B样条曲线

P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
角点共线的方法。
Q4
Q1
P1
。
P0
Q2
Q0
P2 Q3
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四
角点共线的方法。 Q5
Q1
Q2 。P1
P0
Q0
P2
P3
。
Q3 Q4
6.5 Bézier曲面和B样条曲面
6.5.1 Bézier曲面
Bézier曲面及控制网格演示动画
曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间角点只 反映曲面的凹凸程度。
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
✓用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
✓参数v在[0,1] 之间取
值vk ，对应于vk曲线C1、
C2、C3和C4上可得到v1k、
v2k、v3k和v4k四个点，
该四点构成u向的一个
d12
特征多边形，定义一条
新的曲线P(u,vk)；
一般称 P
为
ij
P
(u
,
v ) 的控制顶点，把由Pi0,Pi1,
,Pim
(i0,1, ,n)和 P0j,P1j, ,Pnj(j0,1, ,m) 组成的网格
称为 P (u , v ) 的控制网格，记为{ P ij } ,如图9.15所示。
P14
P04
P03 P02 P01
P11 P21
P31
P(0,v)
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
)和 ,n
P0jP1jP2j
Pnj
( j0,1,2, ,m)组成的网格（如图2）称为P (u , v ) 的
控制网格，简记为{ P ij } 。
P04 P01
P10
P20
P00
P40
图2 B样条曲面及其控制网格
均匀B样条曲面
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。
(1) 端点位置
控制网格的四个角点 P00,P0m,Pn0,Pnm 是曲面P ( u , v ) 的四个端点。决定了曲线的形状，位置。
P(0,0)P00, P(0,1)P0m
P(1,0)Pn0, P(1,1)Pnm
P04 P14
P 44
P03
P02 P01
P1 P2
11
P31
P41
P(0,v)
P20
F0,2 (t )
1 2!
2
(1) j
j0
C
j 3
(t 2
j)2
1 [ 3! (t 2) 2 3! (t 1) 2 3! t 2 ] 1 (t 1) 2
2 3!
2!
2!
2
F1,2 (t )
1 2
(2t 2
2t
1)
F2,2 (t )
1 2
t2
有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条 曲线的分段表达式为： P i( t ) F 0 ,2 ( t ) P i F 1 ,2 ( t ) P i 1 F 2 ,2 ( t ) P i 2
Bezier曲面
Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲 线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制 点确定，三次Bezier曲面片则由４× ４控 制点确定。16个控制点组成一个矩阵：
Q00 Q 10 Q20 Q30
B=
Q01 Q 11 Q02 Q12
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
• 角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。 B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后
双二次Bezier曲面：取m=n=2。该曲 面的四条边界是抛物线。 ；
双三次Bezier曲面：取m=n=3；
注：矩阵表示见课本
曲面片1
P3,3(Q0,3) Q3,3
P3,2(Q0,2)
P0,3
P3,1(Q0,1) Q3,0
P(u,v)
Q(u,v) P3,0(Q0,0) 边界线
P0,0
Beziet曲面片的拼接
i0 j0
其中P i j 是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点，通常称为P (u , v ) 的
控制顶点。B 基函数。
i,k
(
u
)
，B
j,h
(v
)
分别是关于节点向量U,V的k阶和h阶的B样条
vm
vj
v2
vv01 u0
u1
u2
ui
un
图1 uv平面的分割
由两组多边形 Pi0Pi1Pi2
Pim ( i0,1,2,
n
Pi,n(t) Pik Fk,n(t) k0 B:P1,P2,P3 P3
P1 i=1 P1,2(t)
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
P4
i=0
P2
P0,2(t)
P0
B: P0,P1,P2
二次Ｂ样条曲线的性质
先对 P(t)求导得：
P(t) t
111
2 1
1 0B B B1 0 2
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
写成一般的矩阵形式为：
2
P(t) Fk,2(t)Bkt2
k0
t
1 11 22
2 2
1B0 0B1
1 1 0B2
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的 Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t) 和 P’(t)，可得：
P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。
rij
u
首先生成四条v向的三次Bezier曲线：
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n(t) Pik Fk,n(t) k0 控制顶点 B样条基函数
在上式中０≤t≤1 , i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定
式中： ０≤t ≤ 1 k = 0, 1, 2, …, n
Cnr
n! r!(n r)!
连接全部曲线段所组成的整条曲线称
为 n 次Ｂ样条曲线。依次用线段连接
点 Pi+k (k=0,1,…,n)所组成的多边折 线称为Ｂ样条曲线在第i段的Ｂ特征多
边形。
３.二次Ｂ样条曲线 F k,n(t)n 1 !n j k 0( 1 )jC n j 1(tnkj)n 在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2 故其基函数形式为：
P04 P14
P 44
P03
P02 P01
P11 P21
P31
P41
P(0,v)
P20
P10
P30
Pn0 ，
P00
P(u,0) P40
Bézier曲面的端点和边界线
nm1
nm
P (u ,v) B i,n(u)B j,m (u)p ij u ,v [0 ,1 ] i 0j 0
双一次Bezier曲面：取m=n=1。这是 一张双曲抛物面（马鞍面） ；
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1
P(1/2)
P'(1/2)
P(0) M
P(1)
B0
是什么曲线？
与Bezier曲线有
B2
何差别？
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
P10
P30
P00
P(u,0) P40
Bézier曲面的端点和边界线
(2) 边界线的位置
P (u , v )的4条边界线P (0, v)，P (u , 0 )，P (1, v ) ，P (u ,1)
是Bézier曲线，它们分别以 P00P01 ， P0m P00P10 Pn0Pn1 Pnm，P0mP1m Pnm为控制多边形。
i 0
i 0j 0
Bézier曲面的定义
在空间中给定(n+1)×(m+1)个点，称以 下张量积形式的参数多项式曲面为n×m次的 Bézier曲面:
• 贝塞尔曲面表达式如下：
nm
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v) 0≤u,v≤1
i=0 j=0
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
第6章 曲 线 曲 面 （B样条曲线）
二、B样条曲线 １.从 Bezier 曲线到Ｂ样条曲线 (1) Bezier 曲线在应用中的不足：
缺乏灵活性 一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改；
控制性差当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；
线在连接处达到二阶连续。 ***
F281.c 三次 B-样条曲线
Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线 的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这 些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整 个Ｂ样条曲线在某些部位满足一些特殊的技 术要求。如：可以在曲线中构造一段直线；
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
v
3
bi(v) bijBj,3(v) i0,1,2,3
j0
根据“线动成面”的思想，按设定间
隔取v* [0,1] ，在四条v线上取点，沿u
u
向生成三次Bezier曲线：
v V*
3
b(u) bi(v*)Bi,3(u)
i0
将u,v向曲线方程合并得：
3
33
u
b (u ,v )b i(v )B i,3 (u ) B i,3 (u )B j,3 (v )b (i,j) v
P10 P20
P41 P30
P00
P(u,0)
P40
图9.15 Bézier曲面的控制网格
Bézier曲面的矩阵表示是：
P(u,v)[J0,n(u) J1,n(u)
P00 P01 Jn,n(u)]P10 P11
Pn0 Pn1
P0mJ0,m(v) P1mJ1,m(v)
PnmJm,m(v)
Bézier曲面具有以下性质：
曲面片2
6.5.2 B样条曲面的定义和性质
v u u 设节点向量 U ui i,V
u v v u 对参数 平面的 轴和
轴{的vj}分j割 ，( 如≤i 图1所i 1示,。称j ≤下列v j 张 1 )量分积别形是
式的参数曲面为 k h ( k≤n,h≤m)阶的B样条曲面
nm
P(u,v)
PijBi,k(u)Bj,h(v) ,uk-1≤u≤un＋1,vh-1≤v≤vm＋1
义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：
Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
F k,n(t)n 1 !n j k 0( 1 )jC n j 1(tnkj)n