新人教版九年级上册初中数学21.2.4一元二次方程的根与系数的关系优质课件

解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 =3 , x1 x2 = -1 .
2
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巩固练习
不解方程，求方程两根的和与两根的积：
例4 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且 x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0. ∴ k 1 . 由根与系数的关系得 x1 +2 x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
x1x2
k
1. 2
得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= k 1 (k) 1 4,
2
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以 x1 x2 7, x1x2 4. 则： (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 72 4 (4) 65.
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3. x1 x2 x2 x1
x12 x22 x1x2
(x1 x2 )2 2x1x2 ; x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求 的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2= 6 ,
即：x2= 3 .
5
5
由于x1+x2=2+ ( 3) = k ,
得：k=－7.
5
5
想一想，还 有没有别的 做法？
答：方程的另一个根是 3，k=－7.
5
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巩固练习
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另 一个根及k的值.
解：(1)方程有实数根
b2 4ac
2m 2 4 m m 2
4m2 4m2 8m
8m 0.
∴m的取值范围为m＞0.
(2)∵方程有实数根x1,x2
∴
x1
x2
2, x1 x2
m 2. m
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
∴ 22 4 m 2 1.
m
解得m=8.
经检验m=8是原方程的解．
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巩固练习
当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2=
∴（
k
2
1
）2-4×
k =31.
2
解得k1=9,k2= -3.
（2）x2 x1 x12 x22 （x1 x2）2 - 2x1x2 34 .
x1 x 2
x1x2
x1x2
9
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课堂检测
拓广探索题
1. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1,
由根与系数的关系，得
x1+ x2
x1 .x2
-1
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.
①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律.
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探究新知
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
解得
m = 16,
设另一个根为x1,则： 1 ×c x11=6 .
a3
∴x116 .=
3
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课堂检测
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
x1 x2 k,
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知识点 1 根与系数的关系
填表，观察、猜想
方程
x2-2x+1=0 x2+3x-10=0 x2+5x +4=0
x1, x2
1,1 2,-5
-1,-4
x1+ x2
2 -3
-5
x1. x2
1 -10
4
【思考】你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律.
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课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内容
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个
根分别是x1、 x2，那么
x1
x2
b a
c
x1
x2
a
应用
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 x1 x2 x1 x2 x1 • x2
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
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探究新知
如果关于x的方程 x2 pxq0
的两根是x1 , x2 ,则: x1+x2=-p，x1·x2=q
如果方程二次项系数不为1呢?
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探究新知 方程
2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0
x1, x2
那么x1+x2=
一次项 系数
-
b
,
x1x2=
c
a
a
注意系数符号.
学生活动：请同学用求根公式证明.
常数项
二次项 系数
【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.
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素养考点 1 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之 和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
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归纳总结
1. 1 1 x1 x2
x1 x2 x1 x2
;
2. x12
x22
(x1 x2 )2
2x1x2;
解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0. 解这方程，得 k= - 2. 由根与系数关系，得x1● 2＝3k, 即 2 x1 ＝－6. ∴ x1 ＝－3.
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
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素养考点 3 利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
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k ,1 x1x2 =
2
k 3. 2
当k=9或-3时，由于Δ ＞0，∴k的值为9或-3.
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连接中考
一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为
（ ）D A．﹣2
B．1
C．2
D．0
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基础巩固题
1. 如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是
①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0
解：① x1 x2 3， x1 x2 1.
② 原方程可化为： x2 2x 1 0 2
x1 x2 2,
x1
x2
1 2
.
二次项不是1，可 以先把它化为1
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素养考点 2 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一 个根及k的值.
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能力提升题
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下
列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解: 根据根与系数的关系得：
x2 x1 . x1 x 2
x1
x2
b a
4 3
,
x1
x2
c a
1.
4 (-1) 1 4 ;
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 3+ 1= 3
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒 数和.
解：根据根与系数的关系可知：
3
1
x1
x2
, 2
x1
x2
. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22 ,
∴
x12
x22
x1
x2 2
2 x1 x2
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
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（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
x1
x2
k 2
,
x1
•
x2
1 2
,
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,
∴
2
k 2
4
1 2
1, ∴
k 2
2
3,
∵△＞0, ∴ k 2 3.
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2. 已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
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【猜一猜】
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么 方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化 为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
3 2
1 2
3.
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巩固练习
设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= 4 , (2) x1·x2= 1 ,
(3) (x1 x2 ) 2 1,2
(4) x12 x22 14.
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素养考点 4 根与系数关系的综合题目
3
___，m2=____. -3
2. 已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和
1 ，则：p =
, 1q= . -2
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3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个 根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
新人教版九年级上册初中数学 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 优质 课件
科 目：数学
适用版本：新人教版
适用范围：【教师教学】
人教版 数学 九年级 上册
21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与
系数的关系
第一页，共二十五页。
导入新知
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0). 2a