2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式学案 新人教A版选修2-3

第1课时排列与排列数公式
1.理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法．
2.能用列举法、“树形图”表示出一个排列问题的所有的排列．
3．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．
,
1．排列
(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列．
2．排列数及排列数公式
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的
个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
表示法A m n
全排列
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个
全排列，这时公式中m＝n，即有A n n＝n×(n－1)×(n－
2)×…×3×2×1
阶乘正整数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！表示排列数
公式
乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式
A m n＝
n！
（n－m）！
性质A n n＝n！，0！＝1
备注n，m∈N*，m≤n
排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形式，它是一个数．因此，A m n只代表排列数，而不表示具体的排列．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )
(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
答案：(1)×(2)√(3)×(4)×
下面问题中，是排列问题的是( )
A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数
B．从60人中选11人组成足球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
答案：A
A24＝________，A33＝________．
答案：12 6
若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．
答案：6
探究点1 排列的概念
判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．
(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；
(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；
(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；
(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；
(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上．【解】(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．
(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．
(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．
(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列．
(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．
2．判断下列问题是否是排列问题：
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
探究点2 排列的列举问题
四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．
【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种．
画出树形图：
由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
1．[变条件]若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？
解：画出树形图：
由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．
2．[变条件]若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？
解：画出树形图：
由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．
利用“树形图”法解决简单排列
问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，
然后再按树形图写出排列．
某药品研究所研制了5种消炎药a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，4种退热药b 1，b 2，b 3，
b 4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a 1，a 2两种药或同时用或同时
不用，a 3，b 4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． 解：如图，
由树形图可写出所有不同试验方法如下：a 1a 2b 1，a 1a 2b 2，a 1a 2b 3，a 1a 2b 4，a 3a 4b 1，a 3a 4b 2，a 3a 4b 3，
a 3a 5
b 1，a 3a 5b 2，a 3a 5b 3，a 4a 5b 1，a 4a 5b 2，a 4a 5b 3，a 4a 5b 4，共14种．
探究点3 排列数的计算或证明
(1)计算2A 5
8＋7A 4
8
A 88－A 59
；
(2)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1
n . 【解】 (1)2A 5
8＋7A 48
A 88－A 59
＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1. (2)法一：因为A m
n ＋1－A m
n ＝
（n ＋1）！（n ＋1－m ）！－n ！
（n －m ）！
＝n ！（n －m ）！·(n ＋1n ＋1－m －1) ＝n ！（n －m ）！·m n ＋1－m ＝m ·n ！（n ＋1－m ）！
＝m A m －1
n ，
所以A m
n ＋1－A m
n ＝m A m －1
n .
法二：A m
n ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A m
n 个． 含有a 1的可这样进行排列：
先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1
n 种排法． 故A m
n ＋1＝m A m －1
n ＋A m
n ，
所以m A m －1n ＝A m n ＋1－A m
n .
排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．
1.A m
12＝9×10×11×12，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选B.等式A m 12＝9×10×11×12的右边是4个连续自然数的乘积，且最大数为12，故
m ＝4.
2．下列各式中与排列数A m
n 相等的是( )
A.n ！（m －n ）！
B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.
n n －m ＋1
A n －1
n
D ．A 1
n ·A m －1
n －1
解析：选D.因为A m
n ＝n ！（n －m ）！
，
A 1n ·A m －1
n －1＝n ·（n －1）！[n －1－（m －1）]！
＝n ·（n －1）！（n －m ）！＝n ！（n －m ）！，
所以A m n ＝A 1n ·A m －1
n －1.
1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4
n B ．A n －4
n C ．n ！－4!
D ．A n －3
n
解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，
故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3
n .
2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个
D ．18个
解析：选B.用树形图表示为：
由此可知共有12个．
3.
A34
5
！
＝________．
解析：
A34
5！
＝
4×3×2
5×4×3×2×1
＝
1
5
.
答案：
1
5
4．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．
解：大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
知识结构深化拓展
1.判断一个问题是否是排列的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与
元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列
时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则
是排列问题，否则不是排列问题．
2．排列数两个公式的选取技巧
(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m
已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要
注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式A m n＝
n！
（n－m）！
用于与排列数有关的
证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公
因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N*，m≤n”的运
用．
[易错提醒] 公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n
时不成立.
, [A 基础达标]
1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 6
7－A 5
6
A 45＝( )
A ．12
B ．24
C ．30
D ．36
解析：选D.A 6
7－A 5
6A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×2
5×4×3×2＝7×6－6＝36.
3．若α∈N *
，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 8
27－α B ．A 27－α
34－α C ．A 734－α
D ．A 8
34－α
解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－
α)…(34－α)＝A 834－α.
4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8
D ．10
解析：选B.列树形图如下：
丙甲—乙乙—甲乙甲—丙丙—甲，共4种． 5．不等式A 2
n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}
D ．{4}
解析：选C.由不等式A 2
n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2
－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.
又因为n －1≥2且n ∈N *
， 即n ≥3且n ∈N *
， 所以n ＝3或n ＝4，
故不等式A 2
n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6.2A 4
12＋A 512
A 513－A 512
＝________．
解析：原式＝2×12×11×10×9＋12×11×10×9×8
13×12×11×10×9－12×11×10×9×8
＝2＋813－8＝2. 答案：2
7．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，
bed .
答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 8．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *
}，则集合P 中共有________个元素． 解析：因为x ＝A m
4， 所以有m ∈N *
且m ≤4，
所以P 中的元素为A 1
4＝4，A 2
4＝12，A 3
4＝A 4
4＝24， 即集合P 中有3个元素． 答案：3
9．判断下列问题是否是排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2，3，5，7，9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？ (3)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x
轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1?
解：(1)是．选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题． (2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．
(3)不是．焦点在x 轴上的椭圆，方程中的a 、b 必有a ＞b ，即取出的两个数谁是a ，谁是b 是确定的．
10．甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传
球方法共有多少种？
解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙． 若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，
共5种．
同样甲第一次发球给丙，也有5种情况．
由分类加法计数原理，共有5＋5＝10种不同传球方法．
[B 能力提升]
11．若S ＝A 1
1＋A 2
2＋A 3
3＋A 4
4＋…＋A 100
100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3
D ．0
解析：选C.因为当n ≥5时，A n
n 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 1
1＋A 2
2＋A 3
3＋A 4
4＝33，故选C.
12．A 2
n ＋1与A 3
n 的大小关系是( ) A ．A 2
n ＋1＞A 3
n B ．A 2n ＋1＜A 3
n C ．A 2
n ＋1＝A 3
n
D ．大小关系不定
解析：选D.由题意知n ≥3，A 2
n ＋1－A 3
n ＝(n ＋1)n －n (n －1)(n －2)＝－n (n 2
－4n ＋1)，当n ＝3时，A 2
n ＋1－A 3
n ＝6＞0，得A 2
n ＋1＞A 3
n ，当n ≥4时，A 2
n ＋1－A 3
n ＜0，得A 2
n ＋1＜A 3
n ，即A 2
n ＋1与A 3
n 的大小关系不定．故选D. 13．解下列方程或不等式． (1)3A 3
x ＝2A 2
x ＋1＋6A 2
x ； (2)A x
9＞6A x －2
9.
解：(1)由排列数公式，得：
⎩
⎪⎨⎪⎧3x （x －1）（x －2）＝2（x ＋1）x ＋6x （x －1），①x ≥3，x ∈N *
.② 由①，得3x 2
－17x ＋10＝0， 解得x ＝5或x ＝23
，
结合②可知x ＝5是所求方程的根． (2)原不等式可化为：
⎩⎪⎨⎪⎧9！（9－x ）！＞6×9！（9－x ＋2）！
，①
2＜x ≤9，x ∈N *.②
①式等价于(11－x )(10－x )＞6，
即x 2
－21x ＋104＞0，即(x －8)(x －13)＞0，
所以x ＜8或x ＞13.
结合②得2＜x ＜8，x ∈N *，
所以所求不等式的解集为{3，4，5，6，7}．
14．(选做题)一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62， 即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，
所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，
因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．。