2019版理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含解析

课时作业 A 组——基础对点练
1．(2017·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆
D ．一条直线
解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎨⎧
x ＋y －3≥0，
x 2
＋y 2
－2x ＝0.
注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆
x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0. 答案：D
2．(2018·呼和浩特调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，
F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线
D ．抛物线
解析：设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝1
2(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．
答案：B
3．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆
D ．双曲线
解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， ∵△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝3
2R ，
即|x |＝
32
R . 而R ＝|PF |＝
x －a
2
＋y 2，
∴|x |＝
32
·x －a
2
＋y 2
.
整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，
即
x ＋3a 2
12a 2
－y 2
4a
2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．故选D. 答案：D
4．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数
λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为 ． 解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y
x ＋1·
y
x －1
＝λ，
整理得x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1)．
即动点P 的轨迹C 的方程为x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1)
答案：x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1)
5．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，0(a ＞0)，且满足
条件sin C －sin B ＝1
2sin A ，则动点A 的轨迹方程是 ．
解析：由正弦定理得
|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |
2R
， 即|AB |－|AC |＝1
2
|BC |，
故动点A 是以B ，C 为焦点，a
2为实轴长的双曲线右支．
即动点A 的轨迹方程为16x 2
a 2－16y 215a 2＝1(x ＞a
4且y ≠0)．
答案：16x 2a 2－16y 215a 2＝1(x ＞a
4
且y ≠0)
6．(2018·杭州市质检)在平面直角坐标系内，点A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，
点P 满足AP →·BP →＝k |PC →|2
. (1)若k ＝2，求点P 的轨迹方程；
(2)当k ＝0时，若|λAP →＋BP →
|max ＝4，求实数λ的值．
解析：(1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，PC →
＝(1－x ，－y )． 因为k ＝2，所以AP →·BP →＝2|PC →
|2，
所以(x ，y －1)·(x ，y ＋1)＝2[(1－x )2＋y 2]， 化简整理，得(x －2)2＋y 2＝1， 故点P 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1. (2)因为k ＝0，所以AP →·BP →
＝0， 所以x 2＋y 2＝1，
所以|λAP →＋BP →|2＝λ2AP →2＋BP →
2 ＝λ2[x 2＋(y －1)2]＋x 2＋(y ＋1)2 ＝(2－2λ2)y ＋2λ2＋2(y ∈[－1,1])． 当2－2λ2>0时，即－1<λ<1，
(|λAP →＋BP →
|max )2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去； 当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时， (|λAP →＋BP →
|max )2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16， 解得λ＝±2.
7．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |. (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程． 解析：(1)由题意，得|MP |
|MQ |
＝5， 即
x －2
＋y －2x －2
＋y －
2
＝5，
化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，
所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25.
轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为252－32＝8， 所以l ：x ＝－2符合题意．
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|
k 2＋1，
由题意，得(
|3k ＋2|k 2
＋1
)2＋42＝52
，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为
512x －y ＋23
6
＝0，即5x －12y ＋46＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.
B 组——能力提升练
1．(2017·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →
，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2
＝4y B ．y 2
＝3x C ．x 2＝2y
D ．y 2＝4x
解析：设点P (x ， y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，
∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . 答案：A
2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆
D ．双曲线
解析：设P (x ，y )，则x ＋
2
＋y 2＝2x －1
2
＋y 2，
整理得x 2＋y 2－4x ＝0，
又D 2＋E 2－4F ＝16＞0，所以动点P 的轨迹是圆． 答案：B
3．已知过点A (－2,0)的直线与x ＝2相交于点C ，过点B (2,0)的直线与x ＝－2相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝4相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 ．
解析：设点M (x ，y )，C (2，m )，D (－2，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －4y ＋2(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2
＋y 2
＝4相切，所以2|m ＋n |
m －n 2＋16
＝2，
所以mn ＝4，又直线AC 与BD 的交点为M ，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
y x ＋2＝
y －m x －2，y x －2＝y －n x ＋2，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝
4y
x ＋2，n ＝－4y x －2，
所以－16y 2
x 2－4
＝4，所以点M
的轨迹方程为x 2
4＋y 2＝1(y ≠0)．
答案：x 2
4
＋y 2＝1(y ≠0)
4．过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段
MN 中点的轨迹方程为 ．
解析：设MN 的中点P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，
∴x 2a 2＋y 2
b 2
＝1，即所求的轨迹方程为x 2a 2＋4y 2
b
2＝1.
答案：x 2a 2＋4y 2
b
2＝1
5．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点且|BD →|－|CD →
|＝22，求顶点A 的轨迹方程．
解析：以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点．
则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，
|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，
∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2，
∴轨迹方程为x 22－y 2
2
＝1(x ＞2)．
6．(2017·唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；
(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设
AB 的中点为D ，求
|QD |
|AB |
的取值范围． 解析：(1)由已知得，圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝
x －
2
＋y 2－3，整理得y 2＝6x .
故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2， 则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)， 可得Q (－1,3m )．
将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝23＋m 2m 2＋，
所以⎝
⎛⎭
⎪⎫|QD ||AB |2
＝3m 2＋3m 2＋
＝
14⎝
⎛
⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14，
故|QD ||AB |∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，12. 7．定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心
N 的轨迹为E .
(1)求轨迹E 的方程；
(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．
解析：(1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M . ∵|NM |＋|NF |＝4＞|FM |，
∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，
c ＝3，∴b ＝1，
∴轨迹E 的方程为x 2
4＋y 2＝1.
(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，
S △ABC ＝12
|OC |·|AB |＝2.
②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，
A (x A ，y A )，
联立方程⎩⎨
⎧
x 2
4＋y 2
＝1
y ＝kx
得，x 2
A ＝41＋4k 2，y 2
A ＝4k 21＋4k 2
，
∴|OA |2＝x 2A ＋y 2
A ＝
＋k 2
1＋4k 2
.
将上式中的k 替换为－1
k
，可得|OC |2
＝
＋k 2k 2＋4
.
∴S
△ABC
＝2S △AOC
＝|OA |·|OC |＝＋k 21＋4k 2
·
＋k 2k 2＋4
＝
＋k 2
＋4k 2
k 2＋.
∵
＋4k
2
k 2
＋
≤
＋4k 2
＋k 2＋
2
＝
＋k 22
，
∴S △ABC ≥8
5
，
且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是8
5
.
8 5，∴△ABC面积的最小值是
8
5
，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
∵2＞。