数据模型与决策-第七章
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
然而，近似并不是万能的方法。当决策变量取很小的数 值就对目标函数的值和结果的可行性产生较大的影响时，就 需要一个最优的整数解。
9
7.2.2 近似整数解的获得——伊斯特伯恩公司
重新检验一下伊斯特伯恩公司问题中的近似解。伊斯特 伯恩房地产问题LP松弛后的最优结果是T=2.479套连体别 墅，A=3.252幢公寓楼。由于每套连体别墅售价282 000美 元，每幢公寓楼售价400 000美元，如果近似得到一个整数 解，将会对这个问题产生重大的经济影响。
图7-2 用图解法解决伊斯特伯恩公司房地产问题
13
7.2.4 应用LP松弛法建立约束边界
从伊斯特伯恩房地产问题的研究中，我们可以得出一个
全整数线性规划（all-integer linear program）。 下面是一个含有两个整数变量的全整数线性规划模型。
max 2X1+3X2 s.t.
3X1+3X2≤12 2/3X1+1X2≤4
1X1+2X2≤6 X1, X2≥0, 且为整数
LP松弛： 去掉整数要求后得到的线 性规划称作整数线性规划 的LP松弛（LP Relaxation）。
3
7.1 整数线性规划的分类
混合整数线性规划 在线性规划问题中，如果只有一部分量是整数而非全部都
是 ， 则 称 作 混 合 整 数 线 性 规 划 （ mixed-integer linear program）。
max 3X1+4X2
s.t
-1X1+2X2≤8 1X1+2X2≤12 2X1+1X2≤16
第七章
整数线性规划
主要内容
整数线性规划的分类
1
2
全整数线性规划的图解与计算机解法
3
含有0-1变量的整数线性规划的应用
4
0-1整数变量在建模过程中的灵活性分析
2
7.1 整数线性规划的分类
整数线性规划 有这样一类问题，这类问题可以被构建成线性规划模
型，并பைடு நூலகம்其中至少有一个变量是整数。这类问题称作整 数线性规划（integer linear program）。 全整数线性规划 在线性规划问题中，如果所有变量均为整数，就称其为
5
7.2 全整数线性规划的图解法与计算机解法
伊斯特伯恩房地产公司有200万美元可用于购买新的租 赁财产。经过筛选，公司已将投资项目的方案减少为连体 别墅和公寓楼。每套连体别墅售价为282 000美元，现有5套 空置。每幢公寓楼售价400 000美元，而且开发商可以根据 伊斯特伯恩的需要数量建房。
伊斯特伯恩的财产经理每月可以有140小时用来处理这 些新置的财产，其中，每套连体别墅预计每月要花4小时， 每 幢 公 寓 楼 预 计 每 月 40 小 时 。 扣 除 抵 押 偿 还 和 经 营 成 本 后，年现金流量预计为：每套连体别墅10 000美元；每幢公 寓楼15 000美元。伊斯特伯恩的股东想知道在保证年现金流 量最大的要求下，购买连体别墅和公寓楼的数量。
6
7.2 伊斯特伯恩房地产公司案例
定义决策变量如下： T——连体别墅的数量； A——公寓楼的数量。
全整数线性规划模型：
max 10T+15A
s.t
282T+400A≤2 000 可用资金（1000美元）
4T+ 40A≤ 140 管理者的时间（小时）
T
≤ 5 可得连体别墅
T, A≥0, 且为整数。
X1, X2≥0, 且X2为整数
去掉“X2为整数”这个条件后，我们得到此混合整数线性规划
的LP松弛
4
7.1 整数线性规划的分类
0-1整数线性规划 在应用整数线性规划时，经常要求变量等于0或1，这些 变量称为0-1变量或二进制变量。如果所有变量均为0-1 变量，这类规划被称作0-1整数线性规划（0-1 linear program）。 使用0-1变量可以使线性规划很灵活、很容易求解。
假设我们把LP松弛的解近似到整数：T=2，A=3。于是 目标函数值为：10×2+15×3=65。而65 000美元的年现金流 量比LP松弛的结果73 754美元少很多。
对其他近似方法的研究表明：整数结果T=3，A=3不可 行，因为这样资金就超过了伊斯特伯恩公司现有的2 000 000 美元；同理，T=2，A=4也不可行。在这样的情况下，近似 得到此问题的最可行的整数结果：2套连体别墅，3幢公寓楼 和65 000美元的现金流量。但是，我们并不知道这一结果是 否为该问题的最优整数结果。
参看图7-2，我们看到当T=4套连体别墅、A=2幢公寓楼 时，得到最优整数值。目标函数值为10×4+15×2=70，并 得年现金流量是70 000美元。这一结果要比近似得到的最优 解T=2，A=3，年现金流量65 000美元好得多。所以，近似 法并不是伊斯特伯恩公司房地产问题最好的求解方法。
12
7.2.3 全整数问题的图解法
10
7.2.2 近似整数解的获得
近似到整数解是一个反复试验的方法。每一个近似解都 必须经过可行性检查和对目标函数值影响的检查。即使当近 似解是可行时，我们也无法保证找到了最优的整数解。稍后 我们会发现，近似解（T=2, A=3）不是以上问题的最优解。
11
7.2.3 全整数问题的图解法
图7-2说明了用图解法求解伊斯特伯恩房地产整数线性 规划问题中所需要做的变化。首先，可行域图几乎和LP松 弛问题的一样。然后，因为最优解一定是整数型的，我们 用点标出可行的整数解。最后，不是将目标函数线向可行 域的极值点移动，而是尽量将目标函数线朝着使目标函数 最优的方向移动（可行整数点之一）。
7
7.2.1 LP松弛的图解法
去掉T和A为整数的条件，运用第2章中的图解步骤得下图。 即T=2.479套连体别墅，A=3.252幢公寓楼。目标函数的最优 值为73.574 。由于T和A非整数，所以需要进一步分析。
8
7.2.2 近似整数解的获得
大多数情况下，可以通过使用本节的方法来求得可接受 的整数解。例如，某生产进度问题求得的线性规划结果可能 要求生产15 132.4箱谷类食品。其近似结果为15 132箱，而该 近似解对目标函数的值及其结果的可行性只产生极小的影响。 因此，近似是较好的方法。实际上，只要近似对目标函数的 约束条件只产生极小的影响，大多数管理者都可以接受。此 时，近似解就够了。
9
7.2.2 近似整数解的获得——伊斯特伯恩公司
重新检验一下伊斯特伯恩公司问题中的近似解。伊斯特 伯恩房地产问题LP松弛后的最优结果是T=2.479套连体别 墅，A=3.252幢公寓楼。由于每套连体别墅售价282 000美 元，每幢公寓楼售价400 000美元，如果近似得到一个整数 解，将会对这个问题产生重大的经济影响。
图7-2 用图解法解决伊斯特伯恩公司房地产问题
13
7.2.4 应用LP松弛法建立约束边界
从伊斯特伯恩房地产问题的研究中，我们可以得出一个
全整数线性规划（all-integer linear program）。 下面是一个含有两个整数变量的全整数线性规划模型。
max 2X1+3X2 s.t.
3X1+3X2≤12 2/3X1+1X2≤4
1X1+2X2≤6 X1, X2≥0, 且为整数
LP松弛： 去掉整数要求后得到的线 性规划称作整数线性规划 的LP松弛（LP Relaxation）。
3
7.1 整数线性规划的分类
混合整数线性规划 在线性规划问题中，如果只有一部分量是整数而非全部都
是 ， 则 称 作 混 合 整 数 线 性 规 划 （ mixed-integer linear program）。
max 3X1+4X2
s.t
-1X1+2X2≤8 1X1+2X2≤12 2X1+1X2≤16
第七章
整数线性规划
主要内容
整数线性规划的分类
1
2
全整数线性规划的图解与计算机解法
3
含有0-1变量的整数线性规划的应用
4
0-1整数变量在建模过程中的灵活性分析
2
7.1 整数线性规划的分类
整数线性规划 有这样一类问题，这类问题可以被构建成线性规划模
型，并பைடு நூலகம்其中至少有一个变量是整数。这类问题称作整 数线性规划（integer linear program）。 全整数线性规划 在线性规划问题中，如果所有变量均为整数，就称其为
5
7.2 全整数线性规划的图解法与计算机解法
伊斯特伯恩房地产公司有200万美元可用于购买新的租 赁财产。经过筛选，公司已将投资项目的方案减少为连体 别墅和公寓楼。每套连体别墅售价为282 000美元，现有5套 空置。每幢公寓楼售价400 000美元，而且开发商可以根据 伊斯特伯恩的需要数量建房。
伊斯特伯恩的财产经理每月可以有140小时用来处理这 些新置的财产，其中，每套连体别墅预计每月要花4小时， 每 幢 公 寓 楼 预 计 每 月 40 小 时 。 扣 除 抵 押 偿 还 和 经 营 成 本 后，年现金流量预计为：每套连体别墅10 000美元；每幢公 寓楼15 000美元。伊斯特伯恩的股东想知道在保证年现金流 量最大的要求下，购买连体别墅和公寓楼的数量。
6
7.2 伊斯特伯恩房地产公司案例
定义决策变量如下： T——连体别墅的数量； A——公寓楼的数量。
全整数线性规划模型：
max 10T+15A
s.t
282T+400A≤2 000 可用资金（1000美元）
4T+ 40A≤ 140 管理者的时间（小时）
T
≤ 5 可得连体别墅
T, A≥0, 且为整数。
X1, X2≥0, 且X2为整数
去掉“X2为整数”这个条件后，我们得到此混合整数线性规划
的LP松弛
4
7.1 整数线性规划的分类
0-1整数线性规划 在应用整数线性规划时，经常要求变量等于0或1，这些 变量称为0-1变量或二进制变量。如果所有变量均为0-1 变量，这类规划被称作0-1整数线性规划（0-1 linear program）。 使用0-1变量可以使线性规划很灵活、很容易求解。
假设我们把LP松弛的解近似到整数：T=2，A=3。于是 目标函数值为：10×2+15×3=65。而65 000美元的年现金流 量比LP松弛的结果73 754美元少很多。
对其他近似方法的研究表明：整数结果T=3，A=3不可 行，因为这样资金就超过了伊斯特伯恩公司现有的2 000 000 美元；同理，T=2，A=4也不可行。在这样的情况下，近似 得到此问题的最可行的整数结果：2套连体别墅，3幢公寓楼 和65 000美元的现金流量。但是，我们并不知道这一结果是 否为该问题的最优整数结果。
参看图7-2，我们看到当T=4套连体别墅、A=2幢公寓楼 时，得到最优整数值。目标函数值为10×4+15×2=70，并 得年现金流量是70 000美元。这一结果要比近似得到的最优 解T=2，A=3，年现金流量65 000美元好得多。所以，近似 法并不是伊斯特伯恩公司房地产问题最好的求解方法。
12
7.2.3 全整数问题的图解法
10
7.2.2 近似整数解的获得
近似到整数解是一个反复试验的方法。每一个近似解都 必须经过可行性检查和对目标函数值影响的检查。即使当近 似解是可行时，我们也无法保证找到了最优的整数解。稍后 我们会发现，近似解（T=2, A=3）不是以上问题的最优解。
11
7.2.3 全整数问题的图解法
图7-2说明了用图解法求解伊斯特伯恩房地产整数线性 规划问题中所需要做的变化。首先，可行域图几乎和LP松 弛问题的一样。然后，因为最优解一定是整数型的，我们 用点标出可行的整数解。最后，不是将目标函数线向可行 域的极值点移动，而是尽量将目标函数线朝着使目标函数 最优的方向移动（可行整数点之一）。
7
7.2.1 LP松弛的图解法
去掉T和A为整数的条件，运用第2章中的图解步骤得下图。 即T=2.479套连体别墅，A=3.252幢公寓楼。目标函数的最优 值为73.574 。由于T和A非整数，所以需要进一步分析。
8
7.2.2 近似整数解的获得
大多数情况下，可以通过使用本节的方法来求得可接受 的整数解。例如，某生产进度问题求得的线性规划结果可能 要求生产15 132.4箱谷类食品。其近似结果为15 132箱，而该 近似解对目标函数的值及其结果的可行性只产生极小的影响。 因此，近似是较好的方法。实际上，只要近似对目标函数的 约束条件只产生极小的影响，大多数管理者都可以接受。此 时，近似解就够了。