2.2.1_对数与对数运算(2)_课件(人教A版必修1)

)
12 解析：原式＝log6 12－log62＝log6 ＝log6 3. 2
答案：C
• 4．若logab·log3a＝4，则b的值为________． • • • • • 答案：81 5．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan. 解：由a2＝m，a3＝n， 得logam＝2，logan＝3， ∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.
(3)在使用换底公式时， 底数的取值不唯一， 应根 据实际情况选择． (4)重视以下结论的应用： ① logac· ca ＝ 1 ； ② logab· bc· ca ＝ 1 ； ③ log log log m loganb ＝ logab. n
m
思考感悟 m nbm＝ logab(a>0 (1)loga n ∈N*)成立吗？ (2)(logax)n＝logaxn 正确吗？ 提示：(1)成立．由换底公式可得 loganbm＝ mlgb m ＝ log b. nlga n a 且 a≠1，b>0，m、n
n个
(2)不正确． ∵(logax)n＝(logax· ax· logax)， logaxn log „· 而 ＝nlogax＝logax＋logax＋„＋logax，∴一般两式不相等．
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 对数运算性质的运用 [例 1] 求下列各式的值． 1 (1)4lg2＋3lg5－lg ； 5 1 1＋ lg9－lg240 2 (2) ； 2 36 1－ lg27＋lg 3 5 3 (3)lg ＋lg70－lg3； 7 (4)lg22＋lg5· lg20－1.
n个
自 我 检 测 1．若 a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子 中正确的个数是( )
①logax· ay＝loga(x＋y)； log ②logax－logay＝loga(x－y)； x ③loga ＝logax÷ ay； log y ④loga(xy)＝logax· ay. log
[解]
1 23 (1)a＝lg(1＋ )＝lg ＝3lg2－lg7， 7 7
1 50 102 b＝lg(1＋ )＝lg ＝lg ＝2－lg2－2lg7， 49 49 2×72 1 1 ∴lg2＝ (2a－b＋2)，lg7＝ (－a－3b＋6)． 7 7
1 (2)∵3 ＝36，∴3＝36 ，∴ ＝log363. a
(2)10 年后该城市人口总数为 y ＝ 100×(1＋ 1.2%)10 ＝ 100×1.01210 ＝ 112.7( 万 人)， (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人，即 100×(1＋1.2%)x＝120， 120 x＝log1.012 ＝log1.0121.2≈15(年)． 100
(4)当真数是“
±
”的式子时，常用方法是
“先平方后开方”或“取倒数”．
2．对数换底公式的选用 (1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表
获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能 运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对 数，再根据运算法则进行化简与求值．
பைடு நூலகம்
• 变式体验2 已知log147＝a,14b＝5，用a、b表示 log3528.
解：∵log147＝a，log145＝b，log1414＝1， log1428 log1414＋log142 ∴log3528＝ ＝ log1435 log145＋log147 14 1＋log14 7 1＋log1414－log147 2－a ＝ ＝ ＝ . a＋b a＋b a＋b
已知 lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，
1 1 90 1 1 解：lg 45＝ lg45＝ lg ＝ (lg9＋lg10－lg2)＝ 2 2 2 2 2 1 1 (2lg3＋1－lg2)＝lg3＋ － lg2 2 2 ＝0.4771＋0.5－0.1505＝0.8266.
类型四
对数的实际应用问题
类型二
换底公式的运用
2
[例 2] 计算： 43＋log83)(log32＋log92)－log1 (log 4 32. [分析] 用换底公式化不同底为同底，再用对
数的运算法则进行化简．
[解] 原式＝(log223＋log233)(log32＋log322)－ log 2 4
2 1 5
1 1 1 5 ＝( log2 3＋ log2 3)(log32＋ log3 2)＋ 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 ＝ log2 3·log3 2＋ ＝ ＋ ＝ . 6 2 4 4 4 2 [点评] 观察式子的结构特点，灵活运用对数 的运算法则和换底公式．
• • • •
解：(1)1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%) 2年后该城市人口总数为 y ＝ 100×(1 ＋ 1.2%) ＋ 100×(1 ＋ 1.2%)×1.2% ＝ 100×(1＋1.2%)2，
• 3年后该城市人口总数为 • y ＝ 100×(1 ＋ 1.2%)2 ＋ 100×(1 ＋ 1.2%)2×1.2% ＝ 100×(1＋1.2%)3， • x年后该城市人口总数为 • y＝100×(1＋1.2%)x，
2．2.1
对数与对数运算
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行化 简、求值和证明．这是本节的重点． 2．了解对数的换底公式，用换底公式能将一般对数 化成自然对数或常用对数，这是本节的一个难点.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； M (2)loga ＝logaM－logaN； N (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 2．换底公式 logc b loga b＝ (a>0， >0， >0， ≠1， ≠1)． b c a c logc a
• • • • • • • •
A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 2．log63＋log62等于( ) A．6 B．5 C．1 D．log65 解析：log63＋log62＝log63×2＝log66＝1. 答案：C
1 3．化简 log612－2log6 2的结果为( 2 A．6 2 C．log6 3 B．12 2 1 D. 2
• [分析] 对于这类问题，可以将整个式子运用对数 的性质统一为一个单一的对数式进行运算，但这样 做往往比较复杂，也较容易出错．如果分别运用性 质，对每一部分先化简或合并同类项，可以简化运 算过程并提高运算的准确性．
[解]
1 (1)4lg2＋3lg5－lg 5
＝4lg2＋3lg5－lg1＋lg5＝4lg2＋4lg5 ＝4(lg2＋lg5)＝4lg10＝4.
类型三 [例 3]
带有附加条件的求值问题 1 1 (1)设 a＝lg(1＋ )，b＝lg(1＋ )，用 a、 7 49
b 表示 lg2、lg7； 2 1 (2)设 3 ＝4 ＝36，求 ＋ 的值． a b
a b
[分析]
(1)用 lg2、lg7 表示 a、b，然后解方程
组；(2)指数式转化为对数式．
a
1 a
2 ∴ ＝2log363＝log369. a 1 同理 ＝log364， b 2 1 ∴ ＋ ＝log369＋log364＝log3636＝1. a b
• [点评] 通过指数式、对数式的相互转化，将所求 式子中的元素表示出来．(1)题用到了方程思想，(2) 题还可以对已知等式两边取对数．
变式体验 3 求 lg 45.
I [例 4] 声音的强度 D(dB)由公式 D＝10lg( －16)给出， 10 其中 I 为声音能量(W/cm2)， 如果能量小于 10 人听不见声音．求： (1)人低声说话(I＝10－ 13W/cm2)的声音强度； (2)平时常人交流(I＝3.16×10－6W/cm2)的声音强度； (3) 听 交响音 乐会 时， 坐在 铜管 乐前 (I＝ 5.01×10 －
解 ： (1)原 式＝ 2log32－ (5log32－ 2) ＋ 3log32－ 5log53＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 3 3 3 lg3＋3lg2－ lg3＋2lg2－1 2 2 2 3 (2)原式＝ ＝ ＝ . 2 lg3＋2lg2－1 lg3＋2lg2－1
－
(3)铜管乐前的声音强度： 5.01×10 6 D＝10lg ＝10lg(5.01×1010) 10－16 ＝10(lg5.01＋10)≈107(dB)．
－
• 变式体验4 某城市现有人口总数为100万，如果年 自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： • (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数 关系式． • (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； • (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 (精确到1年)．
• 思悟升华 • 1．对数式的求值、化简方法： • (1)对于同底的对数式的化简常用方法是：①“收”， 将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；② “拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． • (2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5 ＋lg2＝1”来解题． • (3)对于含多重对数符号的对数式的化简，应从内向 外逐层化简．
1 1＋ lg9－lg240 2 (2) 2 36 1－ lg27＋lg 3 5 1 2 1＋ lg3 －lg24－lg10 2 ＝ 2 3 1－ lg3 ＋lg36－lg5 3 lg3－lg3－lg8 ＝ 1－2lg3＋2lg3＋lg4－lg5 －lg8 －lg8 －lg8 ＝ ＝ ＝ ＝－1. lg8 1－lg5＋lg4 lg2＋lg4
6
－16
W/cm2 时，
W/cm2)的声音强度．
[分析] 本题考查对数在实际问题中的应用． 将所 给数据代入公式进行计算即可． [解] (1)人低声说话时的声音强度：
10－13 D＝10lg －16＝10lg103＝30(dB)． 10 (2)平时常人交流的声音强度： 3.16×10 6 D＝10lg ＝10lg(3.16×1010) 10－16 ＝10(lg3.16＋10)≈105(dB)．
3 (3)lg ＋lg70－lg3 7 ＝lg3－lg7＋lg7＋lg10－lg3＝lg10＝1. (4)lg22＋lg5· lg20－1＝lg22＋lg5(lg2＋1)－1 ＝lg22＋(1－lg2)(1＋lg2)－1 ＝lg22＋1－lg22－1＝0.
变式体验 1 计算． 32 (1)2log3 2－log3 ＋log38－5log53； 9 lg 27＋lg8－lg 1000 (2) . lg1.2