，并能〔或者会〕在有关的问题中识别和认识它．这一层次所涉及的主要行为动词有：理解、知道、识别、模拟、会求、会解等．〔2〕理解：要求对所列知识内容有较深入的理性认识，知道知识间的逻辑关系，可以对所列知识作正确的描绘说明并用数学语言表达，可以利用所学的知识内容对有关问题进展比拟、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的才能．这一层次所涉及的主要行为动词有：描绘，说明，表达、表示、推测、想象，比拟、判别、判断，初步应用等．〔3〕掌握：要求可以对所列知识内容进展推导证明，可以利用所学知识对问题进展分析、研究、讨论并且加以解决．这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等．各局部知识的整体要求与定位参照?HY?相应模块的有关说明，按照?大纲?制定．2．才能目的才能是指空间想象才能、抽象概括才能、推理论证才能、运算求解才能、数据处理才能以及应用意识和创新意识．〔1〕空间想象才能：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中根本元素及其互相关系；能对图形进展分解、组合；会运用图形与图表等乎段形象地提示问题的本质．〔2〕抽象概括才能：对详细的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本持；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其用于解决问题或者作出新的判断．〔3〕推理论证才能：根据的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理才能．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按考虑方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进展猜测，再运用演绎推理进展证明．〔4〕运算求解才能：会根据法那么、公式进展正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径：能根据要求对数据进展估计和近似计算．〔5〕数据处理才能：会搜集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理才能主要根据统计或者统计案例中的方法对数据进展整理、分析，并解决给定的实际问题．〔6〕应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、消费、生活中简单的数学问题：能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进展归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进展而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明．应用的主要过程是根据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决．〔7〕创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵敏地应用所学数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进展HY的考虑、探究和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明〞，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也越强．〔二〕命题根本原那么数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深入的内在联络，包括各局部知识在各自的开展过程中的纵向联络和各局部知识之间的横向联络．要擅长从本质上抓住这些联络，进而通过分类、梳理、综合．构建数学试卷的构造框架、对数学根底知识的考察，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考察时要保持较高的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联络和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学根底的考察到达必要的深度．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、开展和应用的过程中，可以迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中．因此，对于数学思想和方法的考察必然要与数学知识的考察结合进展．通过数学知识的考察，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考察时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的．加强针对性，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜测、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和形式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学形式作出考虑和判断，形成和开展理性思维，构成数学才能的主体，对才能的考察，强调“以才能立意〞，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料．对知识的考察侧重于理解和应用，尤其是综合和灵敏的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的才能，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能．对才能的考察，以思维才能为核心．全面考察各种才能．强调综合性、应用性，切合考生实际．运算才能是思维才能和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算才能的考察主要是算理和逻辑推理的考察，以含字母的式的运算为主．空间想象才能是对空间形式的观察，考察的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是根据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度〞的原那么，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广席，要结合我区中学数学教学的实际．让数学应用问题的难度更加符合考生的程度，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和理论中形成和开展数学尖用的意识．创新意识和创造才能是理性思维的高层次表现．在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融汇的程度越高，展示才能的区域就越广泛，显现出的创造意识也就越强．命题时要注意式题的多样性，设计考察数学主体内容，表达数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探究型或者开放型的题目．让考生HY考虑，自主探究，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求适宜的解题工具，梳理题程序．为考生展现其创新意识发挥创造才能创设广阔的空间．试卷包括必考内容和选考内容两局部，必考内容为?HY?的必修内容和选修系列1的内容，其中必修内容是考察的重点．选考内容为?HY?的选修系列4的2个专题．Ⅱ．考试形式考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分是为150分，考试时间是是为120分钟．Ⅲ．试卷构造全卷分为第I卷和第二卷两局部.第I卷为12个选择题，全部为必考内容．第二卷为非选择题，分为必考和选考两局部．必考局部题由4个填空题和5个解答题组成；选考局部实行超量命题，限量做题，由选修系列4的“几何证明选讲〞、“坐标系与参数方程〞各命制1个解答题，考生从2题中任选1题答题，假设多做，那么按题号最前的一题给分．1．试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写上结果，不必写出计算或者推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或者推证过程，三种题型分数的百分比约为；选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右．2．难度控制试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题界定为难题．三种难度的试题应控制适宜的分值比例，试卷总体难度适中．Ⅳ、考试内容和要求必考内容和要求〔一〕集合1．集体的含义与表示〔1〕理解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系．〔2〕能用自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或者描绘法〕描绘不同的详细问题．2．集合间的根本关系〔1〕理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．〔2〕在详细情境中，理解全集与空集的含义．3．集合的根本运算〔1〕理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．〔2〕理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．〔3〕能使用韦恩〔Venn〕图表达两个简单集合间的关系及两个简单集合的运算．〔二〕函数概念与根本初等函数I1．函数〔1〕理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；理解映射的概论．〔2〕在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法〔如图象法、列表法、解析法〕表示函数．〔3〕理解简单的分段函数，并能简单应用〔函数分段不超过三段〕．〔4〕理解函数的单调性、最大〔小〕值及其几何意义；结合详细函数，理解函数奇偶性的含义．〔5〕会运用根本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数〔1〕理解指数函数模型的实际背景．〔2〕理解有理指数幂的含义，理解实际指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算．〔3〕理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；会画底数为2、3、10、1 /2、1/3的指数函数的图象．〔4〕体会指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数〔1〕理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或者常用对数；理解对数在简化运算中的作用．〔2〕理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2、10、1/2、的对数函数的图象．〔3〕体会对数函数是一类重要的函数模型．〔4〕理解指数函数互为反函数．4．幂函数〔1〕理解幂函数的概念．〔2〕结合函数的图象，理解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图象，理解函数的零点与方程根的联络，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用〔1〕理解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征、结合详细实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．〔2〕理解函数模型〔如指数函数、对数函数、幂函数，分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型〕的广泛应用．〔三〕立体几何初步1．空间几何体〔1〕认识柱、锥、台、球及其简单组合体的构造特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的构造．〔2〕能画出简单空间图形〔长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合〕的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．〔3〕会用平行投影方法画出简单空间图形的三图视与直观图，理解空间图形的不同表示形式．〔4〕理解球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式〔不要求记忆公式〕．2．点、直线、平面之间的位置关系〔1〕理解空间直线、平面位置关系的定义，并理解如下可以作为推理根据的公理和定理：◆公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．◆公理2：过不在一条直线上的三点，有全只有一个平面．◆公理3：假如两个不重合的平面有一个公一共点，那么它们有且只有一条过该点的公一共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．◆定理：空间中假如两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或者互补．〔2〕以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与断定定理．◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．◆一个平面过另一个平面的垂线，那么两个平面垂直．◆一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平等．◆两个平面平行，那么任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．〔3〕能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．〔四〕平面解析几何初步1．直线与方程〔1〕在平面直角坐标系中，结合详细图形，掌握确定直线位置的几何要素．〔2〕理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．〔3〕能根据两条直线的斜率断定这两条直线平行或者垂直．〔4〕掌握直线方程的三种形式〔点斜式、两点式及一般式〕．理解斜截式与一次函数的关系．〔5〕能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．〔6〕掌握两点间的间隔公式、点到直线的间隔公式，会求两平行直线间的间隔．2．圆与方程〔1〕掌握确定圆的几何要素，掌握圆的HY方程与一般方程．〔2〕能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．〔3〕能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．〔4〕初步理解用代数方法处理几何问题的思想．3．空间直线会标系〔1〕理解空间直角坐标系，会用空间直角坐标刻画点的位置．〔2〕会简单应用空间两点间的间隔公式．〔五〕算法初步1．算法的含义、程序框图〔1〕理解算法的含义，理解算法的思想．〔2〕理解程序框图的三种根本逻辑构造：顺序、条件分支、循环．2．根本算法语句理解几种根本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．〔六〕统计1．随机抽样〔1〕理解随机抽样的必要性和重要性．〔2〕会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本：理解分层抽样和系统抽样方法．2．用样本估计总体〔1〕理解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点．〔2〕理解样本数据HY差的意义和作用，会计算数据HY差〔不要求记忆公式〕．〔3〕能从样本数据中提取根本的数字特征〔如平均数、HY差〕，并作出合理的解释．〔4〕会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征，理解样本估计总体的思想．〔5〕会用随机抽样的根本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．3．变量的相关性〔1〕会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．〔2〕理解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程〔线性回归方程系数公式不要求记忆〕．〔七〕概率1．事件与概率〔1〕理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以及频率与概率的区别．〔2〕理解两个互斥事件的概率加法公式．2．古典概率〔1〕理解古典概率型及其概率让算公式〔2〕会计算一些随机事件所含的根本领件数及事件发生的概率．3．随机数与几何概型〔1〕理解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率〔2〕理解几何概型的意义．〔八〕根本初等函数II〔三角函数〕1．任意角、弧度〔1〕理解任意角的概念和弧度制的概念．〔2〕能进展弧度与角度的互化．2．三角函数〔1〕理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义．〔2〕能利用单位圆中的三角函数线推导出π/2±α,π+α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解三角函数的周期性．〔3〕理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质〔如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等〕，理解正切函数在(-π/2,π/2)上的单调性．〔4〕理解同角三角函精选的根本关系式：sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx〔5〕理解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能根据给定函数y=Asin(ωx+φ)的图角，理解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．〔6〕会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型．〔九〕平面向量1．平面向量的实际背景及根本概论〔1〕理解向量的实际背景．〔2〕理解平面向量概念和两个向量相等的含义．〔3〕理解向量的几何表示．2．向量的线性运算〔1〕掌握向量加、减法的运算，理解其几何意义．〔2〕掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量一共线的含义．〔3〕理解向量的线性运算性质及其几何意义．3．平面向量的根本定理及坐标表示〔1〕理解平面向量的根本定理及其意义．〔2〕掌握平面几量正交分解及其坐标表示．〔3〕会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．〔4〕理解用坐标表示的平面向量一共线的条件．4．平面向量的数量积〔1〕理解平面向量数量积的含义及其物理意义．〔2〕理解平面向量的数量积与向量投影的关系．〔3〕掌握数量积的坐标表达式，会进展平面向量数量积的运算〔4〕能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．向量的应用〔1〕会用向量方法某些简单的平面几何问题〔2〕会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．〔十〕三角恒等变换1．两角和与差的三角函数公式〔1〕会用向量的数量和推导出两角差的余弦公式.〔2〕会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．〔3〕会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联络．2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进展简单的恒等变换〔包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆〕．〔十一〕解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理．2．应用可以运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．〔十二〕数列1．数列的概念和简单表示法〔1〕理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图象、通项公式〕．〔2〕理解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2．等差数列、等比数列〔1〕理解等差数列、等比数列的概念．〔2〕掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．〔3〕能在详细的问题情境中识别数列的等差关系或者等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题．〔4〕理解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系．〔十三〕不等式1．不等关系理解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式〔组〕的实际背景．2．一元二次不等式〔1〕会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型〔2〕通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联络．〔3〕会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题〔1〕会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．〔2〕理解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．〔3〕会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．根本不等式：〔1〕理解根本不等式的证明过程．〔2〕会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题．〔十四〕常用逻辑用语〔1〕理解命及其逆命题、否命题与逆否命题．〔2〕理解“假设p，那么q〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的互相关系．〔3〕理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．〔4〕理解逻辑关联词“或者〞、“且〞、“非〞的含义．〔5〕理解全称量词和存在量词的意义．〔6〕能正确地有含一个量词的命题进展否认．〔十五〕圆锥曲线与方程〔1〕掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、HY方程及几个简单几何性质〔范围、对称性、顶点、离心率〕．〔2〕理解双曲线的定义，几何图形和HY方程，知道其简单的几何性质〔范围、对称性、顶点、离心率、渐近线〕．〔3〕理解抛物线的定义、几何图形和HY方程、知道其简单的几何性质、〔范围、对称性、顶点、离心率〕．。

湖北发布新高考考试说明数学有变

湖北发布新高考考试说明数学有变肖丽琼昨日，湖北省教育考试院正式公布我省2021年一般高考（湖北卷）自主命题语数英科目的考试说明。

近日，刊登该说明的《湖北招生考试》杂志将连续发放到考生手中。

据介绍，新高考我省自主命题科目仍为语文、数学、英语三科，文科综合和理科综合使用教育部考试中心命制的新课标卷。

从公布的《考试说明》来看，新高考在保持湖北分省命题以来形成的特色外，力求表达一般高中新课程理念和学科课程标准的整体要求，表达一般高校选拔人才的要求，进一步贴近时代、贴近社会、贴近考生实际，注重对考生运用所学知识分析问题、解决问题能力的考查。

2021年《考试说明》按照考试科目编排，语、数、英科目各科的满分值、考试时刻和考试形式（闭卷、笔试）没有变化。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。

有的小孩说“乌云跑得飞速。

”我加以确信说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观看，让幼儿把握“倾盆大雨”那个词。

雨后，我又带幼儿观看晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

湖北高考数学考纲出炉填空设二选一

湖北高考数学考纲出炉填空设二选一楚天金报讯从有关部门获悉，《2021年一般高等学校招生全国统一考试（湖北卷）考试说明》出炉，语数外三科考试内容范畴划定，接下来的复习中考生将更有针对性。

今年是湖北省推行“新高考”第二年，省教育考试院相关专家介绍，今年高考湖北卷总体难度将保持稳固，同时表达湖北一贯的命题特色。

我省高考科目设置连续实行“3+×”模式，“3”为语数外三科，由我省自主命题；“×”为文综或理综，全国统一命题。

外语科目中，小语种（俄、日、德、法）也由全国统一命题。

数学填空设二选一数学科目文科卷共22道题，选择题10道，共50分；填空题7道，共35分；解答题5道，共65分。

理科卷全卷22道题，分必做题和选做题，其中，20道题是必做题，在填空题中设置2道选择题（需要考生二选一作答，若两道都选，按前一道作答结果计分）。

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。

”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。

当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。

平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。

高考考试说明——数学(文,理)(Word最新版)

高考考试说明——数学（文，理）通过整理的高考考试说明——数学（文，理）相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！高考考试说明——数学(文，理) 高考考试说明&mdash;&mdash;数学(理) 依据教化部考试中心《2021年一般高等学校招生全国统一考试大纲(理科课程标准试验版)》(以下简称《大纲》)，结合基础教化的实际状况，制定了《2021年一般高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科课程标准试验版)》(以下简称《说明》)的数学科部分。

制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用;既要重视考查考生对中学数学学问的驾驭程度，又要留意考查考生进入高等学校接着学习的潜能;既要符合《一般中学数学课程标准(试验)》和《一般中学课程方案(试验)》的要求，符合教化部考试中心《大纲》的要求，符合本省(自治区、直辖市)一般高等学校招生全国统一考试工作指导方案和一般中学课程改革试验的实际状况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革。

Ⅰ.命题指导思想1.一般高等学校招生全国统一考试，是由合格的中学毕业生和具有同等学力的考生参与的选拔性考试. 2.命题留意考查考生的数学基础学问、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对学问与技能、过程与方法、情感看法与价值观等目标要求. 3.命题留意试题的创新性、多样性和选择性，具有确定的探究性和开放性.既要考查考生的共同基础，又要满足不同考生的选择需求.合理安排必考和选考内容的比例，对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，力求难度均衡. 4.试卷应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试形式与试卷结构一、考试形式考试接受闭卷、笔试形式.全卷满分为150分，考试时间为120分钟. 二、试卷结构全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 第Ⅰ卷为12个选择题，全部为必考内容.第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分.必考部分题由4个填空题和5个解答题组成;选考部分由选修系列4的几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若多做，则按所做的第一题给分. 1.试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题;填空题只要求干脆填写结果，不必写出计算或推证过程;解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程.三种题型分数的百分比约为：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右. 2.难度限制试题按其难度分为简洁题、中等难度题和难题.难度在0.7以上的试题为简洁题，难度为0.40.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题界定犯难题.三种难度的试题应限制合适的分值比例，试卷总体难度适中. Ⅲ.考核目标与要求一、学问要求学问是指《一般中学数学课程标准(试验)》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括依据确定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能. 对学问的要求由低到高分为三个层次，依次是知道(了解、仿照)、理解(独立操作)、驾驭(运用、迁移)，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求. 1.知道(了解、仿照)：要求对所列学问的含义有初步的、感性的相识，知道这一学问内容是什么，依据确定的程序和步骤照样仿照，并能(或会)在有关的问题中识别和相识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，仿照，会求、会解等. 2.理解(独立操作)：要求对所列学问内容有较深刻的理性相识，知道学问间的逻辑关系，能够对所列学问作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的学问内容对有关问题作比较、判别、探讨，具备利用所学学问解决简洁问题的实力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推想、想象，比较、判别、推断，初步应用等. 3.驾驭(运用、迁移)：要求能够对所列的学问内容能够推导证明，利用所学学问对问题能够进行分析、探讨、探讨，并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：驾驭、导出、分析，推导、证明，探讨、探讨、运用、解决问题等. 二、实力要求实力是指空间想像实力、抽象概括实力、推理论证实力、运算求解实力、数据处理实力以及应用意识和创新意识. 1.空间想像实力：能依据条件作出正确的图形，依据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 2.抽象概括实力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发觉探讨对象的本质;从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的推断. 3.推理论证实力：依据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理实力.推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思索方法划分的干脆证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明. 4.运算求解实力：会依据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能依据问题的条件，找寻与设计合理、简捷的运算途径;能依据要求对数据进行估计和近似计算. 5.数据处理实力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对探讨问题有用的信息，并作出推断.数据处理实力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题. 6.应用意识：能综合应用所学数学学问、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简洁的数学问题;能理解对问题陈述的材料，并对所供应的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型;应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.7.创新意识：能发觉问题、提出问题，综合与机敏地应用所学的数学学问、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思索、探究和探讨，提出解决问题的思路，创建性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的视察、揣测、抽象、概括、证明，是发觉问题和解决问题的重要途径，对数学学问的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强. 三、特性品质要求特性品质是指考生个体的情感、看法和价值观.要求考生具有确定的数学视野，相识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义. 要求考生克服惊惶心情，以平和的心态参与考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学看法解答试题，树立战胜困难的信念，体现锲而不舍的精神. 四、考查要求数学学科的系统性和严密性确定了数学学问之间深刻的内在联系，包括各部分学问的纵向联系和横向联系，要擅长从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构.对数学基础学问的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科学问体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，留意学科的内在联系和学问的综合性，不刻意追求学问的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在学问网络交汇点设计试题，使对数学基础学问的考查达到必要的深度. 数学思想和方法是数学学问在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学学问发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活.因此，对数学思想和方法的考查必定要与数学学问的考查结合进行，通过对数学学问的考查，反映考生对数学思想和方法理解和驾驭的程度.考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，留意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学学问中所蕴涵的数学思想和方法的驾驭程度. 数学是一门思维的科学，是培育理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思索和推断，形成和发展理性思维，构成数学实力的主题.对实力的考查，强调以实力立意，就是以数学学问为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料.对学问的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和机敏的应用，以此来检测考生将学问迁移到不怜悯境中去的实力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能. 高考考试说明&mdash;&mdash;数学(文) 依据教化部考试中心《2021年一般高等学校招生全国统一考试大纲(文科课程标准试验版)》(以下简称《大纲》)，结合基础教化的实际状况，制定了《2021年一般高等学校招生全国统一考试大纲的说明(文科课程标准试验版)》(以下简称《说明》)的数学科部分。