状态反馈极点配置基本理论与方法

第2章 状态反馈极点配置设计基本理论
2.1引言
大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。

反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。

其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。

图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：
图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图
其中受控系统的状态空间表达式为：
x Ax Bu
y Cx
=+= (2.1)
由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：
u Fx v =+ (2.2)
其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：
()x A BF x Bv y Cx
=++= (2.3)
闭环系统的传递函数矩阵：
()()1
s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)
由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。

2.2极点配置方法的选择
对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。

（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。

（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程
AX X BG -Λ= (2.5a) FX G = (2.5b)
（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。

方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。

方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。

最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。

其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。

对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。

本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程(2.5)的得到最佳的状态反馈矩阵。

2.3状态方程的规范形
将线性时不变多变量完全能控系统记为：
x Ax Bu =+ (2.6)
其中x 和u 分别是n 维和m 维的实向量，A 和B 是合适阶次的恒定实矩阵。

极点配置是要求找到一个实反馈矩阵F ，使闭环系统矩阵A+BF 的特征值等于 ，L 是一个复共轭的集合。

已知如果方程(2.6)定义的系统是完全能控的，就可以进行极点配置。

极点配置问题转化为寻找矩阵X 和G ，使等式(2.5a)中的矩阵Λ满足 。

如果X 是可逆的，根据方程(2.5b)求解F 。

方程(2.5a)可以转化为等价的形式：
T T T T T P AP P XQ P XQ Q Q P B GQ ⋅-⋅Λ=⋅ (2.7)
其中P 和Q 是正交矩阵， 表示转置，使用正交矩阵可以保证方程(2.5a)的数值稳定性不变。

选择P 使(A ，B)可以转换为：
()11
12
1,11,21,11,,1
,2
,1,0000
0T T
k k k k k k k k k k k k
k A A P AP P B A A A A A A A A B ------⎛⎫ ⎪
⎪
⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
(2.8) 此外，非对角线上的块A i,i+1选择满秩的下三角型：
(),1000
0*00
*
***
*0
0i i A +⨯⎛⎫
⎪⨯ ⎪
⎪
⨯=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝
⎭
(2.9) 假定方程(2.6)表示的系统为完全能控型， 表示非零的数， 表示任意值。

对于任意给定矩阵Λ，找到Q 使它转化成Schur 型，在上三角矩阵 的对角线上存在2*2的块，表示L 的特征值中复共轭的部分。

如果L 中所有的特征值都是实数， 将是严格的上三角矩阵，而且特征值λi 都在对角线上。

因此如果期望的特征值全为实数，那么Λ是实Schur 矩阵，就不需要寻找矩阵Q 。

已知在方程(2.7)中的T X P X =和G ，特征向量矩阵X 可以从下面式子得到：
X PX = (2.10)
F 可以由(2.5b)得到，或者：
FPX G = (2.11)
2.4实数极点的配置
对于方程(2.5)，如果假设矩阵A 和B 已经转换成为标准形式，并且期望的闭环特征值全为实数，即Λ是实Schur 矩阵。

需要寻找非奇异矩阵X ，使方程(2.5a)满足矩阵G 。

假设X 的形式如下：
100*1*
1***
*
1X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
(2.12) 显然矩阵X 满秩，而且满足下三角是标准的最小化。

假设所有的特征值λi 都是实数，将第j 列的X 、Λ、G 表示为：
01,,0j j j j z g x λ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ (2.13) M j1:j2表示矩阵M 的第j 1到j 2列，M j 表示M 的第j 列。

利用(2.13)可以证明，存在矩阵X 满足等式(2.12)。

j 为不同值时，等式(2.5a)可以表示为不同形式： 当1j =时：
()()1112:11n
x A B A g λλ⎛⎫
⎡⎤-=- ⎪⎣⎦⎝⎭
(2.14a) 当1j n <<时：
()()1:1
12:j j j j n
j j z X A B x A g λλ-⎛⎫
⎪⎡⎤-=- ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭
(2.14b) 当j n =时：
[]()1:1
n n n n n z X B A g λ-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
(2.14c)
等式(2.14)左端的矩阵M(j)，是()1n n m ⨯+-维。

如果矩阵M(j)是行满秩的，方程(2.14)有解，因此矩阵是右可逆的。

如果精确的选择矩阵A 、B 、X ，可以实现矩阵M(j)是行满秩阶梯矩阵。

对于给定闭环期望特征值{}j λ，X 的列X j 按照1,,j n =⋯的顺序递推得到。

方程(2.14)可以用常规的最小二乘法得到。

最后结果z j 、x j 、g j 是最小的2-范数或者最小的F-范数。

在方程(2.7)、(2.10)和(2.11)中正交矩阵P 的范数将不影响最小范数。

以上算法证明了，对于完全能控系统，任意给定的一组实数闭环特征值L ，都可以进行极点配置。

2.5混合极点的配置
假定矩阵A 和B 已经化为阶梯控制型标准型。

当闭环的期望特征值中包含共轭复数时，将矩阵Λ化为Schur 型，共轭的闭环特征值在对角线上是2*2的块，其余的实数闭环特征值在对角线上。

假设特征值j λ和1j j λλ+=是一组共轭复极点，复共轭部分可以表示为2*2的块：
j
j j j
j a b b a -⎛⎫
Λ=
⎪⎝⎭
(2.15) 假设：
1:100j j j j j j j j z z a b b a ++⎛⎫ ⎪- ⎪
Λ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(2.16) 对于方程(2.5a)中第j 和j+1列，当11j n <<-时：
():1:1:11:11,j j j j j j j j j j AX X BG X z z +++-+-Λ=+ (2.17)
使用Kronecker 乘积⊗，将等式(2.13)和等式(2.16)带入(2.17)中得到：
()()(),1,1,1M j j v j j r j j ++=+ (2.18)
矩阵()()1:1222,1,,j M j j X I M B I -+=⊗⊗是()()2223n n m ⨯+-维的。

并且2n 维向量()1,1r j j M +=，其中：
当1j =和1j n =-，容易得到(2.16a)和(2.16c)相似的等式，等式(2.18)中矩阵和向量中不重要的部分省略。

在等式(2.18)中,矩阵(),1M j j +也是行满秩形式。

等式(2.18)可以被递推得到，对于j 的增加值，并且可以得到最小范数解。

以上算法证明了，对于完全能控系统，任意给定的一组混合闭环特征值L ，都可以进行极点配置。

2.6镇定不可控系统的极点配置
为了保证当等式(2.6)表示的矩阵是不能控系统时，以上计算方法仍然成立，使用不可控再分配。

对于镇定的不可控系统，其所有的不可控的部分都是稳定，镇定部分不需要进行极点配置。

因此，镇定的不可控系统可以将等式(2.8)可以记做：
()1121
22
200T T
A P AP P
B A
A B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(2.19) 这种阶梯标准型本质上将系统矩阵A 和B 分为两部分：A 22是能控的部分，A 11是不能控的部分，A 21是耦合的部分。

()12,F F F =矩阵为反馈矩阵，那么闭环系统矩阵将是下面的表示形式：
11212122220
A A
B F A B F ⎛⎫ ⎪
⎪++⎝
⎭
因此任何反馈将不影响不能控部分的值。

此外，由A 22和B 2组成的系统是能控的。

假设矩阵A 和B 已经化为等式(2.19)中的形式，同时假设等式(2.5a)中的矩阵X 和Λ形式为：
11
11
21
2221
2200,X X X X Λ⎛⎫⎛⎫
=Λ=
⎪ ⎪ΛΛ⎝⎭⎝⎭
(2.20) 那么等式(2.5)可以被分成三部分，第四个等式简化为0=0。

111111110A X X -Λ= (2.21a)
()11222222220A B F X X +-Λ= (2.21b)
()
()()2121222121112221212111T X A B F X X X A B F X +-Λ=Λ-+ (2.21c)
等式(2.21a)表示不可控子系统，并且只要矩阵Λ11的余项等于不可控矩阵A 11的余项，就容易选择矩阵X 11。

其中最简单的方法是用X 11Λ11X 11-1作为A 11的Schur 分解。

等式(2.21b)表示能控子系统的极点配置问题，此时的子系统的状态反馈极点配置的方法与能控系统极点配置的方法相同，因此可以容易确定矩阵X 22和Λ22，最后得出反馈矩阵F 2。

对于任何一个任意矩阵F 1和Λ21，可以选择满足等式(2.21c)的矩阵X 21去修改不可控模型的特征向量。

如果Λ11和Λ22的余项有交集，那么等式(2.21c)左侧的T 变换是可逆的。

在这种情况下，矩阵Λ21可以由下面等式得出：
()1212221212111X T X A B F X -=Λ-+⎡⎤⎣⎦ (2.22)
如果T 变换是不可逆的，对于期望的矩阵Λ21，当X 22是非奇异的时候，等式(2.21c)右端是T 变换的一种方式。

除此之外，可以使用Kronecker 乘积扩张等式(2.21c)，并且在最小的误差范围里计算出这个线性等式。

因此对于F 1和Λ21，最简单的是选择
()(){}1212221211121X A B F X T X -Λ=++。

以上算法证明了，对于镇定的不能控系统，任意给定的一组闭环特征值L ，都可以进行极点配置。

但是对于不是镇定的系统，还需要进行近一步的研究。

2.7小结
本章中介绍了一种对于完全能控系统和镇定的不能控系统，任意给定的一组期望闭环特征值L ，进行极点配置的方法。

使用最小二乘法得到z j 、x j 、g j 。

其中z j 、x j 分别是三角矩阵Λ和X 的非对角线的部分，他们的最小化意味着对称性“比较好”，并且以此为条件对于矩阵X 和特征值问题包含在矩阵Λ中。

此外，方程(2.5b)表示为：
1F X G -≤ (2.23)
当X 状态足够良好并且g j 最小时，不等式(2.23)意味着反馈矩阵F 是合理的小，不等式(2.2)的反馈上界最小。

等式(2.5b)的值将是数值稳定在良好状态下的矩阵X 。

本文中的方法明显依赖于L 中特征值的顺序。

通过特征值的不同的随机排列，可以选择简单的算法。

最后在最优化条件和经济算法条件下得到反馈矩阵F 。