高中数学_数学归纳法(一)教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计
习
课本，引
入
概
念通过预习课本，明确数学归纳法的定义和适用范围据，通过预习
课本第一段
让学生明确
数学归纳法
的定义和适
用范围，言简
意赅。

目
标
评价，巩
固
新
知【目标1评价】
数学归纳法是一种_____________，专门用来证明与
_____________相关的命题
以填空的形
式，让学生记
忆数学归纳
法的定义，突
出定义中的
关键词语。

创
设
情境，探
究
原
理【学习环节二】通过情境导学渗透数学归纳法的两个步骤和原理
多米诺骨牌游戏是一种用木制、
骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩
时将骨牌按一定间距排列成行，保
证任意相邻的两块骨牌，若前一块
骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌
倒下。

只要推倒第一块骨牌，就必
然导致第二块骨牌倒下；而第二块
骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌
倒下….，最后不论有多少块骨牌都
能全部倒下，请同学们思考能使所
有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
从学生已有
的经验和认
知结构中寻
找新知识的
固着点和生
长点，在新旧
知识之间建
立非人为的、
实质性的联
系，以求有效
的突破难点，
并加深学生
对数学归纳
法原理形成
过程与方法
的理解．同时
让学生认识
到数学归纳
法是“水到渠
成、浑然天成
的产物”
小组讨论多米诺骨牌游戏成功的条件
通过证明等
式，把上一环
节多米诺骨
牌中的步骤
和原理渗透到数学问题中。

目
标
评价，巩
固
新
知数学归纳法证明步骤
(1)基本步骤:
①验证初值:当n取第1个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立;
②作归纳假设：在假设当
______________
时命题成立的
前提下,推出当
______________
时,命题成立.
根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
(2)原理：
数学归纳法能保证命题对
______________
都成立.因为根
据①,验证了当
______________
时命题成立;根据②可知,当
______________
时命题成立.由于当
______________
时命
题成立,再根据②可知,当
______________
时命题也成立,这样
递推下去,就可以知道当
______________
时命题成立,即命题
对任意正整数n都成立.
学生独立完
成填空，这样
设计主要是
想培养学生
的提炼能力，
同时还培养
了他们严谨
的态度。

实
践
应用，提
高
认
识【学习环节二】能够用数学归纳法证明简单的恒等式
用数学归纳法证明
让学生在实
践中体会原
理和步骤，在
反思中总结
经验和不足，
由此真正掌
握数学归纳
法的内涵。

课堂小结，感悟收获
此环节以表
格的形式呈
现，主要引导
学生回顾重
点、深化认
识，让学生从
整体把握本
节课的内容，
做到对本节
课内容了然
于胸。

6
)1
2
)(
1
(
3
2
12
2
2
2
+
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
附1：板书设计
学情分析
1、学情分析：
所授课班级为理科平行班，学生学业水平良好，思维活跃，上课发言积极，能够主动的思考问题，具有一定的探索能力，能够提出一些有意思的看法，课堂教学的生成性较强。

在本章节之前已经学完了合情推理的内容，因此能够利用类比来进行相应的探索。

2、学法分析
本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“自主探究式学习法”进行学习。

具体来说主要采用下面的模式进行：观察情景→发现问题→提出问题→探索解决(类比归纳、抽象概况数学模型)→分析论证→应用强化→反馈提升。

自主探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。

学生在探究问题过程中学习，在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔的精神。

学生掌握了这种学习方法后，对学生终身学习，终身发展都有积极意义，这就是让学生学会学习。

效果分析
成功之处：
1.充分考虑学生的认知水平，精心设计每一个教学环节，力争课堂有趣，有效。

2.注重学生思维品质的培养，充分类比，力求使知识发生的过程是自然的。

3.突出学生的主体地位，营造和谐宽松的学习氛围。

不足之处：
1、因为学生素质问题引入稍微有点拖沓。

2、由于时间关系，有些环节可能略显紧凑。

教材分析
1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学
选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：前面学生已经初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。

不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。

但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。

因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。

它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系，本节内容是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。

也是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

评测练习 一、选择题：
1、用数学归纳法证明1
2
1
*11(,1)1n n a a a a
n N a a
++-+++
+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为( )
A. 1
B. 1+a
C. 21a a ++
D. 231a a a +++
2．用数学归纳法证明)14(3
1)12(53122222-=-++++n n n 过程中，由
k n =递推到1+=k n 时，不等式左边增加的项为 （ ）
A.2)2(k
B.2)32(+k
C.2)12(+k
D.2)22(+k
3．用数学归纳法证明不等式
)2(24
13
21312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边 （ ）
A.增加了一项
)1(21
+k B.增加了一项)1(21
121+++k k C.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11
+k ” D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“1
1
+k ”
二、填空题 4．已知数列
)1(1,431,321,211+⨯⨯⨯n n ，计算得 ,4
3,32,21321===s s s ，由此可猜测=n s _______．
5．若f(k)=++-+- 4131211,21
121k
k --则)1(+k f = )(k f + _______．
三、解答题
6．由下列不等式：
，，，
，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
课后反思
数学归纳法是一种区别于直接证明和间接证明的证明方法，是
112
>111123++>1113
123
72
++++
>111
122315
++++
>
高中数学教学的重点和难点之一，新课引入之前，为让学生懂得数学归纳法的本质原理，并唤起他们的学习热情，我从多米诺骨牌游戏开始，引导学生弄清其游戏原理，学生的兴趣空前高涨，最后引导学生探究数学归纳法的原理和步骤。

我从生活实例和证明数学问题两个方面为给出数学归纳法原理奠定了坚实基础，有了这样的铺垫，学生对数学归纳法本质就不会只知其然，不知其所以然，因为形象地说，数学归纳法就相当于有无限多张的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推。

在讲这个核心时，我着重强调：在证明当n=k+1结论成立时一定要有假设过渡而来，并给学生详细的分析该如何“一凑假设，二凑结论”进行好这个过渡，这是学生学好数学归纳法关键之所在。

在这整堂课的教学过程中，我已尽力当好一个导演，创造一个好的课堂舞台让学生来表演，但自己还有些细节没处理到位。

如:
(1)、自己讲的太多。

开始还能够循循善诱，让学生自己学习讨论，可是一到规律方法的总结提高阶段就沉不住气，不敢、不放心让学生自己活动，越俎代庖，压抑了学生的积极性。

（2）、注重知识传授，忽视情感激发。

整堂课主要定位在知识与技能上，忽视了过程与方法的探究，学生的能力没有得到有效地提高，对学生的学习积极性、学习兴趣、学习习惯和学生的学习过程考虑较少，只关注书本而不关注人，缺乏对学生情感的激发；
(3)、思维对话中没有很好的鼓励学生个性思维的发挥。

对问题的设置思维含量不是很高，不能张扬学生个性及创新思维，不能使学生始终处于一种思潮如涌、浮想联翩的状态中。

今后在课堂上我力求做到能让学生动手的让学生动手，能让学生动脑的让学生动脑，能让学生观察的让学生观察，能让学生表述的让学生表述，能让学生总结的让学生总结，让学生亲身体验和感悟知识，做到真正还时间于学生，还思维于学生。

努力为学生创建民主、合作、愉快的学习氛围，并采取多种多样的办法培养学生的学习兴趣，让学生在学习过程中得到一种肯定的愉快的感觉，适当设计一些有思维含量的题，给学生创造展现个性思维的机会，激发他们求知的欲望，使教学更深入、更有效，最终达到“和谐高效思维对话新课堂”的要求。

课标分析
新课程标准对数学归纳法的要求为:1、了解数学归纳法的原理；
2、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

数学新课程标准认为：数学教学活动必须适合学生的认知发展水平，必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，应向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。

所以针对以上我认为本节课应加强以下三方面的认识：
1．基于数学归纳法的源头与本质，基于学生的原有认知基础，有效地突破难点．
(1)任何思想方法都有产生的源头，都要经过萌芽期和酝酿期．生物“重演律”告诉我们，生物的个体发育是其系统发育的简单而迅速的
重演．人的思维发展、数学概念与思想也是如此．数学教学不应超越萌芽期，直接进入酝酿期．否则，学生很难形成有血有肉、牢固深刻的数学思想．数学归纳法的源头在于如何证明由猜想得到的、具有内在规律性和递推关系的与正整数有关的命题，如何结论的推导严谨化，如何把模糊的、经验型的证明方法上升到理性的、普遍适用的数学方法。

我们紧紧抓住这一实质，有效地突破学生理解和运用数学归纳法的难点．
(2)学生头脑中的数学归纳法的“生长点”和“固着点”在于数自然数，找一列数的规律，以及在归纳、分析、推理的基础上得到与正整数有关的结论．教学时注意挖掘学生头脑中相关的、原始的、朴素的、有用的东西，并使之明朗化、清晰化．为了帮助学生突破用有限来代替无限这一思维难点，教学设计时一方面让学生认识到所要解决问题的特征，另一方面从学生已有的经验中寻找启发．
2．强化数学归纳法思想的形成过程，使其既有灵魂又有血肉．
(1)十分注意用典型例子来支撑抽象的原理。

为此注意用好两个例子：一是等差数列通项公式的推导；二是多米诺骨牌游戏．具体表现在：一是突出这些例子的共同特征；二是突出其抽象化、一般化、简单化的过程．
(2)增强学习的探究性。

除重视数学归纳法原理的提练过程外，还把数学归纳法证明两个步骤缺一不可作为数学归纳法探究过程的一部
分来处理，而不是作为原理应用注意事项的一部分．
(3)突破学生对归纳假设理解上的难点．阐明为什么是“假设”以及如何利用归纳假设，避免学生机械、盲目地套用数学归纳法．
(4)强化了运用数学归纳法必须同时具备两个条件：一是与正整数n(n 取无限多个值)有关的数学命题；二是研究的问题中存在可利用的递推关系．
3．注意把握教师引导与学生自主探究的“度”．一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，如三个例子共同特征的概括、用一般化的递推来代替无穷的递推、完整数学归纳法原理的形成都是学生自己在教师的启发下完成的．整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学优质、高效。