2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

，则
，
所以
，所以
，
，得出
，求得
，再
， ，
又因为
，所以三角形的面积为
，
故选 D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记正弦定理的边角互化， 以及合理利用三角恒等变换的公式化简求解 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题.
11.已知
（其中
）,
则（ ）
，在
上是减函数， 在
上是增函数，故
①为真命题.令
，
，画出
的图像如下图所示，由图可知，两个函数有 个
交点，故
有两个零点，即②为真命题.由
得
，而
为定义域上的减函数，故
，故③是真命题.综上所述，真命题的个数为 个，故选 D.
【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性，考查函数零点个数的判断方法，考查对数不等式的解法以及对
.
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式，列出方程组，求得
，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1），求得
，再利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，
因为
，
，所以
，解得
，
所以数列 通项公式为
.
（2）由（1）知
，所以
，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
16.已知函数
若存在实数
当
时，满足
，则
的取值范围是_________________.
【答案】
.
【解析】
【分析】
画出分段函数的图象，作出直线 ，结合函数的图象可得实数 的取值范围，再运用对数的运算性质和余
弦函数的对称性，可得
和
，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数
画出函数点图象，如图所示，
形结合法，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
三．解答题（本大题 6 小题，第 17 小题 10 分，第 18-22 小题，每小题 12 分，共 70 分．解． 答．应．写．出．文．字．说．明．、．证．明．过．程．或．演．算．步．骤．）
17.设集合
，
．
（1）求 ；
（2）若集合
，满足
8.在等差数列 中，若
,则
=（ ）
A.
B.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，可得
，即
【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得
C.
，且 ，即
D. ，代入即可பைடு நூலகம்解.
又由
，所以
，
故选 C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，合理准确运算是解答 的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
【详解】由题意，函数
，可知最小正周期为
，则 也是函数 的一个周期，所
以 A 是正确的；
令
，可得
（最大值），所以
是函数 的其中一条对称轴，
所以 B 是正确的；
令 ，则函数
，所以 是函数
一个零点，所
以 C 是正确的；
当
，则
，函数函数在
单调递增，所以 D 不正确，
故选 D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准 确逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
, 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，
记
的长度构成数列 ，则此数列的通项公式 _______________.
【答案】 【解析】 【分析】 由图可知 即可. 【详解】根据图形 因为
,
，由勾股定理可得
， 都是直角三角形，
,利用等差数列的通项公式求解
是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，
， ，故答案为 . 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考 查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
20.已知函数
。
（1）求函数 的最小正周期与对称轴；
（2）当
时，求函数的最值及单增区间.
【答案】（1） ，
；
（2） . 【解析】 【分析】 （I）化简函数为
，利用周期的公式和正弦函数的性质，即可求解；
（II）由
，得
，根据正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】（I）由函数
，
所以函数 最小正周期
.
令
，解得
，
所以函数 对称轴的方程为
.
（II）由
，得
，
则当
时，即 时，函数 有最小值，
当
时，即 时，函数 有最大值 .
当
时，得函数的单增区间为 .
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三
B. 任意四边形
C. 平行四边形
D. 矩形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的运算和共线向量的概念，可得
且
，即可求解，得到答案.
【详解】由
，可得
，即四边形中
，
又由
，所以
，即四边形 中有一组对边平行且相等，
一定为
所以四边形
为平行四边形，故选 C.
【点睛】本题主要考查了向量的运算和共线向量的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和共线向量的概
，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）根据指数函数的运算性质和对数函数的运算性质，分别求得集合 ，再根据集合的交集的运算，即
可求解.
（2）由集合
，得到
，即可求解.
【详解】（1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得
，
由对数函数的运算性质，可得
，
所以
.
（2）由题意，可得集合
，解得
，故选 A.
【点睛】本题主要考查了向量的垂直的坐标运算，其中解答中熟记向量的垂直的条件，准确计算是解答的
关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3.已知
，则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】 根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，化简即可求解，得到答案. 【详解】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，
，因为
，
所以
，解得
，即实数实数 的取值范围
.
【点睛】本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的额运算性质，正确求
解集合 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18.在等差数列 中，
，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令
，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
；
（2）
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知向量 满足
且
，则向量 的夹角为_______________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据向量的运算，可得
，再由向量的夹角公式，求得
，即可得到向量的夹角，得打答案.
【详解】由题意知，向量
，解得
，
所以向量 的夹角为
，
又因为
，所以
念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6.有如下命题：①函数
中有两个在
上是减函数；②函数
有两个零
点；③若
则
其中正确的个数为 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用幂函数的单调性判断①的真假，利用图像判断②的真假，利用对数的单调性判断③的真假.由此判断出
真命题的个数.
【详解】根据幂函数的性质可知，
9.函数
的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据对数的运算性质，分类讨论，得当 时，函数 ，当
时，函数
，即可求解，
得到答案. 【详解】由题意，函数 当 时，函数
， ，
当
时，函数
，
所以函数
图象只有选项 D 符合，故选 D.
【点睛】本题主要考查了对于的运算性质，以及函数图象的识别，其中解答中根据对数的运算性质，合理
，
即向量 的夹角为 .
【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和向
量的夹角公式是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14.已知函数
，对于任意 都有
，则 的值为______________.
【答案】 【解析】 【分析】 由条件得到函数的对称性，从而得到结果
化简函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10.已知 分别是 的内角 的对边，
，则 的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简可得
利用面积公式，即可求解.
【详解】在 中，可知
由正弦定理可得
即
又由
，所以
所以
，又由
，
，即
，
，
又由
，则
，所以
令
，则由题意得
在
上有唯一的解，
根据正弦函数图象可得
或
，
解得
，故选 D.
【点睛】本题主要考查了三角函数 图象与性质，以及函数的零点问题的求解，其中解答中根据三角函数
的性质，求得三角函数的取值，结合图象列出不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理
与运算能力，属于中档试题.
第Ⅱ卷 （共 90 分）
【详解】∵f
＝f
，
∴x＝ 是函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f ＝±2.
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.
15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称 ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙中的一连串
直角三角形演化而成的，其中
所以
.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公 式和前 n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
19.已知
中，点 在线段 上，且
，延长 到 ，使
．设
．
（1）用 表示向量
；
（2）若向量 与
共线，求 的值．
【答案】（1）
【分析】
由正弦定理可得
，则
，即可求解，得到答案.
【详解】在 中，由正弦定理可得
，则
，
又由角 C 为锐角，所以
，故选 A.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中合理利用正弦定理，求得
是解答的关键，着
重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5.已知 是四边形 所在平面上任一点，
且
则四边形
()
A. 菱形
2018-2019 学年度高一下学期期中测试
数学试题
第 I 卷（选择题，共 分） 一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题只．有．一．个．选项符合题意．）
1.若集合
，集合
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意知，集合
可得：
，
解得
，故选 C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记
三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属
于基础题.
4.已知 分别是 的内角 的对边，若
，则锐角 的大小是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
令
由图象可知，设 和函数
可得
其中
，则
且
，则
所以
，则
，
的图象有四个交点，
，解得
设 则 所以
，其中
，
，则函数
，函数 单调递增，
，
的取值范围是
.
， ，
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确作出函数的图象，结合图象，利用对数
函数的运算性质以及余弦函数的对称性，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数
，集合
，
所以
，故选 C.
【点睛】本题主要考查了集合表示方法，以及集合交集运算，其中解答中熟记集合的交集的概念与运算是
解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2.已知
,若 则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，可得 【详解】由题意，向量
，即可求解，得到答案. ，
因为 ，则
数函数的单调性.对于幂函数
，要熟悉
时， 个函数的图像与性质.可以将函数的零点问题，
转化为两个函数图像的交点个数问题来求解.对数函数的单调性是由底数来决定.
7.设函数
，则下列结论错．误．的是（ ）
A. 的一个周期为
B. 的图像关于直线
对称
C.
一个零点为
D. 在
单调递减
【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的图像与性质，逐一判定，即可求解，得到答案.
,
；（2）
【解析】 【分析】 （1）由向量的线性运算，即可得出结果；
（2）先由(1)得
，再由 与
共线，设
可.
【详解】解：（1） 为 BC 的中点，
，
可得
，
而
（2）由（1）得
，
与
共线，设
即
，
，列出方程组求解即
根据平面向量基本定理，得
解之得， ．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.
A.
B.
C.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角恒等变换的公式和三角函数的性质，求得
D.
，进而求得实数 ，
，
，即可得到答案.
【详解】由题意，函数
，
又由
即
，
因为
，所以
，解得 ，即
，
则
，
，
所以
，故选 A.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换化简、运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据
三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式是解答关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12.已知函数
的图象经过点 和
.若函数
在区间
上有唯一零点，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 利用题设条件，求出函数 解析式，结合函数的零点和三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，可得
，解得
，故
，
的 因为